4年级-20-多人多次相遇与追及-难版

第20讲 行程-多人多次相遇追及

本讲在以前学习相遇追及的基础上进行综合拓展，难度较大，教师要把握好节奏。 多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。 所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式：

=⨯路程和速度和相遇时间；

=⨯路程差速度差追及时间；

多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．

【例1】★甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？

【解析】从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为300103000⨯=米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了 3.5300014003.54

⨯=+米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行300200100-=米才能回到出发点．

【小试牛刀】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是典型例题

知识梳理

每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？

【解析】17

【例2】★★上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？

【解析】画一张简单的示意图：

图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.

而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）.

这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.

但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.

少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟. 8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。

【例3】★★甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？

【解析】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：

可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．【小试牛刀】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次

相遇地点离A 地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B 地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.

【解析】4×3=12千米，通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距B 地的3千米，所以全程是12-3=9千米，所以两次相遇点相距9-（3+4）=2千米。

【例4】★★有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米?

【解析】甲、丙6分钟相遇的路程：()1007561050+⨯=(米)；

甲、乙相遇的时间为：()10508075210÷-=(分钟)；

东、西两村之间的距离为：()1008021037800+⨯=(米).

【小试牛刀】甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B 地、乙和丙从A 地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A ，B 两地的距离．

【解析】甲遇到乙后15分钟，甲遇到了丙，所以遇到乙的时候，甲和丙之间的距离为：（60＋40）×15＝1500（米），而乙丙之间拉开的距离一共要1500÷（50-40）=150（分），即从出发到甲与乙相遇共经过了150分钟，所以A 、B 之间的距离为：（60+50）×150＝16500（米）．

【例5】 ★★★(2009年四中入学测试题)在公路上，汽车A 、B 、C 分别以80km /h ，70km /h ，50km /h 的速度匀速行驶，若汽车A 从甲站开往乙站的同时，汽车B 、C 从乙站开往甲站，并且在途中，汽车A 在与汽车B 相遇后的两小时又与汽车C 相遇，求甲、乙两站相距多少km ？

【解析】汽车A 在与汽车B 相遇时，汽车A 与汽车C 的距离为：(8050)2260+⨯=千米，此时汽车B 与汽车C 的距离也是260千米，说明这三辆车已经出发了260(7050)13÷-=小时，那么甲、乙两站的距离为：(8070)131950+⨯=千米．

【小试牛刀】甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B 地、乙和丙从A 地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A ，B 两地的距离．

【解析】甲遇到乙后15分钟，甲遇到了丙，所以遇到乙的时候，甲和丙之间的距离为：（60＋40）×15＝1500（米），而乙丙之间拉开这么大的距离一共要1500÷（50-40）=150（分），即从出发到甲与乙相遇一共经过了150分钟，所以A 、B 之间的距离为：（60+50）×150＝16500（米）．

【例6】★★甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走65米，丙每分钟走70