第十一章排队论
排队论
G：一般分布。表示到达间隔时间或服务时间服从一般分布。G是General的第 一个字母。
EkE：rlkan-爱g 尔朗的分第布一。个表字示母到。达间隔时间或服务时间服从k-爱尔朗分布。E是 D: 定长分布 (常数时间)
H：超几何分布。
L：H项式分布。
Z代表的服务规程典型的有：
FCFS：先来先服务；LCFS：后来先服务；RSS：随机选择服务；
PR：优先权服务。 Ba：集体（批量）服务。 GD：一般规约服务，即通用规约服务。
排队论课件 23
3 基本排队关系
在对排队进行分析时，为了便于分析，经常做一些简化假设。对一个排队系 统，若满足以下三个条件：
（1）排队系统能够进入统计平衡状态；
（2）服务员的忙期与闲期交替出现，即系统不是总处于忙的状态；
泊松分布（Poisson）： P{X = k} = λk e-λ/ k! k=0,1,2,…， μx = σx = λ 泊松分布是最重要的离散型概率分布之一，也是表述随机
现象的一种重要形式。在实际系统模型中，一般都要假定任务 （或顾客）的到来是泊松分布的。实践也证明：这种假设有效。
如果顾客到达的人数是符合泊松分布，即在时间T内到达 有k个顾客到达的概率为：
♂
※
排队论课件
11
基本的排队模型
基本组成 概念与记号 指数分布和生灭过程
♂
排队论课件 12
典型排队系统模型
顾客到达: 在队列中排队 服务台服务 顾客离开
输入源
。。。
输入源的 特性？
到达规律 队列大小？
到达方式？
服务规律？
服务协议？
在本单元中，我们主要介绍排队系统的组成和特征，排队系统 的到达和服务，经典排队模型等内容。顾客到达规律和服务规 律都是通过概率来描述的，所以概率论是排队论的基础。
排队论课件
③服务方式(输出)指同一时刻有多少服务台可接纳顾客， 每一顾客服务了多少时间。每次服务可以接待单个顾客， 也可以成批接待，例如公共汽车一次就装载大批乘客。 服务时间的分布主要有如下几种： • 负指数分布：即各顾客的服务时间相互独立，服从相 同的负指数分布(看病)； • 爱尔朗分布：即各顾客的服务时间相互独立，具有相 同的爱尔朗分布。
• 定长分布：每一顾客的服务时间都相等（发放物品）；
为叙述方便，引用下列符号，令
• M代表泊松分布输入或负指数分布服务；
• D代表定长分布输入或定长分布服务； • Ek代表爱尔朗分布的输入或服务。 于是泊松输入、负指数分布服务，N个服务台的排队系 统可以写成M/M/N； • 泊松输入、定长服务、单个服务台的系统可以写成M/D/1。 • 同样可以理解M/ Ek /N，D/M/N…等符号的含义。 • 如果不附其它说明，则这种符号一般都指先到先服务， 单个服务通道的等待制系统。
多通道服务方式
(1)系统中没有车辆的概率 为： 1 P (0) N 1 k N N !(1 / N ) k 0 k! ( 2)系统中有 k个车辆的概率： k .P (0), k! P（k） k P (0), kN N! N k N k N
1
5 5 10s / 辆
两种系统比较
4个M/M/1
平均车辆数 平均排队长 平均耗时 平均等候时间 20 16.68 30 25
M/M/4
6.6 3.3 10 5
设顾客平均到达率为，则到达的平均时距为1/ 。排队从单通道通过接受 服务的平均服务率为，则平均服务时间为1/ 。比率 / 叫做服务强度 或交通强度，可以确定系统的状态。所谓状态，指的是排队系统的顾客数。 1)在系统中没有顾客的概率为P(0) 1 2)在系统中有n个顾客的概率为P (n) n (1 ) 3)系统中的平均车辆数n 4)系统中的平均方差 2 5)平均排队长度q n 6)非零平均排队长度q w 1 1 n
排队论模型专业知识课件
(队长)=等待服务旳顾客数+正被服务旳顾客数，所以
越大，
；排队长度则仅指在队列中
. 系统中旳顾客数
阐明服务效率越低。
(2)等待时间:是指从顾客到达时间算起到他开始接受
顾客到达时刻算起到他接受服务完毕为止所需要旳时间，
逗留时间=等待时间+服务时间 (3)忙期:是指服务台连续繁忙旳时间，即顾客从到达空闲服务台算起到服务台再次变为空闲时止旳这段时间。这是服务台最关心数量指标，它直接关系到服务员工作强度，与忙期相相应旳是闲期，这是指服务台连续保持空闲旳时间长度；显然，在排队系统中忙期与闲期，是交替出现旳。
从而在生灭过程中取
(9.5)
记 ，称为服务强度 当 时，模型不稳( 时达不到统计) 当 ＜1时，模型稳定，有稳定解 (3)X(t)旳分布律 由(9.12)，(1.15)式得此模型旳微分差分方程组 (9.6) 当 时，稳态解满足
1.生灭过程旳定义 设有一种系统，具有有限个状态，其状态集s={0，1，2…k}或有可数个状态，状态集s={0，1，2…}，令X(t)为系统在时刻t所处旳状态，若在某一时刻t系统旳状态数为n，假如对△t>0有。 (1)到达(生):在(t，t+△t)内系统出现一种新旳到达旳概率为
服务时止旳这段时间，其期望值记
；逗留时间则指从
即是顾客在系统中所花费旳总时间，其期望值记
