专题15 专项训练卷(五)随机事件的概率计算问题(原卷版)-高一数学下册新考向多视角同步训练

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人教版数学高一课时作业随机事件的概率

3.1.1随机事件的概率一、选择题(每小题5分，共20分)1.下列事件中，是随机事件的是( )A.长度为3，4，5的三条线段可以构成一个三角形B.长度为2，3，4的三条线段可以构成一个直角三角形C.方程x 2＋2x ＋3＝0有两个不相等的实根D.函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)在定义域上为增函数2.下列说法正确的是( )A.某事件发生的概率是P (A )＝1.1B.不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1C.小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的3.下列说法一定正确的是( )A.一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况B.一枚硬币掷一次得到正面的概率是12，那么掷两次一定会出现一次正面的情况 C.如买彩票中奖的概率是万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元D.随机事件发生的概率与试验次数无关4.下列说法中，正确的是( )①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n 次随机试验，事件A 发生m 次，则事件A 发生的频率m n就是事件A 的概率； ③频率是不能脱离n 次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.A.①②④B.①③④C.①②③D.②③④二、填空题(每小题5分，共15分)5.姚明在一个赛季中共罚球124个，其中投中107个，设投中为事件A ，则事件A 出现的频数为，事件A 出现的频率为Ｗ.6.给出下列四个命题：①集合{x||x|＜0}为空集是必然事件；②y＝f(x)是奇函数，则f(0)＝0是随机事件；③若log a(x－1)＞0，则x＞1是必然事件；④对顶角不相等是不可能事件.其中正确命题是Ｗ.7.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车，时间从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为Ｗ.三、解答题(每小题10分，共20分)8.从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次.(1)写出这个试验的所有结果；(2)设A为“取出两件产品中恰有一件次品”，写出事件A；(3)把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余不变，请你回答上述两个问题.9.假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率.参考答案1.【解析】A为必然事件，B、C为不可能事件.【答案】 D2.【解析】对于A ，事件发生的概率范围为，故A 错；对于C ，小概率事件有可能发生，大概率事件不一定发生，故C 错；对于D ，事件的概率是常数，不随试验次数的变化而变化，故D 错.【答案】 B3.【解析】因为随机事件发生的概率与试验次数无关，概率是事件发生的可能性，但并不能确定在一次试验中事件一定发生或不发生，所以应选D.【答案】 D4.【解析】由频率、概率的相关定义，知①、③和④正确，故选B.【答案】 B5.【解析】因共罚球124个，其中投中107个，所以事件A 出现的频数为107，事件A 出现的频率为107124. 【答案】 107 1071246.【解析】 ∵|x |≥0恒成立，∴①正确；奇函数y ＝f (x )只有当x ＝0有意义时才有f (0)＝0，∴②正确；由log a (x －1)＞0知，当a ＞1时，x －1＞1即x ＞2；当0＜a ＜1时，0＜x －1＜1，即1＜x ＜2，∴③正确，④正确.【答案】 ①②③④7.【解析】事件频率为60020 000＝0.03，故概率近似为0.03. 【答案】 0.038.解 (1)这个试验的所有可能结果Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，b )，(a 2，a 1)，(b ，a 1)，(b ，a 2)}.(2)A ＝{(a 1，b )，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)}.(3)①这个试验的所有可能结果Ω＝{(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)，(b ，b )}.②A ＝{(a 1，b )，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)}.9.解 (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所在在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝1529，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529.。

2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题-随机事件的概率及其计算(含答案)

随机事件的概率及其计算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.衡阳市在创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶.一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（）A. B. C. D.2.北京时间2021年10月16日0时23分，神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，受到国际舆论的高度关注．为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学生为国争光的荣誉感和责任感，某校决定举行以“传航天精神、铸飞天梦想”为主题的知识竞赛活动．现有A，B两队报名参加，A，B两队均由两名高一学生和两名高二学生组成．比赛共进行三轮，每轮比赛两队都随机挑选两名成员参加答题，若每位成员被选中的机会均等，则第三轮比赛中被两队选中的四位学生不全来自同一个年级的概率是A. B. C. D.3.梅森素数是指形如2 p－1的素数，其中p也是素数(质数)，如27－1＝127是梅森素数，211－1＝23×89不是梅森素数．长期以来，数学家们在寻找梅森素数的同时，不断提出一些关于梅森素数分布的猜测，1992年中国学者周海中提出一个关于梅森素数分布的猜想，并首次给出其分布的精确表达式，被数学界命名为“周氏猜测”．已知在不超过20的素数中随机抽取2个，则至少含有1个梅森素数的概率为（）A. B. C. D.4.甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天、乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（）A. B. C. D.5.下列命题中正确的是（）A. 事件A发生的概率P（A）等于事件A发生的频率f n（A）B. 一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点C. 掷两枚质地均匀的硬币，事件A为“第一枚正面朝上，第二枚反面朝上”，事件B为“两枚都是正面朝上”，则P（A）=2P（B）D. 对于两个事件A、B，若P（A∪B）=P（A）+P（B），则事件A与事件B互斥6.已知a∈{0，1，2}，b∈{-1，1，3，5}，则函数f（x）=ax2-2bx在区间（1，+∞）上为增函数的概率是( )A. B. C. D.7.袋子中有9个材质与大小都相同的小球,其中6个白球,3个红球.每次从袋子中随机摸出1个球且不放回,则两次都摸到白球的概率是( )A. B. C. D.8.从幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，，y＝x-1中任意选取2个函数，其中一个函数是奇函数、另一个函数是增函数的概率等于( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。

【高中数学】秒杀秘诀05随机事件的概率训练题

27.解：（Ⅰ）记没有人排队为事件 A，1 人排队为事件 B．2 人排队为事件 C，A、B、C 彼此互斥． P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=0.1+0.16+0.3=0.56；（Ⅱ）记至少 2 人排队为事件 D，少于 2 人排队为事件 A+B，那么事件 D 与 A+B 是对立事件，则 P（D）=P（）=1﹣（P（A）+P（B））=1﹣（0.1+0.16）=0.74． 28.解：记“三个元件 T1，T2，T3 正常工作”分别为事件 A1，A2，A3，则
26．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出 1 到 5 根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢 D、
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（1）若以 A 表示和为 6 的事件，求 P（A）；（2）现连玩三次，若以 B 表示甲至少赢一次的事件，C 表示乙至少赢两次的事件，试问 B 与 C 是否为互斥事件？为什么？（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由
5．若 P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件 A 与 B 的关系是（）
A．互斥不对立 B．对立不互斥 C．互斥且对立 D．以上都不对
6．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出 1 个球，摸出红球的概率是 0.42，摸出白球的
概率是 0.28，那么摸出黒球的概率是（）
A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7
16．； 17．0.74； 18．； 19．0.58； 20．； 21．；
22.解：（Ⅰ）所有可能的摸出的结果是：{A1，a1 }，{A1，a2 }，{A1，b1 }，{A1，b2 }，{A2，a1 }，{A2， a2 }，{A2，b1 }，{A2，b2 }，{B，a1 }，{B，a2 }，{B，b1 }，{B，b2}；（Ⅱ）不正确．理由如下：由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共 12 种，其中摸出的 2 个球都是红球的结果

[必刷题]2024高一数学下册概率论基础专项专题训练(含答案)

[必刷题]2024高一数学下册概率论基础专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 下列哪个事件是随机事件？（）A. 太阳从西边升起B. 抛掷一枚硬币，正面朝上C. 1+1=2D. 一个人的年龄不变2. 一个袋子里有5个红球，3个蓝球，2个绿球，从中随机取出一个球，取出红球的概率是多少？（）A. 5/10B. 3/10C. 2/10D. 1/103. 下列哪个概率模型是离散型概率模型？（）A. 正态分布B. 二项分布C. 均匀分布D. 指数分布4. 抛掷两枚质地均匀的骰子，求两个骰子点数之和为7的概率是多少？（）B. 1/12C. 1/18D. 1/365. 某班有男生30人，女生20人，随机选取一名学生，选到女生的概率是多少？（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/46. 从0到9这10个数字中随机选取一个数字，选到偶数的概率是多少？（）A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/57. 下列关于互斥事件的说法，正确的是？（）A. 互斥事件一定是对立事件B. 对立事件一定是互斥事件C. 互斥事件发生的概率之和为1D. 对立事件发生的概率之和为08. 若事件A的概率为0.3，事件B的概率为0.5，且A与B互斥，则P(A∪B)是多少？（）A. 0.3C. 0.8D. 0.29. 下列关于独立事件的说法，错误的是？（）A. 独立事件同时发生的概率等于各自发生的概率的乘积B. 独立事件不可能同时发生C. 独立事件中，一个事件的发生不影响另一个事件的发生D. 独立事件的概率乘积等于110. 从一副52张的扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红桃的概率是多少？（）A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/26二、判断题：1. 互斥事件是指两个事件不可能同时发生，但可以同时不发生。

