1991考研数三真题

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1991考研数一真题答案及详细解析

n
1
2,3,1 1 2,3,1 cos , cos , cos .
22 32 1
14
u
6x
6x
6
x P
z 6x2 8y2 P
z 6x2 8y2 (1,1,1)
14
又
u y
P
z
8y
6x2 8y2 z
P
8y
6x2 8y2 (1,1,1)
8 14
,
u
z P
6x2 8y2 z2
P
6x2 8y2 z2
(3)【答案】 x 3y z 2 0
【解析】所求平面过直线 L1 ,因而过 L1 上的点 (1, 2, 3) ；
因为过 L1 平行于 L2 ,于是平行于 L1 和 L2 的方向向量,即平行于向量 l1 (1, 0, 1)
和向量 l 2 (2,1,1) ,且两向量不共线,于是平面的方程
.
故 a 1为函数 I 4 a3 4a, (a 0) 的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 3
y sin x,(x [0, ]) .
五、(本题满分 8 分.)
【解析】按傅式级数公式,先求 f (x) 的傅式系数 an 与 bn .因 f (x) 为偶函数,所以
bn
1 l
l l
f (x) sin n l
0
1
a3 sin3
x
2ax cos
x
a2 2
sin 2x dx
a3
sin3 xdx 2a
x cos xdx a2
sin 2xdx
0
0
20
a3
(cos2 x 1)d cos x 2a
xd sin x a2

1991【考研数学一】真题及答案解析(1)

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1) 设21,cos ,x t y t ⎧=+⎨=⎩ 则22d y dx =__________.(2)由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =__________.(3) 已知两条直线的方程是1123:101x y z L ---==-；221:211x y zL +-==,则过1L 且平行于2L 的平面方程是__________.(4) 已知当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =__________.(5) 设4阶方阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,则A 的逆阵1A -=__________.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线2211x x e y e--+=- ( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰,则()f x 等于 ( ) (A) ln 2xe (B) 2ln 2xe(C) ln 2xe + (D) 2ln 2xe +(3) 已知级数11(1)2n n n a ∞-=-=∑,2115n n a ∞-==∑,则级数1n n a ∞=∑等于 ( )(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9(4) 设D 是xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于 ( )(A) 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B) 12D xydxdy ⎰⎰(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D) 0(5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E = (B) CBA E =(C) BAC E = (D) BCA E =三、(本题满分15分,每小题5分.)(1) 求0)x x π+→. (2) 设n 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =P 处沿方向n 的方向导数. (3) 22()x y z dV Ω++⎰⎰⎰,其中Ω是由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体.四、(本题满分6分)在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线L ,使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分.)将函数()2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数211n n ∞=∑的和.六、(本题满分7分.)设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0)f x dx f =⎰,证明在(0,1)内存在一点c ,使()0f c '=.七、(本题满分8分.)已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)a α=-+,4(1,2,4,8)a α=+,及(1,1,3,5)b β=+.(1) a 、b 为何值时,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合？(2) a 、b 为何值时,β有1234αααα、、、的唯一的线性表示式？并写出该表示式.八、(本题满分6分)设A 为n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A E +的行列式大于1.九、(本题满分8分)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1) 若随机变量X 服从均值为2,方差为2σ的正态分布,且{}240.3P X <<=,则{}0P X <=_______.(2) 随机地向半圆0y <<(a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为_______.十一、(本题满分6分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)2, 0,0(,)0, x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他,求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】3sin cos 4t t tt- 【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即如果 ()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩, 则 ()()dy t dx t ϕφ'='. 所以 sin 2dydy tdt dx dx t dt-==, 再对x 求导,由复合函数求导法则得22sin 1()()22d y d dy dt d t dx dt dx dx dt t t-=⋅=⋅ 232cos 2sin 1sin cos 424t t t t t tt t t-+-=⋅=. (2)【答案】dx -【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0,1)-的含义是(1,0)1z z ==-. 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得222()0d xyz +=,再由全微分四则运算法则得()()xy dz ydx xdy z ++=,令1,0,1x y z ===-,得dy =,即dz dx =. (3)【答案】320x y z -++=【解析】所求平面∏过直线1L ,因而过1L 上的点(1,2,3)；因为∏过1L 平行于2L ,于是∏平行于1L 和2L 的方向向量,即∏平行于向量1(1,0,1)l =-和向量2(2,1,1)l =,且两向量不共线,于是平面∏的方程1231010211x y z ----=, 即320x y z -++=. (4)【答案】32-【解析】因为当0x →时,11sin ,(1)1nxx x x n+-, 当0x →时20ax →,所以有122223111(1)1,cos 1sin ,322ax ax x x x +--=-- 所以 12230021(1)123lim lim 1cos 132x x axax a x x →→+-==---. 因为当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,所以213a -=,故32a =-. (5)【答案】12002500120033110033-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭. 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.注意： 1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,111000A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则求A 的伴随矩阵*a b d b A c d c a *-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.如果0A ≠,这样111a b d b d b c d c a c a A ad bc ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 再利用分块矩阵求逆的法则：1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,易见 112002500120033110033A --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】由于函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,222211lim limlim11x x x x x x x e e y ee --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,222211lim limlim111x x x x x x x e e y ee --→∞→∞→∞++====--,所以1y =为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.(2)【答案】(B) 【解析】令2tu =,则2,2t u dt du ==,所以 20()ln 22()ln 22x x t f x f dt f u du ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰,两边对x 求导,得()2()f x f x '=,这是一个变量可分离的微分方程,即[()]2()d f x dx f x =.解之得2()xf x Ce =,其中C 是常数.又因为0(0)2()ln 2ln 2f f u du =+=⎰,代入2()x f x Ce =,得0(0)ln 2f Ce ==,得ln 2C =,即2()ln 2x f x e =⋅.(3)【答案】(C) 【解析】因为112342121(1)n n n n n a a a a a a a ∞--=-=-+-++-+∑1234212()()()n n a a a a a a -=-+-++-+212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====-=-∑∑∑(收敛级数的结合律与线性性质),所以1221111(1)523n nn n n n n aa a ∞∞∞--====--=-=∑∑∑.而12342121()()()nn n n aa a a a a a ∞-==+++++++∑212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====+=+∑∑∑538=+=,故应选(C).(4)【答案】(A)【解析】如图,将区域D 分为1234,,,D D D D 四个子区域. 显然,12,D D 关于y 轴对称,34,D D 关于x 轴对称.令 12cos sin DDI xydxdy I x ydxdy ⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰⎰⎰⎰,由于xy 对x 及对y 都是奇函数,所以12340,0D D D D xydxdy xydxdy ++==⎰⎰⎰⎰.而cos sin x y 对x 是偶函数,对y 是奇函数,故有34121cos sin 0,cos sin 2cos sin D D D D D x ydxdy x ydxdy x ydxdy ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,所以 112(cos sin )2cos sin DD xy x y dxdy I I x ydxdy +=+=⎰⎰⎰⎰,故选(A).(5)【答案】(D)【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.由于A 、B 、C 均为n 阶矩阵,且ABC E =,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式||||||1A B C =,得到0A ≠、0B ≠、0C ≠,知A 、B 、C 均可逆,那么,对于ABC E =,先左乘1A -再右乘A 有 1ABC E BC A BCA E -=→=→=,故应选(D).其实,对于ABC E =先右乘1C -再左乘C ,有1ABC E AB C CAB E -=→=→=.三、(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.lim )lim (1x x x π++→→=+令1t =,则0x +→时0t -→,所以100lim(1lim(1)tx t t e +-→→+=+=, 所以0limlim (1lim x x x e →++→→+==.因为当0x →时,sin x x ,所以220002sin 21)limlim lim 2x x x x x x ππππ+++→→→--⎝⎭⎝⎭===-,故0lim2lim x xx e eππ→+-→==.(2)【解析】先求方向n 的方向余弦,再求,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂,最后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u n x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂求出方向导数. 曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的法向量为{}{}{}(1,1,1)4,6,24,6,222,3,1Px y z x y z ±==±,在点(1,1,1)P 处指向外侧,取正号,并单位化得}}{}2,3,12,3,1cos ,cos ,cos .n αβγ=== 又P P P u x u y u z ⎧∂⎪===⎪∂⎪⎪∂⎪===⎨∂⎪⎪⎪∂===⎪∂⎪⎩, 所以方向导数cos cos cos u u u u n x y z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂117==. (3)【解析】由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而围成的旋转面方程是222x y z +=.于是,Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+与平面4z =所围成.曲面与平面的交线是 228,4x y z +==.选用柱坐标变换,令cos ,sin ,x r y r z z θθ===,于是:02,04,0z r θπΩ≤≤≤≤≤≤因此 22()I x y z dV Ω=++⎰⎰⎰4220)dz d r z rdr πθ=+⎰⎰4240242r r r r z dz π=⎡⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰42025643z dz ππ==⎰.四、(本题满分6分)【解析】曲线sin ,([0,])y a x x π= ∈,则cos dy a xdx =,所以 3(1)(2)LI y dx x y dy =+++⎰30[1(sin )(2sin )cos ]a x x a x a x dx π=+++⋅⎰2331sin 2cos sin 22a a x ax x x dx π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰233sin 2cos sin 22a axdx a x xdx xdx ππππ=+++⎰⎰⎰232(cos 1)cos 2sin sin 224a ax d x a xd x xd x ππππ=+-++⎰⎰⎰[][]2330001cos cos 2sin cos cos 234a a x x a x x x x ππππ⎡⎤=+-+++-⎢⎥⎣⎦3443a a π=+-. 对关于a 的函数3443I a a π=+-两边对a 求导数,其中0a >,并令0,I '=得2440I a '=-=.所以1a =, 且 0,010,1I a I a '<<<⎧⎨'><<+∞⎩.故1a =为函数344,(0)3I a a a π=+->的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 sin ,([0,])y x x π= ∈.五、(本题满分8分.)【解析】按傅式级数公式,先求()f x 的傅式系数n a 与n b .因()f x 为偶函数,所以1()sin 0(1,2,3,)l n l n b f x xdx n l l π-== =⎰, 012()cos ()cos l l n l n n a f x xdx f x xdx l l l l ππ-==⎰⎰11100022(2)cos 4cos sin x n xdx n xdx xd n x n ππππ=+=+⎰⎰⎰122022(cos 1)sin (1,2,3,)n n xdx n n n ππππ-=-= =⎰,1002(2)5a x dx =+=⎰.因为()2||f x x =+在区间(11)x -≤≤上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以01()2||cos sin2n n n a n n f x x a x b x l l ππ∞=⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭∑ 22152(cos 1)cos 2n n n x n πππ∞=-=+∑ 221541cos(21)(11)2(21)n n x x n ππ∞==-- -≤≤-∑. 令0x =,有221541(0)20cos 02(21)n f n π∞==+=--∑,所以,2211(21)8n n π∞==-∑. 又 222221111111111(21)(2)(21)4n n n n n n n n n ∞∞∞∞====⎡⎤=+=+⎢⎥--⎣⎦∑∑∑∑, 所以, 2213148n n π∞==∑,即 22116n n π∞==∑.六、(本题满分7分.)【解析】由定积分中值定理可知,对于123()f x dx ⎰,在区间2(,1)3上存在一点ξ使得12321()()(1)()33f x dx f f ξξ=-=⎰,即1233()()(0)f x dx f f ξ==⎰.由罗尔定理可知,在区间(0,1)内存在一点(01)c c ξ<<<,使得()0f c '=.七、(本题满分8分)【解析】设11223344x x x x ααααβ+++=,按分量写出,则有123423341234123412123(2)4335(8)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x α+++=⎧⎪-+=⎪⎨++++=+⎪⎪++++=⎩.对方程组的增广矩阵作初等行变换:第一行分别乘以有()2-、()3-加到第三行和第四行上,再第二行乘以()1-、()2-加到第三行和第四行上,有111111111101121011212324301213518502252A a b a b a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭ 11111011210010010a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪+ ⎪+⎝⎭, 所以,当1,0a b =-≠时,()1()r A r A +=,方程组无解.即是不存在1234x ,x ,x ,x 使得11223344x x x x ααααβ+++=成立,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合；当1a ≠-时,()() 4.r A r A ==方程组有唯一解21,,,0111Tb a b b a a a ++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭,故β有唯一表达式,且1234210111b a b b a a a βαααα++=-+++⋅+++. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == (2) 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =< (3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔ b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.八、(本题满分6分)【解析】方法1：因为A 为n 阶正定阵,故存在正交矩阵Q ,使121T N Q AQ Q AQ λλλ-⎛⎫⎪⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中0(1,2,)i i n λ>=,i λ是A 的特征值.因此 ()TTTQ A E Q Q AQ Q Q E +=+=Λ+两端取行列式得 |||||||||()|||(1)T T iA E Q A E Q Q A E Q E λ+=+=+=Λ+=+∏,从而 ||1A E +>.方法2：设A 的n 个特征值是12n ,,,.λλλ由于A 为n 阶正定阵,故特征值全大于0.由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端同时加上α,得()()1A E αλα+=+.按特征值定义知1λ+是A E +的特征值.因为A E +的特征值是12111n ,,,.λλλ+++它们全大于1,根据i A λ=∏,知||(1)1i A E λ+=+>∏.【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分8分)【解析】曲线()y y x =在点(,)P x y 处的法线方程为1()Y y X x y-=--' (当0y '≠时), 它与x 轴的交点是(,0)Q x yy '+,从而122||(1)PQ y y '==+.当0y '=时,有(,0),||Q x PQ y =,上式仍然成立. 因此,根据题意得微分方程3122221(1)(1)y y y y ''=''++,即21yy y '''=+.这是可降阶的高阶微分方程,且当1x =时,1,0y y '==.令()y P y '=,则dP y Pdy ''=,二阶方程降为一阶方程21dP yP P dy =+,即21PdP dyP y=+.即y =C 为常数.因为当1x =时,1,0y P y '===,所以1C =,即y ==所以y '=分离变量得dx =±.令sec y t =,并积分,则上式左端变为sec tan ln sec tan tan t tdtt t C t==++⎰ln sec ln t C y C =+=+.因曲线在上半平面,所以0y +>,即(ln y C x =±.故 x y Ce ±=.当1x =时,1,y =当x 前取+时,1C e -=,1x y e -=,111x x y e e--====；当x 前取-时,C e =,1x y e -+=,111x xy e e---====；所以 (1)(1)1()2x x y e e ---=+.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数μ和2σ,否则应先根据题设条件求出μ,2σ,再计算有关事件的概率,本题可从2()0.8σΦ=,通过查()x Φ表求出σ,但是注意到所求概率(0)P x <即是2()σ-Φ与2()σΦ之间的关系,可以直接由2()σΦ的值计算出2()σ-Φ.因为2(2,)X N σ,所以可标准化得2(0,1)X N σ-,由标准正态分布函数概率的计算公式,有4222(24)()()P x σσ--<<=Φ-Φ,2()(24)(0)0.8P x σΦ=<<+Φ=.由正态分布函数的对称性可得到 0222(0)()()1()0.2P x σσσ-<=Φ=Φ-=-Φ=.(2)【解析】设事件A =“掷的点和原点的连线与x 轴的夹角小于4π”, 这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式()D S P A S =半圆,而 212S a π=半圆, 22141124D OACS SS a a π=+=+圆, 故 222111124()122a aP A a πππ+==+.十一、(本题满分6分)【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有{}{}2()2(,)x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰.当0z ≤时,()0F z =.因为2x y z +=在直线20x y +=的下方与0,0x y >>(即第一象限)没有公共区域所以()0F z =.当0z >时,2x y z +=在直线20x y +=的上方与第一象限相交成一个三角形区域D ,此即为积分区间.(2)200()2()1z x zzx y x z z z F z dx edy e e dx e ze --+----==-=--⎰⎰⎰.所以2Z X Y =+的分布函数 0, 0,()1, 0.zzz F z e ze z --<⎧=⎨--≥⎩0=。

1991年考研数学一试题及完全解析

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1) 设21,cos ,x t y t ⎧=+⎨=⎩ 则22d y dx =__________.(2)由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =__________.(3) 已知两条直线的方程是1123:101x y z L ---==-；221:211x y zL +-==,则过1L 且平行于2L 的平面方程是__________.(4) 已知当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =__________.(5) 设4阶方阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,则A 的逆阵1A -=__________.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线2211x x e y e--+=- ( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰,则()f x 等于 ( ) (A) ln 2xe (B) 2ln 2xe(C) ln 2xe + (D) 2ln 2xe +(3) 已知级数11(1)2n n n a ∞-=-=∑,2115n n a ∞-==∑,则级数1n n a ∞=∑等于 ( )(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9(4) 设D 是xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于 ( )(A) 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B) 12D xydxdy ⎰⎰(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D) 0(5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E = (B) CBA E =(C) BAC E = (D) BCA E =三、(本题满分15分,每小题5分.)(1) 求0)x x π+→. (2) 设n 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =P 处沿方向n 的方向导数. (3) 22()x y z dV Ω++⎰⎰⎰,其中Ω是由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体.四、(本题满分6分)在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线L ,使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分.)将函数()2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数211n n ∞=∑的和.六、(本题满分7分.)设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0)f x dx f =⎰,证明在(0,1)内存在一点c ,使()0f c '=.七、(本题满分8分.)已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)a α=-+,4(1,2,4,8)a α=+,及(1,1,3,5)b β=+.(1) a 、b 为何值时,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合？(2) a 、b 为何值时,β有1234αααα、、、的唯一的线性表示式？并写出该表示式.八、(本题满分6分)设A 为n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A E +的行列式大于1.九、(本题满分8分)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1) 若随机变量X 服从均值为2,方差为2σ的正态分布,且{}240.3P X <<=,则{}0P X <=_______.(2) 随机地向半圆0y <<(a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为_______.十一、(本题满分6分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)2, 0,0(,)0, x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他,求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】3sin cos 4t t tt- 【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即如果 ()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩, 则 ()()dy t dx t ϕφ'='. 所以 sin 2dydy tdt dx dx t dt-==, 再对x 求导,由复合函数求导法则得22sin 1()()22d y d dy dt d t dx dt dx dx dt t t-=⋅=⋅ 232cos 2sin 1sin cos 424t t t t t tt t t-+-=⋅=. (2)【答案】dx -【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0,1)-的含义是(1,0)1z z ==-. 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得222()0d xyz +=,再由全微分四则运算法则得()()xy dz ydx xdy z ++=,令1,0,1x y z ===-,得dy =,即dz dx =. (3)【答案】320x y z -++=【解析】所求平面∏过直线1L ,因而过1L 上的点(1,2,3)；因为∏过1L 平行于2L ,于是∏平行于1L 和2L 的方向向量,即∏平行于向量1(1,0,1)l =-r和向量2(2,1,1)l =r,且两向量不共线,于是平面∏的方程1231010211x y z ----=, 即320x y z -++=. (4)【答案】32-【解析】因为当0x →时,11sin ,(1)1nx x x x n+-::, 当0x →时20ax →,所以有122223111(1)1,cos 1sin ,322ax ax x x x +--=--:: 所以 12230021(1)123lim lim 1cos 132x x axax a x x →→+-==---. 因为当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,所以213a -=,故32a =-. (5)【答案】12002500120033110033-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭. 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.注意： 1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,111000A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则求A 的伴随矩阵*a b d b A c d c a *-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.如果0A ≠,这样111a b d b d b c d c a c a A ad bc ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 再利用分块矩阵求逆的法则：1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,易见 112002500120033110033A --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】由于函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,222211lim limlim11x x x x x x x e e y ee --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,222211lim limlim111x x x x x x x e e y ee --→∞→∞→∞++====--,所以1y =为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.(2)【答案】(B) 【解析】令2tu =,则2,2t u dt du ==,所以 20()ln 22()ln 22x x t f x f dt f u du ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰,两边对x 求导,得()2()f x f x '=,这是一个变量可分离的微分方程,即[()]2()d f x dx f x =.解之得2()xf x Ce =,其中C 是常数.又因为0(0)2()ln 2ln 2f f u du =+=⎰,代入2()x f x Ce =,得0(0)ln 2f Ce ==,得ln 2C =,即2()ln 2x f x e =⋅.(3)【答案】(C) 【解析】因为112342121(1)n n n n n a a a a a a a ∞--=-=-+-++-+∑L L1234212()()()n n a a a a a a -=-+-++-+L L 212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====-=-∑∑∑(收敛级数的结合律与线性性质),所以1221111(1)523n nn n n n n aa a ∞∞∞--====--=-=∑∑∑.而12342121()()()nn n n aa a a a a a ∞-==+++++++∑L L212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====+=+∑∑∑538=+=,故应选(C).(4)【答案】(A)【解析】如图,将区域D 分为1234,,,D D D D 四个子区域. 显然,12,D D 关于y 轴对称,34,D D 关于x 轴对称.令 12cos sin DDI xydxdy I x ydxdy ⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰⎰⎰⎰,由于xy 对x 及对y 都是奇函数,所以12340,0D D D D xydxdy xydxdy ++==⎰⎰⎰⎰.而cos sin x y 对x 是偶函数,对y 是奇函数,故有34121cos sin 0,cos sin 2cos sin D D D D D x ydxdy x ydxdy x ydxdy ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,所以 112(cos sin )2cos sin DD xy x y dxdy II x ydxdy +=+=⎰⎰⎰⎰,故选(A).(5)【答案】(D)【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.由于A 、B 、C 均为n 阶矩阵,且ABC E =,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式||||||1A B C =,得到0A ≠、0B ≠、0C ≠,知A 、B 、C 均可逆,那么,对于ABC E =,先左乘1A -再右乘A 有 1ABC E BC A BCA E -=→=→=,故应选(D).其实,对于ABC E =先右乘1C -再左乘C ,有1ABC E AB C CAB E -=→=→=.三、(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.lim )lim (1x x x π++→→=+令1t =,则0x +→时0t -→,所以100lim(1lim(1)tx t t e +-→→+=+=, 所以0limlim (1lim x x x e →++→→+==.因为当0x →时,sin x x :,所以220002sin 2limlim lim 2x x x x x πππ+++→→→--⎝⎭⎝⎭===-,故0lim2lim x xx e eππ→+-→==.(2)【解析】先求方向n r 的方向余弦,再求,,u u ux y z ∂∂∂∂∂∂,最后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u n x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂求出方向导数. 曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的法向量为{}{}{}(1,1,1)4,6,24,6,222,3,1Px y z x y z ±==±,在点(1,1,1)P 处指向外侧,取正号,并单位化得}}{}2,3,12,3,1cos ,cos ,cos .n αβγ===r 又P P P u x u y u z ⎧∂⎪===⎪∂⎪⎪∂⎪===⎨∂⎪⎪⎪∂===⎪∂⎪⎩, 所以方向导数cos cos cos u u u u n x y z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂117==. (3)【解析】由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而围成的旋转面方程是222x y z +=.于是,Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+与平面4z =所围成.曲面与平面的交线是 228,4x y z +==.选用柱坐标变换,令cos ,sin ,x r y r z z θθ===,于是:02,04,0z r θπΩ≤≤≤≤≤≤因此 22()I x y z dV Ω=++⎰⎰⎰4220)dz d r z rdr πθ=+⎰⎰4240242r r r r z dz π=⎡⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰42025643z dz ππ==⎰.四、(本题满分6分)【解析】曲线sin ,([0,])y a x x π= ∈,则cos dy a xdx =,所以 3(1)(2)LI y dx x y dy =+++⎰30[1(sin )(2sin )cos ]a x x a x a x dx π=+++⋅⎰2331sin 2cos sin 22a a x ax x x dx π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰233sin 2cos sin 22a axdx a x xdx xdx ππππ=+++⎰⎰⎰232(cos 1)cos 2sin sin 224a ax d x a xd x xd x ππππ=+-++⎰⎰⎰[][]2330001cos cos 2sin cos cos 234a a x x a x x x x ππππ⎡⎤=+-+++-⎢⎥⎣⎦3443a a π=+-. 对关于a 的函数3443I a a π=+-两边对a 求导数,其中0a >,并令0,I '=得2440I a '=-=.所以1a =, 且 0,010,1I a I a '<<<⎧⎨'><<+∞⎩.故1a =为函数344,(0)3I a a a π=+->的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 sin ,([0,])y x x π= ∈.五、(本题满分8分.)【解析】按傅式级数公式,先求()f x 的傅式系数n a 与n b .因()f x 为偶函数,所以1()sin 0(1,2,3,)l n l n b f x xdx n l l π-== =⎰L , 012()cos ()cos l l n l n n a f x xdx f x xdx l l l l ππ-==⎰⎰11100022(2)cos 4cos sin x n xdx n xdx xd n x n ππππ=+=+⎰⎰⎰122022(cos 1)sin (1,2,3,)n n xdx n n n ππππ-=-= =⎰L ,1002(2)5a x dx =+=⎰.因为()2||f x x =+在区间(11)x -≤≤上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以01()2||cos sin 2n n n a n n f x x a x b x l l ππ∞=⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭∑ 22152(cos 1)cos 2n n n x n πππ∞=-=+∑ 221541cos(21)(11)2(21)n n x x n ππ∞==-- -≤≤-∑. 令0x =,有221541(0)20cos 02(21)n f n π∞==+=--∑,所以,2211(21)8n n π∞==-∑. 又 222221111111111(21)(2)(21)4n n n n n n n n n ∞∞∞∞====⎡⎤=+=+⎢⎥--⎣⎦∑∑∑∑, 所以, 2213148n n π∞==∑,即 22116n n π∞==∑.六、(本题满分7分.)【解析】由定积分中值定理可知,对于123()f x dx ⎰,在区间2(,1)3上存在一点ξ使得12321()()(1)()33f x dx f f ξξ=-=⎰,即1233()()(0)f x dx f f ξ==⎰.由罗尔定理可知,在区间(0,1)内存在一点(01)c c ξ<<<,使得()0f c '=.七、(本题满分8分)【解析】设11223344x x x x ααααβ+++=,按分量写出,则有123423341234123412123(2)4335(8)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x α+++=⎧⎪-+=⎪⎨++++=+⎪⎪++++=⎩.对方程组的增广矩阵作初等行变换:第一行分别乘以有()2-、()3-加到第三行和第四行上,再第二行乘以()1-、()2-加到第三行和第四行上,有111111111101121011212324301213518502252A a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪+++ ⎪⎪+-+⎝⎭⎝⎭M M M M M M M M1111101121001000010a b a ⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪+ ⎪+⎝⎭M M M M ,所以,当1,0a b =-≠时,()1()r A r A +=,方程组无解.即是不存在1234x ,x ,x ,x 使得11223344x x x x ααααβ+++=成立,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合；当1a ≠-时,()() 4.r A r A ==方程组有唯一解21,,,0111Tb a b b a a a ++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭,故β有唯一表达式,且1234210111b a b b a a a βαααα++=-+++⋅+++. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =M 的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n αααL 线表出,亦等同于12,,,n αααL 与12,,,,n b αααL 是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == (2) 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =< (3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔ b 不能由A 的列向量12,,,n αααL 线表出.八、(本题满分6分)【解析】方法1：因为A 为n 阶正定阵,故存在正交矩阵Q ,使121T N Q AQ Q AQ λλλ-⎛⎫⎪⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭O , 其中0(1,2,)i i n λ>=L ,i λ是A 的特征值. 因此 ()TTTQ A E Q Q AQ Q Q E +=+=Λ+两端取行列式得 |||||||||()|||(1)T T iA E Q A E Q Q A E Q E λ+=+=+=Λ+=+∏,从而 ||1A E +>.方法2：设A 的n 个特征值是12n ,,,.λλλL 由于A 为n 阶正定阵,故特征值全大于0.由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端同时加上α,得()()1A E αλα+=+.按特征值定义知1λ+是A E +的特征值.因为A E +的特征值是12111n ,,,.λλλ+++L 它们全大于1,根据i A λ=∏,知||(1)1i A E λ+=+>∏.【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分8分)【解析】曲线()y y x =在点(,)P x y 处的法线方程为1()Y y X x y-=--' (当0y '≠时), 它与x 轴的交点是(,0)Q x yy '+,从而122||(1)PQ y y '==+.当0y '=时,有(,0),||Q x PQ y =,上式仍然成立. 因此,根据题意得微分方程3122221(1)(1)y y y y ''=''++,即21yy y '''=+.这是可降阶的高阶微分方程,且当1x =时,1,0y y '==.令()y P y '=,则dP y Pdy ''=,二阶方程降为一阶方程21dP yP P dy =+,即21PdP dyP y=+.即y =C 为常数.因为当1x =时,1,0y P y '===,所以1C =,即y ==所以y '=分离变量得dx =±.令sec y t =,并积分,则上式左端变为sec tan ln sec tan tan t tdtt t C t==++⎰ln sec ln t C y C =+=+.因曲线在上半平面,所以0y +>,即(ln y C x =±.故 x y Ce ±=.当1x =时,1,y =当x 前取+时,1C e -=,1x y e -=,111x x y e e--====；当x 前取-时,C e =,1x y e -+=,111x xy e e---====；所以 (1)(1)1()2x x y e e ---=+.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数μ和2σ,否则应先根据题设条件求出μ,2σ,再计算有关事件的概率,本题可从2()0.8σΦ=,通过查()x Φ表求出σ,但是注意到所求概率(0)P x <即是2()σ-Φ与2()σΦ之间的关系,可以直接由2()σΦ的值计算出2()σ-Φ.因为2(2,)X N σ:,所以可标准化得 2(0,1)X N σ-:,由标准正态分布函数概率的计算公式,有4222(24)()()P x σσ--<<=Φ-Φ,2()(24)(0)0.8P x σΦ=<<+Φ=.由正态分布函数的对称性可得到 0222(0)()()1()0.2P x σσσ-<=Φ=Φ-=-Φ=.(2)【解析】设事件A =“掷的点和原点的连线与x 轴的夹角小于4π”, 这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式()D S P A S =半圆,而 212S a π=半圆, 22141124D OAC S S S a a π=+=+V 圆, 故 222111124()122a aP A a πππ+==+.十一、(本题满分6分)【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有{}{}2()2(,)x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰.当0z ≤时,()0F z =.因为2x y z +=在直线20x y +=的下方与0,0x y >>(即第一象限)没有公共区域,所以()0F z =.当0z >时,2x y z +=在直线20x y +=的上方与第一象限相交成一个三角形区域D ,此即为积分区间.(2)200()2()1z x zzx y x z z z F z dx edy e e dx e ze --+----==-=--⎰⎰⎰.所以2Z X Y =+的分布函数 0, 0,()1, 0.zzz F z e ze z --<⎧=⎨--≥⎩0=。

