三角函数模型的简单应用 课件
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3-5三角函数模型的简单应用PPT课件
考基联动
考向导析
限时规范训练
考向一 作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
【例 1】 已知函数 y＝2sin2x＋π3，
(1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明 y＝2sin2x＋π3的图象可由 y＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 解：(1)y＝2sin2x＋π3的振幅 A＝2，周期 T＝22π＝π，初相 φ＝π3. (2)令 X＝2x＋π3，则 y＝2sin2x＋π3＝2sin X.
答案：B
考基联动
考向导析
限时规范训练
4．设
ω＞0，函数
y＝sinωx＋π3
＋2
的图象向右平移4π个单位后与原图 3
象重合，则 ω 的最小值是
(
A.
2 3
B.43
C.32
D．3
解析：依题意知：平移后
y1＝sinωx－
4π 3
＋π3
＋2
＝sinωx＋3π－43πω＋2.
又 y 与 y1 的图象重合， 则－43πω＝2kπ(k∈Z)
(1)求 ω 和 φ 的值； (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0，π]上的图象；
(3)若 f(x)＞ 2，求 x 的取值范围． 2
解：(1)周期 T＝2ωπ＝π，∴ω＝2，
∵fπ4＝cos2×π4＋φ＝cosπ2＋φ＝－sin
φ＝
3， 2
∵－π＜φ＜0，∴φ＝－π.
2
3
考基联动
考向导析
限时规范训练
基础自查
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示
x
0－φ ω
π2－φ ω
三角函数模型的简单应用课件
思考2 上述的数学模型是怎样建立的？ 答 解决问题的一般程序是： 1°审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解 数学关系； 2°建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型； 3°求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论； 4°还原：把数学结论还原为实际问题的解答.
思考3 怎样处理搜集到的数据？ 答 画出散点图，分析它的变化趋势，确定合适的函数模型. 小结 利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下： (1)收集数据，画出“散点图”； (2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的 特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决； (3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要 具体情况具体分析.
y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝ |ω| ； π
y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝ |ω| .
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质
(1)ymax＝ A＋k ，ymin＝ －A＋k .
(2)A＝
ymax－ymin 2
，k＝
ymax＋ymin 2
跟踪训练1 求下列函数的周期：
(1)y＝|sin 2x|； (2)y＝sin12x＋π6＋13； (3)y＝|tan 2x|. 解 (1)T＝π2；(2)T＝21π＝4π；(3)T＝π2.
2
探究点二 三角函数模型的应用
思考1 数学模型是什么，什么是数学模型的方法？ 答 简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括， 再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于 实际问题的数学描述.数学模型的方法，是把实际问题加以抽象 概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的 一般数学方法.
1.6《三角函数模型的简单应用》展示课件
（2）求b 最大值 最小值 2
（3）求 : 先根据图像求T,再由T 2 解得
（4）求：把已知点代入函数式(常常选取最值点代入)
感受高考
函数f
x
A
sin
x
6
1
A>0,
0的最大值为3，其图像相邻
两条对称轴之间的距离为 ，求函数的解析式。【2012年陕西卷】
2
解： 函数f x的最大值为3
A1 3
1.6 三角函数模型的简单应用
第一课时
一、情景引入 在我们现实生活中存在着大量的周期性变化现象。
正弦型函数：y A sin(x ) b A>0, >0
二、逐步探究
引例 （1）函数y 2sin x的图像如何变换得到y 2sin x 3的图像?
y 2sin x 3
y
向上平移单位长度 5
的图象求解析式；
2、根据函数解析式作出图像，并根据图像 认识性质。
四、课后作业
配套练习一份
2
最大值 最小值 2
探究一：根据函数图象求解析式 例1.如图，某地一天从6～14时 的温度变化曲线近似满足函数:
y Asin(x ) b
问题一： 这一天6～14时的 最大温差是多少？
T/℃ 30 20 10
o 6 10 14 t/h
30°-10°=20°
探究一：根据函数图象求解析式
例1.如图，某地一天从6～14时 T/℃
验证:|sin(x+π)|=|-sinx|=|sinx|
即 f (x+ ) f (x)
根据图像还能看出该函数的哪些性质？
归纳小结
利用函数图像的直观性,通过观察图 像而获得对函数性质的认识,这是研 究数学问题的常用方法。
（3）求 : 先根据图像求T,再由T 2 解得
（4）求：把已知点代入函数式(常常选取最值点代入)
感受高考
函数f
x
A
sin
x
6
1
A>0,
0的最大值为3，其图像相邻
两条对称轴之间的距离为 ，求函数的解析式。【2012年陕西卷】
2
解： 函数f x的最大值为3
A1 3
1.6 三角函数模型的简单应用
第一课时
一、情景引入 在我们现实生活中存在着大量的周期性变化现象。
正弦型函数：y A sin(x ) b A>0, >0
二、逐步探究
引例 （1）函数y 2sin x的图像如何变换得到y 2sin x 3的图像?
