第二章 单自由度系统的自由振动

解： 由牛顿定律 ：
I0&& mga sin 0
因为微振动： sin
则有 ： I0 mga 0
固有频率 ：0 mga / I0
a
0

I0
C
mg
若已测出物体的固有频率 心的转动惯量：

0
，则可求出
I
0
，再由移轴定理，可得物质绕质
Ic I0 ma2
实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法
n
keq m
28
第二章 单自由度系统的自由振动
29
第二章 单自由度系统的自由振动
30
第二章 单自由度系统的自由振动
例：杠杆系统
杠杆是不计质量的刚体
l3 l2
k2
m2
l1
m1
x
k1
求： 系统对于坐标 x 的等效质量和等效刚度
第二章 单自由度系统的自由振动
利用能量法有：
动能：
T

1 2
m1x2
0 k m
49102 /1
70 rad s
振动初始条件：
kx0 mg sin 300
运动方程： x t 0.1cos 70t cm
x
300
考虑方向
x0 0.1 (cm) 初始速度： x0 0
第二章 单自由度系统的自由振动
2.2 能量法
对于能量无耗散的振动系统，在自由振动时系统的机械能守恒。令T和U分别代表 振动系统的动能与势能，则有：
如果考虑弹簧的质量，Rayleigh提出了一种近似方法，利用能量原理，把一个分布 质量系统简化为一个单自由度系统，将弹簧分布质量对系统频率的影响考虑进去。
假设弹簧是线性变形，在位置u处的变形为du，质量块的速度
为 ，则弹簧在u处的微段du处的速度为
。设弹簧单位长
度的质量为ρ，那么弹簧微段du的动能为：
1 11 ka k1 k2
kb k1 k2
1 1 1 ... 1 n 1
kn串 k1 k2
kn k i1 i
n
kn并 k1 k2 ... kn ki i 1
27
第二章 单自由度系统的自由振动
习题2.1 图（a）所示系统悬臂梁质量忽略不计，图（b）刚性杆的质量不计，图（c） 梁的质量忽略不计，求各系统的固有频率。
整个弹簧的动能
系统最大动能
23
第二章 单自由度系统的自由振动
系统的势能将仍和忽略弹簧质量时一样：
由
得到：
对于简谐振动 式可以得到：
，
，
，代入上
可见弹簧质量对于频率的影响相当于在质量m上再加上1／3弹簧质量的等效质量， 这样就可以将弹簧质量对系统的固有频率的影响考虑进去。
24
第二章 单自由度系统的自由振动
4
第二章 单自由度系统的自由振动
例题讲解2：提升机系统
重物重 量 W 1.47105 N
钢丝绳的弹簧刚度
k 5.78104 N / cm
重物以 v 15m / min 的速度均匀下降
求，绳的上端突然被卡住时： 1. 重物的振动频率； 2. 钢丝绳中的最大张力。
v W
5
第二章 单自由度系统的自由振动
阻尼比ξ：（或称为相对阻尼系数）
35
第二章 单自由度系统的自由振动
方程的特征根为： 讨论在阻尼比ξ取值不同时，微分方程解 （1）小阻尼情况，即ξ<1：
此时特征方程的根：
的性质。
微分方程的解为：
设：
，考虑初始条件t=0时，有
，
，将其
代入微分方程的解中，有
t=0时
求解 得到
36
第二章 单自由度系统的自由振动
例题1：以重量为W，半径为r的实心圆柱体， 在半径为R的圆柱形面上作无滑动地滚动。假 设该滚动的圆柱体进行间歇运动，试求它绕 平衡位置作微小摆动时的固有频率ωn。
分析：圆柱体在摆动时有两种运动：移动和滚动。 摆动时圆柱体中心的速度及圆柱体的角速度分别为：
系统动能为：
系统势能为：
20
第二章 单自由度系统的自由振动
由牛顿第二定律：
I&& k 0
&& 02 0
扭振固有频率
0
k I
第二章 单自由度系统的自由振动
由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振动的数学描述 完全相同。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚度，则弹 簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质 量系统是广义的 。
2.4 等效刚度
等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此 坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的 等效刚度
等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在 此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上 的等效质量
第二章 单自由度系统的自由振动
选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：
33
第二章 单自由度系统的自由振动
如图所示粘性阻尼振动系统，粘性阻尼为c（N.s/m），由牛顿运动定律有：
求解上述微分方程，设
，其中s为待定常数。
特征根：
方程通解：
34
第二章 单自由度系统的自由振动
阻尼系数的大小不同，根号内的相可以大于、 等于、小于零，因而得到的根s1、s2可以是 实根、复根或虚根。 临界阻尼系数cc：（上式中根号内的相等于零时求得的c值）
2.21105 (N )
（动张力几乎是静张力的一半）
请思考：为了减少振动引起的动张力，应当采取什么措施？
7
第二章 单自由度系统的自由振动
例题讲解3 均匀悬臂梁长为 l， 弯曲刚度为EJ，重量不计， 自由端附有重为Ｐ＝ｍg的物体，如图所示。试 写出物体的振动微分方程，并求出频率。 梁的自由端将有静挠度： 物体的振动微分方程为：
x
梁的最大扰度：
max A
x(t)

x0
cos(0t)

x0
0
sin(0t)
第二章 单自由度系统的自由振动
例：圆盘转动
圆盘转动惯量 I
k为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单
位转角所需的力矩 (N m / rad)
k
I

