人教版解直角三角形ppt导学课件
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《解直角三角形》数学教学PPT课件(3篇)
b
获取新知
B
对边 a C
c 斜边
b 邻边 A
定义：一般地，直角三角形中，除直角外 还有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三 角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程 叫做解直角三角形.
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
B
①三边之间的关系
a
c
a2 b2 c2
C
A
b
已知任意两边可求出第
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°， ∴BD= AD 2 6
tan B 3
∴BC=CD+BD=3 2 + 6
A
D B
归纳总结
C
┐
AD
BB
A D
CE
┐
提 求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适 示
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
BC
AB cosB
2 1
4，AC
AB
tanB
2
3.
2
△ABC的周长为2+ 2 3 +4=6+ 2 3 .
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 12 ，△ABC 5
的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精 确到0.1 cm）
例5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)
获取新知
B
对边 a C
c 斜边
b 邻边 A
定义：一般地，直角三角形中，除直角外 还有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三 角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程 叫做解直角三角形.
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
B
①三边之间的关系
a
c
a2 b2 c2
C
A
b
已知任意两边可求出第
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°， ∴BD= AD 2 6
tan B 3
∴BC=CD+BD=3 2 + 6
A
D B
归纳总结
C
┐
AD
BB
A D
CE
┐
提 求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适 示
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
BC
AB cosB
2 1
4，AC
AB
tanB
2
3.
2
△ABC的周长为2+ 2 3 +4=6+ 2 3 .
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 12 ，△ABC 5
的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精 确到0.1 cm）
例5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)
《解直角三角形》教学课件(新人教版九年级下册数学ppt)(共15张PPT)
C
6
B
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.1821.9.18Saturday, September 18, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。09:41:3709:41:3709:419/18/2021 9:41:37 AM
课后作业
教科书练习 教科书习题 28.2 第 1 题
•
17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。上午9时41分37秒上午9时41分09:41:3721.9.18
•
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这
一角一边
A
30
2
在Rt△ABC中,
（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30,
你能求出这个三角形的其他元素吗?
∠B
AC
BC
两边
（2）根据AC=
，BC=
C
6 B 你能求出这个三角形的其他元素吗？
∠A ∠B AB
你发现了什么?
（3）根∠A=60°,∠B=30°,
两角
你能求出这个三角形的其他元素吗?
不能
在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素 (其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素.
如图设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B 点向垂直中心线引垂线，垂足为点C，在Rt△ABC中，∠C＝90°， BC＝5.2m，AB＝54.5m.
6
B
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.1821.9.18Saturday, September 18, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。09:41:3709:41:3709:419/18/2021 9:41:37 AM
课后作业
教科书练习 教科书习题 28.2 第 1 题
•
17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。上午9时41分37秒上午9时41分09:41:3721.9.18
•
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这
一角一边
A
30
2
在Rt△ABC中,
（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30,
你能求出这个三角形的其他元素吗?
∠B
AC
BC
两边
（2）根据AC=
，BC=
C
6 B 你能求出这个三角形的其他元素吗？
∠A ∠B AB
你发现了什么?
（3）根∠A=60°,∠B=30°,
两角
你能求出这个三角形的其他元素吗?
不能
在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素 (其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素.
如图设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B 点向垂直中心线引垂线，垂足为点C，在Rt△ABC中，∠C＝90°， BC＝5.2m，AB＝54.5m.
人教版数学九年级下册《 解直角三角形》PPT课件
∴ AB的长为
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = 0.8 ，BC=8，则
AC的值为( B )
A．4
B．6
C．8
D．10
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
sin B 4 ，则菱形的周长是 ( C )
5
A．10
B．20
C．40
D．28
链接中考
如图，在△ABC中，BC=12，tan A 3 ，B=30°；求
已知一边及一锐角解直角三角形
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°， b = 20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
解：∠A 90 ∠B=90 35 =55 .
tan B b ，
a
c
a b 20 28.6.
tan B tan 35
B
35° a
sin B b，c b 20 34.9.
探究新知
A
在Rt△ABC中,
一角
（1）根据∠A= 60°，你能求出这个三角形
的其他元素吗?
不能
两角
C
B （2）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个
你发现了
三角形的其他元素吗?
不能
一角
什么？ （3）根据∠A= 60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的其 一边
他元素吗?
