利用导数求函数切线方程

求切线方程的三种方法

求切线方程的三种方法宝子们，今天咱们来唠唠求切线方程的那些事儿。

这切线方程啊，就像是给曲线找到一个最亲密接触的直线小伙伴，可有意思啦。

一、利用导数求切线方程。

咱先说说这个用导数的方法。

导数这玩意儿啊，其实就是曲线在某一点的斜率。

比如说有个函数y = f(x)，咱们先求出它的导数f'(x)。

那在某一点x = a处的切线斜率k呢，就等于f'(a)。

这时候啊，我们已经知道了斜率，再知道这个点(a, f(a))在切线上，就可以用点斜式y - y₁ = k(x - x₁)来求出切线方程啦。

就像你知道一个朋友的走路速度（斜率），又知道他从哪个地方（点）出发，就能算出他走的路线（切线方程）啦。

二、设切点法。

再来说说设切点法。

有时候啊，题目没有直接告诉你切点是啥。

这时候咱就可以聪明点，设切点为(x₀, y₀)。

那这个点既在曲线上又在切线上哦。

如果曲线方程是y = f(x)，那y₀ = f(x₀)。

然后呢，求出函数在x₀处的导数f'(x₀)，这就是切线的斜率啦。

再根据点斜式写出切线方程y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀)。

这就像是在玩一个猜谜游戏，我们先假设一个神秘的点（切点），然后通过各种线索（曲线方程和导数）来找出这个切线方程这个宝藏呢。

三、利用已知切线方程的形式来求。

还有一种方法呢，就是利用已知切线方程的形式。

比如说对于圆的方程(x - a)²+(y - b)² = r²，在点(x₁, y₁)处的切线方程是(x₁ - a)(x - a)+(y₁ - b)(y - b)= r²。

对于椭圆、双曲线等一些特殊的曲线也有类似的固定形式的切线方程哦。

这就像是有个小秘籍一样，直接套用这个形式就能求出切线方程啦。

就好比你有一把万能钥匙，遇到特定的锁（特殊曲线在某点的切线），直接一插就能打开（求出切线方程）啦。

宝子们，这三种求切线方程的方法是不是很有趣呀？只要多练练，你就能在求切线方程这个小天地里畅游无阻啦。

导数的应用曲线的切线和法线问题

导数的应用曲线的切线和法线问题在微积分中，导数是一个重要的概念，它描述了函数在某一点上的变化率。

除了用来求函数的极值和变化趋势外，导数还可以应用于曲线的切线和法线问题。

本文将探讨导数在曲线切线和法线问题上的应用。

一、曲线的切线问题对于给定的曲线，我们可以通过求取该曲线上某一点的导数来确定该点处的切线。

具体的步骤如下：1. 确定曲线上的某一点P(x₀, y₀)。

2. 求取该点的导数dy/dx。

3. 使用点斜式或一般式求取与该点所在切线平行的直线方程。

4. 得到切线的方程。

举例来说，如果我们有一个曲线的方程为y = 2x² + 3x - 4，那么可以依次进行如下步骤来求取曲线在某一点上的切线：1. 确定点P(x₀, y₀)的坐标，假设为P(2, 7)。

2. 求取该点的导数dy/dx，对于曲线y = 2x² + 3x - 4，求导得到dy/dx = 4x + 3。

3. 使用点斜式求取切线的方程，将点P的坐标和导数dy/dx的值代入点斜式方程y - y₀ = m(x - x₀)，得到y - 7 = (4(2) + 3)(x - 2)。

