2020江西中考数学试题分析
2020年中考数学试题分类：实数的运算解答题解析
2020年中考数学试题分类汇编：实数的运算解答题解析1.（2020北京）计算：11()|2|6sin 453-+--︒ 【解析】解：原式=5232233=-++2．（2020成都）（12分）（1）计算：212sin 60()|22-︒++；【解答】解：（1）原式2423=+- 423=++-- 3=；3.（2020河北）已知两个有理数：－9和5． （1）计算：(9)52-+； （2）若再添一个负整数m ，且－9，5与m 这三个数的平均数仍小于m ，求m 的值． 【答案】（1）－2；（2）1m =-． 【详解】（1）(9)52-+=422-=-； （2）依题意得(9)53m-++＜m解得m ＞-2∴负整数m=-1．4.（2020江西）（1）计算：21(1|2|2-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭【解析】 原式=2)21(121+- =341=+- 19.(202020(2)(3)π+---． 【详解】解：原式341=+-6=．5.（2020乐山）计算：022cos 60(2020)π--︒+-．解：原式=12212-⨯+=2． 6.（2020四川绵阳）（1）计算：125-3+2cos 608()22︒-⨯--【解析】本题考查数式综合运算。
熟练掌握绝对值的化简、二次根式、0指数、三角函数是解题的关键。
解：原式=113-5+25-22-122⨯⨯=3-5+5-2-1=0.7．（2020贵州黔西南）（12分）（1）计算（﹣2）2﹣||﹣2cos45°+（2020﹣π）0；【解答】解：（1）原式＝421＝41＝5﹣2；8.计算：（2020无锡）（1）()22516-+-- 【详解】解：（1）原式=4+5－4=5； 9.（2020长沙）计算：()1131012cos 454-︒⎛⎫---++ ⎪⎝⎭解：()1131012cos 454-︒⎛⎫---++ ⎪⎝⎭=3114-++=710．（2020齐齐哈尔）（（10分）（1）计算：sin30°（3）0+||【解答】解：（1）sin30°（3）0+||4﹣1＝4；11.（2020重庆A 卷）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”．定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”． 例如：14524÷=，14342÷=，所以14是“差一数”；19534÷=，但19361÷=，所以19不是“差一数”．（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由； （2）求大于300且小于400的所有“差一数”． 解：（1）∵49594÷=；493161÷=，∴49不是“差一数”， ∵745144÷=；743242÷=，∴74是“差一数”；（2）∵“差一数”这个数除以5余数为4， ∴“差一数”这个数的个位数字为4或9，∴大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314、319、324、329、334、339、344、349、354、359、364、369、374、379、384、389、394、399， ∵“差一数”这个数除以3余数为2，∴“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2，∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．12．（2020上海）（10分）计算：（21）﹣2+|3|．【解答】解：原式＝（33）2﹣4+3＝32﹣4+3＝0．13.（2020重庆B 卷）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”.定义：对于三位自然数n ，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n 为“好数”. 例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除； 643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除.（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由. 解：（1）∵3，1，2都不为0，且3+1=4，4能被2整除，∴312是“好数”， ∵6，7，5都不为0，且6+7=12，12不能被5整除，∴675不是“好数”；（2）设十位数字为x ，个位数字为y ，则百位数字为(x+5).其中x ，y 都是正整数，且1≤x ≤4，1≤y ≤9.十位数字与个位数字的和为：2x+5. 当x=1时，2x+5=7，此时y=1或7，“好数”有：611，617 当x=2时，2x+5=9，此时y=1或3或9，“好数”有：721，723，729 当x=3时，2x+5=11，此时y=1，“好数”有：831 当x=4时，2x+5=13，此时y=1，“好数”有：941所以百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是7.理由如上. 14．（2020新疆生产建设兵团）（6分）计算：（﹣1）2+||+（π﹣3）0．解：（﹣1）2+||+（π﹣3）011﹣2．15．（2020内蒙古呼和浩特）（10分）（1）计算：|1﹣3|﹣2×6+3-21﹣（32）﹣2；【解答】解：（1）原式＝3-1-23+2+3-49=45； 16．（2020江苏连云港）（6分）计算2020131(1)()645--+-．【解答】解：原式1542=+-=．17．（2020江苏泰州）（3分）如图，点P 在反比例函数3y x=的图象上，且横坐标为1，过点P 作两条坐标轴的平行线，与反比例函数(0)ky k x=<的图象相交于点A 、B ，则直线AB 与x 轴所夹锐角的正切值为 3 ．【解答】解：点P 在反比例函数3y x=的图象上，且横坐标为1，则点(1,3)P ， 则点A 、B 的坐标分别为(1,)k ，1(3k ，3)，设直线AB 的表达式为：y mx t =+，将点A 、B 的坐标代入上式得133k m t km t =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得3m =-，故直线AB 与x 轴所夹锐角的正切值为3，故答案为3．18．（2020四川遂宁）（7分）计算：2sin30°﹣|1|+（21）﹣2﹣（π﹣2020）0． 【解答】解：原式＝22（1）+4﹣1＝211+4﹣13．19．（2020湖南岳阳）（6分）（2020•岳阳）计算：（21）﹣1+2cos60°﹣（4﹣π）0+|﹣3 |． 【解答】解：原式＝2+2×21- 1 +3 ＝2+1﹣1 +3 ＝2+3 ．20．（2020广西南宁）（6分）计算：﹣（﹣1）+32÷（1﹣4）×2． 解：原式＝1+9÷（﹣3）×2＝1﹣3×2＝1﹣6＝﹣5． 21．（6分）（2020•玉林）计算：•（π﹣3.14）0﹣|1|+（）2． 【解答】解：原式1﹣（1）+91+9＝10．22．（5分）（2020•常德）计算：20+（31）﹣1•4tan45°．【解答】解：原式＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3． 23．（10分）（2020•徐州）计算：（1）（﹣1）2020+|2|﹣（）﹣1； 【解答】解：（1）原式＝1+22＝1；24.（2020贵州遵义）（1）sin30°﹣（π﹣3.14）0+（）﹣2；解：（1）原式1+4＝3；25．（2020山西）（10分）（1）计算：（﹣4）2×（﹣21）3﹣（﹣4+1）． 解：（1）（﹣4）2×（﹣21）3﹣（﹣4+1）＝16×（﹣81）+3＝﹣2+3＝1；26.（2020东莞）计算：03822cos 60(3.14)π---+--︒.解：原式122212=--+⨯-4=- 27．（2020四川自贡）（8分）计算：|﹣2|﹣（π）0+（）﹣1．解：原式＝2﹣1+（﹣6）＝1+（﹣6）＝﹣5．28．（2020四川自贡）（10分）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x ﹣2|的几何意义是数轴上x 所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x +1|＝|x ﹣（﹣1）|，所以|x +1|的几何意义就是数轴上x 所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离． （1）发现问题：代数式|x +1|+|x ﹣2|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A 、B 、P 分别表示数﹣1、2、x ，AB ＝3．∵|x +1|+|x ﹣2|的几何意义是线段P A 与PB 的长度之和，∴当点P 在线段AB 上时，P A +PB ＝3，当点P 在点A 的左侧或点B 的右侧时，P A +PB ＞3．∴|x +1|+|x ﹣2|的最小值是3． （3）解决问题：①|x ﹣4|+|x +2|的最小值是 6 ；②利用上述思想方法解不等式：|x +3|+|x ﹣1|＞4；③当a 为何值时，代数式|x +a |+|x ﹣3|的最小值是2．【解答】解：（1）发现问题：代数式|x +1|+|x ﹣2|的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点A 、B 、P 分别表示数﹣1、2、x ，AB ＝3．∵|x +1|+|x ﹣2|的几何意义是线段P A 与PB 的长度之和，∴当点P 在线段AB 上时，P A +PB ＝3，当点P 在点A 的左侧或点B 的右侧时，P A +PB ＞3．∴|x +1|+|x ﹣2|的最小值是3． （3）解决问题：①|x ﹣4|+|x +2|的最小值是6； 故答案为：6；②如图所示，满足|x +3|+|x ﹣1|＞4的x 范围为x ＜﹣3或x ＞1；③当a 为﹣1或﹣5时，代数式|x +a |+|x ﹣3|的最小值是2． 29．（2020青海）（5分）计算：（31）﹣1+|1﹣3tan45°|+（π﹣3.14）0﹣327． 解：原式＝3+|1﹣3|+1﹣3＝3+3-1+1-3＝3． 30．（2020四川眉山）（8分）计算：（2﹣2）0+（﹣21）﹣2+2sin45°﹣8． 解：原式＝1+4+2×22﹣22＝5+2﹣22＝5﹣2． 31．（2020•怀化）计算：2﹣2﹣2cos45°+|2|．解：原式．32．（2020浙江温州）（10分）（1）计算：|﹣2|+（）0﹣（﹣1）．【解答】解：（1）原式＝2﹣2+1+1 ＝2；33．（2020海南）（12分）计算：（1）|﹣8|×2﹣1﹣16+（﹣1）2020；（2）（a +2）（a ﹣2）﹣a （a +1）．解：（1）|﹣8|×2﹣1﹣16+（﹣1）2020，＝8×21﹣4+1， ＝4﹣4+1，＝1；（2）（a +2）（a ﹣2）﹣a （a +1）， ＝a 2﹣4﹣a 2﹣a ， ＝﹣4﹣a ．34．（2020•株洲）计算：（41）﹣1+|﹣1|tan60°．【解答】解：原式＝4+1＝4+1﹣3 ＝2．35.(2020甘肃定西）计算：0(23)(23)tan 60(23)π+--︒解：原式4331=-=3.。
2020年江西省中考数学试卷和答案解析
2020年江西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）1．（3分）﹣3的倒数是（）A．3B．﹣3C．﹣D．解析：根据倒数的定义即可得出答案．【解答】解：﹣3的倒数是﹣．故选：C．点拨：此题主要考查了倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝a C．a3•a2＝a6D．a3÷a2＝a 解析：根据同类项定义；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、应为a3•a2＝a5，故本选项错误；D、a3÷a2＝a，正确．故选：D．点拨：本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，不是同类项的一定不能合并．3．（3分）教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报．经初步统计，2019年全国教育经费总投入为50175亿元，比上年增长8.74%．将50175亿用科学记数法表示为（）A．5.0175×1011B．5.0175×1012C．0.50175×1013D．0.50175×1014解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：50175亿＝5017500000000＝5.0175×1012．故选：B．点拨：此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a 的值以及n的值．4．（3分）如图，∠1＝∠2＝65°，∠3＝35°，则下列结论错误的是（）A．AB∥CD B．∠B＝30°C．∠C+∠2＝∠EFC D．CG＞FG解析：依据平行线的判定与性质，以及三角形外角性质，即可得出结论．【解答】解：∵∠1＝∠2＝65°，∴AB∥CD，故A选项正确，又∵∠3＝35°，∴∠C＝65°﹣35°＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，故B选项正确，∵∠EFC是△CGF的外角，∴∠EFC＝∠C+∠3，故C选项错误，∵∠3＞∠C，∴CG＞FG，故D选项正确，故选：C．点拨：本题主要考查了平行线的判定与性质，以及三角形外角性质，解题时注意：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．5．（3分）如图所示，正方体的展开图为（）A．B．C．D．解析：根据正方体的展开与折叠，正方体展开图的形状进行判断即可．【解答】解：根据“相间、Z端是对面”可得选项B不符合题意；再根据“上面∧”符号开口，可以判断选项A符合题意；选项C、D不符合题意；故选：A．点拨：本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体展开图的特征是正确判断的前提．6．（3分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt △OAB向右上方平移，得到Rt△O'A'B'，且点O'，A'落在抛物线的对称轴上，点B'落在抛物线上，则直线A'B'的表达式为（）A．y＝x B．y＝x+1C．y＝x+D．y＝x+2解析：求得A、B的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出A′（1，n），则B′（4，n+3），把B′（4，n+3）代入抛物线解析式求得n，即可求得A′、B′的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A'B'的表达式．【解答】解：如图，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x 轴正半轴交于点B，令y＝0，解得x＝﹣1或3，令x＝0，求得y＝﹣3，∴B（3，0），A（0，﹣3），∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴A′的横坐标为1，设A′（1，n），则B′（4，n+3），∵点B'落在抛物线上，∴n+3＝16﹣8﹣3，解得n＝2，∴A′（1，2），B′（4，5），设直线A'B'的表达式为y＝kx+b，∴，解得∴直线A'B'的表达式为y＝x+1，故选：B．点拨：本题考查了抛物线与x轴的交点，坐标和图形变换﹣平移，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意表示出A′、B′的坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）计算：（a﹣1）2＝a2﹣2a+1．解析：直接利用完全平方公式计算即可解答．【解答】解：（a﹣1）2＝a2﹣2a+1．点拨：本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．8．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为﹣2．解析：利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，∴x1•x2＝＝﹣2．∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．故答案为：﹣2．点拨：本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之积等于是解题的关键．9．（3分）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10．在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位．根据符号记数的方法，如图符号表示一个两位数，则这个两位数是25．解析：根据题意可知，这个两位数的个位上的数是5，十位上的数是2，故这个两位数我25．【解答】解：由题意可得，表示25．故答案为：25．点拨：本题主要考查了用数字表示事件，理清题目中的符号表示的意义是解答本题的关键．10．（3分）祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．胡老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计：数字0123456789频数881211108981214那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为9．解析：直接根据众数的定义可得答案．【解答】解：圆周率的小数点后100位数字的众数为9，故答案为：9．点拨：本题主要考查众数，解题的关键是掌握求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．11．（3分）如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为82°．解析：证明△ABC≌△ADC得∠D+∠ACD＝∠B+∠ACB＝49°，进而根据三角形内角和定理得结果．【解答】解：∵AC平分∠DCB，∴∠BCA＝∠DCA，∵CB＝CD，∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SAS），∴∠B＝∠D，∴∠B+∠ACB＝∠D+∠ACD，∵∠CAE＝∠D+∠ACD＝49°，∴∠B+∠ACB＝49°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠ACB﹣∠CAE＝82°，故答案为：82°．点拨：本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，关键是证明三角形全等，求得∠B+∠ACB＝49°．12．（3分）矩形纸片ABCD，长AD＝8cm，宽AB＝4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A'处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA'，EA'，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为厘米或4厘米或厘米．解析：根据翻折可得∠ABE＝∠A′BE，分3种情况讨论：当∠ABE ＝30°时或当∠AEB＝30°时或当∠ABA′＝30°时求AE的长．【解答】解：①当∠ABE＝30°时，AE＝AB×tan30°＝；②当∠AEB＝30°时，AE＝＝＝4；③∠ABE＝15°时，∠ABA′＝30°，延长BA′交AD于F，如下图所示，设AE＝x，则EA′＝x，EF＝，∵AF＝AE+EF＝ABtan30°＝，∴x+＝，∴x＝8﹣4，∴AE＝8﹣4．故答案为：厘米或4厘米或8﹣4厘米．点拨：本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形性质．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+（）﹣2；（2）解不等式组：解析：（1）先计算零指数幂、绝对值和负整数指数幂，再计算加减可得答案；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：（1）原式＝1﹣2+4＝﹣1+4＝3；（2）解不等式3x﹣2≥1，得：x≥1，解不等式5﹣x＞2，得：x＜3，则不等式组的解集为1≤x＜3．点拨：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．14．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．解析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：原式＝[﹣]÷＝•＝，当x＝时，原式＝＝．点拨：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．15．（6分）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为；（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．解析：（1）共有4种可能出现的结果，抽到小艺的只有1种，可求出抽到小艺的概率；（2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出两个同学均来自八年级的概率．【解答】解：（1）共有4种可能出现的结果，抽到小艺的只有1种，因此恰好抽到小艺的概率为，故答案为：；（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有12种可能出现的结果，其中都是八年级，即抽到小志、小晴的有2种，∴P（小志、小晴）＝＝．点拨：本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提．16．（6分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB'C'．解析：（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．（2）根据AB＝2，BC＝，AC＝5，利用数形结合的思想解决问题即可．【解答】解：（1）如图1中，△A'B'C'即为所求．（2）如图2中，△AB'C'即为所求．点拨：本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．17．（6分）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．解析：（1）设笔记本的单价为x元，单独购买一支笔芯的价格为y 元，根据“小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）先求两人带的总钱数，再求出两人合在一起买文具所需费用，由二者的差大于2个小工艺品所需钱数，可找出：他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．【解答】解：（1）设笔记本的单价为x元，单独购买一支笔芯的价格为y元，依题意，得：，解得：．答：笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元．（2）小贤和小艺带的总钱数为19+2+26＝47（元）．两人合在一起购买所需费用为5×（2+1）+（3﹣0.5）×10＝40（元）．∵47﹣40＝7（元），3×2＝6（元），7＞6，∴他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．点拨：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2．（1）求反比例函数的解析式；（2）求∠EOD的度数．解析：（1）根据题意求得A（2，2），然后代入y＝（x＞0），求得k的值，即可求得反比例函数的解析式；（2）根据AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，得出OA＝AE＝BE，根据直角三角形斜边中线的性质得出CE＝AE＝BE，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质即可得出∠AOE＝2∠EOD，从而求得∠EOD＝15°．【解答】解：（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∵OA＝2，∴OD＝AD＝2，∴A（2，2），∵顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，∴OA＝AE，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴CE＝AE＝BE，∴∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC，∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，∵BC∥x轴，∴∠EOD＝∠ECB，∴∠AOE＝2∠EOD，∵∠AOD＝45°，∴∠EOD＝15°．点拨：本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，证得∠AOE＝2∠EOD，是解题的关键．19．（8分）为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学．该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评．根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）．复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：成绩30≤x＜4040≤x＜5050≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100人数133815m6根据以上图表信息，完成下列问题：（1）m＝14；（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；（3）某同学第二次测试数学成绩为78分．这次测试中，分数高于78分的至少有20人，至多有34人；（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80解析：（1）根据前后两次抽取的人数一样多，可以计算出m的值；（2）根据直方图中的数据和表格中的数据，可以将图2中的图补充完整，然后即可写出成绩的变化情况；（3）根据表格中的数据，可以得到分数高于78分的至少有多少人，至多有多少人；（4）根据表格中的数据，可以计算出复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．【解答】解：（1）m＝（2+8+10+15+10+4+1）﹣（1+3+3+8+15+6）＝14，故答案为：14；（2）折线图如下图所示，复学后，学生的成绩总体上有了明显的提升；（3）某同学第二次测试数学成绩为78分．这次测试中，分数高于78分的至少有14+6＝20（人），至多有14+6+（15﹣1）＝34（人），故答案为：20，34；（4）800×＝320（人），答：复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及点拨：本题考查频数分布直方图、折线统计图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．（8分）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732）解析：（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CB、AF，即可求出点A到直线DE的距离；（2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出相应的角度即可．【解答】解：（1）如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，由题意可知，AC＝80，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝80×＝40（mm）＝FM，∠DCN＝90°﹣60°＝30°，又∵∠DCB＝80°，∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°，∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴AM∥CN，∴∠A＝∠BCN＝50°，∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°，在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°＝80×0.643≈51.44，∴AM＝AF+FM＝51.44+40≈120.7（mm），答：点A到直线DE的距离约为120.7mm；（2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°+10°＝90°，在Rt△BCD中，CD＝80，BC＝40，∴tan∠D＝＝＝0.500，∴∠D＝26.6°，因此旋转的角度为：60°﹣26.6°＝33.4°，答：CD旋转的角度约为33.4°．点拨：本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法，也是基本的方法．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC 为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．解析：（1）连接OA，OB，由切线的性质可求∠PAO＝∠PBO＝90°，由四边形内角和可求解；（2）当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由切线长定理可得PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，由“SAS”可证△APC≌△BPC，可得∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，可证AP＝AC ＝PB＝BC，可得四边形APBC是菱形；（3）分别求出AP，PD的长，由弧长公式可求，即可求解．【解答】解：（1）如图1，连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB＝360°，∴∠APB+∠AOB＝180°，∵∠APB＝80°，∴∠AOB＝100°，∴∠ACB＝50°；（2）如图2，当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由（1）可知，∠AOB+∠APB＝180°，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACB＝60°＝∠APB，∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心，∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC（SAS），∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，∴∠APC＝∠ACP＝30°，∴AP＝AC，∴AP＝AC＝PB＝BC，∴四边形APBC是菱形；（3）∵⊙O的半径为r，∴OA＝r，OP＝2r，∴AP＝r，PD＝r，∵∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°，∴＝＝，∴阴影部分的周长＝PA+PD+＝r+r+r＝（+1+）r．点拨：本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，弧长公式，菱形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．22．（9分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…m0﹣3n﹣3…（1）根据以上信息，可知抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1；（2）求抛物线的表达式及m，n的值；（3）请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P'，描出相应的点P'，再把相应的点P'用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？（4）设直线y＝m（m＞﹣2）与抛物线及（3）中的点P'所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系A3A4﹣A1A2＝1．解析：（1）观察表格中的数据，得到x＝0和x＝2时，y值相等都为﹣3，且其他y的值比﹣3大，可得出抛物线开口方向及对称轴；（2）把三点坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值确定出解析式，进而求出m与n的值即可；（3）画出抛物线图象，确定出点P'运动的轨迹即可；（4）根据（3）中图象可得答案．【解答】解：（1）根据表格信息，可知抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1；故答案为：上，直线x＝1；（2）把（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，当x＝﹣2时，m＝4+4﹣3＝5；当x＝1时，n＝1﹣2﹣3＝﹣4；（3）画出抛物线图象，如图1所示，描出P'的轨迹，是一条抛物线，如备用图所示，（4）根据题意及（3）中图象可得：A3A4﹣A1A2＝1．故答案为：A3A4﹣A1A2＝1．点拨：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．六、（本大题共12分）23．（12分）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究（1）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC 为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为S1+S2＝S3；推广验证（2）如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC 为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用（3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC ＝90°，AB＝2，DE＝2，点P在AE上，∠ABP＝30°，PE＝，求五边形ABCDE的面积．解析：类比探究（1）通过证明△ADB∽△BFC，可得＝（）2，同理可得＝（）2，由勾股定理可得AB2+AC2＝BC2，可得结论；推广验证（2）通过证明△ADB∽△BFC，可得＝（）2，同理可得＝（）2，由勾股定理可得AB2+AC2＝BC2，可得结论；拓展应用（3）过点A作AH⊥BP于H，连接PD，BD，由直角三角形的性质可求AP＝，BP＝BH+PH＝3+，可求S△ABP＝，通过证明△ABP∽△EDP，可得∠EPD＝∠APB＝45°，，S△PDE＝，可得∠BPD＝90°，PD＝1+，可求S△BPD＝2+3，由（2）的结论可求S△BCD＝S△ABP+S△DPE＝+＝2+2，即可求解．【解答】解：类比探究（1）∵∠1＝∠3，∠D＝∠F＝90°，∴△ADB∽△BFC，∴＝（）2，同理可得：＝（）2，∵AB2+AC2＝BC2，∴＝（）2+（）2＝＝1，∴S1+S2＝S3，故答案为：S1+S2＝S3．（2）结论仍然成立，理由如下：∵∠1＝∠3，∠D＝∠F，∴△ADB∽△BFC，∴＝（）2，同理可得：＝（）2，∵AB2+AC2＝BC2，∴＝（）2+（）2＝＝1，∴S1+S2＝S3，（3）过点A作AH⊥BP于H，连接PD，BD，∵∠ABH＝30°，AB＝2，∴AH＝，BH＝3，∠BAH＝60°，∵∠BAP＝105°，∴∠HAP＝45°，∵AH⊥BP，∴∠HAP＝∠APH＝45°，∴PH＝AH＝，∴AP＝，BP＝BH+PH＝3+，∴S△ABP＝＝＝，∵PE＝，ED＝2，AP＝，AB＝2，∴＝，＝，∴，且∠E＝∠BAP＝105°，∴△ABP∽△EDP，∴∠EPD＝∠APB＝45°，，∴∠BPD＝90°，PD＝1+，∴S△BPD＝＝＝2+3，∵△ABP∽△EDP，∴＝（）2＝，∴S△PDE＝×＝∵tan∠PBD＝，∴∠PBD＝30°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABP﹣∠CBD＝30°，∴∠ABP＝∠PDE＝∠CBD，又∵∠A＝∠E＝∠C＝105°，∴△ABP∽△EDP∽△CBD，由（2）的结论可得：S△BCD＝S△ABP+S△DPE＝+＝2+2，∴五边形ABCDE的面积＝++2+2+2+3＝6+7．点拨：本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质求三角形的面积是本题的关键．。
2020年中考数学试题分类：尺规作图 含解析
2020年中考数学试题分类汇编之十七尺规作图一、选择题1.（2020河北）如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线． 如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ； 第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ； 第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求． 下列正确的是（ ）A. a ，b 均无限制B. 0a >，12b DE >的长 C. a 有最小限制，b 无限制 D. 0a ≥，12b DE <的长 【答案】B【详解】第一步：以B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ； ∴0a >；第二步：分别以D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ； ∴12b DE >的长； 第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求． 综上，答案为：0a >；12b DE >的长， 故选：B ．2.（2020河南）.如图，在ABC ∆中，30AB BC BAC ==∠=︒ ，分别以点,A C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，连接,,DA DC 则四边形ABCD 的面积为（ ）A. B. 9 C. 6D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接BD 交AC 于O ，由已知得△ACD 为等边三角形且BD 是AC 的垂直平分线，然后解直角三角形解得AC 、BO 、BD 的值，进而代入三角形面积公式即可求解． 【详解】连接BD 交AC 于O ， 由作图过程知，AD=AC=CD ， ∴△ACD 为等边三角形， ∴∠DAC=60º， ∵AB=BC,AD=CD ，∴BD 垂直平分AC 即：BD ⊥AC ，AO=OC ，在Rt △AOB 中，30AB BAC =∠=︒∴BO=AB ·sin30º AO=AB ·cos30º=32，AC=2AO=3， 在Rt △AOD 中，AD=AC=3,∠DAC=60º，∴DO=AD ·sin60º=2，∴ABC ADC ABCD S S S ∆∆=+四边形=11332222⨯⨯+⨯⨯=故选：D ．3.（2020贵阳）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，利用尺规在BC ，BA 上分别截取BE ，BD ，使BE BD =；分别以D ，E 为圆心、以大于12DE 为长的半径作弧，两弧在CBA∠内交于点F ；作射线BF 交AC 于点G ，若1CG =，P 为AB 上一动点，则GP 的最小值为（ ）A. 无法确定B.12C. 1D. 2【答案】C【详解】解：由题意可知，当GP∴AB 时，GP 的值最小， 根据尺规作图的方法可知，GB 是∴ABC 的角平分线， ∴∴C=90°， ∴当GP∴AB 时，GP=CG=1， 故答案为：C ．4．（2020广西南宁）（3分）如图，在△ABC 中，BA ＝BC ，∠B ＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE 的度数为（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ACB的度数，观察作图过程可得，进而可得∠DCE 的度数．【解答】解：∵BA＝BC，∠B＝80°，∴∠A＝∠ACB＝（180°﹣80°）＝50°，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝130°，观察作图过程可知：CE平分∠ACD，∴∠DCE＝ACD＝65°，∴∠DCE的度数为65°故选：B．二、填空题5．(2020天津)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC∆的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上，且53 AB=．（I）线段AC的长等于______；（II）以BC为直径的半圆与边AC相交于点D，若P，Q分别为边AC，BC上的动点，当BP PQ+取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）_______．答案）如图，取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点B'；连接B C'，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接B P'并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．6.(2020苏州）.如图，已知MON ∠是一个锐角，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM 、ON 于点A 、B ，再分别以点A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧交于点C ，画射线OC ．过点A 作ADON ，交射线OC 于点D ，过点D 作DE OC ⊥，交ON 于点E ．设10OA =，12DE =，则sin MON ∠=________．【详解】连接AB 交OD 于点H ，过点A 作AG∴ON 于点G ， 由尺规作图步骤，可得：OD 是∴MON 的平分线，OA=OB ， ∴OH∴AB ，AH=BH ， ∴DE OC ⊥， ∴DE∴AB ， ∴ADON ，∴四边形ABED 是平行四边形， ∴AB=DE=12， ∴AH=6，8==，∴OB∙AG=AB∙OH ， ∴AG=AB OH OB ⋅=12810⨯=485， ∴sin MON ∠=AG OA =2425． 故答案是：2425．7．（2020新疆生产建设兵团）（5分）如图，在x 轴，y 轴上分别截取OA ，OB ，使OA ＝OB ，再分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧交于点P ．若点P 的坐标为（a ，2a ﹣3），则a 的值为 3 ．【分析】根据作图方法可知点P 在∠BOA 的角平分线上，由角平分线的性质可知点P 到x 轴和y 轴的距离相等，结合点P 在第一象限，可得关于a 的方程，求解即可． 【解答】解：∵OA ＝OB ，分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧交于点P ，∴点P 在∠BOA 的角平分线上， ∴点P 到x 轴和y 轴的距离相等，又∵点P 在第一象限，点P 的坐标为（a ，2a ﹣3）， ∴a ＝2a ﹣3， ∴a ＝3． 故答案为：3．8．（2020辽宁抚顺）（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，分别以点A 和B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN ，交AC 于点E ，连接BE ，若CE ＝3，则BE 的长为 5 ．9．（2020宁夏）（3分）如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A＝32度．三、解答题10.（2020北京）已知：如图，∴ABC为锐角三角形，AB=BC，CD∴AB.求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∴ABP=12BAC .作法：∴以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；∴连接BP.线段BP 就是所求作线段.（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：∴CD∴AB，∴∴ABP= .∴AB=AC，∴点B在∴A上.又∴∴BPC=12∴BAC （）（填推理依据）∴∴ABP=12∴BAC【解析】（1）如图所示（2）∠BPC；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