1991考研数学三真题及答案解析

八、(本题满分 6 分)
试证明函数 f (x) (1 1 )x 在区间 (0, ) 内单调增加. x
九、(本题满分 7 分)
设有三维列向量
1 1 1 0
1
1
, 2
1
,3
1
,
,
1
1
1 2
问取何值时,
(1) 可由1 ,2 ,3 线性表示,且表达式唯一? (2) 可由1 ,2 ,3 线性表示,且表达式不唯一? (3) 不能由1 ,2 ,3 线性表示?
(n
1, 2)
,则可知(B)不正确.
(3)【答案】(B).
【解析】由为 A 的特征值可知,存在非零向量 X ,使得 AX X . 两端同时乘以 A* ,有 A*( X ) A* AX ,由公式 A* A A 得到 A* X A X .于是 A* X 1 A X . 按特征值定义知 1 A 是伴随矩阵 A* 的特征值.故应选(B).
十三、(本题满分 6 分)
假设随机变量 X 和 Y 在圆域 x2 y2 r 2 上服从联合均匀分布. (1) 求 X 和 Y 的相关系数 ;(2) 问 X 和 Y 是否独立?
十四、(本题满分 5 分)
设总体 X 的概率密度为
p(
x;
)
ax a 1e xa
,
x 0,
0,
x 0,
其中 0 是未知参数, a 0 是已知常数.试根据来自总体 X 的简单随机样本
任何事件 A 一定可以表示为两个互不相容事件 AB 与 AB 的和. 又因 AB ,从而
A B AB A ,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把 A 、B 互不相容
等同于 A 、 B 相互独立而错选(C).

1991年北京中医药大学307中医综合考研真题分析及笔记讲解

1991年北京中医药⼤学307中医综合考研真题分析及笔记讲解1991年北京中医药⼤学307中医综合考研真题分析及笔记讲解⼆、B型题：每⼀道考题下⾯都有A、B、C、D、E5个备选答案，如果该题只与答案A有关请将A写在答题纸上，以次类推，每个答案可以选择⼀次或者⼀次以上A左肾右命门说 B.两肾总号命门说C“七节之旁，中有⼩⼼”说D“命门者，⽬也”说E.命门为“⽔⽕之宅”说73.《难经》关于命门的论点是74.《内经》关于命门的论点是A.上出息道，下⾛⽓街B熏于育膜，散于胸腹 C.通过三焦，流⾏全⾝D.上荣于头⽬E.与⾎同⾏，环周不休75.宗⽓的分布是：76.卫⽓的分布是：A.呼吸喘促，胸胁胀满B.呼吸喘促，⽓粗有⼒C.呼吸喘促，咯痰粘稠，不易咯出D.呼吸喘促，声低⽆⼒E.呼吸喘促，呼多吸少77.肾虚喘促为：78.肺虚喘促为：A.⾜三⾥B.中府C.肺俞D.上巨虚E.期门79.肺病时，按压哪个⽳有压痛?80.肠痛时，按压哪个⽳有压痛?A.龟板B.龙⾻C.鳖甲D.牡蛎E.代赭⽯81.功能平肝潜阳，软坚散结，收敛固涩的药是：82.功能滋阴潜阳，软坚散结，善治阴虚风动的药是：A.清热解毒，消痛散结，通经下乳B.清热泻⽕，利尿通淋，通经下乳C.利尿通淋，润肠通便，⾏滞下乳D.平肝舒肝，祛风明⽬，活⾎通乳E.通络搜风，消肿排版，通经下乳83.⽊通的功效：84.冬葵⼦的功效：A.桂枝汤B.⽟屏风散C.防⼰黄芪汤D.炙⽢草汤E.补中益⽓汤85.汗出恶风，⾝重，⼩便不利，⾆淡苔⽩，脉浮者，治宜选⽤：86.汗出恶风，⾯⾊晄⽩，⾆淡苔薄⽩，脉浮虚软者，治宜选⽤：A.⾎府逐瘀汤B.通窍活⾎汤C.少腹逐瘀汤D.⾝痛逐瘀汤E.复元活⾎汤87.痕阻头⾯，见头痛昏晕，⽿聋，脱发，⾯⾊青紫者，治宜选⽤：88.跌打损伤，瘀留胁下，痛不可忍者，治宜选⽤：A.附⼦梗⽶汤B.乌头桂枝汤C.通脉四逆汤D.桂枝加黄芪汤E.暖肝煎89.脐中痛不可忍，喜温喜按，⾯⾚，⼿⾜厥冷，脉微欲绝者，宜选⽤：90.腹中冷痛，⼿⾜厥冷，⾝体疼痛者，宜选⽤：A.滋阴清⽕凉⾎⽌⾎B.滋阴润肺，凉⾎⽌⾎C.清肺泄热，凉⾎⽌⾎D.清热润肺，凉⾎⽌⾎E.清胃泻⽕，凉⾎⽌⾎91.⿐衄，⼝⼲咽燥，或⾝热汗出，咳嗽痰粘⽽少，⾆红，苔薄黄，脉数，治法应选⽤：92.⿐衄，或兼齿衄，⾎⾊鲜红，⼝渴喜饮，⼝臭便⼲，⾆红，苔黄，脉数。