4. 化简方程，得到切线的方程y = 8x - 9。

通过这个例子可以看出，求取曲线切线的关键是求取点的导数，然后利用切线方程将导数与点的坐标结合，得到切线的方程。

二、曲线的法线问题曲线的法线是与该曲线在某一点处相切，垂直于切线的直线。

求取曲线的法线同样可以通过求取该点的导数来完成。

具体的步骤如下：1. 确定曲线上的某一点P(x₀, y₀)。

2. 求取该点的导数dy/dx，并计算其倒数k。

3. 求取法线的斜率nk = -1/k。

4. 使用点斜式求取法线方程。

5. 得到法线的方程。

和曲线的切线问题类似，求取曲线的法线也需要先求取点的导数，然后计算导数的倒数作为法线的斜率。

三、综合案例考虑一个具体的综合案例，假设我们有一个函数f(x) = x³ + 2x²- 3x + 1，我们希望求取该函数在 x = 2 处的切线和法线。

导数的应用切线与法线

导数的应用切线与法线导数的应用：切线与法线导数是微积分中非常重要的概念之一。

通过计算导数，我们可以得到函数在某一点的切线斜率，从而揭示函数在该点的变化趋势。

在实际问题中，我们经常需要使用导数的应用来解决与切线和法线相关的问题。

本文将探讨导数在切线和法线问题中的应用。

一、切线的求解切线是曲线在某一点处与曲线相切且仅与曲线有一个公共点的直线。

切线的斜率正是曲线在该点处的导数。

考虑一个函数f(x)，我们希望求解函数f(x)在点x=a处的切线方程。

首先，我们需要计算函数f(x)在该点处的导数，即f'(a)。

然后，我们可以使用切线的斜率公式来确定切线的斜率：m = f'(a)。

接下来，我们需要找到过点(x=a, f(a))的直线，且斜率为m。

假设切线方程为y = mx + c，其中c为常数。

由于切线过点(x=a, f(a))，我们可以将这一点的坐标代入切线方程得到f(a) = ma + c，进一步，我们可以得到c = f(a) - ma。

因此，函数f(x)在点x=a处的切线方程为y = f'(a)x + (f(a) - af'(a))。

二、法线的求解法线是曲线在某一点处与切线垂直的直线。

法线的斜率是切线斜率的负倒数。

与切线问题类似，我们考虑函数f(x)在点x=b处的法线方程。

首先，我们计算函数f(x)在该点处的导数，即f'(b)。

然后，我们可以使用切线斜率的负倒数来确定法线的斜率：m' = -1/f'(b)。

我们需要找到过点(x=b, f(b))的直线，且斜率为m'。

假设法线方程为y = m'x + d，其中d为常数。

由于法线过点(x=b, f(b))，我们可以将这一点的坐标代入法线方程得到f(b) = m'b + d。

进一步，我们可以得到d = f(b) - m'b。

因此，函数f(x)在点x=b处的法线方程为y = -1/f'(b)x + (f(b) -b/f'(b))。

用导数求切线方程的四种类型

用导数求切线方程的四种类型用导数求切线方程是导数的重要应用之一。

求曲线的切线方程的关键在于求出切点P(x,y)及斜率。

设P(x,y)是曲线y=f(x)上的一点，则以P的切点的切线方程为：y-y=f'(x)(x-x)。

若曲线y=f(x)在点P(x,f(x))的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为x=x。

下面例析四种常见的类型及解法。

类型一：已知切点，求曲线的切线方程这类题较为简单，只需求出曲线的导数f'(x)，并代入点斜式方程即可。

例如，曲线y=x^3-3x^2+1在点(1,-1)处的切线方程为y-(-1)=-3(x-1)，即y=-3x+2.类型二：已知斜率，求曲线的切线方程这类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决。

例如，与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x^2的切线方程为2x-y-1=0.类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法。

例如，求过曲线y=x^3-2x上的点(1,-1)的切线方程。

设想P(x,y)为切点，则切线的斜率为y'|(x=x)=3x^2-2.故所求切线方程为y-(1-2)=(3-2)(x-1)，或5x+4y-1=0.类型四：已知两曲线的交点，求切线方程这类题一般需先求出两曲线在交点处的导数，再代入点斜式方程加以解决。

例如，已知曲线y=x^3-x和y=2x-x^2的交点为(1,0)，求它们在该点的切线方程。

两曲线在交点处的导数分别为1和-1.故所求切线方程为y-(0)=1(x-1)，或y-(0)=-1(x-1)，即y=x-1或y=-x+1.类型四：已知过曲线外一点，求切线方程对于这类问题，我们可以先设定切点，再求解切点，使用待定切点法来解决。

例4：求过点(2,0)且与曲线$y=x/(1+x^2)$相切的直线方程。

解：设P(x,y)为切点，则切线的斜率为$y'=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$。

用导数求切线方程的四种类型知识讲解

用导数求切线方程的四种类型用导数求切线方程的四种类型浙江曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法．类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（）Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（）Ａ．230x y -+=Ｂ．230x y --=Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x x y x ='=-|． ∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--．又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得020011(2)x x x -=--．解得000111x y x ===，，即20x y +-=．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上．设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--．化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。

