第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛附答案
第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛9年级B卷附答案
---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得一份试卷。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。
3. 请将答案写在本卷上。
考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数，请化至最简。
九年级地方晋级赛复赛B 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分）1．将4.31×10-5写成小数的形式，则其小数点后第四位数字是（ ） A ．0 B ．1 C ．3 D ．42．如图，在方格纸中选择标有序号①②③④的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成 的新图形为中心对称图形，该小正方形的序号是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④3．如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（－1，0）．以点C 为位 似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2 倍．设点A ′的对应点A 的纵坐标是1.5，则点A ′的纵坐标是（ ） A ．3 B ．－3 C ．－4 D ．4第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 4．如图，已知∠MON =60°，OP 是∠MON 的角平分线，点A 是OP 上一点，过点A 作ON 的 平行线交OM 于点B ，AB =4．则直线AB 与ON 之间的距离是（ ）A ．3B ．2C ．32D ．45．如图，圆O 为△ABC 的外接圆，其中点D 在弧AC 上，且OD ⊥AC ，若∠A =36°，∠C = 60°，则∠BOD 的度数为（ ）A ．132°B ．144°C ．156°D ．162° 6．已知122432+--=--+x Bx A x x x ，其中A 、B 为常数，则4A －B 的值为（ ）A ．7B ．9C ．13D ．57．如图，直线y 1=kx +b 过点A （0，2），且与直线y 2=mx 交于点P （1，m ），则不等式组 mx ＞kx +b ＞mx －2的解集是（ ）A ．x ＞1B ．0＜x ＜2C ．0＜x ＜1D ．1＜x ＜2 8．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC =2，O 为AC 中点，若点D 在直线BC 上运动，连接OE ，则在点D 运动过程中，线段OE 的最小值是为（ ） A ．21 B ．22C ．1D ．2第7题图 第8题图 第9题图---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------9．如图，已知AD ∥BC ，AB ⊥AD ，点E 、F 分别在射线AD 、BC 上，若点E 与点B 关于AC 对称，点E 与点F 关于BD 对称，AB =1，则cos ∠AGB 等于（ ）A ．213+ B ．222- C ．422- D ．46 10．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，点A 是函数y =x1（x ＜0）图象上一点，AO 的延长线交函数y =x k 2（x ＞0，k 是不等于0的常数）的图象于点C ，点A 关于y 轴的对称点为A ′，点C 关于x 轴的对称点为C ′，CC ′交x 轴于点B ，连接AB 、AA ′、 A ′C ′．若△ABC 的面积等于6，则由线段AC ，CC ′，C ′A ′，A ′A 所 围成的图形的面积等于（ ）A ．8B ．10C ．310D ．46二、填空题（每小题5分，共30分）11．若2m =3，4n =8，则2m -2n 的值是____________．12．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿直线l 按顺时针方向翻滚，当正方形翻滚一周时，正 方形的中心O 所经过的路径长为____________．第12题图 第13题图13．如图，抛物线y =ax 2－4和y =－ax 2+4都经过x 轴上的A 、B 两点，两条抛物线的顶点分别 为C 、D ．当四边形ACBD 的面积为40时，a 的值为_____________．14．m 、n 是两个连续自然数，且q =mn ，p =m q n q -++，则p 的值是 ．（填 “奇数”、“偶数”或“奇偶都可以”）15．甲、乙、丙三个箱子原本各装有相同数量的小球，已知甲箱内的红球占甲箱内小球总数的41，乙箱内没有红球，丙箱内的红球占丙箱内小球总数的127．小荣将乙、丙两箱内的球 全部倒入甲箱后，要从甲箱内取出一球，若甲箱内每个球被取出的机会相等，则小荣取出 的球是红球的概率为_____________．---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------16．如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接OH ，FH ，EG 与FH 交于点M ， 对于下面三个结论：①GH ⊥BE ；②S 正方形ABCD ：S 正方形ECGF =1：2；③EM ：MG =1：（1+2），其中正确结论的序号为 ．三、解答题（共5小题，共50分）17．请分别用配方法和因式分解法解方程：6x 2+7x －3=0．（8分） 配方法： 因式分解法：18．已知a ，b ，c ，d 四个数成比例，且a ，d 为外项．试说明点（a ，b ），（c ，d ）和坐标原点 O （0，0）在同一条直线上．（9分）19．如果有理数m 可以表示成2x 2－6xy +5y 2（其中x 、y 是任意有理数）的形式，我们就称m 为 “世博数”．证明：两个“世博数”a 、b （b ≠0）之商也是“世博数”．（10分）20．如图，△ABC 中，BD 为AC 边上的中线，BE 平分∠CBD ，AF ⊥BE ，分别交BC 、BE 、BD 于F 、G 、H ．（1）求证：CF =2DH ；（4分）（2）若AB =BC ，cos ∠BCA =53，DE =4，求HD 的长．（6分）---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------21．在平面直角坐标系中，以D （－4，7）为圆心的⊙D 与y 轴相切于点Q ，与x 轴交于A 、 B 两点，其中点B 坐标为（－1，0）．以CD 为对称轴的抛物线与⊙D 交于A 、B 两点，点 C 坐标为（－4，9），CD 与x 轴交于点H ． （1）求抛物线和直线AC 的解析式；（3分） （2）P 为直线AC 上方抛物线上一点，当S △APC =92S △AHC 时，求点P 坐标；（4分） （3）PM ⊥AC 于点M ，PE ⊥x 轴于点E 且与AC 交于点N ，△PMN 的周长为l ，求l 的最大 值．（6分）九年级B 卷答案四、选择题（每小题4分，共40分）1.A2.B3.B4.C5.C6.C7.D8.B9.B 10.B 7.由于直线y 1=kx +b 过点A （0，2），P （1，m ），则有⎩⎨⎧==+,2,b m b k ，解得⎩⎨⎧=-=.2,2b m k∴y 1=（m －2）x +2．故所求不等式组可化为：mx ＞（m －2）x +2＞mx －2，不等号两边同时减去mx 得，0＞－2x +2＞－2，解得：1＜x ＜2． 8.设Q 是AB 的中点，连接DQ ，∵∠BAC =∠DAE =90°， ∴∠BAC －∠DAC =∠DAE －∠DAC ， 即∠BAD =∠CAE ，∵AB =AC =2，O 为AC 中点，∴AQ =AO ，∴△AQD ≌△AOE （SAS ）， ∴QD =OE ，∵点D 在直线BC 上运动，∴当QD ⊥BC 时，QD 最小，∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B =45°，∵QD ⊥BC ，∴△QBD 是等腰直角三角形， ∴QD =22QB ，∵QB =21AB =1，∴QD =22，∴线段OE 的最小值是为22．9.如图，连接CE ，设EF 与BD 相交于点O ，由对称性可得，AB =AE =1，则BE =2，∵点E 与点F 关于BD 对称，∴DE =BF =BE =2，∴AD =1+2，∵AD ∥BC ，AB ⊥AD ，---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------AB =AE ，∴四边形ABCE 是正方形，∴BC =AB =1，∴tan ∠ADB =12211-=+=AD AB ， 在Rt △OED 中，可设OD =x ，OE = x )12(- ，∴（2）2=x 2+[x )12(-]2，解得x =2224+，∴OE =2224-，∵∠EBG +∠AGB =90°， ∠EBG +∠BEF =90°，∴∠AGB =∠BEF ，又∵∠BEF =∠DEF ，∴cos ∠AGB =DE OE =222-． 10.过A 作AD ⊥x 轴于D ，连接OA ′，∵点A 是函数y =x1（x ＜0）图象上一点，∴设A （a ，a1），∵点C 在函数y =x k 2（x ＞0，k 是不等于0的常数）的图象上，∴设C （b ，b k 2），∵AD ⊥BD ，BC ⊥BD ，∴△OAD ∽△OCB ，∴222△△)(ba OB OD S S BCO ADO ==，∵S △ADO =21，S △BOC =22k ，∴k 2=2)(ab ，∴k =－a b ，∵S △ABC =S △AOB +S △BOC =21×（－a 1）•b +22k =6，∴k 2－ab =12，∴k 2+k －12=0，解得：k =3，k =－4（不合题意舍去），∵点A 关于y 轴的对称点为A ′，点C 关于x 轴的对称点为C ′， ∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°，∴OA ′，OC ′在同一条直线上，∴S △OBC ′=S △OBC =22k =29， ∵S △OAA ′=2S △OAD =1，∴由线段AC ，CC ′，C ′A ′，A ′A 所围成的图形的面积=S △OBC +S △OBC ′+S △OAA ′=10．五、填空题（每小题5分，共30分） 11.83 12.22π 13.0.16 14.奇数 15.185 16.①③ 13.∵抛物线y =ax 2－4和y =－ax 2+4都经过x 轴上的A 、B 两点，∴点A 、B 两点的坐标分别是（－a a 2，0）、（aa 2，0）；又∵抛物线y =ax 2－4和y =－ax 2+4的顶点分别为C 、 D ．∴点C 、D 的坐标分别是（0，－4）、（0，4）；∴CD =8，AB =aa4，∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △ABC =21AB •OD +21AB •OC =21AB •CD =21×8×aa4=40，即21×8×aa 4=40，解得a =0.16．14.因为m 、n 是两个连续自然数，设m ＜n ，则n =m +1，且q =mn ，代入得： p =m m m m m m -+++++)1()1()1(=22)1(m m ++=m +1+m =2m +1； 因为m 为自然数，所以2m 为偶数，即2m +1为奇数． 15.设甲、乙、丙三箱子内原本都装有x 个小球，则甲有x 41个红球，丙有x 127个红球，则一---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------共有x 41+x 127=x 65（个）红球，甲箱内最后共有3x 个小球，因此取出红球的概率为 185365=x x ．16.∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =DC ，∠BCE =90°，同理可得CE =CG ，∠DCG =90°， ∴△BCE ≌△DCG ，∴∠BEC =∠DGC ，∵∠EDH =∠CDG ，∠DGC +∠CDG =90°， ∴∠EDH +∠BEC =90°，∴∠EHD =90°，∴HG ⊥BE ，故①正确； 易证得△BGH ≌△EGH ，∴BH =EH ，又∵O 是EG 的中点，∴HO21BG ， 设EC 和OH 相交于点N ．设HN =a ，则BC =2a ，设正方形ECGF 的边长是2b ，则NC =b ，CD =2a ，∵OH ∥BC ，∴△DHN ∽△DGC ，∴CG HN DC DN =，即ba a ab 222=-，即a 2+2ab －b 2=0，解得：a =2222+-b =（－1+2）b ，或a =（－1－2）b （舍去），则ba =2－1；则S 正方形ABCD ：S 正方形ECGF =（2－1）2=3－22，故②错误；∵EF ∥OH ，∴△EFM ∽△OMH ，∴b a b OH EF OM EM +==2，∴ba bOE EM 32+=， b a bEG EM 3+=，∴1212121212+=+-=+=+=b a b a b MG EM ，故③正确． 因此正确的结论是①③．六、解答题（共5小题，共50分）17.解：配方法：6x 2+7x －3=0，x 2+67x =21，（x +127）2=21+14449=144121，故x +127=±1211，解得：x 1=－23，x 2=31．因式分解法：6x 2+7x －3=0，6x 2+9x －2x －3=0，3x （2x +3）－（2x +3）=0，(2x +3)(3x －1)=0， 解得x 1=－23，x 2=31．（只写了一种正确方法的得4分） 18.解：设经过（0，0）和（a ，b ）的直线是y =kx ，则b =ak ，则k =ab，设经过（0，0）和（c ， d ）的直线的解析式是：y =mx ，则d =cm ，解得：m =cd，∵a ，b ，c ，d 四个数成比例， ∴a b =cd，∴k =m ，则直线y =kx 和直线y =mx 是同一直线，即点（a ，b ），（c ，d ）和坐 标原点O （0，0）在同一条直线上．19.证明：∵m =2x 2－6xy +5y 2=（x －2y ）2+（x －y ）2，其中x 、y 是有理数，∴“世博数”m =p 2+q 2（其中p 、q 是任意有理数），只须p =x －2y ，q =x －y 即可．∴对于任意的两个“世博数”a 、b ，不妨设a =j 2+k 2，b =r 2+s 2，其中j 、k 、r 、s 为任意给定的有理数，因此有：22222222222)())((s r s r k j s r k j b a +++=++==22222)()()(s r kr js ks jr +-++=222)(s r ks jr +++222)(s r kr js +-也是 “世博数”．20.（1）证明：取AF 的中点M ，连接MD ，∵AD =DC ，∴CF =2MD ，且MD ∥BC ， ∴∠DMH =∠BFH ，又∵∠BGH =∠BGF =90°，∠HBG =∠FBG ， ∴∠BHG =∠BFH ，而∠DMH =∠BFH ，∠DHM =∠BHG ，∴∠DMH =∠DHM ，∴DH =DM ． 而CF =2MD ，∴CF =2DH ；---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------（2）解：过E 作EN ⊥BC 于N ，∵AB =BC ，AD =DC ，∴BD ⊥AC ，而BE 平分∠CBD ，EN ⊥BC ，∴EN =DE =4，在Rt △CEN 中，cos ∠BCA =53=CE CN ，∴设CN =3k ，则CE =5k ， 得EN =4k =4．∴k =1，CE =5，CD =9，在Rt △BCD 中， cos ∠BCA =53=BC CD ，∴BC =15，BD =12， 又∵∠BHG =∠BFH ，∴BH =BF ，设DH =x ，则FC =2x ，BH =12－x ，BF =15－2x ．由12－x =15－2x ，得x =3，∴HD =3．21.解：（1）设抛物线的解析式为y =a （x +4）2+9．∵将B （－1，0）代入得：9a +9=0，解得；a =－1，∴解析式为y =－（x +4）2+9，即y =－x 2－8x －7．∵点A 与点B 关于x =－4对称， B （－1，0）∴A （－7，0）．设直线AC 的解析式为y =kx +b ．∵将A （－7，0）、C （－4，9）代入得：⎩⎨⎧=+-=+-,94,07b k b k 解得：k =3，b =21，∴直线AC 的解析式为y =3x +21．（2）∵AH =3，CH =9，∴S △AHC =2279321=⨯⨯．∵S △APC =92S △AHC ，∴S △APC =22792⨯=3．设p （a ，－a 2－8a －7），N （a ，3a +21）．则PN =－a 2－8a －7－（3a +21）=－a 2－11a －28．连P A 、PC ，则S △APC =21PN •AE+21PN •EH=21PN •AH =3，∴21×（－a 2－11a －28） ×3=3，解得a 1=－5，a 2=－6．∴点P （－5，8）或（－6，5）． （3）∵由（2）可知PN =－a 2－11a －28=－（a +211）2+49．∴PN 的最大值为49．∵EN ∥CH ，∴∠ACH =∠ANE ．∵∠PNM =∠ENA ，∴∠PNM =∠ACH ．又∵∠PMN = ∠AHC =90°，∴△PMN ∽△AHC ．∴PM ：MN ：PN =HA ：CH ：CA =1：3：10． ∴l =PN ×204510181010449101031+=+⨯=++．。
15届WMO数学竞赛四年级初赛试卷(含答案)
15届WMO数学竞赛四年级初赛试卷(含答案)15届WMO数学竞赛四年级初赛试卷（含答案）一、选择题（每题2分，共40分）1. 在数轴上，点A、B、C、D的坐标依次是3，5，8，10。
则A、C两点的距离是：A) 2 B) 4 C) 5 D) 72. 阳阳有62块糖果，他要分给小明和小红。
小明要2块糖果，小红要3块糖果，还剩下几块糖果？A) 50 B) 52 C) 54 D) 583. 甲数的四倍数是乙数，乙数的两倍数是丙数。
如果甲数是8，那么丙数是多少？A) 4 B) 8 C) 16 D) 324. 所有的四位数中，最大的四位数是_______。
A) 9999 B) 1000 C) 9998 D) 10015. 小红的书架上有60本书，比科学类书的数量多2倍，比故事类书的数量少10本。
那么小红有几本科学类书？A) 22 B) 24 C) 26 D) 28二、填空题（每题3分，共30分）1. 用铅锤把16千克大理石停止下来，需要多长时间？已知铅锤的重力加速度是10米/秒^2。
答： 1秒2. 13 × 7 = _______答： 913. 请写出从49倒数前5个数的数列。