y 2sin x 3
y
向上平移单位长度 5
的图象求解析式；
2、根据函数解析式作出图像，并根据图像 认识性质。
四、课后作业
配套练习一份
2
最大值 最小值 2
探究一：根据函数图象求解析式 例1.如图，某地一天从6～14时 的温度变化曲线近似满足函数:
y Asin(x ) b
问题一： 这一天6～14时的 最大温差是多少？
T/℃ 30 20 10
o 6 10 14 t/h
30°-10°=20°
探究一：根据函数图象求解析式
例1.如图，某地一天从6～14时 T/℃
验证:|sin(x+π)|=|-sinx|=|sinx|
即 f (x+ ) f (x)
根据图像还能看出该函数的哪些性质？
归纳小结
利用函数图像的直观性,通过观察图 像而获得对函数性质的认识,这是研 究数学问题的常用方法。
人教版高中数学必修4A版三角函数模型的简单应用课件
10 14
t/h
y A sin( x ) b
思考3：如何确定函数 式中 w和 j 的值?
3 , 8 4
T/℃
30
20 10 o 6 10 14 t/h
思考4：这段曲线对应的函数是什么？
3 y 10sin( x ) 20, x [6,14]. 8 4
时刻 0
3
6
9
12
15
18
21
24
水深 5
7.5
5
2.5
5
7.5
5
2.5
5
时刻 0
3
6 5
9
12 15 18
21 2.5
24 5
水深 5 7.5
2.5 5 7.5 5
思考1：观察表格中的数据，每天水深 的变化具有什么规律性？
呈周期性变化规律.
时刻 水深
8 6 4 2 o
0
y
3
6
9
12 15 18
思考5：这一天12时的温度大概是多少 （℃）？ 27.07℃.
涨潮
圣米切尔山
落潮
【背景材料】 海水受日月的引力，在一 定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地， 早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船 在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后， 在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季 节每天的时间与水深关系表：
21 2.5
24 5
5 7.5 5
2.5 5 7.5 5
6
12
18
24
x
y Asin( x ) h
A 2.5, h 5, T 12, 0,
6
三角函数模型的简单应用 课件
已知电流 I＝Asin(ωt＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜2π在 一个周期内的图象如图．
(1)根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果 t 在任意一段1150秒的时间内，电流 I＝Asin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多 少？
• 【思路点拨】对于(1)，由于解析式的类型已经确定，只需根据图象确 定参数A，ω，φ的值即可．其中A可由最大值与最小值确定，ω可由周 期确定，φ可通过特殊点的坐标，解方程求得．对于(2)可利用正弦型 函数的图象在一个周期中必有一个最大值和一个最小值点来解．
三角函数模型的简单应用
• 三角函数的应用
• 1．根据实际问题的图象求出函数解析式．
• 2．将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． • 3．利用搜集的数据作出 散点图 ，并根据 散点图 进行函数拟合，从
而得到函数模型．
• 在建模过程中，散点图的作用是什么？
• 提示：利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系，然 后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而避免因盲 目选择函数模型而造成的不必要的失误．
12分
• 【题后总结】由于三角函数是周期函数，只有相关数据呈周期性变化， 才考虑用三角函数来拟合，并根据散点图的大致形态，选择适当类型
的三角函数，再利用已知数据结合图象，确定函数解析式中的参数
值．对实际问题的求解，需仔细审题，将问题转化为三角函数模型来 解决(如本例中将实际问题转化为解三角不等式)，并回到实际情景作 答．
故所求的解析式为
I＝300sin150π
t＋6π.