利用导数求曲线的切线和公切线知识讲解

利用导数求曲线的切线和公切线一. 求切线方程【例1】.已知曲线f(x)=x 3-2X12+1.(1) 求在点P( 1,0 )处的切线l i的方程；⑵ 求过点Q( 2,1 )与已知曲线f(x)相切的直线丨2的方程.提醒：注意是在某个点处还是过某个点！二. 有关切线的条数【解答】解：(I)由 f (x) =2x3- 3x 得f'( x) =6x2- 3,令f，( x) =0 得, x= - ■-或x= ■-,2 2•- f (-2) =- 10, f (-二)=",f ( = ) =- ", f (1) =- 1,••• f (x)在区间［-2, 1］上的最大值为二.(n)设过点P (1, t)的直线与曲线y=f (x)相切于点(X0, y°),则y o=2・” -3x。

，且切线斜率为k=6 ：匚-3,•••切线方程为y-y o= (6：,二-3)(x -x o),••• t - y°= (6 ：,二-3)( 1 - x o),即卩4- 6 . F +t+3=0，设g (x) =4x? - 6x?+t+3 , 则“过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切”，等价于“ g (x)有3 个不同的零点”.T g'(x) =12x2- 12x=12x (x- 1),•g (0) =t+3是g (x)的极大值，g (1) =t+1是g (x)的极小值.•g (0)> 0 且g (1)v 0,即-3v t v- 1,•当过点过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切时，t的取值范围是(-3,- 1).(rn)过点A (- 1, 2)存在3条直线与曲线y=f (x)相切；过点B (2, 10)存在2条直线与曲线y=f (x)相切；过点C (0, 2)存在1条直线与曲线y=f (x)相切.【作业1】.(2017?莆田一模)已知函数 f (x) =2x3- 3x+1, g (x) =kx+1 - Inx .(fM y<1(1)设函数hW二’、，当k v 0时，讨论h (x)零点的个数；g lx)』x^l(2)若过点P (a,- 4)恰有三条直线与曲线y=f (x)相切，求a的取值范围.三. 切线与切线之间的关系【例4】.(2018?绵阳模拟)已知a, b, c€ R,且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f (x) =ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+/HW：c 的取值范围是.解：f '(x) = a + b cos x—c sin x = a +c' cos(x + ^?) = a +cos(x + p)令H + e = 则码 + 0 =环巧+e = g. f\x) ~+dtj题意’存在x r x2E R使得厂(xj厂(兀)= T* 0p(a+cos^X fl + cos^)=_l»即关于。

参数方程的导数与曲线的切线

参数方程的导数与曲线的切线参数方程是描述曲线的一种方式，通常用一个参数来表示曲线上的点的坐标。

在求解参数方程的导数时，我们可以得到曲线上各点斜率的表达式，进而求出曲线上某一点的切线方程。

本文将探讨参数方程的导数与曲线的切线之间的关系。

一、参数方程的导数对于参数方程 x=f(t)、y=g(t)，其中 t 为参数，f(t) 和 g(t) 分别表示曲线在 x 和 y 方向上的坐标。

我们可以通过求 f(t) 和 g(t) 的导数，得到参数方程的导数 dx/dt 和 dy/dt。

具体来说，参数方程 x=f(t) 的导数 dx/dt 表示了曲线在 x 方向上的单位长度变化率，而参数方程 y=g(t) 的导数 dy/dt 表示了曲线在 y 方向上的单位长度变化率。

二、曲线的切线方程曲线的切线是与曲线仅在一个点相切的直线。

对于参数方程x=f(t)、y=g(t) 所表示的曲线，我们可以利用参数方程的导数求解曲线上任意一点的切线方程。

在某一参数值 t0 处，曲线上的点坐标为 (x0, y0)，而曲线在该点的切线的斜率为 dy/dx。

根据导数的定义可知 dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)。

因此，在已知参数方程及其导数的情况下，我们可以求解曲线上任意一点的切线斜率，并利用该斜率和该点的坐标来得到切线方程。

三、参数方程导数与曲线切线的应用参数方程的导数与曲线的切线有着广泛的应用。

其中一些应用包括：1. 曲线的切线近似替代：由于参数方程的导数表示曲线在 x 和 y 方向上的单位长度变化率，我们可以使用曲线上某一点的切线方程来近似代替曲线本身的计算，从而简化问题的复杂度。

2. 曲线的切线求解：通过参数方程导数和切线斜率的计算，我们可以得到曲线上任意一点的切线方程。

这对于研究曲线的特性和性质非常有帮助。

3. 曲线的切线绘制：通过求解切线方程，我们可以绘制出曲线上某一点处的切线。

这有助于我们更好地理解和可视化曲线的形状和变化。

导数求切线方程 - (有答案) - 12

用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法．类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（）Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x x y x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--．又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得020011(2)x x x -=--．解得000111x y x ===，，即20x y +-=．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上．设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--．化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．。