。
排队系统除了上述三个主要数量指标外，另外服务台旳利用率(即服务员忙碌旳时间在总时间中所占百分比)在排队论旳研究中也是很主要旳指标。
（二）排队模型旳符号表达与几种主要排队模型 1.排队模型旳符号一般表达法 一般表达法 A/B/C/D/E/F A:顾客来到时间间隔旳分布类型 B:服务时间旳分布类型 C:服务员个数 D:系统容量 E:顾客源个数 F:服务规则 先来先服务旳等待排队模型主要由三参数法即A/B/C例“M/M/1/k/
排队论
（ii）顾客到达的方式可能是一个—个的，也可能是成批的。 （iii）顾客到达可以是相互独立的，即以前的到达情况对以后的到达没有影响； 否则是相关的。 （iv）输入过程可以是平稳的，即相继到达的间隔时间分布及其数学期望、方差等 数字特征都与时间无关，否则是非平稳的。 1.2.2 排队规则 排队规则指到达排队系统的顾客按怎样的规则排队等待， 可分为损失制， 等待制和 混合制三种。 （i）损失制（消失制） 。当顾客到达时，所有的服务台均被占用，顾客随即离去。 （ii）等待制。当顾客到达时，所有的服务台均被占用，顾客就排队等待，直到接 受完服务才离去。例如出故障的机器排队等待维修就是这种情况。 （iii）混合制。介于损失制和等待制之间的是混合制，即既有等待又有损失。有 队列长度有限和排队等待时间有限两种情况， 在限度以内就排队等待， 超过一定限度就 离去。 排队方式还分为单列、多列和循环队列。 1.2.3 服务过程 （i）服务机构。主要有以下几种类型：单服务台；多服务台并联（每个服务台同 时为不同顾客服务） ；多服务台串联（多服务台依次为同一顾客服务） ；混合型。 （ii）服务规则。按为顾客服务的次序采用以下几种规则： ①先到先服务，这是通常的情形。 ②后到先服务，如情报系统中，最后到的情报信息往往最有价值，因而常被优先处 理。 ③随机服务，服务台从等待的顾客中随机地取其一进行服务，而不管到达的先后。 ④优先服务，如医疗系统对病情严重的病人给予优先治疗。 1.3 排队模型的符号表示 排队模型用六个符号表示，在符号之间用斜线隔开，即 X / Y / Z / A / B / C 。第一 个符号 X 表示顾客到达流或顾客到达间隔时间的分布；第二个符号 Y 表示服务时间的 第四个符号 A 是系统容量限制； 第五个符号 B 是 分布； 第三个符号 Z 表示服务台数目； 顾客源数目；第六个符号 C 是服务规则，如先到先服务 FCFS，后到先服务 LCFS 等。并 我们只讨论先到先服务 FCFS 约定， 如略去后三项， 即指 X / Y / Z / ∞ / ∞ / FCFS 的情形。 的情形，所以略去第六项。 表示顾客到达间隔时间和服务时间的分布的约定符号为： M —指数分布（ M 是 Markov 的字头，因为指数分布具有无记忆性，即 Markov 性） ； D —确定型（Deterministic） ； Ek — k 阶爱尔朗(Erlang)分布；
排队论
X/Y/Z/A/B/C
X—顾客相继到达的间隔时间的分布；
Y—服务时间的分布；
M—负指数分布、D—确定型、Ek —k阶爱尔朗分布。
Z—服务台个数；
A—系统容量限制（默认为∞）；
B—顾客源数目（默认为∞）；
C—服务规则 （默认为先到先服务FCFS)。
3、到达间隔时间与服务时间的分布
泊松分布
负指数分布
爱尔朗分布
统计数据的分布判断
排队系统的构成及应用前景
排队系统由输入过程与到达规则、排队规则、服务机构的结构、服务时间与服务规划组成。
一般还假设到达间隔时间序列与服务时间均为独立同分布随机变量序列，且这两个序列也相互独立。
2、排队系统的衡量指标
队长Ls—系统中的顾客总数；
排队长Lq—队列中的顾客数；
逗留时间Ws—顾客在系统中的停留时间；
等待时间Wq—顾客在队列中的等待时间；
忙期—服务机构两次空闲的时间间隔；
服务强度ρ
稳态—系统运行充分长时间后，初始状态的影响基本消失，系统状态不再随时间变化。
评价一个排队系统的好坏要以顾客与服务机构两方面的利益为标准。就顾客来说总希望等待时间或逗留时间越短越好，从而希望服务台个数尽可能多些但是，就服务机构来说，增加服务台数，就意味着增加投资，增加多了会造成浪费，增加少了要引起顾客的抱怨甚至失去顾客，增加多少比较好呢？顾客与服务机构为了照顾自己的利益对排队系统中的3个指标：队长、等待时间、服务台的忙期（简称忙期）都很关心。因此这3个指标也就成了排队论的主要研究内容。
排队论的应用非交通系统、计算机、存贮系统、生产管理系统等发面应用得最多。排队论的产生与发展来自实际的需要，实际的需要也必将影响它今后的发展方向。
排队论
（二）排队系统的基本组成部分 排队系统由输入过程、服务规则和服务台3 个部分组成。 1．输入过程．这是指要求服务的顾客是按 怎样的规律到达排队系统的过程，有时也把它 称为顾客流．一般可以从3个方面来描述输入过 程。 (1)顾客总体数，又称顾客源、输入源。这 是指顾客的来源。顾客源可以是有限的，也可 以是无限的。例如，到售票处购票的顾客总数 可以认为是无限的，而某个工厂因故障待修的 机床则是有限的。
