三角函数的图像,性质及应用(一)
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质在数学中，三角函数是一种基本的函数类型，其中的很多图像和性质对理解数学十分重要。
它们有助于理解各种模型的表示和应用，增强数学思维的能力和加深数学知识。
本文就三角函数的图像与性质做一些简单的介绍。
I、三角函数图像1、正弦曲线：正弦曲线是由参数从0到2π（2π是将一个周期跨越两次）形成的空间曲线。
它是圆的切线，有一定的规律性，并且把圆分为一个完整的一个周期，表现的曲线是一个“s”字形，形成有节奏的变化形式。
2、余弦曲线：余弦曲线是一条由参数从0到2π（2π是将一个周期跨越两次）形成的空间曲线，它也是圆的切线，有一定的规律性，但是它把圆分为两个半周期，比较起来更加缓和，表现的曲线是一个“v”字形，形成有节奏的变化形式。
3、正切曲线：正切曲线可以由参数0到π（π是将一个周期跨越一次）形成的曲线。
它也是一个椭圆的切线，有一定的规律性，把椭圆分为一完整周期，表现的曲线是一个“z”字形，形成有节奏的变化形式。
II、三角函数的性质1、周期性：三角函数的周期性就是说其值的变化是有如左图5000式的一个循环周期，在实际应用中可以利用该性质进行参数估计。
2、增减性：三角函数具有明显的增减性，具体表现为当参数逐渐增加时，函数值会自动增大，而当参数逐渐减小时，函数值则会自动减小。
3、几何性：三角函数有一个令人惊讶的性质，即在几何上其值就等于一定参数的弧度，而且参数的变化也不会影响该弧度。
4、极限性：参数π/2处的正切函数的值无穷大，表示非常接近的范围内函数的变化是接近无穷大的，而参数为0处的余弦函数为1，表示函数在某一点的取值趋势没有了变化，变成一个规定值。
总结来说，三角函数可以说是数学之中一个基本的概念，其图形和性质极其重要，可以帮助我们更深入的理解数学，增进数学的应用能力，因此，值得我们认真好好的学习。
三角函数的图像和性质知识点及例题讲解
三角函数的图像和性质一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (,0) (23π,-1) (2,0)余弦函数y=cosx x [0,2]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (,-1) (23π,0) (2,1)二、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值 当22x k ππ=+时，max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-．当2x k π=时，max 1y =；当2x k ππ=+时，min1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数．对称性 对称中心(),0k π 对称轴2x k ππ=+对称中心,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称轴x k π=对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴函 数 性 质例作以下函数的简图(1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π]例利用正弦函数和余弦函数的图象，求知足以下条件的x 的集合：21sin )1(≥x 21cos )2(≤x3、周期函数概念：关于函数()y f x =，若是存在一个非零常数T ，使适当x 取概念域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做那个函数的周期。
注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一样称为周期） 正弦函数、余弦函数：ωπ=2T 。
三角函数的图象与性质 (共44张PPT)
(
)
3 3 A.－2，2 3 3 3 3 C. － ， 2 2
解析： 当 故
π π 1 π π 5π x∈0，2 时， 2x－ ∈－ 6， 6 ， sin2x－6 ∈－2，1， 6
上是减函数 － π ， 0 C．在[0，π]上是增函数，在
)
π π π π D．在2，π和－π，－2上是增函数，在－2，2 上是减函数
3．(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最大值与最小值 的和是 A．－2 3 C．－ 2
4．求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤4 的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， . 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ . 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
sin 2x＞0， 解析：由 2 9－x ≥0，
π kπ＜x＜kπ＋ ，k∈Z， 2 得 －3≤x≤3.
π π ∴－3≤x＜－ 或 0＜x＜ . 2 2 ∴函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x
2
π π 的定义域为－3，2 ∪0，2 .
2
π 1－ 5 x通法]
1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借 助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。
在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。
下面将对这些内容进行总结。
一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。
2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。
3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。
二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。
2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。
3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的重要概念，它们的图像和性质对于初中数学学习者来说是必须掌握的内容。
在本文中，我将详细介绍三角函数的图像与性质，并给出一些例子和说明，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这些知识。
一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像是一条连续的曲线，呈现出周期性变化。
正弦函数的性质包括：1. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在每个2π的区间内，正弦函数的图像重复出现。
2. 幅度：正弦函数的幅度表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。
幅度越大，波峰和波谷的差值越大。
3. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = -f(-x)。
4. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(x) = -f(x)。
举例说明：假设有一条正弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。
在区间[0, 2π]内，正弦函数的图像先从0逐渐上升到1，然后下降到0，再下降到-1，最后又上升到0。
这样的周期性变化会一直重复下去。
根据正弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是奇函数。
二、余弦函数的图像与性质余弦函数也是一种常见的三角函数，它的图像和正弦函数有些相似，但也有一些不同之处。
余弦函数的性质包括：1. 周期性：余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。
2. 幅度：余弦函数的幅度也表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。
与正弦函数不同的是，余弦函数的幅度表示波峰和波谷的绝对值最大差值。
3. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = f(-x)。
4. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即f(x) = f(x)。
举例说明：假设有一条余弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。
在区间[0, 2π]内，余弦函数的图像先从1逐渐下降到0，然后下降到-1，再上升到0，最后又上升到1。
这样的周期性变化会一直重复下去。
根据余弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是偶函数。
三、正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一种重要函数，它的图像与正弦函数和余弦函数有很大的不同。
三角函数的定义、图像和性质
极值点：函数 在其周期内取 得最大值和最 小值的点，即 最值点的横坐 标
0 4
诱导公式
三角函数的诱导 公式是三角函数 性质的重要组成 部分，它可以帮 助我们简化复杂 的三角函数计算。
添加标题
诱导公式包括正 弦、余弦和正切 的诱导公式，它 们可以通过三角 函数的周期性和 对称性推导出来。
添加标题
奇偶性
奇函数：满足f(-x)=-f(x) 的函数
偶函数：满足f(-x)=f(x) 的函数
奇偶性的判断方法：根据 定义来判断
奇偶性在三角函数中的应 用：判断函数的图像对称
性
最值和零点
最大值和最小 值：三角函数 在其周期内可 以达到的最大 和最小值
0 1
零点：函数值 为零的点，即 解方程的根
0 2
周期性：三角 函数图像呈现 周期性变化， 每个周期内存 在一个最大值 和一个最小值
利用诱导公式， 我们可以将任意 角的三角函数转 化为锐角或0到 360度之间的角的 三角函数，从而
简化计算。
添加标题
诱导公式在三角 函数的图像和性 质中有着广泛的 应用，可以帮助 我们更好地理解 三角函数的性质
和图像。
添加标题
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汇报人：XX
三角函数的定义、 图像和性质
汇报人：XX
目录
01 三 角 函 数 的 定 义 02 三 角 函 数 的 图 像 03 三 角 函 数 的 性 质
01
三角函数的定义
正弦函数
定义：正弦函数是三角函数的一种，定义为y=sinx，x∈R。 图像：正弦函数的图像是一个周期函数，形状类似于波浪。 性质：正弦函数具有一些重要的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。
三角函数的图象、性质及应用(高中数学知识点讲解)
(5)不能认为y=tan
x在定义域上为增函数,应在区间
kπ-
π 2
,kπ
+
π 2
(k∈Z)内
为增函数.
