大一上学期高数期末考试题

大一上学期高数期末考试卷
一、单项选择题 本大题有 小题 每小题 分 共 分 )(
0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f
（ ）(0)2f '= （ ）(0)1f '=（ ）(0)0f '= （ ）()f x 不可导
　）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=
x x x x x
x βα
（ ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （ ）()()x x αβ与是等价无穷小；
（ ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （ ）()x β是比()x α高阶的无穷小 若
()()()02x
F x t x f t dt
=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）
（ ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （ ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；
（ ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （ ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

)
(
)( , )(2)( )(1
0=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设
（ ）22x （ ）2
2
2x +（ ）1x - （ ）2x +
二、填空题（本大题有 小题，每小题 分，共 分）
=
+→x
x x sin 2
)
31(lim
,)(cos 的一个原函数是已知
x f x x =⋅⎰x x x
x f d cos )(则
lim
(cos cos cos )→∞-+++=2
2
2
21
n n n
n
n
n π
π
ππ
=
-+⎰
2
1
2
1
2
211
arcsin －
dx x
x x
三、解答题（本大题有 小题，每小题 分，共 分）
设函数=()y y x 由方程
sin()1x y
e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
d )1(177
x x x x ⎰+-求
．
　求，， 设⎰--⎪⎩⎪
⎨⎧≤<-≤=1 32
)(1020)(dx x f x x x x xe x f x
设函数)(x f 连续，
=⎰1
()()g x f xt dt
，且→=0()lim x f x A x ，A 为常数 求'()g x 并讨论
'()g x 在=0x 处的连续性
求微分方程2ln xy y x x '+=满足
=-
1
(1)9y 的解
四、 解答题（本大题 分）
已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点
M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的 倍
与该点纵坐标之和，求此曲线方程 五、解答题（本大题 分）
过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及 轴围成平面图形
求 的面积 ； 求 绕直线 旋转一周所得旋转体的体积
六、证明题（本大题有 小题，每小题 分，共 分）
设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，
1
()()≥⎰⎰q
f x d x q f x dx
设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0
)(0
=⎰
π
x d x f ，0
cos )(0
=⎰
π
dx x x f 证
明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设
⎰=
x
dx
x f x F 0
)()(）
解答
一、单项选择题 本大题有 小题 每小题 分 共 分 、 、 、 、
二、填空题（本大题有 小题，每小题 分，共 分）
6
e c x x +2
)cos (21 2π
3
π
三、解答题（本大题有 小题，每小题 分，共 分）
解：方程两边求导
(1)cos()()0x y
e y xy xy y +''+++=
cos()
()cos()x y x y
e y xy y x e x xy +++'=-+
0,0x y ==，(0)1y '=-
解：7
67u x x dx du ==
1(1)112()7(1)71u du du
u u u u -=
=-++⎰⎰原式
1
(ln ||2ln |1|)7u u c =
-++ 7712
ln ||ln |1|77x x C =-++
解：1
03
3
()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰
3
()x
xd e --=-+⎰⎰
00
2
32
cos (1sin )x x
xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰
令
321
4
e π
=
--
解：由(0)0f =，知(0)0g =。

===
⎰⎰1
()()()x
xt u
f u du
g x f xt dt x
(0)x ≠
02
()()()(0)
x
xf x f u du
g x x x
-'=
≠⎰
2
0()()A
(0)lim lim
22x
x x f u du
f x
g x x →→'===⎰
02
()()lim ()lim
22x
x x xf x f u du
A A
g x A x
→→-'==-
=
⎰，'()g x 在=0x 处连续。

解：2
ln dy y x
dx x +=
2
2
(ln )
dx dx x x
y e e xdx C -⎰⎰=+⎰
2
11
ln 39x x x Cx -=
-+
1
(1),0
9y C =-=，
11ln 39y x x x =- 四、 解答题（本大题 分）
解：由已知且
2d x
y y x y
'=+⎰，
将此方程关于x 求导得y y y '+=''2
特征方程：022
=--r r 解出特征根：.2,121=-=r r
其通解为 x
x e C e C y 221+=-
代入初始条件y y ()()001='=，得
31
,3221==
C C
故所求曲线方程为：
x
x e e y 23132+=
-
五、解答题（本大题 分）
解：（ ）根据题意，先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程：
)(1
ln 00
0x x x x y -=
-
由于切线过原点，解出e x =0，从而切线方程为：
x e y 1=
则平面图形面积
⎰-=
-=1
121
)(e dy ey e A y
（ ）三角形绕直线 一周所得圆锥体体积记为 ，则
2131
e V π=
曲线x y ln =与 轴及直线 所围成的图形绕直线 一周所得旋转体体积为
⎰-=1
22)(dy
e e V y π
绕直线 旋转一周所得旋转体的体积
)
3125(6
221+-=
-=e e V V V π
六、证明题（本大题有 小题，每小题 分，共 分）
证明：1
()()q
f x d x q f x dx -⎰⎰1
()(()())
q
q
q
f x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰
1
(1)()()q
q
q f x d x q f x dx
=--⎰⎰
1212[0,][,1]
()()
12(1)()(1)()
0q q f f q q f q q f ξξξξξξ∈∈≥=
---≥
故有：
1
()()≥⎰⎰q
f x d x q f x dx
证毕。

证：构造辅助函数：
π
≤≤=⎰x dt t f x F x
0,)()(0。

其满足在],0[π上连续，在),0(π上可导。

)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F
由题设，有
⎰⎰⎰⋅+===π
π
π
π0
)(sin cos )()(cos cos )(0|dx
x F x x x F x xdF xdx x f ，
有⎰=π
sin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF
综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F 在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理，知存在
),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f。