09：三次函数图像的切线

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三次函数图象上点的切线条数

三次函数图象上点的切线条数
三次函数图象上点的切线条数是数学中一个很重要的概念，它在许多应用领域中被广泛使用。

本文将简要介绍三次函数图象上点的切线条数的概念，并讨论它在实际中的应用。

三次函数图象上点的切线条数，也称为切线的度数，是指在三次函数图象上的某点处，其切线的条数。

由于三次函数图象的复杂性和细微差别，它的切线条数通常由切线的性质来确定，它的切线条数和图象的凹凸性有关。

如果给定的三次函数图象是凸的，则其上的每一点都有切线；如果给定的三次函数图象是凹的，则有些点不存在切线。

三次函数图象上点的切线条数在微积分中有着重要的应用。

因为它可以直接决定函数在某点的变化趋势，从而可以用来判断函数的单调性。

从函数的变化趋势可以得到函数在极值点处的增减性，进而可以求出函数的极值点。

另外，三次函数图象上点的切线条数也可以用来解决微积分中有关曲线定积分及极限的问题。

三次函数图象上点的切线条数还有其他应用，比如机械制造、工程设计、数字信号处理等。

在机械制造中，三次函数图象上点的切线条数可以应用于设计曲面夹具和曲线管路；在工程设计中，它可以用来计算结构物的载荷分布；在数字信号处理中，它可以用来求解信号的频率范围和时间响应。

因此，三次函数图象上点的切线条数的确是一个重要的概念，它在数学及其应用领域中都有着广泛的应用。

如果想要研究切线条数的相关知识，推荐大家学习计算机图形学、微积分、机械设计等课程。

三次函数切线问题

三次函数切线问题【探究拓展】探究1：切线的辩证定义设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线。

随着点Q 沿着曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C 。

当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线也称为曲线在P 点处的切线。

探究2：填表：曲线在P 点附近的局部图像反映出如下特点在运动中：探究3：切线问题的辩证策略TnA 1A例1：若直线y x =是曲线323y xx ax =-+的切线，则a ＝．（零点法）↑y x =是曲线323y x x ax =-+相切x a x x y )1(323-+-=与x 轴相切↓ ↑ 联立()32323103y xx x a x y x x ax=⎧⇒-+-=⎨=-+⎩有重根→新联立⎩⎨⎧-+-==xa x x y y )1(3023↓ （重根法）变式1：（2020年）曲线px x y +=3与q y -=相切，求证32032p q ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变式2：方程30xpx q ++=有几个实根？探究4：切线问题的辩证思考：联系——数形结合、函数与方程、转化与化归发展——量变与质变、运动观点探究5：辩证思维的强化延伸由原点向曲线x x x y +-=233引切线，切于不同于点O 的点()111, P x y ，再由1P 引切线切于不同于1P 的点()222, P x y ，如此继续下去……，得点到(){}, nnnP x y ．（1）求1x ；（2）求1与nn xx +的关系；（3）点列{}nP 有何特点？拓展1：若直线y x =是曲线3231y xx ax =-+-的切线，则a ＝拓展2：直线y kx m =+对一切m ∈R 与曲线326910y xx x =-+-有且只有一个交点，求k 的取值范围，并尝试一下，将结论推广到任意三次曲线的情形，此外能否从运动变化的观点阐述上述结论的几何意义．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。

三次函数性质解析版

三次函数的图像及性质形如的函数叫做三次函数，其中是自变量，是常数。

它具有以下性质：1、图像、单调区间与极值三次函数求导以后是二次函数，，它的零点个数决定了三次函数的极值情况与单调区间，下面是三次函数及其对应的导函数全部共六种图像：2、零点个数△=，若方程的判别式，则在R 上是单调函数，无极值，值域为，故有唯一的零点。