知能拓展
考法一 关于三角函数图象的问题
例1 (1)(2018广东茂名化州二模,9)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<
φ<π)的部分图象如图所示,且f(α)=1,α∈
求φ及ω,从而
得到f(x)的解析式,由f(α)=1求α,进而得cos
2α
+
5π 6
.
A = 5,
(2)①根据已知表格中的数据可得方程组
π 3
ω
+
φ
=
π 2
,
解之可得函数f(x)的
5π 6
ω
+
φ
=
3π 2
,
解析式,进而可补全表格.
②由①并结合函数图象平移可得,g(x)=5sin
2
x
+
2θ -
π 3
-2x
实质上是y=tan
x与y=
π 3
-2x的复合,应
按复合函数单调性求解.
方法总结 三角函数的单调性问题的常见类型及解题策略
1.已知三角函数解析式求单调区间
(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式进行化简,并注意复合
函数单调性规律“同增异减”.
(2)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx
2π ω
=4×
7π 12
-
π 3
=π,得ω=2,故f(x)=3sin(2x+φ),将
数学公式知识：三角函数的图像及其性质
数学公式知识：三角函数的图像及其性质三角函数是数学中的重要内容，有着广泛的应用。
在几何、物理、工程等领域中都有着重要作用。
在三角函数中，正弦函数、余弦函数、正切函数等图像及其性质是比较基础且重要的内容。
本文将介绍三角函数的图像及其性质，帮助读者更好地理解和掌握三角函数的知识。
一、正弦函数的图像及其性质正弦函数的函数式为：y=sin(x)，其中x表示自变量的取值，范围为实数；y表示正弦函数对应的因变量。
正弦函数的图像是一条典型的正弦曲线。
其图像的周期为2π。
正弦函数的图像在坐标轴上为(0,0)处，且在x轴的取值为kπ（k为整数）时，函数值为0，即sin(kπ)=0。
正弦函数的图像在x轴上的最大正值和最小负值分别为1和-1，即sin(±π/2)=±1。
正弦函数在π/2+nπ（n为整数）时，取得最大值1；在-π/2+nπ（n为整数）时，取得最小值-1。
当自变量x增加2π时，正弦函数的函数值也将再次取得最大值1或最小值-1，即满足周期性。
正弦函数为奇函数，即sin(-x)=-sin(x)，即正弦函数的图像呈现关于y轴对称的性质。
二、余弦函数的图像及其性质余弦函数的函数式为：y=cos(x)，其中x表示自变量的取值，范围为实数；y表示余弦函数对应的因变量。
余弦函数的图像是一条典型的余弦曲线。
其图像的周期为2π。
余弦函数的图像在坐标轴上为(0,1)（0度），且在x轴的取值为kπ（k 为整数）时，函数值为1，即cos(kπ)=1。
余弦函数的图像在x轴上的最大正值和最小负值都为0，即cos(±π/2)=0。
余弦函数在nπ（n为整数）时，取得最小值-1；在π+nπ（n为整数）时，取得最大值1。
当自变量x增加2π时，余弦函数的函数值也将再次取得最大值1或最小值-1，即满足周期性。
余弦函数为偶函数，即cos(-x)=cos(x)，即余弦函数的图像呈现关于y轴对称的性质。
三角函数的图像性质及应用
三角函数的图像性质及应用三角函数是数学中的重要概念之一，主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的图像性质及应用广泛存在于物理、工程、计算机图形学等领域，下面将对其进行详细介绍。
首先介绍正弦函数的图像性质及应用。
正弦函数的图像是一条连续、周期为2π的曲线，其形状为振荡在y轴上下的波浪线。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1，中心线为y=0，对称轴为中心线。
在一单位周期内，正弦函数从最小值经过中心线到最大值，再回到中心线。
正弦函数的周期性质与弧度相关，其周期公式为T=2π，其中T为周期。
正弦函数的应用非常广泛，比如在物理学中可以用来描述波动的运动状态，如光波、声波等。
在工程学中，正弦函数可以用来描述交流电的变化规律，同时在信号处理中也有重要作用。
接着介绍余弦函数的图像性质及应用。
余弦函数的图像也是一条连续、周期为2π的曲线，与正弦函数非常相似，但其图像在y轴向左移动了π/2。
余弦函数的最大值为1，最小值为-1，中心线为y=0，对称轴为中心线。
在一单位周期内，余弦函数从最大值经过中心线到最小值，再回到中心线。
余弦函数与正弦函数的周期、相位存在关系，其中余弦函数的相位比正弦函数的相位延迟π/2。
余弦函数的应用也非常广泛，在物理学中可以用来描述振动的运动状态，如弹簧振子、机械波等。
在工程学中，余弦函数可以用来描述交流电的变化规律，同时在图像处理中也常常用到。
最后介绍正切函数的图像性质及应用。
正切函数的图像是一条周期为π的曲线，其形状具有对称性，在每个周期内从负无穷大变到正无穷大，同时具有垂直渐近线和周期渐近线。
正切函数的应用主要体现在三角解析中，可以用于求解各种三角方程以及解决各种与角度有关的问题，如航空飞行、旗杆倾斜、测高仪等。
除了上述的图像性质和应用之外，三角函数还与解析几何、微积分等数学分支紧密相关。
在解析几何中，三角函数可以用来描述平面和空间中点的位置关系、角的大小以及各种几何形状的性质。
在微积分中，三角函数是常见的函数类型，与指数、对数函数一样，具有重要的微分和积分性质，经常被用于求导、积分、级数展开等。
三角函数的图像和性质
三角函数的图像和性质三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将重点讨论三角函数的图像和性质，并通过具体的例子来说明。
一、正弦函数的图像和性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像可以用来描述周期性变化的现象。
正弦函数的图像是一条连续的曲线，它在[-π/2, π/2]区间内单调递增，在[π/2, 3π/2]区间内单调递减。
在整个定义域[-∞, ∞]上，正弦函数的值域为[-1, 1]，且具有奇对称性。
例如，我们考虑正弦函数y = sin(x)在[0, 2π]上的图像。
根据正弦函数的性质，当x=0时，y=0；当x=π/2时，y=1；当x=π时，y=0；当x=3π/2时，y=-1；当x=2π时，y=0。
连接这些点，我们可以得到正弦函数在[0, 2π]上的图像，即一条上下波动的连续曲线。
二、余弦函数的图像和性质余弦函数是另一个基本的三角函数，它也可以用来描述周期性变化的现象。
与正弦函数相比，余弦函数的图像在水平方向上发生了平移，它在[0, 2π]区间内单调递减，在[-π/2, π/2]和[3π/2, 5π/2]区间内单调递增。
在整个定义域[-∞, ∞]上，余弦函数的值域为[-1, 1]，且具有偶对称性。
以余弦函数y = cos(x)在[0, 2π]上的图像为例，当x=0时，y=1；当x=π/2时，y=0；当x=π时，y=-1；当x=3π/2时，y=0；当x=2π时，y=1。
连接这些点，我们可以得到余弦函数在[0, 2π]上的图像，即一条波动的连续曲线。
三、正切函数的图像和性质正切函数是三角函数中的另一个重要概念，它描述了斜率的变化。
正切函数的图像具有周期性，其周期为π。
正切函数在定义域的每个周期内，都有无穷多个渐近线，即x=π/2+kπ，其中k为整数。
正切函数的值域为(-∞, ∞)。
以正切函数y = tan(x)在[-π/2, π/2]上的图像为例，当x=-π/4时，y=-1；当x=0时，y=0；当x=π/4时，y=1。
三角函数的图像与性质详解
三角函数的图像与性质详解在数学领域中，三角函数是一组常见且重要的函数。
它们不仅具有许多实际应用，同时也有着丰富的图像特性和数学性质。
本文将详细介绍三角函数的图像和性质，以帮助读者更好地理解和应用这些函数。
一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，用符号sin表示。
正弦函数的图像是一个连续的波形，具有以下性质：1. 周期性：正弦函数的图像在一个周期内重复。
正弦函数的周期由2π决定。
2. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = -f(-x)。
3. 范围：正弦函数的值在[-1, 1]的范围内变化。
二、余弦函数的图像与性质余弦函数是另一个常见的三角函数，用符号cos表示。
余弦函数的图像也是一个连续的波形，具有以下性质：1. 周期性：余弦函数的图像也在一个周期内重复。
余弦函数的周期同样由2π决定。
2. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = f(-x)。
3. 范围：余弦函数的值同样在[-1, 1]的范围内变化。
三、正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一个重要成员，用符号tan表示。
正切函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正切函数的图像在每个π的倍数处出现垂直渐近线。
因此，正切函数没有固定的周期。
2. 对称性：正切函数的图像关于原点对称，即f(x) = -f(-x)。
3. 范围：正切函数在定义域内可以取任何实数值。
四、其他三角函数除了正弦、余弦和正切函数之外，还有许多与三角函数相关的函数，例如反正弦、反余弦和反正切函数。
这些函数的图像和性质相对复杂，超出了本文的范围。
感兴趣的读者可以进一步学习和了解这些函数的性质。
综上所述，三角函数是数学中常见而重要的函数。
它们的图像和性质有助于我们理解和应用这些函数。
通过研究三角函数的性质，我们可以更好地解决与周期性和周期性相关的问题，例如波动、震动和周期性运动。
希望本文的内容能够对读者在学习和应用三角函数时有所帮助。
三角函数的图象、性质及应用(试题部分)
§5.3三角函数的图象、性质及应用根底篇固本夯基【根底集训】考点一三角函数的图象及其变换1.将函数y=sin(x+π6)图象上所有的点向左平移π4个单位长度,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),那么所得图象的解析式为()A.y=sin(2x+5π12) B.y=sin(x2+5π12)C.y=sin(x2-π12) D.y=sin(x2+5π24)答案B2.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0)在区间[-π6,5π6]上的图象,为了得到这个图象,只需将g(x)=Acos ωx的图象()A.向右平移π6个单位长度 B.向右平移π12个单位长度C.向右平移π8个单位长度 D.向左平移π6个单位长度答案B3.将函数f(x)=2sin(4x-π3)的图象向左平移π6个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g(x)的图象,那么以下关于函数y=g(x)的说法错误的选项是()A.最小正周期为πB.图象关于直线x=π12对称C.图象关于点(π12,0)对称 D.初相为π3答案C4.将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ<0)的图象向左平移π3个单位长度,得到偶函数g(x)的图象,那么φ的最大值是.答案-π6考点二三角函数的性质及其应用5.函数f(x)=(sin x+cos x)sin x,那么以下说法不正确的为()A.函数f(x)的最小正周期为πB.f(x)在[3π8,7π8]上单调递减C.f(x)的图象关于直线x=-π8对称D.将f(x)的图象向右平移π8个单位长度,再向下平移12个单位长度后会得到一个奇函数的图象答案D6.假设f(x)为偶函数,且在(0,π2)上满足:对任意x1<x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,那么f(x)可以为()A. f(x)=cos(x+5π2) B. f(x)=|sin(π+x)| C. f(x)=-tan x D. f(x)=1-2cos22x答案B7.点P(32,-3√32)是函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0)图象上的一个最低点,M,N是与点P相邻的两个最高点,假设∠MPN=60°,那么该函数的最小正周期是()A.3B.4C.5D.6答案D8.向量a=(cos x,0),b=(0,√3sin x),记函数f(x)=(a+b)2+√3sin 2x.(1)求函数f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合;(2)求函数f(x)的单调递增区间.解析(1)f(x)=(a+b)2+√3sin 2x=1+2sin2x+√3sin 2x=√3sin 2x-cos 2x+2=2sin(2x-π6)+2.当且仅当2x-π6=-π2+2kπ(k∈Z),即x=-π6+kπ(k∈Z)时, f(x)min=0,此时x的取值集合为{x|x=-π6+kπ,k∈Z}.(2)由-π2+2kπ≤2x-π6≤π2+2kπ(k∈Z),得-π6+kπ≤x≤π3+kπ(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间为[-π6+kπ,π3+kπ](k∈Z).综合篇知能转换【综合集训】考法一关于三角函数图象的问题1.(2021课标Ⅱ,3,5分)函数y=Asin(ωx+φ)的局部图象如下列图,那么()A.y=2sin(2x-π6) B.y=2sin(2x-π3)C.y=2sin(x+π6) D.y=2sin(x+π3)答案A2.(2021河北衡水中学3月全国大联考,9)将曲线C1:y=2cos(2x-π6)上的点向右平移π6个单位长度,再将各点横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,得到曲线C2,那么C2的方程为()A.y=2sin 4xB.y=2sin(4x-π3)C.y=2sin xD.y=2sin(x-π3)答案A3.(2021届黑龙江哈师大附中9月月考,7)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如下列图,为了得到g(x)=sin 3x的图象,只需将f(x)的图象()A.向右平移π4个单位长度 B.向左平移π4个单位长度C.向右平移π12个单位长度 D.向左平移π12个单位长度答案C4.(2021广东肇庆二模,14)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的局部图象如下列图,那么f(-π3)的值是.答案-√62考法二三角函数的单调性问题5.(2021河南郑州一模,8)函数f(x)=sin(ωx+θ)(ω>0,-π2≤θ≤π2)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2,假设将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到偶函数g(x)的图象,那么函数f(x)的一个单调递减区间为()A.[-π3,π6] B.[π4,7π12]C.[0,π3] D.[π2,5π6]答案B6.(2021广东省际名校联考(二),15)将函数f(x)=1-2√3·cos2x-(sin x-cos x)2的图象向左平移π3个单位,得到函数y=g(x)的图象,假设x∈[-π2,π2],那么函数g(x)的单调递增区间是.答案[-5π12,π12]7.(2021届吉林白城通榆一中第一次月考,20)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象与直线y=2两相邻交点之间的距离为π,且图象关于直线x=π3对称.(1)求y=f(x)的解析式;(2)先将函数f(x)的图象向左平移π6个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数g(x)的图象.求g(x)的单调递增区间以及g(x)≥√3的x的取值范围.解析(1)由可得T=π,∴2πω=π,∴ω=2,又f(x)的图象关于直线x=π3对称,∴2×π3+φ=kπ+π2,k∈Z,∴φ=kπ-π6,k∈Z,∵|φ|<π2,∴φ=-π6.∴f(x)=2sin(2x-π6).(2)由(1)可得f(x)=2sin(2x-π6),∴g(x)=2sin(x+π6),由2kπ-π2≤x+π6≤2kπ+π2,k∈Z得2kπ-2π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z,∴g(x)的单调递增区间为[2kπ-2π3,2kπ+π3],k∈Z.∵2sin(x+π6)≥√3,∴sin(x+π6)≥√32,∴2kπ+π3≤x+π6≤2kπ+2π3,k∈Z,∴2kπ+π6≤x≤2kπ+π2,k∈Z,∴g(x)≥√3的x的取值范围为{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+π2,k∈Z}.考法三三角函数的奇偶性、周期性、对称性的有关问题8.