沪教版九年级数学上册相似三角形常用辅助线42页PPT
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上海沪科版初中数学九年级上册22.3 第2课时 相似三角形的性质定理3ppt课件
三角形,回答以下问题：
（1）
（2）
（3）
2 1
3
(1)与(2)的相似比=_1_∶___2_, (1)与(2)的面积比=_1_∶___4_ 结论： 相似三角形的面 (1)与(3)的相似比=1_∶___3__, 积比等于相__似__比__的__平__方． (1)与(3)的面积比=_1_∶___9_
想一想：怎么证明这一结论呢？
(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个
三角形的周长也扩大为原来的 5 倍
(√)
(2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个
四边形的面积也扩大为原来的 9 倍
( ×)
2. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝2 DE，AC＝2 DF，
∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若 AP＝2，则 DQ
解：在 △ABC 和 △DEF 中，
∵ AB=2DE，AC=2DF， A
D
∴
又 ∵∠D=∠A，
B
CE
F
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2.
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 12 5 ，
∴△DEF 的边 EF 上的高为 1 ×6 = 3， 2
面积为
1 2
2
12
5 3
5.
∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2，
面积比为 1 : 4.
设 S△ABC = 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1，
S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2，
∴
S四边形BFED
:
S△ABC
=
2
:
4
=
24.2.2 相似三角形的判定 课件 (沪科版九年上册) (共16张PPT)
并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
可以简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两
三角形相似。
A
A’
B
C
在△ABC和△A’B’C’中, B’
C’
AB AC k, ∠A=∠A’,
A' B' A'C'
∴△ABC∽△A’B’C’
对于△ABC和△A’B’C’,如果
AB AC , A' B' A'C'
＿D＿E＿∥＿B＿C＿＿＿＿＿
AD AE
AC AB
A
A
D B
D
E
E
C
B
C
2.下列说法中错误的是（
）
(A)有一个角是30°的两个等腰三角形相似 (B)有一个角是60°的两个等腰三角形相似 (C)有一个角是90°的两个等腰三角形相似 (D)有一个角是120°的两个等腰三角形相似
１.如下图所示,在△ABC中,D﹑E分别在AC﹑AB上, 且AD：AB=AE：AC=1：2，BC=5，则DE=________
2.如图，在△ABC中，D在AC上，已知
AD=2 cm，AB=4cm，AC=8cm，
A
求证：△ABD∽△ABC.
D
B
C
3. 如图,在正方形ABCD中,已知P是BC上的 点,且BP=3PC,Q是CD的中点,试判断 △ADQ∽△QCP吗?说明理由.
A
D
Q
B
P
C
4.如图，在△ABC中，D在AC上，已知 AD=2 cm，AB=4cm，AC=8cm，
E DA
BH
C
2.如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
沪科版九年级上22.3相似三角形的性质课件(共37张PPT)
AD
∽
所以 AD AB
AD AB
(相似三角形的对应边成比例) 图 18.3
k
结论：相似三角形对应
高的比等于相似比. 图 18.3.9
自主思考--- 类似结论
如图, ABC∽ ABC,相似比为k,
其中AD、 AD分别为BC、 BC边上的中线,
则 AD ____ . A
AD
A'
B
D
B' C
D' C'
拓展训练
2、已知两个等边三角形的边长之比为 2 ：3，且它们的面积之和26cm2，则较 小的等边三角形的面积为多少？
2：如图，△ABC~△A'B'C'，它们的周长分别是 60厘米和72厘米，且AB=15厘米，B'C'=24厘 米。求：BC、AC、A'B'、A'C'。
解：因为△ABC~△A'B'C'
②相似三角形的对应边______________
想一想: 它们还有哪些性质呢?
你知我知？
（1）一个三角形有三条重要线段： _高__、_中__线_、__角__平_分__线__
（2）如果两个三角形相似，那么这些 对应线段有什么关系呢？
观察
ABC∽ABC
相似比为 1
B
2
对应高的比
AD AD ___________
(3) SADE SABC
1 __1__6___ .
A
D
E
(4) SADE S四边形BCED
1 15
B
C
课堂演练
1.如果两个三角形相似,相似比为3∶5,则 对应角的角平分线的比等于__3∶__5__. 2.相似三角形对应边的比为2:5, 那么相似比为___2_:5___, 对应角的角平分线的比为__2_:_5__, 周长的比为____2_:5____, 面积的比为___4_:2_5____.