若方程的判别式，方程有两个不等的实根、，它们是函数的极值点，则：（i ）当时，有一个零点；（ii ）当时，有两个零点；32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠x ,,,a b c d2()32f x ax bx c '=++xx 0a >0a <)3(412422ac b ac b -=-()0f x '=0∆≤()f x (,)-∞+∞()0f x '=0∆>1x 2x ()f x 12()()0f x f x ⋅>()fx xxxx12()()0f x f x ⋅=()f x（iii ）当时，有三个零点。

3、对称中心三次函数的图象关于点对称，并且在处取得最小值，其图象关于直线对称. 证1 易知是奇函数，图象关于原点对称，则关于点对称. 4、过平面内一点能作三次函数图像切线的条数（1） (2012·大纲全国高考)已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( )A ．－2或2B ．－9或3C ．－1或1D ．－3或1答案：A（2）函数f(x)=x 3-3x 2+x -1的图象关于（）对称A 、直线x=1B 、直线y=xC 、点(1,-2)D 、原点(3)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的对称中心为M (x 0，y 0)，记函数f (x )的导函数为f ′(x )，f ′(x )的导函数为f ″(x )，则有f ″(x 0)＝0.若函数f (x )＝x 3－3x 2，则f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017＝( )A ．－8 066B ．－4 033C ．8 066D ．4 033xxxx12()()0f x f x ⋅<()fx xx)0()(23>+++=a d cx bx ax x f ))3(,3(abf a b --)('x f a b x 3-=abx 3-=)3()3)(3()3()(2323abf a b x a b c a b x a d cx bx ax x f -++-++=+++=x ab c ax x g )3()(23-+=)(x f ))3(,3(a b f a b --2条1条【解析】由f (x )＝x 3－3x 2得f ′(x )＝3x 2－6x ，f ″(x )＝6x －6，又f ″(x 0)＝0，所以x 0＝1且f (1)＝－2，即函数f (x )的对称中心为(1，－2)，即f (x )＋f (2－x )＝－4.令S ＝f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017，则S ＝f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫12 017，所以2S ＝4 033×(－4)＝－16 132，S ＝－8 066.解析由f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0)的图象关于成中心对称知选C（4）已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则（）A 、b ∈(-∞,0)B 、b ∈(0,1)C 、b ∈(1,2)D 、b ∈(2,+ ∞解析显然f(0)=d=0，由f(x)=ax(x -1)(x -2)知a>0，又 f(x)= ax 3-3ax 2+2ax 比较系数可知b=-3a<0，故选A(5) 试确定的a,b,c,d 符号（答：a>0,b<0,c>0,d=0）（6）（2013课标全国Ⅱ卷，10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ）（A ）x α∈R,f(x α)=0 （B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若x 0是f （x ）的极值点，则解析：由三次函数值域为R 知f(x)=0有解，A 正确；由性质可知B 正确;由性质可知若f(x)有极小值点，则由两个不相等的实数根,,则f(x)在（-∞,x 1)上为增函数，在上为减函数，在（x 2，,)上为增函数，故C 错。

