解一元二次方程及不等式的解法
一元二次方程的解法及一元二次不等式的解法
方程一边是0, ①因式分解法 (方程一边是 ,另一边整式容易因式分解) ②直接开平方法 ( (x+m)2=k k≥0 ) ③公式法 (化方程为一般式) 化方程为一般式) 化方程为一般式 ④配方法 二次项系数为1,而一次项系数为偶数) (二次项系数为 ,而一次项系数为偶数)
用三种不同的方法 解方程3x 5 x = 2
∴x 2 = 0或3x +1 = 0 1 ∴x1 = 2, x2 = 3
用配方法解
解:
两边同时除以3, 两边同时除以 ,得:
3x 5 x = 2
2
步骤
①二次项系数化1 二次项系数化 ②移项
5 2 x x= 3 3
2
左右两边同时加上(
x
2
5 25 x + 3 36
5 ,得: )2 6
2 25 = + . 3 36
变式练习2.关于 的不等式 的不等式ax 变式练习 .关于x的不等式 2+bx+c<0的解 的解 集为{x|x<-1或x>2}.解不等式 2-bx+c>0. 解不等式ax 集为 或 解不等式 小结:( )根据解集, 小结 (1)根据解集,确定二次项系数的符号 (a<0); ; 的关系:b=-a, (2)由韦达定理确定 ,b,c的关系 )由韦达定理确定a, , 的关系 , c=-2a ; 代入要求解的不等式, (3)把b=-a,c=-2a代入要求解的不等式,进 ) , 代入要求解的不等式 而解不等式 -3x2+4x+4>0.
即解不等式: 即解不等式 3x2-4x-4<0. 第一步:解方程3x 第一步:解方程 2-4x-4=0,得x1=2,x2=-2/3. , , 第二步:画出抛物线y=3x2-4x-4的草图; 的草图; 第二步:画出抛物线 的草图 第三步:根据抛物线的图象,得出不等式 第三步:根据抛物线的图象,得出不等式3x2-4x-4<0的 的 解集为{x|-2/3<x<2}. 解集为
第1讲 一元二次方程与一元二次不等式解法
ax b k(k 0, a 0)， 即ax b k或ax b k(k 0, a 0)
按一元一次方程求解
（2）提公因式：形如ax2 bx 0(a 0) 提公因式得
x(ax b) 0(a 0)Leabharlann x 0，x b (a 0) a
（3）求根公式法：
1.方程ax2 bx c 0(a 0)的判别式 b2 4ac
2.三个一元二次之间的关系：
判别△=b2-4ac
△> 0
△= 0
ax2+bx+c =0
有两相异实 有两相等实根
(a>0)根 y =ax2+bx+c
根x1,x2 (x1<x2) x1=x2=
b
2a
y
y
(a>0)的图象
x1 O x2 x
△< 0 没有实根
y
ax2+bx+c >0(a>0)
的解集
{x|x<x1,x>x2}
2.方程ax2 bx c 0(a 0)有无实数根判定方法
（1）当 0时，方程有两个不相等的实数根。
（2）当 0时，方程有两个相等的实数根。
（3）当 0时，方程没有实数根。
3.方程ax2
bx c
0(a
0)的求根公式x1
b 2a
， x2
b 2a
4.韦达定理（根与系数的关系）：
方程ax2
Ox
x
{x|x≠ 1
b 2a
}
x
O
R
ax2+bx+c <0(a>0) 的解集
{x|x1<x<x2}
【例2】解下列不等式：
解一元二次不等式的口诀及步骤
解一元二次不等式的口诀及步骤
解一元二次不等式的口诀是什么，解题方法和步骤又是什么呢？需要了解的小伙伴们看过来，下面由小编为你精心准备了“解一元二次不等式的口诀及步骤”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯!
解一元二次不等式口诀
首先化成一般式，构造函数第二站;判别式值若非负，曲线横轴有交点;a正开口它向上，大于零则取两边;代数式若小于零，解集交点数之间;方程若无实数根，口上大零解为全;小于零将没有解，开口向下正相反。
一元二次不等式，是指含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。
它的一般形式是ax²+bx+c>0、ax²+bx+c≠0、ax²+bx+c<0(a不等于0)。
解一元二次不等式的步骤
1、把二次项系数变成正的;
2、画数轴，在数轴上从小到大依次标出所有根;
3、从右上角开始，一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过(即遇到含x的项是奇次幂就穿过，偶次幂就跨过);
4、注意看看题中不等号有没有等号，没有的话还要注意舍去使不等式为0的根。
扩展资料
数轴穿根法适用于所有的不等式。
用根穿孔法求解高阶不等式时，先将不等式的一端化为零，然后在另一端分解，得到其零点。
这些零点标记在数字轴上，然后使用平滑曲线从X轴右端的顶部穿过这些零点。
大于零的不等式解对应于x轴上曲线上部实数x的一组小于零的值。
相反地。
这种方法被称为序贯轴根部穿孔法，也被称为“根部穿孔法”。
口诀是“从右到左，从上到下，奇穿偶不穿。
”。
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法【知识归纳】1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)．(2)求出相应的一元二次方程的根.(3)利用二次函数的图像与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a >0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根 ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1或x >x 2} {x |x ≠x 1} {x |x ∈R } ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1< x <x 2} ∅ ∅【难点提升】1．一元二次不等式的解集及解集的确定 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0 (a ≠0)的解集的确定受a 的符号、b 2－4ac 的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)的图像，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(其中a >0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x 1，x 2(x 1<x 2) (此时Δ＝b 2－4ac >0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．【学前强化】1．不等式x 2<1的解集为________．2．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是____________．3．已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为_____________．4．不等式x －12x ＋1≤0的解集为 ( ) A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞)5．若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为{x |－2<x <14}，则ab 等于( ) A ．－28 B ．－26 C ．28 D ．266．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0， 则不等式f (x )>f (1)的解集是________．7．已知f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为(－3,2)，则a ＝________，c ＝________.8．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围为________________．题型一 一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：思维启迪： 解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．