∽
所以 AD AB
AD AB
(相似三角形的对应边成比例) 图 18.3
k
结论：相似三角形对应
高的比等于相似比. 图 18.3.9
自主思考--- 类似结论
如图, ABC∽ ABC,相似比为k,
其中AD、 AD分别为BC、 BC边上的中线,
则 AD ____ . A
AD
A'
B
D
B' C
D' C'
拓展训练
2、已知两个等边三角形的边长之比为 2 ：3，且它们的面积之和26cm2，则较 小的等边三角形的面积为多少？
2：如图，△ABC~△A'B'C'，它们的周长分别是 60厘米和72厘米，且AB=15厘米，B'C'=24厘 米。求：BC、AC、A'B'、A'C'。
解：因为△ABC~△A'B'C'
②相似三角形的对应边______________
想一想: 它们还有哪些性质呢?
你知我知？
（1）一个三角形有三条重要线段： _高__、_中__线_、__角__平_分__线__
（2）如果两个三角形相似，那么这些 对应线段有什么关系呢？
观察
ABC∽ABC
相似比为 1
B
2
对应高的比
AD AD ___________
(3) SADE SABC
1 __1__6___ .
A
D
E
(4) SADE S四边形BCED
1 15
B
C
课堂演练
1.如果两个三角形相似,相似比为3∶5,则 对应角的角平分线的比等于__3∶__5__. 2.相似三角形对应边的比为2:5, 那么相似比为___2_:5___, 对应角的角平分线的比为__2_:_5__, 周长的比为____2_:5____, 面积的比为___4_:2_5____.
沪教版九上2相似三角形的性质课件
2
①类似三角形面积的比等于类似比的平方.
❖ 三角形全等与类似的性质
对应角 对应边 周长 对应三条重 面积 要的线段
全 等
相等
相等
相等
相等 相等
周长的 对应的三 面积的
类 相等 成比例 比等于？条重要线 比等于？
似
段的比等
类似比
于？ 类似比
类似比的
平方
在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比, 三角形的边长,周长,面积,角,哪些放大为本来的10倍?
❖ 如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成一个 点）发出的光线照射桌面形成阴影的示意 图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地 面为1米，若灯泡距离地面3米，则地面上 阴影部分的面积为多少？
A
E
F'
B
F
B L'
H
D
F
LC
1、如图,在△ABC中，点D、E分别是AB、AC 的中点(。1)找出图中的各对类似三角形；
1:4
(2)S △ADE: S 梯形DBCE = 1:3 A
D B
E C
你会解决生活中的问题吗?
如图，是一块三角形木板，工人师傅要把它 切割成：一块为三角形，另一块为梯形，且 要使切割出的三角形与梯形的面积之比为 4：5，那么该怎么切割呢？
A
有几种切割方法？
D E
B
C
6、如图，△ABC,DE//BC，且△ADE的面 积
A N EH
(３)你能求出矩形FGHN 的面积y的最大值吗？
B
F DG C
B ˊ Dˊ C ˊ 都等于类似比。
B
D
C
中线
中线
（1）如图ΔABC∽ΔA/B/C/ ，类似比为k，它们 的面积比是多少？
相似三角形完整版PPT课件
通过已知条件推导出新的相似关系，逐步 构建完整的相似三角形体系。
强调逻辑推理的严密性和条理性，培养学 生分析问题和解决问题的能力。
分析法证明
从结论出发，逆向分析， 寻找使结论成立的条件。
通过分析已知条件和结论 之间的关系，找到证明相 似三角形的关键步骤。
培养学生的逆向思维能力 和分析问题的能力。
构造法证明
相似三角形在几何变换中的应用
在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等。
判定方法
预备定理
SSS相似
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。
SAS相似
AA相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，要严 格按照相似三角形的判定定理进
行推导，避免出现逻辑错误。
拓展延伸：更高阶相似性质探讨
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似。相似多边形具有与相似三角形类似的性质。
强调逻辑推理的严密性和条理性，培养学 生分析问题和解决问题的能力。
分析法证明
从结论出发，逆向分析， 寻找使结论成立的条件。
通过分析已知条件和结论 之间的关系，找到证明相 似三角形的关键步骤。
培养学生的逆向思维能力 和分析问题的能力。
构造法证明
相似三角形在几何变换中的应用
在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等。
判定方法
预备定理
SSS相似
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。