在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作 为角位移的起点位置
解：
振动频率 0
k m
gk 19.6rad / s W
重物匀速下降时处于静平衡位置，若 将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所 在位置
则 t=0 时，有： x0 0 x0 v
振动解：
x
t


x0
cos
0t


x&0
0
sin
0t

v
k
静平衡位置
W
W
x
x
t


v
0
sin
0t
0 Ke / M e
32
第二章 单自由度系统的自由振动
2.5 有阻尼系统的自由振动
－ 实际系统的机械能不可能守恒，存在各种各样的阻力。 － 振动中将阻力称为阻尼：摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼和结构阻尼。 － 尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法，但是实际系统中阻尼的
物理本质仍然极难确定。
－ 最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼 例如：在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘 性阻尼
3
第二章 单自由度系统的自由振动
例题讲解1
当振动系统为静平衡时 ， 弹簧在重力mg的作用下将有静伸长
物体的运动微分方程为：
s

mg k
mx mg k(s x)
mx kx 0
则有：
0
k m
g
s
对于不易得到 m 和 k 的系统，若能测出静变形 s ，则用该式计算是较为方便的。
，与初速度
，将其代入上述方程可得：
简谐振动的振幅与初相角随初始条件的不同而改变，但振动频率和周期则取决于振 动系统参数，与初始条件无关。
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振0
动，并且永无休止。
初始条件：
x0 2, x0 0
固有频率从左到右：
0 , 20 , 30
第二章 单自由度系统的自由振动
2.1 简谐振动
由牛顿定律，有 设系统固有频率为 二阶常系数线性齐次常微分方程
通解形式为
1
第二章 单自由度系统的自由振动
根据三角关系式
改 写
由此可以知道：该系统以 固有频率作简谐振动。
振动周期：
振动频率：
2
第二章 单自由度系统的自由振动
设在初始时刻t=0，物体有初位移

1 2
m2
(
l2 l1
x)2

1 2
(m1

l22 l12
m2 )x2
k2
等效质量： Me

m1

l22 l12
m2
l3 l2
m2
l1
m1
x
k1
势能：
V

1 2
k1 x 2

1 2
k2
(
l3 l1
x)2
1 2
(k1

l32 l12
k2 ) x2
固有频率：
等效刚度：
Ke

k1

l32 l12
k2
弹簧原长位置
m&x& kx 0
m

0
静平衡位置
k
I&& k 0
0 k I
0 k m k
x
I

第二章 单自由度系统的自由振动
从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹 性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质 量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件， 它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加， 则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大 。
弹簧原长位置
m&x& kx 0
m

0
静平衡位置
k
I&& k 0
0 k I
0 k m k
x
I

第二章 单自由度系统的自由振动
例题讲解4：复摆 刚体质量 m
a
0
重心 C
对悬点的转动惯量 I 0
I0
C
mg
求： 复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率
第二章 单自由度系统的自由振动
由能量法原理
，得到：
化简
21
第二章 单自由度系统的自由振动
例题2：细杆可绕水平轴转动，在静平衡时呈水平。 杆端锤的质量为m，杆与弹簧的质量均可略去不 计，求自由振动的微分方程及周期。
解 ： 在杆有微小偏角 时，弹簧的伸长以及
锤的位移与速度可以近似地表示为a •
，l
与 l 。 故振动系统的动能与势能可以表示
8
第二章 单自由度系统的自由振动
例题讲解3 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞
梁长 L，抗弯刚度 EJ m
h
l/2
0
l/2
求： 梁的自由振动频率和最大挠度
第二章 单自由度系统的自由振动
解： 取平衡位置 以梁承受重物时的静平衡位 置为坐标原点建立坐标系
静变形 由材料力学 ： mgl3
48EJ


1.28
sin
19.6t

(cm)
6
第二章 单自由度系统的自由振动
振动解：
x(t)

v
0
s in(0t )

1.28
sin(19.6t)
( cm)
绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力 之和 ：
Tmax

Ts
kA
W
k
v
0
1.47 105 0.74 105
v W
根据欧拉公式
可将微分方程的解化简为：
考虑初始条件t=0时，有
，
，将其代入上式可以得到
根据三角变换
考虑初始条件 可以得到
，可以得到：
37
第二章 单自由度系统的自由振动
由微分方程解的图形可以看出来，小阻尼
为：
T

1
•
m(l )2
2
U 1 k(a)2
2
平衡位置时： kas mgl
d

1 2
ml 2
•
2

1 2
k
(a
)
2



0
dt
••

k
(a)2

0
ml


n


a l
k m
T

2 n

2l
a
m k
22
第二章 单自由度系统的自由振动
2.3 瑞利法
T

1 2
M e x2
U

1 2
Kex2
x 当 、x 分别取最大值时： T Tmax U U max
M ex Ke x 0
n
Ke Me
Ke：简化系统的等效刚度
Me：简化系统的等效质量
等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等。
26
第二章 单自由度系统的自由振动
第二章 单自由度系统的自由振动
例题讲解5：弹簧－质量系统沿光滑斜面做自由振动
30o
斜面倾角 质量 m =1 kg 弹簧刚度 k=49 N/cm 开始时弹簧无伸长，且速度为零
k
300
重力角速度取 9.8
求： 系统的运动方程
第二章 单自由度系统的自由振动
解：
以静平衡位置为坐标原点建立 坐标系
k 0
振动固有频率：
m h
l/2
0
l/2
x

静平衡位置
自由振动频率为 ： 0
g

48EJ ml 3
• 第二章 单自由度系统的自由振动
撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：
x0 x0 2gh
则自由振动振幅为 ：
m h
l/2
0
l/2

静平衡位置
A
x02


源自文库x&0
0
2

2 2h
对时间求导 取平衡位置为势能零点，根据自由振动的特点，系统在平衡位置时，系统的势能 为零，其动能的极大值就是全部机械能；而在振动系统的极端位置时，系统的动 能为零，其势能的极大值等于全部的机械能，即有：
只要列出上述方程，就可以直接求出系统的固有频率，不需要列出振动微分方程。
19
第二章 单自由度系统的自由振动