M—表示到达过程为泊松过程或负指数分布； D—表示定长输入； Ek—表示k阶爱尔朗分布； G—表示一般相互独立的随机分布。
B—表示服务时间分布，所用符号与表示顾客到 达间隔时间分布相同。
M—表示服务过程为泊松过程或负指数分布； D—表示定长分布； Ek —表示k阶爱尔朗分布； G—表示一般相互独立的随机分布。
9
(2)等待制。这是指当顾客来到系统 时，所有服务台都不空，顾客加入排队 行列等待服务。例如，排队等待售票， 故障设备等待维修等。等待制中，服务 台在选择顾客进行服务时，常有如下四 种规则： ①先到先服务。按顾客到达的先后 顺序对顾客进行服务，这是最普遍的情 形。 ②后到先服务。仓库中迭放的钢材， 后迭放上去的都先被领走，就属于这种 情况。
21
1.队长和排队长（队列长） 队长是指系统中的平均顾客数(排队等待 的顾客数与正在接受服务的顾客数之和)， 排队长是指系统中正在排队等待服务的 平均顾客数。
队长和排队长一般都是随机变量。希望能 确定它们的分布，或至少能确定它们的平均值 (即平均队长和平均排队长)及有关的矩(如方差 等)。队长的分布是顾客和服务员都关心的，特 别是对系统设计人员来说，如果能知道队长的 分布，就能确定队长超过某个数的概率，从而 确定合理的等待空间。
单服务台排队系统
(完整)排队论
5。
2 排队论排队是日常生活和工作中常见的现象,它由两个方面构成，一是要求得到服务的顾客，二是设法给予服务的服务人员或服务机构（统称为服务员或服务台）,顾客与服务台就构成一个排队系统，或称为随机服务系统。
如图5。
5所示。
图5.5 排队系统结构5.2.1 排队论概述1. 排队论研究的基本问题随机性是排队系统的共同特性，顾客的到达间隔时间与顾客所需的服务时间中,至少有一个具有随机性.排队论研究的首要问题是系统的主要数量指标（如：系统的队长（系统中的顾客数）、顾客的等待时间和逗留时间等）的概率特性，然后进一步研究系统优化问题。
与这两个问题相关联的还有系统的统计推断问题。
1) 性态问题（即数量指标的研究）研究排队系统的性态问题就是通过研究系统的主要数量指标的瞬时性质或统计平衡下的性态来研究排队系统的基本特征.2) 最优化问题排队系统的最优化问题涉及排队系统的设计、控制以及系统有效性的度量，包括系统的最优设计（静态最优）和已有系统的最优运行控制(动态最优），前者是在服务系统设置之前,对未来运行的情况有所估计，确定系统的参数，使设计人员有所依据；后者是对已有的排队系统寻求最优运行策略。
其内容很多，有最小费用问题，服务率的控制问题等。
3) 统计推断问题排队系统的统计推断是通过对正在运行的排队系统多次观测、搜集数据，用数理统计的方法对得到的资料进行加工处理，推断所观测的排队系统的概率规律,建立适当的排队模型。
2. 排队系统的基本组成及特征实际中的排队系统是各种各样的，但从决定排队系统进程的因素看，它由3个基本部分组成：输入过程、排队规则和服务机构。
由于输入过程、排队规则和服务机构的复杂多样性,可以形成各种各样的排队模型，因此在研究一个排队系统之前，有必要弄清楚这3部分的具体内容和结构。
1） 输入过程输入过程是说明顾客来源及顾客是按怎样的规律到达系统.它包括3方面内容:①顾客总体（顾客源）数：它可能是有限的，也可能是无限的。
管理运筹学课件第11章 排队论
11.1.2 排队系统的三个特征
3．服务机构 从机构形式和工作情况来看有以下几种： （1）服务机构可以没有服务员，也可以有一个或多个服务员 （服务台、窗口）。如超市的货架可以没有服务员，但交款时可 能有多个服务员。 （2）多个服务台的情况中，可以是平行排列的（并联），也可 以是前后排列的（串联），也可以是混合的。 （3）服务方式可以对单个顾客进行，也可成批进行。我们只讨 S1 S1 论单个服务情况。 S S2 S2 （4）服务时间可分为确定型的和随机型的。如旅客列车对乘客 S3 S3 的服务是按列车时刻表进行位移服务的，是确定型的；因患者病 (a)单台单队 (b)多队多台并联 (c)单队多台并联 情不同，医生诊断的时间不是确定的，是随机型的。 S1 S4 （5）服务时间的分布总假定是平稳的，即分布的期望值、方差 S1 S2 S2 等参数不受时间的影响。
第11章 排队论
教学目标与要求
【教学目标】 1．理解下列基本概念：排队系统构成、特征、分类、主要性能指标及相互关系 2．掌握以下三种排队系统主要性能指标的计算：M/M/C/∞/∞；M/M/C/N/∞； M/M/C/∞/m。 3．了解M/G/1、M/D/1的主要指标计算公式 【知识结构】
基本概念 系统、特征、分类、指标、输入输出
2013-8-9
Ls Ws , 或Ws Ls
Lq Wq ,
Ws Wq 1
Ls Lq
Ls nPn
n 0
管理运筹学课件 n s 1
Lq
(n s ) P
n
12
11.1.5 排队系统的输入和输出
2013-8-9
模型的优化（目的） 管理运筹学课件
运筹学 排队论
S个服务台，一个队列的排队系统