（）2. 概率值介于0和1之间，包括0和1。

（）3. 事件A的概率为0，意味着事件A一定不会发生。

（）4. 在一次随机试验中，某事件发生的概率为1，则该事件必然发生。

2022-2021学年高一数学人教A版必修3学业分层测评15 随机事件的概率

学业分层测评(十五)随机大事的概率(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列大事中，是随机大事的是()A．长度为3，4，5的三条线段可以构成一个三角形B．长度为2，3，4的三条线段可以构成始终角三角形C．方程x2＋2x＋3＝0有两个不相等的实根D．函数y＝log a x(a＞0且a≠1)在定义域上为增函数【解析】A为必定大事，B，C为不行能大事．【答案】 D2．下列说法正确的是()A．任一大事的概率总在(0，1)内B．不行能大事的概率不肯定为0C．必定大事的概率肯定为1D．以上均不对【解析】任一大事的概率总在[0，1]内，不行能大事的概率为0，必定大事的概率为1.【答案】 C3．一个家庭中先后有两个小孩，则他(她)们的性别状况可能为()A．男女、男男、女女B．男女、女男C．男男、男女、女男、女女D．男男、女女【解析】用列举法知C正确．【答案】 C4．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并登记号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是()A．0.53B．0.5C．0.47 D．0.37【解析】取到号码为奇数的频率是10＋8＋6＋18＋11100＝0.53.【答案】 A5．给出下列三种说法：①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；②作7次抛硬币的试验，结果3次消灭正面，因此，消灭正面的概率是nm＝37；③随机大事发生的频率就是这个随机大事发生的概率．其中正确说法的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】由频率与概率之间的联系与区分知①②③均不正确．【答案】 A 二、填空题6．在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为大事A ，则大事A 消灭的频数为________，大事A 消灭的频率为________. 【导学号：28750049】【解析】 100次试验中有48次正面朝上，则52次反面朝上，则频率＝频数试验次数＝52100＝0.52.【答案】 52 0.527．已知随机大事A 发生的频率是0.02，大事A 消灭了10次，那么共进行了________次试验．【解析】设进行了n 次试验，则有10n ＝0.02，得n ＝500，故进行了500次试验．【答案】 5008．从100个同类产品中(其中有2个次品)任取3个．①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品．其中必定大事是________，不行能大事是________，随机大事是________．【解析】从100个产品(其中2个次品)中取3个可能结果是：“三个全是正品”，“两个正品，一个次品”，“一个正品，两个次品”．【答案】 ⑥ ④ ①②③⑤ 三、解答题9．(1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选2名代表学校参与一项活动，可能的选法有哪些？(2)试写出从集合A ＝{a ，b ，c ，d }中任取3个元素构成集合．【解】 (1)可能的选法为：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)．(2)可能的集合为{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，c ，d }，{b ，c ，d }． 10．一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：(1)计算男婴诞生的频率；(保留4位小数)(2)这一地区男婴诞生的频率是否稳定在一个常数上？【解】 (1)男婴诞生的频率依次是：0.520 0，0.517 3，0.517 3，0.517 3. (2)各个频率均稳定在常数0.517 3上． [力量提升]1．掷一枚硬币，反面对上的概率是12，若连续抛掷同一枚硬币10次，则有( ) A ．肯定有5次反面对上 B ．肯定有6次反面对上 C ．肯定有4次反面对上D ．可能有5次反面对上【解析】掷一枚硬币，“正面对上”和“反面对上”的概率为12，连掷10次，并不肯定有5次反面对上，可能有5次反面对上．【答案】 D2．总数为10万张的彩票，中奖率是11 000，对于下列说法正确的是()A．买1张肯定不中奖B．买1 000张肯定中奖C．买2 000张不肯定中奖D．买20 000张不中奖【解析】由题意，彩票中奖属于随机大事，∴买一张也可能中奖，买2 000张也不肯定中奖．【答案】 C3．一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前能首次摸出红球，则k的最小值为________．【解析】至少需摸完黑球和白球共15个．【答案】164．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10分．然后作了统计，下表是统计结果．贫困地区：发达地区：(1)利用计算器计算两地区参与测试的儿童中得60分以上的频率；(2)求两个地区参与测试的儿童得60分以上的概率；(3)分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别？【解】(1)贫困地区依次填：0.533，0.540，0.520，0．520，0.512，0.503.发达地区依次填：0.567，0.580，0.560，0.555，0.552，0.550.(2)贫困地区和发达地区参与测试的儿童得60分以上的频率渐渐趋于0.5和0.55，故概率分别为0.5和0.55.(3)经济上的贫困导致贫困地区生活水平落后，儿童的健康和发育会受到肯定的影响；另外经济落后也会使训练事业进展落后，导致智力消灭差别．。

高一数学随机事件的概率试题

高一数学随机事件的概率试题1.有6张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上（如右图），从中任意一张是数字3的概率是（）A．1/6B．1/3C．1/2D．2/3【答案】B【解析】本题考查了简单随机抽样，思路分析：每一张被抽中的概率均为，其中数字3的卡片有两张，所以，从中任意一张是数字3的概率是1/32.如图,一飞镖游戏板,其中每个小正方形的大小相等,则随意投掷一个飞镖,击中黑色区域的概率是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查了几何概率模型中，事件A发生的概率思路分析：黑色区域占飞镖游戏板的=，故随意投掷一个飞镖,击中黑色区域的概率是比较简单的几何概率模型3.一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．右图是这个立方体表面的展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】本题考查了学生的观察能力以及对概率概念的理解。

思路分析：通过观察可以发现，1与2相连，2与4相连，出现对面恰好是2倍关系的只有3和6，而且只有6朝下的时候，才满足题中要求。

基本事件总计有6个，所以，朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率是该题比较抽象，需要学生在解题过程中有空间想象能力4.一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么小鸟停在某个黑方格中的概率是（ )A．１／２B．１／３C．１／４D．１／５【答案】B【解析】本题考查了几何概率模型中，事件A发生的概率思路分析：题中所示总计有15个方格，黑方格的个数为5个，所以小鸟停留在某个黑方格的概率P===5.一个袋中有4个珠子,其中2个红色,2个蓝色,除颜色外其余特征均相同,若从这个袋中任取2个珠子,都是蓝色的概率是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】本题考查了相互独立事件发生的概率。

思路分析：第一次取出蓝色珠子的概率是，第二次取出的概率是，两者相互独立，所以，从这个袋中任取2个珠子,都是蓝色的概率P==6.单项选择题是数学试题的重要组成部分，当你遇到不懂做的情况时，如果你随便选一个答案（假设每个题目有4个备选答案），那么你答对的概率为。

高中数学 15 随机事件的概率习题新人教A版必修3

课时作业(十五) 随机事件的概率A组基础巩固1．为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组，小明要选报其中的2个，则基本事件有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：由题意可得，基本事件有(数学与计算机)、(数学与航空)、(计算机与航空)，共三个，故选C.答案：C2．从12个同类产品(其中10个是正品，2个是次品)中任意抽取3个的必然事件是( ) A．3个都是正品B．至少有1个是次品C．3个都是次品 D．至少有1个是正品解析：任意抽取3件的可能情况是：3个正品；2个正品1个次品；1个正品2个次品．由于只有2个次品，不会有3个次品的情况.3 种可能的结果中，都至少有1个正品，所以至少有1个是正品是必然发生的，必然事件应该是“至少有1个是正品”．答案：D3．下列事件为随机事件的是( )A．抛一枚硬币，落地后正面朝上B．边长为a，b的长方形面积为abC．从100个零件中取出2个，2个都是次品D．平时的百分制考试中，小强的成绩为105分答案：A4．在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是( )A．必然事件 B．不可能事件C．随机事件 D．以上均不正确答案：C5．抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是( )A．正面向上的概率为0.48B．反面向上的概率是0.48C．正面向上的频率为0.48D．反面向上的频率是0.48答案：C6．袋内装有一个黑球与一个白球，从袋中取一球，在100次摸球中，摸到黑球的频率为0.49，则摸到白球的次数为( )A．49次 B．51次C．0.49次 D．0.51次答案：B7．一家保险公司想了解汽车挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000辆汽车，时间从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600辆汽车挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为________．答案：0.038．下列说法正确的是________(填序号)．①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数；③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；④概率就是频率．答案：①②。

高中数学概率练习题

简单随机事件的概率（练习题）主编：任明辉审核：焦江云0291．下列事件中，随机事件是（）．A．物体在重力的作用下自由下落 B.3为实数，C．在某一天内电话收到呼叫次数为0 D．今天下雨或不下雨2．下列事件中，必然事件是（）．A．掷一枚硬币出现正面 B．掷一枚硬币出现反面C．掷一枚硬币或者出现正面或者出现反面 D．掷一枚硬币，出现正面和反面3．向区间（0，2）内投点，点落入区间（0，1）内属于（）．A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．无法确定4．下列事件是随机事件的个数是________（1）在常温下，焊锡熔化；（2）明天天晴；（3）自由下落的物体作匀加速直线运动；（4）函数y=3x+2在定义域上是增函数．5.接连三次抛掷一枚硬币，则正反面轮番出现的概率是________．6．从1，2，…，9共九个数字中任取一个数字，取出数字为偶数的概率为________．7.若A，B为互斥事件，则（）A.P(A)+P(B)＜1B. P(A)+P(B)＞1C. P(A)+P(B)＝1D. P(A)+P(B) 18.下列说法正确的是（）A.事件A，B中至少一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大B.事件A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件9.从一批产品中取出三件，设A=“三件产品都不是次品”，B=“三件产品都是次品”，C=“三件产品不都是次品”，则下列结论真确的是( )A. A 与C 互斥B. B 与C 互斥C. 任两个都互斥D.任两个均不互斥10.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面的的概率是( ) A. 21 B. 41 C. 31 D. 81 11.投掷两枚骰子，出现点数之和为3的概率为________12.某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组任意选一名组长，则其中一名女生小李当选为组长的概率________13. 某盒中有一个红色球，两个白色球，这3个球除了颜色外都相同，有放回的连续抽取2个，每次从中任意取出一个，用列表的方法列出所有可能结果，计算下列事件的概率。