考研数三(1989-1998年)历年真题

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 曲线2sin y x x =+在点122,ππ⎛⎫+⎪⎝⎭处的切线方程是__ _ .(2)幂级数nn ∞=的收敛域是__ _ . (3) 齐次线性方程组1231231230,0,0x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 只有零解,则λ应满足的条件是__ _ . (4) 设随机变量X 的分布函数为()00sin 0212,x ,F x A x,x ,,x ,ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________,6P X π⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭ .(5) 设随机变量X 的数学期望()E X μ=,方差2()D X σ=,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有{3}P X μσ-≥≤__ _ .二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设()232xxf x ,=+-则当0x →时 ( )(A) ()f x 与x 是等价无穷小量 (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量 (C) ()f x 是比x 较高阶的无穷小量 (D) ()f x 是比x 较低阶的无穷小量 (2) 在下列等式中,正确的结果是 ( )(A) ()()f x dx f x '=⎰ (B) ()()df x f x =⎰(C)()()df x dx f x dx =⎰(D) ()()d f x dx f x =⎰ (3) 设A 为n 阶方阵且0A =,则 ( )(A) A 中必有两行(列)的元素对应成比例(B) A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (C) A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D) A 中至少有一行(列)的元素全为0(4) 设A 和B 均为n n ⨯矩阵,则必有 ( )(A) A B A B +=+ (B)AB BA = (C) AB BA = (D) ()111A B A B ---+=+(5) 以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为 ( )(A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”三、计算题(本题满分15分,每小题5分)(1) 求极限11lim sin cos xx .x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2) 已知(,),,,z f u v u x y v xy ==+=且(,)f u v 的二阶偏导数都连续.求2zx y∂∂∂.(3) 求微分方程562x y y y e -'''++=的通解.四、(本题满分9分)设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为2()10x P P x e -==,且最大需求量为6,其中x 表示需求量,P 表示价格.(1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)(2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分) (3) 画出收益函数的图形.(3分)五、(本题满分9分)已知函数,01,()2,1 2.x x f x x x ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩ 试计算下列各题： (1) 200();x S f x e dx -=⎰(4分) (2) 412(2);x S f x e dx -=-⎰(2分)(3) 222(2)(2,3,);n xn nS f x n e dx n +-=-=⎰(1分) (4) 0n n S S ∞==∑.(2分)六、(本题满分6分)假设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0f x '≤,记1()(),x a F x f t dt x a=-⎰ 证明在(,)a b 内,()0F x '≤.七、(本题满分5分)已知X AX B,=+其中010111101A ,⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦112053B ,-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求矩阵X .八、(本题满分6分)设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===. (1) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性无关?(3分) (2) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性相关?(1分)(3) 当向量组123,,ααα线性相关时,将3α表示为1α和2α的线性组合.(2分)九、(本题满分5分)设122212221A .-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(1)试求矩阵A 的特征值；(2分)(2)利用(1)小题的结果,求矩阵1E A -+的特征值,其中E 是三阶单位矩阵.(3分)十、(本题满分7分)已知随机变量X 和Y 的联合密度为(),,,(,)0,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩ 00其它.试求：(1) {}P X Y <；(5分) (2) ()E XY .(2分)十一、(本题满分8分)设随机变量X 在[2,5]上服从均匀分布,现在对X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1)极限n →∞=_________.(2) 设函数()f x 有连续的导函数,(0)0,(0)f f b '==,若函数()sin ,0,(),0f x a xx F x xA x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续,则常数A =___________.(3) 曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为_________.(4) 若线性方程组121232343414,,,x x a x x a x x a x x a +=-⎧⎪+=⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩有解,则常数1234,,,a a a a 应满足条件________.(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为8081,则该射手的命中率为________. 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数sin ()tan xf x x x e=⋅⋅,则()f x 是 ( )(A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数 (2) 设函数()f x 对任意x 均满足等式(1)()f x af x +=,且有(0),f b '=其中,a b 为非零常数,则 ( ) (A) ()f x 在1x =处不可导 (B) ()f x 在1x =处可导,且(1)f a '= (C) ()f x 在1x =处可导,且(1)f b '= (D) ()f x 在1x =处可导,且(1)f ab '= (3) 向量组12,,,s ααα 线性无关的充分条件是 ( )(A) 12,,,s ααα 均不为零向量(B) 12,,,s ααα 中任意两个向量的分量不成比例(C) 12,,,s ααα 中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线性表示(D) 12,,,s ααα 中有一部分向量线性无关(4) 设,A B 为两随机事件,且B A ⊂,则下列式子正确的是 ( )(A) ()()P A B P A += (B) ()()P AB P A =(C) ()()P B A P B = (D) ()()()P B A P B P A -=- (5) 设随机变量X 和Y 相互独立,其概率分布为则下列式子正确的是 ( )(A) X Y = (B) {}0P X Y == (C) {}12P X Y == (D) {}1P X Y ==三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1) 求函数2ln ()21xet I x dt t t =-+⎰在区间2[,]e e 上的最大值. (2) 计算二重积分2y Dxedxdy -⎰⎰,其中D 是曲线24y x =和29y x =在第一象限所围成的区域.(3) 求级数21(3)nn x n ∞=-∑的收敛域. (4) 求微分方程sin cos (ln )x y y x x e -'+=的通解.四、(本题满分9分)某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下经验公式:221212121514328210.R x x x x x x =++---(1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略；(2) 若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略. 五、(本题满分6分)设()f x 在闭区间[0,]c 上连续,其导数()f x '在开区间(0,)c 内存在且单调减少；(0)0f =,试应用拉格朗日中值定理证明不等式:()()()f a b f a f b +≤+,其中常数a b、满足条件0a b a b c ≤≤≤+≤.六、(本题满分8分)已知线性方程组1234512345234512345,3230,226,54332,x x x x x a x x x x x x x x x b x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩ (1) a b 、为何值时,方程组有解?(2) 方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系； (3) 方程组有解时,求出方程组的全部解. 七、(本题满分5分)已知对于n 阶方阵A ,存在自然数k ,使得0kA =,试证明矩阵E A -可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E 为n 阶单位阵). 八、(本题满分6分)设A 是n 阶矩阵,1λ和2λ是A 的两个不同的特征值,12,X X 是分别属于1λ和2λ的特征向量.试证明12X X +不是A 的特征向量. 九、(本题满分4分)从0,1,2,,9 十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率：1A ={三个数字中不含0和5}；2A ={三个数字中不含0或5}.十、(本题满分5分)一电子仪器由两个部件构成,以X 和Y 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知X 和Y 的联合分布函数为:0.50.50.5(),0,0,(,)0,x y x y e e e x y F x y ---+⎧-+≥≥=⎨⎩1-若其他.(1) 问X 和Y 是否独立?(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率α. 十一、(本题满分7分)某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72 分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率. [附表表中()x Φ是标准正态分布函数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 设sin ,xy z e =则dz = _______.(2) 设曲线()3f x x ax =+与()2g x bx c =+都通过点()10,,-且在点()10,-有公共切线,则a = _______,b = _______,c = _______. (3) 设()x f x xe =,则()()n fx 在点x = _______处取极小值 _______.(4) 设A 和B 为可逆矩阵,00A X B⎛⎫=⎪⎝⎭为分块矩阵,则1X -= _______. (5) 设随机变量X 的分布函数为0,1,0.4,11,(){}0.8,13,1,3.x x F x P X x x x <-⎧⎪-≤<⎪=≤=⎨≤<⎪⎪≥⎩ 则X 的概率分布为 _______.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 下列各式中正确的是 ( )(A) 01lim 11x x x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (B) 01lim 1xx e x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (C) 1lim 1xx e x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ (D) 1lim 1xx e x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(2) 设10(1,2,)n a n n≤≤= 则下列级数中肯定收敛的是 ( ) (A)1nn a∞=∑ (B)1(1)nn n a ∞=-∑(C) 1n ∞= (D) 21(1)n nn a ∞=-∑ (3) 设A 为n 阶可逆矩阵,λ是A 的一个特征根,则A 的伴随矩阵*A 的特征根之一是( )(A) 1n A λ- (B) 1A λ- (C) A λ (D) nA λ(4) 设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( )(A) A 与B 不相容 (B) A 与B 相容 (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()P A B P A -=(5) 对于任意两个随机变量X 和Y ,若()()()E XY E X E Y =⋅,则 ( )(A) ()()()D XY D X D Y =⋅ (B) ()()()D X Y D X D Y +=+ (C) X 和Y 独立 (D) X 和Y 不独立三、(本题满分5分)求极限 120lim x x nxxx e e e n →⎛⎫+++⎪⎝⎭,其中n 是给定的自然数.四、(本题满分5分)计算二重积分DI ydxdy =⎰⎰,其中D 是由x 轴,y轴与曲线1=所围成的区域,0,0a b >>.五、(本题满分5分)求微分方程22dyxyx y dx=+满足条件2x e y e ==的特解.六、(本题满分6分)假设曲线1L ：()2101y xx =-≤≤、x 轴和y 轴所围区域被曲线2L ：2y ax =分为面积相等的两部分,其中a 是大于零的常数,试确定a 的值.七、(本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为1p 和2p ；销售量分别为1q 和2q ；需求函数分别为112402q .p =-和2210005q .p =-,总成本函数为()123540C q q .=++ 试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？八、(本题满分6分)试证明函数1()(1)xf x x=+在区间(0,)+∞内单调增加.九、(本题满分7分)设有三维列向量12321110111111,,,,λααλαβλλλ+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦问λ取何值时,(1) β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一? (2) β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一? (3) β不能由123,,ααα线性表示?十、(本题满分6分)考虑二次型22212312132344224f x x x x x x x x x λ=+++-+.问λ取何值时,f 为正定二次型.十一、(本题满分6分)试证明n 维列向量组12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件是1112121222120T T T n T T T nT T T n n n nD αααααααααααααααααα=≠,其中T i α表示列向量i α的转置,1,2,,i n = .十二、(本题满分5分)一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求X 的概率分布.十三、(本题满分6分)假设随机变量X 和Y 在圆域222x y r +≤上服从联合均匀分布. (1) 求X 和Y 的相关系数ρ;(2) 问X 和Y 是否独立? 十四、(本题满分5分)设总体X 的概率密度为1,0,(;)0,0,aa x ax e x p x x λλλ--⎧>⎪=⎨≤⎪⎩其中0λ>是未知参数,0a >是已知常数.试根据来自总体X 的简单随机样本12,,,n X X X ,求λ的最大似然估计量ˆλ.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1) 设商品的需求函数为1005Q P =-,其中,Q P 分别表示为需求量和价格,如果商品需求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是_________.(2) 级数21(2)4nnn x n ∞=-∑的收敛域为_________. (3)交换积分次序1(,)dy f x y dx =⎰_________.(4) 设A 为m 阶方阵,B 为n 阶方阵,且0,,0A A a B b C B ⎛⎫===⎪⎝⎭,则C =________. (5) 将,,,,,,C C E E I N S 等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为__________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设2()()xax F x f t dt x a =-⎰,其中()f x 为连续函数,则lim ()x a F x →等于 ( ) (A) 2a (B) 2()a f a(C) 0 (D) 不存在(2) 当0x →时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量? ( )(A) 2x (B) 1cos x -1 (D) tan x x -(3) 设A 为m n ⨯矩阵,齐次线性方程组0Ax =仅有零解的充分条件是 ( )(A) A 的列向量线性无关 (B) A 的列向量线性相关 (C) A 的行向量线性无关 (D) A 的行向量线性相关(4) 设当事件A 与B 同时发生时,事件C 必发生,则 ( )(A) ()()()1P C P A P B ≤+- (B) ()()()1P C P A P B ≥+- (C) ()()P C P AB = (D) ()()P C P A B =(5) 设n 个随机变量12,,,n X X X 独立同分布,2111(),,ni i D X X X n σ===∑2211()1ni i S X X n ==--∑,则 ( ) (A) S 是σ的无偏估计量 (B) S 是σ的最大似然估计量 (C) S 是σ的相合估计量(即一致估计量) (D) S 与X 相互独立三、(本题满分5分)设函数ln cos(1),1,1sin ()21, 1.x x x f x x π-⎧≠⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩问函数()f x 在1x =处是否连续?若不连续,修改函数在1x =处的定义使之连续.四、(本题满分5分)计算arccot .xxe I dx e =⎰五、(本题满分5分)设sin()(,)x z xy x y ϕ=+,求2zx y∂∂∂,其中(,)u v ϕ有二阶偏导数.六、(本题满分5分)求连续函数()f x ,使它满足20()2()xf x f t dt x +=⎰.七、(本题满分6分)求证:当1x ≥时,212arctan arccos 214x x x π-=+. 八、(本题满分9分)设曲线方程(0)xy e x -=≥.(1) 把曲线xy e -=,x 轴,y 轴和直线(0)x ξξ=>所围成平面图形绕x 轴旋转一周,得一旋转体,求此旋转体体积()V ξ;求满足1()lim ()2V a V ξξ→+∞=的a . (2) 在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积.九、(本题满分7分)设矩阵A 与B 相似,其中20010022,02031100A x B y --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.(1) 求x 和y 的值.(2) 求可逆矩阵P ,使得1P AP B -=.十、(本题满分6分)已知三阶矩阵0B ≠,且B 的每一个列向量都是以下方程组的解:123123123220,20,30.x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ (1) 求λ的值; (2) 证明0B =.十一、(本题满分6分)设A B 、分别为m n 、阶正定矩阵,试判定分块矩阵00A C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭是否是正定矩阵.十二、(本题满分7分)假设测量的随机误差2(0,10)X N ,试求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α,并利用泊松分布求出α的近似值(要求小数点后取两位有效数字). [附表十三、(本题满分5分)一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立,以X 表示同时需要调整的部件数,试求X 的数学期望EX 和方差DX .十四、(本题满分4分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为,0,(,)0,y e x y f x y -⎧<<=⎨⎩其他,(1) 求随机变量X 的密度()X f x ; (2) 求概率{1}P X Y +≤.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1) 2352limsin 53x x x x→∞+=+ .(2) 已知()232,arctan ,32x y f f x x x -⎛⎫'==⎪+⎝⎭则0x dy dx == .(3) 级数0(ln3)2nnn ∞=∑的和为 . (4) 设4阶方阵A 的秩为2,则其伴随矩阵*A 的秩为 .(5) 设总体X 的方差为1,根据来自X 的容量为100的简单随机样本,测得样本均值为5,则X 的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设()f x=21,0,0,0,x xx ≠⎪=⎩则()f x 在点0x =处 ( ) (A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续(C) 连续但不可导 (D) 可导 (2) 设()f x 为连续函数,且()()ln 1,xxF x f t dt =⎰则()F x '等于 ( )(A)()2111ln f x f x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (B) ()11ln f x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(C)()2111ln f x f x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(D) ()1ln f x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3) n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的 ( )(A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件 (C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件 (4) 假设事件A 和B 满足()1P B A =,则 ( )(A) A 是必然事件 (B) ()0P B A =. (C) A B ⊃ (D) A B ⊂(5) 设随机变量X 的密度函数为()x ϕ,且()()x x ϕϕ-=.()F x 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有 ( ) (A) 0()1()aF a x dx ϕ-=-⎰. (B) 01()()2aF a x dx ϕ-=-⎰(C) ()()F a F a -= (D) ()2()1F a F a -=-三、(本题满分5分)设()z f x,y =是由方程0z y x z y x xe ----+=所确定的二元函数,求dz .四、(本题满分7分)已知22lim 4xxa x x a x e dx x a +∞-→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰,求常数a 的值.五、(本题满分9分)设某产品的成本函数为2,C aq bq c =++需求函数为1(),q d p e=-其中C 为成本,q 为需求量(即产量),p 为单价,,,,,a b c d e 都是正的常数,且d b >,求:(1) 利润最大时的产量及最大利润; (2) 需求对价格的弹性;(3) 需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.六、(本题满分8分)假设:(1) 函数()(0)y f x x =≤<+∞满足条件(0)0f =和0()1xf x e ≤≤-; (2) 平行于y 轴的动直线MN 与曲线()y f x =和1xy e =-分别相交于点1P 和2P ;(3) 曲线()y f x =,直线MN 与x 轴所围封闭图形的面积S 恒等于线段12PP 的长度. 求函数()y f x =的表达式.七、(本题满分6分)假设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,过点(0,(0))A f 与(1,(1))B f 的直线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ,其中01c <<.证明:在(0,1)内至少存在一点ξ,使()0f ξ''=.八、(本题满分10分)k 为何值时,线性方程组12321231234,,24x x kx x kx x k x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩ 有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解.九、(本题满分9分)设二次型222123122313222f x x x x x x x x x αβ=+++++经正交变换X PY =化成22232f y y =+,其中123(,,)T X x x x =和123(,,)T Y y y y =是三维列向量, P 是3阶正交矩阵.试求常数,αβ.十、(本题满分8分)设随机变量X 和Y 同分布, X 的概率密度为23,02,()80,.x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 (1) 已知事件{}A X a =>和{}B Y a =>独立,且()34P A B .= 求常数a. (2) 求21X 的数学期望.十一、(本题满分8分)假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数()N t 服从参数为t λ的泊松分布.(1) 求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布；(2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q .1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)2222x xdx x -+=+⎰_____________.(2) 已知()1f x '=-,则000lim(2)()x xf x x f x x →=---_____________.(3) 设方程2cos xy e y x +=确定y 为x 的函数,则dydx=_____________. (4) 设121000000,000000n n a a A a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M MM L L 其中0,1,2,,,i a i n ≠=L 则1A -=_____________. (5) 设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件12X ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭出现的次数,则{}2P Y == _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 曲线121arctan (1)(2)x x x y e x x ++=+-的渐近线有 ( )(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条 (2) 设常数0λ>,而级数21nn a∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑ ( )(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与λ有关 (3) 设A 是m n ⨯矩阵,C 是n 阶可逆矩阵,矩阵A 的秩为r ,矩阵B AC =的秩为1r ,则( )(A) 1r r > (B) 1r r <(C) 1r r = (D) r 与1r 的关系由C 而定(4) 设0()1,0()1,()()1P A P B P A B P A B <<<<+=,则 ( )(A) 事件A 和B 互不相容 (B) 事件A 和B 相互对立(C) 事件A 和B 互不独立 (D) 事件A 和B 相互独立(5) 设12,,,n X X X L 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本,X 是样本均值,记222212112222341111(),(),111(),(),1n n i i i i n n i i i i S X X S X X n n S X S X n n μμ=====-=--=-=--∑∑∑∑则服从自由度为1n -的t 分布的随机变量是 ( )(A) X t S μ-=(B) X t S μ-=(C) X t μ-=(D) X t μ-=三、(本题满分6分)计算二重积分(),Dx y dxdy +⎰⎰其中{}22(,)1D x y x y x y =+≤++. 四、(本题满分5分)设函数()y y x =满足条件440,(0)2,(0)4,y y y y y '''++=⎧⎨'==-⎩求广义积分0()y x dx +∞⎰.五、(本题满分5分)已知22(,)arctan arctan y x f x y x y x y =-,求2f x y∂∂∂.六、(本题满分5分)设函数()f x 可导,且10(0)0,()()xn n n f F x t f x t dt -==-⎰,求20()limnx F x x → 七、(本题满分8分)已知曲线0)y a =>与曲线y =00(,)x y 处有公共切线,求: (1) 常数a 及切点00(,)x y ；(2) 两曲线与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积x V . 八、(本题满分6分)假设()f x 在[,)a +∞上连续,()f x ''在(),a +∞内存在且大于零,记()()()()f x f a F x x a x a-=>-,证明()F x 在(),a +∞内单调增加. 九、(本题满分11分) 设线性方程组23112131231222322313233323142434,,,.x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ (1) 证明:若1234,,,a a a a 两两不相等,则此线性方程组无解；(2) 设1324,(0)a a k a a k k ====-≠,且已知12,ββ是该方程组的两个解,其中12111,1,11ββ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦写出此方程组的通解.十、(本题满分8分)设0011100A x y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有三个线性无关的特征向量,求x 和y 应满足的条件. 十一、(本题满分8分)假设随机变量1234,,,X X X X 相互独立,且同分布{}{}00.6,10.4(1,2,3,4)i i P X P X i =====,求行列式1234X X X X X =的概率分布.十二、(本题满分8分)假设由自动线加工的某种零件的内径X (毫米)服从正态分布(,1)N μ,内径小于10或大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润T (单位:元)与销售零件的内径X 有如下关系:1,10,20,1012,5,12.X T X X -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩问平均内径μ取何值时,销售一个零件的平均利润最大?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设1()1xf x x -=+,则()()n f x = . (2) 设()yz xyf x=,()f u 可导,则x y xz yz ''+= .(3) 设(ln )1f x x '=+,则()f x = .(4) 设100220345A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,A *是A 的伴随矩阵,则1()A *-= .(5) 设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本,其中参数μ和2σ未知,记22111,(),n n i i i i X X Q X X n ====-∑∑则假设0:0H μ=的t 检验使用统计量t =_____.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设()f x 为可导函数,且满足条件0(1)(1)lim12x f f x x→--=-,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为 ( )(A) 2 (B) 1- (C)12(D) 2- (2) 下列广义积分发散的是 ( )(A) 111sin dx x -⎰(B) 1-⎰(C)2x e dx +∞-⎰(D) 221ln dx x x+∞⎰(3) 设矩阵m n A ⨯的秩为()r A m n =<,m E 为m 阶单位矩阵,下述结论中正确的是 ( )(A) A 的任意m 个行向量必线性无关 (B) A 的任意一个m 阶子式不等于零 (C) 若矩阵B 满足0BA =,则0B =(D) A 通过初等行变换,必可以化为(,0)m E 的形式(4) 设随机变量X 和Y 独立同分布,记,U X Y V X Y =-=+,则随机变量U 与V 必然( )(A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零(5) 设随即变量X 服从正态分布2(,)N μσ,则随σ的增大,概率{}P X μσ-< ( )(A) 单调增大 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D) 增减不定三、(本题满分6分)设2202(1cos ),0()1,01cos ,0xx x x f x x t dt x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩⎰,试讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性.四、(本题满分6分)已知连续函数()f x 满足条件320()3xx t f x f dt e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰,求()f x .五、(本题满分6分)将函数2ln(12)y x x =--展成x 的幂级数,并指出其收敛区间.六、(本题满分5分)计算22()min{,}x y x y edxdy +∞+∞-+-∞-∞⎰⎰.七、(本题满分6分)设某产品的需求函数为()Q Q p =,收益函数为R pQ =,其中p 为产品价格,Q 为需求量(产品的产量),()Q p 为单调减函数.如果当价格为0p ,对应产量为0Q 时,边际收益00Q Q dR a dQ ==>,收益对价格的边际效应0p p dRc dp==<,需求对价格的弹性1p E b =>.求0p 和0Q .八、(本题满分6分)设()f x 、()g x 在区间[,]a a -(0a >)上连续,()g x 为偶函数,且()f x 满足条件()()f x f x A +-=(A 为常数).(1) 证明()()()aaaf xg x dx A g x dx -=⎰⎰；(2) 利用(1)的结论计算定积分22sin arctan x x e dx ππ-⎰.九、(本题满分9分)已知向量组(Ⅰ)123,,ααα；(Ⅱ)1234,,,αααα；(Ⅲ)1235,,,αααα,如果各向量组的秩分别为(I)(II)3r r ==,(III)4r =.证明:向量组12354,,,ααααα-的秩为4.十、(本题满分10分)已知二次型2212323121323(,,)43448f x x x x x x x x x x x =-+-+.(1) 写出二次型f 的矩阵表达式；(2) 用正交变换把二次型f 化为标准形,并写出相应的正交矩阵.十一、(本题满分8分)假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试, 经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了(2)n n ≥台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求：(1) 全部能出厂的概率α；(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率β； (3) 其中至少有两台不能出厂的概率θ.十二、(本题满分8分)已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为4,01,01,(,)0,xy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他, 求X 和Y 联合分布函数(,)F x y .1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设方程y x y =确定y 是x 的函数,则dy =___________. (2) 设()arcsin x f x dx x C =+⎰,则1()dx f x =⎰___________.. (3) 设()00,x y 是抛物线2y ax bx c =++上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是___________. (4) 设123222212311111231111n n n n n n n a a a a A a a a a a a a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,123n x x X x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,1111B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,其中(;,1,2,,)i j a a i j i j n ≠≠= .则线性方程组TA XB =的解是___________. (5) 设由来自正态总体2~(,0.9)X N μ容量为9的简单随机样本,得样本均值5X =,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为___________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 累次积分cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可以写成 ( )(A) 10(,)dy f x y dx ⎰(B) 1(,)dy f x y dx ⎰(C)11(,)dx f x y dy ⎰⎰(D)1(,)dx f x y dy ⎰(2) 下述各选项正确的是 ( )(A) 若21nn u∞=∑和21nn v∞=∑都收敛,则21()nn n uv ∞=+∑收敛(B)1n nn u v∞=∑收敛,则21nn u∞=∑与21nn v∞=∑都收敛(C) 若正项级数1n n u ∞=∑发散,则1n u n≥(D) 若级数1nn u∞=∑收敛,且(1,2,)n n u v n ≥= ,则级数1nn v∞=∑也收敛(3) 设n 阶矩阵A 非奇异(2n ≥),A *是矩阵A 的伴随矩阵,则 ( ) (A) 1()n A AA -**= (B) 1()n A A A +**=(C) 2()n A AA -**= (D) 2()n A AA +**=(4) 设有任意两个n 维向量组1,,m αα 和1,,m ββ ,若存在两组不全为零的数1,,m λλ和1,,m k k ,使111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-= ,则( )(A) 1,,m αα 和1,,m ββ 都线性相关 (B) 1,,m αα 和1,,m ββ 都线性无关(C) 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++-- 线性无关(D) 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++-- 线性相关(5) 已知0()1P B <<且()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+,则下列选项成立的是( ) (A) ()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+ (B) ()1212()()P A B A B P A B P A B +=+ (C) ()1212()()P A A P A B P A B +=+(D) ()()1122()()()P B P A P B A P A P B A =+三、(本题满分6分)设(),0,()0,0,xg x e x f x xx -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩其中()g x 有二阶连续导数,且(0)1,(0)1g g '==-.(1)求()f x '；(2)讨论()f x '在(,)-∞+∞上的连续性.四、(本题满分6分)设函数()z f u =,方程()()xyu u p t dt ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数,其中(),()f u u ϕ可微；()p t ,()u ϕ'连续,且()1u ϕ'≠.求()()z z p y p x x y∂∂+∂∂.五、(本题满分6分)计算2(1)xx xe dx e -+∞-+⎰.六、(本题满分5分)设()f x 在区间[0,1]上可微,且满足条件120(1)2()f xf x dx =⎰.试证:存在(0,1)ξ∈使()()0.f f ξξξ'+=七、(本题满分6分)设某种商品的单价为p 时,售出的商品数量Q 可以表示成aQ c p b=-+,其中a b 、、 c 均为正数,且a bc >.(1) 求p 在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.(2) 要使销售额最大,商品单价p 应取何值?最大销售额是多少?八、(本题满分6分)求微分方程dy dx =的通解.九、(本题满分8分)设矩阵01010000010012A y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (1) 已知A 的一个特征值为3,试求y ； (2) 求矩阵P ,使()()TAP AP 为对角矩阵.十、(本题满分8分)设向量12,,,t ααα 是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系,向量β不是方程组0AX =的解,即0A β≠.试证明:向量组12,,,,t ββαβαβα+++ 线性无关.十一、(本题满分7分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?十二、(本题满分6分)考虑一元二次方程20x Bx C ++=,其中B C 、分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q .十三、(本题满分6分)假设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本；已知(1,2,3,4)k k EX a k ==.证明：当n 充分大时,随机变量211n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布,并指出其分布参数.1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.) (1) 设()(ln )f x y f x e =,其中f 可微,则dy =___________.(2)若1201()()1f x f x dx x =++,则10()f x dx =⎰___________. (3) 差分方程12t t t y y t +-=的通解为___________.(4) 若二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的,则t 的取值范围是___________.(5) 设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布2(0,3)N ,而19,,X X 和19,,Y Y 分别是来自总体X Y 和的简单随机样本,则统计量U =服从___________分布(2分),参数为___________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设561cos 2()sin ,()56xx x f x t dt g x -==+⎰,则当0x →时,()f x 是()g x 的 ( )(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小(2) 若()()()f x f x x -=-∞<<+∞,在(,0)-∞内()0f x '>,且()0f x ''<,则在(0,)+∞内有 ( ) (A) ()0f x '>,()0f x ''< (B) ()0f x '>,()0f x ''> (C) ()0f x '<,()0f x ''< (D) ()0f x '<,()0f x ''>(3) 设向量组1α,2α,3α线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ( )(A) 12αα+,23αα+,31αα- (B) 12αα+,23αα+,1232ααα++ (C) 122αα+,2323αα+,313αα+(D) 123ααα++,1232322ααα-+,123355ααα+-(4) 设,A B 为同阶可逆矩阵,则 ( )(A) AB BA = (B) 存在可逆矩阵P ,使1P AP B -=(C) 存在可逆矩阵C ,使TC AC B = (D) 存在可逆矩阵P 和Q ,使PAQ B = (5) 设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布：{}{}111,2P X P Y =-==-={}1P X = {}112P Y ===,则下列各式中成立的是 ( ) (A) {}12P X Y == (B) {}1P X Y ==(C) {}104P X Y +== (D) {}114P XY ==三、(本题满分6分)在经济学中,称函数1()[(1)]xxxQ x A KL δδ---=+-为固定替代弹性生产函数,而称函数1Q AK L δδ-=为Cobb-Douglas 生产函数(简称C —D 生产函数).试证明：但0x →时,固定替代弹性生产函数变为C —D 生产函数,即有lim ()x Q x Q →=.四、(本题满分5分)设(,,)u f x y z =有连续偏导数,()y y x =和()z z x =分别由方程0xye y -=和0x e xz -=所确定,求du dx.五、(本题满分6分)一商家销售某种商品的价格满足关系70.2p x =-(万元/吨),x 为销售量(单位：吨),商品的成本函数31C x =+(万元).(1) 若每销售一吨商品,政府要征税t (万元),求该商家获最大利润时的销售量； (2) t 为何值时,政府税收总额最大.六、(本题满分6分)设函数()f x 在[0,)+∞上连续、单调不减且(0)0f ≥,试证函数1(),0,()0,0,x nt f t dt x F x x x ⎧>⎪=⎨⎪=⎩⎰若若在[0,)+∞上连续且单调不减(其中0n >).七、(本题满分6分)从点1(1,0)P 作x 轴的垂线,交抛物线2y x =于点1(1,1)Q ；再从1Q 作这条抛物线的切线与x 轴交于2P ,然后又从2P 作x 轴的垂线,交抛物线于点2Q ,依次重复上述过程得到一系列的点1122,;,;;,;n n P Q P Q P Q .(1) 求n OP ；(2) 求级数1122n n Q P Q P Q P ++++ 的和.其中(1)n n ≥为自然数,而12M M 表示点1M 与2M 之间的距离.八、(本题满分6分)设函数()f t 在[0,)+∞上连续,且满足方程222244()t x y t f t e f dxdy π+≤=+⎰⎰, 求()f t .九、(本题满分6分)设A 为n 阶非奇异矩阵,α为n 维列向量,b 为常数.记分块矩阵0,T T E A P Q AA b ααα*⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，其中A *是矩阵A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵. (1) 计算并化简PQ ；(2) 证明：矩阵Q 可逆的充分必要条件是1TA b αα-≠.十、(本题满分10分)设三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3；矩阵A 的属于特征值1,2的特征向量分别是。