排队系统类型：
服务台1
顾客到达 服务完成后离开
服务台2 服务台s
服务完成后离开
服务完成后离开
S个服务台， S个队列的排队系统
排队系统类型：顾客到达来自服务台1服务台s
离开
多服务台串联排队系统
排队系统类型：
聚 （输入）
服务机构
散 （输出）
随机聚散服务系统
随机性——顾客到达情况与顾客 接受服务的时间是随机的。 一般来说，排队论所研究的排队 系统中，顾客相继到达时间间隔 和服务时间这两个量中至少有一 个是随机的，因此，排队论又称 随机服务理论。
列车在系统中的平均停留时间
W=L/= 2/2=1（小时）
系统中等待编组的列车平均数
Lq=L-= 2-2/3=4/3（列） 列车在系统中的平均等待编组时间
Wq = Lq/ =(4/3)/(1/2)=2/3（小时）
记列车平均延误（由于站内2股道均 被占用而不能进站）时间为W0 则W0 = WP{N>2}=W{1-P0-P1-P2}
n：当系统处于状态n 时，整个系统的 平均服务率（单位时间内可以服务完 的平均顾客数）；
当n为常数时记为；当每个服 务台的平均服务率为常数时，记每个 服务台的服务率为，则当n s 时， 有n=s。因此，顾客相继到达的平 均时间间隔为1/ ，平均服务时间为 1/ ，令= / s，则为系统的服 务强度。
W=E(T) ：顾客在系统中的平均逗
留时间；
Tq：顾客在系统中的排队等待时间； Wq=E(Tq)：顾客在系统中的平均
排队等待时间。
排队论研究的基本问题：
通过研究主要数量指标在瞬时或平稳 状态下的概率分布及数字特征，了解 系统运行的基本特征。 统计推断问题：建立适当的排队模型 是排队论研究的第一步，建立模型过 程中，系统是否达到平稳状态的检验； 顾客相继到达时间间隔相互独立性的 检验，服务时间的分布及有关参数的 确定等。
排队论
叫做最简单流或泊松流。
♂
对泊松流，从数学上可以证明，在时间t，系统 内有n个顾客到达的概率服从泊松分布
※
排队论课件
15
服务系统的决策变量
P n(t)(n t!)net,t0,n0,1,2,
其数学期望 t ，均方差t 。
下面讨论当顾客流是泊松流时，两顾客相
继到达的时间间隔T的概率分布。
设T的分布函数为 FT(t)P{Tt}，这个概率
※
排队论课件
13
服务系统的决策变量
（1）在不相重叠的时间区间内，顾客到达的 数量是相互独立的。这称为流的无后效性。
（2）对充分小的时间间隔t ，在时间区间
[t而,t仅与t]区内间有长一度个成顾正客比到。达即的概率与时间t无关，
P 1 (t,t t)( t) o ( t)
式中，P1 表示系统中有一个顾客的概率， 表
※
排队论课件
5
服务系统的构成
在一个服务系统中的基本运行过程是这样 的：要求某种服务的顾客进入服务系统，当 发现服务员都忙着时，就自动排队等待。服 务员按某一规律选择队列中的顾客进行服 务。 服务完后，顾客离开服务系统（见图81）。
因此任何一个服务系统都由下面几部分组 ♂成：
※
排队论课件
6
服务系统的构成
排队论（Queueing Theory）
排队论课件
1
第一节 服务系统的基本概念
前言
服务系统的构成
服务系统的主要分类
服务系统的运行指标
服务系统的决策变量
服务系统模型的符号表示法
♂
※
排队论课件
2
前言
人们排队等待某种服务是一个很普遍的
现象。在商店、旅馆、食堂、医院、售票
排队论
（三）、建立排队模型步骤 1.确定表达排队问题各个变量并建立它们之间的相互 关系。 2.根据现有的数据，运用适当的统计检验，假设检验 有关分布。 3.应用已得到的概率分布，确定描述整个系统的运行 特征。 4.根据系统的特征，通过应用适当的决策模型，改进 系统的功能。 （四）、生灭过程的差分微分方程组 当顾客到达时间间隔为负指数分布(即输入过程具有 Poisson特征，N(t)服从Poisson分布)，服务时间为负 指数分布，则系统的排队过程是Markov(马尔科夫)过程， 而且它具有一类特殊Markov过程的特征，通常称这类随 机过程的生灭过程。
2 排队系统的特征 为了描述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成 (1)输入过程 顾客陆续来到的过程，设N(t):(0，t)时间内来到的顾客数(非负 整数值) {N (t ), t 0} 是随机过程，又设 Ti 第i个顾客到达的时间，从 j {Ti } 随机变量序列， i Ti Ti 1 时间间距(隔) N (t ) max{ j, i t} 而 i 1 一般假设顾客来到时间间隔 i 相互独立与随机变量 有相同的； 分布 可以根据原始资料，由顾客到达的规律、作出经验分布， 然后按照统计学的方法(如x 检验法)确定服从哪种理论分布，并 估计它的参数值。我们主要讨论 概率分布为负指数分布 M (另外有定长分布D， k阶爱尔兰分布 E k ，一般独立分布GI等)
n 1
(9.2) 若能求解这组方程，则可得到在时刻t系统状态概 率分布 { pn ( t ) , n s} 称为生灭过程的瞬时解，一 般这种瞬时解是难以求得的