(2)依题意，周期 T≤1510， 即2ωπ≤1510(ω＞0)， 所以 ω≥300π＞942， 故 ω 的最小正整数值为 943.
三角函数模型的简单应用 课件
(2)设转第 1 圈时，第 t0 分钟时距地面 60.5 米，由 60.5＝40.5－
40cos π6t0，得 cosπ6t0＝－12，所以π6t0＝23π或π6t0＝43π，解得 t0＝4
或 t0＝8. 所以 t＝8(分钟)时，第 2 次距地面 60.5 米，故第 4 次距离地面
60.5 米时，用了 12＋8＝20(分钟)．
[思路探索] (1)依题意可知应建立余弦型函数模型解题，由摩天 轮的转动周期是 12 分钟，振幅是 40，当 t＝0 时，y＝0.5，可 求得函数解析式；(2)将 y＝60.5 代入(1)中求出的函数解析式， 即可求出第 1 个周期内满足题意的时间，再加上周期即可．
解 (1)由已知可设 y＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为 12 分钟 可知，当 t＝6 时，摩天轮第 1 次到达最高点，即此函数第 1 次 取得最大值，所以 6ω＝π，即 ω＝π6. 所以 y＝40.5－40cos π6t(t≥0)．
类型三 构建函数模型解题 【例 3】 如图，游乐场中的摩天轮匀速 转动，每转一圈需要 12 分钟，其中圆心 O 距离地面 40.5 米，半径为 40 米．如果 你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的 距离将随时间的变化而变化，以你登上摩 天轮的时刻开始计时，请解答下列问题： (1)求出你与地面的距离 y(米)与时间 t(分钟)的函数关系式； (2)当你第 4 次距离地面 60.5 米时，用了多长时间？
(1)如图所示的是 I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图 象，根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果 t 在任意一段1150秒的时间内，电流 I＝Asin(ωt＋φ)都能 取得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多少？
课件7：§1.6 三角函数模型的简单应用
5cos2t－π3.当在时间 t＝23π时，s1 与 s2 的大小关系是(
)
A．s1>s2
B．s1<s2
C．s1＝s2
D．不能确定
【解析】当 t＝23π时，s1＝－5，s2＝－5，s1＝s2. 【答案】C
3．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)
的图象上一个最高点为(2,3)，与这个最高点相邻的一
个函数值为 0 的点是(6,0)，则 f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝3sin8πx－π4
B．f(x)＝3sinπ4x－π4
C．f(x)＝3sinπ8x＋π4 【答案】C
D．f(x)＝3sin4πx＋π4
4．如图，一个半径为 10 cm 的水轮逆时针方向 每分钟转 4 圈．记水轮上的点 P 到水面的距离 为 dm(P 在水面下则 d 为负数)，则 d(m)与时间 t(s)之间满足关系式：d＝Asin(ωt＋φ)＋k(A>0， ω>0，－π2<φ<π2)，且当 P 点从水面上浮现时开始计算时间． 有以下四个结论：①A＝10；②ω＝21π5；③φ＝π6；④k＝5.其中所 有正确结论的序号是_①__②__④___．
A．该质点的振动周期为0.7 s B．该质点的振幅为5 cm C．该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大 D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
【答案】B
2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为 M1 和 M2 的小球，做 上下自由振动．已知它们在时间 t(s)离开平衡位置的位移
s1(cm)和 s2(cm)分别由下面两式确定：s1＝5sin2t＋π6；s2＝
§1.6 三角函数模型的简单应用
学习目标 1．逐步学会将实际问题中的关系抽象成三角函数模 型，通过数学模型解决相关的实际问题． 2．逐步培养应用数学的意识，提高应用数学知识解 决实际问题的能力．
1.6 三角函数模型的简单应用课件人教新课标
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
(3)讨论变量关系.
根据上一步中建立起来的变量关系,结合题目的要求,与已知数
学模型的性质对照,转化为讨论y=Asin(ωx+φ)+b的性质,从而得到
所求问题的理论参考值.
∵函数的最大值为 10,∴A=10.
π
∴I=10sin 100π + 6 .
1
1
1
×2=50.