(2021届湖南长沙一中第一次月考,9)将函数f(x)=2sin(2x-π6)-1的图象向左平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象,那么以下说法正确的选项是()A.函数g(x)的最小正周期是π2B.函数g(x)的图象关于直线x=-π12对称C.函数g(x)在(π6,π2)上单调递减D.函数g(x)在(0,π6)上的最大值是1 答案C9.(2021河南六市第一次联考,5)函数f(x)=2sinωx+π6(ω>0)的图象与函数g(x)=cos(2x+φ)(|φ|<π2)的图象的对称中心完全相同,那么φ为()A.π6B.-π6C.π3D.-π3答案D10.(2021届四川绵阳南山中学9月月考,18)函数f(x)=cos2ωx+√3sin ωxcosωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求f(23π)的值;(2)求函数f(x)的单调区间及其图象的对称轴方程.解析(1)f(x)=cos2ωx+√3sin ωxcosωx=1+cos2ωx2+√32sin 2ωx=12cos 2ωx+√32sin 2ωx+12=sin(2ωx+π6)+12.∵f(x)的最小正周期为π,ω>0,∴2π2ω=π,∴ω=1.∴f(x)=sin(2x+π6)+12.∴f(23π)=sin(4π3+π6)+12=sin 3π2+12=-1+12=-12.(2)因为y=sin x的单调增区间为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k∈Z,单调减区间为[π2+2kπ,3π2+2kπ],k∈Z,所以由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z,得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z.由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z,得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z.∴f(x)的单调增区间为[-π3+kπ,π6+kπ],k∈Z,单调减区间为[π6+kπ,2π3+kπ],k∈Z.∵y=sin x图象的对称轴为x=kπ+π2,k∈Z,∴2x+π6=π2+kπ,k∈Z.∴f(x)图象的对称轴方程为x=π6+kπ2,k∈Z.考法四三角函数的最值11.(2021山西3月质检,7)将函数f(x)=sin x的图象向右平移π4个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,那么函数y=f(x)·g(x)的最大值为()A.2+√24B.2-√24C.1D.12答案 A12.(2021湖北武昌调研,8)函数y=cos 2x+2sin x 的最大值为( ) A.34B.1C.32D.2 答案 C【五年高考】考点一 三角函数的图象及其变换1.(2021课标Ⅰ,9,5分)曲线C 1:y=cos x,C 2:y=sin (2x +2π3),那么下面结论正确的选项是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2 B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2 C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2 D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2 答案 D2.(2021天津,6,5分)将函数y=sin (2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数( ) A.在区间[3π4,5π4]上单调递增 B.在区间[3π4,π]上单调递减 C.在区间[5π4,3π2]上单调递增 D.在区间[3π2,2π]上单调递减 答案 A3.(2021北京,7,5分)将函数y=sin (2x -π3)图象上的点P (π4,t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.假设P'位于函数y=sin 2x 的图象上,那么( )A.t=12,s 的最小值为π6B.t=√32,s 的最小值为π6C.t=12,s 的最小值为π3D.t=√32,s 的最小值为π3答案 A4.(2021课标Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-√3cos x 的图象可由函数y=sin x+√3cos x 的图象至少向右平移 个单位长度得到. 答案23π 5.(2021江苏,9,5分)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x 的图象与y=cos x 的图象的交点个数是 . 答案 7考点二 三角函数的性质及其应用6.(2021山东,7,5分)函数f(x)=(√3sin x+cos x)(√3cos x-sin x)的最小正周期是()A.π2B.π C.3π2D.2π答案B7.(2021课标Ⅱ,9,5分)以下函数中,以π2为周期且在区间(π4,π2)单调递增的是()A. f(x)=|cos 2x|B. f(x)=|sin 2x|C. f(x)=cos|x|D. f(x)=sin|x|答案A8.(2021课标Ⅲ,12,5分)设函数f(x)=sin(ωx+π5)(ω>0),f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点.下述四个结论:①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点③f(x)在(0,π10)单调递增④ω的取值范围是[125,29 10)其中所有正确结论的编号是()A.①④B.②③C.①②③D.①③④答案D9.(2021课标Ⅰ,11,5分)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:① f(x)是偶函数② f(x)在区间(π2,π)单调递增③ f(x)在[-π,π]有4个零点④ f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A.①②④B.②④C.①④D.①③答案C10.(2021课标Ⅱ,10,5分)假设f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,那么a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D.π答案A11.(2021课标Ⅱ,7,5分)假设将函数y=2sin 2x的图象向左平移π12个单位长度,那么平移后图象的对称轴为()A.x=kπ2-π6(k∈Z) B.x=kπ2+π6(k∈Z)C.x=kπ2-π12(k∈Z) D.x=kπ2+π12(k∈Z)答案B12.(2021课标Ⅰ,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的局部图象如下列图,那么f(x)的单调递减区间为()A.(kπ-14,kπ+34),k ∈ZB.(2π-14,2kπ+34),k ∈Z C.(k -14,k +34),k ∈Z D.(2k -14,2k +34),k ∈Z 答案 D13.(2021课标Ⅰ,12,5分)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2),x=-π4为f(x)的零点,x=π4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(π18,5π36)单调,那么ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5 答案 B14.(2021天津,7,5分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).假设g(x)的最小正周期为2π,且g (π4)=√2,那么f (3π8)=( ) A.-2 B.-√2 C.√2 D.2 答案 C15.(2021上海,15,5分)ω∈R ,函数f(x)=(x-6)2·sin(ωx),存在常数a ∈R ,使得f(x+a)为偶函数,那么ω的值可能为( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π5答案 C16.