3.统计平衡下的极限解 实际应用中，关心的是 t 时，方程的解称为生 灭过程微分差分方程组的极限解。 lim 令 t pn( t ) pn 由pn' ( t ) 0 及(9.1)(9.2)式得当S为有限状 态集时，(9.1)式变为 1 n k n 1 p n 1 ( n n ) p n n 1 p n 1 0 (9.3)
排队论
授 课 内 容 备注、更新第6章 排队论（1）排队是指因车辆数量超过服务设施的容量，致使车辆得不到及时服务而等候的现象。
（2）排队论则是研究排队现象及其规律性的理论。
（3）在交通工程中，排队论被广泛用于车辆延误、通行能力、信号灯配时以及停车场、收费亭、加油站等交通设施设计与管理等方面的研究中。
6.1 概述6.1.1排队系统基本组成1. 输入过程（1）定义：输入过程是指各种类型接受服务的车辆(或行人等)按怎样的规律到达（2）种类：①定长输入：车辆均匀到达，车头时距相同；②泊松输入：车辆到达符合泊松分布，车头时距服从负指数分布；③爱尔朗输入：车辆到达车头时距符合爱尔朗分布。
2. 排队规则（1）定义：排队规则是指到来的车辆按怎样的次序接受服务。
（2）分类：①等待制：车辆到达时，如若所有服务台均被占用，则该车辆便排队等候服务，称为等待制。
②损失制：车辆到达时，如若所有服务台均被占用，则该车辆不排队等候，称为损失制；③ 混合制：如果车辆到达时，若队长小于L，就加入排队队伍；若队长大于等于L，车辆就离去。
3.输出方式（1）定义：是指同一时刻有多少服务台可接纳车辆，每一车辆服务了多少时间。
（2）分类：①定长分布：每一车辆的服务时间都相等；②负指数分布：每一车辆的服务时间相互独立，且都服从相同的负指数分授 课 内 容备注、更新布；③ 爱尔朗分布：每一车辆的服务时间相互独立，具有相同的爱尔朗分布。
6.1.2 排队系统的主要特征指标① 服务率：它为单位时间内被服务的车辆均值。
② 交通强度：单位时间内被服务的车辆数与请求服务的车辆数之比。
③ 系统排队长度：可分为系统内的平均车辆数（Ls ）和排队等待服务平均车辆数（Lq ）。
常用于描述排队系统的服务水平。
④ 等待时间：从车辆到达时起到他开始接受服务时止这段时间。
⑤ 车辆在系统内的时间：等于车辆排队等待时间与接受服务时间之和。
6.1.3排队系统的分类记号（1）肯达尔（Kendall ）于1953年提出了排队系统的分类记号：输入分布/输出分布/并联的服务站数。
排队论
四.排队系统的分类及其表示方法
1. 排队系统的分类 2. 排队模型的表示方法
在排队论中通常都采用如下符号体系表示排队系统的类型。
a/b/c/d/e/f
输入 服务时 服务 服务 最大允 顾客 分布 间分布 台数 规则 许队长 源
以上符号体系只适用于 “单 队— 单服务台” 和 “单 队— 多服务 台(并列)” 的系统，无法表示串列服务台和混列服务台的系统。
则称它们之和τ = v1 + v2 + ···+ vk服从 k 阶爱尔朗分布。其密度函数为:
一个顾客的平均服务时间为: 当有 k 个串列服务台，各服务台的服务时间相互独立且服从相同的负指
数分布时，则系统为一个顾客的服务时间就服从 k 阶爱尔朗分布。当 k = 1 时，爱尔朗分布就是负指数分布。
三. 排队系统的主要特征
顾客 —— 排队系统中等待服务的对象。 如等候维修的故障设备、等候降落的飞机、等候装卸的货船、 等待运输的货物、等待加工的原料和产品等。 服务台 —— 排队系统中为顾客提供服务的设施。 如设备维修人员、机场跑道、装卸泊位、运输车辆、生产加工 设备等。
§l 排队论的基本概念及研究的问题
一.排队论中有两个基本概念:
平均顾客数之比。也即服务台的利用率。
(4). 顾客损失率—— 由于服务设备不足而造成顾客流失的比率。
五. 排队系统的指标计算
2.常用记号 n — 系统中的顾客数，也称系统状态； Pn( t ) — 在 ( 0, t ] 内到达 n 个顾客的概率；
或在时间 t 恰好有 n 个顾客的概率(过渡状态)； Pn — 系统中恰好有 n 个顾客的概率(稳定状态)； λ — 顾客的到达率(单位时间内的平均到达数)；
1. 输入过程 2. 服务时间 τ 的分布
排队论
,
Var[T ]
1
, 2
1
16
负指数分布的性质： （ 1 ）无记忆性（或称马尔 柯夫性）。若T表示排队系统中顾客到 达的时间间隔， 则该性质说明一个顾客 到来所需的时间与过去 一个顾客到来所需时间 无关；这 种情形下顾客的到达是 纯随机的。 （2）当输入过程是泊松流 时，顾客相继到达的时 间间隔T必定服从负指数分布。 因此，相继到达的时间 间隔是独立且为同负指 数分布（密度函数为 e t , t 0）， 与输入过程为泊松流（ 参数为）是等价的。故在 Kendall记号中都用M表示。
( t ) n t Pn (t ) e n! t 0, n 0,1,2,
Pn (t )表示长为t的时间区间内到达 n个顾客的概率，并称随 机变量 N (t )服从泊松分布，其数学 期望和方差分别为 E[ N (t )] t Var[ N (t )] t
