第三章 刚体的定轴转动

令
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
r
法向加速度 ( normal acceleration )
转动 ( rotation ) 刚体运动时，刚体上所有的点都绕同一条 直线作圆周运动，这种运动就称为转动。 这条直线称为转轴。 定轴转动 ( fixed-axis rotation ) 转轴是固定不动的，就称为 定轴转动。 二 描述刚体运动的物理量 1. 角位移 ( angular displacement ) 特征 刚体上的各点在相同的时间 内所转过的角度是相同的
2 1 2 mgR Jα mR α 3 2 4 g α 3 R
ω0 t α ω0 3 R ω0 4 g 4 g 3 R
讨论：如果要求转过的圈数
N 2π
△θ由式 ω2 =ω02 + 2α(θ－θ0 ) 求
ω0 ω0 3 R 2 ω0 4 g 8 g 2 2 3 R
dL d dr dp （r p） pr dt dt dt dt dp v mv r dt dp r dt
rF
dL M dt
2. 角动量（动量矩）守恒定律 ( law of conservation of angular momentum )

如果
2
2
N 2π
3 R 2 ω0 16 πg
3 R 2 θ ω0 8 g
2. 力矩的功 ( work done by a torque ) 元功：
dA = F ds cosα = F r cosαdθ dθ 很小，ds ⊥ r F 与 r 间夹角 φ
α+φ =π／2 cosα = sinφ
第三章
刚体的定轴转动
内容
刚体的定轴转动 ( 角量、运动方程 ) 转动动能 转动惯量
转动定律 ( 力矩、力矩的功、转动定律、 定轴转动的动能定理 ) 角动量守恒定律 ( 角动量定理、角动量 守恒定律 ) 非惯性系 ( 惯性力、惯性离心力 )
要求
1. 理解力矩、转动惯量、转动动能、 角动量 ；
2. 掌握转动定律、角动量守恒定律 ；
但两者的乘积保持不变。
J↓， ω↑；
J↑， ω↓
角动量守恒定律 是 自然界中的一条 基本定律，不但 在宏观世界中成立， 而且 在微观领域中也是成立的
例5 如图所示，一质量为 m 的小球 系 在轻绳的一端，绳穿过一竖直的管子；一手 握管，另一手 执绳，先使小 球以速度 v0 在 水平面内沿半 径为 r0 的圆周 运动，然后向 下拉绳，使小 球的半径减小
ω t ω dω lim t 0 t dt
方向： 与角速度增量的方向相同 单位: 角位移 角速度 角加速度
“ rad ” “ rad · s－1 ”
“ rad · s－2 ”
4. 刚体定轴转动的运动方程 匀角速运动的运动方程
θ θ0 ωt
匀变角速运动的运动方程
θ:
角位置 △t 时间内转过 角度 △θ ， 角位移
2. 角速度 ( angular velocity )
平均角速度
ω t
瞬时角速度
θ d ω lim t 0 t dt
角速度的方向
用右手确定
v rω
质元的线速度
3. 角加速度 ( angular acceleration )
ωdω =
3g cosθ dθ 2L
π 2 0


0
ωdω
3g cosd 2L
1 2 3g ω 2 2L
∴
3g ω L
§3-4 角动量守恒定律
问题： 1. 舞蹈演员和花样滑冰运动员的旋转
2. 跳水运动员空中转体
问题表明：
无力矩作用，转动 状态为什么会改变
1. 角动量定理 ( theorem of angular momentum )
dA = F r cosαdθ = M dθ
= F r sinφ dθ dA = F · dr
在 M 作用下，从 t1 、θ1 → t2 、θ2
A=
恒力矩

θ2
θ1
Md θ
A = M (θ2－θ1 )
= M △θ
3. 转动定律 ( law of rotation )
F = ma
实验指出： α∝ M ， α∝ 1／J
阻力矩使圆盘减速，圆盘获得负的加速度
2 1 2 dω mgR J mR 3 2 dt
设圆盘经过时间 t 停止转动
0 1 2 gdt Rdω 0 3 ω0 2 t
2 1 gt Rω0 3 2 3 R ω0 t= 4 g
求时间可用刚体的运动学公式
ω=ω0+αt
ω= 0，求出α ，就可求出时间 t α可由转动定律求得
dω M = Jα J 质点动量定理 dt d F dt = d(mv) M = ( Jω) dt M dt = d ( Jω)
M dt Jω
力矩对转轴的冲量矩 刚体的角动量或动量矩( moment
of momentum )
Mdt = d ( Jω) 角动量定理 在 M 的作用下，刚体从 t1 , ω1 → t2 , ω2， M 在 t2－ t1 时间内的冲量矩为
把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量
dm = ρr dθ dr e
所受阻力矩
dMf = rμdm g
圆盘所受阻力矩为
=μρe r 2 dθ dr g
2
Mf =∫dMf
gρer dθdr
gρe dθ r dr
2 0 0 2π R
2 3 gρeπR 3
m =ρeπR2
2 M f mgR 3
例3 一半径为 R ，质量为 m 的 匀质圆 盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面 间的摩擦系数为μ，令圆盘最初以 角 速 度 ω0 绕通过中心且垂直盘面的轴转动，问它 将经过多少时间才停止转动？ 解： 圆盘受摩擦力矩的作用而 停 止 转 动，可根椐转动定律去求。 摩擦力不是集中作用于一点，而是分布 在整个圆盘与桌子的接触面上，因此摩擦阻 力矩的计算要用积分法。
到 r ，求此时小球的速度。
解：作用于 小球上的力沿着 半径方向指向圆 心，对小球的力 矩为零，小球在 运动过程中角动 量 (或者动量矩) 守恒。 据角动量守恒定律有
解：棒受到 重力的作用，作 用在棒的中心点， 方向竖直向下； 轴与棒之间没有 摩擦力，轴对棒 作用的支承力垂 直棒和轴的接触 面且通过 O 点， 在棒的下摆过程
中，此力的方向和大小是随时改变的。在棒
下摆过程中， 支承力通过 O 点，其力矩等 于零 重力力矩是变 力矩，大小为
L mg cos 2
重力矩作的功 就是重力作的 功，也可以用 重力势能的差 值来表示
L 1 2 mg Jω 2 2
另解： 可以用定义式去求
α= dω／dt M = Jα
L 1 2 3g mg cosθ mL α α cosθ 2L 2 3 dω 3 g cosθ dt 2 L dω 3 g dω dθ ω cosθ dθ 2L dθ dt
v an r
2
(rω) r
2
rω
2 t
2
a a a
2 n
§3-2
转动动能
转动惯量
一 刚体的转动动能 (rotational kinetic energy)
1 2 Ek = m1v1 2 1 2 m2 v2 2
+ ·· ·· ··
1 2 mn vn 2
1 1 2 2 m1 (r1ω) + ·· mn (rn ω) ·· ·· 2 2 n 1 2 2 mi ri ω 2 i 1
1 3 1 2 x dx L mL 12 12
2
讨论： 如果转轴通过细棒的一端且与棒垂直，
则转动惯量为
J = ∫x2 dm
1 3 1 2 x dx L mL 0 3 3 转动惯量是对转轴而言的

L