使用函数的导数求解曲线的切线方程

使用函数的导数求解曲线的切线方程函数的导数是解析几何和微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。

通过使用导数，我们可以求解曲线的切线方程，从而研究曲线在不同点上的性质和特征。

在解决曲线切线问题时，我们需要使用函数的导数。

函数的导数可以通过极限的方式定义，也可以通过函数图像上的切线斜率来表示。

设函数f(x)在点(x0, f(x0))处可导，那么曲线在该点的切线方程可以通过函数的导数来求解。

首先，我们需要求解函数f(x)的导数，记为f'(x)或者dy/dx。

导数表示了函数在不同x值上的变化率。

导数的计算方法因函数而异，下面以几个例子说明：1. 对于常数函数f(x) = c，其中c为常数，其导数f'(x) = 0。

因为常数函数在任意点上的斜率都为0。

2. 对于一次函数f(x) = ax + b，其中a和b为常数，其导数f'(x) = a。

一次函数的导数恒为斜率a。

3. 对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，其导数f'(x) = 2ax + b。

二次函数的导数是一次函数。

4. 对于正弦函数f(x) = sin(x)，其导数f'(x) = cos(x)。

正弦函数的导数是余弦函数。

有了函数的导数，我们就可以求解曲线在特定点上的切线方程。

设曲线上一点为(x0, f(x0))，切线的斜率则为导数f'(x0)。

由于切线过点(x0, f(x0))，我们可以使用点斜式或者一般式来求解切线方程。

1. 点斜式：设切线方程为y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)，其中f'(x0)为导数在点(x0, f(x0))处的值。

2. 一般式：设切线方程为y = mx + c，其中m为切线的斜率，c为切线和y轴的交点。

通过上述方法，我们可以使用函数的导数求解曲线在某点上的切线方程。

下面通过一个具体的例子来说明：例：求解曲线y = x^2在点(2, 4)处的切线方程。

利用导数求切线方程

3
题型二：求曲线过一点的切线方程例：已知曲线C：f (x) x3 x 2 ，求经
过点 P(1, 2) 的曲线C的切线方程。
思考（1）判断P点所处的位置？（2）从图像探究，过该点有几条切线，如何印证你的探究
答案：2x-y=0或x+4y-9=0
点P是曲线 y x2 ln x上任意一点，则点P 到直线 y x 2 的最小距离是多少?
T 切线
P
o
x
3.基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=xα(α∈Q*)
f(x)=sinx f(x)=cosx
导函数 f′(x)=__0
f′(x)=___α_x_α_-1
f′(x)=_c_o__s_x f′(x)=__-s_i_n_x_
原函数
导函数
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f(x)=ex
答案：
求曲线上的点到直线的最小距离。
• 练习：
1.求y xex 2x 1在(0，0)处的切线
3x y 1 0
2.曲线y x2 ax b在(0，b)处的切线方程是
x y 1 0，求a,b
a 1,b 1
已知切线方程为y ex,曲线为f (x) ex ,
求切点坐意义
函数 y f (x) 在x x0 处的导数就是函数
y f (x) 的图像在点 (x0 , f (x0 )) 处的切线的斜率，即
k f (x0 )
一.曲线的切线
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时，割线PQ
绕着点P逐渐转动的情况.
y
y=f(x)
割
线 Q
解：f ' (x) 6x2 3 k f '(1) 3 y 1 3(x 1)3x y 4 0

用导数求切线方程教案

用导数求切线方程教案一、教学目标1. 理解导数的几何意义，掌握导数表示曲线在某一点的切线斜率的方法。

2. 学会利用导数求出曲线在某一点的切线方程。

3. 能够运用切线方程解决实际问题，提高数学应用能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）导数的几何意义；（2）利用导数求切线方程的方法。

2. 教学难点：（1）导数表示曲线在某一点的切线斜率；（2）求解切线方程过程中的计算问题。

三、教学方法与手段1. 教学方法：（1）采用讲练结合的方法，让学生在实践中掌握导数与切线方程的关系；（2）通过例题分析，引导学生运用切线方程解决实际问题。

2. 教学手段：（1）利用多媒体课件，展示曲线的图形，增强学生直观感受；（2）借助数学软件，进行实时演示，提高教学效果。

四、教学内容与课时安排1. 教学内容：（1）导数的几何意义；（2）利用导数求切线方程的方法；（3）运用切线方程解决实际问题。

2. 课时安排：（1）第一课时：导数的几何意义，切线斜率的求法；（2）第二课时：利用导数求切线方程的方法；（3）第三课时：运用切线方程解决实际问题。

五、教学过程1. 导入新课：（1）复习导数的定义，引导学生回忆导数的意义；（2）提问：曲线在某一点的切线斜率如何表示？2. 知识讲解：（1）讲解导数的几何意义，引导学生理解导数与切线斜率的关系；（2）介绍利用导数求切线方程的方法。