SAS相似
AA相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，要严 格按照相似三角形的判定定理进
行推导，避免出现逻辑错误。
拓展延伸：更高阶相似性质探讨
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似。相似多边形具有与相似三角形类似的性质。
沪科版数学九年级上册22.3相似三角形的性质课件共13张PPT
面积的比等于相似比的平方
1、两个相似多边形的面积比为4:1，则它们的 相似比为_______，周长比为_______。
2、如果把一个三角形的三条边长都扩大为原来 的100倍，则面积扩大为原来的_______倍，周长 扩大为______倍。
3、如果把一个三角形的面积扩大为原来的100倍， 则边长为原来的_____倍，周长为原来的______倍。
相
对应高的比
似
三
对应角平分线的比
都等于相似比
角
形
对应中线的比
如图AD、 A′D′ 分别是锐角△ABC和锐角 △A′B′C′的高,且△ABC∽ △A′B′C′,则
AD:A’D’=AAB:A’B’. ∵ △ABC∽ △A′B′C′,
∴∠B=∠B’
又因为AD、 A′D′ 分别是
△ABC和△A′B′C′的高
AB BC CA AB BC CA k AB BC CA
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
A A’
B
D
C
B’
D’ C’
△ABC～△A’B’C’，相似比为K
S 1/2 ·BC ·AD =
BC · AD =
= K2
S’ 1/2 ·B’C’ · A’D’ B’C’ · A’D’
K
K
例 已知： △ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别 为 60cm 和 72cm ，且 AB = 15cm ， B′C′= 24cm .求：BC、AC、 A′B′、 A′C′.
B
D
C ∴∠ADB=∠A’D’B’=90° 在△ABD和△A′B′D′中
A′
∠B=∠B’
∠ADB=∠A’D’B’ ∴ △ABD∽ △A′B′D′,
沪科版数学九年级上册22.2第3课时三角形相似判定定理2 课件(共18张PPT)
想一想：已知，如图△ABC和△A′B′C′中， .求证：△ABC∽△A′B′C′ .证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′，过点D作DE∥BC交AC于点E，则∠ADE=∠B, ∠AED=∠C,∴△ADE∽△ABC ,∵ ,∴ .
问题引入
问题1.有两边对应成比例的两个三角形相似吗？问题2.类比三角形全等的判定方法（SAS,SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？
相似
3
3
5
5
探索新知
思 考对于△ABC和△A′B′C′，如果 ，∠B=∠B′， 这两个三角形一定相似吗？
D
E
∴ ,∴ ,∴△ADE≌△A′B′C′(SAS),∵∠A=∠A′,∴△ABC∽△A′B′C′.
相似三角形的判定定理2： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.简单地说:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.用数学符号表示：∵ ,∴△ABC∽△A′B′C′.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年Βιβλιοθήκη 月1日第22章 相似形22.2 相似三角形的判定
第3课时 三角形相似的判定定理2
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.掌握两个三角形相似的判定方法(两边对应成比例，夹角相等)及其应用.2.体会探究两个三角形相似判定方法的过程.
运用相似三角形的判定定理2解决简单的有关问题.
相似三角形的判定定理2的探索及证明过程.
例题示范
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.(1)∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm;(2)∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm.解:(1)∵∴又∵∠A=∠A′,∴△ABC∽△A′B′C′.
问题引入
问题1.有两边对应成比例的两个三角形相似吗？问题2.类比三角形全等的判定方法（SAS,SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？
相似
3
3
5
5
探索新知
思 考对于△ABC和△A′B′C′，如果 ，∠B=∠B′， 这两个三角形一定相似吗？
D
E
∴ ,∴ ,∴△ADE≌△A′B′C′(SAS),∵∠A=∠A′,∴△ABC∽△A′B′C′.