∠B
AC BC
两边
（4）根据 BC 2 3，AC= 2 ， 你能求出这个三角形的
AC和AB的长．
4
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
H
∴CH 1 BC 6 ，BH BC2 CH 2 6 3 ，
人教版九年级下册数学课件：28.2.1 解直角三角形(共17张PPT)
问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的 距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜 边AB＝6，求∠A的对边BC的长． B
BC 由 sin A 得 AB
BC AB sin A 6 sin 75
由计算器求得 sin75°≈0.97 所以 BC≈6×0.97≈5.8
A
α C
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m。
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的 角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6， 求锐角a的度数
由于
AC 2.4 cos a 0.4 AB 6
A
α
B
利用计算器求得 a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面 所成的角大约是66°
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC 的平分线 AD 4 3 ，解这个直角三角形。
AC 6 3 解：cos CAD AD 4 3 2
A
CAD 30
因为AD平分∠BAC
6
C
4 3
D
CAB 60, B 30
B
AB 12, BC 6 3
A的对边 a A的邻边 b
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC 2 , BC 6
解这个直角三角形
A
解：
BC 6 tan A 3 AC 2
2
C
6
A 60
B
B 90 A 90 60 30
AB 2 AC 2 2
人教版解直角三角形的八种类型ppt导学课件
(1)求证：CD∥BF； (2)若⊙O的半径为5，cos∠BAD ＝ ，求线4 段AD的长．
5
人教版..解直角三角形的八种类型实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
人教版..解直角三角形的八种类型实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
(1) 证明：∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴BF⊥AB， ∵CD⊥AB， ∴CD∥BF. (2) 解：如图，连接BD， ∵AB是直径，∴∠ADB＝90°， ∵⊙O的半径是5，∴AB＝10， ∵cos ∠BAD＝4 ＝ A D ，
(1)若△ABD是等边三角形， 求DE的长； (2)若BD＝AB，且tan∠HDB
3
＝ ，求4 DE的长．
人教版..解直角三角形的八种类型实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
人教版..解直角三角形的八种类型实 用课件 （PPT，AB＝10.
∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝10.
人教版..解直角三角形的八种类型实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
人教版..解直角三角形的八种类型实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
解：∵AD，CE是△ABC的高， ∴∠ADB＝∠CEB＝90°. ∵∠B＝∠B，∴△ADB∽△CEB， ∴ BD＝BA，即BD＝BE.
BE BC BA BC
∵∠B＝∠B，∴△DBE∽△ABC. ∴∠ACB＝∠DEB. 设CD＝x，则DB＝6－x. 在Rt△ABD中，AD2＝AB2－DB2， 在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2，
类型 1 已知两边解直角三角形
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直 角三角形．
(1)a＝ 6 ，1 5 b＝ 6 ；5
(2)a＝ 1 0 ，3 b＝10.
解：(1)
a tan b
5
人教版..解直角三角形的八种类型实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
人教版..解直角三角形的八种类型实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
(1) 证明：∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴BF⊥AB， ∵CD⊥AB， ∴CD∥BF. (2) 解：如图，连接BD， ∵AB是直径，∴∠ADB＝90°， ∵⊙O的半径是5，∴AB＝10， ∵cos ∠BAD＝4 ＝ A D ，
(1)若△ABD是等边三角形， 求DE的长； (2)若BD＝AB，且tan∠HDB
3
＝ ，求4 DE的长．
人教版..解直角三角形的八种类型实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
人教版..解直角三角形的八种类型实 用课件 （PPT，AB＝10.
∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝10.
人教版..解直角三角形的八种类型实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
人教版..解直角三角形的八种类型实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
解：∵AD，CE是△ABC的高， ∴∠ADB＝∠CEB＝90°. ∵∠B＝∠B，∴△ADB∽△CEB， ∴ BD＝BA，即BD＝BE.
BE BC BA BC
∵∠B＝∠B，∴△DBE∽△ABC. ∴∠ACB＝∠DEB. 设CD＝x，则DB＝6－x. 在Rt△ABD中，AD2＝AB2－DB2， 在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2，
类型 1 已知两边解直角三角形
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直 角三角形．
(1)a＝ 6 ，1 5 b＝ 6 ；5
(2)a＝ 1 0 ，3 b＝10.
解：(1)
a tan b
人教版九年级数学课件：28.2 解直角三角形(共28张PPT)
D
A
甲
乙
B
C
1、在实际问题数学化，运用仰角、俯角 概念解直角三角形时，要首先找出它 们所在的直角三角形，表示时注意 “水平线”；
2、认真分析题意，在原有的图形中寻找 或通过添加辅助线构造直角三角形来 解决问题；
3、再结合图形中的已知元素，解出要求 的未知元素。
A组：
A组：
3、为了测量铁塔的高度，在离铁塔底 部100米的C处，用测角仪测得塔顶 A的仰角为30°，已知测角仪的高 CD为1.2米，求铁塔的高度AB.