(1)－x 2＋2x －23>0； (2)9x 2－6x ＋1≥0. （3）x 2＋2x －3≤0；（4）x －x 2＋6＜0； （5）4x 2＋4x ＋1<0； （6）x 2－6x ＋9≤0；【变式】 解下列不等式：(1)2x 2＋4x ＋3<0； (2)－3x 2－2x ＋8≤0； (3)8x －1≥16x 2.题型二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，求a ，b 的值；思维启迪：先化简不等式为标准形式，再依据解集确定a 的符号，然后利用根与系数的关系列出a ，b 的方程组，求a ，b 的值．【变式】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.题型三一元二次不等式恒成立问题【例3】已知f(x)＝x2－2ax＋2 (a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．思维启迪注意等价转化思想运用，二次不等式在区间上恒成立的问题可转化为二次函数区间最值问题．【变式1】已知不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．思维启迪：化为标准形式ax 2＋bx ＋c >0后分a ＝0与a ≠0讨论．当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0.【变式2】当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求m 的取值范围。
一元二次方程与不等式的解法
一元二次方程与不等式的解法一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a≠ 0。
而不等式是指形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c ≤ 0的不等关系，其中a、b、c为实数且a≠ 0。
本文将探讨一元二次方程与不等式的解法，并分析其应用场景。
一、一元二次方程的求解方法一元二次方程的解法主要有图像法、配方法、公式法和因式分解法等，在不同的情况下可以选择相应的方法进行求解。
1. 图像法图像法主要通过绘制函数y = ax^2 + bx + c的图像，通过观察函数与x轴的交点来确定方程的解。
当图像与x轴相交于两个点时，方程有两个实根；当图像与x轴相交于一个点时，方程有一个实根；当图像与x轴不相交时，方程无实根。
2. 配方法配方法是通过将一元二次方程的形式转化为一个完全平方的形式，并借助平方根的性质来求解。
具体步骤如下：- 首先，将方程的三项按照平方根的部分进行配方，即将bx项除以2并平方。
- 其次，将方程两边的式子按照平方差公式进行整理，并将两项的平方根合并。
- 最后，通过开平方根运算，得到方程的解。
3. 公式法公式法是通过一元二次方程的根与系数之间的关系，直接利用求根公式来求解方程。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根的求解公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个相反的根。
4. 因式分解法因式分解法主要适用于一元二次方程可以进行因式分解的情况，即方程的三项均可以被因式分解为两个一次项的乘积。
通过将方程进行因式分解，得到每个因式等于零的条件，并解得方程的根。
二、不等式的解法不等式的解法主要有图像法、代数法和数线法等，根据不同的不等式形式选择相应的方法进行求解。
1. 图像法图像法同样通过绘制不等式对应的函数曲线，观察函数曲线与坐标轴的关系来确定不等式的解。
2.3第1课时 一元二次不等式及其解法PPT课件(人教版)
3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则x1＋x2，x1x2为何值？
提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解
集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则xx11＋x2＝x2＝ac，－ba，
＜0 c(a＞0)的图象
的步 得等的集 骤 不式解
y＞0 y＜0
{_x_|_x_＜__x_1_或___x_＞__x_2_} ___x__x_≠__－__2b_a__
__{__x|_x_1＜___x＜___x_2}___
___∅_
__R__ __∅__
9
思考 3：若一元二次不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R，则实数 a 应满 足什么条件？
16
[解] (1)因为 Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程 2x2＋7x＋3＝0 有两
个不等实根 x1＝－3，x2＝－12.又二次函数 y＝2x2＋7x＋3 的图象开口向上，
所以原不等式的解集为xx>－12或x<－3
.
(2)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94
.
(3)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0，因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所
∅ [原不等式变形为3x2－5x＋
集为________．
4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－
23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．
一元二次不等式的概念与解法
一元二次不等式的概念与解法一元二次不等式是数学中的重要内容，它在实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍一元二次不等式的概念和解法，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、一元二次不等式的概念一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的不等式，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
与一元二次方程相似，一元二次不等式也由三个系数决定，其解集是使不等式成立的实数解的集合。
二、一元二次不等式的解法对于一元二次不等式，我们可以通过以下几个步骤来求解：1. 将不等式转化为一元二次方程首先，将不等式中的不等号改为等号，得到ax^2 + bx + c = 0。
这样，我们就可以通过求解一元二次方程的方法来求解不等式。
2. 确定一元二次方程的根确定一元二次方程的根，即求解方程ax^2 + bx + c = 0的解。
一元二次方程的解可以是实数根或复数根。
通过这一步骤，我们可以得到方程的根的情况，从而确定不等式的解的情况。
3. 根据一元二次方程的性质进行分类讨论根据一元二次方程的根的情况，我们可以进行分类讨论，从而确定不等式解的情况。
a) 实数根的情况：- 当方程有两个不相等的实数根时，解集为使不等式成立的实数区间。
- 当方程有两个相等的实数根时，解集为使不等式成立的实数区间中除去相等根的点。
b) 复数根的情况：- 当方程没有实数根，即有两个虚根时，表明不等式无解。
4. 绘制解集的数轴图根据分类讨论的结果，我们可以在数轴上绘制出解集，以便更直观地表示不等式的解的范围。
通过以上步骤，我们可以求解一元二次不等式，得到其解的范围。
需要注意的是，在解不等式的过程中，我们要充分考虑到一元二次方程的性质，尤其是判别式和因式分解等关键概念，以确保得到正确的解集。
总结：一元二次不等式是一元二次方程的一种推广形式，它具有重要的理论和实际应用价值。
通过将不等式转化为一元二次方程，确定方程的根，并根据根的情况进行分类讨论，我们可以求解一元二次不等式，得到其解的范围。
一元二次不等式及解法
b {x|x≠ } 2a
b x | x Φ 2a
R
R Φ
R
Φ
例：解不等式 2x2－3x－2 > 0 .