答： 45，44，43，42，414. 48 ÷ 6 = _______答： 85. 将2小时18分钟转换为分钟数。
答： 138分钟三、计算题（每题10分，共40分）1. 一条长绳子长30米，被剪成了两段，较短的一段是5米，那么较长的那段有多长？答： 25米2. 某地上午9点的温度是18摄氏度，到了下午4点时上升到30摄氏度，一共上升了多少摄氏度？答： 12摄氏度3. 如果用1升水倒入一个盛满2升的容器，容器里的水占了总容器容积的几分之几？答： 1/24. 小明买了一双鞋，原价是300元，现在打8折，他要支付多少钱？答： 240元四、解决问题（20分）爷爷今年45岁，奶奶今年39岁。
请问爷爷比奶奶大多少岁？答：6岁五、附加题（10分）两本小说的厚度分别是2.5厘米和3.8厘米。
第15届WMO全国初赛8年级试卷
姓名 年级 学校 准考证号 考场 赛区_________ 父母姓名 、 联系电话_ 、------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得考卷一份。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共 50分。
3. 请将答案写在答题卡上。
考试完毕时，试卷、答题卡及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数，请化至最简。
八年级全国总决赛初赛（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分）1．下列体育运动标志中，不是轴对称图形的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．用因式分解的方法计算3793893883903891-⨯+的结果为（ ） A ．1 B ．10 C ．3891 D ． 389123．阿妹从一袋中取球，以每次取出数球且取后全部放回的方式任取5次．若某次 取出的球数用x 表示；该次取球未放回前，袋内所剩的球数用y 表示，且将每 次的取球情况写成数对（x ，y ）并画在坐标平面上，则下面符合要求的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．某篮球队队员共16人，每人投篮6次，下表为其投进球数的次数统计表．若此 队投进球数的中位数是2.5，则众数为（ ）投进球数 0 1 2 3 4 5 6人数22ab321A ．2B ．3C ．4D ． 65．将231192做质因数分解后可得2a ×32×c 2×19，则a +c 的值为（ ）A ．10B ．14C ．16D ． 206．如图，四边形ABCD 为一平行四边形，点P 在直线CD 上，且PD =2DC ．甲、 乙两人想过P 点作一条直线，将平行四边形分成两个等面积的区域，他们的作 法如下：甲：取AD 的中点E ，作直线PE 即为所求；乙：连接BD 、AC 交于 点O ，作直线PO 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ） A ．甲、乙都正确 B ．甲、乙都错误 C ．甲正确，乙错误 D ．甲错误，乙正确7．周末几个同学去郊游，预计共需支付费用120元，后来人数增加了41，费用仍然不变，这样每人少支付3元，原来这组学生共有（ ） A ．6人 B ．7人 C ．8人 D ．9人8．如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的 最小半径为（ ）A ．2B ．25C ．45D ．16175第6题图 第8题图 第9题图 第10题图9．如图，在四边形ABCD 中，AB =10，CD =8，∠ABD =30°，∠BDC =120°， E 、F 分别是AD 、BC 的中点，则EF 的长为（ ）A ．3B ．6C ．37D ．4110．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，1），点C 在第一象限，对角线BD 与x 轴平行．直线y =x +4 与x 轴、y 轴分别交于点E ，F ．将菱形ABCD 沿x 轴向左平移k 个单位，当 点C 落在△EOF 的内部时（不包括三角形的边），k 的值可能是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题（每小题5分，共30分） 11．若x ＜y ，且（a －3）x ＞（a －3）y ，则a 的取值范围是___________．12．在平面直角坐标系中，直线221+=x y 向右平移8个单位得到直线m ，那么直线m 与y 轴的交点坐标为___________．13．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，AD 是经过A 点的一条直线，且B 、C 在AD 的两侧，BD ⊥AD 于D ，CE ⊥AD姓名 年级 学校 准考证号 考场 赛区_________ 父母姓名 、 联系电话_ 、 ------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------于E ，交AB 于点F ，CE =10，BD =4，则DE 的长为___________．14．若m +2n +3p =12，且m 2+n 2+p 2=mn +np +mp ，则mn 2p 3=___________．15．设b a +=-21027，其中a 为整数，0＜b ＜1，则ba ba -+=__________．WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------16．如图，在四边形ABDC中，对角线AD、BC交于点O，∠BAC=90°，∠BDC=90°，BD=CD，AB=2，AC=4，记△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2，则S1－S2的值为__________．三、解答题（共5小题，共50分）17．化简：51-3332]51)(56[yxyxyxxy÷-⨯÷---．（9分）18．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，求证：DE=DF．（9分）19．已知正数a、b、c、d、e、f满足4=abcdef，9=bacdef，16=cabdef，41=dabcef，91=ea b c d f，161=fabcde，求（a+c+e）－（b+d+f）的值．（10分）20．甲、乙两车在相距300千米的A、B两地匀速相向而行，两车同时出发，途中甲车配货停留1小时．甲、乙两车离B地的距离y（千米）与出发时间x（小时）之间的关系如图①所示，甲、乙两车间的距离s（千米）与出发时间x（小时）之间的关系如图②所示，（1）求甲、乙两车的速度；（5分）（2）求甲车到B地所用的时间，并将图②补充完整（需标明分断点的横、纵坐标）．（5分）图①图②21．在平面直角坐标系中，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点D．（1）以A为直角顶点在第二象限内作等腰Rt△AMD，直接写出点M的坐标为；（3分）（2）以AD为边作正方形ABCD，连BD，P是线段BD上（不与B、D重合）的一点，在BD上截取PG=10，过G作GF⊥BD，交BC于F，连AP则AP与PF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论；（4分）（3）在（2）中的正方形中，若∠P AG=45°，试判断线段PD、PG、BG之间有何关系，并证明你的结论．（5分）。
第15届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛八年级B卷复赛(含答案)
第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛----------------------------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得考卷一份。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共 50分。
3. 请将答案写在本卷上。
考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数，请化至最简。
八年级地方晋级赛复赛B 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分）1．函数123++=x x y 的自变量的取值范围是（ ） A ．x ≥－2 B ．x ＞－1 C ．x ≠－1 D ．x ≥－2且x ≠－1 2．如图，四边形ABCD 、APQR 是两个全等的正方形，CD 与PQ 相交于点E ，若∠BAP =20°， 则∠PEC 等于（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°第2题图 第4题图3．已知1)1(12=--x x ，则x 的值为（ ）A ．±1B ．－1、2C ．1、2D ．0、－14．大明因急事在运行中的自动扶梯上行走去二楼，图中线段OA 、OB 分别大致表示大明在运 行中的自动扶梯上行走去二楼和静止站在运行中的自动扶梯上去二楼时，距自动扶梯起点 的距离与时间之间的关系．下面四个图中，虚线OC 能大致表示大明在停止运行（即静止） 的自动扶梯上行走去二楼时，距自动扶梯起点的距离与时间关系的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．若关于x 的分式方程qpx n m x =--22有解，则必须满足条件（ ）A ．m ≠nB ．m ≠－nC ．np ≠－mqD ．p ≠－q，m ≠n6．如图，在△ABC 中，有一点P 在AC边上移动，若AB =AC =5，BC =6，则AP +BP +CP 的最 小值为（ ）A ．8B ．8.8C ．9.8D ．107．如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积 是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形 的面积是（单位：平方厘米）（ ） A ．40 B ．25 C ．26 D ．36第6题图 第7题图 第8题图 第10题图8．如图，点P 、Q 是边长为4cm 的等边△ABC 边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ，连接AQ 、CP 交于点M ，则在P、Q 运动的过程中，当△PBQ 为直角三角形时，运动时间为（ ）A ．34秒 B ．25秒或38秒 C ．25秒 D ．34秒或38秒 9．有一种近似半圆球形状的隔热钢碗，每个钢碗的内部半径都是5厘米，厚度都是均匀的0.5 厘米，如图①所示，常见钢碗叠放的方式如图②所示．某学校食堂现在要设计一批柜子存 放这样的碗，如果要确保每个柜子的正面每竖条都放6个碗，如图③所示，那么柜子的内 部高度至少是（ ）A ．16厘米B ．17厘米C ．18厘米D ．19厘米图① 图② 图③ 10．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y =x 上一点P （1，1），C 为y 轴上一点，连接PC ，线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ，过点D 作直线AB ⊥x 轴，垂足为B ，直线AB 与直线y =x 交于点A ，且BD =2AD ，连接CD ，直线CD 与直线y =x 交于点Q ，则点Q 的 坐标为（ ） A ．（25，25） B ．（3，3） C ．（47，47） D ．（49，49）二、填空题（每小题5分，共30分）11．若整数m 满足条件2)1(+m =m +1且m ＜21，则m 的值是____________． 12． 若实数a 、b 、c 满足a+b +c =0，且a ＜b ＜c ，则一次函数y =ax +c 的图象不可能经过第_______ 象限． 13．定义：如果一个数的平方等于－1，记为i 2＝－1，这个数i 叫做虚数单位．那么i 1=i ，i 2=－1，i 3=－i ，i 4=1，i 5=i ，i 6=－1…，那么i 2015＝_____________．14．如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC =78°，过C 点作CF ∥AB ，连 接AF 与BC 相交于点G ，若GF =2AC ，则∠BAG =_____________． 15．已知ax +by =3，ay －bx =5，则（a 2+b 2）（x 2+y 2）的值为_____________．如图，∠AOB =30°，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，OP 平分∠AOB ，且OP =6，当△PMN 的周长取最小值时，则 PM 的长为_____________．三、解答题（共5小题，共50分）17．已知a =2+1，b =2－1，求ab －（abb a -）的值．（8分）18．求证：817－279－913能被45整除．（9分）19．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，点H 在AB 上，且∠EHF =90°，求证：CH ⊥AB ．（10分）20．受地震的影响，某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋1200斤．超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调 出900斤，从两养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费如表：到超市的路程（千米） 运费（元/斤•千米） 甲养殖场200 0.012 乙养殖场140 0.015 （1）若某天调运鸡蛋的总运费为2670元,则从甲、乙两养殖场各调运了多少斤鸡蛋？（5分）（2）设从甲养殖场调运鸡蛋x 斤，总运费为W 元，试写出W 与x 的函数关系式，怎样安 排调运方案才能使每天的总运费最省？（5分）21．如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y =32-x +4分别交x 、y 轴于B 、A 两点，将△AOB 沿直线l 2：y =2x －29折叠，使点B 落在点C 处． （1）点C 的坐标为______________；（3分）（2）若点D 沿射线BA 运动，连接OD ，当△CDB 与△CDO 面积相等时，求直线OD 的解析式；（4分）（3）在（2）的条件下，当点D 在第一象限时，沿x 轴平移直线OD ，分别交x ，y 轴于点 E ，F ，在平面直角坐标系中，是否存在点M （m ，3）和点P ，使四边形EFMP 为正 方形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（6分）备用图八年级B 卷答案一、选择题（每小题4分，共40分）1.C2.C3.B4.B5.D6.C7.B8.D9.B 10.D5.由分式方程q p x n m x =--22解得x =qp mqnp 22++，由原分式方程有解，得n －2x =qp mq np nq np +--+≠0．解得m ≠n ，p =－q ．6.AP +BP +CP =BP +AC ，当BP ⊥AC 时，AP +BP +CP 的值最小，作AD ⊥ BC ，AD =43522=-，S △ABC =22BP AC AD BC ⨯=⨯=25246BP=⨯， ∴BP =4.8，即AP +BP +CP 的最小值为5+4.8=9.8．7.设小正方形的边长为a ，大正方形的边长为b ，由这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米， 可得ab +a （b －a ）=24 ①，由未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米， 可得（b －a ）2=41a 2－3②，将①②联立解方程组可得：a =4，b =5，∴大正方形的边长为5， ∴面积是25．8.设时间为t 秒，则AP =BQ =t cm ，PB =（4－t ）cm ，当∠PQB =90°时，∵∠B =60°，∴PB =2BQ ，即4－t =2t ，t =34，当∠BPQ =90°时，∵∠B =60°，∴BQ =2BP ，得t =2（4－t ），t =38， ∴当第34秒或第38秒时，△PBQ 为直角三角形．9.如图，CO 2=5，CO 1=5.5，则O 1O 2=25.555.522=-，六个碗叠放的总高度是5×25.5+5.5=25.131+5.5，∵112=121，11.52=132.25，则112＜131.25＜11.52， 11＜25.131＜11.5，∴16.5＜25.131+5.5＜17， 因此高度至少是17厘米．10.过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交AB 于N ，过D 作DH ⊥y 轴，交y 轴于H ， ∠CMP =∠DNP =∠CPD =90°，∴∠MCP +∠CPM =90°，∠MPC +∠DPN =90°， ∴∠MCP =∠DPN ，∵P （1，1），∴OM =BN =1，PM =1，在△MCP 和△NPD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠P D ,PC DPN MCP DNP CMP ，，∴△MCP ≌△NPD （AAS ），∴DN =PM ，PN =CM ， ∵BD =2AD ，∴设AD =a ，BD =2a ，∵P （1，1），∴BN =2a －1，则2a －1=1，a =1，即BD =2． ∵直线y =x ，∴AB =OB =3，在Rt △DNP 中，由勾股定理得：PC =PD =5，在Rt △MCP 中，由勾股定理得：CM =2，则C 的坐标是（0，3），设直线CD 的解析式是y =kx +3， 把D （3，2）代入得：k =－31，即直线CD 的解析式是y =－31x +3， 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,,331x y x y 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.49,49y x ，即Q 的坐标是（49，49）．二、填空题（每小题5分，共30分）11.0或－1 12.三 13.－i 14.26° 15.34 16.3 11.∵2)1(+m =m +1，∴m +1≥0，即m ≥－1，又∵m ＜21＜1，∴－1≤m ＜1且为整数， ∴m =0或－1．12.∵实数a 、b 、c 满足a +b +c =0，且a ＜b ＜c ，∴a ＜0，c ＞0，∴一次函数y =ax +c 的图象经 过第一、二、四象限，不可能经过第三象限． 13.根据题意得：i 2015=i 2014•i ＝（i 2）1007•i ＝－i ．