高中数学讲义 圆锥曲线中的面积问题
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微专题72 圆锥曲线中的面积问题
一、基础知识:
1、面积问题的解决策略:
(1)求三角形的面积需要寻底找高,需要两条线段的长度,为了简化运算,通常优先选择能用坐标直接进行表示的底(或高)。
(2)面积的拆分:不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和,对于三角形如果底和高不便于计算,则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形
2、多个图形面积的关系的转化:关键词“求同存异”,寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点,从而可将面积的关系转化为线段的关系,使得计算得以简化
3、面积的最值问题:通常利用公式将面积转化为某个变量的函数,再求解函数的最值,在寻底找高的过程中,优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单,便于分析
4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式(证明详见“圆锥曲线的性质”)
(1)椭圆:设P 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点,且12F PF θ∠=,则122tan 2PF F S b θ=V
(2)双曲线:设P 为椭圆()22
221,0x y a b a b
-=>上一点,且12F PF θ∠=,则
1221cot
2
PF F S b θ
=⋅
V
二、典型例题:
例1:设12,F F 为椭圆2
214
x
y +=的左右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,P Q 两点,
当四边形12PF QF 的面积最大时,12PF PF ⋅u u u r u u u u r
的值等于___________
思路:由椭圆中心对称的特性可知,P Q 关于原点中心对称,所以12PF F V 与12QF F V 关于原点对称,面积相等。且四边形12PF QF 可拆成12PF F V 与12QF F V 的和,所以四边形12PF QF 的面积最大即12PF F V 面积最大,因为12121
2
PF F p p S F F y c y =
⋅=⋅V ,所以当p y 最大时,12PF F V 面积最大。即P 位于短轴顶点时,12PF F V 面积最大。由2214
x
y +=可知2,1,3a b c ===
以()()(
)
12
0,1,3,0,3,0P F F -,进而计算出12PF PF ⋅u u u r u u u u r
的值为2-
例2:已知点P 是椭圆2
2
16251600x y +=上的一点,且在x 轴上方,12,F F 分别为椭圆的左右焦点,直线2PF
的斜率为-,则12PF F V 的面积是( )
A.
B.
C.
D.
思路:将椭圆化为标准方程为
22
110064
x y +=,进而可得6c =,所以()()126,0,6,0F F -,计算12PF F V 的面积可以以12F F 为底,y P 为高,所以考虑利用条件计算出P 的纵坐标,设
(),P x y ,则
有2
6PF y k x ==--,所
以22162516006
x y y
x y ⎧+=⎪
⎪=-⎨-⎪>⎪⎩可解
得y =
或19y =-
(舍去)
,所以121211
1222
PF F S F F y =⋅=⋅⋅=V 答案:B
例3:已知F 为抛物线2
y x =的焦点,点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,
2OA OB ⋅=u u u r u u u r
,则ABO V 与AFO V 面积之和的最小值是( ) A. 2 B. 3 C.
8
D.
思路:由2OA OB ⋅=u u u r u u u r
入手可考虑将向量坐标化,设()()1122,,,A x y B x y ,则12122x x y y +=,
进而想到可用韦达定理。所以设AB 与x 轴交于(),0M m 直线:AB x ty m =+。联立方程
220y x y ty m x ty m
⎧=⇒--=⎨
=+⎩,所以22
21212120,y y m x x y y m =-<==,所以由12122x x y y +=可得:222m m m -=⇒=,所以122y y =-,不妨设A 在x 轴上方,如图
可得:()12112119
228
ABO AFO S S OM y y OF y y y +=
⋅-+⋅=-V V ,由122y y =-可知212y y =-
,消元后可得:119238ABO AFO S S y y +=+
≥=V V ,等号成立当且仅当14
3
y =
,所以ABO AFO S S +V V 的最小值为3
例4:抛物线2
4y x =的焦点为F ,准线为l ,经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上
方的部分相交于点A ,AK l ⊥,垂足为K ,则AFK V 的面积是( ) A. 4 B. 33 C. 43 D. 8 思路:斜率为3可知直线的倾斜角为
3
π
,从而可得3KAF π∠=,
所以在计算面积时可利用两边与夹角,所以可得
1sin 23
AKF S AK AF π
=
⋅V ,由抛物线性质可得AK AF =,所以只需求得焦半径AF ,即只需解出A 点横坐标。利用几何关系可
得1
2
A x OF FM OF AF =+=+,另一方面,由焦半径公式可得:1A AF x =+,所以可得方程:()1
132
A A A x OF x x =++⇒=,从而14A AF x =+=,
所以2
1sin 4323
AKF S AF π==V
答案:C
小炼有话说:(1)本题的解法是利用题目中的几何关系求解,绕过代数运算,而突破点即为直线的倾斜角
3
π
,所以当题目中出现特殊角时,可以考虑蕴含其中的几何特点,从而使得运算更为简单。
(2)本题的A x 也可通过联立方程,使用代数方法解决,方法步骤如下: 由抛物线方程可得:()1,0F ,设():31l y x =-,联立方程:
()
()22431431y x
x x y x ⎧=⎪⇒-=⎨
=-⎪⎩,整理可得: 231030x x -+= 3x ∴=或1
3
x =
323x y =⎧⎪∴⎨=⎪⎩或13
233x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
(舍) 3A x ∴=
例5:以椭圆22195
x y +=的顶点为焦点,焦点为顶点的双曲线C ,其左右焦点分别为12,F F ,