1991考研数二真题及解析

1991考研数二真题及解析-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设ln(13)x y -=+,则dy =＿＿＿＿＿＿. (2) 曲线2x y e -=的上凸区间是＿＿＿＿＿＿. (3) 21ln xdx x+∞=⎰＿＿＿＿＿＿. (4) 质点以速度2sin()t t 米每秒作直线运动,则从时刻1t =秒到2t =点所经过的路程等于＿＿＿＿＿＿米. (5) 1101lim x x xex e+→-=+＿＿＿＿＿＿.二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 若曲线2y x ax b =++和321y xy =-+在点(1,1)-处相切,其中,a b 是常数,则 ( )(A) 0,2a b ==- (B) 1,3a b ==- (C) 3,1a b =-= (D) 1,1a b =-=-(2) 设函数2 , 01,()2,12,x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩记0()(),02x F x f t dt x =≤≤⎰,则 ( )(A) 32, 013()12,1233x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩ (B) 32, 013()72,1262x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩ (C) 322 , 013()2,1232x x F x x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩ (D) 32, 013()2,122x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩(3) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义,00x ≠是函数()f x 的极大点,则 ( )(A) 0x 必是()f x 的驻点 (B) 0x -必是()f x --的极小点 (C) 0x -必是()f x -的极小点 (D) 对一切x 都有0()()f x f x ≤ (4) 曲线2211x x e y e--+=-( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线(5) 如图,x 轴上有一线密度为常数μ,长度为l 的细杆,有一质量为m 的质点到杆右端的距离为a ,已知引力系数为k ,则质点和细杆之间引力的大小为 ( )(A) 02()l km dx a x μ--⎰(B) 20()l km dx a x μ-⎰ (C) 0222()l km dx a x μ-+⎰ (D) 2202()lkm dx a x μ+⎰三、(每小题5分,满分25分.)(1) 设cos sin x t t y t t =⎧⎨=⎩,求22d ydx .(2) 计算41⎰(3) 求 20sin lim(1)xx x xx e →--. (4) 求 2sin x xdx ⎰.(5) 求微分方程x xy y xe '+=满足(1)1y =的特解.四、(本题满分9分)利用导数证明：当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x xx x+>+成立.五、(本题满分9分)求微分方程cos y y x x ''+=+的通解.六、(本题满分9分)曲线(1)(2)y x x =--和x 轴围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.七、(本题满分9分)如图,A 和D 分别是曲线x y e =和2x y e -=上的点,AB 和DC 均垂直x 轴,且:2:1AB DC =,1AB <,求点B 和C 的横坐标,使梯形ABCD 的面积最大.八、(本题满分9分)设函数()f x 在(,)-∞+∞内满足()()sin f x f x x π=-+,且(),[0,)f x x x π=∈, 计算3()f x dx ππ⎰.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)【答案】ln 331xdx -+ 【解析】由复合函数求导法则,即(())y f x ϕ=的微分为(())()dy f x f x dx ϕ''=,有1ln 33ln 3(1)1331xx xdy dx dx --=⋅⋅-=-++. (2)【答案】(【解析】求函数()y f x =的凹凸区间,只需求出y '',若0y ''>,则函数图形为上凹,若0y ''<,则函数图形为上凸,由题可知22(2)2,x x y e x xe --'=⋅-=-222212(2)(2)4()2x x x y e x e x e x ---''=-+-⋅-=-.因为240x e ->,所以当2102x -<时0y ''<,函数图像上凸,即21,222x x <-<<时, 函数图像上凸.故曲线上凸区间为(. (3)【答案】1【解析】用极限法求广义积分.22111ln ln 1lim lim ln ()b b b b x x dx dx xd x x x+∞→+∞→+∞==-⎰⎰⎰ 11ln 11lim ()bb b x dx x x x →+∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤=---⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭⎰分部1ln ln11ln 1lim lim ()111bb b b b b x b b →+∞→+∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤=-++-=-++=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭.(4)【答案】12【解析】这是定积分的应用.设在t t dt →+时刻的速度为2sin()t t ,则在dt 时间内的路程为2sin()ds t t dt =,所以从时刻1t =2t =212sin()t t s t t dt =⎰2221sin())2t dt t dt ==21111cos((cos cos )(10)22222t ππ=-=--=---=.(5)【答案】1-【解析】这是一个∞∞型未定式,分子分母同乘以1x e -,得1111011lim lim 1x x x x xxeex e xe++-→→---=++.为简化计算,令1t x =-,则1x t=-,原式可化为1101101limlim 10111t x t t x xee e xet+-→-∞→----===-+-++.二、选择题(每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等,即在该点处的导数相等,对两函数分别对x 求导,得2y x a '=+,则该曲线在点(1,1)-处的导数为12x y a ='=+,3223y y xy y ''=+,即3223y y xy '=-,则曲线在点(1,1)-处的导数为321(1)1231(1)x y =-'==-⋅⋅-, 两导数相等,有21a +=,即1a =-.又因为曲线2y x ax b =++过点(1,1)-,所以有1111,1a b b b b -=++=-+==-. 所以选项(D)正确. (2)【答案】(B)【解析】这是分段函数求定积分. 当01x ≤≤时,2()f x x =,所以2330011()()33xxxF x f t dt t dt t x ⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎰⎰.当12x <≤时,()2f x x =-, 所以121()()(2)xxF x f t dt t dt t dt ==+-⎰⎰⎰132201111112(2)(2)32322xt t t x x ⎡⎤⎡⎤=+-=+---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦271262x x =-+-.所以32,013()72,1262x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩,应选(B). (3)【答案】(B)【解析】方法一：用排除法.由于不可导点也可取极值,如()1f x x =--,在01x =处取极大值,但是01x =不是()1f x x =--的驻点,所以(A)不正确；注意到极值的局部性,即极值不是最值,所以(D)也不正确；对于()|1|f x x =--,在01x =处取极大值,但01x -=-并非是()|1|f x x -=-的极小值点,所以(C)也不成立；故选(B).方法二：证明(B)是正确的,因为00x ≠,不妨设00x >,则0()f x 为极大值,则在0x 的某个领域内有00()()f x f x x >±∆；函数()y f x =--与函数()y f x =关于原点对称,所以必有00()()f x f x x --<--±∆,即在0x -的某个领域内0()f x --为极小值,故(B)是正确的. (4)【答案】(D)【解析】函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,222211lim limlim11x x x x x x x e e y ee --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,222211lim limlim111x x x x x x x e e y ee --→∞→∞→∞++====--,所以1y =为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线. (5)【答案】(A)【解析】如图建立坐标系,则x x dx →+中,dx 长度的细杆的质量为dx μ,与质点的距离为a x -,故两点间的引力为2()km dx dF a x μ=-,积分得02()l km F dx a x μ-=-⎰,故选(A).同理应用微元法可知,若以l 的中点为原点,则质点的坐标为(,0)2la +,故222()2l l km F dx l a x μ-=+-⎰；若以l 的左端点为原点,则质点的坐标为(,0)a l +,故20()lkm F dx a l x μ=+-⎰.故(B)、(C)、(D)均不正确,应选(A).三、(每小题5分,满分25分.)(1)【解析】这是个函数的参数方程,/sin cos /cos sin dy dy dt t t tdx dx dt t t t+==-, 221sin cos 1()()cos sin cos sin d y d dy d t t t dx dx dt dx dt t t t t t t dt+=⋅=⋅-- 2(2cos sin )(cos sin )(2sin cos )(sin cos )1(cos sin )cos sin t t t t t t t t t t t t t t t t t t--+++=⋅--2222232(cos sin )(sin cos )3sin cos 3sin cos (cos sin )t t t t t t t t t t tt t t +++-+=-232(cos sin )t t t t +=-. 【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果 ()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩,则 ()()dy t dx t ϕφ'='. (2)【解析】用换元法求定积分.令t =,则2,2x t dx tdt ==,则422211111122()(1)1tdt dt t t t t ⋅=-++⎰⎰⎰ 212142ln 2(ln ln )2ln 1323t t ⎡⎤==-=⎢⎥+⎣⎦. (3)【解析】利用等价无穷小和洛必达法则.当0x →时,有sin ,1xxx e x +,所以22232220000022sin sin sin 1cos 122lim lim lim lim lim (1)3336x x x x x x x x x x x x x x e x x x x →→→→→⎛⎫ ⎪---⎝⎭====-洛. (4)【解析】用分部积分法求不定积分.21cos 21sin (cos 2)22x x xdx x dx x x x dx -=⋅=-⎰⎰⎰ 21111cos 2(sin 2)2244xdx x xdx x xd x =-=-⎰⎰⎰ 2111sin 2sin 2444x x x xdx =-+⎰ 2111sin 2cos 2448x x x x C =--+. (5)【解析】所给方程是一阶线性方程,其标准形式为1x y y e x'+=.通解为111()()dx dx xx x x y e e e dx C xe dx C x-⎰⎰=+=+⎰⎰111()()()x x x x x xde C xe e dx C xe e C x x x=+=-+=-+⎰⎰.代入初始条件(1)1y =得1C =,所以特解为11x x y e x x-=+. 【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的通解为()()(())p x dx p x dx y e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.四、(本题满分9分)【解析】首先应简化不等式,从中发现规律.当1x >时,原不等式即(1)ln(1)ln x x x x ++>,即(1)ln(1)ln 0x x x x ++->. 证法一：令()(1)ln(1)ln f x x x x x =++-,则只需证明在1x >时()0f x >即可, 可利用函数的单调性证明,对于()f x 有1()ln(1)1ln 1ln()x f x x x x +'=++--=. 因1x >,故11x x+>,即()0f x '>,所以在(1,)+∞上()f x 是严格递增函数,所以 ()(1)2ln 20f x f >=>,故(1)ln(1)ln 0x x x x ++->,所以当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x x x x +>+成立. 证法二：当1x >时,原不等式即(1)ln(1)ln x x x x ++>,不等式左右两端形式一致,故令()ln f x x x =,则()ln 10(1)f x x x '=+>>,所以()ln f x x x =在1x >时严格单调递增,故(1)()f x f x +>，即(1)ln(1)ln x x x x ++>.所以当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x x x x+>+成立.五、(本题满分9分)【解析】微分方程cos y y x x ''+=+对应的齐次方程0y y ''+=的特征方程为210r +=, 特征根为1,2r i =±,故对应齐次通解为12cos sin C x C x +.方程y y x ''+=必有特解为1Y ax b =+,代入方程可得1,0a b ==. 方程cos y y x ''+=的右端cos cos x e x x αβ=,i i αβ+=为特征根,必有特解2cos sin Y x A x x B x =⋅+⋅,代入方程可得10,2A B ==. 由叠加原理,原方程必有特解12sin 2x Y Y Y x x =+=+. 所以原方程的通解为121cos sin sin 2y C x C x x x x =+++. 【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果()()x m f x P x e λ=,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=具有形如*()k x m y x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 与()m P x 同次(m 次)的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.如果()[()cos ()sin ]x l n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()mR x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、(本题满分9分)【解析】利用定积分求旋转体的体积,用微元法,曲线为一抛物线,与x 轴的交点是11,x =22x =,顶点坐标为31(,)24-. 方法一：考虑对x 积分,如图中阴影部分绕y 轴旋转一周, 环柱体的体积为222()2dV x dx y x y x y dx y dx ππππ=+-=+其中2dx 为0dx →的高阶无穷小,故可省略,且y 为负的, 故y y =-,即22(1)(2)dV xydx x x x dx ππ=-=---. 把x 从12→积分得2223112(1)(2)2(32)V x x x dx x x x dx ππ=--=--⎰⎰ 234211122(0)442x x x πππ⎡⎤=--=+=⎢⎥⎣⎦. 方法二：考虑对y 的积分,如图中阴影部分绕y 轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕y 轴旋转一周后的体积差,即2221dV x dy x dy ππ=-其中,12,x x 为Y y =与抛物线的交点,且21x x >,把Y y =代入抛物线方程(1)(2)y x x =--,解得12314314,y y x x -+++==, 故旋转体体积为0221214()V x x dy π-=-⎰.把12,x x 的值代入化简,得30211443232314(14)43432V ydy y ππππ--⎡⎤=+=⋅+=⋅=⎢⎥⎣⎦⎰.七、(本题满分9分)【解析】可以利用函数的极值求解.设B 、C 的横坐标分别为1,x x ,因为||1AB <,所以10,x <0x >.依题设 :2:1AB DC =,所以有122x x e e -=,两边同时取自然对数,得1ln 22,x x =- 而 1(ln 22)3ln 2,(0)BC x x x x x x =-=--=->, 所以梯形ABCD 的面积为122211()(3ln 2)(2)(3ln 2)22x x x x S e e x e e x ---=+-=+-23(3ln 2)2x x e -=-.求函数23(3ln 2)2x S x e -=-,(0x >)的最值,满足一般函数求最值的规律,两边对x 求导,并令0S '=有23(362ln 2)02x S x e -'=-+=, 得驻点11ln 223x =+,在此点S '由正变负,所以11ln 223x =+是极大值点. 又驻点唯一,故11ln 2023x =+>是23(3ln 2)2x S x e -=-最大值点. 此时11ln 223x =+,11ln 213x =-时,梯形ABCD 面积最大, 故B 点的坐标为1(ln 21,0)3-,C 点的坐标为11(ln 2,0)23+.八、(本题满分9分)【解析】这是个抽象函数求定积分,由题知()()sin()sin ,[0,)f x f x x x x x πππ+=++=-∈, (2)()sin(2)sin sin ,[0,)f x f x x x x x x x ππππ+=+++=-+=∈, 而 3232()()()f x dx f x dx f x dx ππππππ=+⎰⎰⎰,对于2()f x dx ππ⎰,令t x π=-,则,x t dx dt π=+=,所以200()()(sin )f x dx f t dt t t dt πππππ=+=-⎰⎰⎰; 对于32()f x dx ππ⎰,令2t x π=-,则2,x t dx dt π=+=,所以3200()(2)f x dx f t dt tdt πππππ=+=⎰⎰⎰; 所以 3232()()()f x dx f x dx f x dx ππππππ=+⎰⎰⎰ 00(sin )t t dt tdt ππ=-+⎰⎰ 002sin tdt tdt ππ=-⎰⎰ []2200cos 2t t πππ⎡⎤=+=-⎣⎦.。

中科院遗传学考研真题分析

中科院遗传学考研真题分析中国科学院遗传研究所硕⼠学位研究⽣1991年⼊学考试普通遗传学试题⼀、名词解释（20分）剂量补偿作⽤组成性突变性选择压⼒渐渗杂交转染 F因⼦回⽂环异源多倍体反义核酸克隆（⽆性繁殖系）选择学说⼆、选择题（10分）1、某⼈是⼀个常染⾊体基因的杂合⼦Bb，⽽他带有⼀个隐性的X连锁基因d。

在他的精⼦中有多⼤⽐例带有bd基因。

(a)0；(b)1/2；(c)1/8；(d)1/16；（e）1/4。

2、有图谱系中，涂⿊者为带有性状的W个体，这种性状在群体中是罕见的。

如下哪种情况是于谱系中的传递情况⼀致的？●□●□□●■○●●●●■○(a)常染⾊体隐性；(b)常染⾊体显性；（c）X连锁隐性；（d）X连锁显性；（e）Y连锁。

3、在⼀个突变过程中，⼀对额外的核苷酸插⼊DNA内，会得什么样的结果？(a)完全没有蛋⽩产物；(b)产⽣的蛋⽩中有⼀个氨基酸发⽣变化。

(c)产⽣的蛋⽩中有三个氨基酸发⽣变化。

(d)产⽣的蛋⽩中有⼀个氨基酸发⽣变化。

(e)产⽣的蛋⽩中，插⼊部位以后的⼤部分氨基酸都发⽣变化。

4、假设某种⼆倍体植物的细胞质在遗传上不同于植物B。

为了研究核-质关系，想获得⼀种植株，这种植株具有A的细胞质，⽽细胞核却主要是B的基因组，应该怎样做？(a)A×B的后代连续⾃交(b)B×A的后代连续⾃交(c) A×B的后代连续与B回交(d) A×B的后代连续与A回交(e) B×A的后代连续与B回交；（f）B×A的后代连续与A回交。

三、问答题：1、某城市医院的94,075个新⽣⼉中，有10个是软⾻发育不全的侏儒（软⾻发育不全是⼀种充分表现的常染⾊体显性突变），其中只有2个侏儒的⽗亲或母亲是侏儒。

试问在配⼦中来⾃软⾻发育不全的突变频率是多少？（10分）2、某种介壳⾍的⼆倍体数为10，在雄性细胞中，5个染⾊体总是呈异染⾊质状态，另外5个染⾊体呈常染⾊质状态。

1991-1998年中国科学院遗传研究所考研真题

中国科学院遗传研究所硕士学位研究生1991年入学考试普通遗传学试题一、名词解释（20分）剂量补偿作用组成性突变性选择压力渐渗杂交转染F因子回文环异源多倍体反义核酸克隆（无性繁殖系）选择学说二、选择题（10分）1、某人是一个常染色体基因的杂合子Bb，而他带有一个隐性的X连锁基因d。

在他的精子中有多大比例带有bd基因。

(a)0；(b)1/2；(c)1/8；(d)1/16；（e）1/4。

2、有图谱系中，涂黑者为带有性状的W个体，这种性状在群体中是罕见的。

如下哪种情况是于谱系中的传递情况一致的？●□●□□●■○●●●●■○(a)常染色体隐性；(b)常染色体显性；（c）X连锁隐性；（d）X连锁显性；（e）Y连锁。

3、在一个突变过程中，一对额外的核苷酸插入DNA内，会得什么样的结果？(a)完全没有蛋白产物；(b)产生的蛋白中有一个氨基酸发生变化。

(c)产生的蛋白中有三个氨基酸发生变化。

(d)产生的蛋白中有一个氨基酸发生变化。

(e)产生的蛋白中，插入部位以后的大部分氨基酸都发生变化。

4、假设某种二倍体植物的细胞质在遗传上不同于植物B。

为了研究核-质关系，想获得一种植株，这种植株具有A的细胞质，而细胞核却主要是B的基因组，应该怎样做？(a)A×B的后代连续自交(b)B×A的后代连续自交(c) A×B的后代连续与B回交(d) A×B的后代连续与A回交(e) B×A的后代连续与B回交；（f）B×A的后代连续与A回交。

三、问答题：1、某城市医院的94,075个新生儿中，有10个是软骨发育不全的侏儒（软骨发育不全是一种充分表现的常染色体显性突变），其中只有2个侏儒的父亲或母亲是侏儒。

试问在配子中来自软骨发育不全的突变频率是多少？（10分）2、某种介壳虫的二倍体数为10，在雄性细胞中，5个染色体总是呈异染色质状态，另外5个染色体呈常染色质状态。

而在雌细胞中，所有10个染色体都是常染色体的。

1991考研数二真题及解析

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设ln(13)x y -=+,则dy =＿＿＿＿＿＿. (2) 曲线2x y e -=的上凸区间是＿＿＿＿＿＿. (3)21ln xdx x+∞=⎰＿＿＿＿＿＿. (4) 质点以速度2sin()t t 米每秒作直线运动,则从时刻1t =2t =过的路程等于＿＿＿＿＿＿米.(5) 1101lim x x xex e+→-=+＿＿＿＿＿＿.二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 若曲线2y x ax b =++和321y xy =-+在点(1,1)-处相切,其中,a b 是常数,则 ( )(A) 0,2a b ==- (B) 1,3a b ==- (C) 3,1a b =-= (D) 1,1a b =-=-(2) 设函数2 , 01,()2,12,x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩记0()(),02x F x f t dt x =≤≤⎰,则 ( )(A) 32 , 013()12,1233x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩ (B) 32, 013()72,1262x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩(C) 322 , 013()2,1232x x F x x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩ (D) 32, 013()2,122x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩(3) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义,00x ≠是函数()f x 的极大点,则 ( )(A) 0x 必是()f x 的驻点 (B) 0x -必是()f x --的极小点(C) 0x -必是()f x -的极小点 (D) 对一切x 都有0()()f x f x ≤ (4) 曲线2211x x e y e--+=- ( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (5) 如图,x 轴上有一线密度为常数μ,长度为l 的细杆,有一质量为m 的质点到杆右端的距离为a ,已知引力系数为k ,则质点和细杆之间引力的大小为 ( )(A)2()l km dx a x μ--⎰ (B) 20()l km dx a x μ-⎰(C) 0222()l km dx a x μ-+⎰ (D) 2202()lkm dx a x μ+⎰三、(每小题5分,满分25分.)(1) 设cos sin x t t y t t=⎧⎨=⎩,求22d y dx .(2) 计算41⎰(3) 求 20sin lim(1)xx x xx e →--. (4) 求 2sin x xdx ⎰.(5) 求微分方程xxy y xe '+=满足(1)1y =的特解.四、(本题满分9分)利用导数证明：当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x xx x+>+成立.五、(本题满分9分)求微分方程cos y y x x ''+=+的通解.六、(本题满分9分)曲线(1)(2)y x x =--和x 轴围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.七、(本题满分9分)如图,A 和D 分别是曲线x y e =和2x y e -=上的点,AB 和DC 均垂直x 轴,且:2:1AB DC =,1AB <,求点B 和C 的横坐标,使梯形ABCD 的面积最大.八、(本题满分9分)设函数()f x 在(,)-∞+∞内满足()()sin f x f x x π=-+,且(),[0,)f x x x π=∈, 计算3()f x dx ππ⎰.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)【答案】ln 331xdx -+ 【解析】由复合函数求导法则,即(())y f x ϕ=的微分为(())()dy f x f x dx ϕ''=,有1ln 33ln 3(1)1331xx xdy dx dx --=⋅⋅-=-++. (2)【答案】( 【解析】求函数()y f x =的凹凸区间,只需求出y '',若0y ''>,则函数图形为上凹,若0y ''<,则函数图形为上凸,由题可知22(2)2,x x y e x xe --'=⋅-=-222212(2)(2)4()2x x x y e x e x e x ---''=-+-⋅-=-.因为240x e->,所以当2102x -<时0y ''<,函数图像上凸,即21,2x x <<<, 函数图像上凸.故曲线上凸区间为(. (3)【答案】1【解析】用极限法求广义积分.22111ln ln 1lim lim ln ()b b b b x x dx dx xd x x x+∞→+∞→+∞==-⎰⎰⎰ 11ln 11lim ()bb b x dx x x x →+∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤=---⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭⎰分部1ln ln11ln 1lim lim ()111bb b b b b x b b →+∞→+∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤=-++-=-++=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭. (4)【答案】12【解析】这是定积分的应用.设在t t dt →+时刻的速度为2sin()t t ,则在dt 时间内的路程为2sin()ds t t dt =,所以从时刻1t =2t =212sin()t t s t t dt =⎰2221sin())2t dt t dt ==21111cos((cos cos )(10)22222t ππ=-=--=---=.(5)【答案】1-【解析】这是一个∞∞型未定式,分子分母同乘以1x e -,得1111011lim lim 1x x x x xxeex e xe++-→→---=++.为简化计算,令1t x =-,则1x t=-,原式可化为 1101101limlim 10111t x t t x xee e xet+-→-∞→----===-+-++.二、选择题(每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等,即在该点处的导数相等, 对两函数分别对x 求导,得2y x a '=+,则该曲线在点(1,1)-处的导数为12x y a ='=+,3223y y xy y ''=+,即3223y y xy'=-,则曲线在点(1,1)-处的导数为 321(1)1231(1)x y =-'==-⋅⋅-, 两导数相等,有21a +=,即1a =-.又因为曲线2y x ax b =++过点(1,1)-,所以有1111,1a b b b b -=++=-+==-. 所以选项(D)正确. (2)【答案】(B)【解析】这是分段函数求定积分.当01x ≤≤时,2()f x x =,所以2330011()()33xxxF x f t dt t dt t x ⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎰⎰.当12x <≤时,()2f x x =-, 所以121()()(2)xxF x f t dt t dt t dt ==+-⎰⎰⎰132201111112(2)(2)32322xt t t x x ⎡⎤⎡⎤=+-=+---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 271262x x =-+-. 所以32,013()72,1262x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩,应选(B).(3)【答案】(B)【解析】方法一：用排除法.由于不可导点也可取极值,如()1f x x =--,在01x =处取极大值,但是01x =不是()1f x x =--的驻点,所以(A)不正确；注意到极值的局部性,即极值不是最值,所以(D)也不正确；对于()|1|f x x =--,在01x =处取极大值,但01x -=-并非是()|1|f x x -=-的极小值点,所以(C)也不成立；故选(B).方法二：证明(B)是正确的,因为00x ≠,不妨设00x >,则0()f x 为极大值,则在0x 的某个领域内有00()()f x f x x >±∆；函数()y f x =--与函数()y f x =关于原点对称,所以必有00()()f x f x x --<--±∆,即在0x -的某个领域内0()f x --为极小值,故(B)是正确的. (4)【答案】(D)【解析】函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,222211lim limlim11x x x x x x x e e y ee --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,222211lim limlim111x x x x x x x e e y ee --→∞→∞→∞++====--,所以1y =为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.(5)【答案】(A)【解析】如图建立坐标系,则x x dx →+中,dx 长度的细杆的质量为dx μ,与质点的距离为a x -,故两点间的引力为2()km dx dF a x μ=-,积分得02()l km F dx a x μ-=-⎰,故选(A). 同理应用微元法可知,若以l 的中点为原点,则质点的坐标为(,0)2la +,故 222()2ll km F dx l a x μ-=+-⎰；若以l 的左端点为原点,则质点的坐标为(,0)a l +,故20()lkm F dx a l x μ=+-⎰.故(B)、(C)、(D)均不正确,应选(A).三、(每小题5分,满分25分.)(1)【解析】这是个函数的参数方程,/sin cos /cos sin dy dy dt t t t dx dx dt t t t+==-, 221sin cos 1()()cos sin cos sin d y d dy d t t t dx dx dt dx dt t t t t t tdt+=⋅=⋅-- 2(2cos sin )(cos sin )(2sin cos )(sin cos )1(cos sin )cos sin t t t t t t t t t t t t t t t t t t--+++=⋅-- 2222232(cos sin )(sin cos )3sin cos 3sin cos (cos sin )t t t t t t t t t t tt t t +++-+=- 232(cos sin )t t t t +=-. 【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果 ()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩,则 ()()dy t dx t ϕφ'='.(2)【解析】用换元法求定积分.令t =则2,2x t dx tdt ==,则422211111122()(1)1tdt dt t t t t ⋅=-++⎰⎰⎰212142ln 2(ln ln )2ln 1323t t ⎡⎤==-=⎢⎥+⎣⎦. (3)【解析】利用等价无穷小和洛必达法则.当0x →时,有sin ,1x x x e x + ,所以22232220000022sin sin sin 1cos 122lim lim lim lim lim(1)3336x x x x x x x x x x x x x x e x x x x →→→→→⎛⎫ ⎪---⎝⎭====-洛. (4)【解析】用分部积分法求不定积分.21cos 21sin (cos 2)22x x xdx x dx x x x dx -=⋅=-⎰⎰⎰ 21111cos 2(sin 2)2244xdx x xdx x xd x =-=-⎰⎰⎰ 2111sin 2sin 2444x x x xdx =-+⎰ 2111sin 2cos 2448x x x x C =--+. (5)【解析】所给方程是一阶线性方程,其标准形式为1xy y e x'+=.通解为111()()dx dx x x xx y e e e dx C xe dx C x-⎰⎰=+=+⎰⎰111()()()x x x x x xde C xe e dx C xe e C x x x=+=-+=-+⎰⎰. 代入初始条件(1)1y =得1C =,所以特解为11xx y e x x-=+. 【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的通解为()()(())p x dx p x dxy e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.四、(本题满分9分)【解析】首先应简化不等式,从中发现规律.当1x >时,原不等式即(1)ln(1)ln x x x x ++>,即(1)ln(1)ln 0x x x x ++->. 证法一：令()(1)ln(1)ln f x x x x x =++-,则只需证明在1x >时()0f x >即可, 可利用函数的单调性证明,对于()f x 有1()ln(1)1ln 1ln()x f x x x x+'=++--=.因1x >,故11x x+>,即()0f x '>,所以在(1,)+∞上()f x 是严格递增函数,所以 ()(1)2ln 20f x f >=>,故(1)ln(1)ln 0x x x x ++->,所以当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x xx x+>+成立. 证法二：当1x >时,原不等式即(1)ln(1)ln x x x x ++>,不等式左右两端形式一致,故令()ln f x x x =,则()ln 10(1)f x x x '=+>>,所以()ln f x x x =在1x >时严格单调递增,故(1)()f x f x +>，即(1)ln(1)ln x x x x ++>.所以当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x xx x+>+成立.五、(本题满分9分)【解析】微分方程cos y y x x ''+=+对应的齐次方程0y y ''+=的特征方程为210r +=, 特征根为1,2r i =±,故对应齐次通解为12cos sin C x C x +.方程y y x ''+=必有特解为1Y ax b =+,代入方程可得1,0a b ==. 方程cos y y x ''+=的右端cos cos x e x x αβ=,i i αβ+=为特征根,必有特解2cos sin Y x A x x B x =⋅+⋅,代入方程可得10,2A B ==. 由叠加原理,原方程必有特解12sin 2xY Y Y x x =+=+. 所以原方程的通解为121cos sin sin 2y C x C x x x x =+++. 【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果()()xm f x P x e λ=,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=具有形如*()k x m y x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 与()m P x 同次(m 次)的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、(本题满分9分)【解析】利用定积分求旋转体的体积,用微元法,曲线为一抛物线,与x 轴的交点是11,x =22x =,顶点坐标为31(,)24-.方法一：考虑对x 积分,如图中阴影部分绕y 轴旋转一周,环柱体的体积为222()2dV x dx y x y x y dx y dx ππππ=+-=+其中2dx 为0dx →的高阶无穷小,故可省略,且y 为负的, 故y y =-,即22(1)(2)dV xydx x x x dx ππ=-=---. 把x 从12→积分得2223112(1)(2)2(32)V x x x dx x x x dx ππ=--=--⎰⎰234211122(0)442x x x πππ⎡⎤=--=+=⎢⎥⎣⎦.方法二：考虑对y 的积分,如图中阴影部分绕y 轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕y 轴旋转一周后的体积差,即 2221dV x dy x dy ππ=-其中,12,x x 为Y y =与抛物线的交点,且21x x >, 把Y y =代入抛物线方程(1)(2)y x x =--,解得12x x ==, 故旋转体体积为0221214()V x x dy π-=-⎰.把12,x x 的值代入化简,得32114432323(14)43432V y πππ--⎡⎤==⋅+=⋅=⎢⎥⎣⎦⎰.七、(本题满分9分)【解析】可以利用函数的极值求解.设B 、C 的横坐标分别为1,x x ,因为||1AB <,所以10,x <0x >.依题设:2:1AB DC =,所以有122x x e e -=,两边同时取自然对数,得1ln 22,x x =-而 1(ln 22)3ln 2,(0)BC x x x x x x =-=--=->,所以梯形ABCD 的面积为122211()(3ln 2)(2)(3ln 2)22x x x x S e e x e e x ---=+-=+-23(3ln 2)2x x e -=-. 求函数23(3ln 2)2x S x e -=-,(0x >)的最值,满足一般函数求最值的规律,两边对x 求导,并令0S '=有23(362ln 2)02x S x e -'=-+=, 得驻点11ln 223x =+,在此点S '由正变负,所以11ln 223x =+是极大值点. 又驻点唯一,故11ln 2023x =+>是23(3ln 2)2x S x e -=-最大值点. 此时11ln 223x =+,11ln 213x =-时,梯形ABCD 面积最大, 故B 点的坐标为1(ln 21,0)3-,C 点的坐标为11(ln 2,0)23+.八、(本题满分9分)【解析】这是个抽象函数求定积分,由题知()()sin()sin ,[0,)f x f x x x x x πππ+=++=-∈,(2)()sin(2)sin sin ,[0,)f x f x x x x x x x ππππ+=+++=-+=∈, 而3232()()()f x dx f x dx f x dx ππππππ=+⎰⎰⎰, 对于2()f x dx ππ⎰,令t x π=-,则,x t dx dt π=+=,所以200()()(sin )f x dx f t dt t t dt πππππ=+=-⎰⎰⎰; 对于32()f x dx ππ⎰,令2t x π=-,则2,x t dx dt π=+=,所以3200()(2)f x dx f t dt tdt πππππ=+=⎰⎰⎰; 所以 3232()()()f x dx f x dx f x dx ππππππ=+⎰⎰⎰ 00(sin )t t dt tdt ππ=-+⎰⎰ 002sin tdt tdt ππ=-⎰⎰[]2200cos 2t t πππ⎡⎤=+=-⎣⎦.。

