排队论第三部分-第四章 排队模型,第五章 MG1, 第六章 G1 M 1

第四章 排队模型

两类排队模型：

1. Markov 排队模型

2. 非Markov 排队模型

Markov 排队模型：

4-0 Little 定理

1961 年 J.D.Little 证明 1974 年 S.Slidhan 一般性证明

定理 : 在极限平稳状态下,排队系统内顾客平均数L 系 和 顾客在系统内平均逗留时间W 系 之间的关系,不管到达流的分布如何,也不管服务规则如何,均有以下关系:

为到达流的强度

系

系λλ1

4.-=L W

证明:

设 X(t) ---- t 时刻前到达的瞬时顾客数, Y(t)--- t 时刻前离开的瞬时顾客数.

Y(t)

在稳定后,流入与流出的顾客数应相等, 则在t 时刻留在系统内的顾客数为:

Z(t)=X(t)-Y(t)

在足够长的时间T 来考虑有:

队

队系

系系系同理可以证明所以有逗留时间系统内每个顾客的平均时

间的总和所有顾客在系统内逗留时间个顾客在系统内的逗留第其中的小面积的总和高度为长度为阴影部分的面积W L W L W T

t t i t t T

t T t T T dt

t Z T L i

i

i

i i i

i

i

i i T

.:

.:.

..,:

.11

]1*[1][1)(10λλλλλ

==--=--=

⨯=

===∑∑∑∑⎰

4-1 M/M/1/0 (单通道损失制)

服务员数：n=1 队长：m=0

M -- 到达流为Poisson,流强λ

M -- 服务时间服从指数分布：)0()(>=⋅-t e t f t μμ 状态为系统内顾客数，I={0,1}

"0"表示服务员闲，其概率为：P 0(t)；

"1"表示服务员忙，其概率为：P 1(t)； 状态转换图：

Fokker-Plank k 方程：

可得:

)0(1

)0(:341)()(24)()()(14)()()(1010011100==-=+-+-=-+-=∙∙

P P t P t P t P t P t P t P t P t P 初始条件λμμλ

联立求解4-1与4-3得：

λ

μ

λλμλμμ

λλ

μλλλ

μλ

λ

μμμ

μλμλμλμλ+=

∞+=

∞∞

→==+-+=-=++

+=

-++-=-+-=+----+-∙

∙

)(,

)()

0(,1)0(0)(1)()(4

4)()()()(1[)()(1010)(01)(000000P P t P P t e t P t P e t P t P t P t P t P t P t

t

定义：

系统负载能力：μ

λρ=

指标：

(1) ρ

μ

λμ

+=

+===110P Q 请求服务的顾客数

被服务顾客数 (2) 绝对通过能力：

ρ

λμλλμλ+=

+=

==1Q A 数单位时间被服务的顾客

(3) 损失概率(即顾客来时，系统服务员忙，顾客离去)

ρ

ρμ

λλμ

λμ+=

+=+-=-==1111Q P P 损

例一：一条电话线，呼叫率为：0.8次/分(λ=0.8)，每次平均通话时间为：

τ=1.5分。求相对通过能力，绝对通过能力，损失率，比较实际通过能力与最大(额面)通过能力。

解：

分次通过能力额面最大电话损失概率绝对通过能力相对通过能力系统负荷水平额损/667.05

.11

1

:)(545.011:364

.02

.118

.01:455

.02.111

11:2.1667

.08

.0:667.05

.11

1

0==

==

=-=+=

=+=

+=

=+=+=====

==

=

μτ

ρ

ρ

λ

ρμλρτ

μA Q P A P Q Erlang

4-2 多通道损失制 ( M/M/n/0)

服务员数：n

系统内最大顾客数(排队最大顾客数)：m=0

系统状态："0"---n 个服务员闲，系统内顾客数为0； "1"---1个服务员忙，系统内顾客数为1，(n-1)个服务员闲； …………………………………….. "k"---k 个服务员忙，系统内顾客数为k ，(n-k)个服务员闲； "n"---n 个服务员忙，系统内顾客数为n 。

系统状态转换图：

(1) 求瞬态解：

n B P A P μ-=⇒

→⇒

∙

(2) 求稳态解：

[ P 0,P 1,………P n ]

a. B A P n μ1

-→

⇒

-=

b. 利用状态转换图：