2018 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷

2018年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷

2018.4

本试卷分选择题和非选择题两部分，全卷共2页，满分200分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共80分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题8分，共80分．

1．已知集合 1,3,5,7,9A , 2,4,6,8B ,若 ,C a b a A b B ，则集合C 的所有元素之

和为 ▲ ．

2．在ABC 中，1sin ,23

A A

B ，则CA CB 的最小值为 ▲ ． 3．设()f x 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有(1)(4)1f x f x ，又当05x 时，2()log (7)f x x ，则(2018)f 的值为 ▲ ．

4．若sin sin 2sin3cos cos2cos31x x x x x x ,则x ▲ ．

5．已知函数())f x a R ，)()(1x f x f ，),2))((()(*1N n n x f f x f n n 若x

x f )(2018没有零点，则a 的取值范围是 ▲ ．

6．若对任意[1,1]x ,恒有22(,,)x ax b c a b c R 成立，则当c 取得最小值时,函数

()23()f x x a x b x c x R 的最小值为 ▲ ．

7．用 x 表示不大于x 的最大整数，方程[6][10][15]30x x x x 的最小正解为 ▲ ．

8．函数()sin sin(1)f x x x 的值域为 ▲ ．

9．已知平面向量2OA OB ,且2OA OB ，若[0,1]t ，则t AB AO (1)2

BO t BA 的最小值为 ▲ ．

10．已知函数2()(0)f x ax bx c a ,其中,,a b c 是整数，若()f x 在(0,1)上有两个不相等的零

点，则b 的最大值为 ▲ ．

第Ⅱ卷（非选择题，共120分）

二、解答题：本大题共5小题，共120分．

11．已知函数1()log 1a x f x bx

是奇函数（01a a 且 ）． （1）求b 的值及函数()f x 的定义域；

（2）是否存在实数a 使得()f x 的定义域为[,]m n ，值域为[1log ,1log ]a a n m ？若存在，

求出实数a 的取值范围；若不存在说明理由．

12．设函数2()cos cos (0)f x x x x ,且()y f x 的图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4 ．

（1）求 的值及函数()f x 的单调增区间；

（2）若 56

f ，求7sin(4)6 的值．

13．已知定义域为R 的函数()y f x 满足: 对任意的,x y R ,均有()()2()cos f x y f x y f y x ,且当[,)2

x p p 时，()0f x ． （1）求(0)f 的值；

（2）解方程(3)(2)f x f x ．

14．已知向量,a b 满足12,23a b ．

（1）求a b a b

的取值范围；

（2）若34a b ，求a b 的最大值．

15．已知函数()f x x a b ,,a b R ．

（1）当2b a 时，若)(x f 在区间[1,2]上的最大值为2,求实数a 取值范围；

（2）当1b 时，若存在实数m ,使得关于x 方程1()4

xf x m

在[2,2] 上有6个互不相同的解，求实数a 取值范围．