解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0,
先求方程的根
方程的解2x2－3x－2 =0的解 是 1 x1 , x2 2. 2
所以,原不等式的解集是
2
一元二次函数
f (x)=ax bx c(a 0)
2
一元二次不等式解集的端点就是对应 方程的实根，就是对应函数的零点。
探究2、当a<0时，如何解不等式
2
ax bx c 0(或 0)
利用不等式的性质,将不等式的两边同 时乘以-1，使二次项系数变为正。 探究3、如果不等式为
O 没有实根
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 b x1=x2= 2a
2 2+bx+c>0 ax ax bx c 0 | x 1 x 或x x22} {x x|x<x ,1或 x>x (a>0)的解集 (a>0)的解集 22 ax +bx+c< 00 ax bx c x {x|x xx<x x | 1x< 1 22 } ( a >0) 的解集 (a>0)的解集
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2}
b {x|x≠ } 2a
R Φ
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
一元二次方程与不等式的解法
一元二次方程与不等式的解法在学习数学的过程中，我们经常会遇到一元二次方程和不等式的解法。
这两个概念是数学中重要的基础知识，掌握它们对我们解决各种实际问题非常有帮助。
本文将对一元二次方程和不等式的解法进行详细探讨。
一、一元二次方程的解法一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程，其一般形式为Ax^2 + Bx + C = 0。
为了解一元二次方程，我们可以使用以下三种方法：因式分解法、配方法和求根公式法。
1. 因式分解法对于一元二次方程Ax^2 + Bx + C = 0，我们首先尝试将其进行因式分解。
这种方法适用于方程可以通过因式分解得到解的情况。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x +2)(x + 3) = 0。
由此我们得到两个根x = -2和x = -3，这就是方程的解。
2. 配方法当方程无法通过因式分解得到解时，我们可以使用配方法来解决。
配方法的关键是通过添加合适的常数使得方程能够被写成完全平方的形式。
例如，对于方程x^2 + 6x + 8 = 0，我们可以通过添加常数2使其变为x^2 + 6x + 9 = 1。
然后，我们可以将方程改写为(x + 3)^2 - 1 = 0。
从中我们可以得到根x = -3±1，即x = -4和x = -2。
3. 求根公式法当方程无法通过因式分解或配方法得到解时，我们可以使用求根公式来解决。
对于一元二次方程Ax^2 + Bx + C = 0，其根可以通过以下公式推导得到：x = (-B ± √(B^2 - 4AC)) / (2A)通过带入系数A、B和C的值，我们可以计算出方程的两个根。
二、不等式的解法不等式是数学中常见的问题，解不等式可以帮助我们确定未知数的取值范围。
不等式的解法主要包括以下几种：代入法、图像法和区间法。
1. 代入法代入法是最直接的一种解不等式的方法，我们将候选值代入不等式中判断其真假。
如果候选值满足不等式，则表示该候选值是不等式的解。
一元二次方程与不等式
一元二次方程与不等式一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是一种含有未知数的二次项、一次项和常数项的方程。
通常形式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，a≠0。
一元二次方程的解即为满足方程的未知数的值。
二、求解一元二次方程的方法1.配方法：即通过乘以一个合适的因式，将一元二次方程转化为一个完全平方的形式。
例如，对于方程x² + bx = c，我们可以乘以2a来得到2ax² + 2abx = 2ac，然后将左边的两项进行平方，得到(2ax + b)² =b² - 4ac。
最后开根号并移项即可求解出x的值。
2.因式分解法：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，如果可以将其因式分解为(a₁x + b₁)(a₂x + b₂) = 0的形式，那么方程的解即为x = -b₁/a₁和x = -b₂/a₂。
3.求根公式法：根据一元二次方程的一般形式ax² + bx + c = 0，我们可以通过求解根公式x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)来得到方程的解。
三、一元二次方程的实际应用一元二次方程在数学和实际生活中具有广泛的应用。
以下列举了几个常见的实例：1.物体自由落体：根据牛顿第二定律，我们可以得到物体自由落体的距离和时间之间的二次关系。
其中，距离可以表示为s = gt²/2，其中g为重力加速度，t为时间。
2.消费模型：一元二次方程可以用来描述不同商品价格和销售数量之间的关系，从而帮助企业进行合理定价和销售策略。
3.投射运动：当物体在一个斜面上进行投射运动时，我们可以利用一元二次方程描述物体在x轴和y轴上的运动轨迹。
四、不等式及其基本性质不等式是数学中常见的一种表示关系的工具，用于描述数的大小和大小之间的关系。
例如，x > 3就是一个不等式，表示x的值大于3。
解一元二次方程及不等式的解法