3. 例题讲解：（1）展示例题，引导学生分析问题，明确解题思路；（2）讲解解题过程，强调关键步骤；（3）总结解题方法，提醒注意事项。

4. 课堂练习：（1）布置练习题，让学生巩固所学知识；（2）引导学生互相讨论，共同解决问题。

5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容，总结切线方程的求法；（2）强调导数在实际问题中的应用价值。

6. 课后作业：（1）巩固所学知识，提高解题能力；（2）培养学生的实际应用能力。

六、教学评价1. 课堂讲解评价：观察学生对导数几何意义和切线方程求法的理解程度，以及他们在例题讲解和课堂练习中的表现。

专题一：用导数求切线方程的四种类

用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法．类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（）Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 1解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．练习：1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( )/A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交答案 B 2.已知函数y ＝f (x )的图像如右图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定!答案 B2．曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )A ．－4B ．0C ．4D ．不存在答案 B10．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( ) A ．2B ．4C ．6＋6·Δx ＋2·(Δx )2D ．6答案 D4．函数y ＝sin 2x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率是( )？答案 D分析将函数y ＝sin 2x 看作是由函数y ＝u 2，u ＝sin x 复合而成的．解析 ∵y ′＝2sin x cos x ， ∴y ′|x ＝π6＝2sin π6cos π6＝322．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．60°答案 B,6．y ＝x 3的切线倾斜角的范围为________．答案 [0，π2) 解析 k ＝y ′＝3x 2≥0.8．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，点P 处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是( )∪⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，π ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π 答案 D解析由y ′＝3x 2－3，易知y ′≥－3，即tan α≥－ 3. ∴0≤α<π2或23π≤α<π.^14．已知曲线C ：y ＝x 3，求在曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程．解析将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，∴切点P (1,1)． ∵y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0x ＋Δx3－x 3Δx＝lim Δx →03x 2Δx ＋3xΔx 2＋Δx3Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.14．求曲线y ＝sin x 在点A (π6，12)处的切线方程．》解析 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x .∴y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，k ＝32. ∴切线方程为y －12＝32(x －π6)．化简得63x －12y ＋6－3π＝0.6．曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1答案 D例3 求曲线y ＝1x 2－3x在点(4，12)处的切线方程．【思路分析】将函数变形为y ＝(x 2－3x )－12，将其看做是由函数y ＝u －12、u ＝x 2－3x 复合而成．:【解析】 ∵y ＝1x 2－3x＝(x 2－3x )－12，∴y ′＝－12(x 2－3x )－32·(x 2－3x )′ ＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)．∴曲线y ＝1x 2－3x 在点(4，12)处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝4＝－12(42－3×4)－32·(2×4－3)＝－516.∴曲线在点(4，12)处的切线方程为 y －12＝－516(x －4)，即5x ＋16y －28＝0.探究3 本题不要将函数y ＝1x 2－3x 看做是由y ＝1u ，u ＝v ，v＝x 2－3x 三个函数复合而成的，这样求导就麻烦了．思考题3 (1)曲线y ＝3x 2＋1在点(1,2)处的切线方程为__________________． |【答案】 3x －2y ＋1＝0(2)y ＝11－x 2的水平切线方程是________．【解析】令y ′＝0，得x ＝0，∴y ＝1.12．求曲线y ＝2x －x 3在点(－1，－1)处的切线的方程及此切线与x 轴、y 轴所围成的平面图形的面积．答案 x ＋y ＋2＝0；28．曲线y ＝e 12 x在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2答案 D解析 ∵y ′＝12·e 12 x，#∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝4＝12e 2.∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)．∴横纵截距分别为2，－e 2，∴S ＝e 2，故选D.11．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋2＝52，∴f (1)＋f ′(1)＝3. 5．如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋f ′(2)＝________.答案 98(解析由题图知，切线方程为x4＋错误!＝1，f (2)＝·(1－24)＝94， f ′(2)＝－错误!＝－错误!. ∴f (2)＋f ′(2)＝94－98＝98.类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=2 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．￥评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．练习：3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(1,1)，(－1，－1) C ．(2,8) D ．(－12，－18)答案 B13．若曲线y ＝2x 3上某点切线的斜率等于6，求此点的坐标．解析 ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →02x 0＋Δx 3－2x 30Δx＝6x 20， ∴6x 20＝6.∴x 0＝±1.故(1,2)，(－1，－2)为所求．3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) —A ．3B ．2C ．1答案 A解析 y ′＝12x －31x ，由12x －3x ＝12.得x ＝3或x ＝－2.由于x >0，所以x ＝3.3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)>0D ．f ′(x 0)不能确定答案 B5．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) }A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在答案 B7．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)答案 D2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0&答案 A解析 ∵l 与直线x ＋4y －8＝0垂直， ∴l 的斜率为4.∵y ′＝4x 3，∴由切线l 的斜率是4，得4x 3＝4，∴x ＝1. ∴切点坐标为(1,1)．∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.故选A.11．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程是________．答案 4x －4y －1＝0解析 k ＝4－12－－1＝1，又y ′＝2x ，,令2x ＝1，得x ＝12，进而y ＝14，∴切线方程为y －14＝1·(x －12)，即4x －4y －1＝0.13．如果曲线y ＝x 2＋x －3的某一条切线与直线y ＝3x ＋4平行，求切点坐标与切线方程．答案切点坐标为(1，－1)，切线方程为3x －y －4＝013．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．答案 3x －y －11＝0解析 y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3≥3，当且仅当x ＝－1时取等号，当x ＝－1，时y ＝－14. ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.|9．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为________．答案 ln2－14．