相似三角形的判定定理2： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.简单地说:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.用数学符号表示：∵ ,∴△ABC∽△A′B′C′.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年Βιβλιοθήκη 月1日第22章 相似形22.2 相似三角形的判定
第3课时 三角形相似的判定定理2
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.掌握两个三角形相似的判定方法(两边对应成比例，夹角相等)及其应用.2.体会探究两个三角形相似判定方法的过程.
运用相似三角形的判定定理2解决简单的有关问题.
相似三角形的判定定理2的探索及证明过程.
例题示范
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.(1)∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm;(2)∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm.解:(1)∵∴又∵∠A=∠A′,∴△ABC∽△A′B′C′.
相似三角形ppt初中数学PPT课件
在建筑设计中，利用相似三角形原理，根据已知 条件设计出符合要求的建筑物形状和大小。
利用相似三角形进行建筑测量
在建筑测量中，利用相似三角形原理，通过测量 建筑物的角度和距离，计算出建筑物的高度、宽 度等参数。
利用相似三角形进行建筑施工
在建筑施工中，利用相似三角形原理，根据设计 图纸和比例关系，进行施工和安装。
分析法证明思路及步骤
明确目标
明确需要证明的结论，即两个三角形相似 。
逆向思维
从结论出发，逆向思考如何证明两个三角 形相似，即需要找到两个三角形对应的角
相等或对应边成比例。
寻找突破口
分析题目中的已知条件，寻找与相似三角 形相关的突破口。
验证结论
根据逆向思维找到的证明方法，验证结论 是否正确。
不同方法比较与选择
相似三角形ppt初中数学PPT 课件
目
CONTENCT
录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何图形中应用 • 相似三角形在解决实际问题中应用 • 相似三角形证明方法探讨 • 典型例题解析与练习 • 课堂小结与拓展延伸
01
相似三角形基本概念与性质
定义及判定方法
01
02
03
04
定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则称这两个三角形相似 。
相似三角形的判定方法
详细讲解相似三角形的四种判定方法，包括两角对应相等 、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例以及通过 中间比转化等，并通过实例加以验证。
相似三角形的应用
通过举例和解析，展示相似三角形在解决实际问题中的应 用，如测量高度、计算面积等。
拓展延伸引导学生思考更深层次问题
相似多边形的研究
解析
根据相似三角形的判定定理，结合直角三角形的 性质，当两个直角三角形的一直角边和斜边对应 成比例时，可以判定这两个直角三角形相似。
利用相似三角形进行建筑测量
在建筑测量中，利用相似三角形原理，通过测量 建筑物的角度和距离，计算出建筑物的高度、宽 度等参数。
利用相似三角形进行建筑施工
在建筑施工中，利用相似三角形原理，根据设计 图纸和比例关系，进行施工和安装。
分析法证明思路及步骤
明确目标
明确需要证明的结论，即两个三角形相似 。
逆向思维
从结论出发，逆向思考如何证明两个三角 形相似，即需要找到两个三角形对应的角
相等或对应边成比例。
寻找突破口
分析题目中的已知条件，寻找与相似三角 形相关的突破口。
验证结论
根据逆向思维找到的证明方法，验证结论 是否正确。
不同方法比较与选择
相似三角形ppt初中数学PPT 课件
目
CONTENCT
录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何图形中应用 • 相似三角形在解决实际问题中应用 • 相似三角形证明方法探讨 • 典型例题解析与练习 • 课堂小结与拓展延伸
01
相似三角形基本概念与性质
定义及判定方法
01
02
03
04
定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则称这两个三角形相似 。
相似三角形的判定方法
详细讲解相似三角形的四种判定方法，包括两角对应相等 、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例以及通过 中间比转化等，并通过实例加以验证。
相似三角形的应用
通过举例和解析，展示相似三角形在解决实际问题中的应 用，如测量高度、计算面积等。
拓展延伸引导学生思考更深层次问题
相似多边形的研究
解析
根据相似三角形的判定定理，结合直角三角形的 性质，当两个直角三角形的一直角边和斜边对应 成比例时，可以判定这两个直角三角形相似。
沪科版数学九年级上册2相似三角形的判定课件(共66张)
A
DE B AC
B
C
D
E
ED
A
B
C
符号语言 在△ABC中， 若DE∥BC，（如图所示） 则△ADE∽△ABC。
巩固练习
如图，在平行四边形ABCD中，
DE交BC于F，交AB的延长线于点E。
D
C （1）请写出图中类似的三角形；
F
（2）请由其中的一对类似三角形写
A
出相应的比例式；
B
E （3）请说明AE·BF与AD·BE是否
线），所得对应线段成比例。即可得 到 AD AE DE 。
AB AC BC
A
E C
证明：
过点D作AC的平行线，交BC于F。
∵DE∥BC，DF∥AC，
A
AD AE , FC AD .