解一元二次方程解法一元二次方程：因式分解法；公式法移项：使方程右边为0因式分解：将方程左边因式分解；方法：一提，二套，三十字，四分组由A∙B=0，那么A=0或B=0，解两个一元一次方程2、公式法将方程化为一般式写出a、b、c求出acb42-，假设＜0，那么无实数解假设＞0，那么代入公式求解解以下方程：1、)4(5)4(2+=+xx2、xx4)1(2=+3、22)21()3(xx-=+4、31022=-xx5、〔x+5〕2=16 6、2〔2x－1〕－x〔1－2x〕=07、x2 =64 8、5x2 -52=0 9、8〔3 -x〕2–72=010、3x(x+2)=5(x+2) 11、〔1－3y〕2+2〔3y－1〕=0 12、x2+ 2x + 3=013、x2+ 6x－5=0 14、x2－4x+ 3=0 15、x2－2x－1 =0 16、2x2+3x+1=0 17、3x2+2x－1 =0 18、5x2－3x+2 =0 19、7x2－4x－3 =0 20、-x2-x+12 =0 21、x2－6x+9 =0 22、22-=-23、x2-2x-4=0 24、x2-3=4xx x(32)(23)25、3x 2＋8 x－3＝0 26、(3x＋2)(x＋3)＝x＋1427、(x+1)(x+8)=-12 28、2(x－3) 2＝x 2－929、－3x 2＋22x－24＝0 30、〔2x-1〕2 +3〔2x-1〕+2=0 31、2x 2－9x＋8＝0 32、3〔x-5〕2=x(5-x)33、(x＋2) 2＝8x 34、(x－2) 2＝(2x＋3)235、2t t-+=4410 x x+=36、2720()()239、()2231210x --= 40、2223650x x -+=41、()()2116x x ---= 42、()()323212x x -+= 44、22510x x +-=45、 46、21302x x ++=、二．利用因式分解法解以下方程(x －2) 2＝(2x-3)2042=-x x 3(1)33x x x +=+x 23 ()()0165852=+---x x三．利用开平方法解以下方程1)12(12=-y 24)23(四．利用配方法解以下方程25220x x -+=012632=--x x7x=4x 2+2 01072=+-x x五．利用公式法解以下方程－3x 2＋22x －24＝0 2x 〔x －3〕=x －3． 3x 2+5(2x+1)=0六．选用适当的方法解以下方程(x ＋1) 2－3 (x ＋1)＋2＝022(21)9(3)x x +=-2230x x --=21302x x ++=4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x2)2)(113(=--x x x 〔x ＋1〕－5x ＝0. 3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1).0862=+-x x 01522=--x x 0151122=++x x02532=-+x x 2082=-x x 02522=++x x39922=--x x一元二次不等式及其解法知识点一：一元二次不等式的定义(标准式)任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或.知识点二：一般的一元二次不等式的解法一元二次不等式或的解集可以联系二次函数的图象，图象在轴上方局部对应的横坐标值的集合为不等式的解集，图象在轴下方局部对应的横坐标值的集合为不等式的解集.设一元二次方程的两根为且，，那么相应的不等式的解集的各种情况如下表：二次函数〔〕的图象有两相异实根有两相等实根无实根知识点三：解一元二次不等式的步骤〔1〕先看二次项系数是否为正，假设为负，那么将二次项系数化为正数；〔2〕写出相应的方程，计算判别式：①时，求出两根，且〔注意灵活运用因式分解和配方法〕；②时，求根； ③时，方程无解〔3〕根据不等式，写出解集.规律方法指导1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；假设为负，那么将其变为正数； 2．假设相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，假设不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等 式的解集与其系数之间的关系；5．假设所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数 例1．解以下一元二次不等式 〔1〕； 〔2〕； 〔3〕〔1〕解:因为所以方程的两个实数根为：，函数的简图为：因而不等式的解集是.（1）练习: 解以下不等式 ；；02732<+-x x ；0262≤+--x x ；01442<++x x ； 0532>+-x x862-=+x x 021152=++x x 02732=+-x x062=--x x 01522=--x x ； 01662=++x x ；08232≥+--x x ； 0542≥+-x x ；31≥-x x；0652≤--x x 01272<++x x 0652>++x x0672≥+-x x 0122<--x x 0122>-+x x2230x x --+≥0262≤+--x x 0532>+-x x0142562≤++x x 0941202≤+-x x (2)(3)6x x +-<。
一元二次不等式及其解法
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，
即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．
注意讨论m＝0时的情况． 当m＝0时，1－2x<0， 即当x> 时，不等式恒成立； 当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满
∴－a2＋6a＋b－3>0，Δ＝24＋4b，当b≤－6时，Δ≤0，
∴f(1)>0的解集为∅； 当b>－6时，3－ <a<3＋ . <a<3＋ }． ∴f(1)>0的解集为{a|3－
率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
[思路点拨]
[课堂笔记] 设税率调低后的税收总收入为y元，
则y＝2 400m(1＋2x%)×(8－x)% ＝－ m(x2＋42x－400)． 由题意知，0<x≤8， 要使税收总收入不低于原计划的78%，
须y≥2 400m×8%×78%，
即－ m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%， 整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2， 又0<x≤8，∴0<x≤2，所以，x的取值范围是(0,2].
∴
即
，
解①，得x< 解②，得 由①②，得 ∴x的取值范围为 < x<
或 x> . < x< .