用《几何画板》实现三次函数的切线的条数

《几何画板》小妙招判断三次函数的切线的条数于非洲山东临沂第一中学 2760001引言过平面内任意一点P 作一个三次函数图象的切线，可能有一条，二条或三条. 可是，当点P 落在怎样的一个区域内时可以作一条，二条或三条呢？本文拟用《几何画板》软件实现对这一问题的直观化.2探索由于一般的三次函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠都是中心对称曲线，其对称中心为(,())33b bg a a--，所以其函数解析式可化为： 23()()()()3333b b b b y a x c x g a a a a=++-++-.于是通过变换：2,3(),()3,.3b x x a b y y g a m a b n c a ⎧'=+⎪⎪⎪'=--⎪*⎨⎪=⎪⎪=-⎪⎩就可以把问题转化为研究最简单的三次函数3()(0)f x mx nx m =+≠的切线问题了.设点00(,)M x y 为平面上任一点，过点M 作函数3()f x mx nx =+的切线，设切点坐标为11(,)x y ，则切线方程为：2111(3)().y y mx n x x -=+-把点00(,)M x y 的坐标代入上式，并整理得关于1x 的方程：3210100230mx mx x y nx -+-=.于是，过点M 有几条切线，就等价于这个关于1x 的三次方程有几个不同的零点.设32000()23(0)h x mx mx x y nx m =-+-≠，则由200()666()0,h x mx mx x mx x x '=-=-=得到00,.x x x ==当00x =时，30()2(0)h x mx y m =+≠在R 上是单调函数，()h x 只有一个零点，这时过点M 只有一条切线. 特别的，当点(0,0)M 为3()f x mx nx =+的对称中心时，其切线方程为y nx =.当00x ≠时，()h x 有两个极值，一个是极大值，一个是极小值，其函数值分别是00(0)h y nx =-，30000()h x y mx nx =--. ()h x 的零点的个数就与这两个极值的符号有关：若(0)h 与0()h x 同号，即0(0)()0h h x ⋅>时()h x 只有一个零点，这时过点M 只有一条切线；若(0)h 与0()h x 中有且只有一个为0，即0(0)()0h h x ⋅=时()h x 有两个零点，这时过点M 有两条切线；若(0)h 与0()h x 异号，即0(0)()0h h x ⋅<时，()h x 有三个零点，这时过点M 有三条切线.3规律及图解：注意到当00(0)0h y nx =-=时，点M 恰在过对称中心的切线y nx =上；当30000()0h x y mx nx =--=时，点M 恰在函数3()f x mx nx =+的图像上. 如果把函数3()f x mx nx =+的图像想象成一条直线的话，那么y nx =与3()f x mx nx =+的图像相交于对称中心，它们把平面分成如下几部分（如图1）：一个交点（三次函数的对称中心），四条射线，四个两两对顶的区域. 通过以上的研究，我们不仅很容易知道过一个点能够作多少条切线，而且也使得用《几何画板》图解这一有趣的现象成为可能的了：当点M 为3()f x mx nx =+的对称中心（0，0）时，过点M 有且只有一条切线y nx =（如图2）；图1 图2当点M 落在两个对顶区域且满足300000()()0y nx y mx nx --->时，过点M 有且只有一条切线（如图3和图4）；图3 图4当点落M 在四条射线上（不含对称中心）即满足300000()()0y nx y mx nx ---=时，过点M 有且只有两条切线（如图5和图6）；图5 图6当点M 落在两个对顶区域且满足300000()()0y nx y mx nx ---<时，过点M 有且只有三条切线(如图7和图8）；图7 图84应用掌握了这一规律，我们不仅能够准确的判断出过一个点能够作多少条切线，而且还可以利用这一规律轻松解题呢！例1 已知曲线C ：3()2f x x x =-+，试问：分别过点（1）(0,54)-，（2）(2,0)，（3）16(,2)11作曲线C 的切线有几条？解：这里1,0,1,2a b c d ===-=，20,()2,1,1333b b b f m n c a a a-=-===-=-，所以通过变换()*即,2,1,1.x x y y m n '=⎧⎪'=-⎪⎨=⎪⎪=-⎩可以把原函数转化为3y x x =-，三个点分别转化为16(0,56),(2,2),(,0)11--.（1）300000()()31360y nx y mx nx ---=>Q ,∴过点(0,56)-作3y x x =-的切线只有一条；(2) 300000()()0y nx y mx nx ---=Q ,∴过点(2,2)-作3y x x =-的切线有两条；(3) 300000()()y nx y mx nx ---=Q 24161601111⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴过点16(,0)11作3y x x =-的切线有三条.于是原问题获解.例2（2008南昌一模）已知3()3,f x x x =-过点(1,)(2)A a a ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，则a 的取值范围是（）A.(1，-1)B.（-2，3）C.（-1，-2）D.(-3，-2)解：这里的1,3m n ==-，001,x y a ==，所以当 []3(3)11310a a ⎡⎤--⋅-+⨯<⎣⎦即32a -<<-时为所求. 答案为D.例3（2007全国II 卷）已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，其充要条件为 ()(())0b a b f a +⋅-<，注意到30,(),a f a a a a >=->- 所以有()a b f a -<<.。