2020年江西省中考数学试题及参考答案(word解析版)
江西省2020年中等学校招生考试数学试题卷（全卷满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）1．﹣3的倒数是（）A．3 B．﹣3 C．﹣D．2．下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝a C．a3•a2＝a6D．a3÷a2＝a3．教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报．经初步统计，2019年全国教育经费总投入为50175亿元，比上年增长8.74%．将50175亿用科学记数法表示为（）A．5.0175×1011B．5.0175×1012C．0.50175×1013D．0.50175×10144．如图，∠1＝∠2＝65°，∠3＝35°，则下列结论错误的是（）A．AB∥CD B．∠B＝30°C．∠C+∠2＝∠EFC D．CG＞FG5．如图所示，正方体的展开图为（）A．B．C．D．6．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O'A'B'，且点O'，A'落在抛物线的对称轴上，点B'落在抛物线上，则直线A'B'的表达式为（）A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x+D．y＝x+2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．计算：（a﹣1）2＝．8．若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．9．公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10．在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位．根据符号记数的方法，如图符号表示一个两位数，则这个两位数是．10．祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．胡老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计：数字0 1 2 3 4 5 6 7 8 9频数8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为．11．如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC ＝49°，则∠BAE的度数为．12．矩形纸片ABCD，长AD＝8cm，宽AB＝4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A'处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA'，EA'，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为厘米．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（本题共2小题，每小题3分）（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+（）﹣2；（2）解不等式组：14．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．15．某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为；（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．16．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB'C'．17．（6分）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2．（1）求反比例函数的解析式；（2）求∠EOD的度数．19．为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学．该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评．根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）．复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：成绩30≤x＜40 40≤x＜50 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 人数 1 3 3 8 15 m 6 根据以上图表信息，完成下列问题：（1）m＝；（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；（3）某同学第二次测试数学成绩为78分．这次测试中，分数高于78分的至少有人，至多有人；（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．20．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732）五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．22．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …m 0 ﹣3 n ﹣3 …（1）根据以上信息，可知抛物线开口向，对称轴为；（2）求抛物线的表达式及m，n的值；（3）请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P'，描出相应的点P'，再把相应的点P'用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？（4）设直线y＝m（m＞﹣2）与抛物线及（3）中的点P'所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系．六、（本大题共12分）23．某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究（1）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为；推广验证（2）如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用（3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC＝90°，AB＝2，DE ＝2，点P在AE上，∠ABP＝30°，PE＝，求五边形ABCDE的面积．答案与解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）1．﹣3的倒数是（）A．3 B．﹣3 C．﹣D．【知识考点】倒数．【思路分析】根据倒数的定义即可得出答案．【解答过程】解：﹣3的倒数是﹣．故选：C．【总结归纳】此题主要考查了倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝a C．a3•a2＝a6D．a3÷a2＝a【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；同底数幂的除法．【思路分析】根据同类项定义；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答过程】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、应为a3•a2＝a5，故本选项错误；D、a3÷a2＝a，正确．故选：D．【总结归纳】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，不是同类项的一定不能合并．3．教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报．经初步统计，2019年全国教育经费总投入为50175亿元，比上年增长8.74%．将50175亿用科学记数法表示为（）A．5.0175×1011B．5.0175×1012C．0.50175×1013D．0.50175×1014【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答过程】解：50175亿＝5017500000000＝5.0175×1012．故选：B．【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．如图，∠1＝∠2＝65°，∠3＝35°，则下列结论错误的是（）A．AB∥CD B．∠B＝30°C．∠C+∠2＝∠EFC D．CG＞FG【知识考点】平行线的判定；三角形的外角性质．【思路分析】依据平行线的判定与性质，以及三角形外角性质，即可得出结论．【解答过程】解：∵∠1＝∠2＝65°，∴AB∥CD，故A选项正确，又∵∠3＝35°，∴∠C＝65°﹣35°＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，故B选项正确，∵∠EFC是△CGF的外角，∴∠EFC＝∠C+∠3，故C选项错误，∵∠3＞∠C，∴CG＞FG，故D选项正确，故选：C．【总结归纳】本题主要考查了平行线的判定与性质，以及三角形外角性质，解题时注意：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．5．如图所示，正方体的展开图为（）A．B．C．D．【知识考点】几何体的展开图．【思路分析】根据正方体的展开与折叠，正方体展开图的形状进行判断即可．【解答过程】解：根据“相间、Z端是对面”可得选项B不符合题意；再根据“上面∧”符号开口，可以判断选项A符合题意；选项C、D不符合题意；故选：A．【总结归纳】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体展开图的特征是正确判断的前提．6．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O'A'B'，且点O'，A'落在抛物线的对称轴上，点B'落在抛物线上，则直线A'B'的表达式为（）A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x+D．y＝x+2【知识考点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；坐标与图形变化﹣平移．【思路分析】求得A、B的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出A′（1，n），则B′（4，n+3），把B′（4，n+3）代入抛物线解析式求得n，即可求得A′、B′的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A'B'的表达式．【解答过程】解：如图，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，令y＝0，解得x＝﹣1或3，令x＝0，求得y＝﹣3，∴A（3，0），B（0，﹣3），∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴A′的横坐标为1，设A′（1，n），则B′（4，n+3），∵点B'落在抛物线上，∴n+3＝16﹣8﹣3，解得n＝2，∴A′（1，2），B′（4，5），设直线A'B'的表达式为y＝kx+b，∴，解得∴直线A'B'的表达式为y＝x+1，故选：B．【总结归纳】本题考查了抛物线与x轴的交点，坐标和图形变换﹣平移，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意表示出A′、B′的坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．计算：（a﹣1）2＝．【知识考点】完全平方公式．【思路分析】直接利用完全平方公式计算即可解答．【解答过程】解：（a﹣1）2＝a2﹣2a+1．【总结归纳】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．8．若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．【知识考点】一元二次方程的解；根与系数的关系．【思路分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．【解答过程】解：∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，∴x1•x2＝＝﹣2．∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．故答案为：﹣2．【总结归纳】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之积等于是解题的关键．9．公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10．在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位．根据符号记数的方法，如图符号表示一个两位数，则这个两位数是．【知识考点】用数字表示事件．【思路分析】根据题意可知，这个两位数的个位上的数是5，十位上的数是2，故这个两位数我25．【解答过程】解：由题意可得，表示25．故答案为：25．【总结归纳】本题主要考查了用数字表示事件，理清题目中的符号表示的意义是解答本题的关键．10．祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．胡老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计：数字0 1 2 3 4 5 6 7 8 9频数8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为．【知识考点】近似数和有效数字；数学常识；频数（率）分布表；众数．【思路分析】直接根据众数的定义可得答案．【解答过程】解：圆周率的小数点后100位数字的众数为9，故答案为：9．【总结归纳】本题主要考查众数，解题的关键是掌握求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．11．如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为．【知识考点】全等三角形的判定与性质．【思路分析】证明△ABC≌△ADC得∠D+∠ACD＝∠B+∠ACB＝49°，进而根据三角形内角和定理得结果．【解答过程】解：∵AC平分∠DCB，∴∠BCA＝∠DCA，∵CB＝CD，∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SAS），∴∠B＝∠D，∴∠B+∠ACB＝∠D+∠ACD，∵∠CAE＝∠D+∠ACD＝49°，∴∠B+∠ACB＝49°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠ACB﹣∠CAE＝82°，故答案为：82°．【总结归纳】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，关键是证明三角形全等，求得∠B+∠ACB＝49°．12．矩形纸片ABCD，长AD＝8cm，宽AB＝4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A'处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA'，EA'，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为厘米．【知识考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【思路分析】根据翻折可得∠ABE＝∠A′BE，分3种情况讨论：当∠ABE＝30°时或当∠AEB ＝30°时或当∠ABA′＝30°时求AE的长．【解答过程】解：①当∠ABE＝30°时，AE＝AB×tan30°＝；②当∠AEB＝30°时，AE＝＝＝4；③∠ABE＝15°时，∠ABA′＝30°，延长BA′交AD于F，如下图所示，设AE＝x，则EA′＝x，EF＝，∵AF＝AE+EF＝ABtan30°＝，∴x+＝，∴x＝8﹣4，∴AE＝8﹣4．故答案为：厘米或4厘米或8﹣4厘米．【总结归纳】本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形性质．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+（）﹣2；（2）解不等式组：【知识考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组．【思路分析】（1）先计算零指数幂、绝对值和负整数指数幂，再计算加减可得答案；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答过程】解：（1）原式＝1﹣2+4＝﹣1+4＝3；（2）解不等式3x﹣2≥1，得：x≥1，解不等式5﹣x＞2，得：x＜3，则不等式组的解集为1≤x＜3．【总结归纳】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．14．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．【知识考点】分式的化简求值．【思路分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答过程】解：原式＝[﹣]÷＝•＝，当x＝时，原式＝＝．【总结归纳】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．15．（6分）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为；（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．【知识考点】列表法与树状图法．【思路分析】（1）共有4种可能出现的结果，抽到小艺的只有1种，可求出抽到小艺的概率；（2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出两个同学均来自八年级的概率．【解答过程】解：（1）共有4种可能出现的结果，抽到小艺的只有1种，因此恰好抽到小艺的概率为，故答案为：；（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有12种可能出现的结果，其中都是八年级，即抽到小志、小晴的有2种，∴P（小志、小晴）＝＝．【总结归纳】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提．16．（6分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB'C'．【知识考点】作图﹣旋转变换．【思路分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．（2）根据AB＝2，BC＝，AC＝5，利用数形结合的思想解决问题即可．【解答过程】解：（1）如图1中，△A'B'C'即为所求．（2）如图2中，△AB'C'即为所求．【总结归纳】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．17．（6分）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．【知识考点】一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．【思路分析】（1）设笔记本的单价为x元，单独购买一支笔芯的价格为y元，根据“小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）先求两人带的总钱数，再求出两人合在一起买文具所需费用，由二者的差大于2个小工艺品所需钱数，可找出：他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．【解答过程】解：（1）设笔记本的单价为x元，单独购买一支笔芯的价格为y元，依题意，得：，解得：．答：笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元．（2）小贤和小艺带的总钱数为19+2+26＝47（元）．两人合在一起购买所需费用为5×（2+1）+（3﹣0.5）×10＝40（元）．∵47﹣40＝7（元），3×2＝6（元），7＞6，∴他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．【总结归纳】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2．（1）求反比例函数的解析式；（2）求∠EOD的度数．【知识考点】反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；直角三角形斜边上的中线．【思路分析】（1）根据题意求得A（2，2），然后代入y＝（x＞0），求得k的值，即可求得反比例函数的解析式；（2）根据AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，得出OA＝AE＝BE，根据直角三角形斜边中线的性质得出CE＝AE＝BE，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质即可得出∠AOE＝2∠EOD，从而求得∠EOD＝15°．【解答过程】解：（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∵OA＝2，∴OD＝AD＝2，∴A（2，2），∵顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，∴OA＝AE，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴CE＝AE＝BE，∴∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC，∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，∵BC∥x轴，∴∠EOD＝∠ECB，∴∠AOE＝2∠EOD，∵∠AOD＝45°，∴∠EOD＝15°．【总结归纳】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，证得∠AOE＝2∠EOD，是解题的关键．19．（8分）为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学．该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评．根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）．复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：成绩30≤x＜40 40≤x＜50 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 人数 1 3 3 8 15 m 6 根据以上图表信息，完成下列问题：（1）m＝；（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；（3）某同学第二次测试数学成绩为78分．这次测试中，分数高于78分的至少有人，至多有人；（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；频数（率）分布折线图．【思路分析】（1）根据前后两次抽取的人数一样多，可以计算出m的值；（2）根据直方图中的数据和表格中的数据，可以将图2中的图补充完整，然后即可写出成绩的变化情况；（3）根据表格中的数据，可以得到分数高于78分的至少有多少人，至多有多少人；（4）根据表格中的数据，可以计算出复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．【解答过程】解：（1）m＝（2+8+10+15+10+4+1）﹣（1+3+3+8+15+6）＝14，故答案为：14；（2）折线图如下图所示，复学后，学生的成绩总体上有了明显的提升；（3）某同学第二次测试数学成绩为78分．这次测试中，分数高于78分的至少有14+6＝20（人），至多有14+6+（15﹣1）＝34（人），故答案为：20，34；（4）800×＝320（人），答：复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的有320人．【总结归纳】本题考查频数分布直方图、折线统计图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．（8分）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732）【知识考点】解直角三角形的应用．【思路分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CB、AF，即可求出点A到直线DE的距离；（2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出相应的角度即可．【解答过程】解：（1）如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，由题意可知，AC＝80，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝80×＝40（mm）＝FM，∠DCN＝90°﹣60°＝30°，又∵∠DCB＝80°，∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°，∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴AM∥CN，∴∠A＝∠BCN＝50°，∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°，在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°＝80×0.643≈51.44，∴AM＝AF+FM＝51.44+40≈120.7（mm），答：点A到直线DE的距离约为120.7mm；（2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°+10°＝90°，在Rt△BCD中，CD＝80，BC＝40，∴tan∠D＝＝＝0.500，∴∠D＝26.6°，因此旋转的角度为：60°﹣26.6°＝33.4°，答：CD旋转的角度约为33.4°．【总结归纳】本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法，也是基本的方法．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．【知识考点】圆的综合题．【思路分析】（1）连接OA，OB，由切线的性质可求∠PAO＝∠PBO＝90°，由四边形内角和可求解；（2）当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由切线长定理可得PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，由“SAS”可证△APC≌△BPC，可得∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，可证AP＝AC＝PB＝BC，可得四边形APBC是菱形；（3）分别求出AP，PD的长，由弧长公式可求，即可求解．【解答过程】解：（1）如图1，连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB＝360°，∴∠APB+∠AOB＝180°，∵∠APB＝80°，。
2020年江西省中考数学试卷(附答案解析)
2020年江西省中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）1．（3分）－3的倒数是（）A．3B．－3C．－D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3－a2＝a C．a3•a2＝a6D．a3÷a2＝a3．（3分）教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报．经初步统计，2019年全国教育经费总投入为50175亿元，比上年增长8.74%．将50175亿用科学记数法表示为（）A．5.0175×1011B．5.0175×1012C．0.50175×1013D．0.50175×10144．（3分）如图，∠1＝∠2＝65°，∠3＝35°，则下列结论错误的是（）A．AB∥CD B．∠B＝30°C．∠C+∠2＝∠EFC D．CG＞FG5．（3分）如图所示，正方体的展开图为（）A．B．C．D．6．（3分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2－2x－3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O'A'B'，且点O'，A'落在抛物线的对称轴上，点B'落在抛物线上，则直线A'B'的表达式为（）A．y＝x B．y＝x+1C．y＝x+D．y＝x+2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）计算：（a－1）2＝．8．（3分）若关于x的一元二次方程x2－kx－2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．9．（3分）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10．在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位．根据符号记数的方法，如图符号表示一个两位数，则这个两位数是．10．（3分）祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．胡老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计：数字0123456789频数881211108981214那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为．11．（3分）如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为．12．（3分）矩形纸片ABCD，长AD＝8cm，宽AB＝4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A'处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA'，EA'，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为厘米．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：（1－）0－|－2|+（）－2；（2）解不等式组：14．（6分）先化简，再求值：（－）÷，其中x＝．15．（6分）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为；（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．16．（6分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB'C'．17．（6分）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y＝（x ＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2．（1）求反比例函数的解析式；（2）求∠EOD的度数．19．（8分）为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学．该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评．根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）．复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：成绩30≤x＜4040≤x＜5050≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100人数133815m6（1）m＝；（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；（3）某同学第二次测试数学成绩为78分．这次测试中，分数高于78分的至少有人，至多有人；（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．20．（8分）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732）五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．22．（9分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y 的部分对应值如下表：x…－2－1012…y…m0－3n－3…）根据以上信息，可知抛物线开口向，对称轴为；（2）求抛物线的表达式及m，n的值；（3）请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P'，描出相应的点P'，再把相应的点P'用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？（4）设直线y＝m（m＞－2）与抛物线及（3）中的点P'所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系．六、（本大题共12分）23．（12分）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究（1）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为；推广验证（2）如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用（3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC＝90°，AB＝2，DE＝2，点P在AE上，∠ABP＝30°，PE＝，求五边形ABCDE的面积．【试题答案】一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）1．C【解答】解：－3的倒数是－．2．D【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、应为a3•a2＝a5，故本选项错误；D、a3÷a2＝a，正确．3．B【解答】解：50175亿＝5017500000000＝5.0175×1012．4．C【解答】解：∵∠1＝∠2＝65°，∴AB∥CD，故A选项正确，又∵∠3＝35°，∴∠C＝65°－35°＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，故B选项正确，∵∠EFC是△CGF的外角，∴∠EFC＝∠C+∠3，故C选项错误，∵∠3＞∠C，∴CG＞FG，故D选项正确．5．A【解答】解：根据“相间、Z端是对面”可得选项B不符合题意；再根据“上面∧”符号开口，可以判断选项A符合题意；选项C、D不符合题意．6．B【解答】解：如图，∵抛物线y＝x2－2x－3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，令y＝0，解得x＝－1或3，令x＝0，求得y＝－3，∴B（3，0），A（0，－3），∵抛物线y＝x2－2x－3的对称轴为直线x＝－＝1，∴A′的横坐标为1，设A′（1，n），则B′（4，n+3），∵点B'落在抛物线上，∴n+3＝16－8－3，解得n＝2，∴A′（1，2），B′（4，5），设直线A'B'的表达式为y＝kx+b，∴，解得∴直线A'B'的表达式为y＝x+1．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．a2－2a+1【解答】解：（a－1）2＝a2－2a+1．8．－2【解答】解：∵a＝1，b＝－k，c＝－2，∴x1•x2＝＝－2．∵关于x的一元二次方程x2－kx－2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为－2÷1＝－2．9．25【解答】解：由题意可得，表示25．10．9【解答】解：圆周率的小数点后100位数字的众数为9。
2020中考数学试题含答案 (3)