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 C ．－12 D ．－1答案 A14．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.答案 2解析由题意得y ′＝a e ax ，y ′|x ＝0＝a e a ×0＝2，a ＝2.10．函数f (x )＝a sin ax (a ∈R )的图像过点P (2π，0)，并且在点P 处的切线斜率为4，则f (x )的最小正周期为( ) -A ．2πB ．π答案 B解析 f ′(x )＝a 2cos ax ，∴f ′(2π)＝a 2cos2πa . 又a sin2πa ＝0，∴2πa ＝k π，k ∈Z . ∴f ′(2π)＝a 2cos k π＝4，∴a ＝±2. ∴T ＝2π|a |＝π.6．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( )B ．25C ．3 5D ．0|答案 A解析 y ′＝22x －1＝2，∴x ＝1.∴切点坐标为(1,0)．由点到直线的距离公式，得d ＝|2×1－0＋3|22＋12＝ 5. 19．曲线y ＝x (x ＋1)(2－x )有两条平行于y ＝x 的切线，则两切线之间的距离为________．答案 16272解析 y ＝x (x ＋1)(2－x )＝－x 3＋x 2＋2x ，y ′＝－3x 2＋2x ＋2，令－3x 2＋2x ＋2＝1，得 x 1＝1或x 2＝－13.∴两个切点分别为(1,2)和(－13，－1427)．切线方程为x －y ＋1＝0和x －y －527＝0.—∴d ＝|1＋527|2＝16227.类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．6．下列说法正确的是( )A ．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点B ．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处无切线D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)不一定存在答案 D 例3 |例4求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．3解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．练习：类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 、例5求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．4解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--．又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--．解得000111x y x ===，，即20x y +-=．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．5解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上．设切点为00()M x y ，，则点M的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，！故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--．化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．练习：17．已知曲线方程为y ＝x 2，求过A (3,5)点且与曲线相切的直线方程．解析解法一设过A (3,5)与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y －5＝k (x －3)，即y ＝kx ＋5－3k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5－3k y ＝x 2，得x 2－kx ＋3k －5＝0.#Δ＝k 2－4(3k －5)＝0，整理得(k －2)(k －10)＝0. ∴k ＝2或k ＝10. 所求的直线方程为2x －y －1＝0,10x －y －25＝0.解法二设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，由y ＝x 2，得y ′＝2x .∴y′|x＝x0＝2x0.由已知kPA＝2x0，即5－y03－x0＝2x0.又y0＝2x0，代入上式整理，得x0＝1或x0＝5.{18．已知曲线S：y＝3x－x3及点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为()A．0 B．1C．2 D．3答案D解析显然P不在S上，设切点为(x0，y0)，由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3x20.切线方程为y－(3x0－x30)＝(3－3x20)(x－x0)．∵P(2,2)在切线上，∴2－(3x0－x30)＝(3－3x20)(2－x0)，即x30－3x20＋2＝0.—∴(x0－1)(x20－2x0－2)＝0.由x0－1＝0，得x0＝1.由x20－2x0－2＝0，得x0＝1± 3.∵有三个切点，∴由P向S作切线可以作3条．综合练习：10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于()A．0 B．－4C．－2 D．2答案B'解析 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2. ∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4.12．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案 A解析依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，选A.,15．(1)求过曲线y ＝e x 上点P (1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程；(2)曲线y ＝15x 5上一点M 处的切线与直线y ＝－x ＋3垂直，求此切线方程．解析 (1)∵y ′＝e x ，∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′|x ＝1＝e. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为k ＝－1e . ∴所求直线方程为y －e ＝－1e (x －1)，即x ＋e y －e 2－1＝0.(2)∵切线与y ＝－x ＋3垂直，∴切线斜率为1. 又y ′＝x 4，令x 4＝1，∴x ＝±1.∴切线方程为5x －5y －4＝0或5x －5y ＋4＝0.!4．y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) D ．1答案 B解析由已知{ y ＝ax 2＋1，y ＝x 有唯一解，即x ＝ax 2＋1，ax 2－x ＋1＝0有唯一解， ∴Δ＝1－4a ＝0，∴a ＝14.15．点P 在曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标． |解析设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20＋1.f ′(x 0)＝lim Δx →0x 0＋Δx2＋1－x 20＋1Δx＝2x 0. 所以过点P 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x ＋1－x 20.而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点．由{ y ＝2x 0x ＋1－x 20，y ＝－2x 2－1，得2x 2＋2x 0x ＋2－x 20＝0.即Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0.解得x 0＝±233，y 0＝73.~所以点P 的坐标为(233，73)或(－233，73)．17．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值．解析设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2＝k . 若x 0＝0，则k ＝2.若x 0≠0，由y 0＝kx 0，得k ＝y 0x 0.∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0，即3x 20－6x 0＋2＝x 30－3x 20＋2x 0x.解之，得x 0＝32. ∴k ＝3×(32)2－6×32＋2＝－14. 综上，k ＝2或k ＝－14.16．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式． :解析 ∵f (x )＝2x 3＋ax 的图像过点P (2,0)，∴a ＝－8.∴f (x )＝2x 3－8x .∴f ′(x )＝6x 2－8.对于g (x )＝bx 2＋c 的图像过点P (2,0)，则4b ＋c ＝0. 又g ′(x )＝2bx ，∴g ′(2)＝4b ＝f ′(2)＝16. ∴b ＝4.∴c ＝－16. ∴g (x )＝4x 2－16. 综上可知，f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16.1．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1，l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．分析 (1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出直线方程；(2)求面积用S ＝12a ·h 即可完成． :解析 (1)因为y ′＝2x ＋1，则直线l 1的斜率k 1＝2×1＋1＝3，则直线l 1的方程为y ＝3x －3，设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (x0,y0)，因为l 1⊥l 2。