1991-2012中医综合考研真题及答案

1991 年硕士研究生入学考试中医综合科目试题一、A型题：每小题1.5分，共120分。

在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，请选出一项最符合题目要求的。

1. “阴在内，阳之守也，阳在外，阴之使也”，主要说明阴阳之间存在着：A. 对立制约B. 互根互用C. 互为消长D. 平衡协调E. 互相转化2. 与精神意识思维活动关系最密切的是A. 心主血脉的生理功能B. 肝主疏泄的生理功能C. 脾主运化的生理功能 D. 肺主治节的生理功能 E. 肾主藏精的生理功能3. 肺为“水之上源”的主要依据是A. 肺的通调水道的功能B. 肺具有布散水液的功能C. 肺具有输精于皮毛的功能D 肺为脏腑之华盖E. 饮入于胃……上归于肺4.“乙癸同源”应归属于：A. 肝和心的关系B. 肝和肺的关系C. 肝和肾的关系D. 肝和牌的关系 E. 肾和牌的关系5.“吐下之余，定无完气”的生理基础是A. 气能生津B. 津能化气C. 气能摄津D. 津能载气E. 气能行津6. 十二经脉气血充盛有余时，则渗注于：A. 经别B. 别络C. 浮络D. 孙络E. 奇经7 《素问·五藏生成篇》说“多食酸”则：A. 脉凝泣而变色B. 皮搞而毛拔C. 筋急而爪枯D. 肉胝皱而唇偈E. 骨痛而发落8. 《临证指南医案》指出“内风”的机理均属于：A. 体内气机的逆乱B. 体内阴血的不足C. 体内阳气之变动D. 诸风掉眩，皆属于肝E. 体内筋脉失常9. “气盛则身以前皆热”的经脉是A. 手少阴心经B. 任脉C. 冲脉D. 足阳明胃经E 足太阴脾经10. “寒因寒用，热因热用”属于：A. 逆治法B. 阳病治阴，阴病治阳C. 阳中求阴，阴中求阳D. 扶阳配阴，扶阴配阳 E 以上都不是11. 李士材的《诊家正眼》把脉象分为多少种 ?A. 24 种B. 28 种C. 27 种D. 32 种E. 36 种12. 望色十法中“夭”是指：A. 色惨B. 色闭C. 色开D. 色深浓E. 色枯楠13. 腐苔主病与哪一项无关？A. 食积B. 痰浊C. 湿温D. 肝痈E. 下疳14. 多食易饥 , 大便漉泄是 A. 食积不化B. 脾胃虚弱C. 肝牌不和D. 胃火亢盛 E. 胃强脾弱15. 天亮咳甚属于：A. 寒湿B. 肾亏C. 脾虚 D. 燥热E. 肺实16. 下列哪种脉象不主实证 ?A. 革脉B. 滑脉C. 结脉D. 肾脉E. 弦脉17. 解索脉的特征是A. 脉在筋肉之间，脉搏极迟慢B. 脉在筋肉之间，连连数急，三五不调C. 脉在皮肤，头定而尾摇D. 脉在皮肤，如虾游水E. 以上都不是18. 胸满，呕逆，飧泄，狐疝，遗溺属于：A. 足厥阴肝经病证B. 足太阴脾经病证C. 足少阴肾经病证D. 足少阳胆经病证E. 足太阳膀胱经病证19. 少阴热化证的心烦不寐是因：A. 热扰胸脯B. 热扰心神C. 内有燥屎D. 肝阳上亢E. 水亏火旺20. 温病上焦病证不见以下哪个症状 ?A. 口渴B. 谵语C. 肢厥D. 瘛疭E. 脉浮数21. 哪味药可治痹痛、疥癣?A. 麝香B. 牛黄C. 冰片D. 苏合香E. 菖蒲22. 蜀漆的来源是A. 漆树的枝叶B. 泽漆的全草C. 黄常山的嫩枝叶D. 干漆的加工品E. 田三七的根23. 蟾酥内服一次用量是A.0.015～0.03 克 B.0.3～0.6 克C.0.1～0.2 克D.0.002～0.004 克E. 以上都不是24. 我国最早记载制成乌头碱结晶的文献是A. 《本草纲目》 B. 《本草蒙荃》 C. 《炮制大法》D. 《白猿经》E. 《本草备要》25. 地龙的功效是A. 息风、平喘、祛风湿B. 息风、利尿、退黄疸C. 息风、利尿、退虚热D. 息风、安神、平喘咳E. 息风、平喘、通经络26. 栀子的归经是A. 心、肺、胃、三焦经B. 心、肝、胃、肺经C. 心、肺、胆、膀胱经D. 心、胃、肝、胆经E. 心、胃、肺、膀胱经27. 清肝养血明目退翳的药物是A. 谷精草B. 密蒙花C. 青葙子D. 菟丝子E. 沙苑子28. 固精缩尿兼能涩肠止泻的药是A. 金樱子B. 桑螵蛸C. 覆盆子D. 赤石脂E. 乌梅29. 下列除哪项外均为苦味药的作用 ?A. 清热泻火B. 泄降逆气C. 引药下行D. 通泻大便E. 燥湿坚阴30. 既能燥湿止带，又能消肿排脓的药是A. 乌贼骨B. 白蔹C. 白芷D. 苍术E. 白果31. 下列方剂的组成药物中含有生地黄的是A. 阳和汤B. 炙甘草汤C. 六昧地黄丸D. 泰山磐石散E. 玉女煎32. 安宫牛黄丸、紫雪丹、至宝丹三方功用各有所长，其中紫雪丹长于：A. 清热B. 解毒C. 豁痰D. 开窍E. 镇痉33. 犀黄丸的功用是A. 清热解毒，消肿溃坚，活血止痛B. 清热解毒，化痰软坚，消散瘿瘤C. 解毒消痛，化痰散结，活血祛瘀D. 疏风清热，化痰散结，凉血消肿E. 行气活血，祛湿化痰，软坚消癥34. 苇茎在千金苇茎汤中的主要治疗作用是νA. 清肺泄热B. 生津止渴C. 化瘀排脓D. 润肺排痰E. 利湿消痈35. 肝郁血虚，脾失健运。

1991考研数三真题及解析

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 设sin ,xyz e=则dz = _______.(2) 设曲线()3f x x ax =+与()2g x bx c =+都通过点()10,,-且在点()10,-有公共切线,则a = _______,b = _______,c = _______. (3) 设()x f x xe =,则()()n fx 在点x = _______处取极小值 _______.(4) 设A 和B 为可逆矩阵,00A X B⎛⎫=⎪⎝⎭为分块矩阵,则1X -= _______. (5) 设随机变量X 的分布函数为0,1,0.4,11,(){}0.8,13,1,3.x x F x P X x x x <-⎧⎪-≤<⎪=≤=⎨≤<⎪⎪≥⎩则X 的概率分布为 _______.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 下列各式中正确的是 ( )(A) 01lim 11x x x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (B) 01lim 1xx e x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (C) 1lim 1xx e x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ (D) 1lim 1xx e x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(2) 设10(1,2,)n a n n≤≤=则下列级数中肯定收敛的是 ( ) (A)1nn a∞=∑ (B)1(1)nn n a ∞=-∑(C)1n ∞=21(1)n n n a ∞=-∑(3) 设A 为n 阶可逆矩阵,λ是A 的一个特征根,则A 的伴随矩阵*A 的特征根之一是( )(A) 1nA λ- (B) 1A λ- (C) A λ (D) nA λ (4) 设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( )(A) A 与B 不相容 (B) A 与B 相容 (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()P A B P A -=(5) 对于任意两个随机变量X 和Y ,若()()()E XY E X E Y =⋅,则 ( )(A) ()()()D XY D X D Y =⋅ (B) ()()()D X Y D X D Y +=+ (C) X 和Y 独立 (D) X 和Y 不独立三、(本题满分5分)求极限 120lim x xnxxx e e e n →⎛⎫+++ ⎪⎝⎭,其中n 是给定的自然数.四、(本题满分5分)计算二重积分DI ydxdy =⎰⎰,其中D 是由x 轴,y 轴与曲线1=所围成的区域,0,0a b >>.五、(本题满分5分)求微分方程22dyxy x y dx=+满足条件2x e y e ==的特解.六、(本题满分6分)假设曲线1L ：()2101y xx =-≤≤、x 轴和y 轴所围区域被曲线2L ：2y ax =分为面积相等的两部分,其中a 是大于零的常数,试确定a 的值.七、(本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为1p 和2p ；销售量分别为1q 和2q ；需求函数分别为112402q .p =-和2210005q .p =-,总成本函数为()123540C q q .=++试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大最大利润为多少八、(本题满分6分)试证明函数1()(1)xf x x=+在区间(0,)+∞内单调增加.九、(本题满分7分)设有三维列向量12321110111111,,,,λααλαβλλλ+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦问λ取何值时,(1) β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一 (2) β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一 (3) β不能由123,,ααα线性表示十、(本题满分6分)考虑二次型22212312132344224f x x x x x x x x x λ=+++-+.问λ取何值时,f 为正定二次型.十一、(本题满分6分)试证明n 维列向量组12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是1112121222120T T T nT T T nT T T n n n nD αααααααααααααααααα=≠,其中Ti α表示列向量i α的转置,1,2,,i n =.十二、(本题满分5分)一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求X 的概率分布.十三、(本题满分6分)假设随机变量X 和Y 在圆域222x y r +≤上服从联合均匀分布. (1) 求X 和Y 的相关系数ρ;(2) 问X 和Y 是否独立十四、(本题满分5分)设总体X 的概率密度为1,0,(;)0,0,aa x ax e x p x x λλλ--⎧>⎪=⎨≤⎪⎩其中0λ>是未知参数,0a >是已知常数.试根据来自总体X 的简单随机样本12,,,n X X X ,求λ的最大似然估计量ˆλ.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】()sin cos xy e xy ydx xdy + 【解析】方法一：先求出两个偏导数z x ∂∂和z y∂∂,然后再写出全微分dz , sin sin sin sin cos cos cos cos xy xyxy xy z e xy y ye xy xze xy x xe xyy∂⎧=⋅⋅=⎪∂⎪⎨∂⎪=⋅⋅=∂⎪⎩, 所以 sin sin cos cos xy xy z zdz dx dy ye xydx xe xydy x y∂∂=+=+∂∂ sin cos ()xye xy ydx xdy =+.方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算dz .()()()sin xy sin xy sin xy sin xy dz d e e d sin xy e cos xydxy e cos xy ydx xdy ====+.(2)【答案】1a =-,1b =-,1c =【解析】由于曲线()f x 与()g x 都通过点()10,,-则()()11010f a g b c -=--=⎧⎪⎨-=+=⎪⎩, 又曲线()f x 与()g x 在点()10,-有公切线,则()()11f g ''-=-,即()()()211133122x x f x a a g bx b =-=-''-=+=+=-==-,亦即32a b +=-,解之得 1a =-,1b =-,1c =. (3)【答案】()1x n =-+；()1n e-+-【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式()()()()0nn k n k k n k uv C u v -==∑可知, ()0()1(1)2(2)()()()()()n x n x n x n n n xn n n n f x C x e C x e C x e C x e --'''=++++00()x xx xe ne x n e =++++=+.对函数()()()n g x fx =求导,并令()0g x '=,得()(1)()(1)0n x g x f x x n e +'==++=,解之得驻点()1x n =-+,且()0,(1),()()0,(1),()g x x n g x g x x n g x '<<-+⎧⎨'>>-+⎩函数严格单调递减函数严格单调递增；；故()1x n =-+是函数()()()n g x fx =的极小值点,极小值为()11(1)(1)(1)n n n g n f n n n e e ------=--=--+=-.(4)【答案】110B A --⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有12340000X X A E X X B E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 由对应元素或块相等,即3412,0,0,.AX E AX BX BX E =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩从A 和B 均为可逆矩阵知113412,0,0,X A X X X B --====.故应填1100B A--⎛⎫ ⎪⎝⎭. (5)【答案】【解析】因为随机变量X 的分布函数()F x 在各区间上的解析式都与自变量x 无关,所以在()F x 的连续点,{}0P X x ==,只有在()F x 的间断点处X 取值的概率才大于零,且{}{}{}()(0)P X x P X x P X x F x F x ==≤-<=--,则{1}(1)(10)0.4P X F F =-=----=, {1}(1)(10)0.80.40.4,P X F F ==--=-={3}(3)(30)10.80.2.P X F F ==--=-=因此X 的概率分布为二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(A)【解析】由重要极限1lim(1)xx e x→∞+=可知,极限 (1)111lim(1)lim[1()]x x x x e x x-⋅--→∞→∞-=+-=,(1)111lim(1)lim(1)x x x x e x x-⋅--→∞→∞+=+=.而极限 00111lim ln(1)lim ln(1)ln(1)001lim (1)lim x x x x x x x x x x x e e e x++→→+++++→→+===, 令1t x=,则 01ln(1)1lim ln(1)lim lim 01t t x t x x t t+→+∞→+∞→++==+洛,所以 01lim ln(1)001lim (1)1x x x x x e e x+→++→+===. 故选项(A)正确. (2)【答案】(D)【解析】因为2221(1)nn na a n -=<,由211n n ∞=∑收敛及比较判别法可知21(1)n n n a ∞=-∑绝对收敛.即(D)正确.另外,设1(1,2)2n an n==,则可知(A)11111122n n n n a n n ∞∞∞=====∑∑∑, (C) 111212n n n n∞∞∞=====∑ 都不正确.设21210,(1,2)4n n a a n n-===,则可知(B)不正确. (3)【答案】(B).【解析】由λ为A 的特征值可知,存在非零向量X ,使得AX X λ=.两端同时乘以*A ,有 **()A X A AX λ=,由公式*A A A =得到*A X A X λ=.于是*1A X A X λ-=.按特征值定义知1A λ-是伴随矩阵*A 的特征值.故应选(B).【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.(4)【答案】(D) 【解析】A B AB =,如果A B =Ω,则A B =∅,即A 与B 互不相容；如果A B ≠Ω,则A B ≠∅,即A 与B 相容.由于A 、B 的任意性,故选项(A)(B)均不正确.任何事件A 一定可以表示为两个互不相容事件AB 与AB 的和. 又因AB =∅,从而A B AB A -==,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把A 、B 互不相容等同于A 、B 相互独立而错选(C).A ,B 不相容,()P A ,()P B 均不为零,因此()()0P AB P =∅=,()()()P AB P A P B .≠即(C)不正确. 用排除法应选(D).事实上,()()()()P A B P A P AB P A .-=-= (5)【答案】(B)【解析】由于()()()E XY E X E Y =,因此有cov(,)()()()0,()()2cov(,)()()().X Y E XY E X E Y D X Y D X X Y D Y D X D Y =-=+=++=+故应选(B).【相关知识点】若两个随机变量X ,Y 的方差都大于零,则下面四个命题是等价的：1) ()()()E XY E X E Y =；2) ()()()D X Y D X D Y +=+； 3) cov(,)0X Y =；4) X 和Y 不相关,即X 和Y 的相关系数0ρ=.三、(本题满分5分)【解析】方法一：这是 1∞型未定式极限.1220112ln lim 00lim lim x x nx x x nx xx e e e e e e x xnxxn x n x x e e e e en →⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→→⎛⎫+++== ⎪⎝⎭20ln()ln limx x nx x e e e n xe→+++-=,其中指数上的极限是型未定式,由洛必达法则,有 20ln()ln limx x nx x e e e n x→+++-220212(1)1lim 22x x nx x xnx x e e ne n n n n e e e n n →++++++++====+++.所以 11220lim n xxnxxx e e e e n +→⎛⎫+++=⎪⎝⎭. 方法二：由于 112211xxnxx xnxxxe e e e e en n ⎛⎫⎛⎫++++++=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 记21x x nxe e e y n+++=-,则当0x →时0y →,从而1112000lim lim(1)lim (1)y x x nx xxyxx x x e e e y y n →→→⎡⎤⎛⎫+++=+=+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 而10lim(1)yy y e →+=,所以01lim 0lim (1)x y y xyxx y e →→⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 又因 200(1)(1)(1)lim limx x nx x x y e e e x nx→→-+-++-=v1.0 可编辑可修改2000111111lim lim lim (12)2x x nx x x x e e e n n n x x x n→→→⎡⎤---+=++++++=⎢⎥⎣⎦洛. 所以 11220lim n x xnxxx e e e e n +→⎛⎫+++=⎪⎝⎭.四、(本题满分5分)【解析】积分区域D 如图阴影部分所示.由1x ya b +=,得21x y b a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 因此 ()()22412120001122b x aa b x aa aDb x I ydxdy dx ydy dx y dx a --⎛⎫⎡⎤====- ⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 令1x t a=-,有2(1),2(1)x a t dx a t dt =-=--,故 42240112(1)22a b x b I dx t a t dt a ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰15621245200()5630t t ab ab t t dt ab ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.五、(本题满分5分)【解析】将原方程化为2221y dy x y xy dx xyx ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==,由此可见原方程是齐次微分方程. 令y ux =,有,dy duu x dx dx=+将其代入上式,得21dy du u u x dx dx u +=+=, 化简得1du x dx u =,即dx udu x =.积分得 21ln .2u x C =+ 将y u x=代入上式,得通解222(ln )y x x C =+. 由条件2x e y e ==,即2242(ln )e e e C =+求得1C =. 所以222(ln 1)y x x =+所求微分方程的特解.v1.0 可编辑可修改六、(本题满分6分)【解析】先求出曲线1L 和2L 的交点,然后利用定积分求出平面图形面积1S 和2S ,如图：由()()221010y x x y ax a ⎧=-≤≤⎪⎨= >⎪⎩ 得 111x ,aa y .a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以 112120(1)S S S ydx x dx =+==-⎰⎰1301233x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦,()()112221110111aaS x ax dx a x dx ++⎡⎤⎡⎤=--=-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰113012331aa x x a++⎡⎤=-=⎢⎥+⎣⎦.又因为12S S =,所以222331a=⋅+,即12a +=,解得3a .=七、(本题满分8分)【解析】方法1：总收入函数为2211221122240210005R p q p q p .p p .p =+=-+-,总利润函数为()()1122123540L R C p q p q q q =-=+-++⎡⎤⎣⎦2211223202120051395p .p p .p =-+--.由极值的必要条件,得方程组11223204012010L.p ,p L .p ,p ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩ 即1280120p ,p ==.因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1280120p ,p ==时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为121222112280120801203202120051395605p ,p p ,p L p .p p .p =====-+--=（）方法2：两个市场的价格函数分别为1122120520020p q ,p q =-=-,总收入函数为()()11221122120520020R p q p q q q q q =+=-+-,总利润函数为()()()1122121205200203540L R C q q q q q q =-=-+--++⎡⎤⎣⎦2211228051602035q q q q =-+--.由极值的必要条件,得方程组1112228010084160400Lq ,q q ,q .L q ,q ∂⎧=-=⎪∂⎪⇒==⎨∂⎪=-=⎪∂⎩ 因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1284q ,q ==,即180p ,=2120p =时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为1284605q ,q L ===.八、(本题满分6分)【解析】因为(0,)x ∈+∞,所以1()(1)0xf x x=+>.1ln(1)1()(1)x xxf x e x+=+=,两边对x 求导,得112ln(1)ln(1)1()1111()ln(1)(1)ln(1)111x x x xxx x f x e e x x x x x ++⎡⎤⋅-'⎢⎥⎡⎤⎡⎤'==⋅++=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎢⎥+⎣⎦. 令11()ln(1)1g x x x=+-+,为证函数()f x 为增函数,只需()0f x '>在(0,)+∞上成立,,即()0,(0,)g x x >∈+∞.方法一：利用单调性.由于 22211111()ln(1)11(1)(1)1x g x x x x x x x-'-⎡⎤'=+-=-=-⎢⎥+++⎣⎦+, 且(0,)x ∈+∞,故21()0(1)g x x x '=-<+,所以函数()g x 在(0,)+∞上单调减少. 又11lim ()lim[ln(1)]01x x g x xx→∞→∞=+-=+,于是有()0,(0,)g x x >∈+∞.从而 1()(1)()0x f x g x x'=+>,(0,)x ∈+∞,于是函数()f x 在(0,)+∞单调增加. 方法二：利用拉格朗日中值定理. 令 11ln(1)ln()ln(1)ln (1)()x x x u x u x x x++==+-=+-, 所以在区间(,1)x x +存在一点ξ,使得1(1)()()(1)()u x u x u x x u ξξξ''+-=+-==,即11ln(1)xξ+=.又因为01x x ξ<<<+,所以1111x xξ<<+,所以 1111ln(1)1x x xξ<+=<+. 故对一切(0,)x ∈+∞,有111()(1)[ln(1)]01xf x xx x'=++->+.函数()f x 在(0,)+∞单调增加.九、(本题满分7分)【解析】设112233x x x ,αααβ++=将分量代入得到方程组()()()12312321231011x x x ,x x x ,x x x .λλλλλ⎧+++=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 对方程组的增广矩阵作初等行变换.第一行分别乘以有()1-、()1λ-+加到第二行和第三行上,有22211101110111011120λλλλλλλλλλλλλ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦⎣⎦, 再第二行加到第三行上,所以有2211100300λλλλλλλλ+⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦.若0λ≠且230,λλ+≠即0λ≠且3λ≠-,则()()3r A r A ==,方程组有唯一解,即β可由123,,ααα线性表示且表达式唯一.若0λ=,则()()13r A r A ==<,方程组有无穷多解,β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一.若3λ=,则()()23r A ,r A ==,方程组无解,从而β不能由123,,ααα线性表示. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == (2) 有无穷多解⇔ ()().r A r A n =<(3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.十、(本题满分6分)【解析】关于判定二次型正定这类题目时,用“顺序主子式全大于0”的方法最为简捷.二次型f 的矩阵为1142124A λλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,其顺序主子式为2212311,4,448.4A λλλλλ∆=∆==-∆==--+正定的充分必要条件是各阶顺序主子式都大于0,所以有12310,(2)(2)0,4(1)(2)04A λλλλλλ∆>∆==-+>∆==--+>.解出其交集为(2,1)-,故(2,1)λ∈-时,f 为正定二次型. 【相关知识点】二次型的定义：含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)()1211,,,,n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑ 其中ij ji a a =,称为n 元二次型,令()12,,,Tn x x x x =,()ij A a =,则二次型可用矩阵乘法表示为()12,,,,T n f x x x x Ax =其中A 是对称矩阵()T A A =,称A 为二次型()12,,,n f x x x 的矩阵.十一、(本题满分6分) 【解析】记12(,,,)n A ααα=,则12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是0A ≠.由于[]1111212212221212,,,T T T T n T T T TT n n T T T Tn n n n n A A αααααααααααααααααααααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,从而取行列式,有2TTD A A A A A ===.由此可见12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是0D ≠.【相关知识点】m 个n 维向量12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是齐次方程组()12120m m x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有非零解.特别地,n 个n 维向量12,,,n ααα线性相关的充分必要条件是行列式12,,,0n ααα=.十二、(本题满分5分)【解析】首先确定X 的可能值是0123,,,,其次计算X 取各种可能值的概率.设事件i A =“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”,123i ,,,=且i A 相互独立.()()12i i P A P A .==事件i A 发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为1i -.所以有{}()1102P X P A ,==={}()()()21212112P X P A A P A P A ,===={}()()()()3123123122P X P A A A P A P A P A ,==== {}()()()()3123123132P X P A A A P A P A P A .====则X 的概率分布为注：此题易犯的一个错误是将{}3P X =计算为412,这是由于该街道仅有三个设有红绿信号灯的路口,3X =仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯,而不存在第四个有信号灯路口问题.十三、(本题满分6分)【解析】二维均匀分布(,)X Y 的联合密度函数为1, (,),(,) 0, (,),D x y D S f x y x y D ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩D S 是区域D 的面积,2,D S r π=所以(,)X Y 的联合密度22222221,(,)0,x y rf x y rx y r π⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩. 由连续型随机变量边缘分布的定义,X 和Y 的概率密度1()f x 和2()f y 为121()(,)(),f x f x y dy x r rπ+∞-∞===≤⎰2()(,))f y f x y dx y r +∞-∞==≤⎰. 由一维连续型随机变量的数学期望的定义：()EX x f x dx +∞-∞=⋅⎰, []()()().E g X g x f x dx +∞-∞=⋅⎰若()f x 为奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为零,即是()0rrf x dx -=⎰.故22,rrEX r π-=⎰22rrEY r π-=⎰,由于被积函数为奇函数,故 0EX EY ==.()2222cov(,)x y r xyX Y E XY EX EY dxdy r π+≤=-⋅=⎰⎰, 因为此二重积分区域关于x 轴对称,被积函数为y 的奇函数,所以积分式为0.cov(,)0X Y =.由相关系数计算公式ρ=于是X 和Y 的相关系数0ρ=.(2)由于12(,)()()f x y f x f y ≡,可见随机变量X 和Y 不独立.十四、(本题满分5分)【解析】最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似然函数.现题设给出概率密度函数(;)f x λ,则似然函数11121(,,,;)(),ni i nx nn ii L x x x eX αλαλλα=--=∑=∏111ln ln()ln .nnii i i L n X X ααλαλ-===+-∑∏(由于ln L 是单调递增函数,L 取最大与ln L 取最大取到的θ是一致的,而加对数后能把连乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便).由对数似然方程1ln 0,n i i L n X αλλ=∂=-=∂∑ 得λ的最大似然估计值1ˆnii nX αλ==∑.所以得λ的最大似然估计量为 1ˆnii nX αλ==∑.【相关知识点】似然函数的定义：设12,,...,n x x x 是相应于样本12,,...,n X X X 的一组观测值,则似然函数为：12121()(,,,;)(;)(;)(;)(;)nn i n i L f x x x f x f x f x f x θθθθθθ====∏.。