2022届高考数学一轮复习专练51随机事件的概率与古典概型含解析

专练51 随机事件的概率与古典概型一、选择题1．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为( ) A.112 B.16 C.14D.132．一道竞赛题，A ，B ，C 三人可解出的概率依次为12，13，14.若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为( )A.124B.1124C.1724D ．1 3．在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同．如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为( )A.25B.35C.715D.8154．(多选)甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法正确的是( )A ．甲获胜的概率为16B ．甲不输的概率为12C ．乙输的概率为23D ．乙不输的概率为565．[2020·全国卷Ⅰ]设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )A.15B.25C.12D.45 6．[2020·全国卷Ⅱ]在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名7．从编号为1,2,3,4,5,6的6张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率为( )A.29B.14C.718D.1128．一个箱子中装有4个白球和3个黑球，若一次摸出2个球，则摸到的球颜色相同的概率是( )A.17B.27C.37D.479．(多选)甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若甲同学必选物理，则下列说法正确的是( )A ．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件B ．甲同学不同的选法共有15种C ．已知乙同学选了物理，则乙同学选技术的概率是16D ．乙、丙两名同学都选物理的概率是949二、填空题10．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．11．某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类．某同学从中任选2门课程学习，则该同学选到文科类选修课程的概率是________．12．[2020·江苏卷]将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________．[能力提升]13．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽的概率为( )A.332B.1564C.532D.51614．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”．将“仁义礼智信”排成一排，“仁”排在第一位，且“智、信”相邻的概率为( )A.110B.15C.310D.2515．三名旅游爱好者商定在疫情结束后前往武汉、宜昌、黄冈3个城市旅游，如果三人均等可能地前往上述3个城市之一，那么他们恰好选择同一个城市的概率是________．16．某机构有项业务是测试手机电池的续航时间，现有美国产的iPhone 和中国产的小米、华为、OPPO 四种品牌的手机需要测试，其中华为有Mate40和P40两种型号，其他品牌的手机都只有一种型号．已知每款手机的测试时间都为1个月，测试顺序随机，每款手机测试后不再测试，同一品牌的两个型号不会连续测试．在未来4个月内，测试的手机都是国产手机的概率为________．专练51 随机事件的概率与古典概型1．C 先后抛掷两颗骰子，有36种结果，其中两次朝上的点数之积为奇数的结果有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共9种，所求概率为936＝14，故选C.2．B 记A ，B ，C 三人分别解出题为事件A ，B ，C ，则仅有1人解出题的概率P ＝P (A B－C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝12×23×34＋12×13×34＋12×23×14＝1124.故选B.3．B 解法一：从6个小球中一次随机取出2个球包含的基本事件总数n ＝C 26＝15，其中至少有1个红球包含的基本事件个数m ＝C 14C 12＋C 22＝9，因此至少有1个红球的概率P ＝m n ＝915＝35.故选B. 解法二：从6个小球中一次随机取出2个球包含的基本事件总数n ＝C 26＝15，其中全部是黄球包含的基本事件个数是C 24＝6，因此至少有1个红球包含的基本事件个数是15－6＝9，因此至少有1个红球的概率P ＝915＝35.故选B.解法三：设“一次随机取出2个球，至少有1个红球”为事件A ，则P (A )＝1－P (A －)＝1－C 24C 26＝1－615＝35，故选B. 4．AD ∵甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，∴甲获胜的概率为1－12－13＝16，故A 正确；甲不输的概率为1－13＝23，故B 不正确；乙输的概率为1－13－12＝16，故C 不正确；乙不输的概率为12＋13＝56，故D 正确．故选AD.5．A 从O ，A ，B ，C ，D 中任取3点的情况有(O ，A ，B )，(O ，A ，C )，(O ，A ，D )，(O ，B ，C )，(O ，B ，D )，(O ，C ，D )，(A ，B ，C )，(A ，B ，D )，(B ，C ，D )，(A ，C ，D )，共有10种不同的情况，由图可知取到的3点共线的有(O ，A ，C )和(O ，B ，D )两种情况，所以所求概率为210＝15.故选A.6．B 由题意得第二天订单不超过1600份的概率为1－0.05＝0.95，故第一天积压订单加上第二天的新订单不超过1600＋500＝2100份的概率为0.95，因为超市本身能完成1200份订单配货，所以需要志愿者完成的订单不超过2100－1200＝900份的概率为0.95，因为900÷50＝18，所以至少需要18名志愿者，故选B.7．C 依题意，基本事件的总数为6×6＝36，第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,6)，(5,1)，(5,5)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，(3,1)，(3,3)，(2,1)，(2,2)，(1,1)，共14种情况，所以所求的概率P ＝1436＝718，故选C.8．C 从箱子中一次摸出2个球共有C 27＝21种情况，颜色相同的有C 24＋C 23＝9种情况，∴摸到的球颜色相同的概率P ＝921＝37，故选C.9．BD 甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A 错误；由于甲同学必选物理，故只需从剩下的6门学科中任选2门即可，则甲同学不同的选法共有C 26＝15种，故B 正确；由于乙同学选了物理，则乙同学选技术的概率是C 15C 26＝13，故C 错误；乙、丙两名同学各自选物理的概率均为C 26C 37＝37，故乙、丙两名同学都选物理的概率是37×37＝949，故D 正确．故选BD.10.910解析：从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，则有C 35＝10种录用方法，设“甲或乙被录用”为事件A ，则事件A －表示“甲乙两人都没有被录用”，则P (A －)＝110，所以甲或乙被录用的概率为1－110＝910.11.710解析：从5门不同的选修课程中任选2门课程学习所包含的基本事件总数n ＝C 25＝10，该同学选到文科类选修课程包含的基本事件个数m ＝C 22＋C 13C 12＝7，因此该同学选到文科类选修课程的概率P ＝m n ＝710.12.19解析：将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，向上的点数共有36种情况，其中点数和为5的情况有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，则所求概率为436＝19.13．D 若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则P 左＝P 右＝12，小球最终落入③号球槽经过5次选择，其中向左3次、向右2次，则所求概率P ＝C 35×123×122＝516，故选D.14．A “仁义礼智信”排成一排，任意排有A 55种排法，其中“仁”排在第一位，且“智、信”相邻的排法有A 22A 33种，故所求概率P ＝A 22A 33A 55＝110.故选A. 15.19解析：由题知三人的选择情况共有33＝27种，其中恰好选择同一个城市的情况有3种，所以所求概率P ＝327＝19.16.17解析：在未来4个月内，测试的手机有如下两种情况：①当华为手机出现两次时，有C 22C 23A 22A 23＝36种情况；②当华为手机出现一次时，有C 12A 44＝48种情况．故共有36＋48＝84种情况．而其中未来这4个月中测试的手机都是国产手机的情况有A 22A 23＝12(种)，故所求概率P＝1284＝17.。

广东新高考数学理科一轮总复习课时练习15.1随机事件的概率(含答案详析)

第十五章概率第1讲随机事件的概率1．从6个男生、2个女生中任取3人，则下列事件中必然事件是()A．3个都是男生B．至少有1个男生C．3个都是女生D．至少有1个女生2抽取台数50 100 200 300 500 1000优等品数47 92 192 285 478 954 A．0.92 B．0.94 C．0.95 D．0.963．抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为()A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品D．至多有1件正品4．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是()A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件5．(2011年广东惠州调研)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为()A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.156．(2012年江苏)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取1个数，则它小于8的概率是________．7．甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是50%，甲不输的概率是80%，则甲、乙二人下成和棋的概率为________．8．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取1个，取得2个红球的概率为715，取得2个绿球的概率为115，则取得2个同颜色的球的概率为________；至少取得1个红球的概率为________．9．由经验得知：在中华商场排队等候付款的人数及其概率如下表：排队人数0 1 2 3 4 5人以上概率0.10 0.16 0.30 0.30 0.10 0.04(1)求至少有1人排队的概率；(2)求至多有2人排队的概率；(3)求至少有2人排队的概率．10．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关，据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160.(1)完成如下的频率分布表：近20(2)率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率．第十五章概率第1讲随机事件的概率1．B 2.C 3.B 4.D 5.B6.357.30%8.81514159．解：(1)至少有1人排队的概率为p1＝1－0.10＝0.90.(2)至多有2人排队的概率p2＝0.10＋0.16＋0.30＝0.56.(3)至少有2人排队的概率p3＝1－(0.10＋0.16)＝0.74.10．解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为140毫米的有4个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，为220毫米的有2个，故近20年六月份降雨量频率分布表：(2)P(＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝120＋320＋220＝310，故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为310.。

高考数学一轮复习考点题型课下层级训练55随机事件的概率(含解析)

