电磁场理论课件 2-3 拉普拉斯方程
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2020年高中物理竞赛—电磁学B03泊松方程 拉普拉斯方程 (共13张PPT)
2020高中物理竞赛
电磁学B
电磁场与波
3.3 泊松方程 拉普拉斯方程
补充内容：拉普拉斯运算
标量场的拉普拉斯运算 对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：
gu 2u
式中：“2”称为拉普拉斯算符。
在直角坐标系中：
2u
2u x2
2u y 2
2u z 2
3.3 泊松方程 拉普拉斯方程
矢量场的拉普拉斯运算
r
ev r
ev
r sin
)( aU )
r
evr
aU r2
解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。
设导体球带电总量为Q，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场 强度为：
v E
Q
40r 2
evr
U
Evgdrv Q ( 1) Q
a
40 r a 40a
Q 40aU
v E
aU r2
evr
可用于求解静电场的边值问题。
例 半径为a的带电导体球，已知球体电位为U，
求空间电位分布及电场强度分布。
解法一：导体球是等势体。
r
a
时：Ev
U
0
r a时：
2 0 ra U r 0
1
r
2
d dr
(r 2
d
dr
ra U
r 0
)
0
c1 r U
ra
0
r
Байду номын сангаас
c2
aU r
v
E
(evr
问题的求解。
THE END
谢谢观看！
Evgdrv
r
aU r r2 dr
aU r
电磁学B
电磁场与波
3.3 泊松方程 拉普拉斯方程
补充内容：拉普拉斯运算
标量场的拉普拉斯运算 对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：
gu 2u
式中：“2”称为拉普拉斯算符。
在直角坐标系中：
2u
2u x2
2u y 2
2u z 2
3.3 泊松方程 拉普拉斯方程
矢量场的拉普拉斯运算
r
ev r
ev
r sin
)( aU )
r
evr
aU r2
解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。
设导体球带电总量为Q，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场 强度为：
v E
Q
40r 2
evr
U
Evgdrv Q ( 1) Q
a
40 r a 40a
Q 40aU
v E
aU r2
evr
可用于求解静电场的边值问题。
例 半径为a的带电导体球，已知球体电位为U，
求空间电位分布及电场强度分布。
解法一：导体球是等势体。
r
a
时：Ev
U
0
r a时：
2 0 ra U r 0
1
r
2
d dr
(r 2
d
dr
ra U
r 0
)
0
c1 r U
ra
0
r
Байду номын сангаас
c2
aU r
v
E
(evr
问题的求解。
THE END
谢谢观看！
Evgdrv
r
aU r r2 dr
aU r
拉普拉斯方程公式
拉普拉斯方程公式
摘要：
1.引言：拉普拉斯方程的概述
2.拉普拉斯方程的公式表示
3.拉普拉斯方程的物理意义
4.拉普拉斯方程的应用领域
5.结论：拉普拉斯方程的重要性
正文：
1.引言：拉普拉斯方程的概述
拉普拉斯方程是物理学和工程学中的一种重要方程，主要用于描述静电场、静磁场以及流体运动等领域的现象。
该方程是由法国数学家和天文学家拉普拉斯提出的，因此得名拉普拉斯方程。
2.拉普拉斯方程的公式表示
拉普拉斯方程的公式表示为：Φ=0，其中Φ表示电势或磁势。
这个方程描述了静电场或静磁场中的势分布，它在空间中任意一点的梯度都等于零，也就是说，拉普拉斯方程描述的是无旋场。
3.拉普拉斯方程的物理意义
拉普拉斯方程的物理意义是：在静电场或静磁场中，任意一点的场强方向上的散度为零，也就是说，场强线是闭合的，不会中断。
这个物理意义在实际应用中非常重要，因为它保证了场的连续性和保守性。
4.拉普拉斯方程的应用领域
拉普拉斯方程在许多领域都有广泛的应用，包括静电场、静磁场、流体力学、空气动力学等。