(2021天津,7,5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R ,其中ω>0,|φ|<π.假设f (5π8)=2, f (11π8)=0,且f(x)的最小正周期大于2π,那么( )A.ω=23,φ=π12B.ω=23,φ=-11π12 C.ω=13,φ=-11π24D.ω=13,φ=7π24答案 A17.(2021课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin 2x+√3cos x-34(x ∈[0,π2])的最大值是 .答案 118.(2021北京,9,5分)函数f(x)=sin 22x 的最小正周期是 . 答案 π219.(2021北京,11,5分)设函数f(x)=cos (ωx -π6)(ω>0).假设f(x)≤f (π4)对任意的实数x 都成立,那么ω的最小值为 . 答案2320.(2021浙江,18,14分)设函数f(x)=sin x,x ∈R . (1)θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值; (2)求函数y=[f (x +π12)]2+[f (x +π4)]2的值域.解析 此题主要考查三角函数及其恒等变换等根底知识,同时考查运算求解能力.考查的数学素养是逻辑推理及数学运算,考查了化归与转化思想.(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x 都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,故2sin xcos θ=0,所以cos θ=0.又θ∈[0,2π),因此θ=π2或3π2.(2)y=[f(x+π12)]2+[f(x+π4)]2=sin2(x+π12)+sin2(x+π4)=1-cos(2x+π6)2+1-cos(2x+π2)2=1-12(√32cos2x-32sin2x)=1-√32cos(2x+π3).因此,函数的值域是[1-√32,1+√32].思路分析(1)根据偶函数的定义,知f(-x+θ)=f(x+θ)恒成立,利用三角恒等变换,得出cos θ=0,从而求出θ的值.(2)将函数解析式化简为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,利用三角函数的性质求值域.21.(2021浙江,18,14分)函数f(x)=sin2x-cos2x-2√3sin xcos x(x∈R).(1)求f(2π3)的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析此题主要考查三角函数的性质及其变换等根底知识,同时考查运算求解能力.(1)由sin2π3=√32,cos2π3=-12,得f(2π3)=(√32)2-(-12)2-2√3×√32×(-12)=2.(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-√3sin 2x=-2sin(2x+π6).所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z,解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是[π6+kπ,2π3+kπ](k∈Z).教师专用题组考点一三角函数的图象及其变换1.(2021四川,3,5分)为了得到函数y=sin(2x-π3)的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点()A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度答案D2.(2021湖南,9,5分)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g(x)的图象.假设对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=π3,那么φ=()A.5π12B.π3C.π4D.π6答案D3.(2021安徽,11,5分)假设将函数f(x)=sin(2x+π4)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,那么φ的最小正值是.答案3π8考点二三角函数的性质及其应用4.(2021浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,那么f(x)的最小正周期()A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关答案B5.(2021陕西,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案C6.(2021安徽,10,5分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=2π3时,函数f(x)取得最小值,那么以下结论正确的选项是()A. f(2)< f(-2)< f(0)B. f(0)< f(2)< f(-2)C. f(-2)< f(0)< f(2)D. f(2)< f(0)< f(-2)答案A7.(2021浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是,单调递减区间是.答案π;[38π+kπ,78π+kπ](k∈Z)8.(2021江苏,16,14分)向量a=(cos x,sin x),b=(3,-√3),x∈[0,π].(1)假设a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-√3),a∥b,所以-√3cos x=3sin x.假设cos x=0,那么sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.于是tan x=-√33.又x∈[0,π],所以x=5π6.(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-√3)=3cos x-√3sin x=2√3cos(x+π6).因为x ∈[0,π],所以x+π6∈[π6,7π6], 从而-1≤cos (x +π6)≤√32.于是,当x+π6=π6,即x=0时, f(x)取到最大值3; 当x+π6=π,即x=5π6时, f(x)取到最小值-2√3.9.(2021北京,15,13分)函数f(x)=√2sin x 2cos x 2-√2sin 2x2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值. 解析 (1)因为f(x)=√22sin x-√22(1-cos x)=sin (x +π4)-√22,所以f(x)的最小正周期为2π. (2)因为-π≤x ≤0,所以-3π4≤x+π4≤π4. 当x+π4=-π2,即x=-3π4时, f(x)取得最小值. 所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f (-3π4)=-1-√22. 10.(2021天津,15,13分)函数f(x)=sin 2x-sin 2(x -π6),x ∈R . (1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π3,π4]上的最大值和最小值. 解析 (1)由,有f(x)=1-cos2x 2-1-cos (2x -π3)2=12(12cos2x+√32sin2x)-12cos 2x=√34sin 2x-14cos 2x=12sin (2x -π6).所以, f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)因为f(x)在区间[-π3,-π6]上是减函数,在区间[-π6,π4]上是增函数, f (-π3)=-14, f (-π6)=-12, f (π4)=√34,所以, f(x)在区间[-π3,π4]上的最大值为√34,最小值为-12.11.(2021山东,16,12分)设f(x)=sin xcos x-cos 2(x +π4).(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.假设f (A2)=0,a=1,求△ABC 面积的最大值. 解析 (1)由题意知f(x)=sin2x 2-1+cos (2x+π2)2=sin2x 2-1-sin2x 2=sin 2x-12.