连续系统状态方程的建立
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第6章状态变量分析法
间变化而描述的路径，称为状态轨迹。
6
通信与信息基础教学部
状态与状态空间(3) 状态变量分析法的一般步骤
用状态变量来描述和分析系统的方法称为状态变量分 析法。当已知系统的模型及激励，用状态变量分析法时， 一般分两步进行：
一是选定状态变量，并列写出用状态变量描述系统特 性的方程，一般是一阶微分（或差分）方程组，它建立了 状态变量与激励之间的关系；同时，还要建立有关响应与 激励、状态变量关系的输出方程，一般是一组代数方程；
M
M
M
M
M
yr (t) cr1x1 (t) cr2 x2 (t) L crn xn (t) dr1 f1 (t) dr2 f2 (t) L drm fm (t)
11
Байду номын сангаас
通信与信息基础教学部
连续系统状态方程的一般形式(4)
状态方程、输出方程（P323）
x1
x
Mxx2n
a11
16
通信与信息基础教学部
由电路图建立状态方程(1) 由电路直接建立状态方程的步骤
(1) 选择独立的电容电压和电感电流作为状态变量；
(2)
对于电容C应用KCL写出该电容的电流
iC
C
dvC dt
与其它状态
变量和输入变量的关系式；
(3)
对于电感L应用KVL写出该电感的电压
vL
L
diL dt
与其它状态
变量和输入变量的关系式；
(4) 消除非状态变量（称为中间变量）； (5) 整理成状态方程和输出方程的标准形式。
17
通信与信息基础教学部
由电路图建立状态方程(2)
M
M
M
M
《自动控制原理》线性定常连续系统状态方程的解
2
k!
= P −1IP + P −1 APt + 1 P −1 A2 Pt 2 + + 1 P −1 Ak Pt k +
2
k!
= P −1 (I + At + 1 A2t 2 + + 1 Ak t k + )P = P −1e At P
2
k!
因而式（9-39）成立。
性质10: 两种常见的状态转移矩阵。设 A = diag[1, 2 ,,n ]，
2. 拉普拉斯变换法。将式（9-22）取拉氏变换有
sX (s) = AX (s) + x(0)
则
(sI − A) X (s) = x(0)
X (s) = (sI − A)−1 x(0)
（9-27）
进行拉氏反变换有
x(t) = −1[(sI − A)−1]x(0)
（9-28）
与（9-25）相比有
e At = −1[(sI − A)−1 ]
进行拉氏反变换有 x(t) = −1(sI − A)−1 x(0) + −1[(sI − A)−1 BU (s)]
由拉氏变换卷积定理
−1[F1(s)F2 (s)] =
t
0 f1 (t − ) f2 ( )d
=
t
0 f1 ( ) f2 (t − )d
在此将(sI − A)−1 视为F1 (s)，将BU (s) 视为 F2 (s) ，则有
x(t) = eA(t) x(0) + t eA(t− )Bu( )d 0 t = (t)x(0) + 0 (t − )Bu( )d
结果与式（9－43）相同。上式又可表示为
8.系统分析的状态变量法_信号与系统
8 系统分析的状态变量法
8.2.1 连续时间系统状态方程的建立
一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号 的各阶导数来描述。 的各阶导数来描述 。 作为连续系统的状态方程表现 为状态变量的联立一阶微分方程组. 为状态变量的联立一阶微分方程组 标准形式的状态方程为
或记为
8 系统分析的状态变量法 表示状态变量， 式中 表示状态变量， 为常数矩阵。 和 为常数矩阵。 是与外加信号有关的项， 是与外加信号有关的项，
8 系统分析的状态变量法 6．状态轨迹 在描述一个动态系统的状态空间中， 在描述一个动态系统的状态空间中，状态向 量的端点随时间变化所经历的路径称为系统的状 态轨迹。一个动态系统的状态轨迹不仅取决于系 态轨迹。 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此， 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此，系 统的状态轨迹可以形象地描绘出在确定的输入作 用下系统内部的动态过程。 用下系统内部的动态过程。
8 系统分析的状态变量法 【例】 试写出下图所示电路的状态方程。 试写出下图所示电路的状态方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根据电路结构可知，电容电压、 根据电路结构可知，电容电压、电感电流 可作为为状态变量即 . 建立状态变量 之间的方程为 和激励
8 系统分析的状态变量法 状态变量分析法优点: 状态变量分析法优点: (1)便于研究系统内部物理量的变化 (1)便于研究系统内部物理量的变化 (2)适合于多输入多输出系统 (2)适合于多输入多输出系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (4)便于分析系统的稳定性 (4)便于分析系统的稳定性 (5)便于采用数字解法 便于采用数字解法， (5)便于采用数字解法，为计算机分析系统提供了 有效途径 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念 引出了可观测性和可控制性两个重要概念。 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
《信号与系统》第八章知识要点+典型例题
y(t) 8x1 2x2
再稍作变换，写出矩阵形式的动态方程为
x 1 x 2
0 2
1 3
x1 x2
0 1
f
y 8
2
x1 x2
（8.6） （8.7）
2
3、 连续系统状态方程的求解 求解状态方程有时域解法和变换域解法两种。变换域解法比较简单，其求解步骤如下： 一 n 阶连续系统状态方程与输出方程的一般形式分别为
（8.3）
1
若式（8.3）中仅包含状态变量与输入变量，符合状态方程的标准形式，状态方程的编
写到此完成。若式（8.3）中还含有不需要的中间变量，再应用 KCL、KVL 方程消除中间变
量，整理成状态方程的标准形式。
输出方程的编写，要根据电路的具体输出情况而定。有的，可以由状态变量与输入直接
就能简便写出；有的，需要再应用某些 KCL、KVL 及欧姆定律，消除不需要的中间变量而
