电磁场理论课件 2-3 拉普拉斯方程

i
n
j
j
n
(在Sij面上)
导体的总电荷
S
n
ds
Q
边界条件： 或
S n S
§拉普拉斯方程 分离变量法
一.分离变量法适用条件
1. 空间 0自由电荷只分布
在介质(或导体)表面，
Y
或为点电荷。
视为边界条件
泊松方程
inside 0
Z
2
2 0 拉普拉斯方程
2. 0 '
自由 极化
cos(kz)
2.满足边界条件：外边界和内边界（边值关系）
内边界： 1）介质
n (E2 E1) 0
n (D2 D1)
E2t E1t 0
D2n D1n f
2）金属
或Q
Si
Si
外边界：
或
S
n
ds
Q
§2.3 拉普拉斯方程，分离变量法 Laplace's equation,
method of separate variation
a） 数学表示为: b） 数学表示为:
2
或 S n S
,i 1, 2,3 Si
2
(在V ′ 内)
或
S n S
(已知)
Q ,i 1, 2,3 Si
(已知)
常数, Si
（待定）
(在V ′ 内) (已知) (已知)
唯一性定理： 1.满足麦克斯韦方程（或泊松方程）
D f
E 0
n 取正整数。
(r, ) [rn (An sin n Bn cos ) rn (Cn sin n Dn cos n )] n1 ( A0 B0 ln r)(C0 D0 )
f g
(x) ( )
Am Cm
Jm(x) cos(m
Bm )
Nm (x) D sin(m
)
Z
(z)
E
Z
解: (1) 边界为平面，选直角坐标系
下板
，设 为0 参考点。 s1
)Pnm
(cos
)
sin
m
1）若不依赖 ,轴对称
缔合勒让德函数
(R, )
n
(an Rn
bn Rn1
)Pn (cos )
P283
2）若不依赖 , 球对称。
2
1 r2
r
(r2
) r
0
r2
r
C
(R) a b
r
勒让德函数
三. 解题步骤
1. 选择坐标系和电势参考点
分界面
电荷有限-电势无穷远处为0
2.柱坐标：p278 (r,, z)
2）若与z无关 (r, ) f (r)g( )
2
1 r
r
(r
) r
1 r2
2 2
2
z 2
0
1）(r, , z) f (r)g( )Z (z)
1 1 2 2
r
(r r
r ) r 2
2
z 2
0
分离变量
d
2 g ( d 2
)
2
g(
)
0
1 r
d dr
无限-取特定点为零，如原点
2.分析对称性、分区，求拉普拉斯方程通解
3. 确定常数（边界） 1）外边界：
[1]电荷分布有限
0
C
接地C=0
导体
s
n
s
总电荷Q，
密度
[2]电荷分布无限
2）内边界
[1]介质分界面
1 s 2 s
1
1 n
s
2
2 n
s
介质界面无 自由电荷
[2]导体边界
C
接地C=0
s
e
z Fe
z
3）与θ、z无关
(r)
1 (r ) 0 r r r
(r, , z) fm ( r)gm ( )Z (z) m
r C r
A B ln r
3. 球坐标
(R, ,)
n,m
(anm Rn
bnm Rn1
)Pnm (cos
) cos
m
n,m
(cnm Rn
dnm Rn1
复习
数学表述如下:
2 i
i
(在每个小区Vi)
i j
(在两种绝缘介质的分界面上)
i
i
n
j
j
n
分界面法向单位矢量 n由 j指向i )
f 0
或
S n S
(在整个区域V 的边界面S上给定,按
约定,边界面法线 n指向V 外)
惟一性定理指出,满足以上定解问题的电势解就是区域V 中 静电场分布的惟一解.
n
s
总电荷Q，
密度
例1.两无限大平行导体板，相距L，两板电势差为V ，一板接地，求两极板间 的电势和电场
Z
L Y
X 例2. 一对接地半无限大平板，相距为b，在左端有一板电势为V（常数）， 求板间的电势？
Y
X Z
例1.两无限大平行导体板，相距L，两板电势差为V，一板接地，求两极板间 的电势和电场
(k12 ) (k22 ) (k 2 ) 0
d2X
dx2
k12 X
0
X (x) Aek1x Bk1x
d 2Y
dy
2
k22Y
0
d 2Z
dz 2
k2Z
0
Y ( y)
Cek2 y
Dek2 y
Z (z) E sin kz F cos kz
(2)若与z无关
(x, y) X (x)Y ( y)
基本问题：电场由电势描述 电势满足泊松方程+边界条件
具体的工作：解泊松方程
在许多实际问题中，静电场是由带电 导体决定的．
例如 电容器内部的电场是由作为电极的两 个导体板上所带电荷决定的 电子光学系统的静电透镜内部，电场 是由分布于电极上的自由电荷决定的
这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的 表面上，在空间中没有其他自由电荷分布．
(r
df (r) dr
)
r
2 2
f (r) 0
g f
(
(r
) )
a1 sin a2 cos
有两个线性无关解 r
,
r
d2 f
dx2
1 x
df dx
(1
m2 x2
)
f
0
(x r
)
d2g
d
2
m2 g
0
g(0) g(2 )
d 2Z
dz 2
Z
0
单值性要求： g(0) g(2， )所以
选择导体表面作为区域V的边界，V内部自由电荷密 度ρ＝0，泊松方程化为比较简单的拉普拉斯方程
拉普拉斯方程
2 0
利用边界条件定解说明两点：
第一，如果考虑问题中有i 个区域（均匀分布）， 必须有i个相应的Laplace's equation .
第二，在每个区域的交界面上，应该满足边值
关系：
i
j
i
X
二.拉普拉斯方程在几种坐标系 中解的形式
1.直角坐标系
(1) 令：
2
2
x2
2
y 2
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2
z 2
0
(x, y, z) X (x)Y ( y)Z(z)
带入上式：
YZ
d2X dx2
XZ
d 2Y dy 2
XY
dZ 2 dz 2
0
1 X
d2X dx2
1 Y
d 2Y dy 2
1 Z
d 2Z dz 2
0
通解
d2X dx 2 d 2Y dy 2
k2X 0 k 2Y 0
X ( x) Aekx Y (x) C sin
Bekx ky D cos
ky
(x, y) ( Aekx Bekx )(C sin ky D cos ky)
(3)若与y、z都无关
(x)
d 2
dx2
0
(x) Ax B