期望值和方差相等，是 泊松分布的一个重要特 征，可以由此对一个 经验分布是否是泊松分 布进行初步的识别。
13
泊松流的定义： 设N (t )为在时间区间 [0, t )内到达的顾客数 (t 0)，Pn (t1 , t 2 )为在时间区间 [t1 , t 2 )内有n（n 0） 个顾客到达的概率，即 Pn (t1 , t 2 ) P{N (t 2 ) N (t1 ) n} (t1 t 2 , n 0)
利用随机过程的知识可 以得出，在统计平衡状 态下，系统的状态为 n的概率为 P0 1 n Pn (1 ) , n 1 其中，
1
（否则队列将排至无限 1 远） , 其实际意义见下页。
t Leabharlann （statistica l equilibrium state ）的解。
排队论论述
1971年，一次关于排队论符号标准化会议， 将kendall符号扩充为：
X /Y /Z / A/B/C
前三项意义不变， A处填写系统容量限制， B处填写顾客源数目， C处填写服务规则
表示相继到达间隔时间和服务时间 的各种分布的符号：
M：负指数分布，（M 是 Markov 的字头，因为负指数分布具有 无记忆性，即：Markov 性） D：确定型（Deterministic）
13
2. 排队规则
③随机服务（RAND） 。即当服务台空闲时， 不按照排队序列而随意指定某个顾客去接受 服务，如电话交换台接通呼叫电话就是一例。
④优先权服务（PR）。如老人、儿童先进车站； 危重病员先就诊；遇到重要数据需要处理计 算机立即中断其他数据的处理等，均属于此 种服务规则。
14
2. 排队规则
在[t,t+Δt]内有一个顾客到达的概率与t无关,而 与Δt成正比。
30
λ>0 是常数，它表示单位时间到达的顾客数，称 为概率强度。
③ 普通性：对充分小的Δt,在时间区间（t,t+Δt） 内有2个或2个以上顾客到达的概率是一高P0+阶P1无+P穷≥2=小1 .
即 Pn (t, t t) o(t) n2
12
2. 排队规则
(2)等待制。指当顾客来到系统时，所有服务台 都不空，顾客加入排队行列等待服务。
例如，排队等待售票，故障设备等待维修等。 等待制中，服务台在选择顾客进行服务时，常有 如下四种规则：
①先到先服务（FCFS ）。按顾客到达的先后顺 序对顾客进行服务，这是最普遍的情形。
②后到先服务（LCFS）。仓库中迭放的钢材， 后迭放上去的都先被领走，就属于这种情况。
数学期望:(离散) E(ξ)=
排队论
第9章 排队论排队论是我们每个人都很熟悉的现象。
因为人或物或是信息为了得到某种服务必须排队。
有一类排队是有形的，例如在售票处等待买票的排队，加油站前汽车等待加油的排队等；还有一类排队是无形的，例如电话交换机接到的电话呼叫信号的排队，等待计算机中心处理机处理的信息的排队等。
为了叙述的方便，排队者无论是人、物、或信息，以后统称为“顾客”。
服务者无论是人，或事物，例如一台电子计算机也可以是排队系统中的服务者，我们以后统称为“服务员”。
排队现象是我们不希望出现的现象，因为人的排队意味着至少是浪费时间；物的排队则说明了物资的积压。
但是排队现象却无法完全消失，这是一种随即现象。
由于顾客到达间隔时间的随机性和为顾客服务时间的随机性是排队现象产生的原因。
如果上述的两个时间是固定的，我们就可以通过妥善安排来完全消除排队现象。
排队论是研究排队系统在不同的条件下（最主要的是顾客到达的随机规律和服务时间的随机规律）产生的排队现象的随机规律性。
也就是要建立反映这种随机性的数学模型。
研究的最终目的是为了运用这些规律，对实际的排队系统的设计与运行做出最优的决策。
排队论中的数学模型是根据概率和随机过程的理论建立起来的，我们先来讨论泊松过程和生灭过程，然后,再此基础上研究排队系统的结构及其主要的数学模型，最后研究排队系统的优化问题。
9.1泊松过程和生灭过程9.1.1 泊松过程如果用表示在[0时间内顾客到达的总数，则对于每个给定的时刻，都是一个随机变量。
随即变量族()N t ,]t t ()N t {(称作是一个随机过程。
)[0,]}N t t T ∈若对，有12n n t t t t +<<<"1111122(()(),(),,()n n n P N N N N t i t i t i t ++==="n i =11(()())n n n P N N t i t ++==n i = (9-1)则称随即过程{(为马尔柯夫过程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
11. 排队论11.1基本概念排队现象是指到达服务机构的顾客数量超过服务机构提供服务的容量,也就是说顾客不能够立即得到服务而产生的等待现象。
顾客可以是人,也可以是物,比如说,在银行营业部办理存取款的储户,在汽车修理厂等待修理的车辆,在流水线上等待下一到工序加工的半成品,机场厂上空等待降落的飞机,以及等待服务器处理的网页等,都被认为是顾客。