课下层级训练(五十五) 随机事件的概率[A 级基础强化训练]1．(2019·山东济南检测)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则 ①恰有1个白球和全是白球； ②至少有1个白球和全是黑球； ③至少有1个白球和至少有2个白球； ④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为( ) A ．① B ．② C ．③D ．④【答案】A [由题意可知，事件③④均不是互斥事件；①②为互斥事件，但②又是对立事件，满足题意只有①.]2．(2019·山东临沂检测)从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7D ．0.8【答案】B [该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3.]3．设事件A ，B ，已知P (A )＝15，P (B )＝13，P (A ∪B )＝815，则A ，B 之间的关系一定为( )A ．两个任意事件B ．互斥事件C ．非互斥事件D ．对立事件【答案】B [因为P (A )＋P (B )＝15＋13＝815＝P (A ∪B )，所以A ，B 之间的关系一定为互斥事件. ]4．掷一个骰子的试验，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点”，若B －表示B 的对立事件，则一次试验中，事件A ＋B －发生的概率为( )A ．13B ．12C ．23D ．56【答案】C [掷一个骰子的试验有6种可能的结果．依题意知P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，∴P (B －)＝1－P (B )＝1－23＝13，∵P (B －)表示“出现5点或6点”，因此事件A 与P (B －)互斥，从而P (A ＋B －)＝P (A )＋P (B －)＝13＋13＝23.]5．(2019·山东枣庄模拟)从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是A ．110B ．310C ．710D ．35【答案】C [“取出的2个球全是红球”记为事件A ，则P (A )＝310.因为“取出的2个球不全是红球”为事件A 的对立事件，所以其概率为P (A －)＝1－P (A )＝1－310＝710.]6．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有____________个．【答案】15 [摸到黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n 个，则0.4221＝0.3n ，故n ＝15.]7．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为____________．【答案】0．25 [20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为520＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.]8．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表：则该营业窗口上午9【答案】0．74 [由表格可得至少有2人排队的概率P ＝0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74.]9．国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：求该射击队员射击一次： (1)射中9环或10环的概率； (2)命中不足8环的概率．【答案】解记事件“射击一次，命中k 环”为A k (k ∈N ，k ≤10)，则事件A k 之间彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，那么当A 9，A 10之一发生时，事件A 发生，由互斥事件的加P (A )＝P (A 9)＋P (A 10)＝0.28＋0.32＝0.6．(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B ，则B －表示事件“射击一次，命中不足8环”．又B ＝A 8∪A 9∪A 10，由互斥事件概率的加法公式得P (B )＝P (A 8)＋P (A 9)＋P (A 10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78．故P (B －)＝1－P (B )＝1－0.78＝0.22．因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22．10．(2019·湖北七市联考)某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查．这1 000名购物者2017年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：(1)求这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数；(2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．【答案】解 (1)购物者的购物金额x 与获得优惠券金额y 的频率分布如下表：这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数为11 000(50×400＋100×300＋150×280＋200×20)＝96． (2)由获得优惠券金额y 与购物金额x 的对应关系及(1)知P (y ＝150)＝P (0.6≤x <0.8)＝0.28，P (y ＝200)＝P (0.8≤x ≤0.9)＝0.02，从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P (y ≥150)＝P (y ＝150)＋P (y ＝200)＝0.28＋0.02＝0.3．[B 级能力提升训练]11．袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求： (1)“3只球颜色全相同”的概率； (2)“3只球颜色不全相同”的概率．【答案】解 (1)“3只球颜色全相同”包括“3只全是红球”(事件A )，“3只全是黄球”(事件B )，“3只全是白球”(事件C )，且它们彼此互斥，故“3只球颜色全相同”这个事件可记为A ∪B ∪C ，又P (A )＝P (B )＝P (C )＝127．故P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝19．(2)记“3只球颜色不全相同”为事件D ，则事件D －为“3只球颜色全相同”，又P (D －)＝P (A ∪B ∪C )＝19．所以P (D )＝1－P (D －)＝1－19＝89，故“3只球颜色不全相同”的概率为89．12．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加 5.已知近20年X 的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220, 140,160． (1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表(2)假定今年6该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．【答案】解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为(2)由已知可得Y ＝X2＋425，故P (“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P (Y <490或Y >530)＝P (X <130或X >210)＝P (X ＝70)＋P (X ＝110)＋P (X ＝220)＝120＋320＋220＝310． 13．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得. 1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求： (1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【答案】解 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120．故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120． (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C ． ∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000．故1张奖券的中奖概率为611 000．(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， ∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000．故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000．。