在这些领域，拉普拉斯方程可以用来求解场的分布，从而帮助我们理解和预测各种物理现象。
5.结论：拉普拉斯方程的重要性
拉普拉斯方程是物理学和工程学中非常重要的方程，它描述了无旋场的特性，并在许多领域都有广泛的应用。
拉普拉斯变换ppt课件
ds ds 0
0
e-st t f (t)dt 0
从而 ℒ [t f (t)] (1) dF(s) ds
类推 ℒ [t n f (t)] (1)n dnF (s)
ds n
17
6.2 基本函数的拉普拉斯变换
18
一 单位阶跃函数
二 δ(t)函数
L[ (t t0 )]
关于 p的代数方程
原微分方程的解
Laplace 变换的反演
39
一 有理分式的反演 把有理分式分解,然后利用一些基本公式
和 Laplace 变换的性质求原函数。
一般步骤：1）化简，使分子幂次低于分母； 2）分母分解因式； 3）利用待定系数法进行部分分
式展开 4）利用拉氏变换表求解
注：需要注意多阶极点和共轭极点的情况。
20
6.3 Laplace 变换的基本性质
21
Laplace 变换F(s) 的特性：
（1） F(s) 在 Re(s)>0 的半
平面代表一个解析函数。
（2）当 | s | ,
s 平面
|Arg s| /2 - ε (ε > 0) 时：
o
F(s) 存在，
且满足 lim F(s) 0 s
L[teat ]
1
t d e(sa)t
0
sa 0
1 sa
t e(sa)t
|
0
e (sa)t
0
dt
s
1 a
0
s
1
a
e (sa)t
0
d[(s
第2章 电磁场基本方程PPT课件
静电场：
积分形式
微分形式
特点
(1) E dl 0 l
E 0
——静电场的环路定律
无旋场（保守场， 位场）
(2)
Dds Q
S
即
——高斯定理
D v
or E v
有散场，通量 源是电荷
4
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
Fundamental Laws and Basic Vectors of Static EM Fields
EM
U
a
ln
b a
c) EM最大值发生于
dEM da
(a
U ln
b a
)2
(ln
b a
1)
0
得 ln b 1 b e
a
a
故 a b 1.8 0.662cm e 2.718
11
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
高斯定理解题步骤：
（1）分析电场是否具有对称性。
（2）取合适的高斯面(封闭面)，即取在E相等的曲面上。
dF
F
l
B
Idl 4
Idl
l 4
I
l 4
I dl R2
I dl
R2
dl Rˆ
R2
安培定律
Rˆ
Rˆ
Idl Jdsdl
Jdv
B
Jr dv
JRr4
1 R
v
R
Jr
1 Jr
R
B
4
v
Jr Rˆ
R2
dv
5
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
E B （a）
t
H J D （b）
《电磁场理论》课件2
E1t E 2t J 1n J 2 n
1 E1 cos 1 2 E 2 cos 2
及
J2
α2
E1 sin 1 E 2 sin 2
tg1 tg 2
α1
J1
1 2
图2-1
式中α1、α2分别为E1、E2与法线方向的夹角（如图2-1）
⑵良导体与不良导体分界面上的衔接条件
可见
E E d l E d l E E E d l
l e l l l e
e
dl 0
2.3.3 恒定电场的基本方程
上面给出了导电媒质中恒定电场（电源外）的基本方程：
J dS 0 E dl 0
S l
两场量间的关系
2 0
因此，对于恒定电场中的某些问题，可先解拉氏方程，解出电位函 数，然后通过电位梯度求得场强E。
在两种不同导电媒质的分界面上，由电位函数表示的衔接条
件为
1 2 1 2 2 1 n n
例2-1 位为 U 0 sin
x
a
长直接地金属槽，底面、侧面电位均为零，顶盖电 。求槽内导电媒质中的电位分布。
0； 0；
U 0 sin ax ； 0。
由边界条件⑴和⑷，在解的表达式中，需选择在x=0和x=a
处都为0的函数，故应取x的周期函数，y的双曲函数。因此，
υ(x,y)的通解为
( x, y) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