服务机构可以是个人,像理发员和美容师,也可以是若干人,像医院的手术小组。
服务机构也还可以是包装糖果的机器,机场的跑道,十字路口的红绿灯,以及提供网页查询的服务器等等。
因为顾客到达,服务时间具有不确定性,排队系统又称随机服务系统,它的基本结构如图11所示:1.11图1.11给出了一些现实排队系统的例子。
表1.表11.1: 排队系统应用商业服务理发店,银行柜台,机场办理登机手续的柜台,快餐店的点餐柜台运输行业城市道路的红绿灯,等待降落或起飞的飞机,出租车制造业待修理的机器,待加工的材料,生产流水线社会服务法庭,医疗机构11.1.1排队系统的特征为了描述一个排队系统,我们需要说明输入(到达)和输出(服务)过程,及其他基本特征。
表11列举了一些排队系统的到达和服务过程。
2.表11.2: 排队系统举例)1(到达过程通常,我们假设顾客的相继到达间隔时间是相互独立并且都具有相同概率分布。
在许多(Poisson流,或指数分布。
顾客源可能是有限实际情况中,顾客的相继到达间隔是服从泊松)的,也可能是无限的。
顾客到来方式可能是一个接一个的,也可能是批量的。
比如,到达机场海关的旅行团就是成批顾客。
一般来说,我们假设到达过程不受排队系统中顾客数量的影响。
以银行为例,无论银行内有3位顾客还是300位顾客,顾客来到银行的到达过程是不会受到影响的。
但是在两种情况下到达过程与排队系统中的顾客数量相关。
第一种情况发生在顾客源是有限的系统,比如某工厂共有五台机床,若在维修部中已有两台机床,接下来到达维修部的最大量是三台。
另一种情况是当顾客到达排队系统时,如果服务机构的设施都被占用,顾客可能耐心等待,也可能选择离开。
比如,当一家航空公司的电话订票中心出现排队时,如果顾客等待时间太长,他就可能挂断电话。
顾客就会选择另外一家航空公司。
)2(服务过程为了描述排队系统的服务过程,我们需要确定服务时间的概率分布。
在大多数情况下,服务时间是独立于排队系统中的顾客数量,即服务机构不会因为顾客数量增多而加快服务进度。
不同服务机构提供的服务时间之间是相互独立,并都服从同一种概率分布,而且也独立于顾客相继到达间隔时间。
服务时间一般分为确定型的和随机型的。
在大多数情形下,服务时间的是随机型的,排队论主要研究随机型的服务时间。
对于随机型的服务时间,我们必须知道它的概率分布,通常假定是指数分布。
从服务队列的安排上来说,我们将重点研究以下几种形式。
从队列的数目来看,可以是单11说明了一个服列,也可以是多列。
服务机构在提供服务时,可以有一个或多个服务台。
图2.务台的排队系统:顾客到达流顾客队列服务台11图2.在有多个服务台的情形中,它们可以是并列,可以是串列,也可以是混合排列,最典型的是以下二种排队方式:顾客到达流顾客队列服务台11图3.顾客队列 服务台图4.11图3.11表示在排队系统中存在多个队列,且服务机构提供多个服务台的排队模型,而图4.11则表示排队系统中存在单队列,且服务机构提供多个服务台的排队模型。
在日常生活中,这两种排队方式都是常见的。
)3(排队规则服务机构确定的排队规则是排队系统中的一项重要条件,服务机构为顾客提供服务的规则可以采用下列几种规则,即:先到先服务)(FCFS ,后到先服务)(LCFS ,随机服务)(SIRO,和具有优先权的服务)(NPRP .---- 先到先服务,顾客按到达排队系统的顺序接受服务,这是最普遍情况。
--- 后到先服务,卡车的卸货和乘用电梯的顾客都是后进入排队系统先接受服务的。
--- 随机服务,服务机构从等待的顾客中随机地选取其一进行服务。
--- 有优先权的服务,航空公司的金卡旅客有优先登机权。
我们将区分有限和无限等待空间。
随着顾客数目的增加,排队系统的等待空间将被占满。
例如在数据通信网络中,交换机每次只能传输有限量的数据,如果数据流是无穷大,就会导致系统阻塞现象。
如果不断有顾客到达排队系统,服务机构必须连续提供服务。
所以排队系统的服务强度反应了服务机构的繁忙程度。
11.1.2 到达和服务过程的分布我们首先讨论排队系统到达过程的概率分布。
设i t 为第i 个顾客到达排队系统的时间.对于1≥i ,定义i i i t t T -=+1为第1+i 个顾客与第i 个顾客的到达时间间隔。
图5.11说明了到达间隔i T 和到达时间i t 的关系.比如,4591=-=T ,及79162=-=T .为了推导顾客到达过程的概率模型,我们假设到达间隔i T 之间是相互独立,对应于连续随机变A .如果A 的密度函数为)(t a ,那么对于足够小的t ∆,概率)(t t A t P ∆+≤≤近似于)(t ta ∆.∙ ∙ ∙51=t 92=t 163=t图5.11我们定义λ1为到达间隔的平均值,则有:⎰∞=0)(1dt t ta λ)1.11(如果时间是按分钟度量的,λ1就是每次到达的平均间隔分钟。
而λ则表示单位时间内的到达率,即在1分钟内的顾客的到达数。
在排队论的应用中,一个重要方面是选择到达过程的概率分布。
而最常用的概率分布是指数分布。