AB AC BC AB
D
因为四边形DFCE是平行四边形，
E
∴DE=FC，
DE BC
AD AB
.
B
C
F
AD AE DE . AB AC BC
即写成△ABC∽△A′B′C′，表明对应关系 是唯一确定的，即A与A′、B与B′、C与C′分别 对应。如果仅说“这两个三角形类似”，没有 用“∽”表示的，则没有说明对应关系。
类似三角形的对应关系
对于△ABC∽△A′B′C′，根据类似三角形的定 义，应有∠A= ∠A′，∠B= ∠B′，∠C=∠C′，
想一想：
1.△ABC和△A′B′C′中，∠A=80°、∠B=40°、 ∠A′=80°、∠C′=60°，那么这两个三角形类似吗？ 2.等边三角形都类似吗？ 3.一个锐角对应相等的两个直角三角形类似吗？ 4.有一个内角对应相等的两个等腰三角形类似吗？ 5.各有一个内角为100°的两个等腰三角形类似吗？
DE B AC
B
C
D
E
ED
A
B
C
符号语言 在△ABC中， 若DE∥BC，（如图所示） 则△ADE∽△ABC。
巩固练习
如图，在平行四边形ABCD中，
DE交BC于F，交AB的延长线于点E。
D
C （1）请写出图中类似的三角形；
F
（2）请由其中的一对类似三角形写
A
出相应的比例式；
B
E （3）请说明AE·BF与AD·BE是否
线），所得对应线段成比例。即可得 到 AD AE DE 。
AB AC BC
A
E C
证明：
过点D作AC的平行线，交BC于F。
∵DE∥BC，DF∥AC，
A
AD AE , FC AD .
AB AC BC AB
D
因为四边形DFCE是平行四边形，
E
∴DE=FC，
DE BC
AD AB
.
B
C
F
AD AE DE . AB AC BC
即写成△ABC∽△A′B′C′，表明对应关系 是唯一确定的，即A与A′、B与B′、C与C′分别 对应。如果仅说“这两个三角形类似”，没有 用“∽”表示的，则没有说明对应关系。
类似三角形的对应关系
对于△ABC∽△A′B′C′，根据类似三角形的定 义，应有∠A= ∠A′，∠B= ∠B′，∠C=∠C′，
想一想：
1.△ABC和△A′B′C′中，∠A=80°、∠B=40°、 ∠A′=80°、∠C′=60°，那么这两个三角形类似吗？ 2.等边三角形都类似吗？ 3.一个锐角对应相等的两个直角三角形类似吗？ 4.有一个内角对应相等的两个等腰三角形类似吗？ 5.各有一个内角为100°的两个等腰三角形类似吗？
沪教版(上海)九年级上册数学 24.4相似三角形的判定 课件(共29张ppt)
相似吗？
A
A1
B
C B1
C1
直角三角形相似的判定定理：如 果一个直角三角形的斜边和一条 直角边与另一个直角三角形的斜 边和一条直角边对应成比例，那 么这两个直角三角形相似．
简述为：斜边和直角边对应成比 例，两个直角三角形相似.