相连节点的 KCL 方程、电感 L 所在回路的 KVL 方程，即
ìïïïïíïïïïîiucL((t
) = C duc (t ) dt
t ) = L diL(t ) dt
=+ =+
整理以上方程组，有
ìïïïïíïïïïî
duc (t ) dt
diL (t ) dt
= =
1 C 1 L
( + ) ( + )
【分析】本题主要考察状态方程的求解。
5
【解】 故
(s)
sI
A 1
s
1
1
s 4 2
再稍作变换，写出矩阵形式的动态方程为
x 1 x 2
0 2
1 3
x1 x2
0 1
f
y 8
2
x1 x2
（8.6） （8.7）
2
3、 连续系统状态方程的求解 求解状态方程有时域解法和变换域解法两种。变换域解法比较简单，其求解步骤如下： 一 n 阶连续系统状态方程与输出方程的一般形式分别为
（8.3）
1
若式（8.3）中仅包含状态变量与输入变量，符合状态方程的标准形式，状态方程的编
写到此完成。若式（8.3）中还含有不需要的中间变量，再应用 KCL、KVL 方程消除中间变
量，整理成状态方程的标准形式。
输出方程的编写，要根据电路的具体输出情况而定。有的，可以由状态变量与输入直接
就能简便写出；有的，需要再应用某些 KCL、KVL 及欧姆定律，消除不需要的中间变量而
相连节点的 KCL 方程、电感 L 所在回路的 KVL 方程，即
ìïïïïíïïïïîiucL((t
) = C duc (t ) dt
t ) = L diL(t ) dt
=+ =+
整理以上方程组，有
ìïïïïíïïïïî
duc (t ) dt
diL (t ) dt
= =
1 C 1 L
( + ) ( + )
【分析】本题主要考察状态方程的求解。
5
【解】 故
(s)
sI
A 1
s
1
1
s 4 2
线性定常连续系统状
, q k a k q k 1 a k k !q 0
q0=x(0)
○ 因此, x(t)的解表达式可写为
x(t) 1a ta 2 2 !t2 ...a kk !tk . .x .(0 )eaxt(0 )
1. 上述求解标量微分方程的级数展开法,可推广至求解向量状态
方程的解。
○ 为此,设其解为t的向量幂级数,即 ● x(t)=q0+q1t+q2t2+…+qktk+…
直接求解法 点击此处添加正文，请言简意赅的阐述观点。
拉氏变换法 讨论非齐次状态方程的解,以及
解表达式的意义 点击此处添加正文，请言简意赅的阐述观点。
输出方程的解 点击此处添加正文，请言简意赅的阐述观点。
目 录
一．直接求解法
○ 将状态方程x’=Ax+Bu移项,可得 ○ x’-Ax=Bu
将上式两边左乘以e-At,则有
线性定常连续系统状态方程的解 ❖ 求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基础,是进行定量分
析的主要方法。
❖ 本节讲授的状态方程求解理论是建立在状态空间上,以矩阵代数 运算来描述的定系数常微分方程解理论。
❖ 下面基于矩阵代数运算的状态方程解理论中,引入了状态转移矩 阵这一基本概念。
❖ 该概念对我们深刻理解系统的动态特性、状态的变迁(动态演变) 等都是非常有帮助的,对该概念必须准确掌握和深入理解。
四．对于n n阶的d 方e 阵A tA 和A Be ,A 下t 式e A 仅tA 当,AB =( BtA)时 才A 成(t立) (t)A d t ○ e(A+B)t=eAteBt
五．[Φ(t)]n=Φ(nt) 六．Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)=Φ(t2-t0)
状态变量分析
RiL (t)
vs
（3）消除中间变量 vC2，将 vC2 vS vC1 代入，得
C1
d vC1 dt
iL
C2
d(vS vC1 ) dt
0
（4）整理，得
diL dt
R L iL
1 L vC1
1 L vS
d
vC1
dt
1 C1 C2
iL
C2 C1 C2
dvS dt
写成矩阵形式，为
diL
x2
dx1 dt
(b1 a1b2 ) f
dy dt
b2
df dt
(b1 a1b2 ) f
正如前面所述，状态变量的选取可以是多种形式的。
输出方程为 y x1 b2 f
写成矩阵形式，为
y 1
0
x1 x2
b2
f
7.2.4 从模拟图建立状态方程
根据系统的输入－输出方程或系统函数可以作出系 统的时域或复频域模拟图，然后选择每一个积分器的输 出端信号作为状态变量，最后得到系统的状态方程和输 出方程。
信号与系统
第七章 状态变量分析
第七章 状态变量分析
状态变量分析概述 7.1 状态与状态空间 7.2 连续系统状态方程的建立 7.3 系连续系统状态方程的 本章要点
状态变量分析概述
系统的描述方法 – 输入－输出描述法、状态变量描述法
输入－输出描述法（端口分析法、外部法） – 用系统的输入－输出变量之间的关系来描述系统的 特性； – 数学模型是 n 阶微分（或差分）方程。
方程。
iS (t)
解 选取 vC (t) 和 iL (t) 为状态变量， 它们都是独立的状态变量。
vC
(t)
现代控制工程-第二章线性系统的状态空间描述
1 x3 s
1 s
1 x1 s
y(t )
2
3
8 64
解：第一步：化简方框图，使得整个系统只有标准积分器（1/s）、 比例器（k）及加法器组成。 第二步：将上述调整过的结构图中的每个标准积分器（1/s） 的输出作为一个独立的状态变量xi，积分器的输入端就是状态变 量的一阶导数dxi/dt。 第三步：写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统 的状态方程。
y Cx Du
图2－2 系统动态方程的方块图结构
状态空间分析法具有下列优越之处：
便于在数字计算机上求解；
容易考虑初始条件； 能了解并利用处于系统内部的状态信息； 数学描述简化；
适于描述多输入－多输出、时变、非线性、随机、离散等各类 系统，是最优控制、最优估计、辨识、自适应控制等现代控制系 统的基本描述方法。
例2.2.3求如图所示系统的动态方程。
（a）系统方块图
u(t )
s 1 s2
1 s3
1 s 2 8s 64
y(t )
（b）第一次等效变换
1 s3
u(t )
1 s2
1 s( s 8)
y(t )
64
（c）由标准积分器组成的等效方块图
u(t )
1 x4 s
(2-5)
y t cx t du(t )
