21.2.1直接开平方解一元二次方程
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x1 3, x2 5.
上面这种解法中，实质上 是把一个一元二次方程 “降次”，转化为两个一
元一次方程。
用开平方法解下列方程: (1)3x2－27=0; (2)(x＋1)2=4 (3)(2x－3)2=7
(1) x1 3, x2 3
(2) x1 1, x2 3
(3)
x1
3
2
7 , x2
3 2
列方程10 6x2 1500
由此可得 x2 25
x 5，
即 x1 5，x2 5
这种解法叫做什么? 直接开平方法
经检验，5和-5是方程的根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5dm.
2．推导求根公式
问题2 解方程 x2 = 25，依据是什么？ 解得 x1 = 5，x2 = - 5． 平方根的意义 请解下列方程： x2 = 3，2x2 - 8=0，x2 = 0，x2 = - 2… 这些方程有什么共同的特征？
(1). χ2=25
(2). χ2－900=0
解：（1） χ2=25
（2）移项，得χ2=900
直接开平方，得 χ=±5
直接开平方，得 χ=±30
∴ χ1=5，χ2=－5
∴χ1=30 χ2=－30
例1：用开平方法解方程 9x2=4
解：两边同除以9，得 利用开平方法，得
x2 4 9
x2 3
所以，原方程的根是
1.直接开平方法的理论根据是 平方根的定义
2.用直接开平方法可解形如χ2=a(a≥0)或 （χ－a）2=b（b≥0)类的一元二次方程。
3.方程χ2=a(a≥0)的解为：χ= a
方程（χ－a）2=b（b≥0)的解为：χ= a b
小结中的两类方程为什么要加条件：a≥0,b≥0呢？
小练习
1．解方程：3x2+27=0得（ ）. (A)x=±3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个
7
2、利用直接开平方法解下列方程：
（1）（χ+1）2－4=0 （2） 12（2－χ）2－9=0
解方程：（x + 3）= 5．
x2－10x+25=9 变形为
x2－10x+16=0 变 形 为
这种方 程怎样 解？
的形式．（ａ为非负常数）
填空：
（1）方程x2+x=0的根是 X1=0, x2=-；1
（2）x2－25=0的根是 X1=5, x2=。-5
直接开平方法 解一元二次方程
1．创设情境，导入新知
你会解哪些方程，如何解的？
二元、三元 一次方程组
一元二次方程
消元 一元一次方程
降次
Biblioteka Baidu
思考：如何解一元二次方程．
问题1
一桶油漆可刷的面积为1500dm² ，李林用这桶 油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的 全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为xdm，
一般地,对于形如x2=d(d≥0)的方程, 根据平方根的定义,可解得 这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
对于一元二次方程x2=d，如果d≥0，那么就可以用 开平方法求它的根。
当d>0时,方程有两个不相等的根：x1 d , x2 d
当d=0时,方程有两个相等的根： x1 x2 0
1、利用直接开平方法解下列方程:
对于方程(1),可以这样想:
∵ χ2=4
根据平方根的定义可知:χ是4的(平方根).
∴ χ= 4
即: χ=±2 这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元 二次方程的两个根。 ∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法叫直接开平方法。
x1
2 3
,
x2
2 3
.
例2：用开平方法解方程 3x2=-4
解：两边同除以3，得
x2 4 3
因为任何一个实数的平方根不可 能是负数，所以原方程没有实数根。
例3：用开平方法解方程 7x2+21=0
解：移项，得 7x2 21 两边同除以-7，得 x2 3
利用开平方法，得 x 3
所以，原方程的根是 x1 3, x2 3.
结构特征：方程可化成 x2 = p 的形式，
（当 p≥0 时）
平方根 的意义
降次
x p
2
x a 1.如果 x2 a(a 0) ，则 就叫做 的 平方根 。
2.如果 x2 a(a 0) ， 则x = a 。
x 3.如果x2 64，则 = 8 。
(1). χ2=4 (2). χ2－1=0
(1)方程x2=0.25的根是 x1=0.5, x2=-0.5 ； (2)方程2x2=18的根是 x1=3, x2=-3； (3)方程(x+1)2=1的根是 x1=0, x2=-2 .
例4：怎样解方程 (x+1)2=16 ?
解：利用开平方法，得 可得
所以，原方程的根是
x 1 4 x 1 4
或x 1 4
y
（__14_）_2
(
y
__14 _)2
它们之间有什么关系?
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方 法.
2.方程(x-1)2=4的根是( ).
