第四章 有限差分基础

网格
有限差分采用结构化网格划分
计算分子（computational molecule） 计算分子（ ）
计算节点和相关的相邻点
网格
一维
Nj
1 i-1 i i+1 N
二维
j+1 j j-1 (i,j)
结构化网格
1 1 i-1 i i+1
计算分子（ 计算分子（computational molecule） ）
特别是，在使用广泛应用的一 般坐标系上的守恒表达形式的 条件下，要达到实质性的收敛 解，需采用双精度，可使误差 充分减少，但此时如采用单精 度，可能误差都达不到3阶。
离散误差（discretization error）
离散解 － 精确解 ＝离散误差 指在无舍入误差的条件下，差分方程的 解（即差分方程的严密解）和微分方程 的精确解之差。
NN
N
N WW W P S E W EE S
T P B N E
W
P
E
W P
3点计算分 子(1D)
E
S
SS
5点计算分子 (2D)
9点计算分子
7点计算分子 (3D)
3点： aPφP + aEφE + aWφW = bP 5点： aPφP + aEφE + aWφW + aNφN + aSφS = bP 9点：........
向前差分(forward difference，FDS)
向前展开
2 1 ∂φ 2∂ φ φi+1 = φi + ∆x + (∆x ) 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ∂x i ∂x i 2
φ j +1 − φ j ∂φ = + O(∆x) ∂x j ∆x
向前差分式
向后差分(backward difference，BDS) 向后差分 ，
i-1/2 i-1 i
i+1/2 i+1
（i±1/2）∆x的Taylor展开
∂φ ∂x =
i+ 1 2
φi +1 − φi
xi +1 − xi
∂φ ∂x
=
i− 1 2
φi − φi −1
xi − xi −1
φ − 2φi + φi −1 ∂ 2φ = i +1 + O(∆x 2 ) ∂x 2 i ∆x 2
4.4 数值误差
误差的来源：∆=计算值－精确值， 源于：错误、离散、舍入、截断
截断误差（truncation error） 舍入误差 （ round-off error ） 离散误差 (discretization error)
微分方程 精确解 差分方程 近似解
截断误差 离散误差
截断误差（truncation error）
∂φ ∂t
n +1 i
+
∂φ ∂x
n i
n +1
∂φ = 2 ∂x
2
n +1
∂φ φ − φ = ∆t ∂t i
∂φ φin＋1 − φin＋1 −1 = +1 2∆x ∂x
∂ 2φ = f φ in +1 , φ in +1 , φ in +1 −1 +1 ∂x 2
)
L (T ) − L' (Ti n ) = error trunc误差趋近于零
截断误差的计算
热传递方程
将进行时间方向的Taylor 展开和进行空间方向的 Taylor展开 • 时间方向的Tayor展开
Ti
n +1 2 ∂T 1 2∂ T = Ti + ∆t + (∆t ) 2 + ... ∂t i 2 ∂t i n n n
2次精度向前差分 次精度向前差分
（j+1,+2）处进行Taylor展开
∂φ − 3φi + 4φi +1 − φi + 2 = + O ( ∆x 2 ) ∂x i 2 ∆x
上风法、迎风法（ 上风法、迎风法（upwind difference, UDS） ）
与速度有关的微分
u<0
φi − φi −1 ρu x − x , if ∂ (ρuφ ) i i −1 ≈ ∂x ρu φi +1 − φi , if xi +1 − xi u > 0; 向后 u < 0; 向前
2 1 ∂φ 2∂ φ φi+1 = φi + ∆x + (∆x ) 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ∂x i ∂x i 2
φ i −1
2 ∂φ 1 2 ∂ φ = φi − ∆x + (∆ x ) − ⋅⋅⋅ ∂x i 2 ∂x 2 i