专题15 专项训练卷(五)随机事件的概率计算问题(解析版)-高一数学下册新考向多视角同步训练

2020-2021学年人教版高一数学下册新考向多视角同步训练专项训练卷（五）随机事件的概率计算问题试卷满分：150分考试时长：120分钟注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1．（2021·辽宁高三其他模拟（文））随着高中新课程改革的不断深入，数学高考试题的命题形式正在发生着变化，哈市某省示范性高中在数学试卷中加入了多项选择题．每道多项选择题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．某同学遇到一道不会做的多选题，他只想选两个或三个选项，若答案恰为三个选项时，该同学做对此道题目的概率为（） A ．115B ．111C ．110D ．14【答案】C 【分析】利用做对的情况，除以选两个的情况总数与选三个的情况总数之和，可得该同学做对此道题目的概率．【详解】设该同学做对此道题目的概率为P 则2344111===6410P C C ++ 故选：C2．（2021·全国高三专题练习（文））对于新型冠状病毒肺炎，目前没有特异治疗方法.只能严格落实常态化防控要求，落实隔离防控措施，全力做好疫情防控工作.已知甲通过核酸检测确诊为呈“阳性”，经过追踪发现甲有乙，丙，丁，戊四位密切接触者，现把这四个人平均分成二组，分别送到两个医院进行隔离观察，则乙，丙两人被分到同一个医院的概率为（） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】C 【分析】四人分两组分别送到两个医院进行隔离观察，利用列举法计数，求得总得分配方法数和乙，丙两人被分到同一个医院的方法数，然后求得其概率. 【详解】四人分两组并分送到两个医院，可能的情形有（乙丙，丁戊），（乙丁，丙戊），（乙戊，丙丁），（丙丁，乙戊），（丙戊，乙丁），（丁戊，丙乙）共6中不同的分配方法，每种结果都是等可能的，乙，丙两人被分到同一个医院的的情况有（乙丙，丁戊）和（丁戊，丙乙）2种； ∴乙，丙两人被分到同一个医院的概率2163P ==，故选C . 【点睛】本题考查古典概型计算与应用，关键是使用列举法分组计数,注意分配的顺序. 3．（2020·广东中山市·高二期末）五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是13、14、15，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去厦门旅游的概率为（） A ．5960B ．35C ．12D ．160【答案】B 【分析】计算出事件“至少有1人去厦门旅游”的对立事件“三人都不去厦门旅游”的概率，然后利用对立事件的概率可计算出事件“至少有1人去厦门旅游”的概率. 【详解】记事件:A 至少有1人去厦门旅游，其对立事件为:A 三人都不去厦门旅游，由独立事件的概率公式可得()11121113455P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由对立事件的概率公式可得()()231155P A P A =-=-=，故选B. 【点睛】本题考查独立事件的概率公式的应用，同时也考查了对立事件概率的应用，在求解事件的概率问题时，若事件中涉及“至少”时，采用对立事件去求解，可简化分类讨论，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题.4．（2020·全国高三专题练习（理））某校高三年级有男生410人，学号为001，002，，410；女生290人，学号为411，412，，700.对高三学生进行问卷调查，按学号采用系统抽样的方法，从这700名学生中抽取10人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为030）；再从这10名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是（） A ．15B ．310C ．710D ．45【答案】D 【分析】利用系统抽样可知，这10个人中男生有6人，女生有4人，计算出所抽3人全是男生或女生的概率，利用对立事件的概率公式可计算出结果. 【详解】利用系统抽样从这700名学生中抽取10人进行问卷调查，分段间隔为70，由于第一组抽到的号码为030，所抽取的10人号码依次为030、100、170、240、310、380、450、520、590、660，其中男生6人，女生4人，因此，从这10名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是3346310415C C P C +=-=. 故选：D. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查了系统抽样、组合计数原理以及对立事件概率公式的应用，考查计算能力，属于中等题.5．（2020·全国高一课时练习）某城市有连接8个小区A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往小区H ，则他经过市中心O 的概率是（）A ．13B ．23C ．14D ．34【答案】B 【分析】列举出所有的基本事件，记“此人经过市中心O ”为事件M ，确定事件M 所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】此人从小区A 前往H 的所有最短路径为：A B C E H →→→→，A B O E H →→→→，A B O G H →→→→，A D O E H →→→→，A D O G H →→→→，A D F G H →→→→，共6条.记“此人经过市中心O ”为事件M ，则M 包含的基本事件为：A B O E H →→→→，A B O G H →→→→，A D O E H →→→→，A D O G H →→→→，共4条.()4263P M ∴==，即他经过市中心的概率为23. 故选：B. 【点睛】本题考查概率的应用，是中等题．解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的灵活运用．6．（2020·全国高一课时练习）设集合{0,1,2}A =，{0,1,2}B =，分别从集合A 和B 中随机抽取一个数a 和b ，确定平面上的一个点(,)P a b ，记“点(,)P a b 满足a b n +=”为事件n C (04,)n n N ≤≤∈，若事件n C 的概率最大，则n 的可能值为（） A ．2 B ．3C ．1和3D ．2和4【答案】A 【分析】列出所有的基本事件，分别求出事件0C 、1C 、2C 、3C 、4C 所包含的基本事件数，找出其中包含基本事件数最多的，可得出n 的值．【详解】所有的基本事件有：()0,0、()0,1、()0,2、()1,0、()1,1、()1,2、()2,0、()2,1、()2,2，事件0C 包含1个基本事件，事件1C 包含2个基本事件，事件2C 包含3个基本事件，事件3C 包含2个基本事件，事件4C 包含1个基本事件，所以事件2C 的概率最大，则2n =，故选A ．【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题的关键在于列举所有的基本事件，常用枚举法与数状图来列举，考查分析问题的能力，属于中等题．7．（2018·湖北高二期中（文））下列说法正确的是（） A ．天气预报说明天下雨的概率为0900，则明天一定会下雨B ．不可能事件不是确定事件C ．统计中用相关系数r 来衡量两个变量的线性关系的强弱，若[]0.75,1,r ∈则两个变量正相关很强 D ．某种彩票的中奖率是11000，则买1000张这种彩票一定能中奖【答案】C 【分析】运用概率的相关知识对四个选项逐一进行分析即可【详解】对于A ，天气预报说明天下雨的概率为90%，表示下雨的可能性比较大，是不确定事件，在一定条件下可能下雨，也可能不下雨，但明天一定会下雨是不正确的，故错误；对于B ，根据定义可知不可能事件是确定事件，故错误；对于C ，统计中用相关系数r 来衡量两个变量的线性关系的强弱，若[]0.75,1,r ∈则两个变量正相关很强，故正确；对于D ，某种彩票的中奖率是11000，每一次买彩票的中奖是独立的，并不是买1000张这种彩票一定能中奖，故错误故选C 【点睛】本题主要考查了辨别生活中的概率，理解并运用概率知识即可判断，较为基础．8．（2020·全国高三专题练习）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（）A ．15 B ．815 C ．35D ．320【答案】D 【分析】“口香糖吃完时还剩2支香烟”即第四次取到的是口香糖且前三次有两次口香糖一次香烟，根据古典概型计算出其概率即可. 【详解】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为123,,A A A ，口香糖为123,,B B B ，进行四次取物，基本事件总数为：6543360⨯⨯⨯=种事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：烟、糖、糖、糖：332118⨯⨯⨯=种糖、烟、糖、糖： 332118⨯⨯⨯=种糖、糖、烟、糖：323118⨯⨯⨯=种包含的基本事件个数为：54，所以，其概率为54336020= 故选：D 【点睛】此题考查古典概型，解题关键在于弄清基本事件总数，和某一事件包含的基本事件个数，其本质在于计数原理的应用.二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9．（2021·全国高三专题练习）从1，2，3，4，5中随机选两个数，下列事件的概率为25是（）A．两数之差绝对值为2B．两数之差绝对值为1C．两数之和不小于6D．两数之和不大于5【答案】BD【分析】首先求从1，2，3，4，5中随机选两个数，所包含的基本事件个数，再分别计算选项中的事件所包含的基本事件，再根据古典概型求概率.【详解】由1，2,3,4,5中5个数字随机选2个数字，包含的基本事件为（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10个基本事件，其中两数之差绝对值为2的包含（1,3），（2,4），（3,5）共3个基本事件，所以两数之差绝对值为2的概率310 P=，故A不正确；两数之差绝对值为1包含（1,2），（2,3），（3,4），（4,5）共4个基本事件，所以两数之差绝对值为1的概率42105P==，故B正确；两数之和不小于6包含（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共6个基本事件，所以两数之和不小于6的概率63105P==，故C不正确；两数之和不大于5包含（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），共包含4个基本事件，所以两数之和不大于5的概率42105P==，故D正确.故选：BD【点睛】本题考查古典概型，重点考查列举法表示随机事件的个数，属于基础题型.10．（2020·沈阳实验中学高二期中（理））（多选题）如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣分别为A、B、C、D、E.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是（）A．AB所在线路畅通的概率为1 6B．ABC所在线路畅通的概率为5 6C ．DE 所在线路畅通的概率为130D ．当开关合上时，整个电路畅通的概率为2936【答案】BD 【分析】根据独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式计算出各选项中线路畅通的概率，由此可得出结论. 【详解】由题意知，A 、B 、C 、D 、E 保险闸被切断的概率分别为()12P A =，()13P B =，()14P C =，()15P D =，()16P E =，所以A 、B 两个盒子畅通的概率为121233⨯=，因此A 错误； D 、E 两个盒子并联后畅通的概率为1112911563030-⨯=-=，因此C 错误； A 、B 、C 三个盘子混联后畅通的概率为2115113466-⨯=-=，B 正确；根据上述分析可知，当开关合上时，电路畅通的概率为2952930636⨯=，D 正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查利用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率，考查计算能力，属于中等题.11．（2021·福建宁德市·高二期末）某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD ，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（） A ．甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是12B ．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是16C ．丙同学随机选择选项，能得分的概率是15D ．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是110【答案】ABC 【分析】对各项中的随机事件，计算出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，再计算出相应的概率后可得正确的选项. 【详解】甲同学仅随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为{}{}{}{},,,A B C D ，随机事件“若能得3分”中有基本事件{}{},C D ，故“能得3分”的概率为12，故A 正确. 乙同学仅随机选两个选项，共有6个基本事件，分别为：{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,A B A C A D B C B D C D ，随机事件“能得5分”中有基本事件{},C D ，故“能得5分”的概率为16，故B 正确. 丙同学随机选择选项（丙至少选择一项），由A 、B 中的分析可知共有基本事件15种，分别为：选择一项：{}{}{}{},,,A B C D ；选择两项：{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,A B A C A D B C B D C D ；选择三项或全选：{}{}{}{},,,,,,,,,,,A B C A B D A C D B C D ，{},,,A B C D ，随机事件“能得分”中有基本事件{}{}{},,,C D C D ，故“能得分”的概率为31=155，故C 正确. 丁同学随机至少选择两个选项，有C 的分析可知：共有基本事件11个，随机事件“能得分”中有基本事件{},C D ，故“能得分”的概率为111，故D 错. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）. 12．（2021·全国高二课时练习）以下对各事件发生的概率判断正确的是（） A ．连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为13B ．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12＝5＋7，在不超过15的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为115C ．