300 300
1
π
当 t=50时,I=10sin 100π × 50 + 6 =5(安).
答案:5
-9-
1.6
三角函数模型的简单应用
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
解三角函数型实际问题的步骤
剖析:(1)审清题意,读懂题.
三角函数型实际问题的语言情势多为文字语言和图形语言并用,
阅读材料时要读懂题目所反应的实际问题的背景,领会其中的数学
本质,在此基础上分析出已知什么、求什么,从中提炼出相应的数
Z 重难聚焦
HISHI SHULI
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
2
【做一做 2】电流强度 I(单位:安)随时间 t(单位:秒)变化的函数
π
1
I=Asin + 6 (A>0,ω>0)的图象如图,则当 t=50秒时,电流强度是
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t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt ＋b的图象．
(1)根据以上数据，求出函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、 振幅A及函数表达式；
解析：根据表中数据画散点图，并用平滑曲线将其连接起
来，可如下图所示，图：略．
观察图象知，可以用函数y＝Asin(ωx＋ )来拟合这些散
点．观察图中曲线，其周期约为12.3小时，即 2ωπ＝12.3，所以ω ＝0.511.由数据可知高低海浪之间的高度差为6.6米，故振幅A＝
＝y＝632.2.63.7.所5，以所，以函s数in 的解＝析式≈为0.y8＝233.，.7335.c3osisn
＝ 1 ，那么 是取 π ，还是取5π 呢？这就要看所代入的点是
在上2 升的曲线上，还6 是在下降的6 曲线上了．若在上升的曲线
上，
就取
π 6
，否则就取
5π 6
，而不能同时取两个值．
跟踪训练
2．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t (0≤t≤24，单位： 小时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：
∴y＝12cosπ6t＋1，(0≤t≤24)． (2)由题意，当海浪高于 1 米时才对冲浪爱好者开放， 所以12cos6πt＋1>1，即 cosπ6t>0， ∴2kπ－π2<π6t<2kπ＋2π，(k∈Z)
⇒12k－3<t<12k＋3.
又0≤t≤24，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00 时间之间，
所即∴s2以iknπ3π6＋sitn≥π6π6≤12t＋，t1π6≤02≥k1π1＋.5，，56(πk∈Z)⇒ 12k＋1≤t≤12k＋5，
又0≤t≤24，∴取k＝0或k＝1.
从而有1≤t≤5或13≤t≤17.
因此在一天中，该船最早能在凌晨1时进港，最晚在下 午17时出港，在港口内最多能停16个小时．
三角函数模型的简单应用
基础梳理 三角函数模型的简单应用
1．建立三角函数模型解决实际问题
三角函数在数学中有着广泛的应用，在实际生活中也 可以解决很多问题，如某天某段时间内温度的变化规律等．
如果某种现象的变化具有________，根据三角函数的 性质，我们可以根据这一现象的特征和条件，利用三角函数 知识构建数学模型，从而把这一具体现象转化为一个特定的 数学模型——______________.
解析：从图中可以看到函数为奇函数，因此可以排除A、 D，注意到x＝±π时，f(±π)＝0的可能性，则应排除B，故答 案选C.
答案：C
点评：由函数图象寻求函数解析式是近几年的热点试题， 解决此类问题，一般是根据图象所反映出的函数性质来解决， 而性质，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域， 还有零点、特殊点等都可以作为判断的依据．
解析：(1)
(2)由散点图知白昼时间与日期序号之间关系近似为
y＝Acos(ωx＋)＋t，由图形知函数的最大值为19.4，最
小值为5.4，即ymax＝19.4，ymin＝5.4. 19．4－5.4＝14，∴A＝7. 19．4＋5.4＝24.8，得t＝12.4.
∵T＝365，∴ω＝326π5.
∴y＝7cos326π5x＋φ＋12.4. 当 x＝172 时，cos326π5x＋φ＝1，ymax＝19.4.