∂φ φi +1 − φi −1 = + O (∆x 2 ) ∂x i 2∆x
∂T ∂ 2T − α 2 = 0 ≡ L(T ) ∂t ∂x
方程的截断误差为
微分形式
∂T ∂ 2T −α 2 ∂t i ∂x
n n n n Ti n+1 − Ti n Ti +1 − 2Ti n + Ti −1 = −α + ∆t (∆x )2
i
• 空间方向的Tayor展开
0
T
n i ±1 2 3 ∂T 1 1 2∂ T 3∂ T = Ti ± ∆x + (∆x ) ± (∆x ) 3 ∂x i 2 ∂x 2 i 6 ∂x n n n n
∂φ φin 1 − φin 1 − = + 2∆x ∂x
∂ 2φ = f φ in +1 , φ in +1 , φ in +1 −1 +1 ∂x 2
(
)
∑a
nb
nb
φ
n +1 nb
= ∑ a φ + bi
n nb i nb
4.6 稳定性条件
相容性 稳定性 收敛性 Lax的等同定理（Lax’s Equivalence Theorem） Von Neumann 稳定性条件
微分方程 － 差分方程 ＝ 截断误差 由Taylor展开产生的 截断误差 例如：热传递方程
∂T ∂T − α 2 = 0 ≡ L(T ) ∂t ∂x
2
• 时间向前差分，空间 中心差分得离散方程
T jn +1 − T jn ∆t −
(∆x )
α
2
(T
n j +1
− 2T jn + T jn−1 = 0 ≡ L' (Ti n )
数值流动与传热 第四章 有限差分基础
第四章 有限差分基础（finite difference method，FDM） 目录
4.1 偏微分方程的一般形式 4.2 网格划分 4.3 基本差分格式 4.4 数值误差 4.5 显式、隐式和半隐式求解格式 4.6 稳定性条件 4.7 流动常用方程式的差分及物理意义
∂φ φin 1 − φin 1 − = + 2∆x ∂x
∂φ
∂φ φin +1 − φin = ∆t ∂t i
∂ 2φ = f φin 1 , φin , φin 1 − + 2 ∂x
(
)
φ
n +1 i
= ∑ a φ + bi
n nb nb nb
隐式格式
向后展开
φ i −1
2 ∂φ 1 2∂ φ = φi − ∆x + (∆ x ) + ⋅⋅⋅ 2 ∂x i 2 ∂x i
∂φ φi − φi −1 = + O(∆x) ∂x i ∆x
向后差分式
时间导数、推进型、单向性强 时间导数、推进型、单向性强的 项常用向后差分。
中心差分（ 中心差分（central difference，CDS） ， ）
n (∆t ) ∂ 2T n (∆x )2 ∂ 4T + ... − +α 2 ∂x 2 i 12 ∂x 4 i
O(∆t )
O ∆x 2
( )
截断误差
0
i
4 1 4∂ T + (∆x ) ... ∂x 4 i 24
n
截断误差的第一项为O(∆t, ∆x2)， 为时间一次精度，空间二次精度。
对于时间推进问题，有显式、半隐式和隐 式三种基本格式 旧时刻
显式格式 隐式格式 半隐式格式
新时刻 (下一时刻) 时间项：向前差分 (上一时刻)
∂φ φ − φ = ∆t ∂t i
n +1 i
n i
空间离散点 序号
时间离散点 序号
显式格式
∂φ ∂ 2φ + = 2 ∂t ∂x ∂x
由相位误差引起的离散误差
精确解
u (0, x) = 1 x < x0 u (0, x) = 0 x > x0 ∂u ∂u =a ∂t ∂x
前进相位误差 : 波的位置在真 波前发生
延迟相位误差 : 波的位置在真 波后发生
4.5 显式、隐式和半隐式求解格式
∂φ ∂t + ∂ρuφ ∂x ∂ ∂φ = Γ + qφ ∂x ∂x
相容性
指差分方程接近微分方程的程度。 时间方向和空间方向的分割（∆t, ∆x）变小， 截断误差逐渐消失，即差分方程接近原来 的微分方程，则称为该差分形式与偏微分 方程的相容（consistent）。 大部分差分方法满足此条件。如上面差分 式中只要满足 ∆t ∆x→0的条件，则相容.
稳定性
稳定性是指，计算的一步步进行，不管什 么原因引起的误差都不会使其成长。 对于发展性问题，基本可以满足数值的稳 定性这一条件。