，
．
若x∈[－1，＋∞)时，x2－2ax＋2≥a恒成立，试求a 的取值范围. 解：法一：令f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，＋∞) f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x ＝ a.
一元二次不等式及其解法
解法编辑解法一当△=b²-4ac≥0时，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实根，那么ax²+bx+c可分解为如a(x-x1)(x-x2)的形式。
这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。
一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的交集。
举例：试解一元二次不等式解：利用十字相乘法：2x -3x-2得（2x-3)(x-2)<0然后，分两种情况讨论。
口诀同一元一次不等式的“数轴法”：大大取大，小小取小；大小小大取中间，小小大大没有解。
1）2x-3<0，x-2>0得x<1.5且x>2（不成立）2）2x-3>0，x-2<0得x>1.5且x<2。
得最终不等式的解集为：解法二此外，亦可用配方法解一元二次不等式。
如上例题中：2x²-7x+6=2(x²-3.5x)+6=2(x²-3.5x+3.0625-3.0625)+6=2(x²-3.5x+3.0625)-6.125+6=2(x-1.75)²-0.125<02(x-1.75)²<0.125(x-1.75)²<0.0625两边开平方，得：x-1.75<0.25且x-1.75>-0.25x<2且x>1.5得不等式的解集为解法三一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。
通过看图象可知，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出答案。
求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集。
解一元二次不等式，可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图象法进行解题，使得问题简化。
求解一元二次不等式解集步骤详解
求解一元二次不等式解集步骤详解在求解一元二次不等式时，我们实际上并不是直接求解不等式的“根”，因为不等式没有“根”这个概念，而是求解对应的一元二次方程的根。
这些根会帮助我们确定不等式的解集。
以下是如何求解一元二次方程ax2+bx+c=0的根，并据此确定一元二次不等式解集的步骤：1. 求解一元二次方程对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a≠0），我们可以使用求根公式来求解其根：x=−b±√b2−4ac2a这里，b2−4ac被称为判别式，记作Δ。
●如果Δ>0，则方程有两个不相等的实数根，分别对应求根公式中的“+”和“-”号。
●如果Δ=0，则方程有一个重根，即两个相等的实数根，此时只取“+”号（或“-”号，结果相同）即可。
●如果Δ<0，则方程没有实数根，但有两个共轭复数根，这在求解不等式时通常不直接考虑。
2. 确定不等式的解集一旦我们找到了一元二次方程的根（或确定了根的存在性），我们就可以根据这些根来确定不等式的解集。
●对于不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，我们首先观察a的符号，因为它决定了二次函数的开口方向（a>0时开口向上，a<0时开口向下）。
●然后，我们根据方程的根在数轴上的位置来划分区间，并测试每个区间内的点是否满足不等式。
●或者，更简便地，我们可以直接利用数轴标根法：将根按从小到大的顺序标在数轴上，然后根据不等式的符号和二次函数的开口方向来确定解集。
示例考虑不等式x2−4x+3<0。
1.求解对应的一元二次方程x2−4x+3=0，得到根x1=1和x2=3。
2.因为a=1>0，所以二次函数开口向上。
3.使用数轴标根法，将x1=1和x2=3标在数轴上，并测试区间(−∞,1)，(1,3)和(3,+∞)内的点。
4.由于二次函数开口向上，且x1和x2是方程的根，因此不等式x2−4x+3<0的解集是两根之间的区间，即1<x<3。
一元二次不等式及其解法
第一课时
探究新知：
解不等式： x 5x 6
2
解：原不等式可变形为：x 5x 6 0
2
方程x 5x 6 0的两个根为：
2
x1＝2，x2＝3
∴ 不等式的解集为{x│ x <2或x>3}.
探究新知： 二次函数、一元二次方程、一元二次不等 式是一个有机的整体。通过函数把方程与不等 式联系起来，我们可以通过对方程的研究利用 函数来解一元二次不等式。 方程的解即对应函数图象与x轴交点的横坐 标;不等式的解集即对应函数图象在x轴下方或 上方图象所对应x的范围,且解集的端点值为对 应方程的根。
,
a a 16 x1 2 显然 x1 x 2
2
；
,
a a 2 16 x2 2
a a 2 16 a a 2 16 固：
1 1、若0 a 1, 则不等式（x a） ( x ) 0的解是（ A ） a 1 1 A．a＜x＜ C．x＞ 或x＜a a a 1 1 B． ＜x＜a D．x＜ 或x＞a a a
相应方程 x 2a ( x 3a) 0 的两根为 x1 2a, x2 3a ∴(1)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 2a或x 3a
(2)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 3a或x 2a
2
二、按判别式 的符号分类，即分 0, 0, 0 三种情况
三、按对应方程 ax bx c 0 的根 x1 , x 2 的大小分类，即分 x1 x2 , x1 x2 , x1 x 2 三种情况．
2
1 2a 2 1 3 a
一元二次方程二次函数一元二次不等式知识归纳
一元二次方程二次函数一元二次不等式知识归纳一元二次方程、二次函数和一元二次不等式知识归纳一元二次方程、二次函数和一元二次不等式是高中数学中的重要内容，掌握了这些知识可以帮助我们解决实际问题和推导数学关系。
本文将对一元二次方程、二次函数和一元二次不等式进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这些知识。
一、一元二次方程一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0（其中a ≠ 0）的方程，其中x 表示未知数。
解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法。
1. 因式分解法当一元二次方程可以因式分解为两个一次因子相乘时，我们可以通过将方程两边置零，将每个因子等于零来求解。
例如，对于方程x^2 -5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2和x = 3两个解。
2. 配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以通过配方法将方程转化为完全平方式，然后再进行求解。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以通过将常数项进行拆分，得到x^2 - 2x - 3x + 6 = 0，进而变为(x(x - 2) - 3(x - 2) = 0，再经过合并同类项和提取公因式的步骤得到(x -2)(x - 3) = 0，进而求得x = 2和x = 3两个解。