1991考研数学试题全及答案

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数学（试卷一）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1) 设 ⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12，则=22dx y d 34cos sin t t t t -. (2) 由方程 2222=+++z y x xyz 所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分2dz dx dy =.(3) 已知直线L 1和L 2的方程 1123:101x y z L ---==-和221:211x y zL --== ，则过L 1且平行于L 2的平面方程是 x -3 y ＋z + 2 = 0 .(4) 已知当0x →时，21/2(1)1x a +-与cos 1x -是等阶无穷小，则常数a =3/2-.(5) 设4阶方阵A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1100210000120025, 则A 的逆矩阵1A -=12002500001/32/3001/31/3-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 二、选择题：(本题满分15分，每小题3分) (1) 曲线 2211x x ee y ---+=（D ）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数f (x) 满足关系式2ln )2()(20+=⎰xdt tf x f ，则f (x) 等于 (B)（A ）2ln x e （B ）2ln 2x e （C ）2ln +x e （D ）2ln 2+xe .(3) 已知级数5,2)1(11211==-∑∑∞=-∞=-n n n n n a a ，则级数∑∞=1n na等于 (C)（A ） 3 （B ） 7 （C ） 8 （D ） 9(4) 设D 是XOY 平面上以 (1,1), (-1,1) 和 (-1,-1)为顶点的三角区域，D 1是D 在第一象限的部分，则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于（A ）(A)12cos sin D x ydxdy ⎰⎰(B)12D xydxdy ⎰⎰ (C)14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D) 0.(5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC = E ，其中E 是n 阶单位阵，则必有 (D)(A) ACB = E (B) CBA = E (C) BAC = E (D) BCA = E三、(本题满分15分，每小题3分)(1) 求0lim )x x x π→+解原式ln 0lim c xxx e π+⋅→=0limln x c xxeπ+→⋅=……2分 0sin 1cos 2x x x xe π→-⋅⋅-=……4分 2eπ-=.……5分(2) 设n是曲面632222=++z y x 在点P(1,1,1)处的指向外测的法向量，求函数zy x u 2286+=在点P 处沿方向n 的方向导数解：462n i j k =++ .……1分2261468Px z x x y u +∂==∂2281468Py z x yy u +∂==∂2226814Pu zx y z +∂=-=∂……3分从而[cos(,)cos(,)cos(,)]P P u uu u n i n j n k x y z n∂∂∂∂=++∂∂∂∂111471414141414=+=.……5分 (3) 求 dv z y x )(22++⎰⎰⎰Ω，其中Ω是由曲线⎩⎨⎧==022x z y 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体．解228422202()()r xy z dv d r z dz πθΩ++=+⎰⎰⎰⎰⎰……2分 8350528)8r r r dr π=+-……4分 2563π=.……5分四、(本题满分6分)在过点O (0,0)和A (0,π)的曲线族)0(sin >=a x a y 中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 的积分⎰+++Ldy y x dx y )2()1(3的值最小.解：33()[1sin (2sin )cos ]I a a x x a x a x dx π=+++⎰,……2分3443a a π=-+. ……4分令2()4(1)0I a a '=-=,得1,(1)a a ==-舍去，且1a =是()I a 在+)∞(0，内的唯一驻点 ……5分由于(1)80I ''=>,()I a 在1a =处取到最小值.故所求曲线是sin (0)y x x π=≤≤ ……6分五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数∑∞=121n n的和. 解：由于()2(11)f x x x =+-≤≤是偶函数，所以1002(2)5a x dx =+=⎰， ……1分11222(cos 1)2(2)cos()2cos(),1,2,n n a x n x dx x n x dx n n ππππ-=+===⎰⎰ ……3分 0,1,2,n b n ==……4分因所给函数在[1,1]-满足收敛定理的条件，故22221052(cos 1)54cos(21)2cos()22(21)n k n k xx n x n k πππππ∞∞==-++=+=-+∑∑，[1,1]x ∈- ……5分令0x =，有 22054122(21)k k π∞==-+∑，即2201(21)8k k π∞==+∑ 于是22222000111111(21)(2)84k k k n n k k n π∞∞∞∞=====+=++∑∑∑∑，因此222114386n nππ∞==⋅=∑.……8分六、(本题满分6分)设函数f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且1233()(0)f x dx f =⎰，证明在(0,1)内存在一点c ，使()0f c '=.解：由积分中值定理知,在2[,1]3上存在一点1c ，使23111()()3f x dx f c =⎰， ……3分从而有1()(0)f c f =, ……4分故()f x 在区间1[0,]c 上满足罗尔定理的条件，因此在1(0,)c 内存在一点c ，使得(c)0.f '=1(0,)(0,1)c c ∈⊂. ……7分七、(本题满分6分)已知)3,2,0,1(1=α，)5,3,1,1(2=α，)1,2,1,1(3+-=a α，)8,4,2,1(4+=a α，)5,3,1,1(+=b β，问：(1) ,a b 为何值时，β不能表示成4321,,,αααα的线性组合？(2) ,a b 为何值时，β有1234,,,αααα的唯一线性表示式？并写出表示式.解：设11223344,x x x x βαααα=+++则12342341234123412123(2)4335(3)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x +++=⎧⎪-+=⎪⎨++++=+⎪⎪++++=⎩ ……2分因 11111011212324335135a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪++ ⎪+⎝⎭1111101121011000010a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪+⎪+⎝⎭……4分故当1,0a b =-≠时，β不能表示成4321,,,a a a a 的线性组合.……5分当1a ≠-时，表示式唯一，且1234210111b a b ba a a a a a a β++=-++++++. ……8分八、(本题满分6分)设A 是n 阶正定阵，E 是n 阶单位阵，证明A+E 的行列式大于1.解一：因A 是正定阵，故存在正交阵Q ，使121n Q AQ λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ . ……1分其中0(1,2,)i i n λ>= 是A 的特征值.故111()Q A E Q Q AQ Q Q ---+=+1122111n n E λλλλλλ+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. ……4分在上式两端取行列式得11(1)|||()|||||nii QA E Q A E λ-=+=⋅+⋅=+∏，从而||1A E +>.……6分解二：因A 是正定阵，故A 的特征值0(1,2,)i i n λ>= ……1分于是A E +的特征值11(1,2,)i i n λ+>= ……4分因此A+E 的行列式12||1111n A E λλλ+=+⋅++> ……6分九、(本题满分6分)在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数（Q 是法线与x 轴的交点），且曲线在点(1,1)处的切线与X 轴平行.解：曲线()y y x =在点(,)x y 处的法线方程是1(),('0)Y y X x y y-=--≠', ……1分它与x 轴的交点是(',0)x yy +，从而该点到x 轴之间的法线段PQ的长度是122(1)y y '=+ （0y '=也满足上式）……2分故由题意得微分方程312222''1(1')(1')y y y y =++，即2''1'yy y =+ ……3分且当1x =时，1,'0y y ==. ……4分令'y p =，则''dp y p dy =，代入方程得21dp yp p dy=+，或21p dydp p y =+ 积分并注意到1y =时，0p =，使得21y p =+……6分代入dyp dx =，得22'1,1y y dx y =±-=±- 积分上式，并注意到1x =时1y =，得2ln(1)(1)y y x -=±-.因此所求曲线方程为2(1)1(1)11()2x x x y y ey e e ±-----==+ 即. ……8分十、填空题 (本题满分6分,每小题3分)(1) 若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且{24}0.3P X <<=，则{0}P X <= 0.2 .(2) 随机地向半圆202(0)y ax x a <<->内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为112π+十一、(本题满分6分)设二维随机变量( X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-它其00,02),()2(y x e y x f y x ，求Z =X +2Y 的分布函数.解：2(){}{2}(,)Z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰……2分当0z ≤时，{0}0P Z ≤=.当0z >时，(2)200{}2z x zx y P Z z dx e dy --+≤=⎰⎰……4分2202()1z x zz xy x z z z e dx e dy e e dx e ze -------==-=--⎰⎰⎰. ……5分所以2Z X Y =+的分布函数0,0()1,0Z z zz F z e ze z --≤⎧=⎨-->⎩. ……6分数学（试卷二）一、【同数学一第一题】二、【同数学一第二题】三、【同数学一第三题】四、(本题满分18分,每小题6分)(1) 求423(1)2x x x+∞--⎛⎜⎠解：424233(1)2(1)(1)1x x x x x +∞+∞=-----⎛⎛⎜⎜⎠⎠令1sec x θ-=，则sec tan dx d θθθ=.……2分故原式243sec tan sec tan d ππθθθθθ=⎛⎜⎠ ……3分223233(1sin )cos 3d ππθθθ=-=⎰. ……6分(2) 计算(1)sydzdx z dxdy -++⎰⎰，其中S 是圆柱面422=+y x被平面2x z +=和0z =所截出部分的外侧．解一：设1,2,1,,D S S S Ω如图所示，记1212(1),(1)S S I ydzdx z dxdy I ydzdx z dxdy =-++=-++⎰⎰⎰⎰,123(1)S S S I ydzdx z dxdy ++=-++⎰⎰,则312I I I I =--. ……1分而111(1)S S I ydzdx z dxdy =-++⎰⎰⎰⎰11(1)(21)12S D z dxdy x dxdy π=+=-+=⎰⎰⎰⎰， ……3分 2212(1)4S S D I ydzdx z dxdy dxdy π=-++=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.……4分又由奥高公式有3(11)0I dv Ω=-+=⎰⎰⎰.……5分故3128I I I I π=--=-.……6分解二：设2,D S 如上图所示，则2(1)0SS I ydzdx z dxdy ydzdx =-++=-+⎰⎰⎰⎰……1分 2224D x dzdx =--⎰⎰……3分 2222024dx x dx --=--⎰⎰……4分 2222(2)4x x dx -=---⎰……5分 22448x dx π-=--=-⎰.……6分(3) 【同数学一第四题】五、(本题满分8分)【同数学一第五题】六、(本题满分7分)【同数学一第六题】七、(本题满分8分)【同数学一第七题】八、(本题满分6分)【同数学一第八题】九、(本题满分8分)【同数学一第九题】数学（试卷三）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1) 设)31ln(xy -+=，则=dy 3ln 313x xdx ---+. (2) 曲线2x e y -=的向上凸区间是22(22-. (3)21ln xdx x +∞=⎰1 (4) 质点以速度)sin(2t t 米 / 秒作直线运动，则从时刻1t =2ππ=2t 秒内质点所经过的路程等于 1 / 2 米. (5) 1101lim x x xex e+→-+= -1二、选择题：(本题满分15分，每小题3分)(1) 若b ax x y ++=2和312xy y +-=在(1,1)-点相切，其中,a b 是常数，则 (D)(A) 0,2a b ==- (B) 1,3a b ==- (C) 3,1a b =-= (D) 1,1a b =-=-(2) 设函数⎩⎨⎧≤-≤≤=21210)(2x x x x x f ，记0()(),02xF x f t d t x =≤≤⎰，则（B ）(A) ()F x =32013121232x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩ (B) ()F x =32013721262x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+-<≤⎪⎩(C) ()F x =33201321232x x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩ （D ）()F x =320132122x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-<≤⎪⎩(3) 设函数()f x 在(+∞∞-,)内有定义，00≠x 是函数()f x 的极大点，则 (B)(A) 0x 必是()f x 的驻点 (B) 0x -必是()f x --的极小点 (C) 0x -必是()f x -的极小点 (D) 对一切x ，都有)()(0x f x f ≤. (4) 【同数学一第二、(4) 题】(5) 如图，x 轴上有一线密度为常数μ，长度为l 的细杆，若质量为m 的质点到杆右端的距离为a ，引力系数为k ，则质点和细杆之间引力的大小为 (A)(A) 021()km dxa x μ--⎰(B) 120()km dx a x μ-⎰(C) 01222()km dxa x μ-+⎰(D) 1222()km dxa x μ+⎰三、(本题满分25分，每小题5分)(1) 设 ⎩⎨⎧==t t y t t x sin cos ，求 22dx y d 解：sin cos cos sin dy t t t dx t t t+=-， ……2分22sin cos cos sin t d y t t t dtdx t t t dx'+⎛⎫= ⎪-⎝⎭ ……4分 232(cos sin )t t t t +=-. ……5分(2) 计算⎰+41)1(x x dx解：令t x =2,2x t dx tdt ==，于是有原式212(1)dt t t =+⎛⎜⎠……2分 211121dt t t ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎛⎜⎠……3分 212[ln ln(1)]t t =-+ ……4分 42ln 3=.……5分(3) 求 20sin lim (1)x x x xx e →--解：原式30sin lim x x xx →-=……2分 201cos lim 3x xx →-= ……4分 212201lim 36x x x →==. ……5分(4) 求⎰xdx x 2sin解：原式1cos22xxdx -=⎰ ……2分 11sin 224xdx xd x =-⎰⎰ ……3分 211sin sin 2444x x x xdx =-+⎰ ……4分 211sin 2cos 2448x x x x C =--+. ……5分(5) 求微分方程xxe y xy =+2 满足(1)1y =的特解解：()()[()]P x dx P x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰……1分 11[]dxdxxx x ee edx C -⎰⎰=+⎰……2分 1[(1)]x x e C x=-+ ……4分当1,1x y ==代入，得1C =，所以特解11x x y e x x-=+. ……5分四、(本题满分9分)利用导数证明：当1x >时，有不等式x xx x +>+1ln )1ln(.证一：令()(1)ln(1)ln f x x x x x =++-，……2分则1()ln(1)0f x x'=+>.……5分所以在[1,)+∞中()f x 为增函数.……6分又(1)2ln 20f =>，所以在[1,)+∞中，有()0f x >.即(1)ln(1)ln 0x x x x ++->，故当1x >时，有ln(1)ln 1x xx x+>+. ……9分五、(本题满分9分)求微分方程x x y y cos +=+'' 的通解.解：原方程所对应齐次方程的通解为12cos sin C x C x +. ……2分设非齐次方程y y x ''+=的特解为1y Ax B =+.代入方程得0,1B A ==，所以1y x =.又设非齐次方程cos y y x ''+=的特解为2cos sin y Ex x Dx x =+, 则代入方程得10,2E D ==，所以21sin 2y x x =.因此原方程的通解为12cos sin sin 2xy C x C x x x =+++. ……9分六、(本题满分6分)曲线y=(x －1)(x －2)和x 轴围成一平面图形，求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积解：在[1,2]上取积分元，得2||dV x y dx π=， ……4分于是有212||V x y dx π=⎰……6分 212(1)(2)x x x dx π=---⎰……7分 2π=.……9分七、(本题满分6分)如图，A 和D 分别是曲线x e y =和x e y 2-=上的点，AB 和DC 均垂直x 轴，且1,1:2:<=AB DC AB ，求点B 和C 的坐标，使梯形ABCD 的面积最大.解：设B ，C 的横坐标为1,x x , 则有122xxe e -=，由此可得1ln 22x x =-. ……2分又13ln2(0)BC x x x x =-=->. 故梯形ABCD 的面积23(3ln 2)2x S x e -=-， ……5分令23(362ln 2)02x S x e -'=-+=，得驻点11ln 223x =+， ……7分由于当11ln 223x <+时，0S '>；当11ln 223x >+时，0S '<.所以11ln 223x =+是极大值点，又驻点唯一. 故11ln 223x =+是最大值点.……8分即当11ln 223x =+，11ln 213x =-时，梯形ABCD 的面积最大.……9分八、 (本题满分6分)设函数()f x 在),(+∞-∞内满足()()sin f x f x x π=-+，且()f x x =，),0[π∈x ，计算⎰ππ3)(dx x f .解一：333()[()sin]()f x dx f x x dx f x dxππππππππ=-+=-⎰⎰⎰……1分2()t x f t dtππ=-⎰令……3分2()()f t dt f t dtπππ=+⎰⎰2[()si)n(]ff t dt t dttππππ-+=+⎰⎰……6分22(2)2f t dtππππ=--+⎰202()2x t f x dxπππ=--+⎰令……8分22π=-. ……9分数学（试卷四）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1) 设sin xyz e =，则)(cos sin xdy ydx xy e dz xy +=.(2) 设曲线3()f x x ax =+与c bx x g +=2)(都通过点(1,0)-，且在点(1,0)-有公共切线，则a = -1 ，b = -1 ，c = 1 . (3) 设x xe x f =)(，则)()(x fn 在点x =(1)n -+处取极小值)1(+--n e .(4) 设A 和B 为可逆矩阵，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00B A X 为分块矩阵，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---00111AB X . (5) 设随机变量X 的分布函数为=≤=)x X (P )x (F 33111118.04.00≥<≤<≤--<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧x x x x 若若若若. 则X 的概率分布为 1130.40.40.2-⎛⎫⎪⎝⎭二、选择题：(本题满分15分，每小题3分)(1) 下列各式中正确的是（A ）(A) 1)11(lim 0=++→x x x (B) e xxx =++→)11(lim 0(C) e x x x =-∞→)11(lim (D) e xxx =+-∞→)11(lim(2) 设n a n 10<≤ (n=1,2,… )，则下列级数中肯定收敛的是（D ）(A)∑∞=1n na(B)∑∞=-1)1(n n na (C)∑∞=1n n a (D)∑∞=-12)1(n n na(3) 设A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随矩阵A*的特征根之一是 (B)(A)n A 1-λ (B) A 1-λ (C) A λ (D) nA λ(4) A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论正确的是 (D)(A) A 与B 不相容 (B) A 与B 相容(C) P (AB )=P (A )P (B ) (D) P (A -B )=P (A)(5) 对于任意两个随机变量X 和Y ，若E (X Y )= E X E Y ，则 (B )(A) D (X Y )=D X D Y (B ) D (X +Y )=D X +D Y (C) X 和Y 独立 (D ) X 和Y 不独立三、(本题满分5分)求极限120lim()x x nx x x e e e n→+++ 其中n 是给定的自然数.解：原式201limexp{ln()}x x nx x e e e x n →+++= 20ln(ln )exp{lim }x x nx x e e e n x→+++-= .……1分其中大括号内的极限是0型未定式，因此由罗比塔法则，有22200ln()ln 2lim lim x x nx x x nxx xnx x x e e e n e e ne x e e e→→+++-+++=+++ ……2分 12n n +++= 12n +=. ……4分于是12n e+=原式. ……5分四、(本题满分5分) 计算二重积分D I ydxdy =⎰⎰，其中D 是由x 轴，y 轴与曲1=+by a x 所围成的区域；0,0a b >>.解：积分区域D 如图中阴影部分所示.1yb =，得21x y b a ⎛= ⎝. 因此()10xab a I dx ydy -=⎰⎰……2分240(1)2ab x dx a =⎰. ……3分令1t x a =()21x a t =-，2(1)dx a t dt =--.则12450()I ab t t dt =-⎰1562205630t t ab ab ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.……5分五、(本题满分5分) 求微分方程22y x dxdyxy+=满足条件2x ey e ==的特解.解：原方程可以化为2221y dy x y x y dx xyx⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==，可见是齐次微分方程. ……1分设,dy duy ux u x dx dx==+有，将其代入上式，得21du u u xdx u ++=， ……2分即1du x dx u =，du dx u dx x =,21ln ||2u x C =+.……3分将yu x=代入上式，得通解222(ln ||)y x x C =+，……4分由条件|2,x e y e ==求得1C =，于是，所求特解为222(ln ||1)y x x =+.……5分六、(本题满分6分)假设曲线)10(1:21≤≤-=x x y L 、x 轴和y 轴所围区域被曲线22:ax y L =分为面积相等的两部分，其a 是大于零的常数，试确定的a 值.解：由21(01)y x x =-≤≤与2y ax =联立，可解得故曲线12L L 与的交点P 的坐标为()11a a++. ……1分于是11122311001)][(1)]331aa S x ax dy x a x a++=--=-+=+……3分 12112022(1)3S S S x dx =+=-=⎰，……4分从而113S =.1331a =+，……5分因此于是3a =.……6分七、(本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为1P 和2P ，销量分别为1q 和2q ，需求函数分别为112.024P q -=和2205.010P q -=，总成本函数为)(403521q q c ++=，试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少?解：总收入函数为2211221122240.2100.05R p q p q p p p p =+=-+- ……2分总利润函数为112212()[3540()]L R C p q p q q q =-=+-++221122320.2120.051395p p p p =-+--……4分由极值的必要条件，得方程组1122320.40120.10Lp p L p p ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩，其解为1280,120p p ==.……6分由问题的实际意义可知，当1280,120p p ==时，厂家所获得的总利润最大，其最大利润为1280,120605p pL ===.……8分八、(本题满分6分)试证明函数1()(1)x f x x=+ 在区间),0(+∞内单调增加.证：由1()exp{ln(1)}f x x x =+，有111()(1)[ln(1)]1x f x x xx '=++-+.……2分记11()ln(1)1g x x x=+-+，对于任意(0,)x ∈+∞，有21()0(1)g x x x '=-<+，故函数()g x 在(0,)+∞上单调减少. ……3分由于11lim[ln(1)]01x x x→+∞+-=+，……4分可见对任意(0,)x ∈+∞，有11()ln(1)01g x x x=+->+，……5分从而，()0f x '>，(0,)x ∈+∞.于是，函数()f x 在(0,)+∞上单调增加. ……6分九、(本题满分7分)设1111λα+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2111αλ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3111αλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20λλβ，问λ取何值时，（1）β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一？（2）β可由123,,ααα线性表示，但表达式不唯一？（3）β不能由123,,ααα线性表示？解：设112233x x x αααβ++=，得线性方程组12231110111111x x x λλλλλ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其系数行列式2111||111(3)111λλλλλ+=+=++A .……3分（1）若03λλ≠≠-且，则方程组有唯一解，β可由3,21,a a a 唯一地线性表示. ……4分（2）若0λ=，则方程组有无穷多个解，β可由3,21,a a a 线性表示，但表达式不唯一.……5分（3）若3λ=-，则方程组的增广矩阵211003318000612130331203312112911291129⎛-⎫⎛-⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，可见方程组的系数矩阵A 与增广矩阵A 不等秩，故方程组无解，从而β不能由3,21,a a a 线性表示. ……7分十、(本题满分6分)考虑二次型32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ，问λ取何值时，为正定二次型？解：二次型f 的矩阵为1142124λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，……2分由于二次型f 正定的充分必要条件是：A 的顺序主子式全为正. 而A 的顺序主子式为：110D =>，22144D λλλ==-，2311424484(1)(2)124D λλλλλλ-==--+=--+-， ……4分于是，二次型f 正定的充分必要条件是：230,0D D >>，由2240D λ=->，可见22λ-<<；由34(1)(2)0D λλ=--+>，可见21λ-<<. 于是，二次型f 正定，当且仅当21λ-<<.……6分十一、(本题满分6分)试证明n 维列向量组12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件是D =1112121222120T T T nT T T n T T T n n n nαααααααααααααααααα≠其中T i α表示列向量i α的转置，1,2,,i n = .解：记n 阶矩阵12(,,,)n A ααα= ，则12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件是||0≠A ，……2分由于1212(,,,)T T Tn T n A A αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111212122212T T T n T T Tn T T Tn n n n αααααααααααααααααα⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭……4分故有2||||||||T T A A A A A D =⋅==，因此，||0A ≠与0D ≠等价. 于是0D ≠是12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件.……6分十二、(本题满分6分)【同数学五第十三、(1) 题】十三、(本题满分6分)假设随机变量X 和Y 在圆域 222r y x ≤+上服从联合均匀分布， (1) 求X 和Y 的相关系数ρ； (2) 问X 和Y 是否独立？解：(1) 因X 和Y 的联合密度为22222221,(,)0,x y r x y r p x y r π+≤⎧+>⎪=⎨⎪⎩若若， ……1分故X 的密度为22222212212()(||)r x r xp x r x x r r rππ---==-≤，同理，Y 的密度为22222()(||)p y r y y r r π-≤ ……2分于是 22220rrr EX r x x dx π--==⎰，22220rrr EY r x y dy π--==⎰，……3分 2222cov(,)0x y r xyX Y EXY dxdy r π+≤==-=⎰⎰， ……4分因此X 和Y 的相关系数0ρ=.……5分 (2) 由于12(,)()()p x y p x p y ≠，故X 和Y 不独立. ……6分十四、(本题满分5分)设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--000),(1x x e x a x p x a 若若αλλλ，其中0>λ中是未知参数,0>a 是已知常数.试根据来自总体X 的简单随机样本12,,,n X X X ，求λ的最大似然估计量λˆ. 解：似然函数为11211(,,,)()nn n aa n i ii i L x x x a ex xλλλ--===∑∏ ；， ……2分由对数似然方程，有1ln 0n ai i L n x λλ=∂=-=∂∑，……4分由此可解得λ的最大似然估计量1=nai i nx λ=∑ . ……5分数学（试卷五）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分) (1) 【同数学四第一、(1) 题】 (2) 【同数学四第一、(2) 题】 (3) 【同数学四第一、(3) 题】(4) n 阶行列式00000000000000nab a b a a b ba1(1)nn n a b +=+-.(5) [91-5] 设A ，B 为随机事件，P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则6.0)(=B A P二、选择题：(本题满分15分，每小题3分) (1) 【同数学四第二、(1) 题】(2) 设数列的通项为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=为偶数若为奇数若n nn n n n x n 12，则当∞→n ,n x 是（D ）（A ）无穷大量（B ）无穷小量 (C) 有界变量（D ）无界变量(3) 设A 与B 为n 阶方阵，且AB ，则必有 (C)(A) 0A =或0B = (B) AB BA = (C) 0=A 或0=B (D) 0=+B A (4) 设A 是m ⨯n 矩阵，A x ＝0是非齐次线性方程组A x ＝b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是 (D) (A) 若Ax ＝0仅有零解，则A x ＝ b 有唯一解 (B) 若Ax ＝0有非零解，则Ax ＝b 有无穷多个解 (C) 若Ax ＝b 有无穷多个解，则Ax ＝0仅有零解 (D) 若Ax ＝b 有无穷多个解则Ax ＝0有非零解 (5) 【同数学四第二、(4) 题】三、(本题满分5分) 求极限()xx xx 121lim +++∞→.解：原式1221lim (1)lim exp{ln(1)}exp{lim xx x x x x x x x →+∞→+∞→+∞=+=+=，其中大括号内的极限是∞∞型未定式. ……2分因此由罗比塔法则，有22221ln(1)1lim lim lim 011x x x x x x x x x→+∞++++===+++， ……4分于是120lim (1)1x x x x e →+∞+==.……5分四、(本题满分5分) 求定积分dx x x I 211)12(++=⎰-.解：01221(1)(31)I x dx x dx -=+++⎰⎰……2分 0133101122(1)(31)393x x -=+++=. ……5分五、(本题满分5分)求不定积分arctgxdx x x I ⎰+=221 解：21(1)arctan arctan arctan arctan 1I xdx xdx xd x x=-=-+⎰⎰⎰ ……2分 221arctan (arctan )12x x x dx x x =--+⎛⎜⎠ ……4分 2211arctan ln(1)(arctan )22x x x x C =-+-+.……5分六、(本题满分5分)已知0)()(),()(≠'+'+=z g y z f x z yg z xf xy ，其中(,)z z x y =是x 和y 的函数. 求证：[]yz z f y x z z g x ∂∂-=∂∂-)()]([. 证：将()()xy xf z yg z =+两侧同时对x 求偏导数，得()()()z zy f z xf z yg z x x∂∂''=++∂∂， ……2分于是，有()()()z y f z x xf z yg z ∂-=''∂+， ……3分同样可得()()()z x g z y xf z yg z ∂-=''∂+. ……4分因此[()][()][()][()]()()z x g z y f z z x g z y f z x xf z yg z y∂--∂-==-''∂+∂. ……5分七、(本题满分6分)【同数学四第六题】八、(本题满分8分)【同数学四第七题】九、(本题满分6分)证明不等式 11ln(1)(0)1x xx><<+∞+＋.证：记11()ln(1),01f x x x x=+-<<+∞+，有21()0(1)f x x x '=-<+， ……2分故函数()f x 在(0,)+∞上单独减少.……3分由于11lim ()lim[ln(1)]01x x f x x x→+∞→+∞=+-=+，……5分故对于任意0x <<+∞，()0f x >，即11ln(1)1x x+>+.……6分十、(本题满分5分)设n 矩阵A 和B 满足条件A ＋B ＝AB ，(1) 证明A -E 为可逆矩阵,其中E 是n 阶单位矩阵；(2) 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200012031B ,求矩阵A .解：由A ＋B ＝AB ，有AB -A -B +E =(A -E)(B -E)=E ， ……1分由此可见A -E 为可逆矩阵.……2分又由上式，知B -E 也为可逆矩阵，且1(-=+A E B -E)……3分由于030200001B E -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，101/20()1/300001B E -⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪⎝⎭， ……4分故1(-=+A E B -E)11/201/310002⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.……5分十一、(本题满分7分)【同数学四第九题】十二、(本题满分4分) 已知向量Tk a )1,,1(=是矩阵A =211121112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵1-A 的特征向量，求常数k 的值.解：设λ是α所属的特征值，则1a a λ-=A ，a a λ=A .……2分即1211112111121k k λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由此得方程组(3)1(22)k k k λλ+=⎧⎨+=⎩，其解为112211,2,,14k k λλ==-==.于是当21k =-或时，α是1-A 的特征向量.……4分十三、(本题满分7分)一汽车沿一街道行驶，需要经过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等.以X 表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.（1）求X 的概率分布；（2）求XE +11. 解：（1）由条件知, X 的可能值为0,1,2,3.以(1,2,3)i A i =表示事件“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”；则123,,A A A 相互独立，且1()(),1,2,32i i P A P A i ===. ……2分于是11(0}()2P X P A ===，1221(1}()2P X P A A ===，12331(2}()2P X P A A A ===，12331(3}()2P X P A A A ===.……4分（2）11111111671224384896EX =+⋅+⋅+⋅=+. ……7分十四、(本题满分6分)在电源电压不超过200伏、在200－240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2，假设电源电压X 服从正态分布N (220，252 )，试求：(1) 该电子元件损坏的概率α；(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200－240伏的概率β.[附表] （表中)(x Φ是标准正态分布函数）x0.10 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 )(x Φ0.530 0.579 0.655 0.726 0.788 0.341 0.335 0.919解：引进下列事件：1A ＝｛电压不超过200伏｝，2A ＝｛电压在200－240伏｝，3A ＝｛电压超过240伏｝；B ＝｛电子元件损坏｝.因2~(220,25)X N ，故1220200220(){200}{}(0.8)0.2122525X P A P X P --=≤=≤=Φ-=，2(){200240}(0.8)(0.8)0.576P A P X =≤≤=Φ-Φ-=；3(){240}10.2120.5760.212P A P X =>=--=.……3分（1）由题设条件知123(|)0.1,(|)0.001,(|)0.2P B A P B A P B A ===. 于是，由全概率公式，有31()()(|)0.0642iii a P B P A P B A ====∑，……5分（2）由贝叶斯公式，得222()(|)(|)0.009()P A P B A P A B P B β==≈.……7分。