，cn ，d为直接联系输入量、输出量 其中 c c1，c2， 的前向传递（前馈）系数，又称前馈系数。
多输入－多输出（含q个输出变量）线性定 常连续系统的输出方程一般表达形式为：
y1 c11 x1 c1n xn d11u1 d1 pu p yq cq1 x1 cqn xn d q1u1 d qp u p
第八章 状态方程
dt
化简，得
d eAtλ t eAt Bet
dt
两边取积分，并考虑起始条件，有
eAtλ tλ 0
t eA Be( ) d
0
对上式两边左乘 e A，t 并考虑到 eAteAt I ，可得
λ为t方 程eA的tλ 一0般解0t eAt Be d eAtλ 0 eAt B et
求输出方程r(t)
et b1
dk 1 dt k1
et
bk1
d dt
et bket
此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为
k 次系统函数为
H
s
b0sk b1sk1 bk1s bk sk a1sk1 ak1s ak
为便于选择状态变量，系统函数表示成
H
s
b0
b1s1
bk
s1k
1
bk sk
d λ t， 输出为 λ t。
dt
若 A,B,C矩, D阵是 的函t数，表明系统是线性时变
的，对于线性时不变系统，A,B,C的, D各元素都为常
数，不随 t改变。
状态变量的特性
每一状态变量的导数是所有状态变量和输 入激励信号的函数；
每一微分方程中只包含有一个状态变量对 时间的导数；
输出信号是状态变量和输入信号的函数；
1 a1s1
ak
s1k
1
ak sk
当用积分器来实现该系统时，其流图如下
et 1
b0
1 s k a1
b1 b2
1 sk1
a2
bk 2
bk 1
3 1 s 2 1 s 1 bk
r t
ak2 ak1
ak
取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的
化简，得
d eAtλ t eAt Bet
dt
两边取积分，并考虑起始条件，有
eAtλ tλ 0
t eA Be( ) d
0
对上式两边左乘 e A，t 并考虑到 eAteAt I ，可得
λ为t方 程eA的tλ 一0般解0t eAt Be d eAtλ 0 eAt B et
求输出方程r(t)
et b1
dk 1 dt k1
et
bk1
d dt
et bket
此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为
k 次系统函数为
H
s
b0sk b1sk1 bk1s bk sk a1sk1 ak1s ak
为便于选择状态变量，系统函数表示成
H
s
b0
b1s1
bk
s1k
1
bk sk
d λ t， 输出为 λ t。
dt
若 A,B,C矩, D阵是 的函t数，表明系统是线性时变
的，对于线性时不变系统，A,B,C的, D各元素都为常
数，不随 t改变。
状态变量的特性
每一状态变量的导数是所有状态变量和输 入激励信号的函数；
每一微分方程中只包含有一个状态变量对 时间的导数；
输出信号是状态变量和输入信号的函数；
1 a1s1
ak
s1k
1
ak sk
当用积分器来实现该系统时，其流图如下
et 1
b0
1 s k a1
b1 b2
1 sk1
a2
bk 2
bk 1
3 1 s 2 1 s 1 bk
r t
ak2 ak1
ak
取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的
连续系统
（4.3.9）式的解的形式是：
2
(4.3.9)
( y ) C1 sin t C2 cos y a a
(4.3.10)
其中， C1 与 C2 是待定系数，它们由轴的边界条件决定。常见的扭转振动时轴的边界条件 为： 自由端：
y 0 时，GJ (0, t ) GJ (0)T (t ) 0 ，即 (0) 0 y l 时，GJ (l , t ) GJ (l )T (t ) 0 ， 即 (l ) 0
3
但是在工程中有实际意义的，只有有限个低阶频率。
X i ( x) Ai sin
前三阶主振型如图 4.2-3(a)所示。
(2i 1) x 2l
(i 1, 2,3,)
(1) (2) (3)
f (1) f (2) f (3)
(a)
图 4.2-3
(b)
如果 k ，该边界相当于固定边界，频率方程为
(4.3.8)
关于（4.3.6）式，只有某些典型的轴，如 I ( y ) / GJ ( y ) 可按某种函数形式表达时，才可 假定 1/ a I ( y ) / GJ ( y ) ， 则 （4.3.6） 能找到精确解答。 对于均匀轴，I ( y ) 与 GJ ( y ) 是常数，
2
式可改写成：
( y ) ( y ) 0 a
( y, t ) ( y, t ) I ( y )
（4.3.2）
( y, t ) 代表扭转角加速度。 其中， I ( y ) 代表单位长度的梁对扭转轴的转动惯量；
将（4.3.2）式代入（4.3. 1b ）式中，并引用扭角与力矩 M 的关系式，得到扭转自由振 动的微分方程：
2 [GJ ( y ) ] I ( y ) 2 0 y y t
2
(4.3.9)
( y ) C1 sin t C2 cos y a a
(4.3.10)
其中， C1 与 C2 是待定系数，它们由轴的边界条件决定。常见的扭转振动时轴的边界条件 为： 自由端：
y 0 时，GJ (0, t ) GJ (0)T (t ) 0 ，即 (0) 0 y l 时，GJ (l , t ) GJ (l )T (t ) 0 ， 即 (l ) 0
3
但是在工程中有实际意义的，只有有限个低阶频率。
X i ( x) Ai sin
前三阶主振型如图 4.2-3(a)所示。
(2i 1) x 2l
(i 1, 2,3,)
(1) (2) (3)
f (1) f (2) f (3)
(a)
图 4.2-3
(b)
如果 k ，该边界相当于固定边界，频率方程为
(4.3.8)
关于（4.3.6）式，只有某些典型的轴，如 I ( y ) / GJ ( y ) 可按某种函数形式表达时，才可 假定 1/ a I ( y ) / GJ ( y ) ， 则 （4.3.6） 能找到精确解答。 对于均匀轴，I ( y ) 与 GJ ( y ) 是常数，
2
式可改写成：
( y ) ( y ) 0 a
( y, t ) ( y, t ) I ( y )
（4.3.2）