14.如图，取FG 的中点E ，连接EC ．∵FC ∥AB ，∴∠GCF =90°， ∴EC =21FG =AC ， ∴∠EAC =∠AEC =∠F +∠ECF =2∠F ，设 ∠BAG =x ，则∠F =x ，∵∠BAC =78°，∴x +2x =78°，∴x =26°， ∴∠BAG =26°．15.由题意得，ax +by =3 ①，ay －bx =5②，①2得a 2x 2+b 2y 2+2abxy =9③，②2得a 2y 2+b 2x 2－2abxy =25④，③+④得a 2x 2+b 2y 2+a 2y 2+b 2x 2=34，a 2（x 2+y 2）+b 2（x 2+y 2）=34，∴ (a 2+b 2)(x 2+y 2)=34． 16.作点P 关于OA 的对称点P 1，关于OB 的对称点P 2，连P 1P 2与OA 交于点M 、与OB 交 于点N ，连PM 、PN ，则此时△PMN 的周长可取最小值．∵∠AOB =30°，由对称性可知∠AOP 1=∠AOP ，∠BOP 2=∠BOP ，故∠P 1OP 2=2∠AOB =60°，又OP 1=OP =OP 2=6，∴△P 1OP 2为等边三角形． 易证得△P 1OM ≌△POM 则MP 1=MP ，∴∠1=∠2，设∠1=∠2=x ， 则∠3=2x ，又OP 平分∠AOB ，则在等边△P 1OP 2中OP 也为角平分 线，故OP ⊥P 1P 2，∴∠MPO =90°－2x ，∠OPP 1=75°，∴90°－2x +x =75°，解得x =15°，∴∠3=30°，在Rt △PMG 中， 设PG =m ，则PM =2m ，MG =m 3，∴P 1P 2=4MG =4m 3，故4m 3=6， m =23，PM =3．三、解答题（共5小题，共50分）17.解：∵a =2+1，b =2－1，∴ab =（2+1）（2－1）=1，a －b =2+1－2+1=2，∴ab －（abb a -）=1－（a ab b ab -）=1－（a b 11-）=1－（ab b a -）=1－（a － b ）=1－2=－1．18.证明：原式=914－99×39－913=328－327－326=326（32－3－1）=326×5=324×32×5=45×324． 所以能被45整除．19.证明：∵点D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，∴DE ∥BC ，DF ∥CE ，∴四边形CEDF 是平行四边形．∵∠ACB =90°，∴四边形CEDF 是矩形， 得OD =OC =OE =OF ．在Rt △EHF 中，OH =21EF =OE =OF ，∴OH =21CD =OC =OD ， ∴在△CHD 中，∠CHO =∠OCH ，∠OHD =∠ODH ．∵∠CHO +∠OCH +∠OHD +∠ODH =180°， ∴∠CHO +∠OHD =90°，即CH ⊥AB ． 20.解：（1）设从甲养殖场调运鸡蛋x 斤，从乙养殖场调运鸡蛋y 斤，根据题意得：⎩⎨⎧=+=⨯+⨯,12002670015.0140012.0200y x y x ，解得：⎩⎨⎧==.700,500y x∵500＜800，700＜900，∴符合条件．答：从甲、乙两养殖场各调运了500斤，700斤鸡蛋；（2）从甲养殖场调运了x 斤鸡蛋，从乙养殖场调运了（1200－x ）斤鸡蛋， 根据题意得：⎩⎨⎧≤-≤,9001200,800x x 解得：300≤x ≤800，总运费W =200×0.012x +140×0.015×（1200－x ）=0.3x +2520，（300≤x ≤800）， ∵W 随x 的增大而增大，∴当x =300时，W 最小=2610元，∴每天从甲养殖场调运了300斤鸡蛋，从乙养殖场调运了900斤鸡蛋，每天的总运费最省． 21.解：（1）（0，3）；（2）①点D 在第一象限时（如图①中点D 1），∵△CDB 与△CDO 面积相等，∴CD ∥OB ， ∴点D 的纵坐标为3，当y =3时，－32×x +4=3，解得x =23，∴点D 的坐标为（23，3）， ∴直线OD 的解析式为y =2x ；②点D 在第二象限时（如图①中点D 2），AC =4－3=1，设点D 到y 轴的距离为a ，则S △CDB =S △ACD +S △ABC =21×1•a +21×1×6=21a +3，∵△CDB 与△CDO 面积相等， ∴21a +3=21×3a ，解得a =3，∴点D 的横坐标为－3，当x =－3时，y =－32×（－3）+4=2+4=6，∴点D 的坐标为（－3，6），∴直线OD 的解析式为y =－2x ．（3）如图②，设OD 平移后的解析式为y =2x +b ，令y =0，则2x +b =0，解得x =－2b， 令x =0，则y =b ，所以，OE =2b，OF =b ，过点M 作MN ⊥y 轴于N ，过点P 作PQ ⊥x 轴于 Q ，∵四边形EFMP 是正方形，∴易证△MNF ≌△FOE ≌△EQP ，∴MN =OF =EQ ，NF =OE = PQ ，∵M （m ，3），∴ON =b +2b=3，解得b =2，∴OE =1，OF =2，∴OQ =OE +QE =1+2=3， ∴点M （－2，3），点P （－3，1），故存在点M （－2，3）和点P （－3，1），使四边 形EFMP 为正方形．图① 图②。
第15届WMO全国初赛5年级试卷
姓名 年级 学校 准考证号 赛区 考场 联系电话-------------------装----------------------订----------------------线---------------------第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛全国总决赛------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------五年级初赛试卷（本试卷满分120分 ，考试时间75分钟 ）一、初试牛刀（单选题Ⅰ，每题5分，共50分）1.下面四个选项中用字母表示的都是六位数，其中w 是比 10小的自然数，m 是0，其中一定能被3和5整除的数 是（ ）。
A.wwwmwwB.wmwmwmC.wmmwmmD.wmmwmw2.古埃及时代，人们最喜欢的是分子为l 的分数，如21，31，41，…，n1。
我们称这些分数为单位分数，若其他的分 数能写成若干个不同的单位分数之和时，人们才承认它是分数，例如43＝21+41，所以人们承认43是分数。
如果只有四个单位分数：21，31，41，51，那么下列四个分数中，不被承认的分数是（ ）。
A.65B.127C.98D.20193.若A=B+1，则A 、B 的最小公倍数是它们最大公因数的 （ ）倍。
A.AB.BC.ABD.无法确定4.有大、中、小三个小正方形水池，它们的内边长分别是4 米、3米、2米，把两堆大小不同的碎石子分别沉没在中、 小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11 厘米，如果将这两堆碎石一起沉没在大水池中，大水池 的水面将升高（ ）厘米。
A.0.05B.5C.10D.505.如图1，运用割补法可以得到公式（a +b ）²＝a ²+2ab +b ²，那么，在图2中，运用割补法可以得到公式： （a +b +c ）²＝（ ）。
第15届WMO 四年级初赛卷
综合训练（3）第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛全国总决赛四年级初赛试卷 姓名 （满分120分，考试时间75分钟）一、 初试牛刀（单选题，每题5分，共50分）1、乐乐为了学习汉字做了如下的汉字卡片，下面四个汉字中，沿卡片最右边向右翻转后和原汉字一样的是（ ）DCBA美数奥学2、一奶牛场有25头奶牛和15头小牛，每头奶牛每天吃草12千克，每头小牛每天吃草6千克，现有草7020千克，可供它们吃（ ）天。
A.18B.23C.25D.303、一个天文单位是指地球和太阳的平均距离，大约1.5亿公里，地球和火星的最大距离是0.5个天文单位，是地球到月球的距离的200倍。
地球到月球的距离大约是（ ）公里。
A.300000B.37500C.750000D.15000004、在T,M,F,Z,N,X,E 这些字母中既有垂直又有平行线段的字母有（ ）个。
EX N Z F M TA.1B.2C.3D.45、思思将一个大正方形和总面积与其相等的5个小正方形如图叠加，设计出了社团的标志，并打算用一大张彩纸将标志贴在社团的门上。
如果大正方形的面积是802cm ，那么小正方形的边长应该是（ ）厘米。
A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm6、如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底标有字母“M ”，将其剪开展成平面图形，想一想这个平面图形是（DBA7、先观察下面各算式，找出规律，然后填入正确的选项。
991910099991991000099999919991000000⨯+=⨯+=⨯+=那么20179201792017999999999+19999个个个……的末尾有（ ）个0.A.2016B.2017C.4032D.40348、小雄用一堆一元的硬币恰好摆成了一个最外层每边有20枚硬币的实心方阵，若改为四层的空心方阵，它的最外面一层每边应放（ ）枚硬币。
A28 B29 C30 D319、一张试卷共有21道题，答对一道得8分，答错一道倒扣6分。
第15届WMO全国初赛3年级试卷
姓名年级学校准考证号赛区考场联系电话-------------------装----------------------订----------------------线---------------------第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛全国总决赛------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------三年级初赛试卷（本试卷满分120分，考试时间75分钟）一、初试牛刀（单选题Ⅰ，每题5分，共50分）1.与最左边图形转动后所形成的图形相同的是（）。
A. B. C.2.丽丽正在参加一场激烈的100米赛跑，之前她是第四名，然后她卯足了力气往前跑，成功超过了第二名，那么她现在是第（）名。
A.一B.二C.三D.四3.能够进入世界棒球比赛决赛的国家有16个，参加此比赛的选手共有448人，每个国家的参赛选手人数是一样的。
进入比赛的某国让自己的选手每14人站一列，这样所有比赛的选手一共可以站（）列。
A.14B.16C.28D.324.可可从国际酒店前往上海厅参加“WMO世奥赛全国总决赛”个人赛考试，并原路返回。
已知两地的距离是1200米，且可可去时每分钟走120米，回时每分钟走80米。
那么，可可往返的平均速度是每分钟走（）米。
A.96B.100C. 108D. 1205.使用数字卡片3、2、5、8中的三张组成一个式子，写成“两位数×一位数”。
此“两位数×一位数”最小的积是（）。
A.70B.75C.76D.846.下图中出现的数学名人是（）。
A.华罗庚B.陈景润C.丘成桐D.祖冲之7.如果△=15，△△=9， =8， =20，那么△ =（）。
A.11B.18C.24D.288.熊猫欢欢一天早晨、中午和晚上一共吃了80个竹笋，中午吃的个数是早晨的2倍，晚上吃的个数是早晨的2倍多5。
第15届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛九年级A卷复赛(有答案)
第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得一份试卷。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。
3. 请将答案写在本卷上。
考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数，请化至最简。
九年级地方晋级赛复赛A 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分） 1．252用科学记数法可以表示为（ ） A ．8×10-1B ．8×10-2C ．2.3×10-1D ．2.3×10-22．如图，O 为线段AB 的中点，AB =4cm ，P 1、P 2、P 3、P 4到点O 的距离分别是1cm 、2cm 、 2.8cm 、1.7cm ，下列四点中能与A 、B 构成直角三角形的顶点是（ ） A ．P 1 B ．P 2 C ．P 3 D ．P 4第2题图 第3题图 第4题图3．如图，圆上有A 、B 、C 三点，直线l 与圆相切于点A ，CD 平分∠ACB ，且与l 交于点D ，若⌒AB =80°，⌒BC =60°，则∠ADC 的度数为（ ）A ．80°B ．85°C ．90°D ．95°4．如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1：4，∠OCD =90°， CO =CD ．若点B 的坐标为（1，0），则点C 的坐标为（ ）A ．（2，2）B ．（2，4）C ．（22，22）D ．（4，2）5．方程组⎩⎨⎧=+=+6||,12||y x y x 的解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．若等式23)3)(2(1-+-=---x bx a x x x （a 、b 为常数）成立，则a 、b 的值为（ ）A ．a =4，b =－3B ．a =2，b =－1C ．a =－1，b =1D ．a =－1，b =27．小梦每周有100元零用钱，一小块巧克力3元，一根棒棒糖2元．小梦的幸福值可以用公 式“幸福值=巧克力块数×棒棒糖根数”来表示，则小梦一个月可达到的幸福值最高为（ ） A ．300 B ．405 C ．416 D ．450 8．如图，矩形台球桌ABCD ，其中A 、B 、C 、D 处有球洞，已知DE =4， CE =2，BC =36，球从E 点出发，与DC 夹角为α，经过BC 、AB 、AD 三次反弹后回到E 点，则关于tan α的说法下列正确的是（ ）A ．3≤tan α＜323 B ．343＜tan α＜323 C ．tan α=3 D ．343＜tan α＜33 9．如图，已知反比例函数y =xk的图象过Rt △ABO 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于C ，连结AD 、OC ，若△ABO 的周长为4+25，AD =2，则△ACO 的面积为（ ） A ．41 B ．21C ．1D ．210．将直线l 1：y =x 和直线l 2：y =2x +1及x 轴围成的三角形面积记为S 1，直线l 2：y =2x +1和直线l 3：y =3x +2及x 轴围成的三角形面积记为S 2，…，以此类推，直线l n ：y =nx +n －1 和直线l n +1：y =（n +1）x +n 及x 轴围成的三角形面积记为S n ，记W =S 1+S 2+…+S n ，当n 越来越大时，你猜想W 最接近的常数是（ ） A ．32 B ．21 C ．31 D ．41二、填空题（每小题5分，共30分）11．已知a 2－5a －1=0，则5（1+2a ）－2a 2=___________．12．宜君手上有24张卡片，其中12张卡片作上“O ”记号，另外12张卡片作上“X ”记号．右图表示宜君从手上拿出6张卡片放在桌面的情形，且她打算从手上剩下的卡片中抽出一 张卡片，若她手上剩下的每张卡片被抽到的概率相等，则她抽出记号为“O ” 的卡片的概率是___________． 13．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，AD 是经过A 点的一条直线，且B 、C 在AD的两侧，BD ⊥AD 于D ，CE ⊥AD 于E ，交AB 于点F ，CE =10，BD =4，则DE 的长为_________．第13题图 第14题图 第16题图14．如图，将半径为5的半圆的直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动 滚动，直到半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度为 ． 15．正数m ，n 满足m +n m mn 424--+4n =3，则2016282++-+n m n m 的值为 ．16．已知正方形ABCD 的边长为5，点E 在BC 边上运动，点G 是DE 的中点，EG 绕点E 顺 时针旋转90°得到EF ，当CE = 时，点A 、C 、F 在一条直线上．三、解答题（共5小题，共50分） 17．解不等式：)1)(221()1)(31(22+--++y y y y ＞（8分）18．如果有理数m 可以表示成2x 2－6xy +5y 2（其中x 、y 是任意有理数）的形式，我们就称m 为“世博数”．那么两个“世博数”之积也是“世博数”吗？请证明．（9分）19．如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm ，宽30cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的51，上、下边衬等宽，左、右边 衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度．（结果精确到0.1cm ，参考数据5≈2.236）（10分）20．如图①是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图②所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO 与键盘所在面的侧边BO 长均为24cm ，点P 为眼睛所在位置，D 为AO 的中点，连接PD ，当PD ⊥AO 时，称点P 为“最佳视角点”，作PC ⊥BC ，垂足C 在OB 的延长线上，且BC =12cm ．（1）当P A =45cm 时，求PC 的长；（5分）（2）若∠AOC =120°时，“最佳视角点”P 在直线PC 上的位置会发生什么变化？此时PC 的 长是多少？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732） （5分）图① 图②21．已知二次函数图象的顶点坐标为A （2，0），且与y 轴交于点（0，1），B 点坐标为（2，2），点C 为抛物线上一动点，以C 为圆心，CB 为半径的圆交x 轴于M ，N 两点（M 在N 的左 侧）．（1）求此二次函数的表达式；（3分）（2）当点C 在抛物线上运动时，弦MN 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发 生变化，求出弦MN 的长；（4分）（3）当△ABM 与△ABN 相似时，求出M 点的坐标．（6分）备用图九年级A 卷答案三、选择题（每小题4分，共40分）1.B2.B3.C4.A5.A6.B7.C8.C9.A 10.B5.