3. 求根公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解。
其中，±表示两个相反的解，而√表示平方根。
这种方法适用于所有一元二次方程的求解，包括没有实数解的情况。
二、二次函数二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。
掌握了二次函数的性质和图像特点可以帮助我们分析函数的变化趋势和解决实际问题。
知识讲解_一元二次不等式及其解法_基础
一元二次不等式及其解法【学习目标】1. 了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，能借助函数图象解一元二次不等式及一些简单的高次不等式；2. 对给定的一元二次不等式，能设计求解的程序框图；3. 应用一元二次不等式解简单的分式不等式. 【要点梳理】要点一：一元二次不等式的概念一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式. 一元二次不等式的解：使某个一元二次不等式成立的x 的值.一元二次不等式的解集：一元二次不等式的所有解组成的集合.一般写为集合或区间形式. 一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠. 要点诠释：一元二次不等式的解集一般借助相应的方程及图象（抛物线）来研究. 要点二：一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系设()2f x ax bx c =++(0)a >，判别式24b ac ∆=-，按照0∆>，0∆=，0∆<该函数图象(抛物线)与x 轴的位置关系也分为三种情况，相应方程的解与不等式的解集形式也不尽相同. 如下表所示：要点诠释：（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线y =2ax bx c ++与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集.要点三：解一元二次不等式1. 解一元二次不等式()2ax +bx+c a ≠>00的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根122bx x a==-； ③0∆<时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集.2. 一元二次不等式2ax +bx+c >0的求解框图要点诠释：1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 要点四：高次不等式1. 一元高次不等式概念解不等式是初等数学重要内容之一，高中数学常出现高次不等式，其类型通常为一元高次不等式. 常用的解法有化为不等式组法、列表法和穿针引线（根轴法）来求解.2. 一元高次不等式的解法 列表法① 等价转化：将不等式化为()()()()1200n x x x x x x --⋯-><形式（各项x 的符号为正）； ② 找分界点：令()()()120=n a x x x x x x --⋯-，求出根()1212,,,n n x x x x x x <<<，不妨称之为分界点. 一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n 个分界点把数轴分成1n +部分；② 列出表格：按各根把实数分成的1n +部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；③ 计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号； ④看下面积的符号写出不等式的解集.在下列空白处填上因式的符号，完成下表：要点诠释：一般地，表格中最后一行各因式积为正的，即为()()()120n x x x x x x --⋯->的解集，反之亦然.穿针引线法① 等价转化：将不等式化为()()()()1200n x x x x x x --⋯-><的形式（各因式x 的系数化“+ ”）； ② 求根，比方设12n x x x <<<，并在数轴上将i x 表示出来；③ 由数轴最右端n x 的右上方出发，画出曲线依次经过表示各根的点；④ 若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找“线”在x 轴下方的区间.要点诠释：（1）如果出现某个因式的高次形式（次数≥2），注意一个原则：奇穿偶不穿；（2）不等式()()00f x ≥≤中，注意等于号 “=”.不等式组法利用符号法则，转化为一元一次不等式与一元二次不等式的形式求解. 此种方法的本质是分类讨论，强化了“或”与“且”，进一步渗透了“交”与“并”的思想方法.要点五：分式不等式1. 分式不等式的概念 形如0()()f x x ϕ>或0()()f x x ϕ<（其中(),()f x x ϕ为整式，且()0x ϕ≠），分子分母还未知数的不等式叫分式不等式，2. 分式不等式的解法对这种分式不等式，先把不等式的右边化为0，再通过符号法则，把它转化成整式不等式来解，从而化繁为简.（1）整理：移项保证不等式右边为零，整理成一般形式；（2）等价转化：转化为整式不等式；（3）穿针引线法：借助数轴，把对应整式的根从右上方起标出；（4）看不等号：大于零看数轴上方的部分，小于零看数轴下方部分的区域； （5）注意关键点. 一般形式：要点诠释：分式不等式一定要注意转化的等价性. 【典型例题】类型一：一元二次不等式的解法 例1. 解下列一元二次不等式（1）250x x -<； （2）2440x x -+>； （3）2450x x -+-> 【思路点拨】转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.【解析】 （1）方法一：因为2(5)410250∆=--⨯⨯=>所以方程250x x -=的两个实数根为：10x =，25x = 函数25y x x =-的简图为：因而不等式250x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二：250(5)0x x x x -<⇔-<050x x >⎧⇔⎨-<⎩ 或050x x <⎧⎨->⎩解得05x x >⎧⎨<⎩ 或5x x <⎧⎨>⎩，即05x <<或x ∈∅. 因而不等式250x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一： 因为0∆=，方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数244y x x =-+的简图为：所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2(2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ （3）方法一：原不等式整理得2450x x -+<.因为0∆<，方程2450x x -+=无实数解， 函数245y x x =-+的简图为：所以不等式2450x x -+<的解集是∅. 所以原不等式的解集是∅.方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是∅. 【总结升华】1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2. 