概率论与数理统计历年考研试题-知识归纳整理

第3章数字特征1．（1987年、数学一、填空）设随机变量X 的概率密度函数,1)(122-+-=x x e x f π则E(X)=( ),)(X D =( ).[答案填：1；21.]由X 的概率密度函数可见X～N(1,21),则E(X)=1，)(X D =21.2．（1990年、数学一、填空）设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(X)=( ). [答案填：4]3．（1990年、数学一、计算）设二维随机变量(X,Y)在区域D:0<x<1,|y|<x内服从均匀分布，求：（1）对于X 的边缘密度函数;（2）随机变量Z=2X+1的方差。

解：（1）由于D 的面积为1，则(X,Y)的联合密度为⎩⎨⎧<<<=0,x |y |1,x 1 ,1),(其他y x f当0<x<1时，x dy dy y x f x f xxX21),()(===⎰⎰-+∞∞-，其他事情下0)(=x f X.（2）322)( )(1=⋅==⎰⎰∞+∞-xdx x dx x f x X E X 212)( )(1222=⋅==⎰⎰∞+∞-xdx x dx x f x X E X 181))(()(22=-=X E EX X D4．（1991年、数学一、填空）设X～N(2，2σ）且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=（）。

[答案填：知识归纳整理0.2]3.0212)0(2220}42{=-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<=<<σσσσX P X P即8.02=⎪⎭⎫⎝⎛Φσ,则2.021222}0{=⎪⎭⎫⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-=<σσσσX P X P 5．（1992年、数学一、填空）设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则=+-)(2X e X E （）.[答案填：34]6．（1995年、数学一、填空）设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为0.4,则2EX =（）。