5.59 10.23 12.38 15.91 16.71 19.40 15.93 12.16 9.14 5.40
(1)以日期在1年365天中的位置序号为横坐标，白昼时间y 为纵坐标，描出这些数据的散点图；
(2)确定一个满足这些数据的余弦函数；
(3)用(2)中的余弦函数模型估计安克雷奇7月3日的白昼时 间．
(0.511x.因＋φ为) 当t＝0时，
＝－0.56，利用计算器
求得 ＝2.165， 从而y＝3.3 sin(0.511x＋2.165)，12月5日下午1
时即t＝109时，此时浪高约为y＝3.3 sin(0.511×109＋2.165)＝
3.2米．
点评：拟合数据是一项重要的数据处理能力．本题利用
散点图发现函数模型为y＝Asin(ωx＋)，通过分析数据得到
1．周期性 三角函数模型
思考应用
1．下面是钱塘江某个码头今年春季每天的时间(单位：时) 与水深(单位：米)的关系表：
时 间
0∶00
3∶00
6∶00
9∶00
12∶00
15∶00
18∶00
21∶00
24∶00
水 深
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
请仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？
分析：首先由对表格中数据的综合处理可得函数的周期、 最值等，然后将(2)转化为简单的三角不等式．
解析：(1)由已知数据，知y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3， B＝10.
∴y＝3sin π t＋10，(0≤t≤24)． 6
(2)由题意，知该船安全进出港时，水深应不小于5＋6.5 ＝11.5(米)，
点评：(1)本题以应用题的形式考查热 点题型，设计新 颖别致，独具匠心；
(2)此类“由已知条件或图象求函数的解析式”的题目，
实质上是用“待定系数法”确定A， ω， ，B.ω与周期有关， 可通过T2＝π 求得，而关键的一步在于如何确定 .通常是将
图象上已ω知点的坐标代入函数解析式，得到一个关于 的简
单三角方程，但 到底取何值却值得考虑．若得方程sin
∴取k＝1, 从而有9<t<15.
因此在一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时间之间， 上午9∶00至下午15∶00才对冲浪爱好者开放，有6个小时 可供冲浪者进行运动．
由实际数据拟合函数
下表给出了12月1日和12月2日两天内的海浪高 度(相对于海堤上的零标尺记号，以米为单位)．请依据此表 预测12月5日下午1时的海浪高度.
6 ≈0.2014，x≈0.3848，记为xA≈0.3848，结合图象
发现：在[0,24]范围内，方程sin πx＝0.2的解一共有4个，
6
从小到大依次记为：
xA，xB，xC，xD，则xB≈6－0.3848＝5.6152，xC≈12＋ 0.3848＝12.3848，
xD≈12＋5.6152＝17.6152.
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.0 7.0 10.0
经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成函数y＝Asin ωt ＋B的图象．
(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米 或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即 可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希 望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长 时间？(忽略进出港所需时间)
分析： 这是一道开放性试题，应该有多种不同答案．现 将部分答案列举如下．
答案：(1)水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米．
(2)水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐渐减少一直 减少到2.5，又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减 少．
(3)水深变化并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性变 化规律．
g
g
g
g
A.π
B.2π
C.π2
D.4π2
3．函数y＝－xcos x的部分图象是( )
解析： 从图中可以看到函数为奇函数，因此可以排除 A、C，注意到当x∈0，π2 时，f(x)<0，当x∈－π2，0 时， f(x)>0，则应排除B，故答案选D.
答案：D
由图象研究函数的性质 函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可 能是( ) A．f(x)＝－x－cos x B．f(x)＝－x－sin x C．f(x)＝|x|sin x D．f(x)＝|x|cos x 分析：本题是利用已知图象探求函数解析式的试题，也 称之为信息给予题．
(4) 学生活动：作图——更加直观明了这种周期性变化 规律．(研究数据的两种形式)
2．解三角函数应用题的基本步骤
第一步，阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐 句，，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景， 在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应 的数学问题．
第二步，搜集整理数据，建立数学模型．根据搜集到 的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知 识以及其它相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题 转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三 角函数模型．
t
12∶0 13∶0 14∶0 15∶0 16∶0 17∶0 18∶0 19∶0 20∶0 21∶0 22∶0 23∶0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12.1 2.9 1.6 0.2 －1.2 －2.4 －3.6 －3.1 －2.3 －0.7 1.3 2.9 3.6
12.2 3.6 2.5 1.0 －1.5 －2.4 －3.0 －3.4 3.0 1.7 0.2 2.2 3.5
(2)依据规定，当海浪高于1米时才对冲浪爱好者开放，请根 据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间， 有多少时间可供冲浪者进行运动？
分析：首先由对表格中数据的综合处理可得函数的周期、 最值等，然后将(2)转化为简单的三角不等式．
解析：(1)由已知数据，知 y＝f(t)的周期 T＝12，振幅 A＝12，b＝1.