2020中考数学试卷(解析版)一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来.每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分1．（3分）的倒数是（）A．﹣2 B．﹣ C．2 D．【分析】根据倒数的定义，直接解答即可．【解答】解：的倒数是﹣2．故选：A．【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．（3分）下列计算，正确的是（）A．a5+a5=a10B．a3÷a﹣1=a2C．a•2a2=2a4D．（﹣a2）3=﹣a6【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则计算，判断即可．【解答】解：a5+a5=2a5，A错误；a3÷a﹣1=a3﹣（﹣1）=a4，B错误；a•2a2=2a3，C错误；（﹣a2）3=﹣a6，D正确，故选：D．【点评】本题考查的是合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、单项式乘单项式，掌握它们的运算法则是解题的关键．3．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（）A．20°B．30°C．45°D．50°【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：∵直线m∥n，∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°，故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．4．（3分）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（）A．|a|＞|b|B．|ac|=ac C．b＜d D．c+d＞0【分析】本题利用实数与数轴的对应关系结合实数的运算法则计算即可解答．【解答】解：从a、b、c、d在数轴上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1；A、|a|＞|b|，故选项正确；B、a、c异号，则|ac|=﹣ac，故选项错误；C、b＜d，故选项正确；D、d＞c＞1，则a+d＞0，故选项正确．故选：B．【点评】此题主要考查了数轴的知识：从原点向右为正数，向左为负数．右边的数大于左边的数．5．（3分）如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，若点A（3，m）在直线l上，则m的值是（）A．﹣5 B．C．D．7【分析】待定系数法求出直线解析式，再将点A代入求解可得．【解答】解：将（﹣2，0）、（0，1）代入，得：解得：，∴y=x+1，将点A（3，m）代入，得：+1=m，即m=，故选：C．【点评】本题主要考查直线上点的坐标特点，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．6．（3分）如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（）A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b【分析】观察图形可知，这块矩形较长的边长=边长为3a的正方形的边长﹣边长2b的小正方形的边长+边长2b的小正方形的边长的2倍，依此计算即可求解．【解答】解：依题意有3a﹣2b+2b×2=3a﹣2b+4b=3a+2b．故这块矩形较长的边长为3a+2b．故选：A．【点评】考查了列代数式，关键是得到这块矩形较长的边长与两个正方形边长的关系．7．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为（）A．（﹣3，﹣2）B．（2，2） C．（﹣2，2）D．（2，﹣2）【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．【解答】解：点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，﹣2），即（2，﹣2），则点B关于x轴的对称点B′的坐标是（2，2），故选：B．【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（）A． B．2 C．2D．8【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA﹣AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=，所以CD=2CH=2．【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA﹣AP=2，在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=60°，∴OH=OP=1，在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，∴CH==，∴CD=2CH=2．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．9．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0【分析】根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是x=1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c=0，则可对D选项进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误；∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，∴﹣=1，∴2a+b=0，所以C选项错误；∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，所以D选项正确；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．10．（3分）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．【解答】解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，故选：B．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点P是解题的关键．11．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（）A．B．C．D．【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF=DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF==2x，再由三角函数定义即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∵点E是边BC的中点，∴BE=BC=AD，∴△BEF∽△DAF，∴=，∴EF=AF，∴EF=AE，∵点E是边BC的中点，∴由矩形的对称性得：AE=DE，∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，∴DF==2x，∴tan∠BDE===；故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴=，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴=，∵FC=FG，∴=，解得：FC=，即CE的长为．故选：A．【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．二、填空题：本大题共6小题，满分24分，只填写最后结果，每小题填对得4分13．（4分）若二元一次方程组的解为，则a﹣b=．【分析】把x、y的值代入方程组，再将两式相加即可求出a﹣b的值．【解答】解：将代入方程组，得：，①+②，得：4a﹣4b=7，则a﹣b=，故答案为：．【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a﹣b的值，本题属于基础题型．14．（4分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 6.18米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515=6.18（米），答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.18米．故答案为：6.18．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．15．（4分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为1．【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为1，2，的面积，从而可以解答本题．【解答】解：∵S=，∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：S==1，故答案为：1．【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．16．（4分）如图，在正方形ABCD中，AD=2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为9﹣5．【分析】根据旋转的思想得PB=BC=AB，∠PBC=30°，推出△ABP是等边三角形，得到∠BAP=60°，AP=AB=2，解直角三角形得到CE=2﹣2，PE=4﹣2，过P 作PF⊥CD于F，于是得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，∴PB=BC=AB，∠PBC=30°，∴∠ABP=60°，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP=60°，AP=AB=2，∵AD=2，∴AE=4，DE=2，∴CE=2﹣2，PE=4﹣2，过P作PF⊥CD于F，∴PF=PE=2﹣3，∴三角形PCE的面积=CE•PF=×（2﹣2）×（2﹣3）=9﹣5，故答案为：9﹣5．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．17．（4分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是12．【分析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出BC与AC的长度．【解答】解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5，即BC=5，由于M是曲线部分的最低点，∴此时BP最小，即BP⊥AC，BP=4，∴由勾股定理可知：PC=3，由于图象的曲线部分是轴对称图形，∴PA=3，∴AC=6，∴△ABC 的面积为：×4×6=12故答案为：12【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC与AC的长度，本题属于中等题型．18．（4分）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：第1行1第2行234第3行98765第4行1111213141516第2222221115543210987行…则2018在第45行．【分析】通过观察可得第n行最大一个数为n2，由此估算2018所在的行数，进一步推算得出答案即可．【解答】解：∵442=1936，452=2025，∴2018在第45行．故答案为：45．【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．三、解答题：本大题共7小题，满分60分.解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤19．（8分）计算：|﹣2|+sin60°﹣﹣（﹣1）2+2﹣2【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的意义和绝对值的意义计算．【解答】解：原式=2﹣+﹣3﹣+=﹣．【点评】本题考查了实数的运算：实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．20．（8分）如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．【分析】（1）根据中心对称的性质即可作出图形；（2）根据轴对称的性质即可作出图形；（3）根据旋转的性质即可求出图形．【解答】解：（1）如图所示，△DCE为所求作（2）如图所示，△ACD为所求作（3）如图所示△ECD为所求作【点评】本题考查图形变换，解题的关键是正确理解图形变换的性质，本题属于基础题型．21．（8分）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．【分析】（1）根据三角形相似，可求出点C坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；（2）联立解析式，可求交点坐标；（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．【解答】解：（1）由已知，OA=6，OB=12，OD=4∵CD⊥x轴∴OB∥CD∴△ABO∽△ACD∴∴∴CD=20∴点C坐标为（﹣4，20）∴n=xy=﹣80∴反比例函数解析式为：y=﹣把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：解得：∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12（2）当﹣=﹣2x+12时，解得x1=10，x2=﹣4当x=10时，y=﹣8∴点E坐标为（10，﹣8）∴S△CDE =S△CDA+S△EDA=（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜0【点评】本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及用函数的观点通过函数图象解不等式．22．（8分）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：步数频数频率0≤x＜40008a4000≤x＜8000150.38000≤x＜1200012b12000≤x＜16000c0.216000≤x＜2000030.0620000≤x＜24000d0.04请根据以上信息，解答下列问题：（1）写出a，b，c，d的值并补全频数分布直方图；（2）本市约有37800名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．【分析】（1）根据频率=频数÷总数可得答案；（2）用样本中超过12000步（包含12000步）的频率之和乘以总人数可得答案；（3）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）a=8÷50=0.16，b=12÷50=0.24，c=50×0.2=10，d=50×0.04=2，补全频数分布直方图如下：（2）37800×（0.2+0.06+0.04）=11340，答：估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有11340名；（3）设16000≤x＜20000的3名教师分别为A、B、C，20000≤x＜24000的2名教师分别为X、Y，画树状图如下：由树状图可知，被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率为=．【点评】此题考查了频率分布直方图，用到的知识点是频率=频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比，读懂统计表，运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题是本题的关键．23．（8分）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．（1）求线段AD的长度；（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．【分析】（1）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长．（2）当ED与⊙O相切时，由切线长定理知EC=ED，则∠ECD=∠EDC，那么∠A 和∠DEC就是等角的余角，由此可证得AE=DE，即E是AC的中点．在证明时，可连接OD，证OD⊥DE即可．【解答】解：（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm；连接CD，∵BC为直径，∴∠ADC=∠BDC=90°；∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴Rt△ADC∽Rt△ACB；∴，∴；（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；证明：连接OD，∵DE是Rt△ADC的中线；∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD；∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD；∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°；∴ED⊥OD，∴ED与⊙O相切．【点评】此题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、切线的判定等知识．24．（10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF 中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．（2）EG2=GF•AF．理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG=OF=GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴，即DF2=FO•AF．∵FO=GF，DF=EG，∴EG2=GF•AF．（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．∵DF=GE=2，AF=10，∴AD==4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴，即=．∴GH=．∴BE=AD﹣GH=4﹣=．【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．25．（10分）如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A （0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N 在线段BC 上运动（不与点B 、C 重合），过点N 作NM ∥AC ，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求此时点N 的坐标．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据抛物线的解析式求得B 的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB 2=20，AC 2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC 是直角三角形．（3）分别以A 、C 两点为圆心，AC 长为半径画弧，与x 轴交于三个点，由AC 的垂直平分线与x 轴交于一个点，即可求得点N 的坐标；（4）设点N 的坐标为（n ，0），则BN=n +2，过M 点作MD ⊥x 轴于点D ，根据三角形相似对应边成比例求得MD=（n +2），然后根据S △AMN =S △ABN ﹣S △BMN 得出关于n 的二次函数，根据函数解析式求得即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax 2+x +c 的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0）， ∴， 解得． ∴抛物线表达式：y=﹣x 2+x +4；（2）△ABC 是直角三角形．令y=0，则﹣x 2+x +4=0，解得x 1=8，x 2=﹣2，∴点B 的坐标为（﹣2，0），由已知可得，在Rt △ABO 中AB 2=BO 2+AO 2=22+42=20，在Rt △AOC 中AC 2=AO 2+CO 2=42+82=80，又∵BC=OB +OC=2+8=10，∴在△ABC 中AB 2+AC 2=20+80=102=BC 2∴△ABC 是直角三角形．（3）∵A （0，4），C （8，0），∴AC==4，①以A 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于N ，此时N 的坐标为（﹣8，0）， ②以C 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于N ，此时N 的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0） ③作AC 的垂直平分线，交x 轴于N ，此时N 的坐标为（3，0），综上，若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，点N 的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．（4）如图，设点N 的坐标为（n ，0），则BN=n +2，过M 点作MD ⊥x 轴于点D ，∴MD ∥OA ，∴△BMD ∽△BAO ， ∴=，∵MN ∥AC ∴=， ∴=，∵OA=4，BC=10，BN=n +2∴MD=（n +2），∵S △AMN =S △ABN ﹣S △BMN=BN•OA﹣BN•MD=（n+2）×4﹣×（n+2）2=﹣（n﹣3）2+5，当n=3时，△AMN面积最大是5，∴N点坐标为（3，0）．∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【点评】本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等．。
2020年江西省中考数学试卷(含解析)打印版
2020年江西省中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）1．（3分）﹣3的倒数是（）A．3B．﹣3C．﹣D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝a C．a3•a2＝a6D．a3÷a2＝a3．（3分）教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报．经初步统计，2019年全国教育经费总投入为50175亿元，比上年增长8.74%．将50175亿用科学记数法表示为（）A．5.0175×1011B．5.0175×1012C．0.50175×1013D．0.50175×10144．（3分）如图，∠1＝∠2＝65°，∠3＝35°，则下列结论错误的是（）A．AB∥CD B．∠B＝30°C．∠C+∠2＝∠EFC D．CG＞FG5．（3分）如图所示，正方体的展开图为（）A．B．C．D．6．（3分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O'A'B'，且点O'，A'落在抛物线的对称轴上，点B'落在抛物线上，则直线A'B'的表达式为（）A．y＝x B．y＝x+1C．y＝x+D．y＝x+2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）计算：（a﹣1）2＝．8．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．9．（3分）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10．在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位．根据符号记数的方法，如图符号表示一个两位数，则这个两位数是．10．（3分）祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．胡老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计：数字0123456789频数881211108981214那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为．11．（3分）如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为．12．（3分）矩形纸片ABCD，长AD＝8cm，宽AB＝4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A'处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA'，EA'，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为厘米．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+（）﹣2；（2）解不等式组：14．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．15．（6分）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为；（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．16．（6分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB'C'．17．（6分）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2．（1）求反比例函数的解析式；（2）求∠EOD的度数．19．（8分）为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学．该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评．根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）．复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：成绩30≤x＜4040≤x＜5050≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100人数133815m6根据以上图表信息，完成下列问题：（1）m＝；（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；（3）某同学第二次测试数学成绩为78分．这次测试中，分数高于78分的至少有人，至多有人；（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．20．（8分）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732）五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．22．（9分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…m0﹣3n﹣3…（1）根据以上信息，可知抛物线开口向，对称轴为；（2）求抛物线的表达式及m，n的值；（3）请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P'，描出相应的点P'，再把相应的点P'用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？（4）设直线y＝m（m＞﹣2）与抛物线及（3）中的点P'所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系．六、（本大题共12分）23．（12分）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究（1）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为；推广验证（2）如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用（3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC＝90°，AB＝2，DE＝2，点P 在AE上，∠ABP＝30°，PE＝，求五边形ABCDE的面积．2020年江西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）1．（3分）﹣3的倒数是（）A．3B．﹣3C．﹣D．【分析】根据倒数的定义即可得出答案．【解答】解：﹣3的倒数是﹣．故选：C．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝a C．a3•a2＝a6D．a3÷a2＝a【分析】根据同类项定义；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、应为a3•a2＝a5，故本选项错误；D、a3÷a2＝a，正确．故选：D．3．（3分）教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报．经初步统计，2019年全国教育经费总投入为50175亿元，比上年增长8.74%．将50175亿用科学记数法表示为（）A．5.0175×1011B．5.0175×1012C．0.50175×1013D．0.50175×1014【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：50175亿＝5017500000000＝5.0175×1012．故选：B．4．（3分）如图，∠1＝∠2＝65°，∠3＝35°，则下列结论错误的是（）A．AB∥CD B．∠B＝30°C．∠C+∠2＝∠EFC D．CG＞FG【分析】依据平行线的判定与性质，以及三角形外角性质，即可得出结论．【解答】解：∵∠1＝∠2＝65°，∴AB∥CD，故A选项正确，又∵∠3＝35°，∴∠C＝65°﹣35°＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，故B选项正确，∵∠EFC是△CGF的外角，∴∠EFC＝∠C+∠3，故C选项错误，∵∠3＞∠C，∴CG＞FG，故D选项正确，故选：C．5．（3分）如图所示，正方体的展开图为（）A．B．C．D．【分析】根据正方体的展开与折叠，正方体展开图的形状进行判断即可．【解答】解：根据“相间、Z端是对面”可得选项B不符合题意；再根据“上面∧”符号开口，可以判断选项A符合题意；选项C、D不符合题意；故选：A．6．（3分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O'A'B'，且点O'，A'落在抛物线的对称轴上，点B'落在抛物线上，则直线A'B'的表达式为（）A．y＝x B．y＝x+1C．y＝x+D．y＝x+2【分析】求得A、B的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出A′（1，n），则B′（4，n+3），把B′（4，n+3）代入抛物线解析式求得n，即可求得A′、B′的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A'B'的表达式．【解答】解：如图，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，令y＝0，解得x＝﹣1或3，令x＝0，求得y＝﹣3，∴B（3，0），A（0，﹣3），∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴A′的横坐标为1，设A′（1，n），则B′（4，n+3），∵点B'落在抛物线上，∴n+3＝16﹣8﹣3，解得n＝2，∴A′（1，2），B′（4，5），设直线A'B'的表达式为y＝kx+b，∴，解得∴直线A'B'的表达式为y＝x+1，故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）计算：（a﹣1）2＝a2﹣2a+1．【分析】直接利用完全平方公式计算即可解答．【解答】解：（a﹣1）2＝a2﹣2a+1．8．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为﹣2．【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，∴x1•x2＝＝﹣2．∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．故答案为：﹣2．9．（3分）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10．在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位．根据符号记数的方法，如图符号表示一个两位数，则这个两位数是25．【分析】根据题意可知，这个两位数的个位上的数是5，十位上的数是2，故这个两位数我25．【解答】解：由题意可得，表示25．故答案为：25．10．（3分）祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．胡老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计：数字0123456789频数881211108981214那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为9．【分析】直接根据众数的定义可得答案．【解答】解：圆周率的小数点后100位数字的众数为9，故答案为：9．11．（3分）如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为82°．【分析】证明△ABC≌△ADC得∠D+∠ACD＝∠B+∠ACB＝49°，进而根据三角形内角和定理得结果．【解答】解：∵AC平分∠DCB，∴∠BCA＝∠DCA，又∵CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SAS），∴∠B＝∠D，∴∠B+∠ACB＝∠D+∠ACD，∵∠CAE＝∠D+∠ACD＝49°，∴∠B+∠ACB＝49°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠ACB﹣∠CAE＝82°，故答案为：82°．12．（3分）矩形纸片ABCD，长AD＝8cm，宽AB＝4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A'处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA'，EA'，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为厘米或4厘米或厘米．【分析】根据翻折可得∠ABE＝∠A′BE，分3种情况讨论：当∠ABE＝30°时或当∠AEB＝30°时或当∠ABA′＝30°时求AE的长．【解答】解：①当∠ABE＝30°时，AE＝AB×tan30°＝；②当∠AEB＝30°时，AE＝＝＝4；③∠ABE＝15°时，∠ABA′＝30°，延长BA′交AD于F，如下图所示，设AE＝x，则EA′＝x，EF＝，∵AF＝AE+EF＝AB tan30°＝，∴x+＝，∴x＝8﹣4，∴AE＝8﹣4．故答案为：厘米或4厘米或8﹣4厘米．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+（）﹣2；（2）解不等式组：【分析】（1）先计算零指数幂、绝对值和负整数指数幂，再计算加减可得答案；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：（1）原式＝1﹣2+4＝﹣1+4＝3；（2）解不等式3x﹣2≥1，得：x≥1，解不等式5﹣x＞2，得：x＜3，则不等式组的解集为1≤x＜3．14．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：原式＝[﹣]÷＝•＝，当x＝时，原式＝＝．15．（6分）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为；（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．【分析】（1）共有4种可能出现的结果，抽到小艺的只有1种，可求出抽到小艺的概率；（2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出两个同学均来自八年级的概率．【解答】解：（1）共有4种可能出现的结果，抽到小艺的只有1种，因此恰好抽到小艺的概率为，故答案为：；（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有12种可能出现的结果，其中都是八年级，即抽到小志、小晴的有2种，∴P（小志、小晴）＝＝．16．（6分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB'C'．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．（2）根据AB＝2，BC＝，AC＝5，利用数形结合的思想解决问题即可．【解答】解：（1）如图1中，△A'B'C'即为所求．（2）如图2中，△AB'C'即为所求．17．（6分）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．【分析】（1）设笔记本的单价为x元，单独购买一支笔芯的价格为y元，根据“小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）先求两人带的总钱数，再求出两人合在一起买文具所需费用，由二者的差大于2个小工艺品所需钱数，可找出：他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．【解答】解：（1）设笔记本的单价为x元，单独购买一支笔芯的价格为y元，依题意，得：，解得：．答：笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元．（2）小贤和小艺带的总钱数为19+2+26＝47（元）．两人合在一起购买所需费用为5×（2+1）+（3﹣0.5）×10＝40（元）．∵47﹣40＝7（元），3×2＝6（元），7＞6，∴他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2．（1）求反比例函数的解析式；（2）求∠EOD的度数．【分析】（1）根据题意求得A（2，2），然后代入y＝（x＞0），求得k的值，即可求得反比例函数的解析式；（2）根据AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，得出OA＝AE＝BE，根据直角三角形斜边中线的性质得出CE＝AE＝BE，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质即可得出∠AOE＝2∠EOD，从而求得∠EOD＝15°．【解答】解：（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∵OA＝2，∴OD＝AD＝2，∴A（2，2），∵顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，∴OA＝AE，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴CE＝AE＝BE，∴∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC，∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，∵BC∥x轴，∴∠EOD＝∠ECB，∴∠AOE＝2∠EOD，∵∠AOD＝45°，∴∠EOD＝15°．19．（8分）为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学．该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评．根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）．复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：成绩30≤x＜4040≤x＜5050≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100人数133815m6根据以上图表信息，完成下列问题：（1）m＝14；（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；（3）某同学第二次测试数学成绩为78分．这次测试中，分数高于78分的至少有20人，至多有34人；（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．【分析】（1）根据前后两次抽取的人数一样多，可以计算出m的值；（2）根据直方图中的数据和表格中的数据，可以将图2中的图补充完整，然后即可写出成绩的变化情况；（3）根据表格中的数据，可以得到分数高于78分的至少有多少人，至多有多少人；（4）根据表格中的数据，可以计算出复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．【解答】解：（1）m＝（2+8+10+15+10+4+1）﹣（1+3+3+8+15+6）＝14，故答案为：14；（2）折线图如下图所示，复学后，学生的成绩总体上有了明显的提升；（3）某同学第二次测试数学成绩为78分．这次测试中，分数高于78分的至少有14+6＝20（人），至多有14+6+（15﹣1）＝34（人），故答案为：20，34；（4）800×＝320（人），答：复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的有320人．20．（8分）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732）【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CB、AF，即可求出点A到直线DE的距离；（2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出相应的角度即可．【解答】解：（1）如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，由题意可知，AC＝80，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝80×＝40（mm）＝FM，∠DCN＝90°﹣60°＝30°，又∵∠DCB＝80°，∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°，∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴AM∥CN，∴∠A＝∠BCN＝50°，∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°，在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°＝80×0.643≈51.44，∴AM＝AF+FM＝51.44+40≈120.7（mm），答：点A到直线DE的距离约为120.7mm；（2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°+10°＝90°，在Rt△BCD中，CD＝80，BC＝40，∴tan∠D＝＝＝0.500，∴∠D＝26.6°，因此旋转的角度为：60°﹣26.6°＝33.4°，答：CD旋转的角度约为33.4°．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．【分析】（1）连接OA，OB，由切线的性质可求∠P AO＝∠PBO＝90°，由四边形内角和可求解；（2）当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由切线长定理可得P A＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，由“SAS”可证△APC≌△BPC，可得∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，可证AP＝AC ＝PB＝BC，可得四边形APBC是菱形；（3）分别求出AP，PD的长，由弧长公式可求，即可求解．【解答】解：（1）如图1，连接OA，OB，∵P A，PB为⊙O的切线，∴∠P AO＝∠PBO＝90°，∵∠APB+∠P AO+∠PBO+∠AOB＝360°，∴∠APB+∠AOB＝180°，∵∠APB＝80°，∴∠AOB＝100°，∴∠ACB＝50°；（2）如图2，当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由（1）可知，∠AOB+∠APB＝180°，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACB＝60°＝∠APB，∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心，∵P A，PB为⊙O的切线，∴P A＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC（SAS），∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，∴∠APC＝∠ACP＝30°，∴AP＝AC，∴AP＝AC＝PB＝BC，∴四边形APBC是菱形；（3）∵⊙O的半径为r，∴OA＝r，OP＝2r，∴AP＝r，PD＝r，∵∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°，∴的长度＝＝，∴阴影部分的周长＝P A+PD+＝r+r+r＝（+1+）r．22．（9分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…m0﹣3n﹣3…（1）根据以上信息，可知抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1；（2）求抛物线的表达式及m，n的值；（3）请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P'，描出相应的点P'，再把相应的点P'用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？（4）设直线y＝m（m＞﹣2）与抛物线及（3）中的点P'所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系A3A4﹣A1A2＝1．【分析】（1）观察表格中的数据，得到x＝0和x＝2时，y值相等都为﹣3，且其他y的值比﹣3大，可得出抛物线开口方向及对称轴；（2）把三点坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值确定出解析式，进而求出m与n的值即可；（3）画出抛物线图象，确定出点P'运动的轨迹即可；（4）根据（3）中图象可得答案．【解答】解：（1）根据表格信息，可知抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1；故答案为：上，直线x＝1；（2）把（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，当x＝﹣2时，m＝4+4﹣3＝5；当x＝1时，n＝1﹣2﹣3＝﹣4；（3）画出抛物线图象，如图1所示，描出P'的轨迹，是一条抛物线，如备用图所示，（4）根据题意及（3）中图象可得：A3A4﹣A1A2＝1．故答案为：A3A4﹣A1A2＝1．六、（本大题共12分）23．（12分）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究（1）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为S1+S2＝S3；推广验证（2）如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用（3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC＝90°，AB＝2，DE＝2，点P 在AE上，∠ABP＝30°，PE＝，求五边形ABCDE的面积．【分析】类比探究（1）通过证明△ADB∽△BFC，可得＝（）2，同理可得＝（）2，由勾股定理可得AB2+AC2＝BC2，可得结论；推广验证（2）通过证明△ADB∽△BFC，可得＝（）2，同理可得＝（）2，由勾股定理可得AB2+AC2＝BC2，可得结论；拓展应用（3）过点A作AH⊥BP于H，连接PD，BD，由直角三角形的性质可求AP＝，BP＝BH+PH＝3+，可求S△ABP＝，通过证明△ABP∽△EDP，可得∠EPD＝∠APB＝45°，，S△PDE ＝，可得∠BPD＝90°，PD＝1+，可求S△BPD＝2+3，由（2）的结论可求S△BCD＝S△ABP+S＝+＝2+2，即可求解．△DPE【解答】解：类比探究（1）∵∠1＝∠3，∠D＝∠F＝90°，∴△ADB∽△BFC，∴＝（）2，同理可得：＝（）2，∵AB2+AC2＝BC2，∴＝（）2+（）2＝＝1，∴S1+S2＝S3，故答案为：S1+S2＝S3．（2）结论仍然成立，理由如下：∵∠1＝∠3，∠D＝∠F，∴△ADB∽△BFC，∴＝（）2，同理可得：＝（）2，∵AB2+AC2＝BC2，∴＝（）2+（）2＝＝1，∴S1+S2＝S3，（3）过点A作AH⊥BP于H，连接PD，BD，∵∠ABH＝30°，AB＝2，∴AH＝，BH＝3，∠BAH＝60°，∵∠BAP＝105°，∴∠HAP＝45°，∵AH⊥BP，∴∠HAP＝∠APH＝45°，∴PH＝AH＝，∴AP＝，BP＝BH+PH＝3+，∴S△ABP＝＝＝，∵PE＝，ED＝2，AP＝，AB＝2，∴＝，＝，∴，且∠E＝∠BAP＝105°，∴△ABP∽△EDP，∴∠EPD＝∠APB＝45°，，∴∠BPD＝90°，PD＝1+，∴S△BPD＝＝＝2+3，∵△ABP∽△EDP，∴＝（）2＝，∴S△PDE＝×＝∵tan∠PBD＝，∴∠PBD＝30°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABP﹣∠CBD＝30°，∴∠ABP＝∠PDE＝∠CBD，又∵∠A＝∠E＝∠C＝105°，∴△ABP∽△EDP∽△CBD，由（2）的结论可得：S△BCD＝S△ABP+S△DPE ＝+＝2+2，∴五边形ABCDE 的面积＝++2+2+2+3＝6+7．21。