当x ≥0，y ≤0时，原方程组可化为：⎩⎨⎧=-=+,6,12y x y x 解得⎩⎨⎧==;3,9y x 由于y ≤0，所以此种情况不成立；当x ≤0，y ≥0时，原方程组可化为：⎩⎨⎧=+=-,6,12y x x y 解得⎩⎨⎧=-=;9,3y x 当x ≥0，y ≥0时，⎩⎨⎧=+=+,6,12y x y x 无解；当x ≤0，y ≤0时，⎩⎨⎧=-=-,6,12y x x y 无解；因此只有一组解． 7.设巧克力和棒棒糖的数量分别为x ，y ，幸福值为W ，根据题意得：3x +2y ≤100，W =xy ，∴y =xW ， ∴3x +2x W ≤100，∴W ≤50x －23x 2=－23（x －350）2+31250，∵x ，y 为整数，∴x =16，y =26 时，W 最大=xy =416．8.如图，∵DE =4，CE =2，球从E 点出发，与DC 夹角为α，经过BC 、AB 、AD 三次反弹后 回到E 点，∴四个三角形相似，并且相对的两个三角形全等， ∴CF =211+BC =23，∴在Rt △CEF 中，tan α=CECF =3． 9.在Rt △AOB 中，AD =2，AD 为斜边OB 的中线，∴OB =2AD =4， 由周长为4+25，得到AB +AO =25，设AB =x ，则AO =25－x ，根据勾股定理得：AB 2+OA 2=OB 2，即x 2+（25－x ）2=42， 整理得：x 2－25x +2=0， 解得x 1=5+3，x 2=5－3，∴AB =5+3，OA =5－3，过D 作DE ⊥x 轴， 交x 轴于点E ，可得E 为AO 中点，∴OE =21OA =21（5－3）（若OA =5+3， 求出结果相同），在Rt △DEO 中，利用勾股定理得：DE =21（5+3），∴k =－DE •OE =－21（5+3）× 21（5－3）=－21，∴S △AOC =21|k |=41． 10.将y =nx +n －1和y =（n +1）x +n 联立得：⎩⎨⎧++=-+=,)1(,1n x n y n nx y 解得：⎩⎨⎧-=-=.1,1y x ∴无论k 取何值，直线l n 和直线l n +1均交于定点（－1，－1），k ≠1时，l n 与l n+1的图象的示意图如图，∵y =nx +n －1与x 轴的交点为A （n n -1，0），y =（n +1）x +n 与x 轴的交点为B （1+-n n， 0），∴S n =S △ABC =21×|AB |×|－1|=21×|11|++-n nn n ×1=)1(21+n n ， 当n =1时，结论同样成立．∴W =S 1+S 2+S 3+…+S n =]11321211[21）（+++⨯+⨯⨯n n =21（1－21+21－31+…+111+-n n ）=21（1－11+n ）=121+⨯n n ．当n 越来越大时，1+n n 越来越接近与1． ∴121+⨯n n越来越接近于21，∴W 越来越接近于21．四、填空题（每小题5分，共30分）11.3 12.94 13.6 14.5π 15.20195- 16.3513.∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴∠BAD +∠CAD =90°，∵CE ⊥AD 于E ，∴∠ACE +∠CAE =90°，∴∠BAD =∠ACE ，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴AE =BD =4，AD =CE =10，∴DE =AD － AE =6．14.由图形可知，圆心先向前走OO 1的长度，圆心从O 到O 1的运动轨迹是一条直线，长度为41圆的周长，然后沿着弧O 1O 2旋转41圆的周长，则圆心O 运动路径的长度为：41×2π×5+ 41×2π×5=5π．15.∵m +4n m mn 42--+4n =3，∴m +4mn +4n －2（m +2n ）－3=0，∴（m +2n ）2－2（m +2n ）－3=0，∴（m +2n －3）（m +2n +1）=0，∴m +2n =3，m +2n ）=－1（不合题意，舍去），∴原式=2016383+-=20195-．16.过F 作FN ⊥BC ，交BC 延长线于N 点，连接AC ，∵∠DCE =∠ENF =90°，∠DEC +∠NEF =90°，∠NEF +∠EFN =90°， ∴∠DEC =∠EFN ，∴Rt △FNE ∽Rt △ECD ， ∵DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90°得EF ，∴DE :EF =2:1， ∴CE :FN =DE :EF =DC :NE =2:1，∴CE =2NF ，NE =21CD =25． ∵∠ACB =45°，∴当∠NCF =45°时，A 、C 、F 在一条直线上．则△CNF 是等腰直角三角形，∴CN =NF ，∴CE =2CN ， ∴CE =32NE =32×25=35．∴CE =35时，A 、C 、F 在一条直线上．五、解答题（共5小题，共50分）17.解：∵y 2+1＞0，则原不等式可化为1+3y ＞1－22-y ，解得y ＞1.2． 18.解：是的．证明如下：∵m =2x 2－6xy +5y 2=（x －2y ）2+（x －y ）2，其中x 、y 是有理数，∴“世博数”m =p 2+q 2（其中p 、q 是任意有理数），只需p =x －2y ，q =x －y 即可．∴对于任意两个“世博数”，不妨设一个为a =j 2+k 2，另一个为b =r 2+s 2，其中j 、k 、r 、 s 为任意给定的有理数，则ab =（j 2+k 2）（r 2+s 2）=（jr +ks ）2+（js －kr ）2是“世博数”．19.解一：设上、下边衬宽均为4x cm ，左、右边衬宽均为3x cm ，则（40－8x ）（30－6x ）=54×40×30．整理，得x 2－10x +5=0，解之得x =5±25，∴x 1≈0.53，x 2≈9.47（舍去），答：上、下边衬宽均为2.1cm ，左、右边衬宽均为1.6cm ． 解二：设中央矩形的长为4x cm ，宽为3x cm ，则4x ×3x =54×40×30，解得x 1=45，x 2= －45（舍去），∴上、下边衬宽为20－85≈2.1，左、右边衬宽均为15－65≈1.6，答：上、下边衬宽均为2.1cm ，左、右边衬宽均为1.6cm ．20.解：（1）如图，当P A =45cm 时，连接PO ．∵D 为AO 的中点，PD ⊥AO ，∴PO =P A =45cm ． ∵BO =24cm ，BC =12cm ，∠C =90°，∴OC =OB +BC =36cm ，PC =223645-=27（cm ）； （2）当∠AOC =120°，如图，过D 作DE ⊥OC 交BO 延长线于E ，过D 作DF ⊥PC 于F ， 则四边形DECF 是矩形．在Rt △DOE 中，∵∠DOE =60°，DO =21AO =12， ∴DE =DO •sin60°=63，EO =21DO =6，∴FC =DE =63，DF =EC =EO +OB +BC = 6+24+12=42．在Rt △PDF 中，易求得∠PDF =30°，∴PF =DF •tan30°=42×33=143， ∴PC =PF +FC =143+63=203≈34.64＞27，∴点P 在直线PC 上的位置上升了．21.解：（1）设抛物线的表达式为y =a （x －2）2．∵将（0，1）代入得：4a =1，解得a =41， ∴抛物线的解析式为y =41（x －2）2． （2）MN 的长不发生变化．理由如下：如图1所示，过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H ，连接BC 、CN ．设点C 的坐标为（a ，2)2(41-a ）．∵CH ⊥MN ，∴MH =HN ． ∵HN 2=CN 2－CH 2=CB 2－CH 2，∴HN 2=[2－2)2(41-a ]2+（a －2）2－[2)2(41-a ]2=4．∴HN =2．∴MN =4．∴MN 不发生变化．（3）①如图2所示，当点C 与点A 重合时．∵MN 经过点C ，∴MN 为圆C 的直径．∴MC =2． ∵点C （2，0），∴M （0，0）． ②如图3所示，∵△ABM ∽△ANB ，∴ABANAM AB =，即AB 2=AM •AN ． 设AM =a ，则4=a （a +4），解得：a 1=－2+22，a 2=－2－22（舍去）， 又∵点A （2，0），∴2+（－2+22）=22．∴点M 的坐标为（22，0）．③如图4所示，∵△ABN ∽△AMB ，∴AB 2=AN •AM ．设AM =a ，则4=a （a －4），解得：a 1=2+22，a 2=2－22（舍去）．又∵点A （2，0），∴2－（2+22）=－22．∴点M 的坐标为（－22，0）．。
第15届WMO全国初赛9年级试卷
姓名 年级 学校 准考证号 考场 赛区_________ 父母姓名 、 联系电话_ 、---------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得考卷一份。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共 50分。
3. 请将答案写在答题卡上。
考试完毕时，试卷、答题卡及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数，请化至最简。
九年级全国总决赛初赛（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分） 1．化简二次根式6)3(2⨯-得（ ） A ．63-B ．63C ．18D ．62．如果∠α是直角三角形的一个锐角，且sin α的值是方程02122=+-x x 的一个根，那么三角形的另一个锐角的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．30°或60°3．复印纸的型号有A 0、A 1、A 2、A 3、A 4等，它们之间存在着这样一种关系：将其 中某一型号（如A 3）的复印纸较长边的中点对折后，就能得到两张下一型号 （A 4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似（如图），那么这些型 号的复印纸的长、宽之比为（ ） A ．2：1 B ．2：1C ．3：1D ．3：14．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种 花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ） A ．31 B ．21 C ．32 D ．65 5．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是△ABC 的内心，O 是AB 边上一点，⊙O 经过B 、D 两 点，若BC =4，tan ∠ABD =21，则⊙O 的半径是（ ） A ．5B ．2C ．5D ．36．不论m 取何值，抛物线y =x 2+2mx +m 2+m －1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解 析式是（ ）A ．y =x +1B ．y =－x +1C ．y =－x －1D ．y =x －17．如图①，将正方体的左上部位切去一个小三棱柱（图中M 、N 都是正方体的棱的中点）， 得到如图②所示的几何体．设光线从正前方、正上方、正左方 照射图②中的几何体，被光照射到的表面部分面积之和分别为S 前、S 上、S 左．那么（ ）A ．S 前=S 上=S 左B ．S 前＜S 上=S 左 C．S 上＜S 左＜S 前 D ．S 上＜S 左=S 前8．如图，正方形ABCD 的对角线相交于O 点，BE 平分∠ABO 交AO 于E 点，CF ⊥BE 于F 点，交BO 于G 点，连接EG 、OF ．则∠OFG 的度数是（ ） A ．60° B ．45° C ．30° D ．75°第8题图 第9题图 第10题图9．已知如图，菱形ABCD 的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC 、BD 交于原点O ，DF ⊥AB 交AC 于点G ，反比例函数y =x3（x ＞0）经过线段DC 的中点E ，若BD =4，则AG 的长 为（ ） A ．334 B ．3+2 C ．23+1 D ．233+110．如图，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 交BC 于E ，垂足为F ，BG 平分∠ABD 交AE 于H ，GP ∥BD 交AE 于P ，下列结论：①BF +GP =CD ；②S △ABF 2=S △BEF ·S △AFD ；③222111AF BC AB =+；④AGAF AD 111=+．其中结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题5分，共30分）11．已知a =x +2，b =x －1，且a ＞3＞b ，则x 的取值范围是_____________．12．如图，△ABC 的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan （α+β） tan α+tan β．（填“＞”“＜”或“=”）第12题图 第13题图13．如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC ，N 为DC 的中点，点M 在DC 上，且AM =AB ，则姓名 年级 学校 准考证号 考场 赛区_________ 父母姓名 、 联系电话_ 、 ---------------------------------装-----------------------------订---------------------------线--------------------------- ∠MBN 的度数为 ．14．若P （p ，y 1），Q （－2，y 2）是反比例函数y =xk（k ＞0）图象上的两点，且y 1≥y 2，则 实数p 的取值范围是________________．---------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------15．如图，已知A （0，2），E （6，3），M （m ，0），N （m +1，0），若要使得AM +MN +NE 的值最小，点M 的坐标为________________．第15题图 第16题图 16．如图，已知抛物线y =61x 2－61（b +1）x +6b（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交 于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．若在第一象限内存在点 P ，使得四边形PCOB 的面积等于b 27，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角 形．则符合要求的点P 的坐标为 ．三、解答题（共5小题，共50分）17．先化简，再求值：4413244622222+--+-⨯+-+x x x x x x x x x ，其中x =22-．（8分）18．已知，如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，点F 在边AB 上，CF 与DE 相交于点G ．当点E 为AC 的中点时，求证：DFAFDG EG =2．（9分）19．已知二次函数y =x 2－2mx +1．记当x =c 时，函数值为y c ，那么，是否存在实数m ，使得对 于满足0≤x ≤1的任意实数a ，b ，总有y a +y b ≥1？求出m 的取值范围即可．（10分）20．如图，在△ABC 中，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点G ，且D 是BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，交AC 的延长线于点F ，直线EF 是⊙O 的切线．（1）若CF =3，cos A =52，求出BE 的长；（5分） （2）连接CG ，在（1）的条件下，求EFCG 的值．（5分）21．阅读理解：对于任意正实数a ，b ，有2)(b a -≥0，∴b ab a +-2≥0，∴a +b ≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立．结论：在a +b ≥2ab （a ，b 均为正实数）中，若ab 为定 值p ，则a +b ≥p 2，当且仅当a =b 时，a +b 有最小值p 2． 根据上述内容，回答下列问题：（1）若x ＞0，只有当x = 时，xx 62+有最小值 ．（4分） （2）探索应用：如图，已知A （－2，0），B （0，－3），点P 为双曲线xy 6=（x ＞0）上的任意一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y 轴于点D ．求四边形ABCD 面积的最 小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．（5分）（3）已知x ＞0，则自变量x 为何值时，函数2522+-=x x xy 取到最大值，最大值为多少？ （4分）---------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------。
第15届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛八年级A卷复赛(有答案)
WMO 世 界 奥 林 匹 克 数 学 竞 赛 （ 中 国 区 ） 选 拔 赛姓名 年级 学校 准考证号 考场 赛区_________ 父母姓名 、 联系电话_ 、 ---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得考卷一份。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共 50分。
3. 请将答案写在本卷上。
考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数，请化至最简。