C
C1
90 0 ,
AB A1 B1
BC B1C1
RtABC ∽ RtA1B1C1
AB AC CA A1B1 A1C1 C1A1
ABC∽ A1B1C1
例题3：已知如图，D、E、F分别是 ABC 的边BC、
CA、AB的中点.求证： DE∽F ABC
A
F
E
B
D
C
例题4:如图，在正方形网格上有两个三角形 A1B1C1 和 A2B2C2 求证：△ A1B1C1 ∽△ A2B2C2
（1）以下各图放置的小正方形的边长都相同，分别以小正方 形的顶点为顶点画三角形，则与△ABC相似的三角形图形为
24.4相似三角形的判定 （1）
1、什么叫做全等三角形？它在形状上、大小上 有何特征？
2．两个全等三角形的对应也和对应角有什么关 系？
3、复习平行线分线段成比例定理（文字表述及 基本图形）
A
A1
B
C B1
C1
新授1： 相似三角形的定义，相似比的概念 相似三角形的概念： 我们把对应角相等、对应边成比例 的两个三角形，叫做相似三角形 相似比的概念 ：相似三角形对应边的比K，叫做相似比 （或相似系数）． 注：①两个相似三角形的相似比具有 顺序性． ②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三 角形是相似三角形的特殊情形．
A1B1 A1C1 AB AC
,证明： △ABC ∽△ A1B1C1
沪科版九年级上册数学22.2 相似三角形的判定 (共20张PPT)
AC AE AC A'C '
B
B＇ C
C＇
AC AC , A ' C ' AE ∴△ADE≌△ ABC(SAS) A ' C ' AE A A ' ABC ∽ ABC
定理2 如果一个三角形的两条边与另一个三角形 的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个 三角形相似.
AB 4 1 BC 6 1 ( 2) , , A' B ' 12 3 B ' C ' 18 3 要使两三角形相 AC 8 似，不改变的 . A' C ' 21 AC长，A＇C＇ 的长应改为多少？ AB BC AC . A' B ' B ' C ' A' C '
△ABC与△A＇B＇C＇的三组对应边的比不等，它们 不相似．
例2:如图，BC与DE相交于点O，问：
（1）当∠B满足什么条件时，△ABC∽ADE？
（2）当AC：AE满足什么条件时，△ABC∽△ADE？
解：（1）∵∠A=∠A， ∴当∠B=∠D时， △ABC∽△ADE. (2)∵∠A=∠A， ∴当AC：AE=AB：AD时， △ABC∽△ADE.
AB BC AC 如图已知 ， 试说明∠BAD=∠CAE. AD DE AE
①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
4
5 6
2
相似三角形的判定方法
预备定理 平行于三角形一边的直线与其他两 边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三 角形相似．
定理1 两角分别相等的两个三角形相似.
定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角 形相似. 定理3 三边成比例的两个三角形相似.
沪教版初中数学九年级第一学期 相似三角形的性质 课件 _优秀课件资料
13、作家当然必须挣钱才能生活，写作，但是他决不应该为了挣钱而生活，写作。 14、在政治中我们需要能有所奉献的人，而不是想有所收获的人。 8.不是井里没水，是挖的不够深。不是成功来的慢，而是放弃的太快。所以成功不是靠奇迹，而是靠轨迹。失败的人习惯了放弃，而成功的人 永远选择了坚持！
11、没有一种不通过蔑视、忍受和奋斗就可以征服的命运。 7、你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。 27.意志的出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识水平上。
（2） CD2 AD BD.
C
A
D
B
（二）应用举例 例题4:
在ABC中，CD是AB上的高，ACB 90,
求证：（1）AC2 AD AB;
（2） CD2 AD BD.
C
A
D
B
思考：BC与BD、AB之间有什么数量关系?证明你猜想的结论？
CB2 BD AB.
例5 已知点D和E在△ABC的边AB和AC上，
DE // BC, DE 1 ,四边形DBCE的面积为16，
BC 3
求S ABC .
A
解： DE // BC,ADE ABC
D
a
E
SADE ( DE )2 (1)2 1 ,
SABC BC
39
3a
B
C
由S S S , 设 则或由 四由SS边题 形A1BD意 6CSSBC得 EAA1DBSCE,： 即 , 9S19SABA,CD设1E4S4ASDASED,AE=BCx得,得则 S8四SS边 9x形 A1BD4CB4x=C, ES9
12、涓涓细流一旦停止了喧哗，浩浩大海也就终止了呼吸。 6.我们总觉得不能改变现状，因此产生自我怀疑。其实，我们的能力远比我们想象中的强大，我们完全有能力可以为自己的所有选择和生活承 担起责任。
11、没有一种不通过蔑视、忍受和奋斗就可以征服的命运。 7、你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。 27.意志的出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识水平上。
（2） CD2 AD BD.
C
A
D
B
（二）应用举例 例题4:
在ABC中，CD是AB上的高，ACB 90,
求证：（1）AC2 AD AB;
（2） CD2 AD BD.