2020江西中考数学试题分析
2020江西中考数学试题分析2020年江西中考数学试题以考查数学思维为核心，同时体现了对基础知识的全面考查，并且对初中数学知识的整体性和知识之间的内在联系的安排布局十分恰当到位。
试题呈现形成巧妙新颖，能有效地呈现考生的思维过程和思维能力，同时关注了数学知识形成与发展过程及灵活运用的考查，关注了数学的本质和思想方法的考查，关注了如何用数学眼光观察世界、分析身边事物的发展与变化。
整卷还易于考生入手，梯度分明，综合适度，给不同层次的学生留有充分发挥的空间，很好地实现了对数学学科核心素养的考查。
整体情况分析1.关注四基体现基础《课程标准(2011版)》指出:“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
” 我省今年的试题关注了上述“四基”,充分体现了全面考查基础知识的重要性，真正扭转多年来中考数学试题难度居高不下的局面。
具体体现如下：T1-T11，T13-T17,及T21,就是最后两题入手也比较容易。
当然这些题目的设计体现基础的同时也兼顾了对知识掌握的整体性要求，并没把知识点逐个割裂开来，而是存在知识之间的联系性，能有效地评价考生对“四基”的掌握情况。
2.根植课本着眼提高以教材上的素材（或题）设计考题，是有利于平时课堂教学，有利于增强广大师生重视教材，以教材为本的意识；有利于提高学生对教材的分析、理解能力。
今年中考试题中除12道小题外，大题T16，T17，T18，T21，T23均有课本题影子。
如：①试卷中的T16与人教版九年级上册P62第4题有着高度相似，把绕O逆时针旋转180°,改为“作△ABC关于O点对称的△A＇B＇C＇”,把△ABC绕O逆时针旋转90°,改为“作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△A＇B＇C＇”。
②试卷中的T17与人教版七年级下册P102第8题有着异曲同工之处，两题的思维过程基本一致，所考查的数学内容也基本相同，也就其本质不变，背景或载体进行了切换。
2020年中考数学试卷 江西-word解析
江西省2020年中等学校招生考试数学试题卷一、选择题1.－3的倒数是（ ） A. 3 B. －3C.13D. 13-【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数的定义求解． 【详解】-3的倒数为13-． 故选：D ．【点睛】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求倒数的关键． 2.下列计算正确的是（ ） A. 325a a a += B. 32a a a -=C. 326a a a ⋅=D. 32a a a ÷=【答案】D 【解析】 【分析】分别利用合并同类项法则以同底数幂的乘除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：A 、32a a +，不能合并，故此选项错误； B 、32a a -，无法计算，故此选项错误； C 、325a a a ⋅=，故此选项错误； D 、32a a a ÷=，故此选项正确； 故选：D ．【点睛】本题考查同底数幂的乘除法运算以及合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．3.教育部近日发布了2020年全国教育经费执行情况统计快报，经初步统计，2020年全国教育经费总投入为50175亿元，比上年增长8.74%，将50175亿用科学记数法表示为（ ） A. 115.017510⨯ B. 125.017510⨯C. 130.5017510⨯D. 140.5017510⨯【答案】A 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数的绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【详解】解：将数字50175亿用科学记数法表示为125017500000000 5.017510=⨯故本题选A ．【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 与n 的值．4.如图，1265,335︒∠=∠=∠=︒，则下列结论错误的是（ ）A. //AB CDB. 30B ∠=︒C. 2C EFC ∠+∠=∠D. CG FG >【答案】C 【解析】 【分析】由12∠=∠可对A 进行判断；根据三角形外角的性质可对B 进行判断；求出∠C ，根据大角对大边，小角对小边可对D 进行判断；求出C EFC ∠∠，可对C 进行判断． 【详解】1265∠=∠︒=，//AB CD ∴，故选项A 正确； 335︒∠=， 35EFB ∴∠=︒，又1EFB B ∠=∠+∠，1653530B EFB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选项B 正确； //AB CD ， 30C B ∴∠=∠=︒， 3530︒︒>，3C ∴∠>∠CG FG ∴>，故选项D 正确； 335︒∠=，3180EFC ∠+∠=︒118035145EFC ︒-︒∴∠==︒， 而2306595145C ∠+∠=+=≠︒︒︒︒2C EFC ∴∠+∠≠∠，故选项C 错误．故选C ．【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握性质与判定是解答此题的关键．5.如图所示，正方体的展开图为（ ）A.B.CD.【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体的展开图的性质判断即可； 【详解】A 中展开图正确；B 中对号面和等号面是对面，与题意不符；C 中对号的方向不正确，故不正确；D 中三个符号的方位不相符，故不正确； 故答案选A ．【点睛】本题主要考查了正方体的展开图考查，准确判断符号方向是解题的关键．.6.在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线223y x x =--与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt OAB 向右上方平移，得到Rt O A B '''△，且点O '，A '落在抛物线的对称轴上，点B '落在抛物线上，则直线A B ''的表达式为（ ） A. y x = B. 1y x =+C. 12y x =+D. 2y x =+【答案】B 【解析】 【分析】先求出A 、B 两点的坐标和对称轴，先确定三角形向右平移了1个单位长度，求得B′的坐标，再确定三角形向上平移5个单位，求得点A′的坐标，用待定系数法即可求解． 【详解】解：当y=0时，2230x x --=，解得x 1=-1，x 2=3， 当x=0时，y=-3， ∴A （0，-3），B （3，0）， 对称轴为直线12bx a=-=， 经过平移，A '落在抛物线的对称轴上，点B '落在抛物线上， ∴三角形Rt OAB 向右平移1个单位，即B′横坐标为3+1=4，当x=4时，y=42-2×4-3=5， ∴B′（4，5），三角形Rt OAB 向上平移5个单位， 此时A′（0+1，-3+5），∴A′（1，2）， 设直线A B ''的表达式为y=kx+b ， 代入A′（1，2），B′（4，5），可得254k bk b =+⎧⎨=+⎩解得：11k b =⎧⎨=⎩， 故直线A B ''的表达式为1y x =+， 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一次函数表达式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形和性质．的二、填空题7.计算：()21x -=_____． 【答案】221x x -+ 【解析】 【分析】运用完全平方公式展开，即可完成解答. 【详解】解：()21x -=221x x -+【点睛】本题考查了平方差公式，即()2a b ±=222a ab b ±+；灵活运用该公式是解答本题的关键. 8.若关于x 一元二次方程220x kx --=的一个根为1x =，则这个一元二次方程的另一个根为_________．【答案】-2 【解析】 【分析】由题目已知x =1是方程的根，代入方程后求出k 的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答题． 【详解】解：将x =1代入一元二次方程220x kx --=有：120k --=，k =-1， 方程2+20x x -=(2)(1)0x x +-=即方程的另一个根为x =-2 故本题的答案为-2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系数以及利用因式分解法解一元二次方程，其中利用已知根代入方程求出未知系数是解题的关键．9.公元前2020年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是__________．的【答案】25 【解析】 【分析】根据所给图形可以看出左边是2个尖头，表示2个10，右边5个钉头表示5个1，由两位数表示法可得结论． 【详解】根据图形可得：两位数十位上数字是2，个位上的数字是5， 因此这个两位数是2×10+5×1=25， 故答案为：25．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的数字的表示法是解本题的关键．10.祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献，胡老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计：那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】众数：众数数样本观测值在频数分布表中频数最多的那一组的组中值，即在一组数据中，出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．【详解】解：由题目的频数分布表可观察到数字9的频数为14，出现次数最多； 故本题答案为9．【点睛】本题主要考查众数的定义，即一组数据中，出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．11.如图，AC 平分DCB ∠，CB CD =，DA 的延长线交BC 于点E ，若49EAC ∠=，则BAE ∠的度数为__________．【答案】82.︒ 【解析】 【分析】如图，连接BD ，延长CA 与BD 交于点,F 利用等腰三角形的三线合一证明CF 是BD 的垂直平分线，从而得到,AB AD = 再次利用等腰三角形的性质得到：,DAF BAF ∠=∠从而可得答案． 【详解】解：如图，连接BD ，延长CA 与BD 交于点,F AC 平分DCB ∠，CB CD =，,,CF BD DF BF ∴⊥=CF ∴是BD 的垂直平分线，,AB AD ∴= ,DAF BAF ∴∠=∠ 49,EAC ∠=︒49,DAF BAF EAC ∴∠=∠=∠=︒ 180494982,BAE ∴∠=︒-︒-︒=︒故答案为：82.︒【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．12.矩形纸片ABCD ，长8cm AD =，宽4cm AB =，折叠纸片，使折痕经过点B ，交AD 边于点E ，点A 落在点A '处，展平后得到折痕BE ，同时得到线段BA '，EA '，不再添加其它线段，当图中存在30角时，AE 的长为__________厘米．或【解析】 【分析】分∠ABE=30°和∠AEB=30°两种情况求解即可． 【详解】当∠ABE=30°时， ∵AB=4cm ，∠A=90°，∴AE=AB ·tan30°厘米； 当∠AEB=30°时，则∠ABE=60° ∵AB=4cm ，∠A=90°，∴AE=AB ·tan60°=或 【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．三、解答题13.（1）计算：201(1|2|2-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（2）解不等式组：32152x x -≥⎧⎨->⎩【答案】（1）3；（2）1≤x ＜3． 【解析】 【分析】（1）先根据零次幂、绝对值和负整数次幂化简，然后计算即可； （2）先分别求出各不等式的解集，然后再求不等式组的解集．【详解】解：（1）201(1|2|2-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=124-+ =3；（2）32152x x -≥⎧⎨->⎩①②由①得：x≥1 由②得：x ＜3所以该不等式组的解集为：1≤x ＜3．【点睛】本题考查了实数的运算和不等式组的解法，掌握实数的运算法则和解不等式的方法是解答本题的关键．14.先化简，再求值：221111xx x x x ⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭，其中x =． 【答案】1x，2【解析】 【分析】先进行分式减法的计算，在进行除法计算，化简之后带值计算即可； 【详解】原式=()()()()2111111x x xx x x x x ⎡⎤+-÷⎢⎥-+-++⎢⎥⎣⎦，=()()21111x x xx x x --÷-++，=()()1111x x x x x -+⨯-+=1x，把x 代入上式得，原式2． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，准确进行分式化简是解题的关键．15.某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ；（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率． 【答案】（1）14；（2）1.6【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案；（2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为,,,A B C D ，画好树状图，利用概率公式计算即可． 【详解】解：（1）由概率公式得：随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为14， 故答案为：1.4（2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为,,,A B C D ， 画树状图如下：一共有12种等可能的结果，其中两名同学均来自八年级的有2种可能，所以：两名同学均来自八年级的概率21.126 P==【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，以及利用画树状图求解复杂的随机事件的概率，掌握求概率的基本方法是解题的关键．16.如图，在正方形网格中，ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作ABC关于点O对称的A B C'''；（2）在图2中，作ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的A B C'''．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）分别作出A，B，C三点关于O点对称的点A'，B'，C'，然后顺次连接即可得A B C'''；（2）计算得出AB=AC=5，再根据旋转作图即可．【详解】（1）如图1所示；（2）根据勾股定理可计算出AB=AC=5，再作图，如图2所示．【点睛】本题考查复杂-应用与设计，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．17.放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．【答案】（1）5元，3元；（2）当两人共同购买笔芯，享受整盒购买的优惠时，能让两人既买到各自的文具又都买到小工艺品．【解析】【分析】（1）根据小贤买3支笔芯，2本笔记本花费19元，可知等量关系：笔芯的单价×3+笔记本单价×2=小贤花费金额，同样可得小艺的等量关系，这两个等量关系可列方程组解答；（2）小贤买3支笔芯，小艺4支笔芯，凑起来即为一盒，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元，可知优惠5元，再加上小贤剩余两元即可让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品． 【详解】（1）设单独购买一支笔芯的价格为x 元，一本笔记本的价格为y 元， 有3219726x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得35x y =⎧⎨=⎩；故笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元． （2）两人共有金额19+26+2=47元，若两人共购买10支笔芯（一盒），3本笔记本，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元，故两人买到各自的文具需要花费10×2.5+3×5=40（元），剩余47-40=7（元），可购买两件单价为3元的小工艺品；故只有当两人一同购买笔芯，享受整盒购买优惠，即可能让他们既买到各自的文具，又都买到小工艺品． 【点睛】（1）本题主要考查了二元一次方程组的求解，其中根据题目信息找到等量关系，；列出方程组是解题的关键；（2）本题主要是对题目中关键信息的理解以及应用，其中观察到整盒购买享受优惠是成功让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品的关键．18.如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=，顶点A ，B 都在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，直线AC x ⊥轴，垂足为D ，连结OA ，OC ，并延长OC 交AB 于点E ，当2AB OA =时，点E 恰为AB 的中点，若45AOD ∠=，OA =（1）求反比例函数的解析式； （2）求EOD ∠的度数．【答案】（1）4y x=；（2）15EOD =︒∠ 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得AD=OD=2，A(2，2)，代入函数关系式求解即可；（2）先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CE=BE，∠AEC=2∠ECB，又由OA=AE可得∠AOE=∠AEO=2∠ECB，由平行线的性质可知∠ECB=∠EOD，所以∠EOD=13∠AOD，代入求解即可．【详解】（1）∵AD⊥x轴，∠AOD=45°，OA=∴AD=OD=2，∴A(2，2)，∵点A在反比例函数图象上，∴k=2×2=4，即反比例函数的解析式为4yx =．(2)∵△ABC为直角三角形，点E为AB的中点，∴AE=CE=EB，∠AEC=2∠ECB，∵AB=2OA ，∴AO=AE，∴∠AOE=∠AEO=2∠ECB，∵∠ACB=90°，AD⊥x轴，∴BC//x轴，∴∠ECB=∠EOD，∴∠AOE=2∠EOD，∵∠AOD=45°，∴∠EOD=13∠AOD=1453⨯︒=15︒．【点睛】本题考查了反比例函数的解析式、含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质和等腰三角形的性质等知识点，根据题意找出角之间的关系是解题的关键．19.为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学，该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评，根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：根据以上图表信息，完成下列问题：（1）m=；（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；（3）某同学第二次测试数学成绩为78分，这次测试中，分数高于78分的至少有人，至多有人；（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．【答案】（1）14；（2）折线图见详解，通过第一次和第二次测试情况发现，复学初线上学习的成绩大部分在70以下，复学后线下学习的成绩大部分在70以上，说明线下上课的情况比线上好；（3）20，34；（4）320人【解析】【分析】（1）根据图1求出本次测评的总人数，用总人数减去第二次测评各成绩段的人数可得出m的值；（2）根据第一次和第二次测试的各分数段人数，可在图2中画出折线图，根据折线图可得出线上教学与线下教学的效果对比；（3）由第二次测试的成绩统计表可判断出分数高于78分的至少有多少人，至多有多少人；（4）样本估计总体，样本中数学成绩优秀的人数占测试人数的25，因此估计总体800名的25是成绩优秀的人数．【详解】解：（1）由图1可知总人数为：2+8+10+15+10+4+1=50人，所以m=50－1－3－3－8－15－6=14人；（2）通过第一次和第二次测试情况发现，复学初线上学习的成绩大部分在70分以下，复学后线下学习的成绩大部分在70分以上，说明线下上课的情况比线上好；（3）由统计表可知，至少14+6=20人，至多15+14+6－1=34人； （4）800×14+6=3202+8+10+15+10+4+1（人）答：复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数为320人．【点睛】本题考察了条形统计图，折线统计图与统计表，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．20.如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长120mm AB =，支撑板长80mm CD =，底座长90mm DE =，托板AB 固定在支撑板顶端点C 处，且40mm CB =，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕点D 转动．（结果保留小数点后一位）（1）若80DCB ︒∠=，60CDE ︒∠=，求点A 到直线DE 的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB 绕点C 逆时针旋转10后，再将CD 绕点D 顺时针旋转，使点B 落在直线DE 上即可，求CD 旋转的角度．（参考数据：sin 400.643,cos 400.766︒︒≈≈，tan 400.839︒≈，sin 26.60.448≈，cos 26.60.894,tan 26.60.500︒︒≈≈ 1.732≈）【答案】（1）120.7mm ；（2）33.4︒ 【解析】 【分析】（1）过点A 作AM DE ⊥，CN DE ⊥，CP AM ⊥，根据已知条件分别求出AP 和PM ，再相加即可； （2）根据已知条件可得=90BCD ∠︒，根据三角函数的定义进行判断求解即可得到结论； 【详解】（1）如图所示，过点A 作AM DE ⊥，CN DE ⊥，CP AM ⊥， 则90CPMCMD CND ∠=∠=∠=︒,∵120mm AB =，40mm CB =， ∴80mm =AC ，又∵80DCB ︒∠=，60CDE ︒∠=， ∴100ACD ∠=︒，120CDM ∠=︒， ∴360909012060PCD ∠=︒-︒-︒-︒=︒， ∴1006040ACP ∠=︒-︒=︒,∴sin 40800.64351.44mm APAC =︒=⨯=，又∵60CDN=︒,80mm CD =，∴sin 608069.28CN CD =︒=⨯=≈mm ， ∴69.2851.44120.72120.7AM mm =+=≈． ∴点A 到直线DE 的距离是120.7mm ． （2）如图所示，根据题意可得90DCE ∠=︒，40mm CB =，80mm CD =， ∴401tan 802BC CDB DC ∠===， ∴26.6CDB∠=︒，根据（1）可得60CDE ︒∠=，∴CD 旋转的角度=60-26.6=33.4︒︒︒．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确的构造直角三角形，利用三角函数的定义求解是解题的关键．21.已知MPN ∠的两边分别与圆O 相切于点A ，B ，圆O 的半径为r ．（1）如图1，点C 在点A ，B 之间的优弧上，80MPN ∠=，求ACB ∠的度数；（2）如图2，点C 在圆上运动，当PC 最大时，要使四边形APBC 为菱形，APB ∠的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC 交圆O 于点D ，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r 的式子表示）．【答案】（1）50°；（2）当∠APB=60°时，四边形APBC为菱形，理由见解析；（3）13rπ⎫+⎪⎭．【解析】【分析】（1）连接OA、OB，根据切线的性质和多边形内角和定理可得∠AOB+∠APB=180°，然后结合已知求得∠AOB，最后根据圆周角定理即可解答；（2）连接OA、OB，先观察发现当∠APB=60°时，四边形APBC可能为菱形；然后利用∠APB=60°结合（1）的解答过程可得∠ACB=∠APB=60°，再根据点C运动到PC距离最大，即PC经过圆心；再说明四边形APBC为轴对称图形结合已知条件得到PA =PB=CA =CB，即可得到四边形APBC为菱形；（3）由于⊙O的半径为r，则OA=r、OP=2 r，再根据勾股定理可得、PD=r，然后根据弧长公式求得ACl的弧长，最后根据周长公式计算即可．【详解】解：（1）如图1，连接OA、OB∵PA，PB为⊙O的切线∴∠PAO=∠PBO=90°∴∠AOB+∠MPN=180°∵∠MPN=80°∴∠AOB=180°-∠MPN=100°∴∠AOB=100°=12∠ACB=50°；（2）当∠APB=60°时，四边形APBC 为菱形，理由如下： 如图2：连接OA 、OB由（1）可知∠AOB+∠APB=180° ∵∠APB=60° ∴∠AOB=120° ∴∠ACB=60°=∠APB ∵点C 运动到PC 距离最大 ∴PC 经过圆心∵PA 、PB 为⊙O 的切线 ∴四边形APBC 为轴对称图形∵PA=PB ，CA=CB ，PC 平分∠APB 和∠ACB ∴∠APB=∠ACB=60°∴∠APO=∠BPO=∠ACP=∠BCP=30° ∴PA =PB=CA =CB ∴四边形APBC 为菱形；.（3）∵⊙O 的半径为r∴OA=r ，OP=2 r∴，PD=r∵∠AOP=60° ∴601803AD r l r ππ==∴C 阴影13D PA PD l r απ⎫=++=+⎪⎭． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、菱形的判定、弧长公式以及有关圆的最值问题，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键．22.已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ；（2）求抛物线的表达式及,m n 的值；（3）请在图1中画出所求的抛物线，设点P 为抛物线上的动点，OP 的中点为P '，描出相应的点P '，再把相应的点P '用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？（4）设直线y m =（2m >-）与抛物线及（3）中的点P'所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为1A ，2A ，3A ，4A ，请根据图象直接写出线段1A ，2A ，3A ，4A 之间的数量关系 ．【答案】（1）上，1x =；（2）223y x x =--，5,4m n ==-；（3）图象见解析，中点P '的轨迹为抛物线；（4）14122334A A A A A A A A =++．【解析】【分析】（1）由表中数据分析即可得到开口方向，及对称轴；（2）代入(1,0),(0,3),(2,3)---，解方程组，即可求得表达式；代入2,1x x =-=即可得到,m n 的值； （3）根据要求画出函数图象，并观察猜想即可；（4）根据题目要求，画出图象，观察得结论即可．【详解】（1）由表可知：1,0x y ==；0,3x y ==-，x=2,y=-3可知抛物线开后方向向上；由表可知：0,3x y ==-；2,3x y ==-，可知抛物线的对称轴为：0212x +== 故答案为：上，1x =（2）由表可知：代入点(1,0),(0,3),(2,3)---得 03423a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ ∴抛物线的表达式为：223y x x =--当2x =-时，2(2)2(2)35m =--⨯--=当1x =时，212134n =-⨯-=-（3）作图如下：OP 中点P '连接后的图象如图所示：为抛物线（4）如图所示：可得14122334A A A A A A A A =++【点睛】本题考查了二次函数的探究题，能根据表格求出抛物线的解析式，是解题的关键．23.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积1S ，2S ，3S 之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究（1）如图2，在Rt ABC 中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为斜边向外侧作Rt ABD △，Rt ACE △，Rt BCF ，若123∠=∠=∠，则面积1S ，2S ，3S 之间的关系式为 ；推广验证（2）如图3，在Rt ABC 中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为边向外侧作任意ABD △，ACE △，BCF ，满足123∠=∠=∠，D E F ∠=∠=∠，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用（3）如图4，在五边形ABCDE 中，105A E C ∠=∠=∠=，90ABC ∠=，AB =2DE =，点P 在AE 上，30ABP ∠=，PE =，求五边形ABCDE 面积．【答案】（1）312S S S =+；（2）结论成立，证明看解析；（3）【解析】【分析】（1）由题目已知△ABD 、△ACE 、△BCF 、△ABC 均为直角三角形，又因为123∠=∠=∠，则有Rt ABD △∽Rt ACE △∽Rt BCF ，利用相似三角形的面积比为边长平方的比，列出等式，找到从而找到面积之间的关系；（2）在△ABD 、△ACE 、△BCF 中，123∠=∠=∠，D E F ∠=∠=∠，可以得到ABD △∽ACE △∽BCF ，利用相似三角形的面积比为边长平方的比，列出等式，从而找到面积之间的关系；（3）将不规则四边形借助辅助线转换为熟悉的三角形，过点A 作AH ⊥BP 于点H ，连接PD ，BD ，由此可知AP =3BP BH PH =+=+，即可计算出ABP S △，根据△ABP ∽△EDP ∽△CBD，从而有2PED ABP S S =⋅△△，由（2）结论有，BCD ABP EPD S S S =+△△△最后即可计算出四边形ABCD 的面积． 【详解】（1）∵△ABC 是直角三角形，∴222AB AC BC +=，∵△ABD 、△ACE 、△BCF 均为直角三角形，且123∠=∠=∠，∴Rt ABD △∽Rt ACE △∽Rt BCF ，∴2123S AB S BC =，2223S AC S BC =， ∴22222121222223331S S S S AC AB AC AB BC S S S BC BC BC BC+++==+=== ∴312S S S =+得证．（2）成立，理由如下：∵△ABC 是直角三角形，∴222AB AC BC +=，∵在△ABD 、△ACE 、△BCF 中，123∠=∠=∠，D E F ∠=∠=∠，∴ABD △∽ACE △∽BCF ， ∴2123S AB S BC =，2223S AC S BC=， ∴22222121222223331S S S S AC AB AC AB BC S S S BC BC BC BC +++==+=== ∴312S S S =+得证．（3）过点A 作AH ⊥BP 于点H ，连接PD ，BD ，∵30ABH ∠=，AB =∴AH =，3BH =，60BAH ∠=∵105BAP ∠=，∴45HAP ∠=，∴PH =AH∴AP =3BP BH PH =+=+，∴2ABP BP AH S ⋅===△，∵PE =，ED=2，∴PE AP ==，ED AB ==，∴PE ED AP AB=， ∵105E BAP ∠=∠=，∴△ABP ∽△EDP ，∴45EPD APB ∠=∠=，PD PE BP AP ==，∴90BPD ∠=，1PD =+∴213PED ABP S S =⋅==△△，32BPD BP PD S ⋅===+△∵tan 3PD PBD BP ∠==， ∴30PBD ∠=∵90ABC ∠=，30ABP ∠=∴30DBC ∠=∵105C ∠=∴△ABP ∽△EDP ∽△CBD∴2BCD ABP EPD S S S =+==+△△△(2(37BCD ABP EPD BPD ABCD S S S S S =+++=++++=△△△△四边形故最后答案为7．【点睛】（1）（2）主要考查了相似三角形的性质，若两三角形相似，则有面积的比值为边长的平方，根据此性质找到面积与边长的关系即可；（3）主要考查了不规则四边形面积的计算以及（2）的结论，其中合理正确利用前面得出的结论是解题的关键．。
江西省2020年中考数学试题(含答案与解析)
江西省2020年中等学校招生考试试题卷数 学一、选择题1.－3的倒数是（ ） A. 3B. －3C.D.2.下列计算正确的是（ ） A.B.C.D.3.教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报，经初步统计，2019年全国教育经费总投入为50175亿元，比上年增长8.74%，将50175亿用科学记数法表示为（ ） A.B. C. D.4.如图，，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D.5.如图所示，正方体的展开图为（ ）A. B.1313-325a a a +=32a a a -=326a a a ⋅=32a a a ÷=115.017510⨯125.017510⨯130.5017510⨯140.5017510⨯1265,335︒∠=∠=∠=︒//AB CD 30B ∠=︒2C EFC ∠+∠=∠CG FG >C. D.6.在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（ ） A. B.C. D.二、填空题7.计算：_____．8.若关于一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为_________．9.公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是__________．10.祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献，胡老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 881211108981214那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为__________．11.如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为__________．的O 223y x x =--y A x B AB Rt OAB V Rt O A B '''△O 'A 'B 'A B ''y x =1y x =+12y x =+2y x =+()21x -=x 220x kx --=1x =AC DCB ∠CB CD =DA BC E 49EAC ∠= BAE ∠12.矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点，交边于点，点落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其它线段，当图中存在角时，长为__________厘米．三、解答题13.（1）计算：（2）解不等式组：14.先化简，再求值：，其中15.某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试． （1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ；（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率． 16.如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作关于点对称的；的ABCD 8cm AD =4cm AB =B AD E A A 'BE BA 'EA '30 AE 21(1|2|2-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭32152x x -≥⎧⎨->⎩221111xx x x x ⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭x =ABC ABC O A B C '''V（2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上．17.放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元． （1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．18.如图，中，，顶点，都在反比例函数的图象上，直线轴，垂足为，连结，，并延长交于点，当时，点恰为的中点，若，（1）求反比例函数解析式； （2）求的度数．19.为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学，该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评，根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）的的ABC A A B C '''V Rt ABC 90ACB ∠= A B (0)ky x x=>AC x ⊥D OA OC OC AB E 2AB OA =E AB 45AOD ∠= OA =EOD ∠复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表： 成绩人数 1 338156根据以上图表信息，完成下列问题： （1） ；（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；（3）某同学第二次测试数学成绩为78分，这次测试中，分数高于78分的至少有 人，至多有 人；（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数． 20.如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．（结果保留小数点后一位）（1）若，，求点到直线的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．（参考数据：，，，）3040x ≤<4050x ≤<5060x ≤<6070x ≤<7080x ≤<8090x ≤<90100x ≤≤m m =120mm AB =80mm CD =90mm DE =AB C 40mm CB =AB C CD D 80DCB ︒∠=60CDE ︒∠=A DE AB C 10 CD D B DE CD sin 400.643,cos 400.766︒︒≈≈tan 400.839︒≈sin 26.60.448≈ cos 26.60.894,tan 26.60.500︒︒≈≈ 1.732≈21.已知的两边分别与圆相切于点，，圆的半径为．（1）如图1，点在点，之间优弧上，，求的度数； （2）如图2，点在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由；（3）若交圆于点，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含的式子表示）．22.