( y, t ) 代表扭转角加速度。 其中， I ( y ) 代表单位长度的梁对扭转轴的转动惯量；
将（4.3.2）式代入（4.3. 1b ）式中，并引用扭角与力矩 M 的关系式，得到扭转自由振 动的微分方程：
2 [GJ ( y ) ] I ( y ) 2 0 y y t
系统的状态空间分析
系统有p个输入：f1, f2 , f p.
则状态方程为：
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11 f1 b12 f2 b1p f p x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b21 f1 b22 f2 b2 p f p xn an1x1 an2 x2 ann xn bn1 f1 bn2 f2 bnp f p
二、状态空间分析法的应用及优点：
1、可以提供系统的内部信息，使人们能够比较容易地解 决那些与系统内部情况有关的分析设计问题。
2、不仅适用于线性、时不变、单输入单输出系统分析， 也适用于非线性、时变、多输入多输出系统分析。
3、描述方法规律性强，便于用计算机解决复杂系统的分 析设计问题。
第第88--33页页
信号与系统 电电子子教教案案
8.1 系统的状态空间描述
输出方程： 描述系统输出、输入、状态之间关系的代数方程组。
输出方程一般形式：
设n阶系统有n个状态、p个输入、q个输出，则输出方程为：
y1 c11x1 c12x2 c1n xn d11 f1 d12 f2 d1p f p
设t0时刻的初始状态为：x1(t0 ), x2 (t0 )......, xn (t0 ). 则系统的状态变量— — 任一时刻t的状态为：
x1(t), x2 (t)......, xn (t)
第第88--66页页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电电子子教教案案
8.1 系统的状态空间描述
xn (k 1) an1
an2
ann
xn
( k )
bn1
bn 2
bnp
f p
则状态方程为：
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11 f1 b12 f2 b1p f p x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b21 f1 b22 f2 b2 p f p xn an1x1 an2 x2 ann xn bn1 f1 bn2 f2 bnp f p
二、状态空间分析法的应用及优点：
1、可以提供系统的内部信息，使人们能够比较容易地解 决那些与系统内部情况有关的分析设计问题。
2、不仅适用于线性、时不变、单输入单输出系统分析， 也适用于非线性、时变、多输入多输出系统分析。
3、描述方法规律性强，便于用计算机解决复杂系统的分 析设计问题。
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8.1 系统的状态空间描述
输出方程： 描述系统输出、输入、状态之间关系的代数方程组。
输出方程一般形式：
设n阶系统有n个状态、p个输入、q个输出，则输出方程为：
y1 c11x1 c12x2 c1n xn d11 f1 d12 f2 d1p f p
设t0时刻的初始状态为：x1(t0 ), x2 (t0 )......, xn (t0 ). 则系统的状态变量— — 任一时刻t的状态为：
x1(t), x2 (t)......, xn (t)
第第88--66页页
■
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信号与系统 电电子子教教案案
8.1 系统的状态空间描述
xn (k 1) an1
an2
ann
xn
( k )
bn1
bn 2
bnp
f p
《自动控制原理》线性定常离散系统状态方程的建立及求解
向量－矩阵形式为
x1 (k + 1) 0 1 0 0 x1 (k) 0
x2 (k
+ 1)
0
0
1
0
x2 (k)
0
= 0 0 0 0 + u(k)
xn−1
(k
+
1)
0
0
0
1
x
n−1
(k
)
0
xn (k + 1) − a0 − a1 − a2 − an−1 xn (k) 1
量和输入量：ai ,bi (i = 0,1,2,, n且an = 1) 为表征系统特性的常系
数。考虑初始条件为零时的z变换关系有
[ y(k)] = Y (z), [ y(k + i)] = ziY (z)
对式(9—87)两端取z变换并加以整理可得
G(z)
=
Y (z) U (z)
=
bn z n + bn−1 z n−1 + + b1 z + b0 z n + an−1 z n−1 + + a1 z + a0
（9－95）
三、线性定常离散动态方程的解
求解离散动态方程的方法友递推法和z变换法，这里只介绍常
用的递推法，对z变换法感兴趣的读者可参阅有关书籍。下面以解
离散化状态方程为例来说明如何使用递推法求解。令式（9－93）
中的k = 0,1,, k −1可得到 T,2T,, kT 时刻的状态，即
k = 0 : x(1) = (T )x(0) + G(T )u(0)
=
bn
+
z n−1 n−1
+
第七章 连续与离散系统的状态变量分析
0
tbf ( )ea(t )d
0
eat bf (t)
y(t) y(0)eat eat bf (t)
对状态方程
X(t) AX(t) Bf (t)
其解
x(t) eAtx(0) t eA(t )Bf ( )d 0 eAtx(0) eAt Bf (t)
7.1 线性系统状态方程
状态变量的概念
状态变量是一组反映系统内部状态变化规律的量。如x1( t)， x2(t)，， xn(t)，它们在t = t0时刻的数值连同t t0时的输入，可以唯一地确定t > t0任一时刻的状态和其它
各个响应。
在电系统中，独立的电容上电压uC(t)和电感电流iL(t)有
➢ 级联系统
以积分器的输出为状态变量x，则有
图3
x1 a1x1 x2 x2 a2x2 f (t) 即
x1
x2
a1
0
1
a2
x1
x2
0 1
f (t)
➢ 输出方程
以状态变量和输入信号表示的代数方程组。
资格称为状态变量。
状态方程与输出方程
例 对图1，由KCL和KVL，得
L
diL dt
R2iL
uC
0
C
duC dt
uC R1
iL
0
即有
duC
dt diL
1
R1C 1
dt L
1
C R2 L