( An cos k n x Bn sin k n x)(C n cosh k n y Dn sinh k n y)
电磁场基本方程ppt课件
2
第二章 电磁场基本方程
2.1 静态电磁场基本定律和基本场矢量
2.1.1 库仑定律和电场强度
F
r
K
qq r
两点电荷间的作用力
其中，K是比例常数，r是两
点 电 荷 间 的 距 离 ， r 为 从 q1 指向q2的单位矢量。若q1和 q2同号，该力是斥力，异号 时为吸力。
3
第二章 电磁场基本方程
比例常数K与力，电荷及距离所用单位有关。在SI制中，
35
第二章 电磁场基本方程
2.4.2 两种特殊情况 理想介质是指 0 即无欧姆损耗的简单媒质。在两种 理想介质的分界面上不存在面电流和自由电荷，即
s 0，Js
两种理想介质间的边界条件
36
第二章 电磁场基本方程
理想介质和理想导体间的边界条件
37
第二章 电磁场基本方程
2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量 2.5.1 坡印廷定理的推导和意义
E D E E
t
t
Ex
Ex t
Ey
E y t
Ez
Ez t
1 2
E
2 x
t
1 2
E
2 y
t
1 2
E
2 z
t
t
1 2
E 2
Ñs (E
H ) dS
t
V
1 2
E2
1 2
H
2
dV
V
E
JdV
其中，
we
1 E2 2
为电场能量密度
wm
1 2
H 2
为磁场能量密度
39
第二章 电磁场基本方程
T
磁通量密度为B的磁场对电流元Idl的作用力为
第二章 电磁场基本方程
2.1 静态电磁场基本定律和基本场矢量
2.1.1 库仑定律和电场强度
F
r
K
qq r
两点电荷间的作用力
其中，K是比例常数，r是两
点 电 荷 间 的 距 离 ， r 为 从 q1 指向q2的单位矢量。若q1和 q2同号，该力是斥力，异号 时为吸力。
3
第二章 电磁场基本方程
比例常数K与力，电荷及距离所用单位有关。在SI制中，
35
第二章 电磁场基本方程
2.4.2 两种特殊情况 理想介质是指 0 即无欧姆损耗的简单媒质。在两种 理想介质的分界面上不存在面电流和自由电荷，即
s 0，Js
两种理想介质间的边界条件
36
第二章 电磁场基本方程
理想介质和理想导体间的边界条件
37
第二章 电磁场基本方程
2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量 2.5.1 坡印廷定理的推导和意义
E D E E
t
t
Ex
Ex t
Ey
E y t
Ez
Ez t
1 2
E
2 x
t
1 2
E
2 y
t
1 2
E
2 z
t
t
1 2
E 2
Ñs (E
H ) dS
t
V
1 2
E2
1 2
H
2
dV
V
E
JdV
其中，
we
1 E2 2
为电场能量密度
wm
1 2
H 2
为磁场能量密度
39
第二章 电磁场基本方程
T
磁通量密度为B的磁场对电流元Idl的作用力为
经典电磁场理论
达朗泊方程
1 2 2 2 c t 0 1 2 A 2 A 2 2 0 J c t 1 A c2 0 t
2
w S E J 洛仑兹力 t g f E J B 能量守恒 f T t 电磁场 麦克斯韦方程组 的基本 规律 A 2 E E t E 0 B 静电 E t D E W 1 dV 场 D 0E e D 2 D
洛仑兹力
w S E J t 动量守恒： g f T 能量守恒: t
第一章
D D H J t B 0
第二章
第二章 静电场（Electrostatic Field)
静电场的 性质和求 解静电场 问题的各 种方法。
泊松方程
静电场的理论基础
边值关系
唯一性定理
[例1]
有一半径为a的导体球，它的中心恰位 于两种均匀无限大介质的分界面上， 介质的介电常数分别是 1 与
2
。
若导体球总电荷为Q，求导体球表面 处自由电荷分布。
[例2]两同心导体球壳之间充 以两种介质，左半球介电常数 为 1 ，右半球介电常数为 2 。
1在均匀区域满足唯一性定理uniquenesstheorem给定区域v内每个导体上的电势或电荷总量以及导体外介质中的自由电荷分布对于一个满足唯一性条件的静电场问题它保证了不论用什么方法得到的问题的解都是真正的解泊松方程边值关系唯一性定理有一半径为a的导体球它的中心恰位于两种均匀无限大介质的分界面上介质的介电常数分别是若导体球总电荷为q求导体球表面处自由电荷分布
洛仑兹力