已知抛物线（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：… -2 -1 0 1 2 ……-3-3…（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ； （2）求抛物线的表达式及的值；（3）请在图1中画出所求的抛物线，设点为抛物线上的动点，的中点为，描出相的MPN ∠O A B O r C A B 80MPN ∠= ACB ∠C PC APBC APB ∠PC O D r 2y ax bx c =++a b c 0a ≠x y x y m n ,m n P OP P '应的点，再把相应的点用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？（4）设直线（）与抛物线及（3）中的点所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为，，，，请根据图象直接写出线段，，，之间的数量关系 ．23.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积，，之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究（1）如图2，在中，为斜边，分别以为斜边向外侧作，，，若，则面积，，之间的关系式为 ； 推广验证（2）如图3，在中，为斜边，分别以为边向外侧作任意，，，满足，，则（1）中所得关P 'P 'y m =2m >-P'1A 2A 3A 4A 1A 2A 3A 4A 1S 2S 3S Rt ABC BC ,,AB AC BC Rt ABD △Rt ACE △Rt BCF 123∠=∠=∠1S 2S 3S Rt ABC BC ,,AB AC BC ABD △ACE △BCF 123∠=∠=∠D E F ∠=∠=∠系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； 拓展应用（3）如图4，在五边形中，，，，，点在上，，，求五边形的面积．数学参考答案与解析一、选择题1.－3的倒数是（ ） A. 3 B. －3C.D.【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数的定义求解． 【详解】-3的倒数为． 故选：D ．【点睛】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求倒数的关键． 2.下列计算正确的是（ ） A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】ABCDE 105A E C ∠=∠=∠= 90ABC ∠= AB =2DE =P AE 30ABP ∠= PE =ABCDE 1313-13-325a a a +=32a a a -=326a a a ⋅=32a a a ÷=分别利用合并同类项法则以同底数幂的乘除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：A 、，不能合并，故此选项错误； B 、，无法计算，故此选项错误； C 、，故此选项错误； D 、，故此选项正确； 故选：D ．【点睛】本题考查同底数幂的乘除法运算以及合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．3.教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报，经初步统计，2019年全国教育经费总投入为50175亿元，比上年增长8.74%，将50175亿用科学记数法表示为（ ） A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数的绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数． 【详解】解：将数字50175亿用科学记数法表示为故本题选A ．【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数，表示时关键要正确确定a 与n 的值．4.如图，，则下列结论错误的是（ ）32a a +32a a -325a a a ⋅=32a a a ÷=115.017510⨯125.017510⨯130.5017510⨯140.5017510⨯10n a ⨯110a ≤<125017500000000 5.017510=⨯10n a ⨯110a ≤<1265,335︒∠=∠=∠=︒A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由可对A 进行判断；根据三角形外角的性质可对B 进行判断；求出∠C，根据大角对大边，小角对小边可对D 进行判断；求出可对C 进行判断． 【详解】，，故选项A 正确；， ，又，，故选项B 正确；，， ，，故选项D 正确； ， ，而，故选项C 错误．故选C ．【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握性质与判定是解答此题的关键．//AB CD 30B ∠=︒2C EFC ∠+∠=∠CG FG >12∠=∠C EFC ∠∠，1265∠=∠︒= //AB CD ∴335︒∠= 35EFB ∴∠=︒1EFB B ∠=∠+∠1653530B EFB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒//AB CD 30C B ∴∠=∠=︒3530︒︒> 3C ∴∠>∠CG FG ∴>335︒∠= 3180EFC ∠+∠=︒118035145EF C ︒-︒∴∠==︒2306595145C ∠+∠=+=≠︒︒︒︒2C EFC ∴∠+∠≠∠5.如图所示，正方体的展开图为（ ）A. B.CD.【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体的展开图的性质判断即可； 【详解】A 中展开图正确；B 中对号面和等号面是对面，与题意不符；C 中对号的方向不正确，故不正确；D 中三个符号的方位不相符，故不正确； 故答案选A ．【点睛】本题主要考查了正方体的展开图考查，准确判断符号方向是解题的关键． 6.在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（ ） A.B.C. D.【答案】B 【解析】.O 223y x x =--y A x B AB Rt OAB V Rt O A B '''△O 'A 'B 'A B ''y x =1y x =+12y x =+2y x =+【分析】先求出A 、B 两点的坐标和对称轴，先确定三角形向右平移了1个单位长度，求得B′的坐标，再确定三角形向上平移5个单位，求得点A′的坐标，用待定系数法即可求解． 【详解】解：当y=0时，，解得x 1=-1，x 2=3， 当x=0时，y=-3， ∴A（0，-3），B （3，0）， 对称轴为直线， 经过平移，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上， ∴三角形向右平移1个单位，即B′横坐标为3+1=4， 当x=4时，y=42-2×4-3=5，∴B′（4，5），三角形向上平移5个单位， 此时A′（0+1，-3+5），∴A′（1，2）， 设直线的表达式为y=kx+b ， 代入A′（1，2），B′（4，5）， 可得解得：，故直线的表达式为， 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一次函数表达式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形和性质．二、填空题7.计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】运用完全平方公式展开，即可完成解答.的2230x x --=12bx a=-=A 'B 'Rt OAB V Rt OAB V A B ''254k bk b=+⎧⎨=+⎩11k b =⎧⎨=⎩A B ''1y x =+()21x -=221x x -+【详解】解：【点睛】本题考查了平方差公式，即；灵活运用该公式是解答本题的关键.8.若关于一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为_________． 【答案】-2 【解析】 【分析】由题目已知x =1是方程的根，代入方程后求出k 的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答题．【详解】解：将x =1代入一元二次方程有：，k =-1， 方程即方程的另一个根为x =-2 故本题的答案为-2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系数以及利用因式分解法解一元二次方程，其中利用已知根代入方程求出未知系数是解题的关键．9.公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是__________．【答案】25 【解析】 【分析】的()21x -=221x x -+()2a b ±=222a ab b ±+x 220x kx --=1x =220x kx --=120k --=2+20x x -=(2)(1)0x x +-=根据所给图形可以看出左边是2个尖头，表示2个10，右边5个钉头表示5个1，由两位数表示法可得结论．【详解】根据图形可得：两位数十位上数字是2，个位上的数字是5， 因此这个两位数是2×10+5×1=25， 故答案为：25．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的数字的表示法是解本题的关键． 10.祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献，胡老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 881211108981214那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】众数：众数数样本观测值在频数分布表中频数最多的那一组的组中值，即在一组数据中，出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．【详解】解：由题目的频数分布表可观察到数字9的频数为14，出现次数最多； 故本题答案为9．【点睛】本题主要考查众数的定义，即一组数据中，出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．11.如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为__________．AC DCB ∠CB CD =DA BC E 49EAC ∠= BAE ∠【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，延长与交于点利用等腰三角形的三线合一证明是的垂直平分线，从而得到 再次利用等腰三角形的性质得到：从而可得答案．【详解】解：如图，连接，延长与交于点平分，，是的垂直平分线，故答案为：82.︒BD CA BD ,F CF BD ,AB AD =,DAF BAF ∠=∠BD CA BD ,F AC DCB ∠CB CD =,,CF BD DF BF ∴⊥=CF ∴BD ,AB AD ∴=,DAF BAF ∴∠=∠49,EAC ∠=︒ 49,DAF BAF EAC ∴∠=∠=∠=︒180494982,BAE ∴∠=︒-︒-︒=︒82.︒【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 12.矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点，交边于点，点落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其它线段，当图中存在角时，的长为__________厘米．【解析】 【分析】分∠ABE=30°和∠AEB=30°两种情况求解即可． 【详解】当∠ABE=30°时， ∵AB=4cm，∠A=90°，厘米； 当∠AEB=30°时，则∠ABE=60° ∵AB=4cm，∠A=90°，∴AE=AB·tan60°=或ABCD 8cm AD =4cm AB =B AD E A A 'BE BA 'EA '30 AE【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．三、解答题13.（1）计算：（2）解不等式组：【答案】（1）3；（2）1≤x＜3． 【解析】 【分析】（1）先根据零次幂、绝对值和负整数次幂化简，然后计算即可； （2）先分别求出各不等式的解集，然后再求不等式组的解集．【详解】解：（1）= =3； （2）由①得：x≥1 由②得：x ＜3所以该不等式组的解集为：1≤x＜3．【点睛】本题考查了实数的运算和不等式组的解法，掌握实数的运算法则和解不等式的方法是解答本题的关键．14.先化简，再求值：，其中【答案】【解析】 【分析】先进行分式减法的计算，在进行除法计算，化简之后带值计算即可；21(1|2|2-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭32152x x -≥⎧⎨->⎩21(1|2|2-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭124-+32152x x -≥⎧⎨->⎩①②221111xx x x x ⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭x =1x【详解】原式=， =，==， 把代入上式得，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，准确进行分式化简是解题的关键．15.某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试． （1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ；（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率． 【答案】（1）；（2）【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案；（2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为，画好树状图，利用概率公式计算即可．【详解】解：（1）由概率公式得：随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为， 故答案为：（2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为， 画树状图如下：()()()()2111111x x xx x x x x ⎡⎤+-÷⎢⎥-+-++⎢⎥⎣⎦()()21111x x x x x x --÷-++()()1111x x x x x -+⨯-+1xx =141.6,,,A B C D 141.4,,,A B C D一共有种等可能的结果，其中两名同学均来自八年级的有种可能， 所以：两名同学均来自八年级的概率 【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，以及利用画树状图求解复杂的随机事件的概率，掌握求概率的基本方法是解题的关键．16.如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作关于点对称的；（2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）分别作出A ，B ，C 三点关于O 点对称的点，，，然后顺次连接即可得；（2）计算得出AB=AC=5，再根据旋转作图即可． 【详解】（1）如图1所示；12221.126P ==ABC ABC O A B C '''V ABC A A B C '''V A 'B 'C 'A B C '''V（2）根据勾股定理可计算出AB=AC=5，再作图，如图2所示．【点睛】本题考查复杂-应用与设计，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．17.放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元． （1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．【答案】（1）5元，3元；（2）当两人共同购买笔芯，享受整盒购买的优惠时，能让两人既买到各自的文具又都买到小工艺品．【解析】 【分析】（1）根据小贤买3支笔芯，2本笔记本花费19元，可知等量关系：笔芯的单价×3+笔记本单价×2=小贤花费金额，同样可得小艺的等量关系，这两个等量关系可列方程组解答； （2）小贤买3支笔芯，小艺4支笔芯，凑起来即为一盒，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元，可知优惠5元，再加上小贤剩余两元即可让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品．【详解】（1）设单独购买一支笔芯的价格为x 元，一本笔记本的价格为y 元，有，解得；故笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元． （2）两人共有金额19+26+2=47元，若两人共购买10支笔芯（一盒），3本笔记本，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元，故两人买到各自的文具需要花费10×2.5+3×5=40（元），剩余47-40=7（元），可购买两件单价为3元的小工艺品；故只有当两人一同购买笔芯，享受整盒购买优惠，即可能让他们既买到各自的文具，又都买到小工艺品．【点睛】（1）本题主要考查了二元一次方程组的求解，其中根据题目信息找到等量关系，；列出方程组是解题的关键；（2）本题主要是对题目中关键信息的理解以及应用，其中观察到整盒购买享受优惠是成功让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品的关键．18.如图，中，，顶点，都在反比例函数的图象上，直线轴，垂足为，连结，，并延长交于点，当时，点恰为的中点，若，（1）求反比例函数的解析式； （2）求的度数．3219726x y x y +=⎧⎨+=⎩35x y =⎧⎨=⎩Rt ABC 90ACB ∠= A B (0)ky x x=>AC x ⊥D OA OC OC AB E 2AB OA =E AB 45AOD ∠= OA =EOD ∠【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得AD=OD=2，A(2，2)，代入函数关系式求解即可；（2）先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CE=BE ，∠AEC=2∠ECB，又由OA=AE 可得∠AOE=∠AEO=2∠ECB，由平行线的性质可知∠ECB=∠EOD，所以∠EOD=∠AOD，代入求解即可．【详解】（1）∵AD⊥x 轴，∠AOD=45°，OA=， ∴AD=OD=2， ∴A(2，2)，∵点A 在反比例函数图象上， ∴k=2×2=4，即反比例函数的解析式为． (2)∵△ABC 为直角三角形，点E 为AB 的中点， ∴AE=CE=EB，∠AEC=2∠ECB， ∵AB=2OA ， ∴AO=AE，∴∠AOE=∠AEO=2∠ECB， ∵∠ACB=90°，AD⊥x 轴， ∴BC//x 轴， ∴∠ECB=∠EOD， ∴∠AOE=2∠EOD，4y x=15EOD =︒∠134y x=∵∠AOD=45°，∴∠EOD=∠AOD=．【点睛】本题考查了反比例函数的解析式、含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质和等腰三角形的性质等知识点，根据题意找出角之间的关系是解题的关键．19.为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学，该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评，根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表： 成绩人数 1 338156根据以上图表信息，完成下列问题： （1） ；（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；（3）某同学第二次测试数学成绩为78分，这次测试中，分数高于78分的至少有 人，至多有 人；（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数． 【答案】（1）14；（2）折线图见详解，通过第一次和第二次测试情况发现，复学初线上学习的成绩大部分在70以下，复学后线下学习的成绩大部分在70以上，说明线下上课的情况比线上好；（3）20，34；（4）320人131453⨯︒=15︒3040x ≤<4050x ≤<5060x ≤<6070x ≤<7080x ≤<8090x ≤<90100x ≤≤m m =【解析】 【分析】（1）根据图1求出本次测评的总人数，用总人数减去第二次测评各成绩段的人数可得出m 的值；（2）根据第一次和第二次测试的各分数段人数，可在图2中画出折线图，根据折线图可得出线上教学与线下教学的效果对比；（3）由第二次测试的成绩统计表可判断出分数高于78分的至少有多少人，至多有多少人； （4）样本估计总体，样本中数学成绩优秀的人数占测试人数的 ，因此估计总体800名的是成绩优秀的人数． 【详解】解：（1）由图1可知总人数为：2+8+10+15+10+4+1=50人， 所以m=50－1－3－3－8－15－6=14人； （2）通过第一次和第二次测试情况发现，复学初线上学习的成绩大部分在70分以下，复学后线下学习的成绩大部分在70分以上，说明线下上课的情况比线上好； （3）由统计表可知，至少14+6=20人，至多15+14+6－1=34人； （4）800×（人）答：复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数为320人． 【点睛】本题考察了条形统计图，折线统计图与统计表，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．252514+6=3202+8+10+15+10+4+120.如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．（结果保留小数点后一位）（1）若，，求点到直线的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．（参考数据：，，，）【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）过点A 作，，，根据已知条件分别求出AP 和PM ，再相加即可；（2）根据已知条件可得，根据三角函数的定义进行判断求解即可得到结论； 【详解】（1）如图所示，过点A 作，，， 则,120mm AB =80mm CD =90mm DE =AB C 40mm CB =AB C CD D 80DCB ︒∠=60CDE ︒∠=A DE AB C 10 CD D B DE CD sin 400.643,cos 400.766︒︒≈≈tan 400.839︒≈sin 26.60.448≈ cos 26.60.894,tan 26.60.500︒︒≈≈ 1.732≈120.7mm 33.4︒AM DE ⊥CN DE ⊥CP AM ⊥=90B C D ∠︒AM DE ⊥CN DE ⊥CP AM ⊥90C P M C M D C N D ∠=∠=∠=︒∵，， ∴，又∵，， ∴，，∴， ∴, ∴，又∵,， ∴mm ， ∴． ∴点到直线的距离是． （2）如图所示，根据题意可得，，，120mm AB =40mm CB =80mm =AC 80DCB ︒∠=60CDE ︒∠=100ACD ∠=︒120CDM ∠=︒360909012060P C D ∠=︒-︒-︒-︒=︒1006040A C P ∠=︒-︒=︒si n 40800.64351.44m m A P A C =︒=⨯= 60C D N =︒80mm CD=si n 608069.28C N C D =︒=⨯=≈ 69.2851.44120.72120.7AM mm =+=≈A DE 120.7mm 90DCE ∠=︒40mm CB =80mm CD =∴， ∴，根据（1）可得，∴旋转的角度=．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确的构造直角三角形，利用三角函数的定义求解是解题的关键．21.已知的两边分别与圆相切于点，，圆的半径为．（1）如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数； （2）如图2，点在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由；（3）若交圆于点，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含的式子表示）．【答案】（1）50°；（2）当∠APB=60°时，四边形APBC 为菱形，理由见解析；（3）．【解析】 【分析】（1）连接OA 、OB ，根据切线的性质和多边形内角和定理可得∠AOB+∠APB=180°，然后结合已知求得∠AOB，最后根据圆周角定理即可解答；（2）连接OA 、OB ，先观察发现当∠APB=60°时，四边形APBC 可能为菱形；然后利用∠APB=60°结合（1）的解答过程可得∠ACB=∠APB=60°，再根据点C 运动到PC 距离最大，即PC 经过圆心；再说明四边形APBC 为轴对称图形结合已知条件得到PA =PB=CA =CB，即可401t an 802B C C D B D C ∠===26.6C D B ∠=︒60CDE ︒∠=CD 60-26.6=33.4︒︒︒MPN ∠O A B O r C A B 80MPN ∠= ACB ∠C PC APBC APB ∠PC O Dr 13r π⎫+⎪⎭得到四边形APBC 为菱形；（3）由于⊙O 的半径为r ，则OA=r 、OP=2 r ，再根据勾股定理可得r 、PD=r ，然后根据弧长公式求得的弧长，最后根据周长公式计算即可． 【详解】解：（1）如图1，连接OA 、OB ∵PA，PB 为⊙O 的切线 ∴∠PAO=∠PBO=90° ∴∠AOB+∠MPN=180° ∵∠MPN=80°∴∠AOB=180°-∠MPN=100° ∴∠AOB=100°=∠ACB=50°；（2）当∠APB=60°时，四边形APBC 为菱形，理由如下： 如图2：连接OA 、OB由（1）可知∠AOB+∠APB=180° ∵∠APB=60° ∴∠AOB=120° ∴∠ACB=60°=∠APB ∵点C 运动到PC 距离最大 ∴PC 经过圆心 ∵PA、PB 为⊙O 的切线 ∴四边形APBC 为轴对称图形∵PA=PB，CA=CB ，PC 平分∠APB 和∠ACB.AC l 12∴∠APB=∠ACB=60°∴∠APO=∠BPO=∠ACP=∠BCP=30° ∴PA =PB=CA =CB ∴四边形APBC 为菱形；（3）∵⊙O 的半径为r ∴OA=r，OP=2 rr ，PD=r ∵∠AOP=60° ∴ ∴C 阴影．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、菱形的判定、弧长公式以及有关圆的最值问题，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键．22.已知抛物线（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：… -2 -1 0 1 2 ……-3-3…（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ；601803ADr l r ππ==13D PA PD l r απ⎫=++=++⎪⎭2y ax bx c =++a b c 0a ≠x y x y m n。
江西省2020届中考数学单元专题练之几何应用题含答案解析
江西省2020届中考数学单元专题练之几何应用题类型一直角三角形模型1. 如图，某时刻太阳光从窗户射入室内，与地面的夹角∠ADC为60°，窗户的高AB在阳光下的投影为CD，此时测得CD的长为0.8 m，则窗户的高为________．(精确到0.1 m，参考数据：2＝1.414，3＝1.732)第1题图2. 如图，为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.4 m，踏板DE的长为1.2 m，支撑点A到踏脚D的距离为0.6 m，现在从捣头点E着地的位置开始，让踏脚D着地，则捣头点E上升________ m.第2题图3.炎热的夏天离不开电风扇，如图，放在水平地面的立式电风扇的立柱BC高1 m，点A与点B始终位于同一水平高度，AB＝0.15 m，此时风力中心点正对点D，测得CD＝2.15 m，其中摇头机可绕点A上下旋转一定的角度．(1)求摇头机的俯角∠DAE的度数(精确到0.1°)；(2)当摇头机的俯角∠EAF是(1)中∠DAE的一半时，求风力中心点在地面上向前移动的距离DF(精确到0.1 m)．(可使用科学计算器，参考数据：tan26.57°≈0.500，tan24.94°≈0.465，tan13.3°≈0.236，tan12.47°≈0.221，5≈2.236)第3题图4.图①是小明家购买的一款台灯，现忽略支管的粗细，得到它的侧面简化结构图如图②所示．已知MN是桌面，AB⊥MN，FG∥AB∥CD，ED∥CF，现测得FG＝10 cm，AB＝30 cm，FB＝24 cm，BC＝42 cm，点G到桌面MN的距离为6.3 cm.(1)求∠ABF的度数(结果精确到1°)；(2)求点C到桌面MN的距离(结果精确到1 cm)．(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，可使用科学计算器)第4题图5.如图①，长尾夹由一个夹体和两个较长的可活动尾柄构成，夹体在没有夹放物品时呈等腰三角形状，现将长尾夹水平放置，其示意图如图②所示，可量得尾柄AB长为40 mm，夹体底边DE长为20 mm，夹体侧面与底边夹角∠BED 为65°.(1)如图②，求水平放置状态下尾柄AB的顶端A距离水平面的高度(精确到0.1 mm)；(2)如图③，若将长尾夹竖直放置，求尾柄顶端距离水平面的高度(精确到0.1 mm)．(参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145)第5题图6.如图所示的益智玩具由一块主板AB、和一个支撑架CD组成，其侧面示意图如图①所示，测得AB⊥BD，AB ＝40 cm，CD＝25 cm，连接点C为AB的中点，现为了方便儿童操作，须调整玩具的摆放，将AB绕点B顺时针旋转，CD 绕点C 旋转同时点D 做水平滑动，如图②，当点C 1到BD 的距离为10 cm 时停止．求点D 滑动的距离和点A 经过的路径长．(结果保留整数，参考数据：3≈1.732，21≈4.583，π≈3.142，可使用科学计算器)第6题图7. 如图，某学校为了加固一篮球架，在下面焊接了一根钢筋撑杆AC ，它与水平的钢板箱体成60°的夹角，且AB ＝0.5 m ．原有的上撑杆DE ＝1.6 m ，且∠BDE ＝135°.(1)求撑杆AC 的长；(2)若篮板是边长为1 m 的正方形，上撑杆端点E 在其中心位置，球篮连接篮板处为F ，且EF ＝14 m ，下面的钢板箱体厚度为0.3 m ，CD ＝1.8 m ，则点F 距地面的高度约为多少米？(结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)第7题图8. 探索发现(1)数学课上，老师出了一道题：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝22.5°，请你在图①中，构造一个合适的等腰直角三角形，求tan22.5°的值(结果可带根号)；(2)如图②，厂房屋顶人字架(AB＝BD)的跨度10米(即AD＝10米)，∠A＝22.5°，BC是中柱(C为AD的中点)，请运用(1)中的结论求中柱BC的长(结果可带根号)．第8题图9. 如图①是一台仰卧起坐健身器，它主要由支架、坐垫、靠背和档位调节器组成，靠背的角度α可以用档位调节器调节，将图①仰卧起坐板的主体部分抽象成图②，已知OA＝OD＝81 cm，OC＝43 cm，∠C＝90°，∠A＝20°.(1)求BC的长和点O到地面的距离；(2)当α＝80°时，求点D到地面的距离．(结果保留整数)(参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，tan20°≈0.3640；sin80°≈0.9848，cos80°≈0.1736，tan80°≈5.6713)第9题图10. 一台台式电脑显示器的左视图如图①所示，图②是它的抽象几何图形，它由显示屏侧边AB，四边形支架CEGD和底盘FD组成．若AB＝28 cm，EG＝4 3 cm，BE＝3 cm，∠EGF＝60°，∠AEG＝130°.(1)若以FD所在直线为水平方向，求显示屏侧边AB相对水平线FD的倾斜角度(用锐角表示)；(2)求电脑显示器的高(点A到FD的距离)(计算结果保留整数)．(参考数据：sin70°≈0.940，sin50°≈0.766)第10题图11. 如图，某大街水平地面有两根路灯，灯杆AB＝CD＝10 m，小明晚上站在两灯杆的正中位置观察自己眼睛处影子的俯角∠MEG＝∠NEH＝11.31°，已知地面到小明眼睛处的高度EF＝1.5 m.(1)求两灯杆的距离BD；(2)某县在一条长760 m的大街P－K－Q上安装12根灯杆(含两端)，其中PK为休闲街，按(1)中的灯杆距离安装灯杆，KQ为购物街，灯杆距离比(1)中的少35 m，求休闲街和购物街分别长多少米．(参考数据：tan78.69°≈5.00，tan11.31°≈0.20，cos78.69°≈0.20，cos11.31°≈0.98，可使用科学计算器)第11题图12.将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB与底板OA夹角为115°(如图①)，侧面示意图为图②；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架O′AC后，电脑转到AO′B′的位置(如图③)，侧面示意图为图④，已知OA＝OB＝20 cm，B′O′⊥OA，垂足为C.(1)求点O′的高度O′C；(精确到0.1 cm)(2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少？(精确到0.1 cm)(3)如图④，要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行，显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？(参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.146，cot65°≈0.446)第12题图13. 我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面MN欣赏悬挂在墙壁PM上的油画AD(PM⊥MN)的示意图，设油画AD与墙壁的夹角∠P AD＝α，此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E处，且与AD垂直．已知油画的高度AD 为100 cm.(1)直接写出视角∠ABD(用含α的式子表示)的度数；(2)当小然到墙壁PM的距离AB＝250 cm时，求油画顶部点D到墙壁PM的距离；(3)当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁PM，还是不动或者远离墙壁PM?第13题图类型二特殊四边形模型1. 如图①是一张矩形台球桌，图②是台球桌的平面图，其中A 、B 、C 、D 处分别有球洞，已知DE ＝4，CE ＝2，BC ＝63，球从E 点出发，与DC 夹角为α，经过BC 、AB 、AD 三次反弹后回到E 点，则EF ＝________．(结果精确到1)第1题图2. 如图，一种千斤顶利用了四边形的不稳定性原理，其基本形状是一个菱形，中间通过螺栓连接，转动手柄可改变∠ADC 的大小(菱形的边长不变)，从而改变千斤顶的高度(即A 、C 之间的距离)，若AB ＝40 cm ，当∠ADC 从60°变为120°时，千斤顶升高了________cm .(结果精确到 1 cm ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)第2题图3. 某款折叠床其配套的折叠床板的实物图如图①所示，图②为其抽象的几何图形．将床板折叠到如图②所示位置，点A 、B 、C 在同一直线上，CD ∥BG ，BD ∥AG ，∠DCB ＝70°，BC ＝0.34米，四边形CDEF 为矩形，CF ＝1.8米．(1)求床板完全展开后的总长度； (2)若∠DCB ＝80°时，该床板折叠后具有最好的稳定性，当折叠该床板使其最稳定时，顶点D 在垂直方向上有何变化，请说明理由．(结果精确到0.01米，参考数据：sin 70°≈0.94, cos 70°≈0.34, tan 70°≈2.75，sin 80°≈0.98, cos 80°≈0.17, tan 80°≈5.67)第3题图4. 如图①是一张创意电脑桌，图②是其平面示意图，已知以A 、E 、F 、H 为顶点的矩形，点C 、D 在AE 上，点G 在HF 上，测得AC ＝CD ＝2DE ，DE ＝43GF ，AB ＝CB ＝31.2 cm ，AH ＝50 cm ，∠BAH ＝40°.(1)求GH 的长；(精确到0.1 cm )(2)求tan ∠EDG 的值．(参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643)第4题图5. 小玲家的阳台窗户上，装有一个和窗户高度相同且可上下伸缩的窗帘．该窗帘由若干列大小相同的菱形组成(图①为其中的一列，每个菱形上下顶点的连线垂直于地面)．每列由30个菱形组成，每个菱形的边长为5厘米．已知该窗户的高度为1.8米．(1)当窗帘完全拉下至窗户的最下端时，每个菱形的较长的对角线长为多少厘米？(2)将窗帘从窗户的最下端向上拉，当每个菱形的锐角为20°时，如图②，求窗帘向上拉开了多少米？(结果精确到0.01米，参考数据：sin10°≈0.174，cos10°≈0.985，tan17°≈0.306)第5题图6. 如图①所示是可伸缩的菱形酒架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图②所示，根据酒瓶直径可调节合适的角度，已知菱形边长为10 cm.(1)当∠ABC＝60°时，求酒架所需平面上的面积为多少？(2)已知一瓶葡萄酒瓶直径为8 cm，当∠ABC为多少度时刚好放下这瓶葡萄酒？(结果精确到1 cm，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89)第6题图7.如图是某科技馆展览的一个升降平台模型，在其示意图中，AB＝AF＝CE＝EI＝FH＝50 cm，其中点D是AF 和CE的中点，点G是EI和FH的中点．当点C在线段AB上滑动时，∠DAC的大小随之发生变化，平台的高度也随之发生变化，从而控制平台面HI的升降．(1)HI与AC平行吗？请说明理由．(2)移动点C的位置，当∠DAC的大小由30°变化到60°时，平台上升了多少？(结果精确到0.1 cm)(可使用科学计算器，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)第7题图类型三圆模型1. 如图①所示是一个羽毛球实物图，其侧面示意图可看成由一个半圆和一个左右对称的四边形ABCD组成，如图②所示，已知AD＝25 mm，AB＝60 mm，∠B＝75°，则这个羽毛球的高是________mm.(结果精确到1 mm，可使用科学计算器，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26, tan75°≈3.73)第1题图2. 如图是放置在桌上的地球仪截面图，半径OC所在的直线与桌面垂直，垂足为点E，点A、B分别为地球仪的南、北极，直线AB与桌面交于点D，所成的∠EDB约为53°，量得DE＝15 cm，AD＝14 cm，半径AO的长为________．(参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)第2题图3.如图是某种直径型号的地球仪的支架示意图，弧AB是半圆弧，经测量，点A到水平线CD的距离为27.7 cm，点B到水平线CD的距离为9.4 cm，直径AB所在直线与竖直线形成的锐角为23.5°，试问它是哪种直径型号的地球仪支架？(计算结果精确到个位，可使用科学计算器，参考数据：sin23.5°≈0.3987，cos23.5°≈0.9171，tan23.5°≈0.4348)第3题图4. 某商场为了迎接“六一”儿童节的到来，制造了一个超大的“不倒翁”．小灵对“不倒翁”很感兴趣，原来“不倒翁”的底部是由一个空心的半球做成的，并在底部的中心，即图中的C处，固定一个重物，再从正中心立起一根杆子，在杆子上作些装饰，在重力和杠杆的作用下，“不倒翁”就会左摇右晃，又不会完全倒下去．小灵画出剖面图，进行细致研究：圆弧的圆心为点O，过点O的木杆CD长为260 cm，OA、OB为圆弧的半径，长为90 cm(作为木杆的支架)，且OA、OB关于CD对称，的长为30πcm，当木杆CD向右摆动使点B落在地面上(即圆弧与直线l 相切于点B)时，木杆的顶端点D到直线l的距离DF是多少cm？(结果精确到0.1 cm，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)第4题图5. 某广场的旗杆AB旁边有一个半圆的时钟模型，如图所示，时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合，半圆的半径2米，旗杆的底端A到钟面9点刻度C的距离为5米，一天李华同学观察到阳光下旗杆顶端B的影子刚好投到时钟的11点的刻度上，同时测得一米长的标杆的影长1.6米．(1)计算时钟的9点转到11点时的旋转角是多少度？(2)求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)第5题图6.图①为一波浪式相框(厚度忽略不计)，内部可插入占满整个相框的照片一张．如图②，主视图(不含图中虚线部分)为两段首尾相连的等弧．．构成，左视图和俯视图均为长方形(单位：cm )；(1)图中虚线部分的长为________cm ，俯视图中长方形的长为________cm ；(2)求主视图中的弧所在圆的半径；(3)试计算该相框可插入的照片的最大面积(参考数据：sin 22.5°≈513，cos 22.5°≈1213，tan 22.5°≈512，计算结果保留π)．图①图②第6题图江西省2020届中考数学单元专题练之几何应用题答案全解全析 类型一 直角三角形模型1. 1.4 m 【解析】如解图，过点B 作BE ∥CD 交AD 于点E ，第1题解图由题意可得：∠ABE ＝90°，CD ＝BE ＝0.8 m ，∠AEB ＝∠ADC ＝60°，则tan 60°＝ABBE ，即AB ＝BE ×tan 60°＝0.8×3≈1.4(m )，∴窗户的高约为1.4 m .2. 0.8 【解析】∵AB ∥EF ，∴△DAB ∽△DEF ，∴AD ∶DE ＝AB ∶EF ，∴0.6∶1.2＝0.4∶EF ，∴EF ＝0.8 m ，∴捣头点E 上升0.8 m .3. 解：(1)如解图，过点A 作AG ⊥CD 于点G ，由题意可知AB ＝CG ＝0.15 m ，BC ＝AG ＝1 m . ∵CD ＝2.15 m ， ∴DG ＝2 m .由题意可得∠ADG ＝∠DAE .在Rt △ADG 中，tan ∠ADG ＝AG DG ＝12＝0.5.∴∠DAE ＝∠ADG ≈26.6°；第3题解图(2)由题意可得∠AFC ＝∠F AE .∵摇头机的俯角∠EAF 是(1)中∠DAE 的一半，可得∠AFC ＝∠F AD ， ∴DF ＝AD .在Rt △ADG 中，DF ＝AD ＝12＋22＝5≈2.2(m )．【一题多解】在Rt △AFG 中，tan ∠AFG ＝AG FG ＝1GF ，即tan 13.3°＝AG FG ＝1GF ，得GF ＝1tan 13.3°≈10.236≈4.2，DF ≈4.2－2＝2.2(m )，答：风力中心点在地面向前移动的距离约为2.2 m .4. 