3、
28.2 解直角三角形第三课时
1、概念： （1）仰角：从下向上看，
视线与水平线的夹 角叫仰角。 （2）俯角：从上向下看， 视线与水平线的夹 角叫俯角。
2、由A看向B仰角为50°，则由B看向 A的俯角为 .
3、在飞行高度1000米高空的飞机上， 看到地面某标志物的俯角为30°， 那么飞机与标志物之间的距离是 米.（画图分析）
较长的对角线呢？
2、 “神舟”10号载人航天飞船发射成 功，当飞船完成变轨后，就在离地球 350km的圆形轨道上运行，当飞船运行 到地球表面上P点的正上方时，从飞船上 能直接看到的地球上最远的点在什么位 置？这样的最远点与P点的距离是多少？ (地球半径约为6400km)
2、 “神舟”10号载人航天飞船发射成功，当飞船完成变轨后， 就在离地球350km的圆形轨道上运行，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球上最远的点在什么位置？ 这样的最远点与P点的距离是多少？(地球半径约为6400km)
28.2 解直角三角形第一课时
在Rt△ABC中,∠C=90°，三边为a，b，c， 1.三边之间关系： a2 +b2 =c2 (勾股定理) 2.锐角之间关系：∠A+∠B=90° 3.边角之间的关系： （锐角三角函数）
解直角三角形完整版PPT课件
余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。
《解直角三角形》-完整版PPT课件
整理，得4t2-26t+39=0
解之，得
t1
13413,t2
13 13 4
∴台风抵达D港的时间为 1 3 1 3 小时.
B
∵轮船从A处用 1 3
≈25.5.
4
13
4
小时到达D港的速度为60÷
1
3413∴为台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6里/时.
例7 如图，公路MN和公路N上沿PN方向行驶时，学校是否会受 到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速 度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其 他特殊图形的组合；
（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现
例1 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行
计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，
那么BC= ，
3
∴tan30°= AC 1 3 BC 3 3
A
D
C
B
祝同学们学习进步！ 再见！
∴C1D0=201208（02米）
学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时= 时=1 24秒
150
小结：
1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题 2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决
C FG
∵ sinB= ，AG AB
D E
AG=AB•sinB=415•sin37°=415 06=
A
37 °B
249 25cm，
即EF 25cm
答：球的直径约为25cm
《28.2.1解直角三角形》教学课件(共12张PPT)
Ｂ
Ｂ
c 45°
6a
c 30° a
Ａ
bＣ
Ａ
bＣ
2、在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=6，
BA的C 平分线AD=4 3，解此直角三角形。
A
30 60
12
6
43
60
30
C
D
B
63
在四边形ABCD中，∠ A= 60°，AB⊥BC，AD⊥DC，
AB=20cm，CD=10cm，求AD，BC的长（保留根
号）？
义务教育教科书（人教版）九年级数学下册
一、真空。
角α
三角函数
sinα
cosα
tanα
30°
1 2
3 2
3Байду номын сангаас
3
45°
2
2
2
2
1
60°
3 2
1 2
3
一个直角三角形有几个元素？它们之间有何 关系？
有三条边和三个角，其中有一个角为直角
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
观测点
北
60º
A
？
30海里
C
被B 观测点
这个问题归结为:
在Rt△ABC中,已知∠A= 60°,斜边AB=30,求AC的 长
在直角三角形中,由已知元素求未知
元素的过程,叫 解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
Ｂ
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
c
(3)边角之间的关系: a
Ｂ
(3)边角之间的关系:
28.2.1 解直角三角形 课件(共16张PPT) 2024-2025学年数学人教版九年级下册
2
1
x x 52.
3
2
C
A
合作探究
15 2
15 2
x1
, x2
（舍去）
.
4
4
B
∴ AB的长为 15 2 .
4
C
A
典例精析
例1 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，
则下列各式正确的是( C )
A. b = a·tanA
<
>
m
<
>
/m
已知 = ， = ，则 的值为____.