《电磁场理论》课件
《电磁场理论》PPT课件
探索电磁场的奇妙世界。从电磁场的基本概念出发，深入了解麦克斯韦方程 组的原理，并探究电场和磁场的相互作用。
电磁场的基本概念
1 电磁场的定义
介绍电磁场的基本概念和特性，包括电场和磁场的形成和作用。
2 电磁场的方程
了解麦克斯韦方程组，掌握其含义并探索其丰富的物理意义。
3 场强和场线
电场和磁场的相互作用
洛伦兹力
探讨洛伦兹力的作用机制和应用，以及电磁场与带电粒子之间的相互作用。
电磁感应
解释电磁感应的原理和应用，研究磁场变化对电流和电动势的影响。
电磁波的产生和传播
电磁波的产生
深入了解电磁波的产生机制，探究电场和磁场的交 替在空间中的传播特性，包括传播速度、 衰减和反射等现象。
深入了解电磁感应在电动机、变压器等
电磁波的应用
2
设备中的应用原理和工作机制。
探索电磁波在通信、遥感和医学等领域
的广泛应用和前沿技术。
3
磁共振成像
介绍磁共振成像技术的原理和应用，探 究其在医学和科研领域的重要性。
总结和展望
总结电磁场理论的核心概念和主要内容，并展望未来电磁场理论的发展方向和前景。
解释电磁场强度的概念和场线的作用，以及如何分析和表示电磁场的分布情况。
麦克斯韦方程组的介绍
1
高斯定律
详细阐述高斯定律的原理和应用，探讨电场和磁场的产生和分布规律。
2
法拉第定律
深入理解法拉第定律，包括电磁感应的原理、电动势的产生和磁场变化的影响。
3
安培定律
解释安培定律的含义和应用，了解电流和磁场的相互作用及其影响。
电磁场的能量和动量
1 能量守恒定律
探究电磁场能量的来源和 转化，以及能量守恒定律 在电磁场中的应用。
探索电磁场的奇妙世界。从电磁场的基本概念出发，深入了解麦克斯韦方程 组的原理，并探究电场和磁场的相互作用。
电磁场的基本概念
1 电磁场的定义
介绍电磁场的基本概念和特性，包括电场和磁场的形成和作用。
2 电磁场的方程
了解麦克斯韦方程组，掌握其含义并探索其丰富的物理意义。
3 场强和场线
电场和磁场的相互作用
洛伦兹力
探讨洛伦兹力的作用机制和应用，以及电磁场与带电粒子之间的相互作用。
电磁感应
解释电磁感应的原理和应用，研究磁场变化对电流和电动势的影响。
电磁波的产生和传播
电磁波的产生
深入了解电磁波的产生机制，探究电场和磁场的交 替在空间中的传播特性，包括传播速度、 衰减和反射等现象。
深入了解电磁感应在电动机、变压器等
电磁波的应用
2
设备中的应用原理和工作机制。
探索电磁波在通信、遥感和医学等领域
的广泛应用和前沿技术。
3
磁共振成像
介绍磁共振成像技术的原理和应用，探 究其在医学和科研领域的重要性。
总结和展望
总结电磁场理论的核心概念和主要内容，并展望未来电磁场理论的发展方向和前景。
解释电磁场强度的概念和场线的作用，以及如何分析和表示电磁场的分布情况。
麦克斯韦方程组的介绍
1
高斯定律
详细阐述高斯定律的原理和应用，探讨电场和磁场的产生和分布规律。
2
法拉第定律
深入理解法拉第定律，包括电磁感应的原理、电动势的产生和磁场变化的影响。
3
安培定律
解释安培定律的含义和应用，了解电流和磁场的相互作用及其影响。
电磁场的能量和动量
1 能量守恒定律
探究电磁场能量的来源和 转化，以及能量守恒定律 在电磁场中的应用。
场论拉普拉斯算子课件
05
拉普拉斯算子的应用 实例
一维波动方程
总结词
描述一维波动现象
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现象的基本方 程，如弦的振动、波在固体中的传播等。拉 普拉斯算子在这个方程中起到关键作用，通 过求解该方程可以获得波的传播规律和特性 。
二维泊松方程
总结词
描述二维空间中的电荷分布问题
详细描述
二维泊松方程是描述电荷在二维空间中分布 的偏微分方程，常用于电场和电荷分布问题 的研究。拉普拉斯算子在求解这个方程中起 到重要作用，通过求解该方程可以获得电荷
分布的电场强度和电势。
高阶偏微分方程
总结词
描述更复杂的现象
详细描述
高阶偏微分方程可以描述更复杂的现象，如波动传播 、热传导、流体动力学等。在这些方程中，拉普拉斯 算子也扮演着重要的角色，通过求解这些方程可以深 入了解这些现象的内在规律和特性。
06
拉普拉斯算子的未来 发展与展望
数值计算方法的改进
总结词
研究三维空间中曲面上的几何对象和性质。
详细描述
在曲面几何中，拉普拉斯算子用于研究曲面上的曲线、切线和向量场的性质。通 过拉普拉斯算子，可以分析曲面上的曲率、切线方向和向量场的散度等，进一步 揭示曲面几何对象的微分性质和内在规律。