导数与函数的切线法

导数与函数的切线法在微积分中，导数是一个重要的概念，它研究了函数在某一点的瞬时变化率。

导数的应用非常广泛，其中之一就是函数的切线法。

一、导数的定义导数是函数的一种基本性质，表示函数在某一点上的变化率。

对于函数f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)，或者写作dy/dx。

导数的定义如下：对于函数f(x)，如果极限f'(x) = lim(delta x->0) (f(x+delta x) - f(x))/(delta x)存在，那么f(x)在点x处可导，且导数为f'(x)。

二、导数的意义导数可以被理解为函数f(x)在某一点x处的瞬时斜率。

换句话说，导数表示了函数在该点附近的变化趋势。

比如，当导数为正时，表示函数在该点上升；当导数为负时，表示函数在该点下降；当导数为零时，表示函数在该点取得极值。

三、切线法的概念切线法是一种利用导数的概念来研究函数性质的方法之一。

切线是曲线在某一点处与曲线相切的直线。

通过求解导数来获得函数曲线上某一点的切线斜率，从而进一步研究曲线的性质。

四、函数的切线方程已知函数f(x)在点x=a处可导，那么在该点处的切线方程可以通过以下步骤求解：1. 求解导数f'(a)；2. 根据导数获得点(x-a, f'(a))；3. 利用点斜式公式y-y1=f'(a)(x-x1)，其中(x1, y1)为切点坐标，得到切线方程。

五、示例考虑函数f(x)=x^2，我们来求解在点x=2处的切线方程。

1. 求解导数f'(x)：f'(x) = d/dx (x^2) = 2x2. 求解导数f'(2)：f'(2) = 2*2 = 43. 获得切点坐标(x1, y1)：x1 = 2y1 = f(2) = 2^2 = 44. 利用点斜式公式求解切线方程：y-4 = 4(x-2)化简后可得：y = 4x-4六、结论通过导数与函数的切线法，我们可以求解函数在特定点处的切线方程。