八年级地方晋级赛复赛A 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分）1．函数0)2(1--=x x y 的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≠1且x ≠2 C ．x ≥0且x ≠2 D ．x ≥0且x ≠2且x ≠1 2．某车由甲地等速前往丁地，如图，过程是：自甲向东直行8分钟至乙后， 朝东偏南直行8分钟至丙，左转90°直行15分钟至丁．若此车由甲地 按原来的速度匀速向东直行可到达丁地，则此车程需要（ ）A ．19.5分钟B ．24分钟C ．25分钟D ．28分钟 3．如果等式（2x －3）x +3=1，则等式成立的x 的值的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．如右图，在一条笔直的小路上有一盏路灯，晚上小雷从点B 处径直走到点A 处再远离A 处 时，小雷在灯光照射下的影长y 与行走的路程x 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，△ABC 内有一点P ，点D 、E 、F 分别是点P 关于AB 、BC 、AC 对称的点．若△ABC 的内角∠BAC =70°，∠ABC =60°，∠ACB =50°，则∠ADB +∠BEC +∠CF A 等于（ ） A ．180° B ．270° C ．360° D ．480° 6．若实数x ，y 满足x －y +1=0且1＜y ＜2，化简1026234422+--+-+y x y y x 得（ ） A ．7 B ．2x +2y －7C ．11D ．9－4y7．如图，正三角形ABC 的三边表示三面镜子，BP =31AB =1，一束光线从点P 发射至BC 上R 点，且∠BPR =60°．光线依次经BC 反射，AC 反射，AB 反射…一直继续下去．当光线第一次回到点P 时，这束光线所经过的路线的总长为（ ） A ．6 B ．9C ．39D ．278．如图，在平行四边形ABCD 中，BC =2AB，CE ⊥AB 于E ，F 为AD 的中点，若∠AEF =54°， 则∠B 的度数为（ ）A ．54°B ．60°C ．66°D ．72°第5题图 第7题图 第8题图9．如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB =m ， PC =n ，AB =c ，AC =b ，则（m +n ）与（b +c ）的大小关系是（ ）A ．m +n ＞b +cB ．m +n ＜b +cC ．m +n =b +cD ．无法确定第9题图 第10题图10．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y =x 上一点P （1，1），C 为y 轴上一点，连接PC ，线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ，过点D 作直线AB ⊥x 轴，垂足为B ，直线AB 与直线y =x 交于点A ，且BD =2AD ，连接CD ，直线CD 与直线y =x 交于点Q ，则点Q 的 坐标为（ ）A ．（25，25）B ．（3，3）C ．（47，47） D ．（49，49）二、填空题（每小题5分，共30分）11．已知a =6013，b =1315，则代数式(a +b )2－(a －b )2的值为____________． 12．如图，在△ABC 中，AB=4，AC =3，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于点F ，交AB 于点G ，连接EF ，则线段EF 的长等于 ．13．若关于x 的方程0111=--+x ax 的解为正数，则a 的取值范围是_____________． 14．如图，点A （1，1），B （2，－3），点P 为x 轴上一点，当|P A －PB |最大时，点P 的坐 标为_____________．第12题图 第14题图 第16题图 15． 若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，a 、b 满足)2(2)3(b a b b a a -=-，则abb aba +-=_______．16．如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，D 为BC 上一点，BE ∥AC ，且DE ⊥AD ，若 BD =2，CD =4，则BE 的长为_______________．---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------三、解答题（共5小题，共50分）17．先化简，再求值：yx y xy x y x yx ++++--239，其中x =3，y =4．（8分）18．定义：如果一个数的平方等于－1，记为i 2=－1，这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a +bi （a ，b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫 做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算：（5+i ）×（3－4i ）=19－17i ． 试一试：请利用学过的有关知识将ii-+22化简成a +bi 的形式．（9分）19．如图，在平行四边形ABCD 中，CE 平分∠BCD ，交AB 边于点E ，EF ∥BC ，交CD 于点F ，点G 是BC 边的中点，连接GF ，且∠1=∠2，CE 与GF 交于点M ，过点M 作MH ⊥CD 于点H ．求证：EM =FG +MH ．（10分）20．某超市在端午节前两天每天都花4000元购进咸肉馅和板栗馅粽子若干，已知这两种粽子每个的进价相同，第一天超市将咸肉馅粽子按进价的2倍销售，板栗馅粽子在进价的基础 上提价50%销售，当天全部售完，发现咸肉馅粽子销售了1200个，共获利3200元．（1）设这两种粽子的进价为每个a 元，求a 的值；（5分） （2）如果要求咸肉馅粽子的数量不能超过板栗馅粽子数量的60%，且按第一天的销售价格 销售，那么销售利润最多是多少元？（5分）21．在平面直角坐标系xOy 中，边长为6的正方形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，直线y =mx +2与OC ，BC 两边分别相交于点D ，G ，以DG 为边作菱形DEFG ， 顶点E 在OA 边上．（1）如图①，当CG =OD 时，求直线DG 的函数表达式；（3分） （2）如图②，连接BF ，设CG =a ，△FBG 的面积为S ． ①求S 与a 的函数关系式；（4分）②判断S 的值能否等于等于1？若能，求此时m 的值，若不能，请说明理由．（6分）八年级A 卷答案一、选择题（每小题4分，共40分）1.D2.C3.C4.A5.C6.A7.B8.D9.A 10.D 3.当x +3=0时，x =－3；当2x －3=1时，x =2；当x =1时，（2x －3）x +3=1．6.∵x －y +1=0，∴y =x +1，∵1＜y ＜2，∴1＜x +1＜2，∴0＜x ＜1， ∴1026234422+--+-+y x y y x=10)1(26)1(23)1(4422++--++-++x x x x x =96214422+-+++x x x x =22)3(2)12(-++x x =|2x +1|+2|x －3|=2x +1+2（3－x ） =7． 7.∵BP =31AB =1，∠BPR =60°，∴PR =1，根据等边三角形的性质可知当光 线第一次回到点P 时，光线经过的大致路线如图所示， ∴当第一次回到点P 时，这束光线所经过的路线的总长为---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------1+2+1+2+1+2=9．8.过F 作FG ∥AB ∥CD ，交BC 于G ．则四边形ABGF 是平行四边形，所以AF =BG ，即G 是BC 的中点；连接EG ，在Rt △BEC 中，EG 是斜边上的中线， 则BG =GE =FG =21BC ；∵AE ∥FG ，∴∠EFG =∠AEF =∠FEG =54°， ∴∠AEG =∠AEF +∠FEG =108°，∴∠B =∠BEG =180°－108°=72°．9.在BA 的延长线上取点E ，使AE =AC ，连接EP ，∵AD 是∠A 的外角平分线，∴∠CAD =∠EAD ，在△ACP 和△AEP 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，AP AP EAD CAD AC AE ,，∴△ACP ≌△AEP （SAS ），∴PE =PC ，在△PBE 中，PB +PE ＞AB +AE ， ∵PB =m ，PC =n ，AB =c ，AC =b ，∴m +n ＞b +c ．10.过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交AB 于N ，过D 作DH ⊥y 轴，交y 轴于H ， ∠CMP =∠DNP =∠CPD =90°，∴∠MCP +∠CPM =90°，∠MPC +∠DPN =90°， ∴∠MCP =∠DPN ，∵P （1，1），∴OM =BN =1，PM =1，在△MCP 和△NPD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠P D ,PC DPN MCP DNP CMP ，，∴△MCP ≌△NPD （AAS ），∴DN =PM ，PN =CM ， ∵BD =2AD ，∴设AD =a ，BD =2a ，∵P （1，1），∴BN =2a －1，则2a －1=1，a =1，即BD =2． ∵直线y =x ，∴AB =OB =3，在Rt △DNP 中，由勾股定理得：PC =PD =5，在Rt △MCP中，由勾股定理得：CM =2，则C 的坐标是（0，3），设直线CD 的解析式是y =kx +3，把D （3，2）代入得：k =－31，即直线CD 的解析式是y =－31x +3， 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,,331x y x y 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.49,49y x ，即Q 的坐标是（49，49）．二、填空题（每小题5分，共30分）11.1 12.21 13.a ＜1且a ≠－1 14.(21,0) 15.512 16.213.解方程得x =a -12，∵原方程的解为正数，∴x ＞0，即a-12＞0，当x －1=0时，x =1，代入得a =－1．此为增根，∴a ≠－1，解得a ＜1且a ≠－1．14.作A 点关于x 轴的对称点A'，连BA'，交x 轴于点P ，此时|P A -PB |最大． 由A'（1，－1）、B （2，－3）可得直线BA'的解析式为y =－2x +1， 令y =0，则x =21，即点P 的坐标为(21,0) ． 15.∵)2(2)3(b a b b a a -=-，∴a －3ab =2ab －4b ，∴a －5ab +4b =0， ∴（b a 4-）（b a -）=0，而a ≠b ，故b a 4-=0，a =16b ，原式=5124416=+-b b b b ．16.连AE ，过A 点作AF ⊥BC 于点F ，过点E 作EG ⊥CB 的延长线于点G ，∵BD =2，CD =4， ∴BC =6，由题意得BF =CF =AF =3，DF =1，AB =23，∴在Rt △ADF 中AD =10．设GE =GB =x ，则BE =x 2，GD =x +2，ED 2=x 2+（x +2）2，AE 2=ED 2+AD 2=x 2+（x +2）2+10，又在Rt △ABE 中，AE 2=BE 2+AB 2=2x 2+（23）2= 2x 2+18，∴x 2+（x +2）2+10=2x 2+18，解得x =1，∴BE =2．三、解答题（共5小题，共50分）17.解：原式=yx y x y x 3)3)(3(-+-+yx y x ++2)(=x +3y +x +y=2x +4y ，当x =3，y =4时，原式=23+44=23+8．18.解：i i i i i i i i i i 5453543444)2)(2()2(22222+=+=-++=+-+=-+． 19.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠1=∠ECF ，∵EF ∥BC ，∴四边形BCFE 是平行四边形，∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE =∠ECF ， ∴∠BCE =∠1，∴BC =BE ，∴四边形BCFE 是菱形．∵∠1=∠ECF ，∠1=∠2，∴∠ECF =∠2，∴CM =FM ，又∵MH ⊥CD ，连接BF 交CE 于点O ，∵G 是BC 中点， ∴CG =21CB ，∵CH =21CF ，∴CG =CH ，在△CGM 和△CHM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，CH CG HCM GCM CM CM , ∴△CGM ≌△CHM （SAS ），∴∠CGM =∠CHM =90°，即FG ⊥BC ，∴CF =BF ，∵BC =CF ，∴BC =CF =BF ，∴△BCF 是等边三角形， ∴∠BFC =60°，∴∠2=∠BFG =30°，∵BF ⊥CE ， ∴OM =MH ，∵OE =OC =FG ，∴EM =FG +MH ． 20.解：（1）设这两种粽子的进价为每个a 元，则1.5a ×aa12004000-+1200×2a －4000=3200，---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------解得：a =2．（2）由（1）知粽子的进价为每个2元，则前两天购进咸肉馅和板栗馅粽子4000÷2=2000 个，设利润为W 元，销售板栗粽子x 个，咸肉馅棕售价4元/个，板栗粽售价3元/个，根 据题意得：W =4（2000－x ）+3x －400=－x +4000，∵2000－x ≤60%x ，∴x ≥1250，∵－1＜ 0，∴W 随x 的增大而减小，∴当x =1250时，W 最大，最大值为W =－1250+4000=2750． 21.解：（1）∵将x =0代入y =mx +2得；y =2，∴点D 的坐标为（0，2）．∵CG =OD =2，∴点G 的坐标为（2，6），将点G （2，6）代入y =mx +2得：2m +2=6． 解得：m =2．∴直线DG 的函数表达式为y =2x +2． （2）①如图所示：过点F 作FH ⊥BC ，垂足为H ，延长FG 交y 轴于点N ． ∵四边形DEFG 为菱形，∴GF =DE ，GF ∥DE ．∴∠GNC =∠EDO ． ∴∠NGC =∠DEO ．∴∠HGF =∠DEO ．∴Rt △GHF ≌Rt △EOD ． ∴FH =DO =2．∴S △GBF =21GB ·HF ==21×2×（6－a ）=6－a ，∴S 与a 之 间的函数关系式为：S =6－a ．②当s =1时，则6－a =1，解得：a =5．∴点G 的坐标为（5，6）． 在△DCG 中，由勾股定理可知DG =41542222=+=+CG CD ． ∵四边形GDEF 是菱形，∴DE =DG =41．在Rt △DOE 中，由勾股定理可知 OE =44122-=-OD DE =37＞6．∴OE ＞OA ，∴点E 不在OA 上，∴S ≠1．图① 图②。
第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛：八年级地方晋级赛复赛A卷
第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛：八年级地方晋级赛复赛A 卷 --------------------------------------------------------------------------------- 考生须知：1. 每位考生将获得考卷一份。
考试期间,不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分,选择题每小题4分,填空题每小题5分,解答题共5小题,共 50分。
3. 请将答案写在本卷上。
考试完毕时,考卷及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数,请化至最简。
八年级地方晋级赛复赛A 卷（本试卷满分120分 ,考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分,共40分） 1．函数0)2(1--=x x y 的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≠1且x ≠2 C ．x ≥0且x ≠2 D ．x ≥0且x ≠2且x ≠12．某车由甲地等速前往丁地,如图,过程是：自甲向东直行8分钟至乙后, 朝东偏南直行8分钟至丙,左转90°直行15分钟至丁．若此车由甲地 按原来的速度匀速向东直行可到达丁地,则此车程需要（ ） A ．19.5分钟B ．24分钟C ．25分钟D ．28分钟3．如果等式（2x －3）x +3=1,则等式成立的x 的值的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．如右图,在一条笔直的小路上有一盏路灯,晚上小雷从点B 处径直走到点A 处再远离A 处时,小雷在灯光照射下的影长y 与行走的路程x 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图,△ABC 内有一点P ,点D 、E 、F 分别是点P 关于AB 、BC 、AC 对称的点．若△ABC的内角∠BAC =70°,∠ABC =60°,∠ACB =50°,则∠ADB +∠BEC +∠CF A 等于（ ） A ．180° B ．270° C ．360° D ．480°6．若实数x ,y 满足x －y +1=0且1＜y ＜2,化简1026234422+--+-+y x y y x 得（ ） A ．7B ．2x +2y －7C ．11D ．9－4y7．如图,正三角形ABC 的三边表示三面镜子,BP =31AB =1,一束光线从点P 发射至BC 上R点,且∠BPR =60°．光线依次经BC 反射,AC 反射,AB 反射…一直继续下去．当光线第 一次回到点P 时,这束光线所经过的路线的总长为（ ） A ．6B ．9C ．39D ．278．如图,在平行四边形ABCD 中,BC =2AB ,CE ⊥AB 于E ,F 为AD 的中点,若∠AEF =54°, 则∠B 的度数为（ ）A ．54°B ．60°C ．66°D ．72°第5题图 第7题图 第8题图 9．如图,在△ABC 中,AD 是∠A 的外角平分线,P 是AD 上异于A 的任意一点,设PB =m , PC =n ,AB =c ,AC =b ,则（m +n ）与（b +c ）的大小关系是（ ）A ．m +n ＞b +cB ．m +n ＜b +cC ．m +n =b +cD ．无法确定第9题图 第10题图10．如图,在平面直角坐标系中,已知直线y =x 上一点P （1,1）,C 为y 轴上一点,连接PC ,线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ,过点D 作直线AB ⊥x 轴,垂足为B ,直线AB 与直线y =x 交于点A ,且BD =2AD ,连接CD ,直线CD 与直线y =x 交于点Q ,则点Q 的 坐标为（ ） A ．（25,25） B ．（3,3） C ．（47,47） D ．（49,49）二、填空题（每小题5分,共30分） 11．已知a =6013,b =1315,则代数式(a +b )2－(a －b )2的值为____________． 12．如图,在△ABC 中,AB =4,AC =3,AD 、AE 分别是其角平分线和中线,过点C 作CG ⊥AD 于点F ,交AB 于点G ,连接EF ,则线段EF 的长等于 ． 