高维几何
总结词
研究高维空间中几何对象的性质和关系。
详细描述
在高维几何中，拉普拉斯算子用于研究高维空间中的超曲面、向量场和张量场的性质。通过拉普拉斯 算子，可以分析高维空间中的曲率、张量场的高阶导数等，进一步揭示高维几何对象的微分性质和内 在规律。
Δf = d^2f/dx^2 + d^2f/dy^2 + d^2f/dz^2 （ 在三维空间中）
电磁场理论课件2
a
⑷在x=a，0≤y≤b处， 0 。
ax
由边界条件⑴和⑷，在解的表达式中，需选择在x=0和x=a
处都为0的函数，故应取x的周期函数，y的双曲函数。因此，
φ(x,y)的通解为
(x,y)(A 0xB 0)C (0yD 0)
(A nco knxs B nsikn n x)C (ncokns y h D nsik n ny)h n 1
α1
J1
及
tg1
1
tg 2
2
图2-1
式中α1、α2分别为E1、E2与法线方向的夹角（如图2-1）
⑵良导体与不良导体分界面上的衔接条件
当第一种媒质γ1为良导体，第二种媒质γ2为不良导体时，
因γ1＞＞γ2，故有：
tg2
2
1
tg1
0
电流线近似与分界面垂直，分界面近似地可以看作等位面。电流
从良导体电极漏电到介质中去就属于这种情况。
两场量间的关系
J E
下面我们来推导这些基本方程的微分形式。
由高斯散度定理 JdSJdV 0
S
V
从而有
J 0
表明在恒定电场中，电流线是无源的，即无始端又无终端。
高斯散度定理 FdV FdS
V
S
由斯托克斯定理 EdlEdS0
l
S
从而有
E 0
表明在电源以外导电媒质中的恒定电场是无旋场
斯托克斯定理
把条件⑴代入得
当导电媒质中存在恒定电流时，一些自由电子流走了，一些 新的自由电子又来补充，但媒质中任何一点的电荷密度仍然保持 不变。因此，通有电流的导电媒质周围介质中的电场，实际上是 导电媒质中恒定分布的电荷所产生的恒定电场，它和介质中的静 电场具有相似的特点。
⑷在x=a，0≤y≤b处， 0 。
ax
由边界条件⑴和⑷，在解的表达式中，需选择在x=0和x=a
处都为0的函数，故应取x的周期函数，y的双曲函数。因此，
φ(x,y)的通解为
(x,y)(A 0xB 0)C (0yD 0)
(A nco knxs B nsikn n x)C (ncokns y h D nsik n ny)h n 1
α1
J1
及
tg1
1
tg 2
2
图2-1
式中α1、α2分别为E1、E2与法线方向的夹角（如图2-1）
⑵良导体与不良导体分界面上的衔接条件
当第一种媒质γ1为良导体，第二种媒质γ2为不良导体时，
因γ1＞＞γ2，故有：
tg2
2
1
tg1
0
电流线近似与分界面垂直，分界面近似地可以看作等位面。电流
从良导体电极漏电到介质中去就属于这种情况。
两场量间的关系
J E
下面我们来推导这些基本方程的微分形式。
由高斯散度定理 JdSJdV 0
S
V
从而有
J 0
表明在恒定电场中，电流线是无源的，即无始端又无终端。
高斯散度定理 FdV FdS
V
S
由斯托克斯定理 EdlEdS0
l
S
从而有
E 0
表明在电源以外导电媒质中的恒定电场是无旋场
斯托克斯定理
把条件⑴代入得
当导电媒质中存在恒定电流时，一些自由电子流走了，一些 新的自由电子又来补充，但媒质中任何一点的电荷密度仍然保持 不变。因此，通有电流的导电媒质周围介质中的电场，实际上是 导电媒质中恒定分布的电荷所产生的恒定电场，它和介质中的静 电场具有相似的特点。
电磁场中的基本方程.ppt
ˆ I d l (' I d l ' r ) 0 F 2 l l ' 4 r
式中, r是电流元I′dl′至Idl的距离, 真空的磁导率: 是由dl′指向dl的单位矢量, μ0是
7
ˆ r
4 10 H /m 0
F d l B I
l
ˆ I I ' d l ' r ' d l ' r B 4 r 4 r
若封闭面所包围的体积内的电荷是以体密度ρv分布的, 则所 包围的总电量为
Q vdv
V
D d v d v
V Vv
上式对不同的V都应成立, 因此两边被积函数必定相等, 于是有
D v
2 .1 .3 比奥-萨伐定律, 磁通量密度
图 2-2 两个载流回路间的作用力
F E (V / m) q
由库仑定律知, 在离点电荷q距离为r处的电场强度为
ˆ E r
q 4 0 r
2
(2-4)
