数字信号处理(课堂PPT)

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平稳随机序列通过线性系统：
y(n) h(k)x(nk)
k
my E[y(n)] h(k)E[x(nk)]
k
ryy(m) rxx(ml) h*(k)h(l k)
l
k
rxx(m)vm
rxx(m)h*(m)*hm
P y y ( z ) P x x ( z ) H ( z ) H * z 1 * P y ye j P x xe jH e j2
q
q
H(z)B(z) A(z)
bkzk
kp0 akzk
(1kz1)
k1 p
(1kz1)
k0
k1
P x(xz)w 2H (z)H (z 1)
2 w
0
式中，ak, bk都是实数，a0=b0=1, 且|αk|＜1, |βk|＜1。
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rxx(m)
Z变换 Z反变换
谱分解
Pxx(z)
H(z)
P xx(z)w 2H (z)H (z1)
y(n)s ˆ(n) h(m )x(nm ) m e(n)s(n)y(n)
min Ee2(n)hopt(n)Ee2(n)min
min e2j hopt(n) j 15
正交性原理：
要使均方误差为最小，须满足
min hj
E e2(n)
E[|e(n) |2] 0 hj
hj h j
E［x (n-j)e* (n)］=0 j=0, 1, 2, …
➢ 分析：上式说明，均方误差达到最小值的充要条件是误差信 号与任一进入估计的输入信号正交，这就是通常所说的正交性 原理。
E[yop(n t )eo *p(n t )]0
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维纳—霍夫方程：
E x(nk) d*(n) h*(m )x*(nm ) 0
m 0
➢ 维纳-霍夫（Wiener－Hopf）方程：
N
x * (n )x (n m )
N 2 NBaidu Nhomakorabea 1 n N
〈x*(n)x(n+m)〉=rxx(m)=E［X*(n)X(n+m)］
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功率密度谱：
维纳–––辛钦定理（Wiener-Khinchin Theorem）
Pxx(ej) rxx(m)ejm
rxx(m )21 -Pxx(ej)ejmd
rxd (k) h(m)rxx (k m) h(k) rxx (k)
m
0 m M 1 FIR维纳滤波器
0 m
因果IIR 维纳滤波器
m 非因果IIR维纳滤波器
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FIR维纳滤波求解：
M 1
rx(d k) h (m )rx(xkm )h (k)rx(xk) k=0, 1, 2, …
Pxx()Pxx()
Pxx(ω)≥0
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随机序列数字特征的估计：
估计准则：无偏性、有效性、一致性
均值的估计：
mˆ x
1 N
N 1
xi
i0
方差的估计： ˆx2 N 1N n01(xnmˆx)2
自相关函数的估计：rˆxx(m )N1|m|N n| m 0|1x(n)x(nm )
rˆx' x(m)N 1N n| m 0|1x(n)x(nm)
m x(n)E[X(n)]N li m N 1iN 1x(n,i)
1N
x(n)lim
x(n)
N2N1nN
〈x(n)〉=mx=E［X(n)］
r x x(n ,m ) E [X * (n )X (m )] N li m N 1iN 1x * (n ,i)x (m ,i)
x * (n )x (n m ) lim1
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自相关函数及其性质：
对一个随机序列的统计描述，可以由这个序列的 自相关函数来高度概括。
对一平稳随机信号，只要知道它的自相关函数， 就等于知道了该随机信号的主要数字特征。
Dx2 Ex2nrxx(0);
mx2 rxx();
x2 Ex2nmx2 rxx(0)rxx()
3
D
2 x
(
m
)
rxx (m )
➢ 三种信号模型可以相互转化，而且都具有普遍适用性， 但 是对于同一时间序列用不同信号模型表示时，却有不同的效率。 这里说的效率, 指的是模型的系数愈少，效率愈高。
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谱分解定理：
如果功率谱Pxx(ejω)是平稳随机序列x(n)的有理谱，那么一定 存在一个零极点均在单位圆内的有理函数H(z),
满足
自相关函数、功率谱、时间序列信号模型三者之间关系
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第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
主要内容：
➢ FIR维纳滤波求解 ➢ 非因果IIR维纳滤波求解 ➢ 因果IIR维纳滤波求解 ➢ 维纳纯预测 ➢ 维纳一步线性预测 ➢ 卡尔曼滤波
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最佳滤波器：
s(n)
x(n)
y(n)
h(n)
v(n)
x(n)=s(n)+v(n)
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相关卷积定理：
卷积的相关函数等于相关函数的卷积
e(n)=a(n)*b(n) f(n)=c(n)*d(n) ref(m)=rac(m) * rbd(m)
ryy(m)= rxx(m)*v(m)=rxy(m)*h(-m) r h (m ) h (m ),r h (m ) h ( m )
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时间序列信号模型：
w(n)
H(z)
x(n)
ARMA模型 MA模型
q
H ( z)
B(z) A(z)
1 1
i1 p
bi zi ai zi
i1
H(z)B(z)
Pxx() w2
B(ej) 2 A(e j )
Pxx()w 2 B(ej)2
AR模型
H (z) 1 A(z)
2
Pxx() w2
1 A(ej)
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➢滤波器阶数： ➢ 对于IIR滤波器或者AR模型、ARMA模型，阶数是指p的 大小，如果用差分方程表示，则p就是差分方程的阶数。 ➢对于FIR滤波器或者MA模型的阶数，则是指q的大小，或 者说是它的长度减1。
m
2 x
m
covxx (m)
2 x
(m
)
m
rxx ( m ) 的特性
covxx (m) 的特性
rxx(m)rxx(m),covxx(m)covxx(m) rxy(m)ryx(m),covxy(m)covyx(m )
rxx(0)|rxx(m)|
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各态遍历性：
只要一个实现时间充分长的过程能够表现出各个实现的特 征，就可以用一个实现来表示总体的特性。
现代数字信号处理课程回顾
第一章 时域离散随机信号的分析 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 第三章 自适应数字滤波器 第四章 功率谱估计 第五章 时频分析
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第一章 时域离散随机信号的分析
主要内容：
➢ 平稳随机信号的统计描述 ➢ 随机序列数字特征的估计 ➢ 平稳随机序列通过线性系统 ➢ 时间序列信号模型