等比数列的性质

等比数列的性质
学习目标 1. 复习等比数列的定义、公比、等比中项等概念，复习
等比数列的判定方法. 2. 类比等差数列的性质猜想并证明等比数列的性质. 3. 体会类比、分类讨论的数学思想以及归纳、猜想、证
明的过程.
复习回顾
1.等比数列的定义： 如果一个数列从 第2项 起，每一项与它的前 一项的 比 等于同一常数 ，那么这个数列叫 做等比数列.这个常数叫做等比数列的 公比 ， 公比通常用字母 q 表示( q≠0)
则am＋an＝as＋at.
证明：设等差数列{an} 的首项为 a1 ,公差为d,则
am＋an＝ a1+ (m-1)d+a1 +(n-1)d ＝ 2a1+ (m+n-2)d ＝ 2a1+ (s＋t -2)d ＝ a1+ (s-1)d+a1 +(t-1)d ＝as＋at
思路：先把am、an用基本 量表示再求和
∴ am·an＝ ak·ak＝ak2
等比数列{an}的这两条 性质可以概括为：
下标之和相等，则通 项之积相等.
(3)对等差数列{an} 中 任意两项am , an，都有
an＝ am ＋(n-m)d.
证明：由等差数列{an} 的通项 公式得
an＝ a1 ＋(n-1)d
①
am ＝ a1 ＋(m-1)d
②
①- ②得
an - am ＝(n-m)d ∴ an＝ am ＋(n-m)d
猜想
(3)对等比数列{an} 任 意两项am , an，
都有an＝ am ·q n-m .
证明：由等比数列{an} 的通项 公式得
an ＝ a1·q n-1 ① am ＝ a1·q m-1 ② ① ÷ ②得 an ÷ am ＝ q n-m ∴ an＝ am ·q n-m
等差、等比数列的性质
性质
等差数列
若m＋n＝s＋t，
1
则am＋an＝as＋at.
若m＋n＝2k，
2
则am＋an＝2ak.
等比数列
若m＋n＝ s＋t ， 则am·an ＝as·at.
若m＋n＝2k， 则am·an＝ak2.
相同点
等式左右两边都有两项
不同点 等式左右两边都是两项的和 等式左右两边都是两项的积
成等比数列 ，那么G叫做a与b的 等比中项 .
注意：1．G是a与b的等比中项，则a与b的符号 相同 ， 符号相反的两个实数不存在等比中项．
G＝ ab ，即等比中项有 两个 ，且互为 相反数 ．
2．当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项． 例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数列.
4.等比数列的通项公式
若m＋n＝ s＋t ， 则am·an ＝as·at.
若m＋n＝2k，
2
则am＋an＝2ak.
若m＋n＝2k， 则am·an＝ak2.
相同点
等式左右两边都有两项
不同点 等式左右两边都是两项的和 等式左右两边都是两项的积
{an} 中任意两项am ，an， {an} 中任意两项am ，an，
3 都有an＝ am ＋(n-m)d.
3
{an} 中任意两项am,
{an} 中任意两am,an，
an都有an＝ am ＋(n-m)d. 都有an＝ am ·q n-m
辨析
在等比数列{an}中，判断下列等式是否成立
(1)a3 a7 a1 a9 ×
(2)a3 a5 a8
×
(3)a5 a8 a6 a7
√
(4)a3 a7 a52
注意：等比数列的任意一项和公比都不能为零！
2.在等比数列{an}中，对于公比q (1)若q 0,则{an}为正负相间摆动数列 ； (2)若q=1,则{an}为非零的常数列 ； (3)若{an}为单调数列，则 q>0且q≠1 ； (4)所有的奇数项符号 相同 ；
所有的偶数项符号 相同 .
3.如果在a与b中间插入一个数G，使a， G，b
之积为 37
3.在等比数列an中，a7 2, a9 8,则a8 _±__4
4.在等比数列an中，a6 2, a10 8,则a8 _4__
5.在等比数列an中，a3 4, a9 9,则a6 _±__6
小结
性质
1
等差、等比数列{an}通项公式的性质
等差数列
等比数列
若m＋n＝s＋t， 则am＋an＝as＋at.
猜想
(1)在等比数列{an}中
若m＋n＝s＋t , 则 am·an ＝as·at .
证明：设等比数列{an} 的首项为
a1 ,公比为q,则
am·an ＝ a1·q m-1 ·a1·q n-1 ＝ a1·a1·q m+n-2 ＝ a1·a1·q s+t-2 ＝ a1·q s-1 ·a1·q t-1 ＝as·at
(2)等比中项法： an2 an1 an1 (an≠0，n∈N*)⇔{an}
为等比数列．
(3) 通 项 公 式 法 ： an ＝ a1qn － 1( 其 中 a1 ， q 为 非 零 常 数 ， n∈N*)⇔{an}为等比数列．
新课讲授
1.等比数列的性质
(1)在等差数列{an}中 若m＋n＝s＋t ,
(2)在等差数列{an}中 若m＋n＝2k，
则am＋an＝2ak.
证明： ∵ m＋n＝2k ＝k ＋ k
∴ am＋an＝ ak＋ ak＝2ak
等差数列{an}的这两条 性质可以概括为：
下标之和相等，则通项 之和相等.
猜想
(2)在等比数列{an}中 若m＋n＝2k， 则 am·an＝ak2 .
证明： ∵ m＋n＝2k ＝k ＋ k
都有an＝ am ·q n-m
作业
作业:课时跟踪检测(十一)
√
典型例题
例1若等比数列{an}满足a2a4 1
1 2
，则a1a5
1 2
;
a32 2 .
例2 已知数列{an}是等比数列Biblioteka Baidua3＋a7＝20， a1a9＝64，求a11的值．
性质应用
1.在等比数列a n中，已知a1 5, a9a10 100,
则a18 20
2.在等比数列bn中，b4 3,则该数列前七项
an＝a1·qn-1
注意：从方程的观点看等比数列的通项公式，an＝a1·qn-1 中包含了四个量an、a1 、 q 、n，已知其中的任意 三 个 量，可以求得另一 个量．
5.等比数列的判定
an1
an
(1)定义法： an ＝q(q为常数且q≠0)或 an1
＝q(q
为常数且q≠0，n≥2)⇔{an}为等比数列．