解：(1)如解图，延长FG 交MN 于点H ，过点F 作FK ⊥AB 于点K . 则FH ＝AK ＝16.3.在Rt △BFK 中，BK ＝30－16.3＝13.7， ∴cos ∠ABF ＝BK BF ＝13.724≈0.57，∴∠ABF ≈55°；第4题解图(2)如解图，延长CD 交MN 于点Q ，过点B 作BP ⊥CQ 于点P . ∵AB ∥CD ，∴∠PCB ＝∠ABF ≈55°. 在Rt △BPC 中，BC ＝42. ∵cos ∠PCB ＝CPBC，∴CP ＝BC ×cos ∠PCB ≈42×cos 55°≈24(cm )． ∴CQ ＝CP ＋PQ ＝CP ＋AB ≈24＋30＝54(cm )． ∴点C 到桌面MN 的距离约为54 cm .5. 解：(1)如解图，过A 点作AF ⊥BC 于点F .∵△BDE 为等腰三角形，且BD ＝BE ，∠BED ＝65°， ∴∠B ＝50°，∴在Rt △ABF 中，sin ∠DBE ＝AF AB ＝AF40≈0.766，∴AF ≈40×0.766≈30.6 mm ；第5题解图(2)如解图，过点B 作BQ ⊥DE 于点Q . ∵△BDE 是等腰三角形， ∴BE ＝BD ，∴BQ 平分∠DBE ， ∴BQ 平分DE ， ∴DQ ＝QE ＝10，在Rt △BQE 中，tan ∠BED ＝BQ QE ＝BQ10≈2.145，∴BQ ≈10×2.145≈21.5∴总高为BQ ＋AB ≈21.5＋40＝61.5 mm .第6题解图6. 解：∵AB ＝40，点C 是AB 的中点， ∴BC ＝12AB ＝20 cm ，∵AB ⊥BD ， ∴∠CBD ＝90°，在Rt △BCD 中，BC ＝20 cm ，DC ＝25 cm ， ∴BD ＝CD 2－CB 2＝252－202＝15(cm )， 如解图，过点C 1作C 1H ⊥BD 1于点H ， 则∠C 1HD ＝C 1HD 1＝90°，在Rt △BC 1H 中，BC 1＝20 cm ，C 1H ＝10 cm ， ∴∠C 1BH ＝30°，故BH ＝10 3 cm ， 则∠ABC 1＝60°，故点A 经过的路径的长为60 π×40180＝40π3≈42 (cm )；在Rt △C 1D 1H 中，D 1C 1＝25 cm ，C 1H ＝10 cm ，∴D 1H ＝C 1D 21－C 1H 2＝252－102＝521 (cm )，∴BD 1＝BH ＋HD 1＝103＋521≈17.32＋22.915＝40.235 (cm )， ∴点D 滑动的距离为：BD 1－BD ＝40.235－15＝25.235≈25 (cm )， 答：点D 滑动的距离约为25 cm ，点A 经过的路径长约为42 cm .第7题解图7. 解：(1)在Rt △ABC 中，ABAC ＝cos 60°，∴AC ＝AB12＝2AB ＝1 m ；(2)在Rt △ABC 中，BC ＝AB ·tan 60°＝32m ， 如解图，过点E 作EG ⊥BD ，交BD 的延长线于点G .在Rt △DEG 中，∠EDG ＝180°－135°＝45°，DE ＝1.6 m ， ∴DG ＝DE ·cos 45°＝425m .∴F 距地面的高度为425－14＋1.8＋32＋0.3≈3.8 m .答：F 距地面的高度约为3.8 m .8. 解：(1)如解图，在AC 上截取CE ＝BC ＝x ，第8题解图∵CE ＝BC ，∠C ＝90°， ∴∠BEC ＝45°， ∵∠A ＝22.5°， ∴∠ABE ＝22.5°， ∴AE ＝BE ＝2x ， ∴AC ＝2x ＋x ，∴tan 22.5°＝x2x ＋x ＝2－1；(2)∵C 为AD 的中点，AB ＝BD ， ∴AC ＝CD ＝5， 在Rt △ABC 中，∵tan 22.5°＝2－1＝BC5，∴BC ＝52－5(米)，答：中柱BC 的长为(52－5)米．9. 解：(1)根据题意可知AC ＝OA ＋OC ＝81＋43＝124 (cm )， 在Rt △ABC 中，tanA ＝BC AC， ∴BC ＝AC ·tanA ＝124×0.3640≈45.1(cm )， 如解图①，过点O 作OE ⊥AB 于点E ， 在Rt △AOE 中，sinA ＝OE OA， ∴OE ＝OA ·sinA ＝81×0.3420≈27.7(cm )．答：BC 的长和点O 到地面的距离分别约为45.1 cm 和27.7 cm ；第9题解图①(2)如解图②，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，过点O 作OG ⊥DF 于点G ， ∵∠OEF ＝∠EFG ＝∠FGO ＝90°， ∴四边形OEFG 是矩形，第9题解图②∴FG ＝OE ＝27.7 cm ， ∵OG ∥AB ，∴∠GOA ＝∠BAC ＝20°， ∵∠DOA ＝α＝80°， ∴∠DOG ＝60°， 在Rt △ODG 中，sin ∠DOG ＝DG OD ，∴DG ＝OD ·sin ∠DOG ＝81×32≈70.1(cm )． ∴DF ＝DG ＋GF ≈70.1＋27.7≈98(cm )． 答：点D 到地面的距离约为98 cm .第10题解图10. 解：(1)如解图，延长AB 交DF 于点P ， ∵∠EGF ＝60°，∠AEG ＝130°， ∴∠APD ＝∠AEG －∠EGF ＝70°；(2)如解图，过点E 作EN ⊥FD 于点N ，过点A 作AM ⊥FD 于点M ， ∵∠EGF ＝60°，EG ＝43， ∴EN ＝EG ·sin 60°＝43×32＝6(cm )， 由(1)知∠APD ＝70°，∴EP ＝EN sin 70°≈60.940≈6.383(cm )，∵AB ＝28，BE ＝3， ∴AE ＝25，∴AP ＝AE ＋EP ≈31.383(cm )， ∴AM ＝AP ·sin 70°≈30(cm )， ∴电脑显示器的高约为30 cm .11. 解：(1)由题意可知MN ∥DB ，∴∠MEG ＝∠NEH ＝∠AHB ＝∠CGD ＝11.31°， ∵AB ＝CD ，AB ⊥BD ，CD ⊥BD . ∴△ABH ≌△CDG . ∴BH ＝GD .∵小明站在两灯杆的正中位置， ∴BF ＝FD . ∴GF ＝FH ，在Rt △ABH 中，tan ∠AHB ＝AB BH ， ∴BH ＝AB tan 11.31°≈100.2＝50 m ；在Rt △EFH 中，tan ∠AHB ＝EFFH ，∴FH ＝EFtan ∠AHB ＝7.5 m ，BH ＝ABtan ∠AHB＝50 m ，∴BD ＝2(BH －FH )＝2×(50－7.5)＝85 m . 【一题多解】∵EF ∥AB ， ∴△ABH ∽△EFH . ∴EF AB ＝FH BH ，即1.510＝FH 50， ∴FH ＝50×1.510＝7.5 m .∴BD ＝2BF ＝2(BH －FH )＝2×(50－7.5)＝85 m .(2)设休闲街长x m ，则购物街长(760－x ) m ，根据题意得： 760－x 50＋x85＝12－1， 解得x ＝510.则休闲街长约510 m ，购物街长约250 m ； 12. 解：(1)∵B ′O ′⊥AC ，垂足为C ， ∠AO ′B ′＝115°， ∴∠AO ′C ＝65°， ∵cos ∠AO ′C ＝O ′C O ′A，∴O ′C ＝O ′A ·cos ∠CO ′A ＝20×cos 65°≈8.46≈8.5(cm )； (2)如解图①，过B 作BD ⊥AO 交AO 的延长线于点D ，第12题解图①∵∠AOB ＝115°， ∴∠BOD ＝65°， ∵sin ∠BOD ＝BD OB，∴BD ＝OB ·sin ∠BOD ＝20×sin 65°≈18.12，∴O ′B ′＋O ′C －BD ≈20＋8.46－18.12＝10.34≈10.3(cm )， ∴显示屏的顶部B ′比原来升高了约10.3 cm ； (3)如解图②，过O ′作EF ∥OB 交AC 于点E ，第12题解图②∴∠FEA ＝∠BOA ＝115°，∴∠FO ′B ′＝∠EO ′C ＝∠FEA －∠O ′CA ＝115°－90°＝25°， ∴显示屏O ′B ′应绕点O ′按顺时针方向旋转25度． 13. 解：(1)如解图，连接BD ， ∵∠P AD ＋∠BAD ＝90°，∠BAD ＋∠ABE ＝90°， ∴∠P AD ＝∠ABE ， ∵AE ＝DE ，BE ⊥AD ， ∴∠ABE ＝∠DBE ， ∴∠ABD ＝2α；第13题解图(2)如解图，过点D 作DC ⊥PM 交PM 于点C ， 在Rt △ACD 中， ∵sin ∠CAD ＝CD AD ＝sin α＝AE AB ＝50250＝15， ∴CD ＝15AD ＝15×100＝20 cm .【一题多解】∵∠CAD ＝∠ABE ＝α，∠ACD ＝∠AEB ＝90°， ∴△ACD ∽△BEA ， ∴CD AE ＝AD AB ， ∴CD 50＝100250， ∴CD ＝20 cm ，∴油画顶部点D 到墙壁PM 的距离CD 是20 cm ；(3)当油画底部A 处位置不变，油画AD 与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该远离墙壁PM .类型二 特殊四边形模型1. 4 【解析】如解图，设G 、H 分别是球反弹到BA 、AD 边上的位置，连接E 、F 、G 、H ，作EF ∥HG ，且EF=HG .第1题解图∵DE ＝4，CE ＝2, 球从E 点出发， 与DC 夹角为α，经过BC 、AB 、AD 三次反弹后回到E 点，∴四个三角形相似，并且相对的两个三角形全等，∴CE BG ＝CE DE ＝12，CF BF ＝12，∴CF ＝11＋2BC ＝23，∴在Rt △ECF 中，EF 2＝CE 2＋CF 2，∴EF ＝4.第2题解图2. 29 【解析】如解图，连接AC ，与BD 相交于点O .∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∠ADB ＝∠CDB ，AC ＝2AO ，当∠ADC ＝60°时，△ADC 是等边三角形，∴AC ＝AD ＝AB ＝40 cm ；当∠ADC ＝120°时，∠ADO ＝60°，∴AO ＝AD ·sin ∠ADO ＝40×32＝203，∴AC ＝40 3 cm ，因此千斤顶升高的高度为403－40＝40×(3－1)≈29(cm )．第3题解图3. 解：(1)如解图，作DH ⊥BC 于点H .由题意可知，△BCD 为等腰三角形，∠DCB ＝70°，BC ＝0.34米， ∴CH ＝BC2＝0.17米，DC ＝HC cos 70°＝0.170.34＝0.5(米)，∴床板完全展开后的总长度为0.5×4＝2(米)； (2)当∠DCB ＝70°时，DH ＝0.5×sin 70°≈0.47(米)， 当∠DCB ＝80°时，DH ＝DC ·sin ∠DCB ＝0.5×sin 80°≈0.49(米)， ∴0.49－0.47＝0.02(米)，答：当折叠该床板使其最稳定时，顶点D 会在垂直方向上变高约0.02米． 4. 解：(1)如解图，过B 点作BN ⊥AE 于点N ，∵AB ＝CB ＝31.2 cm ，∠BAH ＝40°，∠HAC ＝90°，cos 50°≈0.643， ∴∠BAC ＝50°， ∴AC ＝2AB ·cos ∠BAC ≈2×31.2×0.643≈40.1 cm ， ∵AC ＝CD ＝2DE ，DE ＝43GF ，AE ＝HF ，∴AE ＝AC ＋CD ＋DE ≈40.1＋40.1＋(40.1÷2)≈100.3 (cm )， ∴HF ≈100.3 cm ，GF ＝34×(40.1÷2)≈15.0 (cm )，∴GH ＝HF －GF ≈100.3－15.0＝85.3 cm ；第4题解图(2)如解图，作GM ⊥DE 于点M ，∵AH ＝50 cm ，GF ＝15 cm ，DE ≈40.1÷2≈20 cm ， ∴DM ＝5 cm ，∴tan ∠EDG ＝GM DM ＝505≈10，即tan ∠EDG ＝10.5. 解：(1)如解图①，依题意得AC ＝1.830＝0.06(米)＝6(厘米)，AB ＝5厘米，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝12AC ＝3厘米，OB ＝12BD .∴在Rt △ABO 中，由勾股定理得：OB ＝AB 2－AO 2＝52－32＝4(厘米)，则BD ＝2OB ＝8厘米，∴每个菱形的较长的对角线长为8厘米；第5题解图(2)如解图②，∠ABC ＝20°， ∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABO ＝12∠ABC ＝10°，∠AOB ＝90°，∴在Rt △ABO 中，AO ＝AB ·sin ∠ABO ≈5×0.174＝0.87(厘米)， ∴AC ＝2AO ＝1.74厘米， 则窗帘向上拉开长度为1.8－1.74×30100＝1.278≈1.28(米)， ∴窗帘向上拉开了约1.28米．第6题解图①6. 解：(1)如解图①，连接AC 、BD 交于点O ， ∵∠ABC ＝60°， ∴AC ＝AB ＝10，∴BD ＝2BO ＝2AB ·cos 30°＝103， ∴酒架所需占用平面上的面积为2BD ·3AC ＝2×103×3×10＝600 3 (cm 2)；第6题解图②(2)如解图②，连接AC 、BD 交于点O ，过O 点作OE ⊥BC 于点E ， 由题意知，OE 即为⊙O 的半径，且与BC 相切于点E ，得OE ＝4 cm . ∵∠OEB ＝∠BOC ＝90° ，∠CBO ＝∠OBE ， ∴△OEB ∽△COB ， ∴BO BC ＝BEBO，BO 2＝BE ·BC ＝10·BE ， 又∵BO 2＋OC 2＝BC 2，OC 2＝OE 2＋CE 2， 设CE ＝x ，则BE ＝10－x ， ∴10BE ＋OE 2＋CE 2＝BC 2， ∴10(10－x )＋16＋x 2＝100， 解得x ＝2，∴OC ＝25，sin ∠OBC ＝OC BC ＝2510≈0.45， ∴∠OBC ≈27°，∴∠ABC ≈54°，当∠ABC 为钝角时，∠ABC 为126°.答：当∠ABC 约为54°或126°时刚好放下这瓶葡萄酒．7. 解：(1)HI ∥AC .理由如下：如解图，连接EF ，EA ，FC ，EH ，FI ，第7题解图∵点D 是AF 、CE 的中点，∴DE ＝DC ，DF ＝DA ，∴四边形ACFE 是平行四边形．∵AF ＝CE ，∴四边形ACFE 是矩形，∴ EF ∥AC .同理可得四边形EFIH 是矩形，∴EF ∥HI ,∴HI ∥AC ;(2)由(1)知四边形ACFE ，EFIH 均是矩形，∴∠HEF ＝∠FEA ＝90°，∠EHI ＝∠EAC ＝90°，∴∠HEF ＋∠FEA ＝180°，∴点H ，E ，A 在同一条直线上，∴HA ⊥HI ，HA ⊥AB .当∠DAC ＝30°时，∠EAD ＝90°－∠DAC ＝60°，∴△DAE 为等边三角形，∴HA ＝2EA ＝2AD ＝AF ＝50(cm ).当∠DAC ＝60°时，在Rt △ACF 中，CF ＝AF ·sin ∠DAC ＝50×32＝253(cm )， ∴AE ＝CF ＝253(cm )，∴HA ＝2AE ＝503≈86.6(cm )，∴86.6－50＝36.6(cm ).即当∠DAC 的大小由30°变化到60°时，平台上升了约36.6 cm .类型三 圆模型1. 71 【解析】如解图，作AE ⊥BC 于点E .在Rt △ABE 中，AE ＝AB ·sin 75°第1题解图≈60×0.97＝58.2(mm )，则这个羽毛球的高约为58.2＋252≈71(mm )． 2. 11 cm 【解析】在Rt △ODE 中，OD ＝DE cos ∠ODE ＝15cos 53°≈150.6＝25 (cm )，∴OA ＝OD －AD ＝25－14＝11 (cm )． 3. 解：如解图，过点A 作AF ⊥CD 于点F ，过点B 作BH ⊥CD 于点H ，连接BE ，AB .第3题解图∵弧AB 是半圆弧，∴AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∴∠BEF ＝90°.∵AF ⊥CD ，BH ⊥CD .∴四边形BEFH 是矩形．∴EF ＝BH ＝9.4 cm ，∴AE ＝AF －EF ＝27.7－9.4＝18.3 cm ，在Rt △AEB 中，cos ∠BAE ＝AE AB， ∴AB ＝AE cos ∠BAE ≈18.30.9171≈20 cm ， ∴它是直径约为20 cm 的地球仪的支架．第4题解图4. 解：如解图，延长OC 与地面交于点E ，∵AB ︵的长为30π cm ，OA 、OB 为圆弧的半径，长为90 cm .根据弧长公式l ＝n πr 180， 得到：30π＝n π×90180， 解得n ＝60°，即∠AOB ＝60°，∴∠BOE ＝∠COB ＝30°，在Rt △BOE 中，∵OB ＝90 cm ，∴OE ＝OB cos 30°＝60 3 cm ，∴DE ＝DO ＋OE ＝CD －OC ＋OE ＝170＋60 3 (cm )，∴DF ＝32DE ＝90＋853≈237.2 (cm )． 5. 解：(1)已知钟表一周共有12个大格，∴360°÷12＝30°，从时钟的9点转到11点时，时针转过2个大格， ∴2×30°＝60° ；(2)如解图，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，作DF ⊥AB 于点F ，设半圆圆心为O ，连接OD ，第5题解图∵点D 在11点的刻度上，∴∠COD ＝60°，∴DE ＝OD ·sin 60°＝2×32＝ 3 m ，OE ＝OD ·cos 60°＝2×12＝1 m ， ∴CE ＝2－1＝1 m ，∴DF ＝AE ＝5＋1＝6 m ，∵同时测得一米长的标杆的影长1.6米， ∴DF BF ＝1.61， ∴BF ＝DF 1.6＝154m ， ∴AB ＝BF ＋DE ＝154＋3≈5.5(米)． 答：旗杆AB 的高度约为5.5米．6. (1)解：20，12；【解法提示】根据左视图得到：图中虚线部分的长为20 cm ，俯视图中长方形的长为12 cm ；故答案是：20，12；(2)设主视图中弧所在圆的半径为x cm ，利用垂径定理可得：x 2＝(204)2＋(x －22)2， 解得x ＝13.即圆的半径为13 cm ；(3)∵tan 22.5°≈512， ∴俯视图的两段弧的圆心角的度数是22.5°×2＝45°，∴俯视图的总弧长：45π180×13×2＝13π2， ∴照片的最大面积为：13π2×12＝78π (cm 2)． 答：可插入照片的最大面积为78πcm 2.。
江西省2020届中考数学单元专题练之几何探究题附全解全析
江西省2020届中考数学单元专题练之几何探究题【题型解读】几何探究题为江西近10年的必考题型，题位在解答题最后两道题中的一道．考查类型有：(1)操作探究问题(3次)；(2)旋转探究问题(3次)；(3)新定义探究问题(2次)；(4)动点探究问题(2次)；主要设问有：(1)求线段长；(2)判断图形的形状；(3)求角度；(4)判断两条线段的数量和位置关系并证明．类型一操作探究问题1.如图，在正方形ABCD中，点E、F是正方形内两点，BE∥DF，EF⊥BE.为探索研究这个图形的特殊性质，某数学学习小组经历了如下过程：●初步体验如图①，连接BD，若BE＝DF，求证：EF与BD互相平分．●规律探究(1)在图①中，(BE＋DF)2＋EF2＝________AB2；(2)如图②，若BE≠DF，其他条件不变，(1)中的数量关系是否会发生变化？如果不会，请证明你的结论；如果会发生变化，请说明理由．●拓展应用如图③，若AB＝4，∠DPB＝135°，2BP＋2PD＝46，求PD的长．第1题图2. 如图①，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为，P是半径OB上的一动点，Q是上的一动点，连接PQ.发现：当∠POQ＝________时，PQ有最大值，最大值为________；思考：(1)如图②，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求的长；(2)如图③，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点恰好落在OA的延长线上，求阴影部分的面积；探究：如图④，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．第2题图3. 综合与实践 问题情境：数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图①所示的长方形纸条ABCD ，其中AD ＝BC ＝1，AB ＝CD ＝5.然后在纸条上任意画一条截线段MN ，将纸片沿MN 折叠，MB 与DN 交于点K ，得到△MNK ，如图②所示：深入探究： (1)若∠1＝70°，求∠MKN 的度数；(2)试判断△MNK 的形状；若改变折痕MN 的位置，△MNK 的形状是否发生变化，请说明理由；拓展应用：(3)爱动脑筋的小明在研究△MNK 的面积时，发现KN 边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出△KMN 的面积最小值为12，求此时∠1的度数；(4)小明继续动手操作，发现了△MNK 面积的最大值．请你求出这个最大值．第3题图4. 如图，在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD (含端点)上，落点记为点E ，这时折痕与边BC 或者边CD (含端点)交于点F ，然后展开铺平，连接BE 、EF .(1)操作发现：①在矩形ABCD 中，任意折叠所得的△BEF 是一个______三角形； ②当折痕经过点A 时，cos ∠BEF 的值为________； (2)深入探究：在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝23，①当△BEF是等边三角形时，求出BE的长度；②在任意折叠中，△BEF的面积是否存在最大值，若存在，求出EF的长；若不存在，请说明理由．第4题图5. 如图①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在∠BAC内部作∠MAN＝45°，AM、AN分别交BC于点M、N.【操作】(1)将△ABM绕点A逆时针旋转90°，使AB边与AC边重合，把旋转后点M的对应点记作点Q，得到△ACQ，请在图①中画出△ACQ；(不写画法)【探究】(2)在(1)中所作图的基础上，连接NQ，①求证：MN＝NQ；②写出线段BM，MN和NC之间满足的数量关系，并简要说明理由；【拓展】如图②，在等腰△DEF中，∠EDF＝45°，DE＝DF，点P是EF边上任意一点(不与点E，F重合)，连接DP，以DP为腰向两侧分别作顶角均为45°的等腰△DPG和等腰△DPH，分别交DE、DF于点K、L，连接GH，分别交DE、DF于点S、T，(3)线段GS，ST和TH之间满足的数量关系是________；(4)设DK＝a，DE＝b，求DP的值．(用a、b表示)第5题图6．现有三角形纸板ABC, AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，将该三角形纸板放在足够大的圆中移动，⊙O交直线AB于点D，连接DO并延长交⊙O于点E，连接AE.(1)操作发现：如图①，当⊙O经过A、C两点，且圆心O在△ABC内部时，连接CD、CE，①试判断CD与CE的数量关系，并说明理由；②求AE＋AD的值；(2)数学思考：如图②，当⊙O 经过A 、C 两点，且圆心O 在△ABC 外部时，连接CD 、CE ，求AE －AD 的值；(3)问题解决：如图③，点F 为CA 延长线上一点，且AC ＝3AF .当⊙O 经过A ，F 两点，且圆心O 在△ABC 外部时，连接DF ，EF ，①猜想AE 、AD 之间的数量关系，并证明；②连接CE ，是否存在△AEC 为直角三角形？若存在，请直接写出⊙O 的半径；若不存在，请说明理由．第6题图类型二 旋转探究问题1. 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ(0°＜θ＜180°)，得到△A ′B ′C .(1)设△ACA ′和△BCB ′的面积分别为S 1和S 2.若θ＝40°，请求出S 1S 2的值；(2)如图①，设A ′B ′与CB 相交于点D ，且AB ∥CB ′： ①求证：CD ＝B ′D ； ②求BD 的长；(3)如图②，设AC 中点为点M ，A ′B ′中点为点N ，连接MN ，MN 是否存在最大值，若存在，求出MN 的值，判断出此时AA ′与BB ′的位置关系；若不存在，请说明理由．第1题图2. 如图①，在△ABC中，AC＝BC＝22，∠ACB＝90°，点D、E分别是AC、BC的中点，将△CDE绕点C逆时针旋转得到△CD′E′，旋转角为α，连接AD′、BE′.(1)如图①，若0°＜α＜90°.①求证：AD′＝BE′；②当AD′∥CE′时，求BE′的长；(2)如图②，若90°＜α＜180°，当点D′落在线段BE′上时，求sin∠CBE′的值；(3)如图③，将△CDE绕点C旋转一周，在旋转过程中，若AD′与直线BE′相交于点P，M为AB的中点，那么在整个旋转过程中，求PM扫过的图形面积．第2题图3. 如图①，边长为6的等边△ABC中，点D在AB边上(不与点A，B重合)，点E在BC 边上(不与点B，C重合)．第一次操作：将线段DE绕点E顺时针旋转，当点D落在三角形上时，记为点F；第二次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在三角形上时，记为点G；依次操作下去….(1)如图②中的四边形DEFG是经过三次操作后得到的，且DE⊥EC.①四边形DEFG的形状为________；②若BE＝CF，求线段DE的长；(2)若经过两次操作可得到△DEF如图③.①请判断△DEF的形状为________，此时AD与BE的数量关系是________；②以①中的结论为前提，设AD的长为x，△DEF的面积为y，求y与x的函数关系式；(3)若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．第3题图4. 已知△ABC与△DEF均为透明的完全一样的等腰直角三角板，且AC＝BC＝2，∠C ＝∠E＝90°.在数学活动课上，小颖同学用这两块三角板进行探究活动．操作：使点D落在线段AB的中点处并使DF过点B(如图①)，然后将△DEF绕点D顺时针旋转，直至点E落在CB的延长线上时结束操作，在此过程中，射线ED与射线CA交于点N，射线CB与DF相交于点M，连接MN(如图②，图③)．(1)如图②，若AB∥MN，求证：△ADN≌△BDM；(2)如图②，在以上操作过程中，求证：AN·BM的值不会发生变化；(3)①如图③，在以上操作过程中，ND始终平分∠ANM吗？若平分，请加以证明；若不平分，请说明理由；②设AN＝m，请直接写出△DMN的面积(用含m的式子表示)．第4题图5. 如图①，把边长为2的正方形纸片ABCD沿对角线BD剪开，将△BCD平移得到△DEF，使得BC边与AD边重合，如图②所示，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当ED边与AB边重合时，旋转停止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设ED、EF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G、H点，如图③所示．(1)图②四边形ABCF的形状是________，连接BF，则BF＝________；(2)在旋转过程中，∠CEF＋∠CHE的度数为________；(3)设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图③所示的情况说明理由)；(4)当x为何值时，△AGH是等腰三角形？(直接写出答案，不必说明理由)第5题图6.将两张完全相同的平行四边行纸片按如图①所示放置(其中点E在BC上，点A在BG 上，AB＝BE＝4，BC＝BG＝23＋2，∠B＝60°，▱ABCD固定不动，将▱GBEF绕点B顺时针旋转，旋转角为α(0°<α<360°)．(1)如图①，连接AF，求AF的长．(2)如图②，当▱GBEF绕点B旋转到点F与点D重合时，AD与BG相交于点M，BC与ED相交于点N，求证：四边形BMDN是菱形．(3)如图③，在旋转过程中，当旋转角α为多少度时，以点C，G，D，F为顶点的四边形是正方形？是矩形？请给予证明．第6题图类型三 新定义探究问题1. 如图①，P 为△ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，若△PBC 与△CAB 相似，那么就称点P 为△ABC 的黄金点．(1)在下列三角形中，一定没有黄金点的是( ) A . 锐角三角形 B . 钝角三角形 C . 等腰三角形 D . 直角三角形(2)如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为点E ，试说明点E 是△ABC 的黄金点；(3)如图③，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝4. ①若点P 1是△ABC 的黄金点，求AP 1的长；②若点P 1是△ABC 的黄金点，点P 2是△P 1BC 的黄金点， 点P 3是△P 1P 2C 的黄金点，点P 4是△P 1P 2 P 3的黄金点，…，以此类推，请求出△P 2016P 2017P 2018的周长.第1题图2. 我们知道若线段上的一个点把这条线段分割为两部分，其中一部分与全长之比等于5－12时，则这个点称为黄金分割点．类比三角形中线的定义，我们规定：连接一个顶点和它对边的黄金分割点的线段叫做这个三角形的黄金线．(1)如图①，已知CD 是△ABC 的黄金线(AD >BD )，△ABC 的面积为4，则△BCD 的面积为________；(2)如图②，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ＝1，过B 点作BD 平分∠ABC ，与AC 相交于点D ，求证：BD 是△ABC 的黄金线；(3)如图③， BE 、CD 是△ABC 的黄金线(AD >BD ，AE >CE )，BE 、CD 相交于点O . ①设△BOD 与△COE 的面积分别为S 1、S 2，试猜想S 1、S 2的数量关系，并说明理由；②求ODCD的值．第2题图3．如果在两个相似但不全等的三角形中，其中一个三角形的一边等于另一个三角形的一边，那么，我们称这两个三角形为梦幻三角形，例如：(如图①所示)△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，(如图②所示)△A 1B 1C 1的三边长分别为a 1、b 1、c 1，且△ABC ∽△A 1B 1C 1，c ＝a 1，那么我们将△ABC 与△A 1B 1C 1称为梦幻三角形．(1)若△ABC 与△A 1B 1C 1为梦幻三角形，且相似比为k (k ＞1)，求证：a ＝kc ； (2)如图③，在△ABC 中，∠ACB ＝80°，∠B ＝60°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，求证：△CBD 与△ABC 为梦幻三角形；(3)如图④，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作⊙O 的切线PD 交CA 的延长线于点P ，过点C 作CF ⊥PD 于点F ，与AD 相交于点E ，且△ACE 与△ADC 刚好构成梦幻三角形．①若AE ·AD ＝36，BC ＝8，求线段AD 的长；②若CDAB＝m ，请直接写出PC 与PD 的数量关系(用含m 的式子表示，不必说明理由)．第3题图4.阅读理解如图①，在正n边形A1A2A3…A n的边A2A3上任取一不与点A2重合的动点B2，并以线段A1B2为边在线段A1A2上方作一正n边形A1B2B3…B n，把正n边形A1B2B3…B n叫正n边形A1A2A3…A n的准位似图形，点A3称为准位似中心．特例论证(1)如图②，已知正三角形A1A2A3的准位似图形为正三角形A1B2B3，试证明：随着点B2的运动，∠B3A3A1的大小始终不变．数学思考(2)如图③，已知正方形A1A2A3A4的准位似图形为正方形A1B2B3B4，随着点B2的运动，∠B3A3A4的大小是否始终不变？若不变，请求出∠B3A3A4的大小；若改变，请说明理由．归纳猜想(3)在图①的情况下：①试猜想∠B3A3A4的大小是否会发生改变？若不改变，用含n的代数式表示出∠B3A3A4的大小(不要求证明)；若会改变，请说明理由；②∠B3A3A4＋∠B4A4A5＋∠B5A5A6＋…＋∠B n A n A1＝________.(用含n的代数式表示)第4题图类型四 动点探究问题1.在四边形OABC 中，AB ∥OC ，∠OAB ＝90°， ∠OCB ＝60°，AB ＝2，OA ＝2 3.(1)如图①，连接OB ，请直接写出OB 的长度；(2)如图②，过点O 作OH ⊥BC 于点H .动点P 从点H 出发，沿线段HO 向点O 运动，动点Q 从点O 出发，沿线段OA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，设点P 运动的时间为t 秒，△OPQ 的面积为S (平方单位)．①求S 与t 之间的函数关系式；②设PQ 与OB 交于点M ，当△OPM 为等腰三角形时，试求出△OPQ 的面积S 的值．第1题图2. 如图，点O 为正方形ABCD 的中心，AB ＝2，点E 为AB 上的一动点，DF ⊥DE 于点D ，DF 与BC 的延长线相交于点F . OM ⊥DE 于点M , ON ⊥DF 于点N .(1)求证：DE ＝DF ；(2)在点E 的运动过程中，OM 2＋ON 2是否是一个定值，如果是，请求出 OM 2＋ON 2的值，若不是，请说明理由；(3)如图②，若DE 与AC 相交于点P ，DF 的延长线与AC 的延长线相交于点Q ，求证： AP CQ ＝DP DQ.第2题图3. 如图①，在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的动点，P为AB边上的动点，连接DP，以DP为边构造△DEP，∠DPE＝90°，PD＝PE.(1)如图②，若点P与点A重合，①求证：CD＝BE；②猜想BD、CD与PD之间的数量关系，并说明理由；(2)如图③，若BP＝2AP时，AC＝62，设DP2＝y，BD＝x.①求y关于x的函数关系式；②连接CP，请问是否存在△CDP为等腰三角形？若存在，请求出△DPE的面积；若不存在，请说明理由．第3题图4. 如图，在锐角△ABC中，AB＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D，点E是AC的中点，连接DE.(1)如图①，①当DE∥BC时，则cos∠B的值为________；②当DE⊥AC时，求sin∠B的值；(2)设△ACD的面积为S，求S－AC2的最大值；(3)如图②，M、F为线段AB上的两动点，在运动的过程中，EF始终与CM平行，延长FE到点P，随着∠B的变化，是否存在∠DEP＝k∠A(k为正整数)？若存在，请直接写出tan∠MCA的取值范围；若不存在，请说明理由．第4题图江西省2020届中考数学单元专题练之几何探究题答案全解全析类型一操作探究问题1.解：●初步体验证明：如解图①，连接BD交EF于点O，连接DE、BF，第1题解图∵BE＝DF，BE∥DF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴EF与BD互相平分．●规律探究(1) 2；(2)(1)中的数量关系不会发生变化．理由如下：如解图①，过点D作BE的垂线，与BE的延长线交于点M，连接BD，第1题解图①∵BE∥DF，EF⊥BE，DM⊥BM，∴EF∥DM，∴四边形EFDM是矩形，∴DF＝EM，EF＝DM，BM＝BE＋DF，∵在正方形ABCD中，∴BD＝2AB，∵BD2＝BM2＋DM2，∴(BE＋DF)2＋EF2＝2AB2.●拓展应用如解图②，过点P作EP⊥DP，过点B作BE⊥EP，第1题解图②∵∠DPB＝135°，∴∠EPB＝45°，即△EBP为等腰直角三角形，∴PB＝2BE，∵2BP＋2PD＝46，∴2·2BE ＋2PD ＝46， ∴BE ＋PD ＝26，设PE ＝BE ＝x ，则有(BE ＋PD )2＋x 2＝ 2AB 2，即(26)2＋x 2＝32， 解得x ＝±22(负值舍去)， ∴PD ＝26－BE ＝26－2 2. 2. 解：发现：90°，102；【解法提示】∵点Q 在AB ︵上，点P 在OB 上，∴当PQ 取最大值时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合， 此时∠POQ ＝90°，PQ ＝OA 2＋OB 2＝10 2.思考：(1)如解图①，连接OQ ，则OP ＝12OB ＝12OQ ，∵QP ⊥OB ， ∴cos ∠QOP ＝OP OQ ＝12∴∠QOP ＝60°，∴l BQ ︵＝60180π×10＝103π ；第2题解图①(2)由折叠的性质可得，BP ＝B ′P ，AB ′＝AB ＝102， 在Rt △B ′OP 中，OP 2＋(102－10)2＝(10－OP )2， 解得OP ＝102－10， S 阴影＝S 扇形AOB －2S △AOP ＝90360π×102－2×12×10× (102－10)＝25π－1002＋100；探究：如解图②，找点O 关于PQ 的对称点O ′，连接OO ′、O ′B 、O ′C 、O ′P ，OO ′与PQ 交于点M ，则OM ＝O ′M ，OO ′⊥PQ ，O ′P ＝OP ＝6，第2题解图②∵点O ′是B ′Q ︵所在圆的圆心， ∴O ′C ＝OB ＝10，∵折叠后的B ′Q ︵恰好与半径OA 相切于C 点，∴O ′C ⊥AO ， ∴O ′C ∥OB ，∴四边形OCO ′B 是矩形，在Rt △O ′BP 中，O ′B ＝62－42＝2 5在Rt △OBO ′中，OO ′＝102＋（25）2＝230， ∴OM ＝12OO ′＝12×230＝30，即点O 到折痕PQ 的距离为30.3. 解：深入探究：(1)∵折叠前的四边形ABCD 是矩形， ∴AM ∥DN ，∴∠KNM ＝∠KMN ＝∠1＝70°， ∴∠MKN ＝40°；(2)△MNK 为等腰三角形；不发生变化； 理由如下：∵AM ∥DN ， ∴∠1＝∠MNK ，∵将纸片沿MN 折叠， ∴∠1＝∠KMN ， ∴∠MNK ＝∠KMN ， ∴KM ＝KN ，∴△MNK 始终为等腰三角形；拓展应用：(3)如解图①，当△KMN 的面积最小值为12时，KN ＝KM ＝BC ＝1，∴KM ⊥KN ，第3题解图①∵∠NMB ＝∠KMN ，∠KMB ＝90°， ∴∠1＝∠NMB ＝45°，同理将纸条向下折叠时，∠1＝∠NMB ＝135°， ∴∠1＝45°或∠1＝135°； (4)分两种情况：情况一：如解图②，将矩形纸片对折，使点B 与D 重合，此时点K 也与D 重合，第3题解图②设MK ＝MB ＝x ，则AM ＝5－x ，在Rt △AMK 中，由勾股定理得12＋(5－x )2＝x 2， 解得x ＝2.6，∴MK ＝NK ＝2.6，(由(2)可得)∴S △MNK ＝12×1×2.6＝1.3；情况二：如解图③，将矩形纸片沿对角线AC 对折，此时折痕即为AC ，第3题解图③设MK ＝AK ＝CK ＝x ，则DK ＝5－x . 同理可得MK ＝NK ＝2.6， ∵MD ＝1，∴S △MNK ＝12×1×2.6＝1.3，∴△MNK 的面积最大值为1.3. 4. 解：(1)①等腰；【解法提示】由折叠的性质可知BF ＝EF ，∴△BEF 为等腰三角形． ②22； 【解法提示】由折叠的性质可知∠BEF ＝∠EBF ＝45°， ∴cos ∠BEF ＝22； (2)①当△BEF 是等边三角形时，则∠ABE ＝30°， ∵AB ＝3，∴cos ∠ABE ＝AB BE ＝32，∴BE ＝2；②根据题意可得矩形ABCD 的面积为6； 第一种情况：当点F 在边BC 上时，此时可得S △BEF ≤12S 矩形ABCD ，即当点F 与点C 重合时，S △BEF 存在最大值，最大值为3；由折叠可知CE ＝CB ＝23，即EF ＝ 23； 第二种情况：当点F 在边CD 上时，如解图，过点F 作FH ∥BC 交AB 于点H ，交BE 于点K ，第4题解图∵S △EKF ＝12KF ·AH ≤12HF ·AH ＝12S 矩形AHFD ，S △BKF ＝12KF ·BH ≤12HF ·BH ＝12S 矩形BCFH ，∴S △BEF ≤12S 矩形ABCD ＝3，即当点F 为CD 中点时，△BEF 的面积最大，此时，点E 与点A 重合，△BEF 面积最大为3， ∴EF ＝AD 2＋DF 2＝（23）2＋（32）2＝512， 综上所述，当△BEF 的最大面积为3时，EF 的长为23或512. 5. (1) 解：如解图①，△ACQ 即为所求；第5题解图①(2)①证明：由旋转可得，△ABM ≌ △ACQ ，∴AM ＝AQ ，∠BAM ＝∠CAQ ， ∵∠MAN ＝45°，∠BAC ＝ 90°， ∴∠BAM ＋∠NAC ＝45°， ∴∠CAQ ＋∠NAC ＝45°，即∠NAQ ＝45°， 在△MAN 和△QAN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AQ ∠MAN ＝∠QAN ，AN ＝AN∴△MAN ≌△QAN (SAS )， ∴MN ＝NQ ；② 解：MN 2＝BM 2＋NC 2； 理由如下：由①中可知，MN ＝NQ ，MB ＝CQ ，又∵∠NCQ ＝∠NCA ＋ACQ ＝∠NCA ＋∠ABM ＝45°＋45°＝90°， ∴在Rt △NCQ 中，NQ 2＝CQ 2＋NC 2，即MN 2＝BM 2＋NC 2； (3)解：ST 2＝GS 2＋TH 2；【解法提示】如解图③，连接SP 、PT ，用(2)中的方法可证△DGS ≌△DPT ，△GSP ≌△PTH ，∴GS ＝PT ，TH ＝SP ，由题意易知GH ⊥PD ，△SPT 为直角三角形， ∴ST 2＝PT 2＋SP 2＝GS 2＋TH 2.(4)解：如解图③，∵DE ＝DF ，DG ＝DP ，∠EDF ＝∠GDP ＝45°，第5题解图③∴∠DPK ＝∠DEP ， 又∵∠PDK ＝∠EDP ， ∴△DPK ∽△DEP ，∴DPDE＝DKDP，即DP2＝DK·DE，∵DK＝a, DE＝b，∴DP＝ab.6.解：(1)①CD＝CE，理由如下：∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∴∠CED＝∠CAB＝45°，又∵DE是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴CD＝CE；②由题意可得∠ECD＝∠ACB＝90°，∴∠ECA＝∠BCD，又∵AC＝BC＝6，CD＝CE，∴△ECA≌△DCB，∴AE＝BD，∴AE＋AD＝BD＋AD＝AB，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝62，即AE＋AD的值为62；(2)∵DE是⊙O的直径，∴∠DAE＝∠DCE＝90°，又∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∠ECA＝∠DCB，∠CEA＝∠ADC∴∠EAC＝∠B＝45°，∴△ECA≌△DCB，∴AE＝BD，∴AE－AD＝BD－AD＝AB，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝62，即AE－AD的值为62；(3)①AD－AE＝22，证明如下：第6题解图①∵DE是⊙O的直径，∴∠DFE＝90°，如解图①，过点F作FM⊥AF于点F，交AD于点M，∴∠DFM＝∠EF A，又∵∠MAF＝∠CAB＝45°，∴∠AMF＝45°，∴AF＝MF，又∵∠FDM＝∠FEA，∴△FDM ≌△FEA (AAS)， ∴AE ＝DM ，∴AD －AE ＝AD －DM ＝AM ，由AC ＝3AF ，AC ＝6可得AF ＝2，在Rt △AMF 中，由勾股定理可得AM ＝22，即AD －AE 的值为22； ②存在，⊙O 的半径为5.6或17. 【解法提示】由①可得CF ＝8， 如解图②，当∠ECA ＝90°时，△AEC 为直角三角形， 可证EC ＝AC ＝6，在Rt △ECF 中，由勾股定理可得EF ＝10，在Rt △EDF 中，由勾股定理可得DE ＝102，即⊙O 的半径为52， 如解图③，当∠AEC ＝90°时，△AEC 为直角三角形， 过点E 作EH ⊥AC 于点H ，可得EH ＝AH ＝3， ∴FH ＝5，第6题解图在Rt △EHF 中，由勾股定理可得EF ＝34，在Rt △EDF 中，由勾股定理可得DE ＝217，即⊙O 的半径为17.