(A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-2
填一填
(1) x2 2x __1_2 __ (x __1_)2
(2) x2 8x _4__2__ (x__4_)2
(3)
y2
5
y
（__52_）_2 _
(
y
5
__2 _)2
(4)
y2
1 2
上面这种解法中，实质上 是把一个一元二次方程 “降次”，转化为两个一
元一次方程。
用开平方法解下列方程: (1)3x2－27=0; (2)(x＋1)2=4 (3)(2x－3)2=7
(1) x1 3, x2 3
(2) x1 1, x2 3
(3)
x1
3
2
7 , x2
3 2
列方程10 6x2 1500
由此可得 x2 25
x 5，
即 x1 5，x2 5
这种解法叫做什么? 直接开平方法
经检验，5和-5是方程的根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5dm.
2．推导求根公式
问题2 解方程 x2 = 25，依据是什么？ 解得 x1 = 5，x2 = - 5． 平方根的意义 请解下列方程： x2 = 3，2x2 - 8=0，x2 = 0，x2 = - 2… 这些方程有什么共同的特征？
(1). χ2=25
(2). χ2－900=0
解：（1） χ2=25
（2）移项，得χ2=900
直接开平方，得 χ=±5
直接开平方，得 χ=±30
∴ χ1=5，χ2=－5
∴χ1=30 χ2=－30
例1：用开平方法解方程 9x2=4
解：两边同除以9，得 利用开平方法，得
x2 4 9
x2 3
所以，原方程的根是
1.直接开平方法的理论根据是 平方根的定义
2.用直接开平方法可解形如χ2=a(a≥0)或 （χ－a）2=b（b≥0)类的一元二次方程。
3.方程χ2=a(a≥0)的解为：χ= a
方程（χ－a）2=b（b≥0)的解为：χ= a b
小结中的两类方程为什么要加条件：a≥0,b≥0呢？
小练习
1．解方程：3x2+27=0得（ ）. (A)x=±3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个
7
2、利用直接开平方法解下列方程：
（1）（χ+1）2－4=0 （2） 12（2－χ）2－9=0
解方程：（x + 3）= 5．
x2－10x+25=9 变形为
x2－10x+16=0 变 形 为
这种方 程怎样 解？
的形式．（ａ为非负常数）
填空：
（1）方程x2+x=0的根是 X1=0, x2=-；1
（2）x2－25=0的根是 X1=5, x2=。-5
直接开平方法 解一元二次方程
1．创设情境，导入新知
你会解哪些方程，如何解的？
二元、三元 一次方程组
一元二次方程
消元 一元一次方程
降次
Biblioteka Baidu
思考：如何解一元二次方程．
问题1
一桶油漆可刷的面积为1500dm² ，李林用这桶 油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的 全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为xdm，
一般地,对于形如x2=d(d≥0)的方程, 根据平方根的定义,可解得 这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
对于一元二次方程x2=d，如果d≥0，那么就可以用 开平方法求它的根。
当d>0时,方程有两个不相等的根：x1 d , x2 d
当d=0时,方程有两个相等的根： x1 x2 0
1、利用直接开平方法解下列方程:
对于方程(1),可以这样想:
∵ χ2=4
根据平方根的定义可知:χ是4的(平方根).
∴ χ= 4
即: χ=±2 这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元 二次方程的两个根。 ∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法叫直接开平方法。
x1
2 3
,
x2
2 3
.
例2：用开平方法解方程 3x2=-4
解：两边同除以3，得
x2 4 3
因为任何一个实数的平方根不可 能是负数，所以原方程没有实数根。
例3：用开平方法解方程 7x2+21=0
解：移项，得 7x2 21 两边同除以-7，得 x2 3
利用开平方法，得 x 3
所以，原方程的根是 x1 3, x2 3.
结构特征：方程可化成 x2 = p 的形式，
（当 p≥0 时）
平方根 的意义
降次
x p
2
x a 1.如果 x2 a(a 0) ，则 就叫做 的 平方根 。
2.如果 x2 a(a 0) ， 则x = a 。
x 3.如果x2 64，则 = 8 。
(1). χ2=4 (2). χ2－1=0
(1)方程x2=0.25的根是 x1=0.5, x2=-0.5 ； (2)方程2x2=18的根是 x1=3, x2=-3； (3)方程(x+1)2=1的根是 x1=0, x2=-2 .
例4：怎样解方程 (x+1)2=16 ?
解：利用开平方法，得 可得
所以，原方程的根是
x 1 4 x 1 4
或x 1 4
y
（__14_）_2
(
y
__14 _)2
它们之间有什么关系?
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方 法.
2.方程(x-1)2=4的根是( ).
(A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-2
填一填
(1) x2 2x __1_2 __ (x __1_)2
(2) x2 8x _4__2__ (x__4_)2
(3)
y2
5
y
（__52_）_2 _
(
y
5
__2 _)2
(4)
y2
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