13．若关于x 的方程0111=--+x ax 的解为正数,则a 的取值范围是_____________． 14．如图,点A （1,1）,B （2,－3）,点P 为x 轴上一点,当|P A －PB |最大时,点P 的坐 标为_____________．第12题图 第14题图 第16题图 15． 若a ＞0,b ＞0,且a ≠b ,a 、b 满足)2(2)3(b a b b a a -=-,则abb aba +-=_______．16．如图,△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC ,D 为BC 上一点,BE ∥AC ,且DE ⊥AD ,若 BD =2,CD =4,则BE 的长为_______________．三、解答题（共5小题,共50分） 17．先化简,再求值：y x y xy x y x yx ++++--239,其中x =3,y =4．（8分）18．定义：如果一个数的平方等于－1,记为i 2=－1,这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数,表示为a +bi （a ,b 为实数）,a 叫这个复数的实部,b 叫 做这个复数的虚部,它的加,减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似． 例如计算：（5+i ）×（3－4i ）=19－17i ． 试一试：请利用学过的有关知识将ii-+22化简成a +bi 的形式．（9分）19．如图,在平行四边形ABCD 中,CE 平分∠BCD ,交AB 边于点E ,EF ∥BC ,交CD 于点F ,点G 是BC 边的中点,连接GF ,且∠1=∠2,CE 与GF 交于点M ,过点M 作MH ⊥CD 于点H ．求证：EM =FG +MH ．（10分）20．某超市在端午节前两天每天都花4000元购进咸肉馅和板栗馅粽子若干,已知这两种粽子每个的进价相同,第一天超市将咸肉馅粽子按进价的2倍销售,板栗馅粽子在进价的基础上提价50%销售,当天全部售完,发现咸肉馅粽子销售了1200个,共获利3200元． （1）设这两种粽子的进价为每个a 元,求a 的值；（5分）（2）如果要求咸肉馅粽子的数量不能超过板栗馅粽子数量的60%,且按第一天的销售价格销售,那么销售利润最多是多少元？（5分）21．在平面直角坐标系xOy中,边长为6的正方形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴的正半轴上,直线y=mx+2与OC,BC两边分别相交于点D,G,以DG为边作菱形DEFG, 顶点E在OA边上．（1）如图①,当CG=OD时,求直线DG的函数表达式；（3分）（2）如图②,连接BF,设CG=a,△FBG的面积为S．①求S与a的函数关系式；（4分）②判断S的值能否等于等于1？若能,求此时m的值,若不能,请说明理由．（6分）图①图②八年级A卷答案一、选择题（每小题4分,共40分）1.D2.C3.C4.A5.C6.A7.B8.D9.A 10.D3.当x+3=0时,x=－3；当2x－3=1时,x=2；当x=1时,（2x－3）x+3=1．6.∵x－y+1=0,∴y=x+1,∵1＜y＜2,∴1＜x+1＜2,∴0＜x＜1,∴1026234422+--+-+yxyyx=10)1(26)1(23)1(4422++--++-++xxxxx=96214422+-+++xxxx=22)3(2)12(-++xx=|2x+1|+2|x－3|=2x+1+2（3－x）=7．7.∵BP=31AB=1,∠BPR=60°,∴PR=1,根据等边三角形的性质可知当光线第一次回到点P时,光线经过的大致路线如图所示,∴当第一次回到点P时,这束光线所经过的路线的总长为1+2+1+2+1+2=9．8.过F作FG∥AB∥CD,交BC于G．则四边形ABGF是平行四边形,所以AF=BG,即G是BC的中点；连接EG,在Rt△BEC中,EG是斜边上的中线,则BG=GE=FG=21BC；∵AE∥FG,∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°,∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°,∴∠B=∠BEG=180°－108°=72°．9.在BA的延长线上取点E,使AE=AC,连接EP,∵AD是∠A的外角平分线,∴∠CAD=∠EAD,在△ACP和△AEP中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，APAPEADCADACAE,,∴△ACP≌△AEP（SAS）,∴PE=PC,在△PBE中,PB+PE＞AB+AE,∵PB=m,PC=n,AB=c,AC=b,∴m+n＞b+c．10.过P作MN⊥y轴,交y轴于M,交AB于N,过D作DH⊥y轴,交y轴于H,∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°,∴∠MCP+∠CPM=90°,∠MPC+∠DPN=90°,∴∠MCP=∠DPN,∵P（1,1）,∴OM=BN=1,PM=1,在△MCP和△NPD中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠PD,PCDPNMCPDNPCMP，，∴△MCP≌△NPD（AAS）,∴DN=PM,PN=CM,∵BD=2AD,∴设AD=a,BD=2a,∵P（1,1）,∴BN=2a－1,则2a－1=1,a=1,即BD=2．∵直线y=x,∴AB=OB=3,在Rt△DNP中,由勾股定理得：PC=PD=5,在Rt△MCP中,由勾股定理得：CM=2,则C的坐标是（0,3）,设直线CD的解析式是y=kx+3,把D （3,2）代入得：k =－31,即直线CD 的解析式是y =－31x +3, 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,,331x y x y 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.49,49y x ,即Q 的坐标是（49,49）．二、填空题（每小题5分,共30分）11.1 12.21 13.a ＜1且a ≠－1 14.(21,0) 15.512 16.213.解方程得x =a -12,∵原方程的解为正数,∴x ＞0,即a-12＞0,当x －1=0时,x =1,代入得a =－1．此为增根,∴a ≠－1,解得a ＜1且a ≠－1．14.作A 点关于x 轴的对称点A',连BA',交x 轴于点P ,此时|P A -PB |最大． 由A'（1,－1）、B （2,－3）可得直线BA'的解析式为y =－2x +1,令y =0,则x =21,即点P 的坐标为(21,0) ． 15.∵)2(2)3(b a b b a a -=-,∴a －3ab =2ab －4b ,∴a －5ab +4b =0,∴（b a 4-）（b a -）=0,而a ≠b ,故b a 4-=0,a =16b ,原式=5124416=+-b b b b ． 16.连AE ,过A 点作AF ⊥BC 于点F ,过点E 作EG ⊥CB 的延长线于点G ,∵BD =2,CD =4, ∴BC =6,由题意得BF =CF =AF =3,DF =1,AB =23,∴在Rt △ADF 中AD =10．设 GE =GB =x ,则BE =x 2,GD =x +2,ED 2=x 2+（x +2）2,AE 2=ED 2+AD 2= x 2+（x +2）2+10,又在Rt △ABE 中,AE 2=BE 2+AB 2=2x 2+（23）2= 2x 2+18,∴x 2+（x +2）2+10=2x 2+18,解得x =1,∴BE =2．三、解答题（共5小题,共50分）17.解：原式=yx y x y x 3)3)(3(-+-+yx y x ++2)(=x +3y +x +y=2x +4y ,当x =3,y =4时,原式=23+44=23+8．18.解：i i i i i i i i i i 5453543444)2)(2()2(22222+=+=-++=+-+=-+． 19.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD ,∴∠1=∠ECF ,∵EF ∥BC ,∴四边形BCFE 是平行四边形,∵CE 平分∠BCD ,∴∠BCE =∠ECF , ∴∠BCE =∠1,∴BC =BE ,∴四边形BCFE 是菱形．∵∠1=∠ECF ,∠1=∠2,∴∠ECF =∠2,∴CM =FM ,又∵MH ⊥CD ,连接BF 交CE 于点O ,∵G 是BC 中点,∴CG =21CB ,∵CH =21CF ,∴CG =CH ,在△CGM 和△CHM 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，CH CG HCM GCM CM CM , ∴△CGM ≌△CHM （SAS ）,∴∠CGM =∠CHM =90°,即FG ⊥BC ,∴CF =BF ,∵BC =CF ,∴BC =CF =BF ,∴△BCF 是等边三角形, ∴∠BFC =60°,∴∠2=∠BFG =30°,∵BF ⊥CE , ∴OM =MH ,∵OE =OC =FG ,∴EM =FG +MH ． 20.解：（1）设这两种粽子的进价为每个a 元,则1.5a ×aa12004000-+1200×2a －4000=3200,解得：a =2．（2）由（1）知粽子的进价为每个2元,则前两天购进咸肉馅和板栗馅粽子4000÷2=2000 个,设利润为W 元,销售板栗粽子x 个,咸肉馅棕售价4元/个,板栗粽售价3元/个,根 据题意得：W =4（2000－x ）+3x －400=－x +4000,∵2000－x ≤60%x ,∴x ≥1250,∵－1＜ 0,∴W 随x 的增大而减小,∴当x =1250时,W 最大,最大值为W =－1250+4000=2750． 21.解：（1）∵将x =0代入y =mx +2得；y =2,∴点D 的坐标为（0,2）．∵CG =OD =2,∴点G 的坐标为（2,6）,将点G （2,6）代入y =mx +2得：2m +2=6． 解得：m =2．∴直线DG 的函数表达式为y =2x +2．（2）①如图所示：过点F 作FH ⊥BC ,垂足为H ,延长FG 交y 轴于点N ． ∵四边形DEFG 为菱形,∴GF =DE ,GF ∥DE ．∴∠GNC =∠EDO ． ∴∠NGC =∠DEO ．∴∠HGF =∠DEO ．∴Rt △GHF ≌Rt △EOD ． ∴FH =DO =2．∴S △GBF =21GB ·HF ==21×2×（6－a ）=6－a ,∴S 与a 之 间的函数关系式为：S =6－a ．②当s =1时,则6－a =1,解得：a =5．∴点G 的坐标为（5,6）． 在△DCG 中,由勾股定理可知DG =41542222=+=+CG CD ． ∵四边形GDEF 是菱形,∴DE =DG =41．在Rt △DOE 中,由勾股定理可知 OE =44122-=-OD DE =37＞6．∴OE ＞OA ,∴点E 不在OA 上,∴S ≠1．。
第15届WMO全国复赛9年级试卷
姓名 年级 学校 准考证号 考场 赛区_________ 父母姓名 、 联系电话_ 、------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得考卷一份。
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2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。
3. 请将答案写在答题卡上。
考试完毕时，试卷、答题卡及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数，请化至最简。
九年级全国总决赛复赛（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分）1．若a 是200.4的算术平方根，则下列关系正确的是（ ）A ．40000＜a ＜40401B ．200＜a ＜201C ．20.0＜a ＜20.1D ．14＜a ＜152．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、点D 在⊙O 上，连接AC 、BC 、AD 、CD ，若∠BAC =50°， 则∠ADC 的度数为（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°3．坐标平面内有两点P （x ，y ），Q （m ，n ），若x +m =0，y －n =0，则点P 与点Q （ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．无对称关系 4．一组数据6，6，6，6，6，添加一个数0后，方差将会（ ）A ．变大B ．变小C ．不变D ．无法确定 5．适合于（y －2）x 2+yx +2=0的非负整数对（x ，y ）的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．做自然数带余除法，有算式A ÷B =C ……27，如果B ＜100，且A －80B +21C +524=0，则A 的值为（ ）A ．2003B ．3004C ．4005D ．4359 7．如图，△AOB 和△ACD 均为正三角形，且顶点B 、D 均在双曲线xy 4=（x ＞0）上，则图 中S △OBP 等于（ ）A ．32B ．33C ．34D ．4第2题图 第7题图 第8题图8．如图，在矩形ABCD 中，AD =1，AB ＞1，AG 平分∠BAD ，分别过点B 、C 作BE ⊥AG 于点E ，CF ⊥AG 于点F ，则AE －GF 的值为（ ） A ．1 B ．22 C ．23 D ．29．如图，在直角坐标系中，等腰直角△ABO 的O 点是坐标原点，A 的坐标 是（－4，0），直角顶点B 在第二象限，等腰直角△BCD 的C 点在y 轴 上移动，我们发现直角顶点D 点随之在一条直线上移动，这条直线的解析 式是（ ） A ．y =－2x +1B ．y =－21x +2 C ．y =－3x －2 D ．y =－x +210．在平面直角坐标系中，直线l 平行x 轴，交y 轴于点A ，第一象限内的点B 在l 上，连接OB ，动点P 在直线OB 上运动且满足∠APQ =90°，PQ 交x 轴于点C ．点D 是直线OB 与 直线CA 的交点，点E 是直线CP 与y 轴的交点，若∠ACE =∠AEC ，PD =2OD ，则P A :PC 等于（ ）A ．515或513B ．315 C ．515或315 D ．513二、填空题（每小题5分，共30分）11．一个扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则此扇形的半径为____________．12．坐标平面内，一点光源位于A （0，5）处，线段CD ⊥x 轴，D 为垂足，C （3，1），则CD 的影长为 ．13．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45°的传送带AB ，调整为坡度i =1：3的新传送带AC （如图所示）．已知原传送带AB 的长是24米．那么新传送带AC的长是 米．14．a ，b ，c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则计算2a +999b +1017c 的值 是_____________．15．研究表明，一种培育后能繁殖的细胞在一定的环境下有以下规律：若有n 个细胞，经过第一周期后，在第1个周期内要死去1个，会新繁殖（n －1）个；经过第二周期后，在第2 个周期内要死去2个，又会新繁殖（n －2）个；以此类推．例如，细胞经过第x 个周期后 时，在第x 个周期内要死去x 个，又会新繁殖（n －x ）个．其规律如下表：周期序号 在第x 周期后细胞总数1 n －1+（n －1）=2（n －1）2 2（n －1）－2+（n －2）=3（n －2）3 3（n －2）－3+（n －3）=4（n －3） … …当n =21时，细胞在第10周期后时细胞的总个数最多．最多是 个．姓名 年级 学校 准考证号 考场 赛区_________ 父母姓名 、 联系电话_ 、 ------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2， 点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，…， 重复操作依次得到点P 1，P 2，…，则点P 2010的坐标是_______________．WMO 世 界 奥 林 匹 克 数 学 竞 赛 （ 中 国 区 ） 选 拔 赛------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- 三、解答题（共5小题，共50分）17．利用分解因式说明256－510能被120整除．（8分）18．如图①，⊙O 的半径为r （r ＞0），若点P ′在射线OP 上，满足OP ′•OP =r 2，则称点P ′是点P 关于⊙O 的“美好点”．如图2，⊙O 的半径为2，点B 在⊙O 上，∠BOA =60°，OA =4， 若点A ′、B ′分别是点A ，B 关于⊙O 的美好点，求A ′B ′的长．（10分）图① 图②19．已知关于x 的方程x 2+bx +1=0的两实根为α、β，若α＞β，且以α2+β2、3α－3β、αβ为三边的三角形是等腰三角形，求b 的值．（10分）20．在科技馆里，小亮看见一台名为帕斯卡的三角仪器，如图所示，当一实心小球从入口落下， 它在依次碰到每层菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下． （1）试问小球通过第二层A 位置的概率是多少？（5分）（2）请用学过的数学方法模拟试验，并具体说明小球下落到第三层B 位置和第四层C 位置 处的概率各是多少？（5分）21．如图①所示，已知y =x6（x ＞0）图象上一点P ，P A ⊥x 轴于点A （a ，0），点B （0，b ） （b ＞0），动点M 是y 轴正半轴点B 上方的点，动点N 在射线AP 上，过点B 作AB 的垂 线，交射线AP 于点D ，交直线MN 于点Q ，连接AQ ，取AQ 中点为C ． （1）如图②，连接BP ，求△P AB 的面积；（3分）（2）当Q 在线段BD 上时，若四边形BQNC 是菱形，面积为23，①求此时Q 、P 点的 坐标；（5分）②并求出此时在y 轴上找到点E 点，使|EQ －QP |值最大时的点E 的坐标．（4分）图① 图②。
第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛含答案
---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- 第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛 --------------------------------------------------------------------------------- 考生须知： 1. 每位考生将获得一份试卷。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。