1991考研数三真题及解析

1991考研数三真题及解析-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 设sin ,xy z e =则dz = _______.(2) 设曲线()3f x x ax =+与()2g x bx c =+都通过点()10,,-且在点()10,-有公共切线,则a = _______,b = _______,c = _______.(3) 设()x f x xe =,则()()n f x 在点x = _______处取极小值 _______.(4) 设A 和B 为可逆矩阵,00A X B ⎛⎫=⎪⎝⎭为分块矩阵,则1X -= _______. (5) 设随机变量X 的分布函数为0,1,0.4,11,(){}0.8,13,1,3.x x F x P X x x x <-⎧⎪-≤<⎪=≤=⎨≤<⎪⎪≥⎩则X 的概率分布为 _______.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 下列各式中正确的是 ( )(A) 01lim 11x x x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (B) 01lim 1xx e x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (C) 1lim 1x x e x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ (D) 1lim 1xx e x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(2) 设10(1,2,)n a n n≤≤=则下列级数中肯定收敛的是 ( ) (A) 1n n a ∞=∑ (B) 1(1)n n n a ∞=-∑(C) 1n ∞=21(1)n n n a ∞=-∑(3) 设A 为n 阶可逆矩阵,λ是A 的一个特征根,则A 的伴随矩阵*A 的特征根之一是( )(A) 1nA λ- (B) 1A λ- (C) A λ (D) nA λ(4) 设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( )(A) A 与B 不相容 (B) A 与B 相容 (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()P A B P A -=(5) 对于任意两个随机变量X 和Y ,若()()()E XY E X E Y =⋅,则 ( )(A) ()()()D XY D X D Y =⋅ (B) ()()()D X Y D X D Y +=+ (C) X 和Y 独立 (D) X 和Y 不独立三、(本题满分5分)求极限 120lim x xnxxx e e e n →⎛⎫+++⎪⎝⎭,其中n 是给定的自然数.四、(本题满分5分)计算二重积分DI ydxdy =⎰⎰,其中D 是由x 轴,y 1=所围成的区域,0,0a b >>.五、(本题满分5分)求微分方程22dyxy x y dx=+满足条件2x e y e ==的特解.六、(本题满分6分)假设曲线1L ：()2101y x x =-≤≤、x 轴和y 轴所围区域被曲线2L ：2y ax =分为面积相等的两部分,其中a 是大于零的常数,试确定a 的值.七、(本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为1p 和2p ；销售量分别为1q 和2q ；需求函数分别为112402q .p =-和2210005q .p =-,总成本函数为()123540C q q .=++试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大最大利润为多少八、(本题满分6分)试证明函数1()(1)x f x x=+在区间(0,)+∞内单调增加.九、(本题满分7分)设有三维列向量12321110111111,,,,λααλαβλλλ+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦问λ取何值时,(1) β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一?(2) β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一?(3) β不能由123,,ααα线性表示?十、(本题满分6分)考虑二次型22212312132344224f x x x x x x x x x λ=+++-+.问λ取何值时,f 为正定二次型.十一、(本题满分6分)试证明n 维列向量组12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是1112121222120T T T nT T T nT T T n n n nD αααααααααααααααααα=≠,其中T i α表示列向量i α的转置,1,2,,i n =.十二、(本题满分5分)一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求X 的概率分布.十三、(本题满分6分)假设随机变量X 和Y 在圆域222x y r +≤上服从联合均匀分布. (1) 求X 和Y 的相关系数ρ;(2) 问X 和Y 是否独立?十四、(本题满分5分)设总体X 的概率密度为1,0,(;)0,0,aa x ax e x p x x λλλ--⎧>⎪=⎨≤⎪⎩其中0λ>是未知参数,0a >是已知常数.试根据来自总体X 的简单随机样本12,,,n X X X ,求λ的最大似然估计量ˆλ.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】()sin cos xy e xy ydx xdy + 【解析】方法一：先求出两个偏导数zx∂∂和z y ∂∂,然后再写出全微分dz , sin sin sin sin cos cos cos cos xy xyxy xy z e xy y ye xy xze xy x xe xy y∂⎧=⋅⋅=⎪∂⎪⎨∂⎪=⋅⋅=∂⎪⎩, 所以 sin sin cos cos xy xy z zdz dx dy ye xydx xe xydy x y∂∂=+=+∂∂ sin cos ()xy e xy ydx xdy =+.方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算dz .()()()sin xy sin xy sin xy sin xy dz d e e d sin xy e cos xydxy e cos xy ydx xdy ====+. (2)【答案】1a =-,1b =-,1c =【解析】由于曲线()f x 与()g x 都通过点()10,,-则()()11010f ag b c -=--=⎧⎪⎨-=+=⎪⎩, 又曲线()f x 与()g x 在点()10,-有公切线,则()()11f g ''-=-,即()()()211133122x x f x a a g bx b =-=-''-=+=+=-==-,亦即32a b +=-,解之得 1a =-,1b =-,1c =. (3)【答案】()1x n =-+；()1n e-+-【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式()()()()0nn k n k k n k uv C u v -==∑可知, ()0()1(1)2(2)()()()()()n x n x n x n n n xn n n n f x C x e C x e C x e C x e --'''=++++00()x x x xe ne x n e =++++=+.对函数()()()n g x f x =求导,并令()0g x '=,得()(1)()(1)0n x g x f x x n e +'==++=,解之得驻点()1x n =-+,且()0,(1),()()0,(1),()g x x n g x g x x n g x '<<-+⎧⎨'>>-+⎩函数严格单调递减函数严格单调递增；；故()1x n =-+是函数()()()n g x f x =的极小值点,极小值为()11(1)(1)(1)n n n g n f n n n e e ------=--=--+=-.(4)【答案】110B A --⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有12340000X X A E X X B E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 由对应元素或块相等,即3412,0,0,.AX E AX BX BX E =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩从A 和B 均为可逆矩阵知113412,0,0,X A X X X B --====.故应填110B A--⎛⎫ ⎪⎝⎭.(5)【答案】【解析】因为随机变量X 的分布函数()F x 在各区间上的解析式都与自变量x 无关,所以在()F x 的连续点,{}0P X x ==,只有在()F x 的间断点处X 取值的概率才大于零,且{}{}{}()(0)P X x P X x P X x F x F x ==≤-<=--,则{1}(1)(10)0.4P X F F =-=----=, {1}(1)(10)0.80.40.4,P X F F ==--=-= {3}(3)(30)10.80.2.P X F F ==--=-=因此X 的概率分布为二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(A)【解析】由重要极限1lim(1)x x e x→∞+=可知,极限 (1)111lim(1)lim[1()]x x x x e x x-⋅--→∞→∞-=+-=,(1)111lim(1)lim(1)x x x x e x x-⋅--→∞→∞+=+=.而极限 00111lim ln(1)lim ln(1)ln(1)001lim (1)lim x x x x x x x x x x x e e e x++→→+++++→→+===, 令1t x=,则 01ln(1)1lim ln(1)lim lim 01t t x t x x tt +→+∞→+∞→++==+洛,所以 01lim ln(1)001lim (1)1x x x x x e e x+→++→+===.故选项(A)正确. (2)【答案】(D)【解析】因为2221(1)nn na a n -=<,由211n n ∞=∑收敛及比较判别法可知21(1)n nn a ∞=-∑绝对收敛.即(D)正确.另外,设1(1,2)2n a n n==,则可知 (A) 11111122n n n n a n n ∞∞∞=====∑∑∑, (C) 1111212n n n n∞∞∞===== 都不正确.设21210,(1,2)4n n a a n n-===,则可知(B)不正确. (3)【答案】(B).【解析】由λ为A 的特征值可知,存在非零向量X ,使得AX X λ=. 两端同时乘以*A ,有 **()A X A AX λ=,由公式*A A A =得到*A X A X λ=.于是*1A X A X λ-=.按特征值定义知1A λ-是伴随矩阵*A 的特征值.故应选(B).【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量. (4)【答案】(D)【解析】A B A B =,如果A B =Ω,则A B =∅,即A 与B 互不相容；如果A B ≠Ω,则A B ≠∅,即A 与B 相容.由于A 、B 的任意性,故选项(A)(B)均不正确.任何事件A 一定可以表示为两个互不相容事件AB 与AB 的和. 又因AB =∅,从而A B AB A -==,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把A 、B 互不相容等同于A 、B 相互独立而错选(C).A ,B 不相容,()P A ,()P B 均不为零,因此()()0P AB P =∅=,()()()P AB P A P B .≠即(C)不正确. 用排除法应选(D).事实上,()()()()P A B P A P AB P A .-=-= (5)【答案】(B)【解析】由于()()()E XY E X E Y =,因此有cov(,)()()()0,()()2cov(,)()()().X Y E XY E X E Y D X Y D X X Y D Y D X D Y =-=+=++=+故应选(B).【相关知识点】若两个随机变量X ,Y 的方差都大于零,则下面四个命题是等价的：1) ()()()E XY E X E Y =； 2) ()()()D X Y D X D Y +=+； 3) cov(,)0X Y =；4) X 和Y 不相关,即X 和Y 的相关系数0ρ=.三、(本题满分5分)【解析】方法一：这是 1∞型未定式极限.1220112ln lim 00lim lim x x nx x x nx xx e e e e e e x xnxxn x n x x e e e e en →⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→→⎛⎫+++== ⎪⎝⎭20ln()ln limx x nx x e e e n x e→+++-=,其中指数上的极限是0型未定式,由洛必达法则,有20ln()ln limx x nx x e e e nx→+++-220212(1)1lim 22x x nx x xnxx e e ne n n n n e e e n n →++++++++====+++. 所以 11220lim n xxnx xx e e e e n +→⎛⎫+++=⎪⎝⎭. 方法二：由于 112211xxnxx xnxxxe e e e e en n ⎛⎫⎛⎫++++++=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 记21x x nxe e e y n+++=-,则当0x →时0y →,从而1112000lim lim(1)lim (1)y xxnxxxyxx x x e e e y y n →→→⎡⎤⎛⎫+++=+=+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 而10lim(1)yy y e →+=,所以01limlim (1)x y y xyx x y e →→⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 又因 200(1)(1)(1)lim limx x nx x x y e e e x nx→→-+-++-=2000111111limlim lim (12)2x x nx x x x e e e n n n x x x n→→→⎡⎤---+=++++++=⎢⎥⎣⎦洛. 所以 11220lim n x xnxxx e e e e n +→⎛⎫+++=⎪⎝⎭.四、(本题满分5分)【解析】积分区域D 如图阴影部分所示.1=,得21y b ⎛=- ⎝. 因此((22412120001122b a b aaDb I ydxdy dx ydy dx y dx ⎛⎡⎤==== ⎢⎥⎣⎦⎝⎰⎰⎰⎰⎰⎰.令1t =有2(1),2(1)x a t dx a t dt =-=--,故42240112(1)22a b b I dx t a t dt ⎛==- ⎝⎰⎰15621245200()5630t t ab ab t t dt ab ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.五、(本题满分5分)【解析】将原方程化为2221y dy x y xy dx xyx ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==,由此可见原方程是齐次微分方程. 令y ux =,有,dy duu x dx dx=+将其代入上式,得21dy du u u x dx dx u +=+=, 化简得1du x dx u =,即dx udu x =.积分得 21ln .2u x C =+ 将yu x=代入上式,得通解222(ln )y x x C =+. 由条件2x e y e ==,即2242(ln )e e e C =+求得1C =. 所以222(ln 1)y x x =+所求微分方程的特解.六、(本题满分6分)【解析】先求出曲线1L 和2L 的交点,然后利用定积分求出平面图形面积1S 和2S ,如图：由()()221010y x x y ax a ⎧=-≤≤⎪⎨= >⎪⎩ 得 11x ,aa y .a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以 112120(1)S S S ydx x dx =+==-⎰⎰1301233x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦,()()2221110111aaS x ax dx a x dx ++⎡⎤⎡⎤=--=-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰1301331aa x x a++⎡⎤=-=⎢+⎣⎦.又因为12S S =,所以22331a=⋅+,即12a +=,解得3a .=七、(本题满分8分)【解析】方法1：总收入函数为2211221122240210005R p q p q p .p p .p =+=-+-,总利润函数为()()1122123540L R C p q p q q q =-=+-++⎡⎤⎣⎦ 2211223202120051395p .p p .p =-+--. 由极值的必要条件,得方程组11223204012010L.p ,p L .p ,p ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩ 即1280120p ,p ==.因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1280120p ,p ==时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为121222112280120801203202120051395605p ,p p ,p L p .p p .p =====-+--=（）方法2：两个市场的价格函数分别为1122120520020p q ,p q =-=-,总收入函数为()()11221122120520020R p q p q q q q q =+=-+-,总利润函数为()()()1122121205200203540L R C q q q q q q =-=-+--++⎡⎤⎣⎦ 2211228051602035q q q q =-+--. 由极值的必要条件,得方程组1112228010084160400Lq ,q q ,q .L q ,q ∂⎧=-=⎪∂⎪⇒==⎨∂⎪=-=⎪∂⎩ 因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1284q ,q ==,即180p ,=2120p =时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为1284605q ,q L ===.八、(本题满分6分)【解析】因为(0,)x ∈+∞,所以1()(1)0x f x x=+>.1ln(1)1()(1)x xxf x e x+=+=,两边对x 求导,得112ln(1)ln(1)1()1111()ln(1)(1)ln(1)111x x x xxx x f x e e x x x x x ++⎡⎤⋅-'⎢⎥⎡⎤⎡⎤'==⋅++=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎢⎥+⎣⎦. 令11()ln(1)1g x x x=+-+,为证函数()f x 为增函数,只需()0f x '>在(0,)+∞上成立,,即()0,(0,)g x x >∈+∞.方法一：利用单调性.由于 22211111()ln(1)11(1)(1)1x g x x x x x x x-'-⎡⎤'=+-=-=-⎢⎥+++⎣⎦+, 且(0,)x ∈+∞,故21()0(1)g x x x '=-<+,所以函数()g x 在(0,)+∞上单调减少. 又11lim ()lim[ln(1)]01x x g x x x→∞→∞=+-=+,于是有()0,(0,)g x x >∈+∞.从而 1()(1)()0x f x g x x '=+>,(0,)x ∈+∞,于是函数()f x 在(0,)+∞单调增加. 方法二：利用拉格朗日中值定理.令 11ln(1)ln()ln(1)ln (1)()x x x u x u x x x ++==+-=+-,所以在区间(,1)x x +存在一点ξ,使得1(1)()()(1)()u x u x u x x u ξξξ''+-=+-==,即11ln(1)x ξ+=.又因为01x x ξ<<<+,所以1111x xξ<<+,所以 1111ln(1)1x x xξ<+=<+. 故对一切(0,)x ∈+∞,有111()(1)[ln(1)]01x f x x x x '=++->+.函数()f x 在(0,)+∞单调增加.九、(本题满分7分)【解析】设112233x x x ,αααβ++=将分量代入得到方程组()()()12312321231011x x x ,x x x ,x x x .λλλλλ⎧+++=⎪+++=⎨⎪+++=⎩对方程组的增广矩阵作初等行变换.第一行分别乘以有()1-、()1λ-+加到第二行和第三行上,有22211101110111011120λλλλλλλλλλλλλ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦⎣⎦, 再第二行加到第三行上,所以有2211100300λλλλλλλλ+⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦. 若0λ≠且230,λλ+≠即0λ≠且3λ≠-,则()()3r A r A ==,方程组有唯一解,即β可由123,,ααα线性表示且表达式唯一.若0λ=,则()()13r A r A ==<,方程组有无穷多解,β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一.若3λ=,则()()23r A ,r A ==,方程组无解,从而β不能由123,,ααα线性表示. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == (2) 有无穷多解⇔ ()().r A r A n =<(3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.十、(本题满分6分)【解析】关于判定二次型正定这类题目时,用“顺序主子式全大于0”的方法最为简捷.二次型f 的矩阵为1142124A λλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,其顺序主子式为 2212311,4,448.4A λλλλλ∆=∆==-∆==--+正定的充分必要条件是各阶顺序主子式都大于0,所以有12310,(2)(2)0,4(1)(2)04A λλλλλλ∆>∆==-+>∆==--+>.解出其交集为(2,1)-,故(2,1)λ∈-时,f 为正定二次型. 【相关知识点】二次型的定义：含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式) ()1211,,,,nnn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑ 其中ij ji a a =,称为n 元二次型,令()12,,,Tn x x x x =,()ij A a =,则二次型可用矩阵乘法表示为()12,,,,T n f x x x x Ax =其中A 是对称矩阵()T A A =,称A 为二次型()12,,,n f x x x 的矩阵.十一、(本题满分6分) 【解析】记12(,,,)n A ααα=,则12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是0A ≠.由于[]1111212212221212,,,T T T T n T T T TT n n T T T Tn n n n n A A αααααααααααααααααααααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,从而取行列式,有2T T D A A A A A ===.由此可见12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是0D ≠.【相关知识点】m 个n 维向量12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是齐次方程组()12120m m x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有非零解.特别地,n 个n 维向量12,,,n ααα线性相关的充分必要条件是行列式12,,,0n ααα=.十二、(本题满分5分)【解析】首先确定X 的可能值是0123,,,,其次计算X 取各种可能值的概率.设事件i A =“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”,123i ,,,=且i A 相互独立.()()12i i P A P A .==事件i A 发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为1i -.所以有{}()1102P X P A ,==={}()()()21212112P X P A A P A P A ,===={}()()()()3123123122P X P A A A P A P A P A ,==== {}()()()()3123123132P X P A A A P A P A P A .====则X 的概率分布为注：此题易犯的一个错误是将{}3P X =计算为412,这是由于该街道仅有三个设有红绿信号灯的路口,3X =仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯,而不存在第四个有信号灯路口问题.十三、(本题满分6分)【解析】二维均匀分布(,)X Y 的联合密度函数为1, (,),(,) 0, (,),D x y D S f x y x y D ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩D S 是区域D 的面积,2,D S r π=所以(,)X Y 的联合密度22222221,(,)0,x y rf x y rx y r π⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩. 由连续型随机变量边缘分布的定义,X 和Y 的概率密度1()f x 和2()f y 为121()(,)(),f x f x y dy x r rπ+∞-∞===≤⎰2()(,)()f y f x y dx y r +∞-∞==≤⎰. 由一维连续型随机变量的数学期望的定义：()EX x f x dx +∞-∞=⋅⎰, []()()().E g X g x f x dx +∞-∞=⋅⎰若()f x 为奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为零,即是()0r rf x dx -=⎰.故22,rrEX rπ-=⎰22rrEY rπ-=⎰,由于被积函数为奇函数,故 0EX EY ==.()2222cov(,)x y r xyX Y E XY EX EY dxdy r π+≤=-⋅=⎰⎰, 因为此二重积分区域关于x 轴对称,被积函数为y 的奇函数,所以积分式为0.cov(,)0X Y =.由相关系数计算公式ρ=,于是X 和Y 的相关系数0ρ=.(2)由于12(,)()()f x y f x f y ≡,可见随机变量X 和Y 不独立.十四、(本题满分5分)【解析】最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似然函数.现题设给出概率密度函数(;)f x λ,则似然函数11121(,,,;)(),ni i nx nn ii L x x x eX αλαλλα=--=∑=∏111ln ln()ln .nnii i i L n X X ααλαλ-===+-∑∏(由于ln L 是单调递增函数,L 取最大与ln L 取最大取到的θ是一致的,而加对数后能把连乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便).由对数似然方程 1ln 0,n i i L n X αλλ=∂=-=∂∑ 得λ的最大似然估计值1ˆnii nX αλ==∑.所以得λ的最大似然估计量为 1ˆnii nX αλ==∑.【相关知识点】似然函数的定义：设12,,...,n x x x 是相应于样本12,,...,n X X X 的一组观测值,则似然函数为：12121()(,,,;)(;)(;)(;)(;)nn i n i L f x x x f x f x f x f x θθθθθθ====∏.。

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考研历史试题24.清华大学2007年信号与系统考研试题25.2003年北大硕士研究生入学试题26.北京大学04年金融学硕士研究生入学试题27.北京大学金融学05年硕士研究生入学试题28.北京大学金融学06年硕士研究生入学试题29.北京大学金融学06年硕士研究生入学试题30.北京大学07年硕士研究生入学考试试题31.北京大学经济学2000年硕士研究生试题32.北京大学经济学01年硕士研究生入学试题33.北京大学经济学02年硕士研究生入学试题34.北京大学经济学03年硕士研究生入学试题35.北京大学经济学04年硕士研究生入学试题36.北京大学经济学05年硕士研究生入学试题37.北京大学经济学硕士研究生06年入学试题38.中央财经大学03年硕士研究生入学考试试题39.2008年全国研究生入学统一考试模拟题（政治一）40.2008年全国研究生入学统一考试模拟题（政治二）41.2008年全国研究生入学统一考试模拟题（英语二）42.2008年全国研究生入学统一考试模拟题（英语一）43.英语知识点答疑之作文句型44.北京大学经济学07年硕士研究生入学试题45.08年考研农学化学综合题一46.08年考研农学化学综合题二47.08年农学统考植物生理学与生物化学测试一48.08年农学统考植物生理学与生物化学测试二49.08年农学统考植物生理学与生物化学测试三50.08年考研冲刺模拟试题――数学51.(2011考研必备)华中科技大学各专业历年真题152.(2011考研必备)华中科技大学各专业历年真题253.2009考研计算机强化班操作系统讲义-孙卫真54.2009考研计算机强化班计算机网络讲义-洪老55.2009考研计算机强化班数据结构讲义-崔微56.(2011考研必备)华中科技大学各专业历年真题357.数据结构讲义（严蔚敏版）58.(2011考研必备)华中科技大学各专业历年真题459.2008年政治万能答题模板60.2008年考研政治精华笔记61.考研政治毛概总结：超清晰，一天背完62.考研思想政治理论考试大纲解析配套1600题勘误63.2010风中劲草考研政治分析题20题64.2010风中劲草考研政治预测题65.2000年西安电子科技大学微机原理考研试题66.2000年西安电子科技大学自动控制原理考研试题67.2000年西安电子科技大学机械设计考研试题68.2010年硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学一69.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学二70.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学三71.(2011考研必备)华中科技大学各专业历年真题572.考研暑期张俊芳马克思主义哲学73.（2011考研必备）2009年华中科技大学信号与系统课件74.2009年武汉科技大学854法理学考研试题75.2009年武汉科技大学855社会主义市场经济学考研试题.pdf76.2009年武汉科技大学856思想政治教育学原理考研试题.pdf77.2009年武汉科技大学857政治学理论与实务考研试题.pdf78.2009年武汉科技大学858经济学综合考研试题.pdf79.考研数学常用微积分公式背诵表80.2004年考研数学（三）真题81.2005年考研数学（三）真题82.2009年武汉科技大学859机械原理考研试题.pdf83.2006年考研数学（三）真题84.2007年考研数学（三）真题85.2008年考研数学（三）真题86.2010年考研英语完形填空三套模拟试题汇总87.新东方李玉技老师的734条高频词组笔记88.2009年武汉科技大学849汽车理论考研试题.pdf89.2009年武汉科技大学848写作与翻译考研试题.pdf90.2005年MBA联考写作真题及解析91.考研英语辅导--这样的句子你能翻译么？92.2009年武汉科技大学847资源环境经济学考研试题.pdf93.16天记住7000考研单词94.2009年武汉科技大学846生物化学考研试题.pdf95.新编简明英语语言学教程96.管理学案例全套资料下载97.计算机网络第三版习题答案中文版98.2009年武汉科技大学843社会保障学考研试题.pdf99.2009年武汉科技大学842安全系统工程考研试题.pdf100.2009年武汉科技大学841土力学考研试题答案.pdf101.考研英语语法总结（完美版）》102.近10年考研英语大作文材料选择与题材打包下载103.2009年武汉科技大学840工程力学考研试题.pdf104.2011考研政治基础复习：史纲重点知识点归纳105.计算机组成原理王爱英_清华课件106.名师指导2011年MBA之数学基础阶段复习规划107.2009年武汉科技大学838房屋建筑学考研试题.pdf108.2009年武汉科技大学837微观经济学考研试题.pdf109.计算机操作系统常见题型解析及模拟题110.数据结构考研指导111.操作系统考研指导112.计算机网络 pdf113.2009年武汉科技大学836管理学原理Ⅱ考研试题.pdf114.2009年武汉科技大学835有机化学考研试题.pdf115.2009年武汉科技大学834化工原理考研试题.pdf116.计算机组成原理考研指导117.2009考研复试面试资料大全rr.pdf118.计算机操作系统常见题型解析及模拟题119.2009年全国硕士研究生入学统一考试计算机试题120.2009年北京理工大学控制理论与控制工程考研试题（回忆版）121.2010考研热点话题英语作文范文122.超强法理结构图123.2011文登【夏徛荣】英语词汇基础班124.MBA 逻辑备考125.2008 彩色法硕指南126.北大光华，金融学研究生入学考试试题和参考答桉，2003年127.阮齐林刑法笔记总则精简版128.对外经贸商务英语考研经验全集129.考研英语复试130.高等数学知识点131.老妖精法硕指南2010之精编版132.国际金融考研备考笔记133.2010年法律硕士联考案例分析大全134.法硕联考民法必须掌握的概念(背诵版)135.华南理工大学管理学历年真题及答案1136.刑法总则"应当与可以"速记口诀 (经典)137.2009年武汉科技大学836管理学原理Ⅱ考研试题.pdf 138.2009年武汉科技大学835有机化学考研试题.pdf139.2009年武汉科技大学835有机化学考研试题.pdf140.华南理工大学管理学历年真题及答案2141.2009年武汉科技大学830界面分选原理考研试题.pdf 142.2009年武汉科技大学829生物化学考研试题.pdf143.2009年武汉科技大学828控制原理考研试题.pdf144.2009年武汉科技大学827流体力学考研试题.pdf145.2009年武汉科技大学824自然辩证法考研试题.pdf146.2009年武汉科技大学823概率论与数理统计考研试题.pdf 147.国际金融串讲笔记148.2009年武汉科技大学822管理学原理Ⅰ考研试题.pdf 149.2009年武汉科技大学820高等代数考研试题.pdf150.2009年武汉科技大学819信号与系统考研试题.pdf151.2009年武汉科技大学818电子技术考研试题.pdf152.研究生历年国家线153.2009 政治应试精华附赠2000题及其答案详解（毛概）154.2011年考研英语全程规划：五阶段复习指155.2009任汝芬最后押题讲义156.（考研必备）2000~2010法学真题及答案下载~157.2010政治大纲解析即“红宝书”（WORD版）158.（考研必备）2000~2010法学真题及答案下载~2159.北大历年中文系试卷分类160.（考研必备）2000~2010法学真题及答案下载~3161.2009宪法核心考点彩色笔记162.2011启航考研高分规划导学宝典-黄涛163.（考研必备）2000~2010法学真题及答案下载~4164.2010年法律硕士必背大题165.（考研必备）2000~2010法学真题及答案下载~5166.10政治大纲及样题完全版167.20天20题精讲笔记_第一讲168.（考研必备）1990~2009西医综合真题及答案下载~169.20天20题精讲笔记_第二讲170.邓小平理论笔记（任汝芬）171.（考研必备）1990~2009西医综合真题及答案下载~2172.20天20题精讲笔记_第三讲173.（考研必备）1990~2009西医综合真题及答案下载~3 174.（考研必备）1990~2009西医综合真题及答案下载~4 175.★老妖精法硕指南2009历年真题00-01★176.考研英语10年真题——翻译难句解析汇总（很经典）177.（考研必备）1990~2009中医综合真题及答案下载~178.中科院历年录取比例数据179.★老妖精法硕指南2009历年真题★02-03180.（考研必备）1990~2009中医综合真题及答案下载~2 181.考研阅读40分满分研究182.★老妖精法硕指南2009历年真题★04-05183.（考研必备）1990~2009中医综合真题及答案下载~3 184.★老妖精法硕指南2009历年真题★06-07185.考研复试决胜+专家称三类人易被淘汰186.2009老妖精法硕指南之历年真题08187.（考研必备）1990~2009中医综合真题及答案下载~4 188.2010【海天】考研政治冲刺28个重要知识点189.考研高频词汇190.2009年全国硕士研究生入学统一考试计算机试题.pdf 191.2010考研政治大纲马哲必背20条原理192.考研政治终极笔记[马哲+政经+毛概+邓193.2010考研政治思想道德修养与法律基础讲义194.《教育心理学》吴庆麟版笔记！195.2008陈文登考研数学轻巧手册（经济类196.2010鲁伟_考研政治考前必背68题197.（2011考研必备）MBA历年真题答案下载198.2011考研文都英语长难句精讲班讲义（何凯文）199.北京师大、首都师大、西南师大历年教育学真题200.（2011考研必备）MBA历年真题答案下载2201.2009考研英语核心词汇(肖克版)202.（2011考研必备）MBA历年真题答案下载3203.冯伯麟-心理测量方法（PPT+79页）204.（2011考研必备）教育学历年真题答案下载3205.新东方考研英语206.（2011考研必备）历史历年真题答案下载207.（2011考研必备）农学历年真题答案下载208.（2011考研必备）农学历年真题答案下载2209.（2011考研必备）心理学历年真题答案下载210.（2011考研必备）金融学历年真题答案下载211.（2011考研必备）金融学历年真题答案下载2212.2005年中国地质大学（武汉）运筹学考研试题.pdf213.2005年中国地质大学（武汉）中级财务会计考研试题.pdf 214.2005年中国地质大学（武汉）自然地理学考研试题.pdf215.2005年中国地质大学（武汉）综合知识（含行政法、民法总论、经济法基础理论）考研试题.pdf216.2005年中国地质大学（武汉）综合知识矿床学考研试题.pdf217.2005年中国地质大学（武汉）钻井工艺原理考研试题.pdf218.2009年中国地质大学公共管理学考研试题.pdf219.2009年中国地质大学政治学基础考研试题.pdf220.2010年中国地质大学（武汉）844工程地质学考研试题（回忆版）.pdf。

人大法学硕士考研民法历年真题1991

人大法学硕士考研民法历年真题1991人大法学硕士考研民法历年真题1991-2021年1991年人大法学综合考试民法学试题一、简述担保物权的种类及其特征。

二、名词解释：1、法律事实；2、著作权的合理使用。

1992年人大法学综合考试民法学试题二、简述下列各组概念之间的区别1、遗拾物和埋藏物；2、赠与和受赠；3、社团法人和财团法人；4、诺成合同和课堂教学合约。

1993年人大法学综合考试民法学试题三、详细提问以下问题1、我国《民法通则》规定的委托代理关系终止的原因有哪些？2、举例说明什么是不当得利，并指出其法律后果。

四、名词解释：1、人格权；2、相邻权；3、诉讼时效中断。

1994年人大法学综合考试民法学试题三、名词解释：1、公平责任；2、有限责任公司；3、社会团体法人。

四、详述题：1、详述我国民法的调整对象；2、详述用益物权的制订并举例说明。

1995年人大法学综合考试民法学试题三、简述题：1、我国《民法通则》规定的无效民事行为有哪些？2、抵押权民留置权有何区别？四、名词解释：1、优先股；2、注册商标的续展；3、存续期间；4、赠与抚养协议。

1996年人大法学综合考试民法学试题（民法专业学生默然此部分）一、问答题：（15分）试述保证的概念并说明保证合同中的一般保证与连带责任保证的异同。

二、名词解释：（每题5分后，共10分后）1、驰名商标；2、国有独资公司。

1997年人大法学综合考试民法学试题（民法专业学生默然此部分）二、名词解释：（每题2分，共8分）1、除斥期间；2、继受取得；3、招标；4、提单。

三、简述题：（每题6分，共12分）1、详述著作权的内容；2、详述抵押权与质权的区别。

2001年人大民商法学专业考研试题一、论述题：1、论权力质押；2、论述不安抗辩权。

二、简答题1、详述合伙企业的概念和成立条件；2、详述商标权人的权利和义务；3、详述我国证券法的基本原则。

三、比较下列概念1、代理与居间；2、作品与发明者；3、保险与确保；4、定金与预付款；5、董事与监事。

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