课堂总结
勾股定理
依据
两锐角互余
锐角的三角函数
解直角三角形
解法：只要知道五个元素中的两
个元素（至少有一个是边），就
可以求出余下的三个未知元素
/m
随堂练习
2.如图，在 △ 中， = ， = ， = ，则 的值为( C
2)
@
A. <
><
m
>
/m
B. <
><
m
>
/m
C. <
><
m
>
/m
D. <
></m
m
>
3.在 △ 中， ∠ = ∘ ， ∠ ， ∠ ， ∠ 所对的边分别为 ， ， ，
sin B , c
sin B sin 35
c
a
C
合作探究
1
x x 52.
3
2
C
A
合作探究
15 2
15 2
x1
, x2
（舍去）
.
4
4
B
∴ AB的长为 15 2 .
4
C
A
典例精析
例1 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，
则下列各式正确的是( C )
A. b = a·tanA
<
>
m
<
>
/m
已知 = ， = ，则 的值为____.
课堂总结
勾股定理
依据
两锐角互余
锐角的三角函数
解直角三角形
解法：只要知道五个元素中的两
个元素（至少有一个是边），就
可以求出余下的三个未知元素
/m
随堂练习
2.如图，在 △ 中， = ， = ， = ，则 的值为( C
2)
@
A. <
><
m
>
/m
B. <
><
m
>
/m
C. <
><
m
>
/m
D. <
></m
m
>
3.在 △ 中， ∠ = ∘ ， ∠ ， ∠ ， ∠ 所对的边分别为 ， ， ，
sin B , c
sin B sin 35
c
a
C
合作探究
人教版九年级数学下册§28.2解直角三角形PPT
2019/3/10
5．解：在Rt△ADE中，DE=3 2 ， ∠DAE=45°， DE ∴sin∠DAE= AD ，
∴AD=6． 又∵AD=AB， BC 在Rt△ABC中，sin∠BAC= AB ，
∴BC=AB· sin∠BAC=6· sin65°≈5.4． 答：点B到地面的垂直距离BC约为5.4米．
2019/3/10
4.（2006，盐城）如图，花丛中有一路灯杆 AB．在灯光下，小明在D• 点处的影长DE=3米， 沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的 影长GH=5米．• 如果小明的身高为1.7米，求路灯 杆AB的高度（精确到0.1米）．
2019/3/10
4．解：设AB=x米，BD=y米． 由△CDE∽△ABE得
设BC=x，则EC=BC=x． 在Rt△ACE中，AC= 3 x，
∵AB=AC-BC， 即20= 3 x-x． 解得x=10 3 +10．
∴BD=BC+CD=BC+EF =10 3+10+35≈45+10×1.732≈62.3（m）． 所以小山BD的高为62．3m．
2019/3/10
题型4 应用举例
2019/3/10
3．解：如图设BC=x， 在Rt△ADF中，AD=180，∠DAF=30°， ∴DF=90，AF=90 3 ． ∵∠BAC=∠ABC=45°， ∴AC=BC=x． ∴BE=BC-EC=x-90． 在Rt△BDE中，∠BDE=60°， 3 3 ∴DE= BE= （ 3 3 x-90）． FC=AC-AF=x-90 3 ． ∵DE=FC， 3 ∴ （ x-90）=x-90 ．
径，弦AC、BD相交于E，则
A．tan∠AED C．sin∠AED
人教版九年级数学下册解直角三角形ppt课件
AD 4 2 2
∴∠ADC=45°, ∴∠ADB=180°-45°=135°.
5.(2018黑龙江大庆龙凤月考)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边 分别为a,b,c.根据下列条件解直角三角形. (1)已知a=5,∠B=60°; (2)已知a=5 2 ,b=5 6 .
解析 (1)∵∠C=90°,∠B=60°, ∴∠A=30°, ∵cos B=cos 60°= a = 1 ,a=5,∴c=10,
5
(1)求AB的长; (2)求cos∠BAD的值.
图28-2-1-6
解析 (1)在Rt△ADC中,∵∠C=90°,sin∠ADC= AC = 4,AD=5,∴AC=4.
AD 5
由勾股定理得CD= AD2 -AC2 =3, ∴BC=CD+DB=3+5=8, 在Rt△ABC中,∠C=90°, 由勾股定理得AB= AC2 BC2 = 42 82 =4 5 . (2)∵AD=BD, ∴∠BAD=∠ABD.
知识点一 解直角三角形 1.解直角三角形的定义与边角关系
2.解直角三角形的类型
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
已知条件
解法
两直角边 斜边、一直角边(如c,a) 一锐角与邻边(如∠A,b) 一锐角与对边(如∠A,a) 斜边与一锐角(如c,∠A)
由tan A= a,求∠A;∠B=90°-∠A;c= a2 b2
点O,AB⊥AC.若AB=8,tan∠ACB= 2,则BD的长是
.