y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt ＋b的图象．
(1)根据以上数据，求出函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、 振幅A及函数表达式；
解析：根据表中数据画散点图，并用平滑曲线将其连接起
来，可如下图所示，图：略．
观察图象知，可以用函数y＝Asin(ωx＋ )来拟合这些散
点．观察图中曲线，其周期约为12.3小时，即 2ωπ＝12.3，所以ω ＝0.511.由数据可知高低海浪之间的高度差为6.6米，故振幅A＝
＝y＝632.2.63.7.所5，以所，以函s数in 的解＝析式≈为0.y8＝233.，.7335.c3osisn
＝ 1 ，那么 是取 π ，还是取5π 呢？这就要看所代入的点是
在上2 升的曲线上，还6 是在下降的6 曲线上了．若在上升的曲线
上，
就取
π 6
，否则就取
5π 6
，而不能同时取两个值．
跟踪训练
2．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t (0≤t≤24，单位： 小时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：
∴y＝12cosπ6t＋1，(0≤t≤24)． (2)由题意，当海浪高于 1 米时才对冲浪爱好者开放， 所以12cos6πt＋1>1，即 cosπ6t>0， ∴2kπ－π2<π6t<2kπ＋2π，(k∈Z)
⇒12k－3<t<12k＋3.
又0≤t≤24，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00 时间之间，
所即∴s2以iknπ3π6＋sitn≥π6π6≤12t＋，t1π6≤02≥k1π1＋.5，，56(πk∈Z)⇒ 12k＋1≤t≤12k＋5，
又0≤t≤24，∴取k＝0或k＝1.
从而有1≤t≤5或13≤t≤17.
因此在一天中，该船最早能在凌晨1时进港，最晚在下 午17时出港，在港口内最多能停16个小时．
三角函数模型的简单应用
基础梳理 三角函数模型的简单应用
1．建立三角函数模型解决实际问题
三角函数在数学中有着广泛的应用，在实际生活中也 可以解决很多问题，如某天某段时间内温度的变化规律等．
如果某种现象的变化具有________，根据三角函数的 性质，我们可以根据这一现象的特征和条件，利用三角函数 知识构建数学模型，从而把这一具体现象转化为一个特定的 数学模型——______________.
解析：从图中可以看到函数为奇函数，因此可以排除A、 D，注意到x＝±π时，f(±π)＝0的可能性，则应排除B，故答 案选C.
答案：C
点评：由函数图象寻求函数解析式是近几年的热点试题， 解决此类问题，一般是根据图象所反映出的函数性质来解决， 而性质，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域， 还有零点、特殊点等都可以作为判断的依据．
解析：(1)
(2)由散点图知白昼时间与日期序号之间关系近似为
y＝Acos(ωx＋)＋t，由图形知函数的最大值为19.4，最
小值为5.4，即ymax＝19.4，ymin＝5.4. 19．4－5.4＝14，∴A＝7. 19．4＋5.4＝24.8，得t＝12.4.
∵T＝365，∴ω＝326π5.
∴y＝7cos326π5x＋φ＋12.4. 当 x＝172 时，cos326π5x＋φ＝1，ymax＝19.4.
5.59 10.23 12.38 15.91 16.71 19.40 15.93 12.16 9.14 5.40
(1)以日期在1年365天中的位置序号为横坐标，白昼时间y 为纵坐标，描出这些数据的散点图；
(2)确定一个满足这些数据的余弦函数；
(3)用(2)中的余弦函数模型估计安克雷奇7月3日的白昼时 间．
(0.511x.因＋φ为) 当t＝0时，
＝－0.56，利用计算器
求得 ＝2.165， 从而y＝3.3 sin(0.511x＋2.165)，12月5日下午1
时即t＝109时，此时浪高约为y＝3.3 sin(0.511×109＋2.165)＝
3.2米．
点评：拟合数据是一项重要的数据处理能力．本题利用
散点图发现函数模型为y＝Asin(ωx＋)，通过分析数据得到
1．周期性 三角函数模型
思考应用
1．下面是钱塘江某个码头今年春季每天的时间(单位：时) 与水深(单位：米)的关系表：
时 间
0∶00
3∶00
6∶00
9∶00
12∶00
15∶00
18∶00
21∶00
24∶00
水 深
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
请仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？
分析：首先由对表格中数据的综合处理可得函数的周期、 最值等，然后将(2)转化为简单的三角不等式．
解析：(1)由已知数据，知y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3， B＝10.