江苏省南通市2020届高三数学专题复习课程资源——三次型函数切线问题的求解策略(教师版)

三次型函数切线问题的求解策略三次函数频频出现在高考试卷中,成为高考试卷的一大亮点.其中三次函数的切线问题是高频考点，通常结合三次函数的零点问题考查.三次型函数最值问题是竞赛和自主招生的难点，有一定的思考力.三次型函数的切线问题（一）一、三次函数的概念：形如()320y ax bx cx d a =+++≠的函数，称之为三次函数. 二、三次函数的图象特征和零点分布：对于三次函数()32()0f x ax bx cx d a =+++≠，其导函数为二次函数()2()320f x ax bx c a '=++≠，()f x '的判别式()243b ac ∆=-.现以0a >为例，（1）若032≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数，)(x f 在R 上无极值；（2）若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中aacb b x a ac b b x 33,332221-+-=---=.)(x f 在R 上有两个极值，且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值.综上可得，当三次函数存在极值时，其图象、零点、极值的关系：问题一：过三次函数极值点的切线例1（2016年天津卷）设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中,.a b R ∈ 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=. 策略一：验证1032x x =-，即验证()()1032f x f x =-.()32200000001(32)(22)3(1)(32)(1)21()()f x x x x b x x b f x f x -=-----=----== 根据函数()f x 的单调性直接推出结论.本策略不具有一般性，能否寻求解决这类问题的一般性思路呢？策略二：直接求零点33010011()()[(1)][(1)]f x f x x ax b x ax b -=------- 330101(1)(1)()x x a x x =-----22010011()[(1)(1)(1)(1)]x x x x x x a =--+--+--2220100110()[(1)(1)(1)(1)3(1)]x x x x x x x =--+--+--- 22010011()[2(1)(1)(1)(1)]x x x x x x =---+--+- 20101()[2(1)(1)]x x x x =-----20101()(23)0x x x x =---+=（*）又01x x ≠，故1023x x +=.我们可以关注到策略二可以推广到一般情形，利用三次函数在极值点处的切线列出等式，（*）式的一般形式含有因式()20x x -，从而迅速求出另外一个交点横坐标.其一般形式如下：若0x 为三次函数32()f x ax bx cx d =+++的极值点，过00(,())x f x 的直线y k =与三次函数()f x 交于点11(,())x f x ，则研究函数()()g x f x k =-的零点问题可以利用201()()()g x a x x x x =--.例2（2012年江苏卷）若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点.已知,a b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点.设()(())h x f f x c =-，其中[]2,2c ∈-，求函数()y h x =的零点个数.思路分析：本题本质上是研究由三次函数复合的函数零点问题，可先从“形”入手，直接将c 的取值分为2c =和2c <两类.我们以2c =为例，直线2y =为过极值点1x =的切线，则32()232(1)(2)y f t t t t t =-=--=--，迅速求得另一交点横坐标为2.为零点的讨论带来极大的方便.解：易得==3a b -0，.令()=f x t ，则()()h x f t c =-. 先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈- 当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为1和一2 ，注意到()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为一和 2.当2d <时，∵(1)=(2)=20f d f d d >----，(1)=(2)=20f d f d d <----- ，∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根.由（1）知()()()=311f'x x x +-.① 当()2x ∈+∞，时，()0f'x > ，于是()f x 是单调增函数，从而()(2)=2f x >f . 此时()=f x d 在()2+∞，无实根. ② 当()12x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数.又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断，∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根.同理，()=f x d 在（一2 ，一1）内有唯一实根. ③ 当()11x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数.又∵(1)0f d >--， (1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断，∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根.因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，；当2d < 时，()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x <i ，. 现考虑函数()y h x =的零点：（i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，. 而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个零点.（ⅱ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足2 =3, 4, 5i t <i ，. 而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9 个零点.综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9个零点. 拓展研究：当2c <-或2c >时，函数()y h x =的零点个数情形如下：当2(1)c f >=-时，方程()f t c =有且仅有一个大于2的实根，故()y h x =有且仅有一个零点；同理，当2c <-时，()y h x =有且仅有一个零点.提示：解决复合函数零点问题需要强化数形结合基本数学思想. 练习：设函数32()3f x x x bx c =-++的图象如图所示，且与直线y =0在原点处相切.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）设1m >，如果过点(,)m n 可作函数()y f x =的图象的三条切线，求证：13()m n f m -<<.解：（1）由图可知，函数的图象经过（0，0）点，∴0c =，又图象与x 轴相切于（0，0）点，2'()36f x x x b =-+，由'(0)0f =得b =0，32()3f x x x ∴=-.（2）由（1）可知2()36f x x x '=-，设函数在点(,())t f t 处的切线方程为232(36)()(3)y t t x t t t =--+-. 若切线过点(,)m n ，则存在实数t ，使232(36)()(3)n t t m t t t =--+-，即322(33)60t m t mt n -+++=.