由-π2+2kπ≤2x ≤π2+2kπ,k∈Z ,可得-π4+kπ≤x ≤π4+kπ,k∈Z ; 由π2+2kπ≤2x ≤3π2+2kπ,k∈Z ,可得π4+kπ≤x ≤3π4+kπ,k∈Z . 所以f(x)的单调递增区间是[-π4+kπ,π4+kπ](k ∈Z ); 单调递减区间是[π4+kπ,3π4+kπ](k ∈Z ). (2)由f (A 2)=sin A-12=0,得sin A=12, 由题意知A 为锐角,所以cos A=√32.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A,可得1+√3bc=b 2+c 2≥2bc,即bc ≤2+√3,且当b=c 时等号成立.因此12bcsin A ≤2+√34. 所以△ABC 面积的最大值为2+√34. 评析 此题考查三角恒等变换,三角函数的图象与性质,以及解三角形等根底知识和根本方法,对运算能力有较高要求.属中等难度题.12.(2021重庆,18,13分)函数f(x)=sin π2-x ·sin x-√3cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值; (2)讨论f(x)在[π6,2π3]上的单调性. 解析 (1)f(x)=sin (π2-x)sin x-√3cos 2x =cos xsin x-√32(1+cos 2x)=12sin 2x-√32cos 2x-√32=sin (2x -π3)-√32,因此f(x)的最小正周期为π,最大值为2-√32. (2)当x ∈[π6,2π3]时,0≤2x-π3≤π,从而当0≤2x-π3≤π2,即π6≤x ≤5π12时, f(x)单调递增,当π2≤2x-π3≤π,即5π12≤x ≤2π3时, f(x)单调递减. 综上可知, f(x)在[π6,5π12]上单调递增,在[5π12,2π3]上单调递减. 【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共45分)1.(2021届四川绵阳南山中学,5)要得到函数y=sin 2x+√3cos 2x(x ∈R )的图象,可将y=2sin 2x 的图象向左平移( ) A.π6个单位 B.π3个单位C.π4个单位 D.π12个单位答案A2.(2021届吉林白城通榆一中第一次月考,8)假设函数f(x)=cos 2ωx(ω>0)在区间[0,π3]上为减函数,在区间[π3,π2]上为增函数,那么ω=()A.3B.2C.32D.23答案C3.(2021届黑龙江大庆一中第一次月考,10)假设函数f(x)=sin(2x+φ)+b对任意实数x,都有f(x+π3)=f(-x), f(2π3)=-1,那么实数b的值为()A.-2或0B.0或1C.±1D.±2答案A4.(2021届黑龙江哈师大附中9月月考,11)函数f(x)=asin x-√3cos x图象的一条对称轴为直线x=5π6,且f(x1)·f(x2)=-4,那么|x1+x2|的最小值为()A.-π3B.0 C.π3D.2π3答案D5.(2021届宁夏银川一中第一次月考,6)函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π6个单位后关于y轴对称,那么函数f(x)在[0,π2]上的最小值为()A.-√32B.-12C.12D.√32答案B6.(2021届广西桂林十八中第一次月考,8)将函数y=sin(2x-π6)的图象向左平移π4个单位,所得函数图象的一条对称轴方程为()A.x=π3B.x=π6C.x=π12D.x=-π12答案C7.(2021届四川邻水实验学校第一次月考,5)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的局部图象如下列图,将函数f(x)的图象向左平移π6个单位,得到函数g(x)的图象,那么当x∈[0,π]时,不等式g(x)<1的解集为()A.[0,π4] B.[7π12,π]C.[0,π4)∪(7π12,π] D.(π4,7π12)答案C8.(2021届吉林白城通榆一中第一次月考,5)将函数y=sin (x -π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移π3个单位,得到的图象对应的解析式是( ) A.y=sin 12x B.y=sin (12x -π2) C.y=sin (12x -π6) D.y=sin (2x -π6) 答案 C9.(2021届河南中原名校第二次质量考评)函数f(x)=sin (2x -π3),假设方程f(x)=13在(0,π)的根为x 1,x 2(x 1<x 2),那么sin(x 1-x 2)=( ) A.-2√23B.-√32C.-12D.-13答案 A二、多项选择题(每题5分,共15分)10.(改编题)函数f(x)=12cos x ·sin (x +π3),那么以下结论中错误的选项是( ) A. f(x)既是奇函数又是周期函数 B. f(x)的图象关于直线x=π12对称 C. f(x)的最大值为1D. f(x)在区间[0,π4]上单调递减 答案 ACD11.(改编题)以下选项正确的选项是( ) A.存在实数x,使sin x+cos x=π3B.假设α,β是锐角△ABC 的内角,那么sin α>cos βC.函数y=sin (23x -7π2)是偶函数 D.函数y=sin 2x 的图象向右平移π4个单位,得到y=sin (2x +π4)的图象 答案 ABC12.(改编题)函数f(x)=sin xsin (x +π3)-14的定义域为[m,n](m<n),值域为[-12,14],那么n-m 的值不可能是( ) A.5π12B.7π12C.3π4D.11π12 答案 CD三、填空题(每题5分,共15分)13.(2021届四川绵阳南山中学月考,15)函数y=Msin(ωx+φ)(M>0,ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x=13对称.该函数的局部图象如下列图,AC=BC=√22,C=90°,那么f (12)的值为 .答案√3414.(2021届四川邻水实验学校第一次月考,15)将函数f(x)=cos x-√3sin x(x ∈R )的图象向左平移α(α>0)个单位长度后,所得到的图象关于原点对称,那么α的最小值是 . 答案π615.(2021届宁夏银川一中第一次月考,15)假设函数y=cos(x+φ)(-π≤φ≤π)的图象向左平移π3个单位后,与函数y=sin (x +π6)的图象重合,那么φ= . 答案 -2π3四、解答题(共45分)16.(2021届吉林白城通榆一中第一次月考,19)函数f(x)=Asin (ωx +π6)(A>0,ω>0)的局部图象如下列图. (1)求A,ω的值及f(x)的单调增区间; (2)求f(x)在区间[-π6,π4]上的最大值和最小值.解析 (1)由题图可得A=1,最小正周期T=2(2π3-π6)=π,∴ω=2πT=2. ∴f(x)=sin (2x +π6).由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z , 得-π3+kπ≤x ≤π6+kπ,k∈Z ,∴函数f(x)的单调递增区间为[-π3+kπ,π6+kπ],k ∈Z . (2)∵-π6≤x ≤π4,∴-π6≤2x+π6≤2π3,∴-12≤sin (2x +π6)≤1,∴函数f(x)在区间[-π6,π4]上的最大值为1,最小值为-12.17.(2021届宁夏银川一中第一次月考,17)函数f(x)=sin 2ωx+√3sin ωx·sin (ωx +π2)-1(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求ω的值;(2)当x ∈[-π12,π2]时,求函数f(x)的值域.解析 (1)f(x)=1-cos2ωx2+√3sin ωxcos ωx -1 =√32sin 2ωx -12cos 2ωx -12=sin (2ωx -π6)-12.由题意得函数f(x)的最小正周期为π, ∴2π2ω=π,解得ω=1,∴f(x)=sin (2x -π6). (2)∵x∈[-π12,π2],∴2x -π6∈[-π3,5π6],根据正弦函数的图象可得当2x-π6=π2,即x=π3时, f(x)=sin (2x -π6)取最大值1,当2x-π6=-π3,即x=-π12时, f(x)=sin (2x -π6)取最小值-√32,∴-12-√32≤sin (2x -π6)-12≤12,即当x ∈[-π12,π2]时,f(x)的值域为[-1+√32,12].18.