3
图28-2-1-3
答案 20
解析 ∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∴BO=DO,AO=CO,∵AB
⊥AC,AB=8,tan∠ACB= 2= AB ,∴AC= 3AB=12,∴OA=6,∴BO= OA2 AB2=
∴∠ADC=45°, ∴∠ADB=180°-45°=135°.
5.(2018黑龙江大庆龙凤月考)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边 分别为a,b,c.根据下列条件解直角三角形. (1)已知a=5,∠B=60°; (2)已知a=5 2 ,b=5 6 .
解析 (1)∵∠C=90°,∠B=60°, ∴∠A=30°, ∵cos B=cos 60°= a = 1 ,a=5,∴c=10,
5
(1)求AB的长; (2)求cos∠BAD的值.
图28-2-1-6
解析 (1)在Rt△ADC中,∵∠C=90°,sin∠ADC= AC = 4,AD=5,∴AC=4.
AD 5
由勾股定理得CD= AD2 -AC2 =3, ∴BC=CD+DB=3+5=8, 在Rt△ABC中,∠C=90°, 由勾股定理得AB= AC2 BC2 = 42 82 =4 5 . (2)∵AD=BD, ∴∠BAD=∠ABD.
知识点一 解直角三角形 1.解直角三角形的定义与边角关系
2.解直角三角形的类型
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
已知条件
解法
两直角边 斜边、一直角边(如c,a) 一锐角与邻边(如∠A,b) 一锐角与对边(如∠A,a) 斜边与一锐角(如c,∠A)
由tan A= a,求∠A;∠B=90°-∠A;c= a2 b2
点O,AB⊥AC.若AB=8,tan∠ACB= 2,则BD的长是
.
3
图28-2-1-3
答案 20
解析 ∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∴BO=DO,AO=CO,∵AB
⊥AC,AB=8,tan∠ACB= 2= AB ,∴AC= 3AB=12,∴OA=6,∴BO= OA2 AB2=
《解直角三角形及其应用》ppt导学课件
义务教育教科书（人教版）九年级数学下册
《解直角三角形及其应用》实用课件 （PPT优 秀课件 ） 《解直角三角形及其应用》实用课件 （PPT优 秀课件 ）
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结束语Biblioteka 学习知识要善于思考，思考，再思考。
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结束语Biblioteka 学习知识要善于思考，思考，再思考。
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知2－练
1 在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三
角形：
（1） ∠B=72°，c=14；
（2） ∠B=30°，a= 7 .
2 (2016·沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B
＝30°，AB＝8，则BC的长是( )
43
A. 3 C．8 3
B．4 D．4 3
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知1－导
上述（3）中的A都可以换成B，同时把a，b互换.
归纳
知1－导
利用这些关系，知道其中的两个元素（至少有一 个是边），就可以求出其余三个未知元素.
知1－讲
已知斜边和直角边：先利用勾股定理求出另一直 角边，再求一锐角的正弦和余弦值，即可求出一锐角， 再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．
解： 如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝1，sin B＝ 2 ， 4
∴AD＝AB·sin B＝ 1 2 2 ， 44
∴BD＝
AB2AD2
12
22 4
14 .
4
∴CD＝ AC2AD2
2 22 30
2
4
. 4
∴BC＝CD＋BD＝
30 14= 30 14.
44
4
知3－讲
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例3 如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝ 2 ，sin B＝ 4 2 ， 求BC的长．
导引：要求的BC边不在直角三角形中，已知条件中有 ∠B的正弦值，作BC边上的高，将∠B置于直角 三角形中，利用解直角三角形就可解决问题．
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AC 2
∴∠A=60° ， ∠B=90°-∠A=90°- 60°=30°， AB=2AC=2 2 .
总结
知1－讲
已知直角三角形的两边解直角三角形的方法： 先由勾股定理求第三边，再由两边中一直角边所对 的角与这两边的关系，求出这个角，最后由两锐角 互余求出第三个角．
知1－练
1 在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三
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知2－导
知识点 2 已知一边及一锐角解直角三角形
课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太 阳光线与地面成35°时，测得旗杆AB在地面上的投影 BC长为23. 5米，那么你能求 出旗杆AB的高度吗?
如果将上述实际问题抽象为数学问题，就是已知直 角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数.
一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素， 即三条边和两个锐 角.由直角三角形中的已知元素，求 出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.