最新状态方程的建立一电路状态方程的列写二由输入输出方ppt课件
物理学及电子信息工程系
第八章 系统的状态变量分析
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
例：电路如图，以电阻R1上的电压uR1和电阻R2上的电流iR2为输出，列写电路的状态方程和输 出方程。
u iR R 2 1 ((tt)) R 0 1 R 1 0 2 x x 1 2 ( (tt) ) 0 0 0 R 1 2 u u s s a1 2( (tt) )
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第八章 系统的状态变量分析
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例2 某系统框图如图，状态变量如图标示，试列出其状态方程
和输出方程。
解 对三个一阶系统
x1x1y2
∑ f(t)
y2(t)
1 x1(t) s4 x2(t)
s1
s2
y1(t)
其中， y2= f - x3
x3(t) 1
x x 1 2 31 02 x x1 2 1 1 [f]
系统输出端，有 y(t) =2 x2
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第八章 系统的状态变量分析
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方法三： H (s)2 (s 4 )6 4 s2 3 s 2s 1s 2
画出并联形式的信号流图
长 的 时 间 隧 道，袅
的建立一电路状态方程的列写二由输
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前面的分析方法称为外部法，它强调用系统的输入、输出 之间的关系来描述系统的特性。其特点： （1）只适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系统，将 增加复杂性； （2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的内部情况 一无所知，也无法控制。
8.2 连续系统状态方程的建立
第六章线性系统的状态方程
状态变量分析法的优点：1. 便于观察系统内部某些物理量的变化过程；2. 与系统的复杂程度无关，复杂系统和简单系统的数学模型相似，适于多输入多输出系统;3. 适于研究非线性或时变系统。
因为一阶微分方程或差分方程是研究非线性和时变系统的有效方法。
4. 便于研究系统的稳定性、可控性、可观测性及系统内部参数变化对系统特性的影响；5. 状态方程都是一阶微分方程或差分方程，便于采用数值解法在计算机上实现系统分析。
系数矩阵由系统的参数决定，非时变系统为常数，时变系统为时间的函数。
,A B 四、输出方程(output equation))(,),(),(21t y t y t y r Λ输出方程是由状态变量和激励信号的线性方程，因此对线性系统而言，输出方程是一组线性方程。
例如，假设系统有个输出，r mrm r r n rn r r r mm n n mm n n e d e d e d x c x c x c t y e d e d e d x c x c x c t y e d e d e d x c x c x c t y +++++++=+++++++=+++++++=ΛΛMΛΛΛΛ22112211222212122221212121211112121111)()()(则,A B矩阵形式为：)(10081910120010321'3'2'1t e x x x x x x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡01000112198⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦A 依此方法选择的状态变量常称为相变量状态变量，状态方程叫相变量状态方程。
状态方程和输出方程中的系数矩阵与输入输出方程有关。
[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3210410)(x x x t y 001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B []1040=C 0=D矩阵形式为：1211012110''13'22'1)()(+--+++=+----====m m n n n nn x b x b x b t y t e x a x a x a x x xx x x x ΛΛM )(1000100010211210''2'1t e x x x a a a a x x x n n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-M M ΛM ΛΛM[]001111n n n n n nb b a b b a b b a b --∴=---=C D L 当时，矩阵不再为0。
《自动控制原理》线性定常连续系统状态空间表达式的建立
+ (bn−2 − h2 − an−1h1 − an−2h0 )u(n−2) ++ (b1 − hn−1 − an−1hn−2 − an−2hn−3 −− a1h0 )u
+ (b0 − an−1hn−1 − an−2hn−2 −− a1h1 − a0h0 )u
选择 h0 , h1, hn−1 ，使得上式中u的各阶导
的次数n。为了避免在状态方程中出现u的导
数项，可以选择如下的一组状态变量。
设
bn
0
，选取： x1 = y − h0u
xi = xi−1 − hi−1u， i = 2,3,, n
其中h0, h1, , hn−1是n个待定系数
x• • •
xi = xi−1 − hi−1u • • •
x1
+
1 L
u ( t)
x2 0
y=0
x1
1
x2
令 x=x 1x2T 为状态向量
则： x • =−
R−
L
1 L
x+
1
L u ( t)
1 c
0
0
y=0 1 x
补充：
• 由（A,B,C,D) 画状态变量图 • 由电路→基本方程→状态变量图→(A,B,C,D) • 状态变量选取不唯一 • D0的解释 • 充放电过程的解释 • 状态方程的稳态求解
（1）求其状态空间表达式 （2）画出其状态变量图
解：选 x1 = y
.