当0∆≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0∆>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三：【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型一 一元二次不等式的解法】【变式1】已知函数222,0,()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩ 解不等式f (x )＞3.【答案】由题意知20,23x x x ≥⎧⎨+>⎩或20,23,x x x <⎧⎨-+>⎩ 解得：x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}． 【变式2】解不等式2230x x -+-> 【答案】整理，得2230x x -+<.因为0∆<，方程2230x x -+=无实数解， 所以不等式2230x x -+<的解集是∅. 从而，原不等式的解集是∅.类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法 例2．解下列关于x 的不等式 （1）x 2-2ax≤-a 2+1； （2）x 2-ax+1>0； （3）x 2-(a+1)x+a<0； 【思路点拨】解不等式时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论； 【解析】(1) 22210[()1][()1]011x ax a x a x a a x a -+-≤⇒---+≤⇒-≤≤+∴原不等式的解集为{|11}x a x a -≤≤+. (2) Δ=a 2-4当Δ>0，即a>2或a<-2时，原不等式的解集为}2424|{22--<-+>a a x a a x x 或当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为{|}2a x x ≠. 当Δ<0，即-2<a<2时，原不等式的解集为R. （3）(x-1)(x-a)<0当a>1时，原不等式的解集为{x|1<x<a} 当a<1时，原不等式的解集为{x|a<x<1} 当a=1时，原不等式的解集为Φ.【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；②求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解； ③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论. 举一反三：【变式1】解关于x 的不等式：)0(01)1(2≠<++-a x aa x 【答案】原不等式化为0)1)((<--ax a x ①a=1或a=-1时，解集为∅；②当0<a<1 或a<-1时，a a 1<，解集为：1{|}x a x a <<； ③当a>1或 -1<a<0时，a a 1>，解集为：1{|}x x a a<<.【变式2】解关于x 的不等式：223()0x a a x a -++>（a R ∈） 【答案】2232()0()()0x a a x a x a x a -++>⇒--> 当a ＜0或a ＞1时，解集为2{|}x x a x a <>或； 当a=0时，解集为{|0}x x ≠；当0＜a ＜1时，解集为2{|}x x a x a <>或； 当a=1时，解集为{|1}x x ≠；例3．解关于x 的不等式：ax 2－(a+1)x+1＜0. 【解析】若a=0，原不等式⇔－x+1＜0⇔x ＞1；若a ＜0，原不等式⇔211(1)0x x a a -++>11()(1)0x x x a a ⇔-->⇔<或x ＞1；若a ＞0，原不等式⇔2111(1)0()(1)0x x x x a a a-++<⇔--<，其解的情况应由1a与1的大小关系决定，故（1）当a=1时，原不等式⇔x ∈∅；（2）当a ＞1时，原不等式⇔11x a<<；（3）当0＜a ＜1时，原不等式⇔11x a<<综上所述：当a ＜0，解集为1{|1}x x x a<>或； 当a=0时，解集为{x|x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为1{|1}x x a<<； 当a=1时，解集为∅； 当a ＞1时，解集为1{|1}x x a<<. 【总结升华】熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”.举一反三：【变式1】解关于x 的不等式：(ax-1)(x-2)≥0； 【答案】当a=0时，x ∈(-∞,2]. 当a≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为2,121==x ax ①当a>0时，若210>>a a ，， 即210<<a 时，),1[]2,(+∞-∞∈a x ；若210＝，a a >， 即21=a 时，x ∈R ；若210<>a a ，， 即21>a 时，),2[]1,(+∞-∞∈ ax .②当a<0时，则有：21<a ， ∴ ]21[，ax ∈. 【变式2】解关于x 的不等式：ax 2＋2x-1<0； 【答案】当a=0时，)21,(-∞∈x . 当a≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)，①a>0时，则Δ>0，)11,11(aaa a x ++-+--∈.②a<0时，若a<0，△<0， 即a<-1时，x ∈R ； 若a<0，△=0， 即a=-1时，x ∈R 且x≠1； 若a<0，△>0， 即 -1<a<0时， ),11()11,(+∞+--++--∞∈aaa a x . 【高清课堂：一元二次不等式及其解法 387159 题型二 含参数的一元二次不等式的解法】 【变式3】求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集． 【答案】当a ＞0时，不等式的解集为{|-}43aa x x x <>或； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＜0时，不等式的解集为{|-}34a a x x x <>或. 类型三：一元二次不等式的应用例4. 不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集. 【思路点拨】由二次不等式的解集为(4,5)可知：4、5是方程20x mx n +-=的二根，故由韦达定理可求出m 、n 的值，从而解得.【解析】由题意可知方程20x mx n +-=的两根为4x =和5x = 由韦达定理有45m +=-，45n ⨯=- ∴9m =-，20n =-∴210nx mx +->化为220910x x --->，即220910x x ++<(41)(51)0x x ++<，解得1145x -<<-，故不等式210nx mx +->的解集为11(,)45--.【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键.举一反三：【变式1】不等式ax 2+bx+12>0的解集为{x|-3<x<2}，则a=_______, b=________. 【答案】由不等式的解集为{x|-3<x<2}知a<0，且方程ax 2+bx+12=0的两根为-3，2.由根与系数关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=-=+-=-62)3(a12123ab解得a=-2, b=-2.【变式2】已知220ax x c ++>的解为1132x -<<,试求a 、c ,并解不等式220cx x a -+->. 