类型二 旋转探究问题1. (1)解： ∵△ABC 绕顶点C 顺时针旋转40°，得到△A ′B ′C ， ∴CA ＝CA ′，CB ＝CB ′，∠ACA ′＝∠BCB ′＝θ， ∴△ACA ′∽△BCB ′，∴S △ACA ′∶S △BCB ′＝AC 2∶BC 2＝32∶42＝9∶16； ∴S 1S 2＝916； (2)①证明：∵AB ∥B ′C ， ∴∠ABC ＝∠BCB ′；由旋转的性质得∠ABC ＝∠DB ′C ， 即∠BCB ′ ＝∠DB ′C ； ∴CD ＝B ′D ；②解：根据勾股定理可得A ′B ′＝AB ＝5，据题意可得∠BCB ′ ＋∠BCA ′ ＝∠DB ′C ＋∠CA ′B ′＝90°， ∴∠BCA ′ ＝∠CA ′B ′，∴CD ＝A ′D ＝B ′D ＝12A ′B ′＝52 ，∴ BD ＝BC －CD ＝32；(3)解：存在，∵∠A ′CB ′＝90°，点M 为AC 的中点，∴CM ＝12AC ＝32，∵△A ′B ′C 是由△ABC 绕顶点C 顺时针旋转所得，∴A ′B ′＝AB ＝5，第1题解图如解图，连接CN ，可得MN ≤CM ＋CN ，∴只有当点N 在MC 的延长线上时，MN ＝CM ＋CN ，此时MN 最大， ∵点N 为A ′B ′的中点，∴CN ＝12 A ′B ′＝52，MN ＝CM ＋CN ＝4，即MN 的最大值为4.此时AA ′⊥BB ′.2. (1)证明：①∵AC ＝BC ，D , E 分别是 AC ，BC 的中点， ∴CD ＝CE ，由旋转可得∠D ′CE ′＝∠DCE ＝90°，CD ＝CD ′，CE ＝CE ′， ∴∠ACD ′＝∠BCE ′，CD ′＝CE ′， ∴△ACD ′≌ △BCE ′， ∴AD ′＝BE ′；②解：∵AD ′∥CE ′，∴∠AD ′C ＝∠E ′CD ′＝90°， ∵AC ＝2CD ′，∴∠CAD ′＝30°， ∴ AD ′＝cos 30°×AC ＝32×22＝6， 由①得BE ′＝AD ′＝ 6 ；第2题解图①(2)解：根据题意可得CD ′＝CE ′＝ 2 ，∵△CD ′E ′是等腰直角三角形，CD ′＝CE ′＝ 2 ， ∴D ′E ′＝2，如解图①，作CK ⊥BE ′于点K .可得KD ′＝E ′K ， ∴CK ＝12D ′E ′＝1，∴sin ∠CBE ′＝CK BC ＝122＝24；(3)解：如解图②，连接PM ，由(1)得△ACD ′≌ △BCE ′，第2题解图②∴∠P AC ＝∠E ′BC ，AD ′＝BE ′， 又∠P AC ＋∠ACB ＝∠PBC ＋∠APB ， ∴∠APB ＝∠ACB ＝90°， 设AD ′＝x ，则BD ′＝x －2，在△ABD ′中可得AD ′2＋BD ′2＝AB 2，即x 2＋(x －2)2＝42， 解得x 1＝7＋1，x 2＝－7＋1 (舍去)， ∴BD ′＝7－1，∴S △BD ′M ＝S △ABD′2＝（7＋1）（7－1）4＝32，由轴对称性可得PM 扫过的图形面积为：180π×22360－32×2＝2π－3.3. 解： (1)①正方形；【解法提示】由旋转性质可知DE ＝EF ＝FG ＝DG ， ∴四边形DEFG 为菱形， ∴DG ∥BC . 又∵DE ⊥EC ，∴四边形DEFG 为正方形． ②∵四边形DEFG 为正方形， ∴DG ∥BC .∴∠ADG ＝∠B ，∠AGD ＝∠C . ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠B ＝∠C ＝60°.∴△ADG 为等边三角形． ∴AD ＝ DG ＝DE .又∵BD ＝DE sin ∠B ＝DE sin 60°＝233DE ，∴BD ＋AD ＝233DE ＋DE ＝6.解得DE ＝1823＋3＝123－18.(2)①等边三角形，相等；②据题意可得△ADF ≌△BED ≌△CFE ，AD ＝x ，BD ＝6－x ， 如解图①，过点D 作DG ⊥BC 于点G ， 可得DG ＝sin ∠B ·BD ＝32(6－x )， y ＝S △ABC －3S △BDE ＝12×33×6－3×x 2×32(6－x )，化简得y ＝334x 2－932x ＋9 3.图①图② 第3题解图(3)如解图②，经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是6，它可能为正多边形，边长为2.4. (1)证明：据题意可得∠CAB ＝∠CBA ，AD ＝BD ， ∴∠NAB ＝∠MBA ，又∵AB ∥MN ，AC ＝BC ，∴AC AN ＝BC BM，即AN ＝BM ， ∴△ADN ≌△BDM (SAS )；(2)证明：据题意可得AD ＝BD ＝2， 由(1)得∠NAB ＝∠MBA ＝135°，∠EDM ＝ 45°，∴∠AND ＋∠ADN ＝∠EDB ＋∠BDM ＝45°， ∴∠AND ＝∠BDM ， ∴△ADN ∽△BMD ， ∴AD BM ＝ANBD，即AN ·BM ＝AD ·BD ＝2·2＝2， ∴AN ·BM 的值不会发生变化；(3)解：①平分．证明：由(2)可得∠ADN ＋∠BDM ＝45°， ∴∠MDN ＝∠DAN ＝135°， 又∵△ADN ∽△BMD ， ∴AN BD ＝ND DM ， 又∵AD ＝BD ， ∴AN AD ＝ND DM， ∴△ADN ∽△DNM ，∴∠AND ＝∠DNM ，即ND 始终平分∠ANM ； ②S △DMN ＝m 2＋2m ＋22m；【解法提示】由(2)可得：AN ·BM ＝2，AN ＝m ， ∴BM ＝2m，如解图，分别过点D 作AC 、MN 、CM 的垂线，垂足分别为H 、H ′、H ″ ，第4题解图∵ND 平分∠ANM ，且DH ⊥CA ，DH ′⊥MN 在Rt △ABC 中，DH ∥BC ，AD ＝BD 可得DH ′＝DH ＝BC2＝1，同理DH ″＝1，∴S △DMN ＝S △CMN －S △ADN －S △ABC －S △DMB ＝12·CN ·CM －12·AN ·DH －12·AC ·BC －12·BM ·DH ″ ＝12×(2＋m )×(2＋2m )－12×m ×1－12×2×2－12×2m ×1 ＝m 2＋2m ＋22m.∴△DMN 的面积为m 2＋2m ＋22m.5. 解：(1)平行四边形；25；【解法提示】依题意可知，正方形ABCD 沿对角线剪开后为第5题解图①两个等腰直角三角形，当ED 边与AB 边重合时，AB ＝DF ，BC ＝EF ，∴四边形ABCF 是平行四边形，设AD 与BF 交于点O ，如解图①，可知AO ＝DO ＝12AD ＝1，∴BO ＝AB 2＋AO 2＝5，∴BF ＝2 5. (2)45°或135°；【解法提示】当△EFD 转到如解图②所示的位置时，∠CEF ＋∠CHE ＝∠ACB ＝45°；当△EFD 旋转到如解图③所示的位置时，∠CEF ＋∠CHE ＝180°－∠C ＝135°，综上可知，∠CEF ＋∠CHE 的度数为45°或135°.第5题解图(3)由题意知∠DEF ＝∠ACB ＝∠B ＝45°，∴∠DAC ＋∠CAH ＝45°，∠AHB ＋∠CAH ＝∠ACB ＝45°， ∴∠DAC ＝∠AHB ，∴△AGC ∽△HAB , ∴AC HB ＝GCAB ，∴2y ＝x 2，∴y ＝4x(0≤x ＜22)； (4)当x 为2或2时，△AGH 是等腰三角形． 【解法提示】由题意可得△AGC ∽△HGA .∴要使△AGH 是等腰三角形，只要△AGC 是等腰三角形即可．第5题解图分三种情况讨论，①如解图④，当CG ＝AG ，此时CG ＝2， ②如解图⑤，当CG ＝AC ，此时CG ＝2，③如解图⑥，当AG ＝AC ，此时ED 与AB 重合，不合题意，舍去． 综上所述，当x ＝2或2时，△AGH 是等腰三角形．6. (1)解：如解图①，连接DF ，过点F 作FH ⊥AD 于点H .第6题解图①∵四边形ABCD 和四边形BEFG 是平行四边形． ∴AK ∥BE ，AB ∥EK .∴四边形ABEK 是平行四边形． ∵AB ＝BE ，∴四边形ABEK 是菱形．∴DK ＝FK ＝23＋2－4＝23－2，∠FKD ＝∠AKE ＝∠B ＝60°， ∴△FKD 是等边三角形． ∵FH ⊥AD ，∴KH ＝12DK ＝3－1，FH ＝3－3，在Rt △AFH 中，AH ＝4＋3－1＝3＋3， ∴AF ＝AH 2＋FH 2＝（3＋3）2＋（3－3）2＝24＝2 6.(2)证明：∵四边形ABCD 和四边形GBEF 是平行四边形，∴四边形BMDN 是平行四边形．∵∠A ＝∠G ，∠AMB ＝∠GMD ，AB ＝GD . ∴△ABM ≌△GDM (AAS )． ∴BM ＝DM .∴四边形BMDN 是菱形．(3)解：①如解图①，当旋转角α为30°时，四边形CGDF 是正方形(此时也是矩形)．第6题解图② 证明：∵BG ＝BC ，∠ABG ＝∠α＝30°， ∴∠GBC ＝60°－30°＝30°， ∴∠BGC ＝∠BCG ＝75°， ∴∠GCO ＝∠CGO ＝45°， ∴OG ＝OC ，∠GOC ＝90°，如解图②，过点G 作GN ⊥BC 于点N ， 在Rt △BNG 中，∠GBC ＝30°， ∴GN ＝12BG ＝3＋1，BN ＝3GN ＝3＋ 3.∴NC ＝BC －BN ＝23＋2－(3＋3)＝3－1. ∴GC ＝GN 2＋NC 2＝（3＋1）2＋（3－1）2＝8＝22，∴OG ＝OC ＝CG 2＝222＝2，∴OD ＝OF ＝4－2＝2， ∴OD ＝OC ＝OG ＝OF ， ∴四边形CGDF 是矩形， ∵GF ⊥CD ，∴四边形CGDF 是正方形；②如解图③，当旋转角α为300°时，四边形CGFD 是矩形．第6题解图③证明：∵∠α＝300°，∴点E 与点A 重合，∠CBG ＝120°. ∵BC ＝BG ，∴∠GCD ＝120°－30°＝90°.∵四边形ABCD 和四边形GBEF 是平行四边形， ∴CD ∥AB ，AB ∥GF ，AB ＝CD ，AB ＝GF ， ∴CD ∥GF ，CD ＝GF ，∴四边形CGFD 是平行四边形， ∵∠GCD ＝90°，∴四边形CGFD 是矩形．类型三 新定义探究问题1. 解： (1)C ；(2)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 上的中线， ∴CD ＝12AB ，∴CD ＝BD ，∴∠BCE ＝∠ABC ， ∵BE ⊥CD ， ∴∠BEC ＝90°， ∴∠BEC ＝∠ACB ， ∴△BCE ∽△ABC ，∴点E 是△ABC 的黄金点；(3)①据题意可得∠P 1CB ＝60°，∠BP 1C ＝90°，AC ＝43， ∴P 1C ＝cos ∠P 1CB ·BC ＝cos 60°·BC ＝2，如解图，过点P 1作P 1D ⊥AC 于点D ，连接AP 1，可得∠P 1CD ＝30°， ∴P 1D ＝12P 1C ＝1，CD ＝ 3 ，∴ AD ＝AC －CD ＝33，在Rt △AP 1D 中，根据勾股定理可得AP 1＝（33）2＋12＝27；第1题解图②据题意可得△P 1BC ∽△CAB ， ∴C △P 1BC C △CAB＝BC AB ＝12， 同理可得C △P 2CP 1C △P 1BC ＝P 1C BC ＝12，即 C △P 2CP 1C △CAB＝P 1C AB ＝14， ∴C △P 2016P 2017P 2018C △CBA＝P 2017P 2018AB ＝122016，可得△CAB 的周长为12＋43，∴△P 2016P 2017P 2018的周长为3＋3220142. (1)解： 6－25；【解法提示】∵CD 是△ABC 的黄金线(AD ＞BD )， ∴AD AB ＝5－12， ∵S △ABC ＝4， ∴S △ADC ＝5－12×4＝25－2， ∴S △BCD ＝S △ABC －S △ADC ＝6－25； (2)证明：∵∠A ＝36°，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ＝72°，∵过点B 作BD 平分∠ABC ，与AC 相交于点D ， ∴∠CBD ＝∠A ＝36°，∠BDC ＝∠C ＝72°， ∴AD ＝BD ＝BC ， ∴△BCD ∽△ABC ， ∴CD BC ＝BDAC ，即1－AD BC ＝1－BC BC ＝BC 1， 解得BC ＝5－12， ∴AD ＝5－12， ∴AD AC ＝5－12， ∴D 点是AC 的黄金分割点， ∴BD 是△ABC 的黄金线； (3)解：①S 1＝S 2.理由如下：如解图，连接ED ，第2题解图据题意得：AD AB ＝AEAC ＝5－12，∴S △ABE S △ABC ＝S △ACD S △ABC＝5－12，∴S △ABE ＝S △ACD ，∴ S △COE ＝S △BOD ，即S 1＝S 2； ②由①得AD AB ＝AE AC， 又∵∠A 为公共角， ∴△ADE ∽△ABC ，∴∠DEA ＝∠BCA ,DE BC ＝AEAC ＝5－12， ∴DE ∥BC ，∴△ODE ∽△OCB ， ∴OD OC ＝DEBC ＝5－12， ∴OD CD ＝5－15＋1＝（5－1）24. 3. (1)证明：根据题意可得△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k (k ＞1)， ∴aa 1＝k ，即a ＝ka 1， 又∵c ＝a 1， ∴a ＝kc ；(2)证明：根据题意得∠A ＝40°， ∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD ＝12∠ACB ＝40°，即∠BCD ＝∠A ，又∵∠B ＝∠B ， ∴△CBD ∽△ABC ， 又∵BC 是公共边，∴△CBD 与△ABC 为梦幻三角形；(3)解：①∵△ACE 与△ADC 刚好构成梦幻三角形， ∴△ACE ∽△ADC ， ∴AC AD ＝AEAC，即AC 2＝AE ·AD ＝36， ∴AC ＝6，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， 又∵BC ＝8，∴由勾股定理可得AB ＝10， 如解图，连接OD ，又∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ， ∴∠ACD ＝45°， ∴∠AOD ＝90°，∴∠OAD ＝∠ADO ＝45°，∵OD ＝5， ∴AD ＝52； ②PCPD＝2m ；第3题解图【解法提示】根据题意可得AD ＝22AB ， ∴CD AD ＝CD 2AB2＝2·CD AB ＝2m ， ∵PD 是⊙O 的切线， ∴∠ODP ＝90°， ∴∠ADP ＝45°，即∠ADP ＝∠PCD ， 又∵∠P ＝∠P ，∴△ADP ∽△DCP ，且DP 为两三角形的公共边， ∴PC PD ＝CDDA＝2m . 4. (1)证明：∵△A 1A 2A 3与△A 1B 2B 3都是正三角形， ∴A 1A 2＝A 1A 3，A 1B 2＝A 1B 3，∠A 2A 1A 3＝∠B 2A 1B 3＝60°， ∴∠A 2A 1B 2＝∠A 3A 1B 3，∴△A 2A 1B 2≌△A 3A 1B 3(SAS )， ∴∠B 3A 3A 1＝∠A 2＝60°；∴随着点B 2的运动，∠B 3A 3A 1的大小始终不变，为60°. (2)解：∠B 3A 3A 4的大小不变．如解图，在边A 1A 2上取点D ，使A 1D ＝A 3B 2，连接B 2D .第4题解图∵四边形A 1A 2A 3A 4与四边形A 1B 2B 3B 4都是正方形， ∴A 1B 2＝B 2B 3，∠A 1B 2B 3＝∠A 1A 2A 3＝90°， ∴∠A 3B 2B 3＋∠A 1B 2A 2＝90°， ∠A 2A 1B 2＋∠A 1B 2A 2＝90°， ∴∠A 3B 2B 3＝∠A 2A 1B 2， ∴△A 3B 2B 3≌△DA 1B 2， ∴∠B 2A 3B 3＝∠A 1DB 2， ∵A 1A 2＝A 2A 3，A 1D ＝A 3B 2， ∴A 2B 2＝A 2D .又∵∠A 1A 2A 3＝90°，∴△DA 2B 2为等腰直角三角形， ∴∠A 1DB 2＝135°， ∴∠B 2A 3B 3＝135°， ∵∠A 4A 3A 2＝90°， ∴∠B 3A 3A 4＝45°，∴∠B 3A 3A 4的大小始终不变，为45°； (3)解：①∠B 3A 3A 4的大小不会发生改变，始终为180°n；②90°（n －1）（n －2）n.【解法提示】∠B 3A 3A 4＋∠B 4A 4A 5＋B 5A 5A 6＋…＋∠B n A n A 1＝180°n ×1＋180°n×2＋180°n ×3＋…180°n ×(n －2)＝180°n ×[1＋2＋3＋…＋(n －2)]＝90°(n －1)（n －2）n. 类型四 动点探究问题1. 解：(1)OB ＝4；(2)①∵AB ＝2，OB ＝4，∠OAB ＝90°，∴∠ABO ＝60°，又∵∠OCB ＝60°，∴△BOC 为等边三角形，∴OH ＝OBcos 30°＝4×32＝23， ∴OP ＝OH －PH ＝23－t ，如解图①，过P 点作PE ⊥OA ，垂足为点E ，第1题解图①则EP ＝OPcos 30°＝3－32t ， ∴S ＝12·OQ ·EP ＝12·t ·(3－32t )＝－34t 2＋32t (0<t <23)；②若△OPM 为等腰三角形：(ⅰ)若OM ＝PM ，如解图②，则∠MPO ＝∠MOP ＝∠POC ，第1题解图②∴PQ ∥OC ，过点P 作PK ⊥OC 于点K ， ∴OQ ＝PK ＝OP 2，即t ＝3－t2，解得：t ＝233，此时S ＝－34×(233)2＋32×233＝233； (ⅱ)若OP ＝OM ，如解图③，则∠OPM ＝∠OMP ＝75°，第1题解图③∴∠OQP ＝∠OMP －∠QOM ＝75°－30°＝45°，此时EQ ＝EP ，即t －(3－12t )＝3－32t ， 解得：t ＝2，此时S ＝－34×22＋32×2＝3－3； (ⅲ)若OP ＝PM ，∠POM ＝∠PMO ＝∠AOB ，则PQ ∥OA ，此时点Q 在AB 上，不满足题意，舍去．综上所述，当△OPM 为等腰三角形时，△OPM 的面积为233或2. 2. (1)证明：根据题意得AD ＝CD ，∠ADC ＝∠DCF ＝∠DAB ＝90°，又∵DF ⊥DE 于点D ，∴∠ADE ＝∠CDF ，∴△ADE ≌△CDF ，∴DE ＝DF ；(2)解： OM 2＋ON 2 的值为定值；理由：∵OM ⊥DE 于点M , ON ⊥DF 于点N ，∴四边形DMON 为矩形，∴DN ＝OM ，如解图①，连接OD ，可得OM 2＋DM 2＝OD 2，即OM 2＋ON 2＝OD 2，第2题解图①∵点O 为正方形ABCD 的中心，AB ＝2，∴OD ＝2，即OM 2＋ON 2＝OD 2＝2；(3)证明：由正方形的性质可得∠DAC ＝45°，如解图②，过点Q 作C ′Q ⊥AQ 于点Q ，QC ′与DC 的延长线相交于点C ′，第2题解图②可得∠C ′＝45°，即∠DAC ＝∠C ′，CQ ＝C ′Q ，又∠ADE ＋∠EDC ＝∠QDC ′＋∠EDC ＝90°，∴∠ADE ＝∠QDC ′，∴△ADP ∽△C ′DQ ，∴AP C ′Q ＝AP CQ ＝DP DQ. 3. (1)①证明：据题意可得∠EAB ＋∠BAD ＝∠CAD ＋∠BAD ＝90°，∴∠EAB ＝∠CAD ，又AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABE ≌△ACD ，∴CD ＝BE ；②解：猜想：CD 2＋BD 2＝2PD 2.理由：据题意可得∠ABC ＝∠C ＝45°，由①可得∠ABE ＝∠C ＝45°，即∠EBD ＝90°，∴BE 2＋BD 2＝PE 2＋PD 2，即CD 2＋BD 2＝2PD 2；(2)解：①据题意可得BP ＝42，如解图，过点P 作PF ∥AC ，PF 与BC 相交于点F ，第3题解图可得BF ＝BP sin 45°＝42×22＝8， 由(1)可得△PBE ≌△PFD ，∴DF ＝BE ，∠ABE ＝∠PFD ＝45°，∴∠EBD ＝90°，∴BE 2＋BD 2＝PE 2＋PD 2，∴DF 2＋BD 2＝2PD 2，即2y ＝x 2＋(8－x )2，化简得y ＝x 2－8x ＋32；②存在；理由如下：据题意可得BC ＝12，CD ＝12－x ，AP ＝22， 在Rt △ACP 中，可得：CP ＝（62）2＋（22）2＝45， 当CD ＝DP 时，△CDP 为等腰三角形，此时，可得 y ＝12－x ，即x 2－8x ＋32＝(12－x )2，解得x ＝7，∴y ＝x 2－8x ＋32＝72－8×7＋32＝25，∴S △DPE ＝252； 当CP ＝CD 时，△CDP 为等腰三角形；此时，可得12－x ＝45，解得x ＝12－45，∴y ＝x 2－8x ＋32＝(12－45)2－8×(12－45)＋32＝160－645，∴S △DPE ＝160－6452＝80－325，综上，△DPE 的面积为252或(80－325)． 4. 解：(1)① 23； 【解法提示】∵E 是AC 的中点，∴当DE ∥BC 时，D 为AB 的中点，即BD ＝12AB ＝4， 又∵CD ⊥AB ，∴cos ∠B ＝BD BC ＝46＝23. ②∵点E 是AC 的中点，∴当DE ⊥AC 时，DE 为AC 的垂直平分线，∴CD ＝AD ，设CD ＝AD ＝x ，则BD ＝8－x ，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得：(8－x )2＋x 2＝62，解得x 1＝4＋2，x 2＝4－2，∴sin ∠B ＝CD BC ＝4＋26或4－26； (2)∵CD ⊥AB ，∴ S －AC 2＝AD ·CD 2－(AD 2＋CD 2)＝－(AD 2＋CD 2－2AD ·CD )－3AD ·CD 2， ∴ S －AC 2＝－(AD －CD )2－3AD ·CD 2， ∴当AD ＝CD 时，S －AC 2的值最大，最大值为－3AD ·CD 2， 由(1)可知：－3AD ·CD 2＝ －3×（4－2）22＝122－27； (3)34＜tan ∠MCA ＜377. 【解法提示】当∠ABC 为直角时，根据勾股定理可得AC ＝10，此时可得 tan ∠A ＝BC AB ＝68＝34. 当∠ACB 为直角时，根据勾股定理可得AC ＝27 ，此时可得tan ∠A ＝BC AC ＝627＝377. ∵△ABC 是锐角三角形，∴34＜tan ∠A ＜377. 由题意可知∠DEP ＝∠DEC ＋∠CEP ＝2∠A ＋∠CEP ，又∵∠DEP ＝k ∠A ，且k 为正整数，∴k ＝3，即∠CEP ＝∠AEF ＝∠A ，又∵EF始终与CM平行，∴∠MCA＝∠AEF＝∠A，∴34＜tan∠MCA＜377.。
2020年江西省中考数学试题(含答案)
江西省2020年中等学校招生考试数学试卷(江西 毛庆云）说明：1本卷共四大题，27小题，全卷满分120分，考试时间为150分钟。
2，本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分。
说明：1．本卷共有六个大题，24个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟．2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1．下列四个数中，最小的数是（ ）． A ．－12B ．0C ．－2D ．2【答案】 C.【考点】 有理数大小比较．【分析】 根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数进行比较即可．【解答】 解：在－12 ，0，－2，2这四个数中，大小顺序为：﹣2＜－12＜0＜2，所以最小的数是－12．故选C ．【点评】 本题主要考查了有理数的大小的比较，解题的关键是熟练掌握有理数大小比较的 法则，属于基础题．2．某市６月份某周气温（单位：℃）为23，25，28，25，28，31，28，这给数据的众数和中位数分别是（ ）． A ．25，25B ．28，28C ．25，28D ．28，31【答案】 B .【考点】 众数和中位数.【分析】 根据中位数的定义“将一组数据从小到大或从大到小排序，处于中间（数据个数为奇数时）的数或中间两个数的平均数（数据为偶数个时）就是这组数据的中位数”；众数是指一组数据中出现次数最多的那个数。
【解答】 这组数据中28出现4次，最多，所以众数为28。
由小到大排列为：23，25，25，28，28，28，31，所以中位数为28，选B 。
【点评】 本题考查的是统计初步中的基本概念——中位数和众数，要知道什么是中位数、众数．3．下列运算正确的是是（ ）． A ．a 2+a 3=a 5B ．(－2a 2)3=－6a 5C ．(2a+1)(2a-1)=2a 2-1D ．(2a 3-a 2)÷2a=2a-1【答案】 D.【考点】 代数式的运算。
2020年江西省中考数学仿真试卷(四) 解析版
2020年江西省中考数学仿真试卷（四）一．选择题（共6小题）1．﹣7的绝对值是（）A．7B．﹣7C．D．﹣2．下列计算正确的是（）A．a+a2＝a3B．a6b÷a2＝a3bC．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（﹣ab3）2＝a2b63．如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（）A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为3，∠C＝140°，则弧BD的长为（）A．πB．πC．πD．2π5．已知二次函数y＝2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点时，他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第20次“移位”后，他所处顶点的编号是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共6小题）7．若代数式1+在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为．8．已知a、b是一元二次方程x2+2x﹣4＝0的两个根，则a+b﹣ab＝．9．当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是．10．甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶千米．11．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．12．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线AB交于点A（2，3），直线AB与x轴交于点B（4，0），过点B作x轴的垂线BC，交反比例函数的图象于点C，在平面内存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是．三．解答题（共12小题）13．计算：|1﹣|+20200﹣﹣（）﹣1；14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、BC为底边，向△ABC外部作等腰△ADC和△CEB，点M为AB中点，连接MD、ME分别与AC、BC交于点F和点G．求证：四边形MFCG是矩形．15．解不等式组：，并将解集在数轴上表示．16．如图，在四边形ABDC中，AB＝AC，BD＝DC，BE∥DC，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（1）在图1中，画一个以AB为边的直角三角形；（2）在图2中，画一个菱形，要求其中一边在BE上．17．一只不透明的袋子中装有4个球，其中两个红球，一个黄球、一个白球，这些球除颜色外都相同．（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率为．（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，用列表法或树形图的方法，求两次都是红球的概率．18．如图，一次函数y＝k1x+3的图象与坐标轴相交于点A（﹣2，0）和点B，与反比例函数y＝（x＞0）相交于点C（2，m）．（1）填空：k1＝，k2＝；（2）若点P是反比例函数图象上的一点，连接CP并延长，交x轴正半轴于点D，若PD：CP＝1：2时，求△COP的面积．19．为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“戒毒宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”等五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查．结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．（1）被随机抽取的学生共有多少名？（2）在扇形统计图中，求活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角的度数，并补全折线统计图；（3）该校共有学生2000人，估计其中参与了4项或5项活动的学生共有多少人？20．小亮将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OA与底板OB所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架BCO'后，电脑转到BO′A′位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA＝OB＝28cm，O′C⊥OB于点C，O′C＝14cm．（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（1）求∠CBO'的度数．（2）显示屏的顶部A'比原来升高了多少cm？（结果精确到0.1cm）（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O′A′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′A′应绕点O'按顺时针方向旋转多少度？（不写过程，只写结果）21．如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上两点，连接AD，CD．（1）如图1，点P是AC延长线上一点，∠APB＝∠ADC，求证：BP与⊙O相切；（2）如图2，点G在CD上，OF⊥AC于点F，连接AG并延长交⊙O于点H，若CD 为⊙O的直径，当∠CGB＝∠HGB，BG＝2OF＝6时，求⊙O半径的长．22．某店因为经营不善欠下38000元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）已知该店代理的某品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日的售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；（2）当销售价为多少元时，该店的日销售利润最大；（3）该店每天支付工资和其它费用共250元，该店能否在一年内还清所有债务．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE 为半径作半圆，交AO于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP 的长．24．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形（1）概念理解①根据上述定义举一个等补四边形的例子：；②如图1，四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，求证：四边形ABCD是等补四边形．（2）性质探究：③小明在探究时发现，由于等补四边形有一组对角互补，可得等补四边形的四个顶点共圆，如图2，等补四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，则∠ACD∠ACB（填“＞”“＜”或“＝“）；④若将两条相等的邻边叫做等补四边形的“等边”，等边所夹的角叫做“等边角”，它所对的角叫做“等边补角”连接它们顶点的对角线叫做“等补对角线”，请用语言表述③中结论：（3）问题解决在等补四边形ABCD中，AB＝BC＝2，等边角∠ABC＝120°，等补对角线BD与等边垂直，求CD的长．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．﹣7的绝对值是（）A．7B．﹣7C．D．﹣【分析】根据绝对值的性质解答，当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a．【解答】解：|﹣7|＝7．故选：A．2．下列计算正确的是（）A．a+a2＝a3B．a6b÷a2＝a3bC．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（﹣ab3）2＝a2b6【分析】根据同类项合并、整式的除法、完全平方公式和积的乘方判断即可．【解答】解：A、a与a2不能合并，错误；B、a6b÷a2＝a4b，错误；C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，错误；D、（﹣ab3）2＝a2b6，正确；故选：D．3．如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（）A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好【解答】解：A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确；B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确；C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确D．就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故D错误．故选：D．4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为3，∠C＝140°，则弧BD的长为（）A．πB．πC．πD．2π【分析】连接OB、OC，根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理求出∠BOD的度数，利用弧长公式计算即可．【解答】解：连接OB、OC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣∠C＝40°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝80°，∴＝＝π，故选：B．5．已知二次函数y＝2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可．【解答】解：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误；②图象的对称轴为直线x＝3，故本小题错误；③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；④当x＜3时，y随x的增大而减小，正确；综上所述，说法正确的有④共1个．故选：A．6．如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点时，他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第20次“移位”后，他所处顶点的编号是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据“移位”的特点确定出前几次的移位情况，从而找出规律，然后解答即可．【解答】解：根据题意，小宇从编号为2的顶点开始，第1次移位到点4，第2次移位到达点3，第3次移位到达点1，第4次移位到达点2，…，依此类推，4次移位后回到出发点，20÷4＝5．所以第20次移位为第5个循环组的第4次移位，到达点2．故选：B．二．填空题（共6小题）7．若代数式1+在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为x≠1．【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：∵代数式1+在实数范围内有意义，∴x﹣1≠0，解得：x≠1，∴则实数x的取值范围为：x≠1．8．已知a、b是一元二次方程x2+2x﹣4＝0的两个根，则a+b﹣ab＝2．【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求得a+b、ab的值，然后将其代入所求的代数式并求值．【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+2x﹣4＝0的两个根，∴由韦达定理，得a+b＝﹣2，ab＝﹣4，∴a+b﹣ab＝﹣2+4＝2．故答案为：2．9．当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是1＜k＜3．【分析】根据一次函数y＝kx+b，k＜0，b＜0时图象经过第二、三、四象限，可得2﹣2k ＜0，k﹣3＜0，即可求解；【解答】解：y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限，∴2﹣2k＜0，k﹣3＜0，∴k＞1，k＜3，∴1＜k＜3；故答案为1＜k＜3；10．甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶千米．【分析】根据函数的图形可以得到甲用了30分钟行驶了12千米，乙用12分钟行驶了12千米，分别算出速度即可求得结果．【解答】解：∵据函数图形知：甲用了30分钟行驶了12千米，乙用（18﹣6）分钟行驶了12千米，∴甲每分钟行驶12÷30＝千米，乙每分钟行驶12÷12＝1千米，∴每分钟乙比甲多行驶1﹣＝千米，故答案为：．11．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为10．【分析】设P（x，x2﹣x﹣4）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣1）2+10．根据二次函数的性质来求最值即可．【解答】解：设P（x，x2﹣x﹣4），四边形OAPB周长＝2P A+2OA＝﹣2（x2﹣x﹣4）+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10．故答案为10．12．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线AB交于点A（2，3），直线AB与x轴交于点B（4，0），过点B作x轴的垂线BC，交反比例函数的图象于点C，在平面内存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是（2，）或（2，）或（6，﹣）．【分析】先将A点的坐标代入反比例函数求得k的值，然后将x＝4代入反比例函数解析式求得相应的y的值，即得点C的坐标；然后结合图象分类讨论以A、B、C、D为顶点的平行四边形，如图所示，找出满足题意的D的坐标即可．【解答】解：把点A（2，3）代入y＝（x＞0）得：k＝xy＝6，故该反比例函数解析式为：y＝．∵点B（4，0），BC⊥x轴，∴把x＝4代入反比例函数y＝，得y＝．则C（4，）．①如图，当四边形ACBD为平行四边形时，AD∥BC且AD＝BC．∵A（2，3）、B（4，0）、C（4，），∴点D的横坐标为2，y A﹣y D＝y C﹣y B，故y D＝．所以D（2，）．②如图，当四边形ABCD′为平行四边形时，AD′∥CB且AD′＝CB．∵A（2，3）、B（4，0）、C（4，），∴点D的横坐标为2，y D′﹣y A＝y C﹣y B，故y D′＝．所以D′（2，）．③如图，当四边形ABD″C为平行四边形时，AC＝BD″且AC∥BD″．∵A（2，3）、B（4，0）、C（4，），∴x D″﹣x B＝x C﹣x A即x D″﹣4＝4﹣2，故x D″＝6．y D″﹣y B＝y C﹣y A即y D″﹣0＝﹣3，故y D″＝﹣．所以D″（6，﹣）．综上所述，符合条件的点D的坐标是：（2，）或（2，）或（6，﹣）．故答案为：（2，）或（2，）或（6，﹣）．三．解答题（共12小题）13．计算：|1﹣|+20200﹣﹣（）﹣1；【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及二次根式性质计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣1+1﹣3﹣4＝﹣2﹣4．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、BC为底边，向△ABC外部作等腰△ADC和△CEB，点M为AB中点，连接MD、ME分别与AC、BC交于点F和点G．求证：四边形MFCG是矩形．【分析】由题意可得点M在AC，BC的垂直平分线上，可得∠MFC＝90°，∠MGC＝90°，即可得结论．【解答】证明：连接CM，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M为AB中点，∴CM＝AM＝BM＝AB．∴点M在线段AC的垂直平分线上．∵在等腰△ADC中，AC为底边，∴AD＝CD．∴点D在线段AC的垂直平分线上．∴MD垂直平分AC．∴∠MFC＝90°．同理：∠MGC＝90°．∴四边形MFCG是矩形．15．解不等式组：，并将解集在数轴上表示．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．【解答】解：由①得，x≤2，由②得，x＞﹣1，故不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．在数轴上表示为：16．如图，在四边形ABDC中，AB＝AC，BD＝DC，BE∥DC，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（1）在图1中，画一个以AB为边的直角三角形；（2）在图2中，画一个菱形，要求其中一边在BE上．【分析】（1）在图1中，画一个以AB为边的直角三角形即可；（2）在图2中，画一个菱形，要求其中一边在BE上即可．【解答】解：（1）如图，Rt△AOB即为所求；（2）如图，菱形BFCD即为所求．17．一只不透明的袋子中装有4个球，其中两个红球，一个黄球、一个白球，这些球除颜色外都相同．（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率为．（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，用列表法或树形图的方法，求两次都是红球的概率．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率为＝，故答案为：．（2）画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次都是红球的有4种结果，所以两次都是红球的概率为．18．如图，一次函数y＝k1x+3的图象与坐标轴相交于点A（﹣2，0）和点B，与反比例函数y＝（x＞0）相交于点C（2，m）．（1）填空：k1＝，k2＝12；（2）若点P是反比例函数图象上的一点，连接CP并延长，交x轴正半轴于点D，若PD：CP＝1：2时，求△COP的面积．【分析】（1）先根据点A求出k1，再根据一次函数解析式求出m值，利用待定系数法求反比例函数的解析式；（2）先根据三角形相似求得P点的坐标，然后利用三角形的面积差求解．S△COP＝S△COD ﹣S△POD．【解答】解：（1）∵一次函数y＝k1x+3的图象与坐标轴相交于点A（﹣2，0），∴﹣2k1+3＝0，解得k1＝，∴一次函数为：y1＝x+3，∵一次函数y1＝x+3的图象经过点C（2，m）．∴m＝×2+3＝6，∴C点坐标为（2，6），∵反比例函数y＝（x＞0）经过点C，∴k2＝2×6＝12，故答案为，12．（2）作CE⊥OD于E，PF⊥OD于F，∴CE∥PF，∴△PFD∽△CED，∴＝，∵PD：CP＝1：2，C点坐标为（2，6），∴PD：CD＝1：3，CE＝6，∴＝，∴PF＝2，∴P点的纵坐标为2，把y＝2代入y2＝求得x＝6，∴P（6，2），设直线CD的解析式为y＝ax+b，把C（2，6），P（6，2）代入得，解得，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+8，令y＝0，则x＝8，∴D（8，0），∴OD＝14，∴S△COP＝S△COD﹣S△POD＝×8×6﹣＝16．19．为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“戒毒宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”等五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查．结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．（1）被随机抽取的学生共有多少名？（2）在扇形统计图中，求活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角的度数，并补全折线统计图；（3）该校共有学生2000人，估计其中参与了4项或5项活动的学生共有多少人？