x2 = y
..
x3 = y
则： x1 = x2 x2 = x3
x3 = −6x1 − 8x2 − 5x3 + 3u
y = x1
状态空间表达式为
+ (b0 − an−1hn−1 − an−2hn−2 −− a1h1 − a0h0 )u
选择 h0 , h1, hn−1 ，使得上式中u的各阶导
的次数n。为了避免在状态方程中出现u的导
数项，可以选择如下的一组状态变量。
设
bn
0
，选取： x1 = y − h0u
xi = xi−1 − hi−1u， i = 2,3,, n
其中h0, h1, , hn−1是n个待定系数
x• • •
xi = xi−1 − hi−1u • • •
x1
+
1 L
u ( t)
x2 0
y=0
x1
1
x2
令 x=x 1x2T 为状态向量
则： x • =−
R−
L
1 L
x+
1
L u ( t)
1 c
0
0
y=0 1 x
补充：
• 由（A,B,C,D) 画状态变量图 • 由电路→基本方程→状态变量图→(A,B,C,D) • 状态变量选取不唯一 • D0的解释 • 充放电过程的解释 • 状态方程的稳态求解
（1）求其状态空间表达式 （2）画出其状态变量图
解：选 x1 = y
.
x2 = y
..
x3 = y
则： x1 = x2 x2 = x3
x3 = −6x1 − 8x2 − 5x3 + 3u
y = x1
状态空间表达式为
9-1 连续系统状态空间方程建立.ppt
13
8、离散系统状态空间方程建立
1) 选状态变量：独立、完备 一般可选信号流图中延迟器的输出；
2) 列写初始方程，消去非状态变量、整理化 简方程为标准型方程：
X(k 1) AX(k) Bf(k) 3) 列写输出方程，并整理为标准型方程：
Y(k) CX(k) Df(k)
14
例1： 已知： y(k) 3y(k 1) 7 y(k 2) 5y(k 3 ) 6 f(k)，
X(s)φ(s)X(0- )φ(s)BF(s) Y(s) CX(s) DF(s)
φ(s) [s1 A]1
Cφ(s)X(0- ) H(s)F(s)
状态预解矩阵 H(s) Cφ(s)B D 系统函数矩阵
零输入分量：Xzi(s)φ(s)X(0- ) 零输入响应：Yzi(s) Cφ(s)X(0- )
零状态分量：Xzs(s)φ(s)BF(s) 零状态响应：Yzs(s) H(s)F(s)
18
3、系统函数矩阵与单位冲激响应矩阵
1）系统函数矩阵
H11(s)
H(
s)
H
21(s)
H
q1
(s)
H(s) Cφ(s)B D
H12(s) H1m (s) H22(s) H2m (s)
Hq2 (s) Hqm (s)
4
例1、图示电路， 1、 选择状态变量
iL，uc
2、以 x1= uc，x2= iL作为状态变 量列写系统的状态方程；
0.5
dx1 dt
i s iR
x2
2
dx2 dt
x1
2x2
3、写出uL、 iR为响应的输出方程。
5
2、已知系统模型列写（间接列写法）
1) 已知系统微分方程列写状态空间方程。
8、离散系统状态空间方程建立
1) 选状态变量：独立、完备 一般可选信号流图中延迟器的输出；
2) 列写初始方程，消去非状态变量、整理化 简方程为标准型方程：
X(k 1) AX(k) Bf(k) 3) 列写输出方程，并整理为标准型方程：
Y(k) CX(k) Df(k)
14
例1： 已知： y(k) 3y(k 1) 7 y(k 2) 5y(k 3 ) 6 f(k)，
X(s)φ(s)X(0- )φ(s)BF(s) Y(s) CX(s) DF(s)
φ(s) [s1 A]1
Cφ(s)X(0- ) H(s)F(s)
状态预解矩阵 H(s) Cφ(s)B D 系统函数矩阵
零输入分量：Xzi(s)φ(s)X(0- ) 零输入响应：Yzi(s) Cφ(s)X(0- )
零状态分量：Xzs(s)φ(s)BF(s) 零状态响应：Yzs(s) H(s)F(s)
18
3、系统函数矩阵与单位冲激响应矩阵
1）系统函数矩阵
H11(s)
H(
s)
H
21(s)
H
q1
(s)
H(s) Cφ(s)B D
H12(s) H1m (s) H22(s) H2m (s)
Hq2 (s) Hqm (s)
4
例1、图示电路， 1、 选择状态变量
iL，uc
2、以 x1= uc，x2= iL作为状态变 量列写系统的状态方程；
0.5
dx1 dt
i s iR
x2
2
dx2 dt
x1
2x2
3、写出uL、 iR为响应的输出方程。
5
2、已知系统模型列写（间接列写法）
1) 已知系统微分方程列写状态空间方程。
K3.02-连续系统状态方程的建立-由RLC电路
掌握rlc电路状态变量的选择方法和状态方程输出方程的建立方法连续系统状态方程的建立由rlc电路k302连续系统状态方程的建立由rlc电路1状态变量的选取
连续系统状态方程的建立-由RLC电路
知识点K3.02
连续系统状态方程的建立-由RLC电路
主要内容：
RLC电路状态方程的建立方法
基本要求：
掌握RLC电路状态变量的选择方法和状态方程/输出方程的建立方法
输出变量:
y1 uL2 , y2 uab
列状态方程: 第一步:关于 L1x1, L2x2 (电感电压)列KVL方程：
L1x1 uL1 f1 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f1 f2 L2 x2 uL2 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f2
1
连续系统状态方程的建立-由RLC电路 K3.02 连续系统状态方程的建立-由RLC电路 (1)状态变量的选取:一般选电容电压和电感电流。 例1
选择uc1、uc2、iL为 状态变量
选择:uc1、iL 或者 uc2、iL为状态变量
2
连续系统状态方程的建立-由RLC电路
iL1
L1
iL3
iL2 L3
L2
状态变量: x1 iL1, x2 iL2 , x3 uC
输出变量:
y1 uL2 , y2 uab
列输出方程：
y1
y2
uL2 uab
L2 x2 Rx1 Rx2 x3 f2 ic R f2 Rx1 Rx2 f2
矩阵形式：
y1
y
2
R R
R R
1 0
x1 x2 x3
0 0
1 f1L2
f2
x3
1 C
连续系统状态方程的建立-由RLC电路
知识点K3.02
连续系统状态方程的建立-由RLC电路
主要内容：
RLC电路状态方程的建立方法
基本要求：
掌握RLC电路状态变量的选择方法和状态方程/输出方程的建立方法
输出变量:
y1 uL2 , y2 uab
列状态方程: 第一步:关于 L1x1, L2x2 (电感电压)列KVL方程：
L1x1 uL1 f1 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f1 f2 L2 x2 uL2 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f2
1
连续系统状态方程的建立-由RLC电路 K3.02 连续系统状态方程的建立-由RLC电路 (1)状态变量的选取:一般选电容电压和电感电流。 例1
选择uc1、uc2、iL为 状态变量
选择:uc1、iL 或者 uc2、iL为状态变量
2
连续系统状态方程的建立-由RLC电路
iL1
L1
iL3
iL2 L3
L2
状态变量: x1 iL1, x2 iL2 , x3 uC
输出变量:
y1 uL2 , y2 uab
列输出方程：
y1
y2
uL2 uab
L2 x2 Rx1 Rx2 x3 f2 ic R f2 Rx1 Rx2 f2
矩阵形式：
y1
y
2
R R
R R
1 0
x1 x2 x3
0 0
1 f1L2
f2
x3
1 C
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对列出的方程，只保留状态变量和输入激励，设法消 去其它中间的变量，经整理即可给出标准的状态方程。
对于输出方程，通常可用观察法由电路直接列出。
▲
■
第2页
由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤：
（1）选电路中所有独立的电容电压和电感电流作为 状态变量； （2）对接有所选电容的独立结点列出KCL电流方程， 对含有所选电感的独立回路列写KVL电压方程； （3）若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状 态变量，则利用适当的KCL、KVL方程将它们消去， 然后整理给出标准的状态方程形式； （4）用观察法由电路或前面已推导出的一些关系直 接列写输出方程，并整理成标准形式。
§8.2 连续系统状态方程的建立
一、由电路图直接建立状态方程
uC1
首先选择状态变量 。
通常选电容电压和电 感电流为状态变量。
必须保证所选状态变 量为独立的电容电压 和独立的电感电流。
uC2
uC3
(a) 任选两个电容电压 独立
iL1
iL3
iL2
uC1
us
uC2
(b) 任选一个电容电压 独立
iL1
is
iL2
解：由微分方程不难写出其系统函数 方法一：画出直接形式的信号流图
H (s)
2(s 4) s2 3s 2
设状态变量x1(t)、 x2(t) 由后一个积分器，有
x1 x2
由前一个积分器，有
1 f(t)
x2 2x1 3x2 f
系统输出端，有 y(t) =8 x1+2 x2
(t ) (t)
L 0
R2C
▲
0 1
uuss21
(t) (t)
R2C
■
第4页
二、由输入-输出方程建立状态方程
这里需要解决的问题是：
已知系统的外部描述（输入-输出方程、系统函数、 模拟框图、信号流图等）；如何写出其状态方程及输 出方程。
具体方法：
s 4 4s 3
H (s) 1
s
0
3 s2
1 s 4
4s 3
1 1
s
s2
111
4s 3
s2
s
1 4s
3
y+4 y + 3y= f (t) + f (t)
▲
■
第 12 页
补充内容
• 将例1中的方法2：x1—x2，试试看？ • 并联形式：对角阵
sX(s)
4 3
10X(s) 11F (s)
(sI
4 3