具有参数为λ的指数分布的密度函数为：⎩⎨⎧<≥=-0)(t t e t a tλλ )2.11( 那么到达间隔T 服从指数分布。
它的分布函数是：⎩⎨⎧<≥-=-01)(t t e t F tλ )3.11( 我们可以证明到达间隔T 的期望值,方差,和标准差分别为：λ1][=T E ，21][λ=T Var ，λσ1][=T )4.11(指数分布具有”无记忆性”.对于任意的0,0>>y x ,有:)()()()|()(y T P e ee x T P y x T P x T y x T P y x y x >===>+>=>+>--+-λλλ比如,3=y ,对于3=x ,2=x ,和1=xλ3)1|4()2|5()3|6(-=>>=>>=>>e T T P T T P T T P指数分布具的无记忆性说明了如果我们希望预测下一位顾客到达时间的概率分布,那么,它是与上一位到达时间无关。
如果相继到达间隔服从指数分布,发生在任何一段时间内的到达数服从泊松分布。
离散随机变量N 服从参数为λ的泊松分布是指对于,...2,1,0=n ,有:λλ-==e n n N P n !)()( ,....2,1,0=n )5.11(设)(t N 表示在时间区间),[t T T +内的到达数)0(>t ，那么,随机变量)()()(t N t s N t N -+=服从下述泊松分布:tn e n t n t N P λλ-==!)())(( ,....2,1,0=n )6.11(随机变量)(t N 的均值和方差分别为：t t N E λ=)]([；t t N Var λ=)]([ )7.11(式)7.11(表明泊松分布的一个重要特征是期望值等于方差。
我们可利用Excel 来计算指数分布和泊松分布的概率。
设具有参数λ指数分布的随机变量,利用Excel 的EXPONDIST 函数,有:),,(TRUE LAMBDA x EXPONDIST =返回随机变量小于等于x 的概率; ),,(TRUE LAMBDA x EXPONDIST =返回随机变量密度函数值比如,到达间隔服从均值为5的指数分布。
那么2.0=λ,),2.0,10(TRUE EXPONDIST=给出到达间隔小于等于10分钟的概率为8646647.0。
函数),2.0,10(FALSE EXPONDIST=给出10=x 和2.0=λ的指数密度函数的高度等于0726345.0,参见表3.11。
设泊松分布的随机变量的均值为M ,利用Excel 的POISSON 函数,有下述表达式:),,(TRUE M x POISSON =返回随机变量的均值M 小于等于x 的概率 ),,(FALSE M x POISSON =返回随机变量的均值M 等于x 的概率比如,如果顾客平均到达率为30/每小时,并服从泊松分布,那么函数),30,30(TRUE POISSON =给出在一小时内到达排队系统的顾客小于等于30的概率为5483515.0。
函数),30,30(FALSE POISSON =给出在一小时内到达排队系统的顾客正好等于30的概率为0270671.0,参见表3.11。
表11.3: 指数和泊松分布接下来,我们再讨论排队系统的服务过程的概率模型。
我们假设不同顾客的服务时间是相互独立的随即变量。
设每位顾客服务时间随即变量为S ,密度函数为)(t s ,设μ1为每位顾客的平均服务时间,那么⎰∞+=0)(1dt t ts μ)8.11(变量μ1表示每为顾客的平均服务时间,所以μ每小时服务的顾客数。
这样,我们也称μ为服务率。
比如说,2=μ意味着排队系统每小时可服务2位顾客每位顾客的平均服务时间为21小时。
如果我们能够用指数分布来描述服务时间的随机性,我们就能直接确定顾客的剩余服务时间,而不需要知道顾客在排队系统中已经接受服务的时间。
如果服务时间服从指数分布,它的密度函数为t e t s μμ-=)(,每位顾客的平均服务时间为μ1。
11.1.3排队系统的分类根据排队系统的基本特征,Kendall )1951(对排队系统设计出一个简便分类方法。
任何一类排队系统都可用下述标记来表示F E D C B A ///// )9.11(第一个字符A 表示到达过程的基本特性--M 到达时间间隔相互独立,服从指数分布 --D 到达时间间隔相互独立,确定型--G 到达时间间隔相互独立,服从一般概率分布第二个字符B 说明服务过程的基本特性--M 服务时间相互独立,服从指数分布 --D 服务时间间隔相互独立,确定型--G 服务时间间隔相互独立,服从一般概率分布第三个字符C 表示排队系统中的服务台数。
第四个字符D 代表排队规则:--FCFS 先到先服务 --LCFS 后到先服务 --SIRO 随机服务 --GD 其他排队规则第五个字符E 说明排队系统的最大容量,即排队系统能够接受顾客的最大值(排队顾客加接收服务的顾客)。
第六个字符F 说明了顾客源的总体大小。
那么,∞∞///1//FCFS M M 表示到达时间间隔服从指数分布,服务时间服从指数分布,单服务台,先到先服务,无限容量和无限顾客源的排队模型。