3. 请将答案写在本卷上。
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4. 若计算结果是分数，请化至最简。
九年级地方晋级赛复赛A 卷 （本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．252用科学记数法可以表示为（ ） A ．8×10-1 B ．8×10-2 C ．2.3×10-1 D ．2.3×10-2 2．如图，O 为线段AB 的中点，AB =4cm ，P 1、P 2、P 3、P 4到点O 的距离分别是1cm 、2cm 、 2.8cm 、1.7cm ，下列四点中能与A 、B 构成直角三角形的顶点是（ ） A ．P 1 B ．P 2 C ．P 3 D ．P 4 第2题图 第3题图 第4题图 3．如图，圆上有A 、B 、C 三点，直线l 与圆相切于点A ，CD 平分∠ACB ，且与l 交于点D ， 若⌒AB =80°，⌒BC =60°，则∠ADC 的度数为（ ） A ．80° B ．85° C ．90° D ．95° 4．如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1：4，∠OCD =90°， CO =CD ．若点B 的坐标为（1，0），则点C 的坐标为（ ） A ．（2，2） B ．（2，4） C ．（22，22） D ．（4，2） 5．方程组⎩⎨⎧=+=+6||,12||y x y x 的解的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．若等式23)3)(2(1-+-=---x b x a x x x （a 、b 为常数）成立，则a 、b 的值为（ ） A ．a =4，b =－3 B ．a =2，b =－1 C ．a =－1，b =1 D ．a =－1，b =2 7．小梦每周有100元零用钱，一小块巧克力3元，一根棒棒糖2元．小梦的幸福值可以用公 式“幸福值=巧克力块数×棒棒糖根数”来表示，则小梦一个月可达到的幸福值最高为（ ）A ．300B ．405C ．416D ．4508．如图，矩形台球桌ABCD ，其中A 、B 、C 、D 处有球洞，已知DE =4，CE =2，BC =36，球从E 点出发，与DC 夹角为α，经过BC 、AB 、AD三次反弹后回到E 点，则关于tan α的说法下列正确的是（ ）---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- A ．3≤tan α＜323 B ．343＜tan α＜323 C ．tan α=3 D ．343＜tan α＜33 9．如图，已知反比例函数y =x k 的图象过Rt △ABO 斜边OB 的中点D ，与直 角边AB 相交于C ，连结AD 、OC ，若△ABO 的周长为4+25，AD =2， 则△ACO 的面积为（ ） A ．41 B ．21 C ．1 D ．2 10．将直线l 1：y =x 和直线l 2：y =2x +1及x 轴围成的三角形面积记为S 1，直线l 2：y =2x +1和 直线l 3：y =3x +2及x 轴围成的三角形面积记为S 2，…，以此类推，直线l n ：y =nx +n －1 和直线l n +1：y =（n +1）x +n 及x 轴围成的三角形面积记为S n ，记W =S 1+S 2+…+S n ，当n 越来越大时，你猜想W 最接近的常数是（ ） A ．32 B ．21 C ．31 D ．41 二、填空题（每小题5分，共30分） 11．已知a 2－5a －1=0，则5（1+2a ）－2a 2=___________． 12．宜君手上有24张卡片，其中12张卡片作上“O ”记号，另外12张卡片作上“X ”记号． 右图表示宜君从手上拿出6张卡片放在桌面的情形，且她打算从手上剩下的卡片中抽出一 张卡片，若她手上剩下的每张卡片被抽到的概率相等，则她抽出记号为“O ” 的卡片的概率是___________． 13．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，AD 是经过A 点的一条直线，且B 、C 在AD 的两侧，BD ⊥AD 于D ，CE ⊥AD 于E ，交AB 于点F ，CE =10，BD =4，则DE 的长为_________． 第13题图 第14题图 第16题图 14．如图，将半径为5的半圆的直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动 滚动，直到半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度为 ． 15．正数m ，n 满足m +n m mn 424--+4n =3，则2016282++-+n m n m 的值为 ． 16．已知正方形ABCD 的边长为5，点E 在BC 边上运动，点G 是DE 的中点，EG 绕点E 顺 时针旋转90°得到EF ，当CE = 时，点A 、C 、F 在一条直线上．---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- 三、解答题（共5小题，共50分） 17．解不等式：)1)(221()1)(31(22+--++y y y y ＞（8分） 18．如果有理数m 可以表示成2x 2－6xy +5y 2（其中x 、y 是任意有理数）的形式，我们就称m 为“世博数”．那么两个“世博数”之积也是“世博数”吗？请证明．（9分） 19．如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm ，宽30cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例 相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的51，上、下边衬等宽，左、右边 衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度．（结果精确到0.1cm ，参考数据5≈2.236）（10分） 20．如图①是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图②所示的几何图形，若 显示屏所在面的侧边AO 与键盘所在面的侧边BO 长均为24cm ，点P 为眼睛所在位置，D 为AO 的中点，连接PD ，当PD ⊥AO 时，称点P 为“最佳视角点”，作PC ⊥BC ，垂足C 在OB 的延长线上，且BC =12cm ． （1）当P A =45cm 时，求PC 的长；（5分） （2）若∠AOC =120°时，“最佳视角点”P 在直线PC 上的位置会发生什么变化？此时PC 的 长是多少？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）（5分）图① 图②---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- 21．已知二次函数图象的顶点坐标为A （2，0），且与y 轴交于点（0，1），B 点坐标为（2，2）， 点C 为抛物线上一动点，以C 为圆心，CB 为半径的圆交x 轴于M ，N 两点（M 在N 的左 侧）． （1）求此二次函数的表达式；（3分） （2）当点C 在抛物线上运动时，弦MN 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发 生变化，求出弦MN 的长；（4分） （3）当△ABM 与△ABN 相似时，求出M 点的坐标．（6分） 备用图 九年级A 卷答案 三、选择题（每小题4分，共40分） 1.B 2.B 3.C 4.A 5.A 6.B 7.C 8.C 9.A 10.B 5.当x ≥0，y ≤0时，原方程组可化为：⎩⎨⎧=-=+,6,12y x y x 解得⎩⎨⎧==;3,9y x 由于y ≤0，所以此种情况不成 立；当x ≤0，y ≥0时，原方程组可化为：⎩⎨⎧=+=-,6,12y x x y 解得⎩⎨⎧=-=;9,3y x 当x ≥0，y ≥0时， ⎩⎨⎧=+=+,6,12y x y x 无解；当x ≤0，y ≤0时，⎩⎨⎧=-=-,6,12y x x y 无解；因此只有一组解． 7.设巧克力和棒棒糖的数量分别为x ，y ，幸福值为W ，根据题意得：3x +2y ≤100，W =xy ，∴y =x W ， ∴3x +2x W ≤100，∴W ≤50x －23x 2=－23（x －350）2+31250，∵x ，y 为整数，∴x =16，y =26---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- 时，W 最大=xy =416． 8.如图，∵DE =4，CE =2，球从E 点出发，与DC 夹角为α，经过BC 、AB 、AD 三次反弹后 回到E 点，∴四个三角形相似，并且相对的两个三角形全等， ∴CF =211+BC =23，∴在Rt △CEF 中，tan α=CE CF =3． 9.在Rt △AOB 中，AD =2，AD 为斜边OB 的中线，∴OB =2AD =4， 由周长为4+25，得到AB +AO =25，设AB =x ，则AO =25－x ， 根据勾股定理得：AB 2+OA 2=OB 2，即x 2+（25－x ）2=42， 整理得：x 2－25x +2=0， 解得x 1=5+3，x 2=5－3，∴AB =5+3，OA =5－3，过D 作DE ⊥x 轴， 交x 轴于点E ，可得E 为AO 中点，∴OE =21OA =21（5－3）（若OA =5+3， 求出结果相同），在Rt △DEO 中，利用勾股定理得： DE =21（5+3），∴k =－DE •OE =－21（5+3）× 21（5－3）=－21，∴S △AOC =21|k |=41． 10.将y =nx +n －1和y =（n +1）x +n 联立得：⎩⎨⎧++=-+=,)1(,1n x n y n nx y 解得：⎩⎨⎧-=-=.1,1y x ∴无论k 取何 值，直线l n 和直线l n +1均交于定点（－1，－1），k ≠1时，l n 与l n+1的图象的示意图如图， ∵y =nx +n －1与x 轴的交点为A （n n -1，0），y =（n +1）x +n 与x 轴的交点为B （1+-n n ， 0），∴S n =S △ABC =21×|AB |×|－1|=21×|11|++-n n n n ×1=)1(21+n n ， 当n =1时，结论同样成立．∴W =S 1+S 2+S 3+…+S n = ]11321211[21）（+++⨯+⨯⨯n n =21（1－21+21－31+…+111+-n n ）= 21（1－11+n ）=121+⨯n n ．当n 越来越大时，1+n n 越来越接近与1． ∴121+⨯n n 越来越接近于21，∴W 越来越接近于21． 四、填空题（每小题5分，共30分） 11.3 12.94 13.6 14.5π 15.20195- 16.35 13.∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴∠BAD +∠CAD =90°，∵CE ⊥AD 于E ，∴∠ACE +∠CAE =90°， ∴∠BAD =∠ACE ，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴AE =BD =4，AD =CE =10，∴DE =AD － AE =6． 14.由图形可知，圆心先向前走OO 1的长度，圆心从O 到O 1的运动轨迹是一条直线，长度为41圆的周长，然后沿着弧O 1O 2旋转41圆的周长，则圆心O 运动路径的长度为：41×2π×5+ 41×2π×5=5π． 15.∵m +4n m mn 42--+4n =3，∴m +4mn +4n －2（m +2n ）－3=0，---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- ∴（m +2n ）2－2（m +2n ）－3=0，∴（m +2n －3）（m +2n +1）=0， ∴m +2n =3，m +2n ）=－1（不合题意，舍去），∴原式=2016383+-=20195-． 16.过F 作FN ⊥BC ，交BC 延长线于N 点，连接AC ， ∵∠DCE =∠ENF =90°，∠DEC +∠NEF =90°，∠NEF +∠EFN =90°， ∴∠DEC =∠EFN ，∴Rt △FNE ∽Rt △ECD ， ∵DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90°得EF ，∴DE :EF =2:1， ∴CE :FN =DE :EF =DC :NE =2:1，∴CE =2NF ，NE =21CD =25． ∵∠ACB =45°，∴当∠NCF =45°时，A 、C 、F 在一条直线上． 则△CNF 是等腰直角三角形，∴CN =NF ，∴CE =2CN ， ∴CE =32NE =32×25=35．∴CE =35时，A 、C 、F 在一条直线上． 五、解答题（共5小题，共50分） 17.解：∵y 2+1＞0，则原不等式可化为1+3y ＞1－22-y ，解得y ＞1.2． 18.解：是的．证明如下：∵m =2x 2－6xy +5y 2=（x －2y ）2+（x －y ）2，其中x 、y 是有理数， ∴“世博数”m =p 2+q 2（其中p 、q 是任意有理数），只需p =x －2y ，q =x －y 即可． ∴对于任意两个“世博数”，不妨设一个为a =j 2+k 2，另一个为b =r 2+s 2，其中j 、k 、r 、 s 为任意给定的有理数，则ab =（j 2+k 2）（r 2+s 2）=（jr +ks ）2+（js －kr ）2是“世博数”． 19.解一：设上、下边衬宽均为4x cm ，左、右边衬宽均为3x cm ，则（40－8x ）（30－6x ）=54×40×30． 整理，得x 2－10x +5=0，解之得x =5±25，∴x 1≈0.53，x 2≈9.47（舍去）， 答：上、下边衬宽均为2.1cm ，左、右边衬宽均为1.6cm ． 解二：设中央矩形的长为4x cm ，宽为3x cm ，则4x ×3x =54×40×30，解得x 1=45，x 2= －45（舍去），∴上、下边衬宽为20－85≈2.1，左、右边衬宽均为15－65≈1.6， 答：上、下边衬宽均为2.1cm ，左、右边衬宽均为1.6cm ． 20.解：（1）如图，当P A =45cm 时，连接PO ．∵D 为AO 的中点，PD ⊥AO ，∴PO =P A =45cm ． ∵BO =24cm ，BC =12cm ，∠C =90°，∴OC =OB +BC =36cm ，PC =223645-=27（cm ）； （2）当∠AOC =120°，如图，过D 作DE ⊥OC 交BO 延长线于E ，过D 作DF ⊥PC 于F ， 则四边形DECF 是矩形．在Rt △DOE 中，∵∠DOE =60°，DO =21AO =12， ∴DE =DO •sin60°=63，EO =21DO =6，∴FC =DE =63，DF =EC =EO +OB +BC = 6+24+12=42．在Rt △PDF 中，易求得∠PDF =30°， ∴PF =DF •tan30°=42×33=143， ∴PC =PF +FC =143+63=203≈34.64＞27， ∴点P 在直线PC 上的位置上升了．21.解：（1）设抛物线的表达式为y =a （x －2）2．∵将（0，1）代入得：4a =1，解得a =41，---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- ∴抛物线的解析式为y =41（x －2）2． （2）MN 的长不发生变化．理由如下： 如图1所示，过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H ，连接BC 、CN ． 设点C 的坐标为（a ，2)2(41-a ）．∵CH ⊥MN ，∴MH =HN ． ∵HN 2=CN 2－CH 2=CB 2－CH 2，∴HN 2=[2－2)2(41-a ]2+（a －2）2－[2)2(41-a ]2=4． ∴HN =2．∴MN =4．∴MN 不发生变化． （3）①如图2所示，当点C 与点A 重合时．∵MN 经过点C ，∴MN 为圆C 的直径．∴MC =2． ∵点C （2，0），∴M （0，0）． ②如图3所示，∵△ABM ∽△ANB ，∴AB AN AM AB =，即AB 2=AM •AN ． 设AM =a ，则4=a （a +4），解得：a 1=－2+22，a 2=－2－22（舍去）， 又∵点A （2，0），∴2+（－2+22）=22．∴点M 的坐标为（22，0）． ③如图4所示，∵△ABN ∽△AMB ，∴AB 2=AN •AM ． 设AM =a ，则4=a （a －4），解得：a 1=2+22，a 2=2－22（舍去）． 又∵点A （2，0），∴2－（2+22）=－22．∴点M 的坐标为（－22，0）．。
第15届WMO全国初赛3年级试卷
姓名年级学校准考证号赛区考场联系电话-------------------装----------------------订----------------------线---------------------第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛全国总决赛------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------三年级初赛试卷（本试卷满分120分，考试时间75分钟）一、初试牛刀（单选题Ⅰ，每题5分，共50分）1.与最左边图形转动后所形成的图形相同的是（）。
A. B. C.2.丽丽正在参加一场激烈的100米赛跑，之前她是第四名，然后她卯足了力气往前跑，成功超过了第二名，那么她现在是第（）名。
A.一B.二C.三D.四3.能够进入世界棒球比赛决赛的国家有16个，参加此比赛的选手共有448人，每个国家的参赛选手人数是一样的。
进入比赛的某国让自己的选手每14人站一列，这样所有比赛的选手一共可以站（）列。
A.14B.16C.28D.324.可可从国际酒店前往上海厅参加“WMO世奥赛全国总决赛”个人赛考试，并原路返回。
已知两地的距离是1200米，且可可去时每分钟走120米，回时每分钟走80米。
那么，可可往返的平均速度是每分钟走（）米。
A.96B.100C. 108D. 1205.使用数字卡片3、2、5、8中的三张组成一个式子，写成“两位数×一位数”。
此“两位数×一位数”最小的积是（）。
A.70B.75C.76D.846.下图中出现的数学名人是（）。
A.华罗庚B.陈景润C.丘成桐D.祖冲之7.如果△=15，△△=9， =8， =20，那么△ =（）。
A.11B.18C.24D.288.熊猫欢欢一天早晨、中午和晚上一共吃了80个竹笋，中午吃的个数是早晨的2倍，晚上吃的个数是早晨的2倍多5。