(2021届黑龙江哈尔滨六中第一次调研,20)将函数y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移π6个单位长度后得到函数f(x)的图象. (1)写出函数f(x)的解析式; (2)假设对任意x ∈[-π6,π12], f 2(x)-mf(x)-1≤0恒成立,求实数m 的取值范围;(3)求实数a 和正整数n,使F(x)=f(x)-a 在[0,nπ]上恰有2 019个零点.解析 (1)把函数y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得y=sin 2x,再将所得的图象向左平移π6个单位得f(x)=sin (2x +π3)的图象, ∴f(x)=sin (2x +π3). (2)∵x∈[-π6,π12],∴2x+π3∈[0,π2]. ∴f(x)∈[0,1].令t=f(x),t ∈[0,1].那么g(t)=t 2-mt-1≤0恒成立,故有g(0)=-1≤0且g(1)=-m ≤0,∴m≥0.(3)∵F(x)=f(x)-a 在[0,nπ]上恰有2 019个零点,故f(x)的图象和直线y=a 在[0,nπ]上恰有2 019个交点. ①当a>1或a<-1时, f(x)的图象与直线y=a 在[0,nπ]上无交点.②当a=1或a=-1时, f(x)的图象与直线y=a 在[0,nπ]上恰有2 019个交点,那么n=2 019. ③当-1<a<√32或√32<a<1时, f(x)的图象和直线y=a 在[0,π]上恰有2个零点.∴f(x)的图象和直线y=a 在[0,nπ]上有偶数个交点,不会有2 019个交点. ④当a=√32时, f(x)的图象与直线y=a 在[0,π]上有3个交点.此时n=1 009才能使f(x)的图象和直线y=a 在[0,nπ]上有2 019个交点. 综上所述,当a=1或a=-1时,n=2 019,当a=√32时,n=1 009,符合题意.。
三角函数的图像和性质
三角函数的图像和性质三角函数是高中数学中的重要概念之一。
它包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在三角函数中，最基本的一个概念是函数的图像和性质，下面将就三角函数的图像和性质进行探讨。
一、正弦函数的图像和性质正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，它表示的是一个周期为2π，振幅为1的波动函数。
在坐标系中，正弦函数的图像是一条标准正弦曲线，左右对称，穿过原点，波形呈现峰值、谷值循环的过程。
正弦函数的性质包括：1. 周期性：正弦函数的周期为2π。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。
3. 对称性：正弦函数以y轴为中心对称。
二、余弦函数的图像和性质余弦函数也是三角函数中的一个重要函数，它表示的是一个周期为2π，振幅为1的波动函数。
与正弦函数不同的是，余弦函数的图像是一个横向平移的正弦曲线，左右对称，波形呈现峰值、谷值循环的过程。
余弦函数的性质包括：1. 周期性：余弦函数的周期为2π。
2. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
3. 对称性：余弦函数以x轴为中心对称。
三、正切函数的图像和性质正切函数是另一种常见的三角函数，它表示的是正弦函数与余弦函数之比。
正切函数的图像呈现周期性，但是与正弦函数、余弦函数不同的是，它有着不连续的特点。
在正切函数上，存在无数个极点，并没有定义值。
正切函数的性质包括：1. 周期性：正切函数的周期为π。
2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
3. 对称性：正切函数以原点为中心对称。
四、三角函数的应用三角函数不仅仅是一些抽象的数学概念，同时也涵盖着很多重要的应用。
例如在物理学中，三角函数常用于描述波动现象、声音、光线等的特性。
在力学中，三角函数被广泛地用于描述力的方向、角度等概念。
在设计、建造领域中，三角函数也被应用于各种形式的结构计算。
总结：以上是对三角函数的图像和性质及其在实际应用中的相关探讨。
通过对这些概念的深入了解和掌握，我们可以更好地理解数学、物理等学科中的基本概念和现象。
三角函数的图像与性质详解
三角函数的图像与性质详解三角函数是数学中重要的一个分支，它们在许多领域中都有广泛的应用。
本文将详细解析三角函数的图像与性质，帮助读者更好地理解和运用三角函数。
在介绍三角函数之前，我们首先需要了解什么是角度和弧度。
角度是常用的衡量角的单位，它用度（°）表示。
而弧度则是圆的弧与半径的比值，用弧度符号表示。
角度和弧度之间的相互转换可以通过下面的公式实现：弧度 = 角度× π / 180角度 = 弧度× 180 / π三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
它们的图像可以通过绘制对应的函数图像来表示。
下面我们一一来详细介绍这些三角函数的图像特点和性质。
一、正弦函数（sin）正弦函数是一个周期函数，它的周期是2π。
在一个周期内，正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间。
当自变量的取值增大时，正弦函数的图像呈现上升的趋势，而当自变量的取值减小时，正弦函数的图像呈现下降的趋势。
在角度单位下，正弦函数的最小正周期是360°，即相邻两个正弦函数图像重合的最小角度为360°。
二、余弦函数（cos）余弦函数也是一个周期函数，它的周期同样是2π。
在一个周期内，余弦函数的取值范围也在[-1, 1]之间。
与正弦函数相比，余弦函数的图像在横轴上与正弦函数的图像对称。
当自变量的取值增大时，余弦函数的图像呈现下降的趋势，而当自变量的取值减小时，余弦函数的图像呈现上升的趋势。
余弦函数的最小正周期同样也是360°。
三、正切函数（tan）正切函数的周期是π，因此在一个周期内，正切函数的取值范围是无穷的，即正切函数在某些点上没有定义。
正切函数图像在自变量取不同值的时候，会出现若干个奇点，这些奇点对应着正切函数图像的无穷大值和无穷小值。
正切函数的最小正周期是180°。
除了图像外，三角函数还具有以下重要性质：1. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足sin(-x) = -sin(x)；余弦函数和正切函数是偶函数，即满足cos(-x) = cos(x)和tan(-x) = tan(x)。
三角函数的图象与性质(解析版)
三角函数的图象与性质(解析版)三角函数的图象与性质(解析版)三角函数是数学中重要的函数之一，它们在解析几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将对三角函数的图象与性质进行解析，便于读者更好地理解与掌握三角函数的特点。
一、正弦函数的图象与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图象是一条连续的波浪线。
我们可以通过数学方法推导出正弦函数的周期性、奇偶性和对称性等性质。
1. 图象特点：正弦函数的图象是一条在坐标平面上连续波动的曲线。
它的振幅表示峰值与谷值之间的差距，周期则代表两个峰值或谷值之间的距离。
2. 周期性：正弦函数的一个周期内，曲线的形状相同，并且可以无限延伸。
周期为2π，即当x增加2π时，曲线的形状重复出现。
3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(x) = -f(-x)。
这意味着当自变量x取负值时，函数值会发生变号。
4. 对称性：正弦函数关于原点对称，即f(x) = -f(x + π)。
这意味着以原点为对称中心，曲线的左右两侧完全相同。
二、余弦函数的图象与性质余弦函数也是常见的三角函数之一，它的图象是一条连续的波浪线。
与正弦函数相似，余弦函数也有周期性、奇偶性和对称性等特点。
1. 图象特点：余弦函数的图象是一条波动的曲线，与正弦函数相比，它的最高点与最低点位置不同。
余弦函数的振幅表示波峰与波谷之间的差距，周期代表两个波峰或波谷之间的距离。
2. 周期性：余弦函数的周期也是2π，当自变量x增加2π时，曲线的形状重复出现。
3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即f(x) = f(-x)。
这意味着当自变量x取负值时，函数值保持不变。
4. 对称性：余弦函数关于y轴对称，即f(x) = f(π - x)。
这意味着以y轴为对称中心，曲线的左右两侧完全相同。
三、正切函数的图象与性质正切函数是三角函数中的另一个重要函数，它的图象是一条连续的波动曲线。
我们也可以通过数学方法推导出正切函数的周期性、奇偶性和对称性等性质。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等等。