C
A
D
B
思考：BC与BD、AB之间有什么数量关系?证明你猜想的结论？
CB2 BD AB.
例5 已知点D和E在△ABC的边AB和AC上，
DE // BC, DE 1 ,四边形DBCE的面积为16，
BC 3
求S ABC .
A
解： DE // BC,ADE ABC
D
a
E
SADE ( DE )2 (1)2 1 ,
SABC BC
39
3a
B
C
由S S S , 设 则或由 四由SS边题 形A1BD意 6CSSBC得 EAA1DBSCE,： 即 , 9S19SABA,CD设1E4S4ASDASED,AE=BCx得,得则 S8四SS边 9x形 A1BD4CB4x=C, ES9
12、涓涓细流一旦停止了喧哗，浩浩大海也就终止了呼吸。 6.我们总觉得不能改变现状，因此产生自我怀疑。其实，我们的能力远比我们想象中的强大，我们完全有能力可以为自己的所有选择和生活承 担起责任。
沪科版数学九年级上册22.2第2课时三角形相似判定定理1 课件(共18张PPT)
3.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明：△ADE∽△EFC.解：∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C. ∵EF∥AB， ∴∠B＝∠EFC， ∴∠ADE＝∠EFC， ∴ △ADE∽△EFC.
2.已知，如图在△ABC中，AB=AC，DE//BC，点F在边A，C上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE. 求证:(1) △DEF∽△BDE . (2) DG·DF=DB·EF .证明：源自同学们再见！授课老师：
时间：2024年9月1日
归纳小结
相似三角形的判定 定理1 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（可简单说成：两角分别相等的两个三角形相似）几何语言： ∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′， ∠B=∠B′， ∴ △ABC∽△A′B′C′.
随堂练习
回顾复习
怎样判定两个三角形相似？(1)定义法 对应角相等，对应边长度的比例相等的两个三角形叫做相似三角形. 相似三角形的定义既是相似三角形的一种判定方法，又是它的一个性质.(2)预备定理 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.利用预备定理判定两个三角形相似时，只需“平行”这一个条件就能判定.
在△ADE与△A′B′C′中， ∠A=∠A′ ,∵ AD=A′B′ , ∠ADE=∠B′ ,∴△ADE∽△A′B′C′(ASA) ,∴△ABC∽△A′B′C′ .
可以发现
相似三角形的判定 定理1 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（可简单说成：两角分别相等的两个三角形相似）.几何语言： ∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′， ∠B=∠B′， ∴ △ABC∽△A′B′C′.
2.已知，如图在△ABC中，AB=AC，DE//BC，点F在边A，C上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE. 求证:(1) △DEF∽△BDE . (2) DG·DF=DB·EF .证明：源自同学们再见！授课老师：
时间：2024年9月1日
归纳小结
相似三角形的判定 定理1 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（可简单说成：两角分别相等的两个三角形相似）几何语言： ∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′， ∠B=∠B′， ∴ △ABC∽△A′B′C′.
随堂练习
回顾复习
怎样判定两个三角形相似？(1)定义法 对应角相等，对应边长度的比例相等的两个三角形叫做相似三角形. 相似三角形的定义既是相似三角形的一种判定方法，又是它的一个性质.(2)预备定理 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.利用预备定理判定两个三角形相似时，只需“平行”这一个条件就能判定.
在△ADE与△A′B′C′中， ∠A=∠A′ ,∵ AD=A′B′ , ∠ADE=∠B′ ,∴△ADE∽△A′B′C′(ASA) ,∴△ABC∽△A′B′C′ .
可以发现
相似三角形的判定 定理1 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（可简单说成：两角分别相等的两个三角形相似）.几何语言： ∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′， ∠B=∠B′， ∴ △ABC∽△A′B′C′.