∴y＝3sin π t＋10，(0≤t≤24)． 6
(2)由题意，知该船安全进出港时，水深应不小于5＋6.5 ＝11.5(米)，
点评：(1)本题以应用题的形式考查热 点题型，设计新 颖别致，独具匠心；
(2)此类“由已知条件或图象求函数的解析式”的题目，
实质上是用“待定系数法”确定A， ω， ，B.ω与周期有关， 可通过T2＝π 求得，而关键的一步在于如何确定 .通常是将
图象上已ω知点的坐标代入函数解析式，得到一个关于 的简
单三角方程，但 到底取何值却值得考虑．若得方程sin
∴取k＝1, 从而有9<t<15.
因此在一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时间之间， 上午9∶00至下午15∶00才对冲浪爱好者开放，有6个小时 可供冲浪者进行运动．
由实际数据拟合函数
下表给出了12月1日和12月2日两天内的海浪高 度(相对于海堤上的零标尺记号，以米为单位)．请依据此表 预测12月5日下午1时的海浪高度.
6 ≈0.2014，x≈0.3848，记为xA≈0.3848，结合图象
发现：在[0,24]范围内，方程sin πx＝0.2的解一共有4个，
6
从小到大依次记为：
xA，xB，xC，xD，则xB≈6－0.3848＝5.6152，xC≈12＋ 0.3848＝12.3848，
xD≈12＋5.6152＝17.6152.
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.0 7.0 10.0
经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成函数y＝Asin ωt ＋B的图象．
(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米 或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即 可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希 望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长 时间？(忽略进出港所需时间)
分析： 这是一道开放性试题，应该有多种不同答案．现 将部分答案列举如下．
答案：(1)水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米．
(2)水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐渐减少一直 减少到2.5，又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减 少．
(3)水深变化并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性变 化规律．
g
g
g
g
A.π
B.2π
C.π2
D.4π2
3．函数y＝－xcos x的部分图象是( )
解析： 从图中可以看到函数为奇函数，因此可以排除 A、C，注意到当x∈0，π2 时，f(x)<0，当x∈－π2，0 时， f(x)>0，则应排除B，故答案选D.
答案：D
由图象研究函数的性质 函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可 能是( ) A．f(x)＝－x－cos x B．f(x)＝－x－sin x C．f(x)＝|x|sin x D．f(x)＝|x|cos x 分析：本题是利用已知图象探求函数解析式的试题，也 称之为信息给予题．
(4) 学生活动：作图——更加直观明了这种周期性变化 规律．(研究数据的两种形式)
2．解三角函数应用题的基本步骤
第一步，阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐 句，，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景， 在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应 的数学问题．
第二步，搜集整理数据，建立数学模型．根据搜集到 的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知 识以及其它相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题 转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三 角函数模型．
t
12∶0 13∶0 14∶0 15∶0 16∶0 17∶0 18∶0 19∶0 20∶0 21∶0 22∶0 23∶0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12.1 2.9 1.6 0.2 －1.2 －2.4 －3.6 －3.1 －2.3 －0.7 1.3 2.9 3.6
12.2 3.6 2.5 1.0 －1.5 －2.4 －3.0 －3.4 3.0 1.7 0.2 2.2 3.5
(2)依据规定，当海浪高于1米时才对冲浪爱好者开放，请根 据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间， 有多少时间可供冲浪者进行运动？
分析：首先由对表格中数据的综合处理可得函数的周期、 最值等，然后将(2)转化为简单的三角不等式．
解析：(1)由已知数据，知 y＝f(t)的周期 T＝12，振幅 A＝12，b＝1.