2 .1 .2 高斯定理, 电通量密度
除电场强度 E 外 , 描述电场的另一个基本量是电通量密度 D,
又称为电位移矢量。 在简单媒质中, 电通量密度由下式定义:
D E ( C / m )
J是电流密度即电流的体密度, 它的方向就是它所在点上正电荷
流动的方向, 其大小就是在垂直于该方向的单位面积上, 每单位 时间内通过的电荷量, 单位为A/m2。因此, 若体积中各处都有电 荷流动, 则通过某封闭面S的总电流为 的电荷量-dQ/dt。 每单位时间流出 S面的电荷量 , 应等于S面内每单位时间所减少 。 Jd s I A
故称之为位移电流密度( displacement current density)Jd, 即
拉普拉斯方程.ppt
如果我们选择这些导体的表面作为区域V的边界， 则V 内部自由电荷密度ρ＝0，电势所满足的泊松方程化 为比较简单的情形：
2 0 拉普拉斯方程。
注意：求解区域内ρ＝0，产生电场的电荷全部分布 于V 的边界上，他们的作用通过边界条件反映出来。所 以，这类问题可归结为求拉普拉斯方程满足边界条件的 解。
二、分离变量法
d2X dx 2
X
0
x 2
y 2
z 2
d 2Y Y 0
dy 2
(x, y) (a bx)(c dy)
(amemx bmemx )(cm cosmy dm sin my) m1
（2）若 (x)，与 y, z 无关。
d 2 0
dx 2
Ax B
2. 球坐标中的通解：
( R,
l
电势： V z (0 z l)
l
(5)
E
d
dz
ez
V l
ez
E V 常数 l
例 2 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带 电荷Q，同心地包围一个半径为R1的导体球（R1 <R2）。使这个导体球接地，求空间各点的电势 和这个导体球的感应电荷。
解：以球心为原点建立球坐标系，导体壳外和壳内
分离变量法就是将场量的函数表达式中不同坐 标相互分离，即将场量分解为单一坐标函数的乘积 的形式，求出通解。然后再根据给定的边界条件求 出实际问题的特解。
不同坐标系中拉氏方程的通解不同。
拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式
1、直角坐标
2
2
x 2
2
y 2
2
z 2
0
=0 （1）若 (x, y) 2 2 2 2 0
其中 Pn (cos ) -----为勒让德函数
电磁场与电磁波理论课件PPT第1章
（1.2.6）
♥ 标量函数 在空间给定点沿 方向的方向导数等
于该点的梯度矢量
在该方向上的投影 。
（1.2.5）
1-43
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2. 标量场的梯度
♥ 梯度的表示——哈密顿（Hamilton）算子 ◘ 直角坐标系中的哈密顿算子 （1.2.7） ◘ 直角坐标系中的梯度表示式 （读作del）
（1.1.33）
（1.1.35）
1-34
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.2 1.2.1
场的微分运算 场的基本概念
1.2.2
1.2.3 1.2.4
标量场的方向导数和梯度
矢量场的通量和散度 矢量场的环量和旋度
1-35
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.2.1 场的基本概念
第1章 矢量分析与场论
1.矢量与单位矢量
♥ 矢量——在三维空间中的一根有方向的线段。 该线段的长度 该线段的方向 代表该矢量的模， 代表该矢量的方向
（1.1.1）
♥ 单位矢量——模等于1的矢量叫做单位矢量。
（1.1.2）
1-12
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2.矢量表示法
♥ 在直角坐标系中矢量的表示 （1.1.3） ——矢量的三个分量，即矢量在三个坐标上的投影 矢量的大小 矢量的方向的单位矢量 （1.1.4）
1-13
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2.矢量表示法
♥ 矢量的方向余弦
——矢量与三个坐标轴之间的夹角。 ♥ 矢量的方向的单位矢量 （1.1.5）
◘ 一般情况下均采用矢量的方向的单位矢量（方向余弦）来
电磁场理论课件 2-3 拉普拉斯方程