沪科版数学九年级上册 22.2 相似三角形的判定 课件(共66张PPT)
AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥EC
1
2
求证：△ABC∽△CDE。 B C
D
证明：
∵AB⊥BD、ED⊥BD∴∠ABC=∠CDE=90°
∴∠1+∠A=90°
∵AC⊥EC ∴∠1+∠2=90°∴∠A=∠2
∴△ABC∽△CDE
能力与提高
如图所示：已知Rt△ABC和 A
Rt△DEF不相似，其中∠C、∠F
为直角。能否将两个三角形分别分 C
过点D作BC的平行线DE交AC于点E，则有： △ADE∽△ABC ∵∠ADE=∠B，∠B=∠B′ ∴∠ADE=∠B′ 又∵∠A=∠A′，AD=A′B′ ∴△ADE≌△A′B′C′(ASA) ∴△A′B′C′∽△ABC
定理1： 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形
的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 （可简单说成：两个角分别相等的两个三角形相似）
A
DE B AC
B
C
D
E
ED
A
B
C
符号语言 在△ABC中， 若DE∥BC，（如图所示） 则△ADE∽△ABC。
巩固练习
如图，在平行四边形ABCD中，
DE交BC于F，交AB的延长线于点E。
D
C （1）请写出图中相似的三角形；
F
（2）请由其中的一对相似三角形写
A
出相应的比例式；
B
E （3）请说明AE·BF与AD·BE是否
即写成△ABC∽△A′B′C′，表明对应关系 是唯一确定的，即A与A′、B与B′、C与C′分别 对应。如果仅说“这两个三角形相似”，没有 用“∽”表示的，则没有说明对应关系。
相似三角形的对应关系
对于△ABC∽△A′B′C′，根据相似三角形的定 义，应有∠A= ∠A′，∠B= ∠B′，∠C=∠C′，
新沪科版九年级上册初中数学 22-3相似三角形的性质 教学课件
应”两字，要找准对应线段．
新课讲解
〈探究题〉如图，在△ABC 中，DE∥BC，AF为高， AD∶AB＝1∶3，则AG∶AF＝__1__：__3__．
导引：因为DE∥BC， 所以△ADE∽△ABC. 又AF为△ABC的高， 所以AG是△ADE的高，
所以 AG AD 1 .
AF AB 3
新课讲解
81
3
由此根据△ABC的各边长可求出△A′B′C′的各
边长．
新课讲解
解：∵在△ABC中，AB＝12 cm， BC＝18 cm，AC＝24 cm，
∴△ABC的周长为54 cm， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为 54 =，2
81 3
∴ AB BC CA 2，
AB BC CA 3
∴A′B′＝18 cm，B′C′＝27 cm， C′A′＝36 cm.
布置作业
请完成《 少年班》P2-P3对应习题
第二十二章 相似形
22.3 相似三角形的性质
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.相似三角形对应线段的比、相似三角形周长的比、相似三角形面 积的比。 2.掌握相似三角形的性质。（重点）
新课导入
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的 长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长 度等，如果两个三角形相似，那么它们的这些几何 量之间有什么关系呢？
新课讲解
如图，△ABC的面积为25，直线DE平行于BC分别交
AB,AC于点D,E,如果△ADE的面积为9，求 AD 的值. DB
解：∵ D E ∥ B C ,∴△A D E ∽△A B C .
新课讲解
〈探究题〉如图，在△ABC 中，DE∥BC，AF为高， AD∶AB＝1∶3，则AG∶AF＝__1__：__3__．
导引：因为DE∥BC， 所以△ADE∽△ABC. 又AF为△ABC的高， 所以AG是△ADE的高，
所以 AG AD 1 .
AF AB 3
新课讲解
81
3
由此根据△ABC的各边长可求出△A′B′C′的各
边长．
新课讲解
解：∵在△ABC中，AB＝12 cm， BC＝18 cm，AC＝24 cm，
∴△ABC的周长为54 cm， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为 54 =，2
81 3
∴ AB BC CA 2，
AB BC CA 3
∴A′B′＝18 cm，B′C′＝27 cm， C′A′＝36 cm.
布置作业
请完成《 少年班》P2-P3对应习题
第二十二章 相似形
22.3 相似三角形的性质
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.相似三角形对应线段的比、相似三角形周长的比、相似三角形面 积的比。 2.掌握相似三角形的性质。（重点）
新课导入
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的 长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长 度等，如果两个三角形相似，那么它们的这些几何 量之间有什么关系呢？
新课讲解
如图，△ABC的面积为25，直线DE平行于BC分别交
AB,AC于点D,E,如果△ADE的面积为9，求 AD 的值. DB
解：∵ D E ∥ B C ,∴△A D E ∽△A B C .