第15届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛地方复赛7年级B卷(中国赛区)选拔赛(有答案)
姓名 年级 学校 准考证号 考场 赛区_________ 父母姓名 、 联系电话_ 、 ------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知:1. 每位考生将获得考卷一份。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共 50分。
3. 请将答案写在本卷上。
考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数，请化至最简。
七年级地方晋级赛复赛B 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分）1．若3a -≤2a-，则a 一定满足（ ）A ．a ＞0B ．a ＜0C ．a ≥0D ．a ≤02．正数a 的两个平方根是方程3x +2y =2的一组解，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．9 D ．43．甲、乙两种茶叶，以x :y （重量比）混合制成一种混合茶，甲种茶叶的价格每公斤50元， 乙种茶叶的价格每公斤40元，现在甲种茶叶的价格上调了10%，乙种茶叶的价格下调了 10%，但混合茶的价格不变，则x :y 等于（ ）A ．1:1B ．5:4C ．4:5D ．5:64．已知x =－2015，计算|x 2+2014x +1|+|x 2+2016x －1|的值为（ ） A ．4030 B ．4031C ．4032D ．40335．已知关于x ，y 的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=+4832,412m y x m y x 的解满足3x －1＜y ，则m 的取值范围是（ ） A ．31-＜m B ．31-＞m C ．32-＜m D ．32-＞m6．如图，长方形纸片按图①中的虚线第一次折叠得图②，折痕与长方形的一边形成的∠1=65°，再按图②中的虚线进行第二次折叠得到图③，则∠2的度数为（ ）图① 图②图③A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°7．如图，在坐标平面上，小七从点A （0，－8）出发，每天都是先向右走1个单位，再向上 走3个单位．小七第一天由A 点走到A 1点，第二天由A 1点走到A 2点，…．那么小七第二 十九天走到的点的坐标是（ ） A ．（28，70） B ．（28，79） C ．（29，70） D ．（29，79）第7题图 第8题图8．有一种“扫雷”游戏如图，方格内的数字表示与它相邻的方格内总共有的“地雷”数，例 如:右下角的数字1表示A 、B 、C 中只有一个“地雷”．通过推理，请判断“？”处应填 的数字是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．29．已知有一列数a 1，a 2，…，a n 满足:后面的这个数依次比前面的这个数大k （k 为定值）， 且3（a 3+a 5）+2（a 7+a 10+a 13）=24，则a 1+a 2+…+a 13的值为（ ） A ．22 B ．24 C ．26 D ．3010．已知正整数a 、b 、c 满足a ＞b ＞c ，且34－6（a +b +c ）+（ab +bc +ac ）=0，79+（ab +bc +ac ） －9（a +b +c ）=0，则abc 的值是（ ）A ．60B ．45C ．24D ．14二、填空题（每小题5分，共30分）11．在平面直角坐标系中点A 、B 的坐标分别是（－1，3）、（－1，－2），那么A 、B 两点间的距离是_______________．12．当4－1-a 有最大值时，－a 2n 的值为_______________．13．已知线段AB 的中点O 及线段AB 上任意一点M ，则MO :|AM －BM |=________________． 14．树上结满了桃子，小猴子第一天吃掉树上所有桃子的52，还扔掉了4个；第二天吃掉的桃 子数再加3个就等于第一天所剩桃子数的85，这时候树上至少还剩_____________个桃子． 15．算式（20142014+20132013）×342342的结果的尾数是_______________．16．在一次数学游戏中，老师在A 、B 、C 三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a 0，b 0，c 0，记为G 0=（a 0，b 0，c 0）．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果 数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），2 3 3A B 1？ C 1姓名 年级 学校 准考证号 考场 赛区_________ 父母姓名 、 联系电话_ 、 ------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n 次操作后的糖果数记为G 0= （a 0，b 0，c 0）．小晓发现：如果G 0=（4，8，18），那么游戏将永远无法结束，则此时G 2015= ．WMO 世 界 奥 林 匹 克 数 学 竞 赛 （ 中 国 区 ） 选 拔 赛------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- 三、解答题（共5小题，共50分）17．已知415=++b c b a ，411=-+b c b a ，求cb的值．（8分）18．若实数a 满足不等式2（a －3）＜32a-，试求不等式a x x a --＜5)4(的解集．（8分）19．已知，点E 、F 分别在直线AB ，CD 上，点P 在AB 、CD 之间，连接EP 、FP ，已知AB ∥CD ，将射线FC 沿FP 折叠，交PE 于点J ，若JK 平分∠EJF ，且JK ∥AB ，则∠BEP 与∠EPF 之间有何数量关系，并证明你的结论．（10分）20．如图，已知在平面直角坐标系中，△ABO 的面积为8，OA =OB ，BC =12，点P 的坐标是 （a ，6）．（1）△ABC 三个顶点的坐标分别为A （____,____），B （____,____），C （____,____）； （2）是否存在点P ，使得S △P AB =S △ABC ？若存在，求出满足条件的所有点P 的坐标．（6分）21．排球比赛中，甲、乙两方上场的各6名队员面对排球网，分别站在排球场的一边，6名队员一般站成两排，从排球场右下角开始，分别为1号位、2号位、3号位、4号位、5号位、 6号位（如图）．比赛中每一次换发球的时候有位置轮换，简单说就是第一轮发球是比赛开始由甲方1号位 的选手发球，得分则继续发球，失分则乙方发球，再轮到甲方选手发球时是第二轮发球．甲 方全体队员按顺时针方向转一个位置（转一圈），即1号位的队员到6号位置，6号位到 5号位，以此类推，2号位队员到1号位置发球，得分则继续发球，失分则乙方发球，再 轮到甲方选手发球的时候，甲方全体队员按顺时针方向转一个位置（转一圈），随后以此 类推…如果甲方选手小花上场时（这场比赛最多发21轮球）站在6号位置，那么， （1）第五轮发球时，她站在几号位置？（3分） （2）第几轮发球时，她站在3号位置？（4分） （3）第n 轮发球时，她站在几号位置？（5分）。
第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛附答案
P 1 B ． C ．P 3 D ．P 4
第2题图 第3题图 第4题图
．如图，圆上有A 、B 、C 三点，直线l 与圆相切于点CD 平分∠ACB ，且与=80°，=60°ADC 的度数为（ ⌒
BC 80° B ．D ．95°
．如图，△OAB 与△OCD 为位似中心的位似图形，相似比为1：4，∠AD ＜tan α＜334
3
3，与直
第13题图 第14题图 第16题图
．如图，将半径为5的半圆的直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动滚动，直到半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度为 ．．正数m ，n 满足m +的值为
42016
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≈1.414，≈1.732）
备用图
、AB 、AD 三次反弹后整理得：x 2－2x +2=0，5，过D 作DE ⊥x 轴，∴无论k 取何
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）－3=0，。
WMO 世 界 奥 林 匹 克 数 学 竞 赛 ( 中 国 区 ) 选 拔 赛第15届地方复赛7年级A卷 答案
WMO 世 界 奥 林 匹 克 数 学 竞 赛 （ 中 国 区 ） 选 拔 赛姓名 年级 学校 准考证号 考场 赛区_________ 父母姓名 、 联系电话_ 、---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得考卷一份。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。
3. 请将答案写在本卷上。
考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数，请化至最简。
七年级地方晋级赛复赛A 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分）1．33)1(-的立方根是（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．±1 2．已知⎩⎨⎧==1,2y x 是方程组⎩⎨⎧=+=+1,5ay bx by ax 的解，则a +b 的值是（ ）A ．－1B ．2C ．3D ．43．大华、小宇两兄弟与父母一起量体重，已知母亲和大华共重110公斤，父亲和小宇共重120 公斤．若大华比小宇重3公斤，则父亲比母亲重（ ）A．7公斤 B ．10公斤 C ．13公斤 D ．17公斤 4．已知S =2+4+6+…+200，T =1+3+5+…+199，则S －T 的值为（ ） A ．50 B ．100 C ．200 D ．4005．如图是将积木放在等臂天平上的三种情形．若一个球形、方形、锥形的积木重量分别用x 、 y 、z 表示，则x 、y 、z 的大小关系是（ ）A ．x ＞y ＞zB ．y ＞z ＞xC ．y ＞x ＞zD ．z ＞y ＞x6．将边长是10cm 的正方形纸片中间挖一个正方形洞，成为一个边宽是1cm 的方框．把5个 这样的方框放在桌上，成为如图所示图形，则桌面上被这些方框盖住的部分面 积是（ ）A ．262cm 2B ．260cm 2C ．180cm 2D ．172cm 2 7．当x 变化时，|x －4|+|x +t |有最小值3，则常数t 的值为（ ）A ．－1B ．7C ．－1或－7D ．3或－1 8．如右面左图，P 点在O 点正北方．一只机器狗从P 点按逆时针 方向绕着O 点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如右面右 图所示．那么经过101分钟，机器狗的位置会是下列图形中的 （ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，AB ∥CD ，EG 、EM 、FM 分别平分∠AEF ，∠BEF ，∠EFD ， 则图中与∠DFM 相等的角（不含它本身）的个数为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．810．若a 、c 、d 是整数，b 是正整数，且a +b =c ，b +c =d ，c +d =a ，则a +b +c +d 的最大值是（ ） A ．5 B ．2 C ．－5 D ．－2二、填空题（每小题5分，共30分）11．当x ____________时，式子523--x 的值是非正数．12．设a 、b 、c 都是实数，且满足（2－a ）2+c b a ++2+|c +8|=0，ax 2+bx +c =0，则代数式x 2+2x－2016的值为______________．13．在平面直角坐标系中，线段AB 两个端点分别是A （－3，1），B （1，3），点C 是线段AB 的中点．把线段AB 平移后得到线段A'B'，点A 、B 、C 分别与A'、B'、C'对应，若点 A'的坐标是（－1，－1），则点C'的坐标为_______________．14．许久未见的蜜蜜，圆圆，西西，豆豆，琪琪五位同学欢聚在Let’s party 餐厅，他们相互拥抱一次，中途统计各位同学拥抱次数为：蜜蜜拥抱了4次，圆圆拥抱了3次，西西拥抱 了2次，豆豆拥抱了1次，那么此时琪琪拥抱了 次．15． 1059、1417和2312分别除以d 所得余数均为r （d 是大于1的整数），则d －21r = ． 16．在一次数学游戏中，老师在A 、B 、C 三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a 0，b 0，c 0，记为G 0=（a 0，b 0，c 0）．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果。
2015年世界少年奥林匹克数学竞赛地方海选赛试题参考答案及
2015年世界少年奥林匹克数学竞赛地方海选赛试题参考答案及评分标准（A 卷）八年级一、填空。
（每题5分，共计50分）1、－12、错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
3、1694、（x －1）(1－y)5、76、错误！未找到引用源。
7、β=900+α8、569、9000 10、7二、计算题（每题6分，共计12分）11、解：原式=[－1－(18－4－9)]÷│－9+5│.......................2分=－6÷4................................................................2分=－错误！未找到引用源。
.......................................................................2分12、解：原式=错误！未找到引用源。
+ 错误！未找到引用源。
+ 错误！未找到引用源。
+…+错误！未找到引用源。
..................................1分=错误！未找到引用源。
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）................2分=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+…+错误！未找到引用源。
................................1分=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
.............................................................1分=错误！未找到引用源。
............................................................................1分三、解答题（第13,14,15,每题8分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，共计58分）13、解：由2*3=错误！未找到引用源。
wmo世奥赛第15届全国复赛3年级试卷
-------------------装----------------------订----------------------线---------------------第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛全国总决赛------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------三年级复赛试卷（本试卷满分120分，考试时间90分钟）21.下面是智昊和秀妍发短信的内容。
智昊：“你能记住自己的座位号码吗？咱俩挨着呢……”秀妍：“我坐在最右边，是30几号。
”智昊：“哦，那我的座位号就是XX。
”以下是剧场的位置分布图，根据此图求出智昊的座位号。
（12分）22.亮亮有两条彩带，每条长40厘米。
其中一条被分成相等的四份，另一条被分成相等的五份。
亮亮用这两条彩带拼成了下面这个图形：亮亮拼出的这个图形的总长度是多少？（12分）23．一列火车共10节，每节长5米，每两节之间相距1米，这列火车以每分钟20米的速度通过101米长的隧道，需要多少分钟？（12分）24.10名同学到某旅游景点参观，该景点的门票全票每人10元，并且实行如下规则：若购买1张全票，其他人可享受9折优惠；若购买2张全票，其他人可享受8折优惠；若购买3张全票，其他人可享受7折优惠；……以此类推，若购买9张全票，其他人可享受1折优惠。
这10名同学的门票总共至少要多少元？（12分）25.下图中第（1）个图形中有1个小三角形，第（2）个图形中有4个小三角形，第（3）个图形中有9个小三角形，根据这些图形中小三角形的规律，请回答：（1）第（5）个图形中有多少个小的三角形？（2）前6个图形中共有多少个小的三角形？（12分）（1）（2）（3）剧场位置分布图……第15届WMO 全国总决赛3年级复赛答案21.最右边的号从7开始，每增加一排，座位号就增加7。
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P 1 B ． C ．P 3 D ．P 4
第2题图 第3题图 第4题图
．如图，圆上有A 、B 、C 三点，直线l 与圆相切于点CD 平分∠ACB ，且与=80°，=60°ADC 的度数为（ ⌒
BC 80° B ．D ．95°
．如图，△OAB 与△OCD 为位似中心的位似图形，相似比为1：4，∠AD ＜tan α＜334
3
3，与直
第13题图 第14题图 第16题图
．如图，将半径为5的半圆的直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动滚动，直到半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度为 ．．正数m ，n 满足m +的值为
42016
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≈1.414，≈1.732）
备用图
、AB 、AD 三次反弹后整理得：x 2－2x +2=0，5，过D 作DE ⊥x 轴，∴无论k 取何
-=-=.1,
1y x 的图象的示意图如图，
轴的交点为B （+-n n =90°，=AD － 圆的周长，则圆心O 运动路径的长度为：
n
）－3=0，。