将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是536D ．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是12【答案】BCD 【分析】A.列举所有的基本事件，得到概率，判断选项；B.首先列举素数，再根据组合数，写出概率；C.列举满足条件的基本事件，求概率；D.根据组合数写出概率，判断选项. 【详解】A.连续抛两枚质地均匀的硬币，有4个基本事件，包含两正，两反，先反再正，先正再反，出现一正一反的概率2142P ==，故A 不正确； B.不超过15的素数包含2,3,5,7,11,13，共6个数字，随机选取两个不同的数字，和等于14的包含()3,11，则概率为261115P C ==，故B 正确； C.将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，共36种情况，点数之和为6包含()()()()()1,5,2,4,3,3,4,2,5,1，共5种，所以点数之和为6的概率536P =，故C 正确； D.由题意可知取出的产品全是正品的概率232412C P C ==，故D 正确.【点睛】本题考查古典概型，列举法，组合数，属于基础题型，本题的关键是正确列举所有满足条件的基本事件.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．（2020·沙坪坝区·重庆八中高三月考）某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m 跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这6项运动中选出3项进行测试，假设他们对这6项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有2项相同的概率为______. 【答案】12【分析】由题意分析知，小明与小华选择的结果至少有2项相同：{有2项相同，有3项相同}，而他们选项目是相互独立的，即总选法共有3366C C 种，即可算出概率. 【详解】由题意，两人在6项运动任选3项的选法：3366400C C =种，小明与小华选出3项中有2项相同的选法：211643180C C C =种，小明与小华选出3项中有3项相同的选法：3620C =种，∴他们选择的结果至少有2项相同的概率为21136436336612C C C C P C C +==，故答案为：12. 【点睛】关键点点睛：将选择的结果至少有2项相同的基本事件{有2项相同，有3项相同}列出，再应用古典概型求概率.14．（2020·浙江高三月考）甲从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取三个不同的元素，并按降序排列得到十进制三位数a ，乙从集合{1,2,3,4,5,6,7,8}中任取三个不同的元素，并按降序排列得到十进制三位数b ，则a b >的概率为________.【答案】3756【分析】分甲取9或不取9分类，利用古典概型结合组合数的计算即可得解. 【详解】从{1,2,3,4,5,6,7,8}任取三个不同的元素有3856C =种选择，按甲取9或不取9分类，可得a b >的概率：2328856339828565528565537845635656C C C P C C +⨯+⨯+====⨯⨯. 故答案为：3756. 【点睛】本题主要考查了古典概型的计算，涉及组合的应用，属于中档题.15．（2020·全国高三专题练习）已知直线:10l ax by +-=，若,1{}1a ，2,1}1,{b ，则l 不经过第二象限的概率为______．【答案】13【分析】由题可知，(,)a b 包含的基本事件总数236n =⨯=，l 不经过第二象限，从而0a ，0b ，由此利用列举法能求出l 不经过第二象限的概率．【详解】解：直线:10l ax by +-=，若{1a ∈-，1}，{2b ∈-，1-，1}，(,)a b ∴包含的基本事件总数236n =⨯=，l 不经过第二象限，0a ∴，0b ，∴满足l 不经过第二象限的(,)a b 有：(1,2)-，(1,1)-，共2个，l ∴不经过第二象限的概率为2163p ==．故答案为：13．【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法、直线性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16．（2020·全国高一课时练习）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b ,c ,则方程20x bx c ++=有实根的概率为______.【答案】1936【分析】列出所有情况，计算满足24b c ≥的情况，得到答案. 【详解】一枚骰子抛掷两次,其基本事件总数为36,方程有实根的条件为24b c ≥.由此可见,使方程有实根的基本事件个数为1246619++++=，于是方根有实根的概率为1936. 故答案为：1936【点睛】本题考查了古典概率，意在考查学生的计算能力.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．（2021·北京石景山区·高一期末）某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下：（1）求甲在比赛中得分的均值和方差；（2）从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场都不超过均值的概率．【答案】(1)15，32.25（2）15【分析】（1）由已知中的茎叶图，代入平均数和方差公式，可得得答案；（2）根据古典概型计算即可求解. 【详解】（1）这8场比赛队员甲得分为：7，8，10，15，17，19，21，23故平均数为：78101517191()18223 15+++++⨯=＋＋，方差:22222221(715)(815)(1015)(1515)(1715)(1915)8s ⎡=-+-+-+-+-+-⎣ ()()2221152315]32.25+-+-=.(2) 从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场,共有15中种不同的取法，其中抽到2场都不超过均值的为得分(7,8),(7,10),(8.10)共3种，由古典概型概率公式得31155P ==. 18．（2021·云南省昆明市第十六中学高二期末（文））某校为挑选参加中国谜语大会的学生代表，将报名的60名同学的测试成绩（百分制，均为整数）分成[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100六组后，得到频率分布直方图（如图）.（1）根据频率分布直方图，计算本次测试成绩的中位数（结果精确到0.1）和平均数；（2）若学校决定从测试成绩最高的4名男生,,,A B C D 和2名女生,E F 中挑选2名学生作为代表队队长，求队长恰好为一男一女的概率.【答案】（1）中位数为73.3，平均数为71；（2）815【分析】（1）根据中位数左右两边小矩形面积之和相等，计算从左数频率之和等于0.5的横坐标的值即可得中位数，每一个小矩形底边中点横坐标乘以对应的小矩形面积之和即可求平均数；（2）根据计数原理分别计算出任意选出2人和恰好一男一女包含的基本事件的个数，再利用古典概型概率公式即可求解. 【详解】测试成绩位于前三组的频率为()0.010.0150.015100.40.5++⨯=<，前四组的频率之和为()0.010.0150.0150.03100.70.5+++⨯=>，所以中位数位于第四组，设中位数为70x +，则()0.470700.0300.5x ++-⨯=，解得：103x =，所以中位数为：107073.33+≈，平均数为：()450.01550.015650.015750.03850.025950.0051071⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=所以中位数为73.3，平均数为71，（2）从6人中任取2人作为代表队队长包含的基本事件有2615N C ==种，队长恰好为一男一女包含的基本事件有11428n C C ==种，所以队长恰好为一男一女的概率815n P N ==，【点睛】结论点睛：频率分布直方图的相关公式以及数字特征的计算， ①直方图中各个小长方形的面积之和为1； ②直方图中每组样本的频数为频率乘以总数； ③最高的小矩形底边中点横坐标即是众数； ④中位数的左边和右边小长方形面积之和相等；⑤平均数是频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.19．（2021·江西吉安市·高三期末（理））2020年国庆节期间，甲、乙等5名游客准备从庐山、三清山、婺源、井冈山4个景点中选取一个景点游览，设每人只选择一个景点，且选择任一个景点是等可能的．（1）分别求“恰有2人选择井冈山”和“甲选择井冈山且乙不选择庐山”的概率；（2）记X 表示5人中选择景点的个数，求X 的分布列与数学期望．【答案】（1）316；（2）分布列见解析，781256. 【分析】（1）利用排列组合计算方法种数，利用古典概型求概率；（2）先分析X 的所有可能取值，计算概率，写出分布列，套公式计算数学期望即可. 【详解】（1）所有可能的选择方式有54种，“恰有2人选择井冈山”的方式有235C 3⋅种，从而“恰有2人选择井冈山”的概率为2355C 31354512⋅=． “甲选择井冈山且乙不选择庐山”的方式有334⋅种，从而“甲选择井冈山且乙不选择庐山”的概率为35343416⋅=．（2）X 的所有可能值为1，2，3，4．又145C 1(1)4256P X ===，()2324245252545(2)4256C C A C A P X +===， 2233335343535C C C A C ?A 2!150(3)4256P X ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===， 24545C ?A 60(4)4256P X ===．故X 的分布列为X ∴的数学期望()1234256256256256256E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行：（1）明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；（2）利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率；（3）按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验.20．（2021·湖北黄石市·黄石二中高二期末）有四个编有1､2､3､4的四个不同的盒子，有编有1､2､3､4的四个不同的小球，现把四个小球逐个随机放入四个盒子里. （1）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法？（2）在（1）的条件下求恰有一个盒子没放球的概率？（3）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？【答案】（1）256种；（2）916；（3）23种. 【分析】（1）用分步乘法计数原理计算，考虑每个球的放法可得；（2）选取2球放在一起作为一个球，共3个球放到3个盒子中，用排列求得放法后由古典概型概率公式可计算出概率；（3）4个球的全排列数减去编号全相同的排法1即可得．【详解】（1）每个球都有4种方法，故有4444256⨯⨯⨯=种（2）从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有2344144C A=种不同的放法.概率为：1449 25616=（3）每个盒子不空，共有4424A=，24123-=种．【点睛】关键点点睛：本题考查计数原理，古典概型，排列的应用．难点是事件“4个盒子中恰有一个盒子没放球”，解题关键是确定完成这件事的方法，4个球放到3个盒子中，其中有一个盒子中必有2个球，由此可选取2个球放在一起作为一个球，4个球看作3个球放入4个盒子中的3个中，用排列知识可求解．21．（2021·安徽蚌埠市·高一期末）袋中装有6个形状、大小完全相同的球，其中黑球2个、白球2个、红球2个，规定取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，取出一个红球记2分，抽取这些球的时候，谁也无法看到球的颜色，首先由甲取出3个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的3个球，规定取出球的总积分多者获胜.（1）求甲、乙成平局的概率；（2）从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.【答案】（1）25；（2）不影响比赛的公平性..【分析】（1）将甲的可能取球基本事件一一列举出来，甲乙平局时的基本事件列举出来，根据古典概型概率公式计算即可；（2）结合（1）计算先取者（甲）获胜的概率，后取者（乙）获胜的概率，比较即可得出结论.【详解】解：（1）记黑球为1，2号，白球为3，4号，红球为5，6号，则甲的可能取球共有以下20种情况：123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，甲乙平局时都得3分，所以甲取出的三个小球是一黑一白一红，共8种情况，故平局的概率182 205P==.（2）甲获胜时，得分只能是4分或5分，即取出的是2红1白，1红2白，2红1黑共6种情况，故先取者（甲）获胜的概率263 2010P==，后取者（乙）获胜的概率3233151010P =--=，所以23P P =，故先取后取获胜的概率一样. 【点睛】求古典概型概率的步骤：（1）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ；（2）分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ；（3）利用公式()mP A n=，求出事件A 的概率． 22．（2020·全国（理））一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)．(1)求0P ，1P ，2P ，并根据棋子跳到第n 站的情况，试用2n P -和1n P -表示n P ； (2)求证：1{}12100()n n P P n --=⋯，，，为等比数列； (3)求玩该游戏获胜的概率．【答案】（1）01P =，112P =，234P =，211122n n n P P P --=+；（2）证明见解析；（3）10021132⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】(1)在第0站是必然事件，所以01P =．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点,可求出1P ，棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子出现偶数点，②前两次掷骰子出现奇数点，可求出2P .棋子跳到第(299)n n 站，包括两种情形，①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点, ②棋子先跳到第1n -站，又掷骰子出现奇数点,进行求解. (2)由(1)知，211122n n n P P P --=+，所以112(1)2n n n n P P P P ----=--可证.(3)该游戏获胜的概率,即求99P ，由（2）用累加法可求解. 【详解】。