（3）定解： 0
边界
ra
0
n
ra
① (r a) 0 clna D 0 cln r
a
②
0
d dn
ra
0C
a r
1 a
ra
C0 a
a C
0
(r) a ln r 0 a
(r ≥ a)
E
d dr
er
a 0
er r
(r ≥ a)
例4.一半径为 a，介电常数为 的无限
长电介质圆柱，柱轴沿 ez方 向e，x 方向
)Pnm
(cos
)
sin
m
1）若不依赖 ,轴对称
缔合勒让德函数
(R, )
n
(an Rn
bn Rn1
)Pn (cos )
P283
2）若不依赖 , 球对称。
2
1 r2
r
(r2
) r
0
r2
r
C
(R) a b
r
勒让德函数
三. 解题步骤
1. 选择坐标系和电势参考点
分界面
电荷有限-电势无穷远处为0
1 0
上有一外加均匀电场
，E0求空间电势
分布和柱面上的束缚电荷分布。
y
x z
1.选坐标系，参考点 2.分析对称性，分区，求通解 3.定解（边界条件）
解： （1）坐标系：柱坐标。
参考点：均匀场电势在无穷远处不为0，因此令 r0 0
(r,)
21 0 (0 r a)
22 0 (r a)
通解为：
2) 分析:
X
与z无关，可得 =(x, y)
2
2 x2
2 y 2
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i
n
j
j
n
(在Sij面上)
导体的总电荷
S
n
ds
Q
边界条件： 或
S n S
§拉普拉斯方程 分离变量法
一.分离变量法适用条件
1. 空间 0自由电荷只分布
在介质(或导体)表面，
Y
或为点电荷。
视为边界条件
泊松方程
inside 0
Z
2
2 0 拉普拉斯方程
2. 0 '
自由 极化
cos(kz)
无限-取特定点为零，如原点
2.分析对称性、分区，求拉普拉斯方程通解
ห้องสมุดไป่ตู้
3. 确定常数（边界） 1）外边界：
[1]电荷分布有限
0
C
接地C=0
导体
s
n
s
总电荷Q，
密度
[2]电荷分布无限
2）内边界
[1]介质分界面
1 s 2 s
1
1 n
s
2
2 n
s
介质界面无 自由电荷
[2]导体边界
C
接地C=0
s
)Pnm
(cos
)
sin
m
1）若不依赖 ,轴对称
缔合勒让德函数
(R, )
n
(an Rn
bn Rn1
)Pn (cos )
P283
2）若不依赖 , 球对称。
2
1 r2
r
(r2
) r
0
r2
r
C
(R) a b
r
勒让德函数
三. 解题步骤
1. 选择坐标系和电势参考点
分界面
电荷有限-电势无穷远处为0
(r
df (r) dr
)
r
2 2
f (r) 0
g f
(
(r
) )
a1 sin a2 cos
有两个线性无关解 r
,
r
d2 f
dx2
1 x
df dx
(1
m2 x2
)
f
0
(x r
)
d2g
d
2
m2 g
0
g(0) g(2 )
d 2Z
dz 2
Z
0
单值性要求： g(0) g(2， )所以
d2X dx 2 d 2Y dy 2
k2X 0 k 2Y 0
X ( x) Aekx Y (x) C sin
Bekx ky D cos
ky
(x, y) ( Aekx Bekx )(C sin ky D cos ky)
(3)若与y、z都无关
(x)
d 2
dx2
0
(x) Ax B
e
z Fe
z
3）与θ、z无关
(r)
1 (r ) 0 r r r
(r, , z) fm ( r)gm ( )Z (z) m
r C r
A B ln r
3. 球坐标
(R, ,)
n,m
(anm Rn
bnm Rn1
)Pnm (cos
) cos
m
n,m
(cnm Rn
dnm Rn1
2.柱坐标：p278 (r,, z)
2）若与z无关 (r, ) f (r)g( )
2
1 r
r
(r
) r
1 r2
2 2
2
z 2
0
1）(r, , z) f (r)g( )Z (z)
1 1 2 2
r
(r r
r ) r 2
2
z 2
0
分离变量
d
2 g ( d 2
)
2
g(
)
0
1 r
d dr
选择导体表面作为区域V的边界，V内部自由电荷密 度ρ＝0，泊松方程化为比较简单的拉普拉斯方程
拉普拉斯方程
2 0
利用边界条件定解说明两点：
第一，如果考虑问题中有i 个区域（均匀分布）， 必须有i个相应的Laplace's equation .