利用导数求曲线的切线和公切线以及切线条数专题总结.doc

导数中的切线问题专题总结一、求切线方程1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤2．求过曲线y ＝f (x )外一点P (x 1，y 1)的切线方程的六个步骤(1)设切点(x 0，f (x 0))．(2)利用所设切点求斜率k ＝f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx－f x 0Δx .(3)用(x 0，f (x 0))，P (x 1，y 1)表示斜率．(4)根据斜率相等求得x 0，然后求得斜率k .(5)根据点斜式写出切线方程．(6)将切线方程化为一般式．例1.已知曲线y ＝1x .(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q (1,0)处的切线方程．例2.已知曲线y＝1 x .(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程．3.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=f（-x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线方程是二、求切点坐标【小结】求切点坐标可以按以下步骤进行(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标例1.已知抛物线y ＝2x 2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°.(2)切线平行于直线4x －y －2＝0.(3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0.．变式练习直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切，则a 的值为___________，切点坐标为____________．三、求两个函数公切线公切线问题：切点相同。

()()00x g x f =()()00''x g x f =切点不同。

()()()()k x g x f mkx x g m kx x f ==+=+=212211'',例1、已知直线b kx y +=是曲线2ln +=x y 的切线，也是曲线x e y =的切线，求k 和b 的值解析：例2.若直线b kx y +=是曲线2ln +=x y 的切线，也是y =ln⁡(x +1)的切线，求b 的值例3．已知函数f （x ）=lnx ，g （x ）=2﹣（x ＞0）（1）试判断当f （x ）与g （x ）的大小关系；（2）试判断曲线 y=f （x ）和 y=g （x ）是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由；变式练习1.两曲线y =x 2−1和y =alnx −1存在公切线，则正实数a 的取值范围变式练习2.若曲线y =12e x 2与曲线y =alnx 在它们的公共点P （s,t ）处有公切线，则实数a =变式练习 3.已知函数()()1263,1163223++=--+=x x x g ax x ax x f 和直线m:9+=kx y ,又()01'=-f ，是否存在k,使直线m 既是曲线()x f y =的切线，又是曲线()x g y =的切线？如果存在，求出k 的值四、切线条数切线的条数问题====以切点0x 为未知数的方程的根的个数例1.已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值范围为(1,3)，求：（1）()f x 的解析式；（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．例2.已知函数f （x ）=2x 3﹣3x+1，g （x ）=kx+1﹣lnx ．（1）设函数，当k ＜0时，讨论h （x ）零点的个数；（2）若过点P （a ，﹣4）恰有三条直线与曲线y=f （x ）相切，求a 的取值范围．变式练习.已知函数f （x ）=x 2+2（1﹣a ）x ﹣4a ，g （x ）=﹣（a+1）2，则f （x ）和g （x ）图象的公切线条数的可能值是．。

用导数求切线方程的四种类型[精选.]

用导数求切线方程的四种类型浙江曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法．类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（）Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--．又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--．解得000111x y x ===，，即20x y +-=．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上．设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--．化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。

利用导数求切线方程(归纳)

例题：设点 p为曲线 y = x 3 上任意一点,点 p处切线的倾斜角为 α ,则 α的取值范围 _________
1.点练 1. 点 p在曲线 y = x 3 − x + 1上移动,设点 p处切线的倾斜角为 α ,则 α的取值范围 _________
利用导数求切线方程
1 1 1、练习： y = − + 1在 ( ， 1)处的切线方程 − x 2 2、 y =x 3 − 3 x 2 + 1在 (1， 1)处的切线方程 −
3 、曲线 y = xe x + 1在 (0， 1)处的切线方程 −
4 、曲线 y = x ( x − 1)( x − 2)L ( x − 6)在 (0，处的切线方程 0)
利用导数求切线方程
例题、抛物线 y = x 2，求过点 B(3,5)且与抛物线相切的直线方程
(09文) f ( x ) = x 4 − 3 x 2 + 6， (1)讨论函数的单调性 (2)P在曲线y = f ( x )上，若在点P的切线过原点，求切线方程
利用导数求范围
5 、曲线 y = sin x + e x + 2在 x = 0处的切线方程
y= x 7.曲 7.曲线y = x ln x的平行于y = x + 1的切线方程_____ − 1
8.曲 8. 曲线 y = x 3 + 3 x 2 + 6 x − 10的切线中，斜率最小的切线方程为 _________