它们在数学和物理学等领域中具有重要的应用和性质。
本文将讨论三角函数的图像与性质，并通过图像展示它们的特点。
一、正弦函数（sine function）正弦函数是最基本的三角函数之一，由于其周期性的特点，在图像上呈现出波浪形状。
在单位圆上，正弦函数的图像可以用来表示角度和弧度的关系。
正弦函数的图像可以通过以下步骤绘制出来：1. 将横轴分成一定的单位，例如每个单位代表30°或π/6。
2. 在每个单位上确定正弦函数的值，即纵坐标的位置。
3. 将所有的点依次连接起来，得到正弦函数的图像。
正弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正弦函数的一个周期是360°或2π。
在一个周期中，正弦函数的值从最小值到最大值再返回最小值。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，其图像关于原点对称。
即f(x) = -f(-x)。
3. 幅值：正弦函数的幅值为1，即图像的振幅为1。
4. 位置：正弦函数的图像在(x, f(x))的点上经过零点。
二、余弦函数（cosine function）余弦函数是另一个重要的三角函数，其图像也呈现出波浪形状，但与正弦函数有一定的相位差。
余弦函数在数学中的应用广泛，例如表示交流电信号的变化。
余弦函数的图像可以通过类似于正弦函数的步骤绘制出来。
余弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：余弦函数的一个周期也是360°或2π。
在一个周期中，余弦函数的值从最大值到最小值再返回最大值。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。
即f(x) = f(-x)。
3. 幅值：余弦函数的幅值也为1，即图像的振幅为1。
4. 位置：余弦函数的图像在(x, f(x))的点上经过最大值。
三、正切函数（tangent function）正切函数是三角函数中最特殊的一个，其图像呈现出一系列的尖峰和波谷。
正切函数在解决直角三角形问题时经常使用，也在物理学中广泛应用。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的重要概念，涉及到三角比例和角度，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
在本文中，我们将讨论三角函数的图像以及其性质。
一、正弦函数（sin）正弦函数是最基本的三角函数之一，用sin表示。
正弦函数的图像为一条连续不断的曲线，其横坐标表示角度（以弧度为单位），纵坐标表示正弦值。
正弦函数的周期是2π，即在区间[0, 2π]内，正弦函数的图像会完整地重复出现。
正弦函数的图像特点如下：1. 在0度（或0弧度）和180度（或π弧度）处，正弦函数的值为0；2. 在90度（或π/2弧度）处，正弦函数的值最大，为1；3. 在270度（或3π/2弧度）处，正弦函数的值最小，为-1；4. 在其他角度处，正弦函数的值位于-1和1之间，根据角度的大小而变化。
二、余弦函数（cos）余弦函数是另一个常见的三角函数，用cos表示。
余弦函数的图像也是一条连续曲线，其横坐标为角度，纵坐标为余弦值。
余弦函数的周期也是2π，即在区间[0, 2π]内，余弦函数的图像会一次完整地重复。
余弦函数的图像特点如下：1. 在0度（或0弧度）和360度（或2π弧度）处，余弦函数的值为1；2. 在180度（或π弧度）处，余弦函数的值最小，为-1；3. 在其他角度处，余弦函数的值位于-1和1之间，根据角度的大小而变化。
三、正切函数（tan）正切函数是三角函数中的第三个重要函数，用tan表示。
正切函数的图像也是一条光滑的曲线，以角度为横坐标，正切值为纵坐标。
正切函数的周期是π，即在区间[0, π]内，正切函数的图像会完整地重复。
正切函数的图像特点如下：1. 在0度（或0弧度）和180度（或π弧度）处，正切函数的值为0；2. 在90度（或π/2弧度）处，正切函数的值不存在，即为无穷大（正无穷或负无穷）；3. 在其他角度处，正切函数的值在正无穷和负无穷之间变化。
四、其他三角函数除了正弦、余弦和正切函数外，还有一些相关的三角函数，如余割函数（cosec）、正割函数（sec）和余切函数（cot）等。
认识三角函数的图像与性质
认识三角函数的图像与性质三角函数是数学中的重要概念，它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
了解三角函数的图像和性质对于学习和应用三角函数至关重要。
在本文中，我们将深入探讨三角函数的图像以及它们的性质。
1. 正弦函数的图像与性质正弦函数是三角函数中最常见的一种。
它的图像是由一条波浪线所组成的，波浪线在数学坐标系中依次上升、下降。
正弦函数的性质如下：（1）定义域：正弦函数的定义域是整个实数集。
（2）值域：正弦函数的值域介于-1和1之间，即-1 ≤ sin(x) ≤ 1。
（3）周期性：正弦函数的周期是2π，即sin(x+2π) = sin(x)。
2. 余弦函数的图像与性质余弦函数是另一种常见的三角函数。
它的图像也是由一条波浪线所组成的，但是与正弦函数的波形相位相差π/2，即余弦函数的图像是正弦函数的图像向右平移π/2个单位。
余弦函数的性质如下：（1）定义域：余弦函数的定义域是整个实数集。
（2）值域：余弦函数的值域介于-1和1之间，即-1 ≤ cos(x) ≤ 1。
（3）周期性：余弦函数的周期也是2π，即cos(x+2π) = cos(x)。
3. 正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一个重要概念。
它的图像由一条以原点为渐进线的曲线组成，曲线在每个周期内不断交替地在渐进线的正负两侧摆动。
正切函数的性质如下：（1）定义域：正切函数的定义域是除了所有使得tan(x)不存在的实数之外的整个实数集。
（2）值域：正切函数的值域是由负无穷到正无穷的所有实数。
（3）周期性：正切函数的周期是π，即tan(x+π) = tan(x)。
4. 反三角函数的图像与性质除了正弦、余弦和正切函数外，我们还可以通过反函数得到反三角函数。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数，它们的图像和性质如下：（1）反正弦函数：反正弦函数的图像是一条关于直线y = x对称的曲线，定义域是[-1,1]，值域是[-π/2, π/2]。
三角函数的图像和性质(说课案)
三角函数的图像和性质(第一课时说课案) 下面我将从四个方面说明本节课的教学设计。
一、教材分析二、教学方法分析三、教学流程四、教学说明一、教材分析1、地位与作用：本节课是在学生掌握了单位圆中的正弦线和诱导公式的基础上进行的，不仅是对前面所学知识应用的考察，也是后续学习正、余弦函数性质的基础。
对函数图像清晰而准确的掌握也为学生在解题实践中提供了有力的工具。
2、学情分析：（1）知识与技能：学生已掌握了一些初等基本函数的图像和性质，并了解一些函数图像的画法。
（2）心理与生理：高一上学期的学生已经对高中数学体系中函数问题的处理方法和过程有了初步认识，且具有了较强的分析、判断、理解能力和一定层次上的交流沟通能力。
3、教学目标（1）知识与技能目标：通过研究掌握正弦函数图像及其画法；掌握余弦函数图像；深刻理解五点作图法中五点（零点、最高点、最低点）的本质即：图像中走向趋势发生变化的点。
（2）过程与方法：通过主动思考，主动发现，亲历知识的形成过程，使对正弦函数单调、对称、“周而复始”等性质的认知更为深刻。
（3）情感态度与价值观：用联系的观点看待问题，善于类比联想，直观想象，对数形结合有进一步认识，激发学习数学的兴趣，养成良好的数学品质。
4、重、难点分析：（1）重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数在]2,0[π的图象、“五点法”作图；（2）难点：如何由正弦函数在]2,0[π上的图象得到正弦函数在R上的图象；如何在正弦函数的图像上找出“五点”。
二、教学方法教学方法：演示法、示范教学法、启发式引导、互动式讨论、反馈式评价。
学习方法：观察发现、合作交流、归纳总结、反馈模仿。
教学手段：运用多媒体网络教学平台，构建学生自主探究的教学环境。
三、教学流程1、复习、引入：复习内容有：描点作函数图像的一般步骤；弧度定义；正、余弦函数定义；正弦线、余弦线；诱导公式。
设置的目的是让学生再次回顾弧度的定义（强调弧度与实数一一对应的关系）与正弦线（实质是函数值），为利用正弦线作出正弦函数的图像做准备。