2020-2021学年北师大版高中数学必修三《随机事件的概率》同步练习及解析

最新（新课标）北师大版高中数学必修三随机事件的概率同步练习知识检测事件包括必然事件、不可能事件与随机事件，请根据以上知识解决以下1-4题。

1．下列事件中，不可能事件是（）A 、三角形的内角和为1800B 、三角形中大边对的角大，小边对的角小C 、锐角三角形中两个内角的和小于900D 、三角形中任意两边的和大于第三边2．下面给出了四个事件：①明天天晴；②在常温下，焊锡熔化；③自由下落的物体作匀加速直线运动；④函数y=a x （1,0≠>a a 且）在定义域上为增函数，其中，随机事件的个数是（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、33．从12个同类产品（其中有10个正品，2个次品）中，任意抽取3个的必然事件是（）A 、3个都是正品B 、至少有1个是次品C 、3个都是次品D 、至少有1个是正品4．指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件。

（1）如果a>b ，那么a-b>0；（2）将一枚硬币连掷三次，结果出现三次正面；（3）三个小球全部放入两个盒中，其中一个盒子有一个以上的小球；（4）直线Ax+By+C=0左侧区域内的点的坐标可使不等式Ax+By+C>0成立；（5）若R x ∈，则x 2<0。

5．某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的出现了6次，若用A 表示正面朝上这一事件，则A 的（）A 、概率为32B 、频率为53 C 、频率为6 D 、概率接近0.66．掷一枚均匀的硬币，某同学先后共抛掷100次，出现“反面朝上”的次数为56次，则他估计出现“正面朝上”的概率为___________．7．某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表表示：（1）计算表中击中10环的各个概率（2）这名射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？◆能力提高1．事件A发生的频率是不是不变的？事件A的概率P（A）是不是不变的？它们之间有什么联系与区别？2．先后抛掷两枚均匀的硬币，出现等可能性的结果有（）A 、2种B 、3种C 、4种D 、无法判断3．抛掷一个均匀的正方体玩具（它的每一面上分别标有数字1、2、3、4、5、6），它落地时向上的数是3的概率是（）A 、31B 、1C 、21D 、61技能培养1．某人连续抛掷一枚均匀的硬币24000次，则正面向上的次数最有可能的是（）A 、12012次B 、11012次C 、13012次D 、14000次2．任取一个由50名同学组成的班级（称为一个标准班），至少有两位同学生日在同一天（记为事件A ）的概率是0.97。

高考数学总复习提能拔高限时训练：随机事件的概率(练习+详细答案)大纲人教版

提能拔高限时训练50 随机事件的概率一、选择题 1．从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下：卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是（）A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.37 解析：10011186513++++＝0.53,故选A ．答案：A 2．一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球,从中摸出一个球,放回后再摸球,则摸出的两球恰好颜色不同的概率为（） A ．256 B ．2512 C ．53 D ．52 解析：由题意,知所求概率251255221312=⨯••=C C C P ,故选B ．答案：B3．从20名男同学、10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A ．299B ．2910C ．2919D ．2920解析：由题意,知所求概率29201330310320=+-=C C C P ,故选D ．答案：D4．小明同学在网易上申请了一个电子信箱,密码由4位数字组成,现在小明只记得密码是由2个6,1个3,1个9组成,但忘记了它们的顺序,那么小明试着输入由这样4个数组成的一个密码,则他恰好能输入正确密码进入邮箱的概率是（） A ．61 B ．81 C ．121 D ．241 解析：由2个6,1个3,1个9这4个数字一共组成2244A A ＝12种不同的密码顺序,因此小明试着输入由这样4个数组成的一个密码,他恰好能输入正确密码进入邮箱的概率P ＝121,故选C ．答案：C5．福娃是北京第29届奥运会吉祥物,每组福娃都由“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成,甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念,按先甲选再乙选的顺序不放回地选择,则在这两位好友所选择的福娃中,“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为（） A ．101 B ．51 C ．53 D ．54 解析：由题意,知所求概率531415131212==C C C C C P ,故选C ．答案：C6．在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（） A ．511 B ．681 C ．3061 D ．4081 解析：属于古典概型问题,基本事件总数为318C ＝17×16×3,选出火炬手编号为a n ＝a 1＋3（n －1）（1≤n ≤6）, a 1＝1时,由1,4,7,10,13,16可得4种选法; a 1＝2时,由2,5,8,11,14,17可得4种选法; a 1＝3时,由3,6,9,12,15,18可得4种选法. 故所求概率68131617444444318=⨯⨯++=++=C P . 答案：B7．如图,三行三列的方阵有9个数a ij （i ＝1,2,3;j ＝1,2,3）,从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧333231232221131211a a a a a a a a a A ．73 B ．74 C ．141 D ．1413解析：从中任取三个数共有C 39＝84种取法,没有同行、同列的取法有111213C C C ＝6种,至少有两个数位于同行或同列的概率是14138461=-. 答案：D8．从0,1,2,3,4,5,任取三个数字组成三位数,然后拿出卡片若干,每一张卡片上写上一个三位数,最后把所有写着三位数的卡片混合后放在一个箱子里,现从中任取一张卡片,则卡片上的三位数不大于320的概率是（） A ．51 B ．18069 C ．150109 D ．18071 解析：所有卡片数为2616A C ＝180,其中卡片上以1为首位的三位数共有26A 张,以2为首位的三位数有26A 张,以3为首位,以0,1为十位的三位数有1512A C 张,卡片上的三位数不大于320的共有7112151226=++A C A 张,所以概率为18071. 答案：D9．将7个人（含甲、乙）分成三个组,一组3人,另两组各2人,不同的分组数为a,甲、乙分在同一组的概率为P,则a 、P 的值分别为（）A ．a ＝105,P ＝215 B ．a ＝105,P ＝214 C ．a ＝210,P ＝215 D ．a ＝210,P ＝214解析：将7个人分成三组按要求有22222437A C C C ＝105种分法,将甲、乙两人分在同一组有两种情况：①在三人一组,这时有22222415A C C C 种情况;②在两人一组,这时有35C 种情况. ∴2151053522222415=+=C A C C C P . 答案：A10．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n,记向量a ＝（m,n ）与向量b ＝（1,－1）的夹角为θ,则θ∈（0,2π］的概率是（） A ．125 B ．21 C ．127 D ．65解析：∵m＞0,n ＞0,∴a ＝（m,n ）与b ＝（1,－1）不可能同向. ∴夹角θ≠0. ∴θ∈（0,2π］⇔a·b ≥0. ∴m－n ≥0,即m ≥n.当m ＝6时,n ＝6,5,4,3,2,1; 当m ＝5时,n ＝5,4,3,2,1; 当m ＝4时,n ＝4,3,2,1; 当m ＝3时,n ＝3,2,1; 当m ＝2时,n ＝2,1; 当m ＝1时,n ＝1. ∴所求概率12766123456=⨯+++++=P .答案：C 二、填空题 11．将3个不同的小球随意地放入4个不同的盒子内,则3个小球恰在3个不同的盒子内的概率为____________.解析：由题意,知所求概率为834334==A P .答案：83 12．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成,每卷一本,共8本,将它们任意地排成一排,左边四本恰好都属于同一本小说的概率是________.（结果用分数表示）解析：由题意,知所求概率为3512884444==A A A P . 答案：35113．在平面直角坐标系中,从六个点：A （0,0）、B （2,0）、C （1,1）、D （0,2）、E （2,2）、F （3,3）中任取三个,则这三点能构成三角形的概率是_________.（结果用分数表示）解析：已知A 、C 、E 、F 共线;B 、C 、D 共线;六个无共线的点生成三角形的总数为36C ;可构成三角形的个数为15333436=--C C C ,所以所求概率为4336333436=--C C C C . 答案：43 14．将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b 、c,则方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率为___________.解析：一枚骰子掷两次,其基本事件总数为36,方程有实根的充要条件为b 2≥4C ．b 1 2 3 4 5 6使b 2≥4c 的基本事件个数 0 1 2 4 6 6 由此可见,使方程有实根的基本事件个数为1＋2＋4＋6＋6＝19,于是方程有实根的概率为P ＝3619. 答案：3619 三、解答题15．甲、乙两人用4张扑克牌（分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4）玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.（1）设（i,j ）分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况. （2）若甲抽到红桃3,则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少?（3）甲、乙两人约定：若甲抽到的牌面数字比乙大,则甲胜;否则,则乙胜.你认为此游戏是否公平,请说明你的理由. 解：（1）甲、乙两人抽到的牌的所有情况（方片4用4′表示）为（2,3）、（2,4）、（2,4′）、（3,2）、（3,4）、（3,4′）、（4,2）、（4,3）、（4,4′）、（4′,2）、（4′,3）、（4′,4）,共12种不同情况. （2）甲抽到3,乙抽到的牌只能是2,4,4′,因此乙抽到的牌的数字比3大的概率为32. （3）由甲抽到的牌比乙大有（3,2）、（4,2）、（4,3）、（4′,2）、（4′,3）共5种,甲获胜的概率为P 1＝125,乙获胜的概率为P 2＝127, ∵125＜127,∴此游戏不公平. 16．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者. （1）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率; （2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.解：（1）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E a ,那么401)(442533==A C A E P A ,即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是401. （2）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E,那么101)(442544==A C A E P ,所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是109)(1)(=-=E P E P . 教学参考例题志鸿优化系列丛书【例1】将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,求：（1）两数之和为6的概率;（2）两数之积是6的倍数的概率;（3）以第一次向上的点数为横坐标x,第二次向上的点数为纵坐标y 的点（x,y ）在直线x －y ＝3的下方区域的概率.解：（1）两数之和为6的概率为365.表1（2）此问题中含有36个等可能基本事件,记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A,则由表1可知,事件A 中含有其中的15个等可能基本事件,所以1253615)(==A P . 故两数之积是6的倍数的概率为125.表2（3）此问题中含有36个等可能基本事件,记“点（x,y ）在直线x －y ＝3的下方区域”为事件B,则由表2可知,事件B 中含有其中3个等可能基本事件,所以121363)(==B P . 故点（x,y ）在直线x －y ＝3的下方区域的概率为121. 【例2】一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球.已知袋中共有10个球.从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是52;从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是97.求：（1）从中任意摸出2个球,得到的都是黑球的概率;（2）袋中白球的个数.解：（1）由题意知,袋中黑球的个数为45210=⨯. 记“从袋中任意摸出两个球,得到的都是黑球”为事件A,则152)(21024==C C A P .（2）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B ．设袋中白球的个数为x,则971)(1)(210210=-=-=-C C B P B P x. 得到x ＝5.。