令()g t =322(33)6t m t mt n -+++，则2()66(1)66()(1)g t t m t m t m t '=-++=--.1,m >∴Q 当1t <或t m >时，()0g t '>；当1t m <<时，()0g t '<.()g t ∴在1t =时取得极大值(1)31g m n =+-，在t m =时取得极小值()()g m n f m =-.如果过点(,)m n 可作函数()y f x =的图象的三条切线，则方程322(33)60t m t mt n -+++=有三个相异的实数根， (1)310()()0g m n g m n f m =+->⎧∴⎨=-<⎩， ∴13()m n f m -<<. 三次型函数的切线问题（二）问题二：过三次函数图象上任一点的切线设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切.若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线. 证明：设),(11y x P ，过点P 的切线可以分为两类：①若P 为切点，则21111'()32k f x ax bx c ==++，切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-②若P 不是切点，则过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点22(,)Q x y ，12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--=()()22212112a x x x x b x x c =+++++xyO又22222'()32k f x ax bx c ==++ (1)∴c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22223即0)2)((1212=++-ab x x x x ∴a bx x 22112--=代入（1）式得 c ab bx ax k +-+=4214321212，当21k k =时，=++c bx ax 12123c ab bx ax +-+421432121 ， ∴当a bx 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线；当abx 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线，其切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-，))(42143(121211x x c ab bx ax y y -+-+=- 综上可得：过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ，…，),(n n n y x P ，…，则abx x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点n P 趋近三次函数图象的对称中心，即三次函数图象上的拐点.特别地，过三次函数图象上拐点的切线只有一条.例3(2012北京卷)已知函数23()1(0),()f x ax a g x x bx =+>=+.（1）若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；（2）当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．思路分析：本题容易忽视“在它们的交点(1,)c 处具有公切线”的双重性而造成条件缺失，不能列出关于,a b 的方程组，从而使题目无法求解. 简析：（1）f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，所以(1)(1)'(1)'(1)f g f g =⎧⎨=⎩，容易求得3a b ==.（2）设h (x )＝f (x )＋g (x )，∵a 2＝4b ，∴h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1.则h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2，令h ′(x )＝0，解得x 1＝－a 2，x 2＝－a6.(5分)由a >0，得h (x )与h ′(x )的变化情况如下：x ⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2 －a 2 ⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6 －a 6⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞ h ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋h (x )∴函数h (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2和⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a6. ①当－1≤－a2，即0<a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －a 24；②当－a 2<－1<－a6，即2<a <6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－a 2，－1上单调递减，在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1； ③当－1≥－a 6，即a ≥6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6上单调递减，在区间⎝⎛⎦⎤－a 6，－1上单调递增，又因为h ⎝⎛⎭⎫－a 2－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2>0，所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 综上所述，当a ∈(0,2]时，最大值为h (－1)＝a －a 24；当a ∈(2，＋∞)时，最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 问题三：过三次函数图象外一点的切线设点),(00y x P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象外则过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切. 令00()()'()()g x y f x f x x x =-+-，则（1）若,30a bx -=则过点P 恰有一条切线；（2）若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -0>，则过点P 恰有一条切线；（3）若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -=0，则过点P 有两条不同的切线；（4）若,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0<，则过点P 有三条不同的切线.证明：设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(11y x Q 则切线方程为),)(23(11211x x c bx ax y y -++=-把点),(00y x P 代入得：02)3(2001021031=--+--+cx d y x bx x ax b ax ，设.2)3(2)(000203cx d y x bx x ax b ax x g --+--+=200'()62(3)2,g x ax b ax x bx =+-- ,)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=∆令'()0,g x =则.3,0ab x x x -== ①0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴只有一个交点，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以03b x a=-或,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0>时，过点P 恰有一条切线. ②0)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以,30a b x -≠且)3()(0abg x g -=0时，过点P 有两条不同的切线. ③0)(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴有三个公共点，即)(x g y =有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0<时，过点P 有三条不同的切线. 