知识点 1 已知两边解直角三角形
知1－导
探究： （1）在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？ （2）知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？
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知3－练
1
如图，在△ABC中，sin B＝
2 2
，∠A＝105°，AB
＝2，求△ABC的面积．
2
(2016·兰州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin
A＝
3 5
，
BC＝6，则Aห้องสมุดไป่ตู้＝( )
A．4
B．6
C．8
D．10
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2.解直角三角形就是在直角三角形中，由已知元素求未 知元素的过程.
3.在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素只 要知道两个元素（其中至少有一条边）就可以求出其 余的三个元素.解直角三角形，是三角形知识的综合运 用，它只有下面两种情况：一是已知两条边解直角三 角形；二是已知一条边和一个锐角解直角三角形.
②a=c·sin A ; ③b=c·cos A.
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知2－讲
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B= 35°，b=20， 解这个直角三角形（结果保留小数点最后一位）.
解：∠A=90°-∠B=90°- 35°=55°.
锐角互余求出另一个锐角，然后利用三角函数(正弦、 余弦)求出两条直角边； (2)若已知一个直角三角形的一个锐角和一条直角边，则 可由两锐角互余求出另一个锐角，然后利用余弦或正 弦求出其斜边，利用正切求出其另一条直角边．
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身中心线与垂直中心线的夹角为∠ A，过点 B向垂直中心线引垂线，垂足为点 C(如图). 在Rt△ABC中， ∠C= 90°，BC= 5.2 m， AB=54.5 m，因此
sin A= BC 5.2 0.0954，
AB 54.5
利用计算器可得∠A≈5°28′.
类似地，可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直 中心线的夹角.你能求出来吗？
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归纳
知2－导
已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角
形时，若已知一直角边a和一锐角A： ① ∠B=90 °-
∠
A；②c=
a ;③b sinA
a. tanA
若已知斜边c和一个锐角A： ① ∠ B=90°- ∠ A；
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1.在直角三角形中有三条边、三个角，它们具备以下关系： （1）三边之间关系：a2+b2=c2 (勾股定理）. （2）锐角之间的关系：∠A+ ∠B = 90°. （3）边角之间的关系： 正 弦 ： sin A A 斜 的 边 对 边 ,sin B B 斜 的 边 对 边 余 弦 ： c o sA A 斜 的 边 邻 边 ,c o sB B 斜 的 边 邻 边 正 切 ： ta n A A A 的 的 对 邻 边 边 ， ta n B B B 的 的 对 邻 边 边
已知两直角边：应用勾股定理求斜边，应用角的 正切值求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余， 求出另一锐角．一般不用正弦或余弦值求锐角，因为 斜边是一个中间量，如果是近似值，会影响结果的精 确度．
知1－讲
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= 2 ， BC= 6 ，解这个直角三角形.
解：∵ tanABC 6 3，
tan B b ， a
a b 20 28.6. tanB tan35
sin B b ， c
c b 20 34.9. sinB sin35
你还有其他 方法求出c吗？
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总结
知2－讲
已知一锐角和一边解直角三角形的方法： (1)在直角三角形中，若已知一个锐角和斜边，则可由两
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总结
知3－讲
通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三 角形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题， 这种“化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结 合已知条件，充分利用已知条件，如本题若过B点 作AC的垂线，则∠B的正弦值就无法利用．
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知2－练
3 在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3， 则a等于( )
3
A. 3 B. 3 C．6
3
D. 2
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知3－讲
知识点 3 已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形
角形：c=30，b=20;
2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2 5 ，AC＝ 1 5 ，
则∠A的度数为( )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
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知1－练
3 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求 ∠A的值，最适宜的做法是( ) A．计算tan A的值求出 B．计算sin A的值求出 C．计算cos A的值求出 D．先根据sin B求出∠B，再利用90°－∠B求出
第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用
第1课时 解直角三角形
1 课堂讲解 已知两边解直角三角形
已知一边及一锐角解直角三角形 已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
我们回到本章引言提出的比萨斜塔倾斜程度的问题. 1972年的情形：设塔顶中心点为B，塔
如图，在Rt△ABC中，∠C为直角， ∠A， ∠B， ∠C所对的边分别为a，b，c， 那么除直角∠ C外的 五个元素之间有如下 关系：
（1）三边之间的关系a2+b2=c2 (勾股定理）；
（2）两锐角之间的关系∠A+ ∠B = 90°；
（3）边角之间的关系
sinAA斜 的边 对边 ac, coAsA斜 的边 邻边 bc, taA n A A的 的 邻 对边 边 ab.