[必刷题]2024高一数学下册概率统计专项专题训练(含答案)

[必刷题]2024高一数学下册概率统计专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 在一个装有5个红球和4个蓝球的袋中，随机取出一个球，取出红球的概率是多少？2. 抛掷一枚均匀的硬币两次，恰好出现一次正面的概率是多少？3. 某班有50名学生，其中男生30名，女生20名。

随机选取一名学生，选到女生的概率是多少？A. P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(A∩B) = 0.6B. P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, P(A∪B) = 0.7C. P(A) = 0.6, P(B) = 0.7, P(A∩B) = 0.9D. P(A) = 0.2, P(B) = 0.8, P(A∪B) = 0.95. 下列哪个事件是必然事件？（）A. 从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃B. 抛掷一枚硬币，正面朝上C. 从1到100的整数中随机抽取一个数，抽到质数D. 抛掷一枚骰子，点数大于66. 一个袋子里有10个球，编号为1至10。

随机取出一个球，取到编号为偶数的概率是多少？8. 下列哪个事件的概率为0？（）A. 抛掷一枚骰子，点数为7B. 从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，抽到大小王C. 从1到100的整数中随机抽取一个数，抽到101D. 抛掷一枚硬币，正面和反面同时朝上9. 一个随机变量X的分布列为：P(X=1)=0.2, P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5。

求E(X)的值。

10. 两个相互独立的随机变量X和Y，其中E(X)=2, D(X)=3,E(Y)=4, D(Y)=5。

求E(X+Y)的值。

二、判断题：1. 抛掷一枚均匀的骰子，出现偶数点的概率大于出现奇数点的概率。

（）2. 两个互斥事件一定相互独立。

（）3. 概率分布列中，所有概率值的和必须等于1。

（）4. 随机变量X的期望值E(X)一定等于其方差D(X)。

（）5. 在一个样本空间中，每个样本点出现的概率都相等。

(完整版)高一数学概率测试题及答案.doc

高一数学概率测试题一、选择题（本题有8个小题，每小题5分，共40分）1. 给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件②“当x 为某一实数时可使02<x ”是不可能事件 ③“明天广州要下雨”是必然事件④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，其中正确命题的个数是（）A ．0 B. 1 C. 2 D. 32. 某人在比赛（没有“和”局）中赢的概率为0.6，那么他输的概率是 ( )A ．0.4 B. 0.6 C. 0.36 D. 0.163. 下列说法一定正确的是（）A ．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况B ．一枚硬币掷一次得到正面的概率是21，那么掷两次一定会出现一次正面的情况 C ．如买彩票中奖的概率是万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元D ．随机事件发生的概率与试验次数无关4．某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，每个同学被抽到的概率是41，其中解释正确的是（）A ．4个人中必有一个被抽到 B. 每个人被抽到的可能性是41 C ．由于抽到与不被抽到有两种情况，不被抽到的概率为41 D ．以上说话都不正确 5．投掷两粒均匀的骰子，则出现两个5点的概率为（）A ．361 B. 181 C. 61 D. 125 6．从{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a,b,c}的子集的概率是（） A ．53 B. 52 C. 41 D. 81 7．若A 与B 是互斥事件，其发生的概率分别为21,p p ，则A 、B 同时发生的概率为（）A ．21p p + B. 21p p ⋅ C. 211p p ⋅- D. 08．在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点D ，则AD 的长小于AC 的长的概率为（）A ．21 B. 221- C. 22 D. 2二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）9．如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心的概率是41，取到方片的概率是41，则取到黑色牌的概率是_____________ 10．同时抛掷3枚硬币，恰好有两枚正面向上的概率为_______________11．10件产品中有两件次品，从中任取两件检验，则至少有1件次品的概率为_________12．已知集合}1|),{(22=+=y x y x A ，集合}0|),{(=++=a y x y x B ，若φ≠⋂B A 的概率为1，则a 的取值范围是______________ 三、解答题（共5个小题，每小题8分，共40分）13．由数据1，2，3组成可重复数字的三位数，试求三位数中至多出现两个不同数字的概率.14．从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A=“抽到的一等品”，事件B=“抽到的二等品”，事件C=“抽到的三等品”，且已知P （A ）=0.7，P （B ）=0.1，P （C ）=0.05，求下列事件的概率（1）事件D=“抽到的是一等品或二等品”（2）事件E=“抽到的是二等品或三等品”15．从含有两件正品a,b 和一件次品c 的3件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率 .（1）每次取出不放回；（2）每次取出后放回.16．在某次数学考试中，甲、乙、丙三人及格（互不影响）的概率0.4、0.2、0.5，考试结束后，最容易出现几个人及格？17．设甲袋装有m 个白球，n 个黑球，乙袋装有m 个黑球，n 个白球，从甲、乙袋中各摸一球，设事件A ：“两球相同”，事件B ：“两球异色”，试比较P （A ）与P （B ）的大小.高一数学概率测试题及参考答案1．选（D ）2．选（A ）3．选（D ）4．选（B ）5．选（A ）6．选（C ）7．选（D ）8．选（C ）9．答案：21 10．答案：83 11．答案：4517 12：答案：]2,2[-∈a13．【解】“三位数中至多出现两个不同数字”事件包含三位数中“恰好出现两个不同的数字”与“三个数全相同”两个互斥事件，故所求概率为9727327332=+⨯⨯ 14．【解】由题知A 、B 、C 彼此互斥，且D=A+B ，E=B+C（1）P （D ）=P （A+B ）=P （A ）+P （B ）=0.7+0.1=0.8（2）P （E ）=P （B+C ）=P （B ）+P （C ）=0.1+0.05=0.1515.【解】(1) 每次取出不放回的所有结果有（a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),其中左边的字母表示第一次取出的产品，右边的字母表示第二次取出的产品，共有6个基本事件，其中恰有臆见次品的事件有4个，所以每次取出不放回，取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为3264= （2）每次取出后放回的所有结果：（a,a),（a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c) 共有9个基本事件, 其中恰有臆见次品的事件有4个,所以每次取出后放回，取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为94 16．【解】按以下四种情况计算概率：（1）三人都及格的概率04.05.02.04.01=⨯⨯=p（2）三个人都不及格的概率24.05.08.06.02=⨯⨯=p（3）恰有两人及格的概率26.05.02.06.05.08.04.05.02.04.03=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=p（4）恰有1人及格的概率46.026.024.004.014=---=p由此可知，最容易出现的是恰有1人及格的情况17.【解】基本事件总数为2)(n m +，“两球同色”可分为“两球皆白”或“两球皆黑”则222)(2)()()(n m mn n m mn n m mn A P +=+++=， “两球异色”可分为“一白一黑”或“一黑一白”则2222222)()()()(n m n m n m n n m m B P ++=+++=，显然P （A ）≤P （B ），当且仅当“m=n ”时取等号。

高一数学随机事件及其概率试题

高一数学随机事件及其概率试题1.某环靶由中心圆Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、圆环Ⅲ构成，某射手命中区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则该射手射击一次未命中环靶的概率为（）A．0.1B．0.65C．0.70D．0.75【答案】A【解析】由对立事件概率计算公式得，射手射击一次未命中环靶的概率为1-（0.35+0.30+0.25）=0.1，故选A。

【考点】本题主要考查对立事件的概念及其概率计算公式。

点评：“射手射击一次未命中环靶”就是“脱靶”。

2.某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是．【答案】2=21种选法，【解析】∵从7人中选2人共有C72=6种选法从4个男生中选2人共有C4∴没有女生的概率是=，∴至少有1名女生当选的概率1-=。

【考点】本题主要考查古典概型及其概率计算公式。

点评：在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

3.下列事件属于不可能事件的为A．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为4B．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为8C．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为12D．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为16【答案】D【解析】骰子点数的最大值为6，两次点数和的最大值为12，不可能为16。

【考点】随机事件、不可能事件点评：解答本题要正确区分和理解随机事件、必然事件和不可能事件。

4.给出下列事件：①同学甲竞选班长成功；②两队球赛，强队胜利了；③一所学校共有998名学生，至少有三名学生的生日相同；④若集合A、B、C，满足AÍB，BÍC，则AÍC；⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写上“死”字，再让画师抽“生死签”，画师抽到死签；⑥7月天下雪；⑦从1，3，9中任选两数相加，其和为偶数；⑧骑车通过10个十字路口，均遇红灯．其中属于随机事件的有A．4个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【解析】⑤是必然事件；任意两奇数的和都是偶数，所以⑦是必然事件；①②③⑥⑧为随机事件，故选C。

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