例4（2014·北京卷）已知函数f (x )＝2x 3－3x .(1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论) 解：(1)略(2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3，所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)，因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)，整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0，设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”．g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)．当x 变化时，g (x )与g ′(x )的变化情况如下：所以，g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值．结合图象知，当g (x )有3个不同零点时，有⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＝t ＋3>0，g （1）＝t ＋1－0，解得－3<t <－1.故当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A (－1，2)存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切；过点B (2，10)存在2条直线与曲线y ＝f (x )相切；过点C (0，2)存在1条直线与曲线y ＝f (x )相切．练习1：已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=,在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y .若过点)2)(,2(≠m m M ,可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围.解析：设切点坐标为()00,x y ，则30003y x x =-，200()33f x x '=-Q ,∴切线的斜率为203 3.x -则()()3200003332x x m x x --=--，即32002660x x m -++=.又过(2,)(2)M m m ≠可作三条切线，故关于0x 的方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解.即函数32()266x x x m ϕ=-++有三个不同的零点. 令2'()6120x x x ϕ=-=，解得或.20m ⎧⎨-<⎩，解得62m -<<. ∴实数m 的取值范围为(6,2).-练习2：（07全国II 理22）已知函数3()f x x x =-．设0a >，若过点()a b ，可作曲线．．．．()y f x =的三条切线．．．．．，证明：()a b f a -<<. 解：（1）()f x 的导数2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-6()0t t a =-=，解得0t =或t a =．()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上所述，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即()a b f a -<<．点评：（1）本题是前一个问题的延伸，其以导数几何意义为载体；（2）本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法；（3）在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质. 小结：三次函数图象切线条数的研究：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，设其切线的斜率为.k 与系数的关系0a >0<aa b ac k 332-=一条一条 a b ac k 332->两条零条 ab ac k 332-<零条两条证明：2()32f x ax bx c '=++，若0>a ，则当abx 3-=时，min 3().3ac b f x a -'=∴当a b ac k 332-= 时，方程ab ac c bx ax 332322-=++有两个相同解，所以此时切线有且只有一条；其方程为).3(33)3(2abx a b ac a b f y +-=-- 当a b ac k 332->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=ab 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称，所以斜率为k 的切线有两条.当ab ac k 332-<时，方程k c bx ax =++232无实根，所以斜率为k 的切线不存在.同理可证，0<a 时结论成立.例5（2015天津卷）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中*,2n N n ∈≥. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =，求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（3）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实根12x x ，，求证：21|-|21ax x n<+-.【解析】（1）由()nf x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥，下面分两种情况讨论： ①当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时， ()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. ②当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. （2）证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n-=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即()00()()()F x f x f x x x '=--，则0()()()F x f x f x '''=-由于1()n f x nxn -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.（3）证明：不妨设12x x ≤，由（2）知()()2()g x n n x x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202ax x n n'=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由（2）)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111121210(')(),',''1a h x a f x x x x x x x x n==<-<-=+-，12n -=1(11)n -+≥1+11n C n -=，故2≥11n n-=0x ，原结论成立.三次函数通常围绕以下四个点进行命题：第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是利用函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．。