第二，在每个区域的交界面上，应该满足边值
关系：
i
j
i
X
二.拉普拉斯方程在几种坐标系 中解的形式
1.直角坐标系
(1) 令：
2
2
x2
2
y 2
2
z 2
0
(x, y, z) X (x)Y ( y)Z(z)
带入上式：
YZ
d2X dx2
XZ
d 2Y dy 2
XY
dZ 2 dz 2
0
1 X
d2X dx2
1 Y
d 2Y dy 2
1 Z
d 2Z dz 2
0
通解
n 取正整数。
(r, ) [rn (An sin n Bn cos ) rn (Cn sin n Dn cos n )] n1 ( A0 B0 ln r)(C0 D0 )
f g
(x) ( )
Am Cm
Jm(x) cos(m
Bm )
Nm (x) D sin(m
)
Z
(z)
E
Z
解: (1) 边界为平面，选直角坐标系
下板
，设 为0 参考点。 s1
a） 数学表示为: b） 数学表示为:
2
或 S n S
,i 1, 2,3 Si
2
(在V ′ 内)
或
S n S
(已知)
Q ,i 1, 2,3 Si
(已知)
常数, Si
（待定）
(在V ′ 内) (已知) (已知)
唯一性定理： 1.满足麦克斯韦方程（或泊松方程）
D f
E 0
(k12 ) (k22 ) (k 2 ) 0
d2X
dx2
k12 X
0
X (x) Aek1x Bk1x
d 2Y
dy
2
k22Y
0
d 2Z
dz 2
k2Z
0
Y ( y)
Cek2 y
Dek2 y
Z (z) E sin kz F cos kz
(2)若与z无关
(x, y) X (x)Y ( y)
基本问题：电场由电势描述 电势满足泊松方程+边界条件
具体的工作：解泊松方程
在许多实际问题中，静电场是由带电 导体决定的．
例如 电容器内部的电场是由作为电极的两 个导体板上所带电荷决定的 电子光学系统的静电透镜内部，电场 是由分布于电极上的自由电荷决定的
这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的 表面上，在空间中没有其他自由电荷分布．
复习
数学表述如下:
2 i
i
(在每个小区Vi)
i j
(在两种绝缘介质的分界面上)
i
i
n
j
j
n
分界面法向单位矢量 n由 j指向i )
f 0
或
S n S
(在整个区域V 的边界面S上给定,按
约定,边界面法线 n指向V 外)
惟一性定理指出,满足以上定解问题的电势解就是区域V 中 静电场分布的惟一解.
n
s
总电荷Q，
密度
例1.两无限大平行导体板，相距L，两板电势差为V ，一板接地，求两极板间 的电势和电场
Z
L Y
X 例2. 一对接地半无限大平板，相距为b，在左端有一板电势为V（常数）， 求板间的电势？
Y
X Z
例1.两无限大平行导体板，相距L，两板电势差为V，一板接地，求两极板间 的电势和电场
2.满足边界条件：外边界和内边界（边值关系）
内边界： 1）介质
n (E2 E1) 0
n (D2 D1)
E2t E1t 0
D2n D1n f
2）金属
或Q
Si
Si
外边界：
或
S
n
ds
Q
§2.3 拉普拉斯方程，分离变量法 Laplace's equation,
method of separate variation