高中数学讲义 圆锥曲线中的面积问题

微专题72 圆锥曲线中的面积问题

一、基础知识：

1、面积问题的解决策略：

（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。

（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形

2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化

3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析

4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）

（1）椭圆：设P 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点，且12F PF θ∠=，则122tan 2PF F S b θ=V

（2）双曲线：设P 为椭圆()22

221,0x y a b a b

-=>上一点，且12F PF θ∠=，则

1221cot

2

PF F S b θ

=⋅

V

二、典型例题：

例1：设12,F F 为椭圆2

214

x

y +=的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,P Q 两点，

当四边形12PF QF 的面积最大时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r

的值等于___________

思路：由椭圆中心对称的特性可知,P Q 关于原点中心对称，所以12PF F V 与12QF F V 关于原点对称，面积相等。且四边形12PF QF 可拆成12PF F V 与12QF F V 的和，所以四边形12PF QF 的面积最大即12PF F V 面积最大，因为12121

2

PF F p p S F F y c y =

⋅=⋅V ，所以当p y 最大时，12PF F V 面积最大。即P 位于短轴顶点时，12PF F V 面积最大。由2214

x

y +=可知2,1,3a b c ===

以()()(

)

12

0,1,3,0,3,0P F F -，进而计算出12PF PF ⋅u u u r u u u u r

的值为2-

例2：已知点P 是椭圆2

2

16251600x y +=上的一点，且在x 轴上方，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，直线2PF

的斜率为-，则12PF F V 的面积是（ ）

A.

B.

C.

D.

思路：将椭圆化为标准方程为

22

110064

x y +=，进而可得6c =，所以()()126,0,6,0F F -，计算12PF F V 的面积可以以12F F 为底，y P 为高，所以考虑利用条件计算出P 的纵坐标，设

(),P x y ，则

有2

6PF y k x ==--，所

以22162516006

x y y

x y ⎧+=⎪

⎪=-⎨-⎪>⎪⎩可解

得y =

或19y =-

（舍去）

，所以121211

1222

PF F S F F y =⋅=⋅⋅=V 答案：B

例3：已知F 为抛物线2

y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，

2OA OB ⋅=u u u r u u u r

，则ABO V 与AFO V 面积之和的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C.

8

D.

思路：由2OA OB ⋅=u u u r u u u r

入手可考虑将向量坐标化，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122x x y y +=，

进而想到可用韦达定理。所以设AB 与x 轴交于(),0M m 直线:AB x ty m =+。联立方程

220y x y ty m x ty m

⎧=⇒--=⎨

=+⎩，所以22

21212120,y y m x x y y m =-<==，所以由12122x x y y +=可得：222m m m -=⇒=，所以122y y =-，不妨设A 在x 轴上方，如图

可得：()12112119

228

ABO AFO S S OM y y OF y y y +=

⋅-+⋅=-V V ，由122y y =-可知212y y =-

，消元后可得：119238ABO AFO S S y y +=+

≥=V V ，等号成立当且仅当14

3

y =

，所以ABO AFO S S +V V 的最小值为3

例4：抛物线2

4y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上

方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AFK V 的面积是（ ） A. 4 B. 33 C. 43 D. 8 思路：斜率为3可知直线的倾斜角为

3

π

，从而可得3KAF π∠=，

所以在计算面积时可利用两边与夹角，所以可得

1sin 23

AKF S AK AF π

=

⋅V ，由抛物线性质可得AK AF =，所以只需求得焦半径AF ，即只需解出A 点横坐标。利用几何关系可

得1

2

A x OF FM OF AF =+=+，另一方面，由焦半径公式可得：1A AF x =+，所以可得方程：()1

132

A A A x OF x x =++⇒=，从而14A AF x =+=，

所以2

1sin 4323

AKF S AF π==V

答案：C

小炼有话说：（1）本题的解法是利用题目中的几何关系求解，绕过代数运算，而突破点即为直线的倾斜角

3

π

，所以当题目中出现特殊角时，可以考虑蕴含其中的几何特点，从而使得运算更为简单。

（2）本题的A x 也可通过联立方程，使用代数方法解决，方法步骤如下： 由抛物线方程可得：()1,0F ，设():31l y x =-，联立方程：

()

()22431431y x

x x y x ⎧=⎪⇒-=⎨

=-⎪⎩，整理可得： 231030x x -+= 3x ∴=或1

3

x =

323x y =⎧⎪∴⎨=⎪⎩或13

233x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

（舍） 3A x ∴=

例5：以椭圆22195

x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别为12,F F ，