1 0)X(s)
1 1
F
(s)
Y(s) 1 0X(s)
X(s)
(sI
4 3
1 0)
1
1 1
F
(s)
Y (s) 1
0(sI
x3 3x3 x2 x3 x2 3x3
输出方程 y1(t) = x2 y2(t) = -x3 + f
▲
■
第9页
三、由状态方程列输入-输出方程
例3 已知某系统的动态 方程如下，列出描述y(t) 与f(t)之间的微分方程。
x(t)
பைடு நூலகம்
4 3
10x(t) 11[ f (t)]
-1
-2
设中间变量 y1(t) y1 x1 4x1 3x1 f
x2 y1 2x2 3x1 2x2 f
x1 x2
1
3
0 2
x1 x2
1 1[
f
]
系统输出端，有 y(t) =2 x2
▲
■
第7页
方法三
H (s)
2(s 4) s2 3s 2
s
6 1
4 s2
画出并联形式的信号流图
设状态变量x1(t)、 x2(t)
x1 x1 f
f(t)
x2 2x2 f
x1
x2
1
0
0 2
x1 x2
y+a y + by=(13 –4a +b) x1+(–4+a) x2+ f (t) +(a–3) f (t) a=4，b=3 y+4 y + 3y= f (t) + f (t)
▲
■
第 10 页
解法二 对方程取拉氏变换，零状态。
x(t
)
4 3
10x(t) 11[ f (t)]
0 1
R2
us1 us2
(t) (t)
C
uS2
R2iR2(t) + uS2(t) - x2(t) = 0
代入整理得 输出方程：
x1(t)
x2
(t
)
R1
L 1
C
uR1(t) = R1x1(t)
1 L
1
1
x1 x2
2
s 1
s1 8
-3 x2 x1
-2
▲
■
y(t)
第6页
方法二：
H (s)
2(s 4) s2 3s 2
s4 s 1
s
2
2
画出串联形式的信号流图
1
x x 设状态变量x1(t)、 x2(t)
1 1 s1 4 y1 1
f(t)
x1
2 s1 2
x2 y(t)
x1 x1 f
x1 x1 y2
∑ f(t)
1 x1(t) s 4 x2(t)
s 1
s2
y1(t)
其中， y2= f - x3
x3(t) 1
x1 x1 x3 f
s3
x2 2x2 x1 4x1 3x1 x3 f
x2 3x1 2x2 x3 f
y(t) 1 0x(t)
解法一 由输出方程得 y(t)=x1(t)
y (t)=x1(t) = – 4 x1(t) + x2(t)+ f(t)
y(t)=– 4 x1(t) + x2(t)+ f (t) =–4[–4 x1(t) + x2(t)+ f (t)] + [–3 x1(t) + f (t)] + f (t) =13 x1(t) –4x2(t) –3 f (t) + f (t)
11[
f
]
系统输出端，有 y(t) = 6x1 -4 x2
x 1 1 s1
6
x1
-1
x 1 2s1
-4
y(t)
x2
-2
可见H(s)相同的系统， 状态变量的选择并不 唯一。
▲
■
第8页
例2 某系统框图如图，状态变量如图标示，试列 出其状态方程和输出方程。
解 对三个一阶系统
y2(t)
▲
■
第3页
例：电路如图，以电阻R1上的电压uR1和电阻R2上的电 流iR2为输出，列写电路的状态方程和输出方程。
解 选状态变量
a R1 iL L a R2 iR2
x1(t) = iL(t), x2(t) = uC(t)
uR1
uS1
uC
LC消uiRxxR去2112((((tttt)i)))R++2R(ti1)Rx,列R210((1tt)右)+=R网x10x22(1孔t()t)Kx=x12V(u(ttSL))1(方t) 程00：
（1）由系统的输入-输出方程或系统函数，首先画出 其信号流图或框图； （2）选一阶子系统(积分器）的输出作为状态变量； （3）根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方 程； （4）在系统的输出端列输出方程。
▲
■
第5页
例1 某系统的微分方程为
y(t) + 3 y (t) + 2y(t) = 2 f (t) +8 f (t) 试求该系统的状态方程和输出方程。
四种非独立的电路结构 (c) 任选两个电感电流 独立
(d) 任选一个电感电流 独立
■
第1页
状态方程的建立：
根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。
由于
iC
C
d uC dt
uL
L
d iL dt
为使方程中含有状态变量uC的一阶导数 ， 可对接有该电容的独立结点列写KCL电流方程；
为使方程中含有状态变量iL的一阶导数 ， 可对含有该电感的独立回路列写KVL电压方程。
4 3
10)
1
1 1
F
(s)
▲
■
第 11 页
H (s) Y (s) 1
F (s)
0(sI
4 3
10)1
1 1
(sI
4 3
1 0
)
1
s
3
4
s 1
1 1
s
3 s2
串联形式：三角阵 重根形式：Jordan阵（任何矩阵都和约当阵 相似）
▲
■
第 13 页