【答案】由韦达定理有：11232a -+=-，1132ca-⋅=，∴12a =-,2c =.∴代入不等式220cx x a -+->得222120x x -++>，即260x x --<，(3)(2)0x x -+<，解得23x -<<，故不等式220cx x a -+->的解集为：(2,3)-.【变式3】已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，求关于x 的不等式210bx ax ++>的解集.【答案】由韦达定理有：1212a b -=+⎧⎨=⨯⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩, 代入不等式210bx ax ++>得22310x x -+>，即(21)(1)0x x -->，解得12x <或1x >. ∴210bx ax ++>的解集为：1(,)(1,)2-∞+∞.【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型三 不等式恒成立的问题】 例5.已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立， 求实数a 的取值范围． 【思路点拨】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R ，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
一元二次方程与不等式的解法
一元二次方程与不等式的解法一元二次方程和不等式是初中数学学习中的重要内容，它们在实际问题中的应用非常广泛。
本文将介绍一元二次方程和不等式的解法，包括基本的求解方法和注意事项。
一、一元二次方程的解法一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
求解一元二次方程可以采用以下两种常用方法：方法一：因式分解法对一元二次方程进行因式分解，将其写成两个一次因式相乘的形式，然后使两个一次因式分别等于0，得到方程的根。
例如，对于方程2x^2 + 7x + 3 = 0，可以将其因式分解为(2x + 1)(x + 3) = 0。
根据零乘法则，得到2x + 1 = 0或x + 3 = 0。
解得x = -1/2或x= -3，即方程的解为x = -1/2和x = -3。
方法二：配方法对于一元二次方程，如果无法直接进行因式分解，我们可以采用配方法来求解。
1. 将方程移项，使得方程的一次项系数为1，即将方程转化为形如x^2 + px + q = 0的方程。
2. 根据配方法，我们需要找到两个数m和n，使得它们的和等于p，乘积等于q。
将方程改写为(x + m)(x + n) = 0。
3. 根据乘法公式展开，得到x^2 + (m + n)x + mn = 0。
4. 将方程与原方程对比，得到m + n = p，mn = q。
5. 解方程组，得到m和n的值。
6. 得到方程的解。
例如，对于方程x^2 + 7x + 10 = 0，我们需要找到两个数m和n，使得m + n = 7，mn = 10。
很明显，符合条件的两个数是2和5。
因此，方程可以写成(x + 2)(x + 5) = 0。
根据零乘法则，得到x + 2 = 0或x + 5 = 0。
解得x = -2或x = -5，即方程的解为x = -2和x = -5。
二、一元二次不等式的解法一元二次不等式的一般形式为：ax^2 + bx + c > 0（或< 0），其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
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31、2x2－9x＋8＝0 32、3（x-5）2=x(5-x)
33、(x＋2)2＝8x34、(x－2)2＝(2x＋3)2
35、 36、
37、 38、
39、 40、
41、 42、 44、
45、 46、 、
二．利用因式分解法解下列方程
16、2x +3x+1=0 17、3x +2x－1 =0 18、5x －3x+2 =0
19、7x －4x－3 =0 20、 -x -x+12 =0 21、x －6x+9 =0
22、 23、x2-2x-4=0 24、x2-3=4x
25、3x2＋8x－3＝0 26、(3x＋2)(x＋3)＝x＋14
27、(x+1)(x+8)=-12 28、2(x－3)2＝x2－9
一元二次不等式及其解法
知识点一：一元二次不等式的定义(标准式)
任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式： 或 .
知识点二：一般的一元二次不等式的解法
一元二次不等式 或 的解集可以联系二次函数 的图象，图象在 轴上方部分对应的横坐标 值的集合为不等式 的解集，图象在 轴下方部分对应的横坐标 值的集合为不等式 的解集.
设一元二次方程 的两根为 且 ， ，则相应的不等式的解集的各种情况如下表：
二次函数
（ ）的图象
有两相异实根
有两相等实根
无实根
知识点三：解一元二次不等式的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程 ，计算判别式 ：
① 时，求出两根 ，且 （注意灵活运用因式分解和配方法）；
解一元二次方程
解法一元二次方程：因式分解法；公式法
1、因式分解法 移项：使方程右边为0
因式分解：将方程左边因式分解；方法：一提，二套，三十字，四分组
由A∙B=0，则A=0或B=0，解两个一元一次方程
2、公式法
将方程化为一般式
写出a、b、c
求出 ，若＜0，则无实数解
若＞0，则代入公式求解
解下列方程：
1、 2、 3、
② 时，求根 ； ③ 时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
规律方法指导
1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；
2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；
3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等 式的解集与其系数之间的关系；
(x－2)2＝(2x-3)2
x2-2 x+3=0
三．利用开平方法解下列方程
4（x-3）2=25
四．利用配方法解下列方程
7x=4x2+2
五．利用公式法解下列方程
－3x2＋22x－24＝02x（x－3）=x－3．3x2+5(2x+1)=0
六．选用适当的方法解下列方程
(x＋1)2－3 (x＋1)＋2＝0
x（x＋1）－5x＝0.3x(x－3)＝2(x－1) (x＋1).
4、 5、（x+5）2=16 6、2（2x－1）－x（1－2x）=0
7、x2=64 8、5x2- =0 9、8（3 -x）2–72=0
10、3x(x+2)=5(x+2) 11、（1－3y）2+2（3y－1）=0 12、x +ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2x + 3=0
13、x + 6x－5=0 14、x －4x+ 3=0 15、x －2x－1 =0
5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数
例1．解下列一元二次不等式
（1） ； （2） ； （3）
（1）解:因为
所以方程 的两个实数根为： ，
函数 的简图为：
因而不等式 的解集是 .
（1）练习: 解下列不等式
； ；
；
； ；
； ；
； ； ；
.