【分析】（1）利用活动数为2项的学生的数量以及百分比，即可得到被随机抽取的学生数；（2）利用活动数为3项的学生数，即可得到对应的扇形圆心角的度数，利用活动数为5项的学生数，即可补全折线统计图；（3）利用参与了4项或5项活动的学生所占的百分比，即可得到全校参与了4项或5项活动的学生总数．【解答】解：（1）被随机抽取的学生共有14÷28%＝50（人）；（2）活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角＝×360°＝72°，活动数为5项的学生为：50﹣8﹣14﹣10﹣12＝6，如图所示：（3）参与了4项或5项活动的学生共有×2000＝720（人）．20．小亮将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OA与底板OB所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架BCO'后，电脑转到BO′A′位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA＝OB＝28cm，O′C⊥OB于点C，O′C＝14cm．（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（1）求∠CBO'的度数．（2）显示屏的顶部A'比原来升高了多少cm？（结果精确到0.1cm）（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O′A′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′A′应绕点O'按顺时针方向旋转多少度？（不写过程，只写结果）【分析】（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）通过解直角三角形求得AO，由C、O′、A′三点共线可得结果；（3）显示屏O′A′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′A′＝∠FO′B＝30°，既是显示屏O′A′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．【解答】解：（1）在Rt△CBO′中，∵O′C：O′B＝14：28＝0.5，∴∠CBO′＝30°；（2）A′C＝A′O′+O′C＝28+14＝42（cm）AO•sin60°＝14≈24.25（cm）42﹣24.25≈17.8（cm）；（3）显示屏O'A'应绕点O'按顺时针方向旋转30°．理由如下：如图，电脑显示屏O'A’绕点O'按顺时针方向旋转α度至O'E处，O'F∥OB．∵电脑显示屏O'A’与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO'F＝120°．∴∠FO'A＝∠CBO'＝30°．∴∠BO'A'＝120°．∴∠EO'A'＝∠FO'B＝30°，即α＝30°．∴显示屏O'A'应绕点O'按顺时针方向旋转30°．21．如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上两点，连接AD，CD．（1）如图1，点P是AC延长线上一点，∠APB＝∠ADC，求证：BP与⊙O相切；（2）如图2，点G在CD上，OF⊥AC于点F，连接AG并延长交⊙O于点H，若CD 为⊙O的直径，当∠CGB＝∠HGB，BG＝2OF＝6时，求⊙O半径的长．【分析】（1）如图1，连接BC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，得到∠ABC＝∠P，求得∠ABP＝90°，于是得到结论；（2）如图2中，连接BC，BH，作BM⊥CD于M，AN⊥CD于N．想办法证明OM＝ON ＝GN，MG＝DN，设OM＝ON＝a，构建方程求出a即可解决问题．【解答】解：（1）如图1，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∵∠ABC＝∠D，∠D＝∠P，∴∠ABC＝∠P，∴∠P+∠P AB＝90°，∴∠ABP＝90°，∴BP与⊙O相切；（2）如图2，连接BC，BH，作BM⊥CD于M，AN⊥CD于N．∵CD，AB是直径，∴OA＝OD＝OC＝OB，∵∠AOD＝∠BOC，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC＝2OF＝6，∵OA＝OB，∠AON＝∠BOM，∠ANO＝∠BMO＝90°，∴△AON≌△BOM（AAS），∴OM＝ON，AN＝BM，设OM＝ON＝a，∵∠CGB＝∠HGB，∴∠OGH＝2∠CGB，∵∠BOG＝∠OCB+∠OBC＝2∠GCB，∠GCB＝∠BGC，∴∠BOG＝∠OGH，∴∠AOG＝∠AGO，∴AO＝AG，∵AN⊥OG，∴ON＝NG＝a，∵BG＝AD，BM＝AN，∠AND＝∠BMG＝90°，∴Rt△BMG≌Rt△AND（HL），∴MG＝DN＝3a，OD＝OA＝OB＝OC＝4a，∴BM＝＝a，在Rt△CBM中，∵BC2＝BM2+CM2，∴36＝15a2+9a2，∵a＞0，∴a＝，∴MG＝CM＝3a＝，∴DG＝2a＝，∴CD＝2×+＝4，∴⊙O半径的长为2．22．某店因为经营不善欠下38000元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）已知该店代理的某品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日的售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；（2）当销售价为多少元时，该店的日销售利润最大；（3）该店每天支付工资和其它费用共250元，该店能否在一年内还清所有债务．【分析】（1）利用待定系数法，即可求得日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润w（元）与销售价x （元/件）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．（3）根据（2）中的最大利润，可求得除去其他支出的利润，即可判断能否在一年内还清所有债务【解答】解：（1）由图象可得，当40≤x＜58时，设y＝k1x+b1，代入得，解得∴y＝﹣2x+140（40≤x＜58）当58≤x≤71时，设y＝k2x+b2，代入得，解得∴y＝﹣x+82（58≤x≤71）故日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系为：y＝（2）由（1）得利润w＝整理得w＝故当40≤x＜58时，w＝﹣2（x﹣55）2+450∵﹣2＜0∴当x＝55时，有最大值450元当58≤x≤71时，w＝﹣（x﹣61）2+441∵﹣1＜0∴当x＝61时，有最大值441元综上可得当销售价为55元时，该店的日销售利润最大，最大利润为450元（3）由（2）可知每天的最大利润为450元则有450﹣250＝200元一年的利润为：200×365＝73000元所有债务为：30000+38000＝68000元∵73000＞68000∴该店能在一年内还清所有债务23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE 为半径作半圆，交AO于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP 的长．【分析】（1）作OH⊥AC于H，如图，利用等腰三角形的性质得AO平分∠BAC，再根据角平分线性质得OH＝OE，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）先确定∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，再计算出AE＝3，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S△AOE﹣S扇形EOF进行计算；（3）作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，利用两点之间线段最短得到此时EP+FP最小，通过证明∠F′＝∠EAF′得到PE+PF最小值为3，然后计算出OP和OB得到此时PB的长．【解答】（1）证明：作OH⊥AC于H，如图，∵AB＝AC，AO⊥BC于点O，∴AO平分∠BAC，∵OE⊥AB，OH⊥AC，∴OH＝OE，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵点F是AO的中点，∴AO＝2OF＝6，而OE＝3，∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，∴AE＝OE＝3，∴图中阴影部分的面积＝S△AOE﹣S扇形EOF＝×3×3﹣＝；（3）解：作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，∵PF＝PF′，∴PE+PF＝PE+PF′＝EF′，此时EP+FP最小，∵OF′＝OF＝OE，∴∠F′＝∠OEF′，而∠AOE＝∠F′+∠OEF′＝60°，∴∠F′＝30°，∴∠F′＝∠EAF′，∴EF′＝EA＝3，即PE+PF最小值为3，在Rt△OPF′中，OP＝OF′＝，在Rt△ABO中，OB＝OA＝×6＝2，∴BP＝2﹣＝，即当PE+PF取最小值时，BP的长为．24．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形（1）概念理解①根据上述定义举一个等补四边形的例子：；②如图1，四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，求证：四边形ABCD是等补四边形．（2）性质探究：③小明在探究时发现，由于等补四边形有一组对角互补，可得等补四边形的四个顶点共圆，如图2，等补四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，则∠ACD＝∠ACB（填“＞”“＜”或“＝“）；④若将两条相等的邻边叫做等补四边形的“等边”，等边所夹的角叫做“等边角”，它所对的角叫做“等边补角”连接它们顶点的对角线叫做“等补对角线”，请用语言表述③中结论：等补四边形的“等补对角线”平分“等边补角”（3）问题解决在等补四边形ABCD中，AB＝BC＝2，等边角∠ABC＝120°，等补对角线BD与等边垂直，求CD的长．【分析】（1）①正方形是等补四边形．②如图1中，作DM⊥BA于M，DN⊥BC于N，则∠DMA＝∠DNC＝90°，证明△ADM ≌△CDN（AAS），推出AD＝DC，即可解决问题．（2）③根据弦，弧，圆周角之间的关系解决问题即可．④根据“等补对角线”，“等边补角”等定义，利用③中结论即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当BD⊥AB时．②如图3﹣2中，当BD⊥BC时，分别求解即可．【解答】（1）①解：正方形是等补四边形．②证明：如图1中，作DM⊥BA于M，DN⊥BC于N，则∠DMA＝∠DNC＝90°，∵∠A+∠BCD＝180°，∠BCD+∠DCN＝180°，∴∠A＝∠DCN，∵BD平分∠ABC，∴DM＝DN，在△ADM和△CDN中，，∴△ADM≌△CDN（AAS），∴AD＝DC，∴四边形ABCD是等补四边形．（2）③解：如图2中，∵AD＝AB，∴＝，∴∠ACD＝∠ACB．故答案为＝．④解：由题意，等补四边形的“等补对角线”平分“等边补角”．故答案为等补四边形的“等补对角线”平分“等边补角”．（3）解：如图3﹣1中，当BD⊥AB时，∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC＝120°，∴∠ADC＝60°，∵∠ABD＝90°，∴AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠DBC＝30°，∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠BAC＝∠ACB＝30°，∴∠BAC＝∠BDC＝30°，∴∠CBD＝∠CDB，∴DC＝BC＝2．如图3﹣2中，当BD⊥BC时，∵∠DBC＝90°，∴CD是⊙O的直径，∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠BAC＝∠ACB＝30°，∴∠BAC＝∠BDC＝30°，∴CD＝2BC＝4，综上所述，满足条件的CD的值为2或4．。
2020年江西省中等学校中考数学模拟试卷(三)---附答案解析
． ÷ ＝ B a8 a4 a2
．（ ） ＝ D
a3 2
a9
3．（3 分）如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，则它的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3 分）若关于 x 的不等式组
的解集是 x＞a，则 a 的取值范围是（ ）
A．a＜2
B．a≤2
C．a＞2
D．a≥2
5．（3 分）如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把△ADE 绕点 A 顺时针旋转 °90
19．（8 分）如图，点 、A B 是双曲线 y＝ （k 为正整数）与直线 AB 的交点，且 、A B 两
点的横坐标是关于 x 的方程：x2+kx﹣k﹣1＝0 的两根
（1）填表：
K
1
2
3 … （n n 为正
整数）
A 点的横坐 标
B 点的横坐 标
（2）当 k＝n（n 为正整数）时，试求直线 AB 的解析式（用含 n 的式子表示）； （3）当 k＝1、2、3、…n 时，△ABO 的面积，依次记为 、 、 … ，当 S1 S2 S3 Sn ＝Sn 40 时， 求双曲线 y＝ 的解析式．
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12．（3 分）矩形 ABCD 中，AB＝20，BC＝6，E 为 AB 边的中点，P 为 CD 边上的点，且△ AEP 是腰长为 10 的等腰三角形，则线段 BP 的长为
三、（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分） 13．（6 分）先化简，再求值：（x﹣2）（x+2）﹣x（x﹣1），其中 x＝3． 14．（6 分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB 平分∠ADC，过点 B 作 ∥ BM CD 交 AD 于 M．连
2020年江西省中考数学试卷(有详细解析)
2020年江西省中考数学试卷班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.−3的倒数是()A. 3B. −3C. −13D. 132.下列计算正确的是()A. a3+a2=a5B. a3−a2=aC. a3⋅a2=a6D. a3÷a2=a3.教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报．经初步统计，2019年全国教育经费总投入为50175亿元，比上年增长8.74%.将50175亿用科学记数法表示为()A. 5.0175×1011B. 5.0175×1012C. 0.50175×1013D. 0.50175×10144.如图，∠1=∠2=65°，∠3=35°，则下列结论错误的是()A. AB//CDB. ∠B=30°C. ∠C+∠2=∠EFCD. CG>FG5.如图所示，正方体的展开图为()A.B.C.D.6.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2−2x−3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O′A′B′，且点O′，A′落在抛物线的对称轴上，点B′落在抛物线上，则直线A′B′的表达式为()A. y=xB. y=x+1C. y=x+12D. y=x+2二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7.计算：(a−1)2=______．8.若关于x的一元二次方程x2−kx−2=0的一个根为x=1，则这个一元二次方程的另一个根为______．9.公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号(如图所示)，一个钉头形代表1，一个尖头形代表10.在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位．根据符号记数的方法，如图符号表示一个两位数，则这个两位数是______．10.祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这100数字0123456789频数881211108981214那么，圆周率的小数点后位数字的众数为．11.如图，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC=49°，则∠BAE的度数为______．12.矩形纸片ABCD，长AD=8cm，宽AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A′处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA′，EA′，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为______厘米．三、解答题（本大题共11小题，共84.0分）13.(1)计算：(1−√3)0−|−2|+(12)−2；(2)解不等式组：{3x−2≥1,5−x>2.14.先化简，再求值：(2xx2−1−1x−1)÷xx+1，其中x=√2．15.某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．(1)若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为______；(2)若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．16.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹)．(1)在图1中，作△ABC关于点O对称的△A′B′C′；(2)在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′．17.放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．(1)求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；(2)小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．18.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，顶点A，B都在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB=2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD=45°，OA=2√2．(1)求反比例函数的解析式；(2)求∠EOD的度数．19.为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学．该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评．根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图(图1)．成绩30≤x<4040≤x<5050≤x<6060≤x<7070≤x<8080≤x<9090≤x≤100人数133815m6根据以上图表信息，完成下列问题：(1)m=______；(2)请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析(用一句话概述)；(3)某同学第二次测试数学成绩为78分．这次测试中，分数高于78分的至少有______人，至多有______人；(4)请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀(80分及以上)的人数．20.如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB=120mm，支撑板长CD=80mm，底座长DE= 90mm.托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB=40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．(结果保留小数点后一位)(1)若∠DCB=80°，∠CDE=60°，求点A到直线DE的距离；(2)为了观看舒适，在(1)的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．(参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，√3≈1.732)21.已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．(1)如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN=80°，求∠ACB的度数；(2)如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；(3)若PC交⊙O于点D，求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示)．22.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应x…−2−1012…y…m0−3n−3…(2)求抛物线的表达式及m，n的值；(3)请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y=m(m>−2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系______．23.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究(1)如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1=∠2=∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为______；推广验证(2)如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用(3)如图4，在五边形ABCDE中，∠A=∠E=∠C=105°，∠ABC=90°，AB=2√3，DE=2，点P在AE上，∠ABP=30°，PE=√2，求五边形ABCDE的面积．答案和解析1.C．解：−3的倒数是−132.D解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、应为a3⋅a2=a5，故本选项错误；D、a3÷a2=a，正确．3.B解：50175亿=5017500000000=5.0175×1012．4.C解：∵∠1=∠2=65°，∴AB//CD，故A选项正确，又∵∠3=35°，∴∠C=65°−35°=30°，∴∠B=∠C=30°，故B选项正确，∵∠EFC是△CGF的外角，∴∠EFC=∠C+∠3，故C选项错误，∵∠3>∠C，∴CG>FG，故D选项正确，5.A解：根据“相间、Z端是对面”可得选项B不符合题意；再根据“上面∧”符号开口，可以判断选项A符合题意；选项C、D不符合题意；6.B解：如图，∵抛物线y=x2−2x−3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，令y=0，解得x=−1或3，令x=0，求得y=−3，∴A(3,0)，B(0,−3)，=1，∵抛物线y=x2−2x−3的对称轴为直线x=−−22×1∴A′的横坐标为1，设A′(1,n)，则B′(4,n +3)， ∵点B′落在抛物线上，∴n +3=16−8−3，解得n =2， ∴A′(1,2)，B′(4,5)，设直线A′B′的表达式为y =kx +b ， ∴{k +b =24k +b =5，解得{k =1b =1∴直线A′B′的表达式为y =x +1，7. a 2−2a +1解：(a −1)2=a 2−2a +1． 8. −2解：∵a =1，b =−k ，c =−2， ∴x 1⋅x 2=c a=−2．∵关于x 的一元二次方程x 2−kx −2=0的一个根为x =1， ∴另一个根为−2÷1=−2． 9. 25解：由题意可得，表示25． 故答案为：25． 10. 9解：圆周率的小数点后100位数字的众数为9， 故答案为：9．11. 82°解：∵AC 平分∠DCB ， ∴∠BCA =∠DCA ， ∵CB =CD ， ∵AC =AC ，∴△ABC≌△ADC(SAS)， ∴∠B =∠D ，∴∠B +∠ACB =∠D +∠ACD ， ∵∠CAE =∠D +∠ACD =49°， ∴∠B +∠ACB =49°，∴∠BAE =180°−∠B −∠ACB −∠CAE =82°，12.4√33厘米或4√3厘米或8−4√3解：①当∠ABE=30°时，AE=AB×tan30°=4√33；②当∠AEB=30°时，AE=ABtan30∘=√33=4√3；③∠ABE=15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD于F，如下图所示，设AE=x，则EA′=x，EF=xsin60∘=2√3x3，∵AF=AE+EF=ABtan30°=4√33，∴x+2√3x3=4√33，∴x=8−4√3，∴AE=8−4√3．13.解：(1)原式=1−2+4=3；(2)解不等式3x−2≥1，得：x≥1，解不等式5−x>2，得：x<3，则不等式组的解集为1≤x<3．14.解：原式=[2x(x+1)(x−1)−x+1(x+1)(x−1)]÷xx+1=x−1(x+1)(x−1)⋅x+1x=1x，当x=√2时，原式=√2=√22．15.14解：(1)共有4种可能出现的结果，抽到小艺的只有1种， 因此恰好抽到小艺的概率为14， 故答案为：14；(2)用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有12种可能出现的结果，其中都是八年级，即抽到小志、小晴的有2种， ∴P (小志、小晴)=212=16． 16. 解：(1)如图1中，△A′B′C′即为所求．(2)如图2中，△AB′C′即为所求．17. 解：(1)设笔记本的单价为x 元，单独购买一支笔芯的价格为y 元，依题意，得：{2x +3y =19x +7y =26， 解得：{x =5y =3． 答：笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元．(2)小贤和小艺带的总钱数为19+2+26=47(元)．两人合在一起购买所需费用为5×(2+1)+(3−0.5)×10=40(元)．∵47−40=7(元)，3×2=6(元)，7>6，∴他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．18. 解：(1)∵直线AC ⊥x 轴，垂足为D ，∠AOD =45°，∴△AOD 是等腰直角三角形，∵OA =2√2，∴OD =AD =2，∴A(2,2)，∵顶点A 在反比例函数y =kx (x >0)的图象上，∴k=2×2=4，∴反比例函数的解析式为y=4；x(2)∵AB=2OA，点E恰为AB的中点，∴OA=AE，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴CE=AE=BE，∴∠AOE=∠AEO，∠ECB=∠EBC，∵∠AEO=∠ECB+∠EBC=2∠EBC，∵BC//x轴，∴∠EOD=∠ECB，∴∠AOE=2∠EOD，∵∠AOD=45°，∴∠EOD=15°．19.14 20 34解：(1)m=(2+8+10+15+10+4+1)−(1+3+3+8+15+6)=14，故答案为：14；(2)折线图如下图所示，复学后，学生的成绩总体上有了明显的提升；(3)某同学第二次测试数学成绩为78分．这次测试中，分数高于78分的至少有14+6=20(人)，至多有14+6+(15−1)=34(人)，故答案为：20，34；=320(人)，(4)800×14+61+3+3+8+15+14+6答：复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀(80分及以上)的有320人．20.解：(1)如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，由题意可知，AC=80，CD=80，∠DCB=80°，∠CDE=60°，=40√3(mm)=在Rt△CDN中，CN=CD⋅sin∠CDE=80×√32FM，∠DCN=90°−60°=30°，又∵∠DCB=80°，∴∠BCN=80°−30°=50°，∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴AM//CN，∴∠A=∠BCN=50°，∴∠ACF=90°−50°=40°，在Rt△AFC中，AF=AC⋅sin40°=80×0.643≈51.44，∴AM=AF+FM=51.44+40√3≈120.7(mm)，答：点A到直线DE的距离约为120.7mm；(2)旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB=80°+10°=90°，在Rt△BCD中，CD=80，BC=40，∴tan∠D=BCCD =4080=0.500，∴∠D=26.6°，因此旋转的角度为：60°−26.6°=33.4°，答：CD旋转的角度约为33.4°．21.解：(1)如图1，连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB=360°，∴∠APB+∠AOB=180°，∵∠APB=80°，∴∠AOB=100°，∴∠ACB=50°；(2)如图2，当∠APB=60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由(1)可知，∠AOB+∠APB=180°，∵∠APB=60°，∴∠AOB =120°，∴∠ACB =60°=∠APB ，∵点C 运动到PC 距离最大，∴PC 经过圆心，∵PA ，PB 为⊙O 的切线，∴PA =PB ，∠APC =∠BPC =30°，又∵PC =PC ，∴△APC≌△BPC(SAS)，∴∠ACP =∠BCP =30°，AC =BC ，∴∠APC =∠ACP =30°，∴AP =AC ，∴AP =AC =PB =BC ，∴四边形APBC 是菱形；(3)∵⊙O 的半径为r ，∴OA =r ，OP =2r ，∴AP =√3r ，PD =r ，∵∠AOP =90°−∠APO =60°，∴AD ⏜=60°π⋅r 180∘=π3r ， ∴阴影部分的周长=PA +PD +AD ⏜=√3r +r +π3r =(√3+1+π3)r ．22. 上 直线x =1 A 1A 2=A 3A 4解：(1)根据表格信息，可知抛物线开口向上，对称轴为直线x =1； 故答案为：上，直线x =1；(2)把(−1,0)，(0,−3)，(2,−3)代入y =ax 2+bx +c ，得： {a −b +c =0c =−34a +2b +c =−3，解得：{a =1b =−2c =−3，∴抛物线解析式为y =x 2−2x −3，当x =−2时，m =4+4−3=5；当x =1时，n =1−2−3=−4；(3)画出抛物线图象，如图1所示，描出P′的轨迹，是一条抛物线，如备用图中的红线所示，(4)根据题意及(3)中图象可得：A1A2=A3A4．故答案为：A1A2=A3A4．23.S1+S2=S3解：类比探究(1)∵∠1=∠3，∠D=∠F=90°，∴△ADB∽△BFC，∴S△ADBS△BFC =(ABBC)2，同理可得：S△AECS△BFC =(ACBC)2，∵AB2+AC2=BC2，∴S1S3+S2S3=(ABBC)2+(ACBC)2=AB2+AC2BC2=1，∴S1+S2=S3，故答案为：S1+S2=S3．(2)结论仍然成立，理由如下：∵∠1=∠3，∠D=∠F，∴△ADB∽△BFC，∴S△ADBS△BFC =(ABBC)2，同理可得：S△AECS△BFC =(ACBC)2，∵AB2+AC2=BC2，∴S1S3+S2S3=(ABBC)2+(ACBC)2=AB2+AC2BC2=1，∴S1+S2=S3，(3)过点A作AH⊥BP于H，连接PD，BD，∵∠ABH=30°，AB=2√3，∴AH=√3，BH=3，∠BAH=60°，∵∠BAP=105°，∴∠HAP=45°，∵AH⊥BP，∴∠HAP=∠APH=45°，∴PH=AH=√3，∴AP=√6，BP=BH+PH=3+√3，∴S△ABP=BP⋅AH2=(3+√3)⋅√32=3√3+32，∵PE=√2，ED=2，AP=√6，AB=2√3，∴PEAP =√2√6=√33，DEAB=2√3=√33，∴PEAP =EDAB，且∠E=∠BAP=105°，∴△ABP∽△EDP，∴∠EPD=∠APB=45°，PDBP =PEAP=√33，∴∠BPD=90°，PD=1+√3，∴S△BPD=BP⋅PD2=(3+√3)⋅(1+√3)2=2√3+3，∵△ABP∽△EDP，∴S△PDES△ABP =(√33)2=13，∴S△PDE=13×3√3+32=√3+12∵tan∠PBD=PDBP =√33，∴∠PBD=30°，∴∠CBD=∠ABC−∠ABP−∠CBD=30°，∴∠ABP=∠PDE=∠CBD，又∵∠A=∠E=∠C=105°，∴△ABP∽△EDP∽△CBD，由(2)的结论可得：S△BCD=S△ABP+S△DPE=3√3+32+√3+12=2√3+2，∴五边形ABCDE的面积=3√3+32+√3+12+2√3+2+2√3+3=6√3+7．。
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2020江西中考数学试题分析2020年江西中考数学试题以考查数学思维为核心，同时体现了对基础知识的全面考查，并且对初中数学知识的整体性和知识之间的内在联系的安排布局十分恰当到位。
试题呈现形成巧妙新颖，能有效地呈现考生的思维过程和思维能力，同时关注了数学知识形成与发展过程及灵活运用的考查，关注了数学的本质和思想方法的考查，关注了如何用数学眼光观察世界、分析身边事物的发展与变化。
整卷还易于考生入手，梯度分明，综合适度，给不同层次的学生留有充分发挥的空间，很好地实现了对数学学科核心素养的考查。
整体情况分析1.关注四基体现基础《课程标准(2011版)》指出:“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
” 我省今年的试题关注了上述“四基”,充分体现了全面考查基础知识的重要性，真正扭转多年来中考数学试题难度居高不下的局面。
具体体现如下：T1-T11，T13-T17,及T21,就是最后两题入手也比较容易。
当然这些题目的设计体现基础的同时也兼顾了对知识掌握的整体性要求，并没把知识点逐个割裂开来，而是存在知识之间的联系性，能有效地评价考生对“四基”的掌握情况。
2.根植课本着眼提高以教材上的素材（或题）设计考题，是有利于平时课堂教学，有利于增强广大师生重视教材，以教材为本的意识；有利于提高学生对教材的分析、理解能力。
今年中考试题中除12道小题外，大题T16，T17，T18，T21，T23均有课本题影子。
如：①试卷中的T16与人教版九年级上册P62第4题有着高度相似，把绕O逆时针旋转180°,改为“作△ABC关于O点对称的△A＇B＇C＇”,把△ABC绕O逆时针旋转90°,改为“作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△A＇B＇C＇”。
②试卷中的T17与人教版七年级下册P102第8题有着异曲同工之处，两题的思维过程基本一致，所考查的数学内容也基本相同，也就其本质不变，背景或载体进行了切换。
③试卷中的T18来源于北师大版九年级上册P156“读一读”，在课本的基础上，作了特殊化处理，设置相关条件，获得特殊情况下的相同结论。
④试卷中的T21是以人教版九年级教材P122第1题第（3）小题为原型改编而成的，它改换了思维角度，延伸拓展形成了一个题串或题组，题中三问可独立成题，三个小题都小而活，既流畅又简洁，而且把圆的性质、直线与圆的位置关系、圆的计算串起来形成一个“流水”题或“接龙”题，这种题型在江西是首次出现。
从教材中挖掘素材编制考题绝对是一个好的导向，它能发挥由教材促进学生思维发展的功能，同时丰富的试题背景，给学生提供多角度思考问题的机会，展示自我的舞台。
试题来源于教材，站位又高于教材，是广大师生深耕教材的动力。
3. 注重实践突出应用实践、操作、应用型试题是培养学生的空间观念(或空间想象能力)、动手能力、建模能力的主阵地，当然也是我省历年中考试卷中的重头戏，且年年翻新见长，在今年试卷中更是耳目一新。
下面将从两个方面给予剖析：（1）所谓实践与操作问题就是经平移、旋转、剪、拼等实际操作下的图形变化问题，它常与猜想、探索、证明数学活动和谐地结合在一起，这些情境给试题增添了亮度，赋予了新的生命。
对于涉及实践与操作情景的试题在2020年江西的中考试卷中有5处(T5，T6，T12，T16，T20),并在思维角度和呈现形式等方面有新的发展。
如：T5是一道常见的正方体展开图的识别题，解答时需要较强的空间想象力，同时还要理解操作过程，观察其变化才能准确地作出选择；T12既是一道多解题又是一道折叠操作题，具有一定的开放性和探究性。
当图中存在30°角时，根据对折的图形关于折痕对称，可观察得出∠ABE或∠EBA′，∠AEB或∠BEA′，∠A′ED有可能为30°，并且可以排除当点A′在矩形ABCD外时，∠A′BC=30°，即是∠AEB为30°，这三种情况三个解。
当∠DEA′=30°时，要求AE长的思维度较大，不易获解。
操作题是数形结合思想的拓展和深化，手脑结合的形式是最基本的、最重要的科学研究形式，它有助于学生创新能力的培养和实践能力的提高。
学生通过操作、实践，变被动为主动，充分发挥自已的聪明才干，这类考题由于它符合新课程改革的理念而成为中考命题的新视点，而且也是大家普遍欢迎的新题型。
(2)现实生活中蕴含着大量与数量、实物图形有关的问题，通过建立数学模型用数学的方法予以解决，体现了数学的应用价值。
今年中考数学试卷中的应用性问题选材范围有所扩大，实际情景鲜活而又真实，主要有如下几个方面：①将社会主义核心价值观和中华优秀传统文化融入到试题中，发挥试题的育人功能，如：T3，T9，T10,其中第3题是以2019年全国教育经费执行情况为背景,考查了带有单位的大数据的科学记数法和学生估算、数感的能力。
让学生在解决上述问题的同时了解我国教育、文化发展的现状，感悟中华民族的伟大智慧。
②以学生经济生活实例为载体考查数量关系问题，如：T17。
③以学生生活或集体活动和具有时代感的实际情境为背景考查概率和统计问题，如：T15、T19。
④根据实物建立几何模型，应用相应的几何性质解决相关问题，如：T20。
这些具有应价值、活而不难的试题，有效地考查了学生的知识运用和实践及用数据说理的能力，同时也是我省初中数学教学的一个导向。
试题亮点评析有人说今年的中考试题简单、平淡，亮点不多，但其实认真品读这份试题,亮点也不少。
1.图形应用问题亮点突出第20题是一道实物应用题，题中图1是实物，图2是由图1创建的几何模型，此题的最大亮点是克服了情景难理解，而数学含量少，单调无味的通病，而且特别是在没有直角三角形的图形中转化成直角三角形问题上，有着非常好的思维角度，其情景很有亲和力，也贴近学生生活。
因此T20应是上乘之作。
2.二次函数题涉及函数最本质的东西及内涵作为一份中考试题，最引人注目的地方是最后三个大题。
今年第22题是二次函数综合问题，首先仔细观察题中表格，由表格中x与y 的对应值可发现对称轴方程;由对称轴发现抛物线与x轴的另一共同点，由此求出抛物线的解析式，进而求出m,n的值；虽然这种考查形式课本或辅导书上都有，但在我省中考试卷上并不多见，用这个角度去考查二次函数最本质的东西,一是增加试题思维度,二是揭示表中x 与y的对应值就是图象上点的坐标的内涵，也是一个亮点。
第三问是探究线段PO(P为抛物线上的动点，O为原点)中点P＇的轨迹，它有效地考查了函数知识形成与发展的过程及灵活运用的能力。
这的确是我省中考试题中一个前所未有的创举，当然也是本卷最大的亮点；同时突出考查了直观思维、从特殊到一般、数形结合等数学思想方法。
3.以特殊——一般——总结——应用的模式获得探究经验2020年中考数学试题延续了近年试题“稳中求变，变中求新”的特点，其中第23题基本保留往年几何综合题的风格，其创新或亮点是以教材中的问题为生长点，改变思维角度，继而进行适度拓展。
本题采用了从特殊到一般再总结再应用的探究模式，这种呈现模式是备受广大师生青睐的，因为它符合“课标”中所要提倡的探究问题的方法和思想，学生由此易获得探究问题的经验与方法。
试题易错点分析作为一份试题，命题者在有意无意之中，必然会设置一些考生容易出错的地方，今年卷中个人觉得主要有两处：（1）选择题第5题属于操作题，除B选项易排除外，A，C，D选项相互干扰，极易出错。
首先要看出带“＜”“O”的两正方形是边重合的，再看“＜”尖头方向是否符合几何体中的实际情况。
这微妙的细节会导致选择时举棋不定，浪费时间，一不小心就会选错。
（2）今年的统计题（T19）有着较强的时代感，以2020年的疫情为背景，利用复课后二次测评成绩的变化而设定的统计问题，题目是鲜活的，有利于增强学生应用意识，题目难度不大，但思考必须缜密，在第三问中，分数高于78分至多有多少人，最易错误地回答是35人，由于78分落在70≤x＜80之中，但不高于78分，故应是35-1=34人。
备考策略从上述对2020年的中考数学试题分析可知：命题始终是以能力立意和创设新情境为主，而且特别注重能力和素养方面的考查。
从内容上看，立足于课本，应用于现实，但题型会有所变化，不管题型怎样变化，试题命制仍然是以“课标”为指导思想，以“教材”为依据，突出对基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的考查。
因此，2021年的备考，可从以下两块着手：（一）新课学习时不能认为2020年考得不难而放松对新课的学习，要立足于课本，对课本上的内容精耕细作，吃透于心！（二）总复习时1.夯实基础，追求对数学内容的本质理解中考复习一般分为两个阶段。
第一阶段是老师带领学生进行知识梳理，是对基础知识的复习和基本技能的培养。
第二阶段一般是专题复习，主要任务是总结解题经验，形成应考能力。
在第一阶段中，第一要务就是夯实基础。
在复习时要以数学知识的主干为框架，将各知识点串联起来，前后贯通，形成一个知识网络，将重点放在知识的内在联系上，既要挖掘知识纵向联系，又要注意横向联系，以此培养自己分析问题和解决问题的能力。
2.锻炼思维、追求对数学素养的有效培养（1）对应用性问题进行数学建模训练《标准》强调“引导学生学会建立数学模型，理论联系实际，形成用数学的意识”，由此各地的中考试题中，对以实际问题为背景的试题随处可见，并且涉及面较广，所用的数学知识不仅是列方程解应用题、统计与概率、解三角形、函数等传统的实践性较强的内容，有些问题还与几何图形的性质，其他学科的知识联系在一起。
因此我们在复习过程中可以以《中考新评价·数学》为范本，同时做到：①关注身边的数学，学会逢事从数学的角度，用数学的眼光观察事物，阐释现象、分析问题、解决问题，培养应用意识，以便提高自己的数学素养。
②数学建模是应用性问题复习的关键，首先对基本的数学模型（函数模型、方程模型、几何模型、不等式模型）要熟悉到家，在对应用问题分析时，努力从背景材料中提炼数学问题，把实际问题转化为数学问题。
③多训练些贴近生活、贴近实际、情境新颖、时代感强的数学应用性问题，解答时静心阅读，仔细审题，捕捉信息，理清关系建立模型，最终解决问题。
（2）对数学思想方法进行有效复习数学是思维性的学科，大家想要提高自己的素养和能力，掌握数学思想方法是一个重要方面，因此备考中要加强数学的思维训练，只有领悟了数学的思想方法，才能达到对数学知识的融会贯通，只有掌握了数学的思想方法，才算把握数学知识的核心。
3.勇于挑战，追求对数学能力的全面提高第二阶段的复习主要是进行专题复习（《中考新评价·数学》最后一章）和模拟测试训练，目标是努力提高综合运用知识解决问题的能力，比第一阶段的要求高。