三次函数图象切线问题归类分析

三次函数图象切线问题归类分析作者：郑金来源：《理科考试研究·高中》2014年第02期有关三次函数图象的切线问题，涉及到切线的斜率、函数的导数、图象、极值、单调性以及三次方程的根的个数判断等知识.下面从六个方面进行分析.一、利用切线斜率和导数的几何意义求取值范围曲线上某点切线倾斜角的正切值表示该点处切线的斜率.函数的导函数表示曲线切线斜率的变化，导函数在某点的数值表示该点处切线的斜率.若已知函数图象或关系式，则可求满足一定条件的区间或切线截距的变化范围.例1 如图1所示为函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象，f ′（x）为f（x）的导函数，则不等式xf ′（x）.解f ′（x）表示切线的斜率，当f ′（x）>0时，f（x）为增函数；当f ′（x）0.已知图象的极值点，结合图象的单调区间可知满足条件的区间即不等式的解集为（-∞，-3）∪（0，3）.例2 已知曲线y=x3-6x2+11x-6，求切点在x∈[0，2]弧段上的切线在y轴上的截距b的取值范围.解法1 函数f（x）的导函数为y′=3x2-12x+11，切线在切点M（x，y）处的切线方程为Y-y=y′（X-x），变形为截距式方程，由此可知切线在y轴上的截距为b=y-y′x=-2x3+6x2-6.该式在x∈[0，2]上的值域即为所求. 可利用函数图象和极值点来求某一区间上的值域.其导函数为b′=-6x2+12x=-6x（x-2）.大致画出函数b的图象形状如图2所示，由b′=0可知极值点为x1=0，x2=2，可见在区间[0，2]上是增函数，所以b∈[-6，2].解法2 由于函数y=x3-6x2+11x-6的高次项系数大于零，可大致画出f（x）的图象形状如图3所示. 由y′=3x2-12x+11可知极值点为x1=2-233，x2=2+233.由于233>1，则03.因此三次函数的极大值点x1在区间[0，2]上，可知这段凸起的曲线上的切线倾斜角（切线与x轴正方向所成的角）逐渐减小，由0只要求出区间[0，2]的两个端点处切线的方程，即可求得截距.由导函数y′=3x2-12x+11求得区间[0，2]的两个端点处切线的斜率分别为k1=11，k2=-1.由y=x3-6x2+11x-6求得区间[0，2]的两个端点的坐标即切点坐标为（0，-6），（2，0）.因此写出点斜式切线方程分别为y+6=11x，y=-（x-2），可知截距分别为b1=-6，b2=2.所以b∈[-6，2].二、利用切线斜率和导数的几何意义求切线方程例3 求曲线y=3x-x3过点A（2，-2）的切线方程.解设切点为m（x0，y0），则过切点的切线的斜率为k=f ′（x0）=3-3x20，又由斜率公式得k=y0+2x0-2，因切点在曲线上，则y0=3x0-3x30.联立得x30-3x20+4=0，解得x0=2，x0=-1，因此有两个切点A（2，-2）与B（-1，-2），则斜率分别为-9和0.所以切线方程分别为9x+y-16=0与y=-2.三、利用切线斜率和导数的几何意义求切点坐标例4 在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3-10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为 .解析曲线C的导数为y′=3x2-10，表示切线的斜率，已知斜率为2，则有3x2-10=2，解得x=2或x=-2.再由第二象限的条件知x=-2，因此f（-2）=15，所以点P的坐标为（-2，15）.四、利用切线方程和切点坐标求三次函数的解析式例5 已知函数f（x）=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），求a、b 的值.解由于切点（1，-11）在曲线上，因此f（1）=-11，即1-3a+3b=-11.由切线方程可知斜率为k=-12，则f ′（1）=-12，而导函数为f ′（x）=3x2-6ax+3b，表示斜率，则3-6a+3b=-12.联立解得a=1，b=-3.五、利用函数图象和极值判断切线的条数例6 已知函数f（x）=x3-x.（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程；（2）设a>0，如果过点（a，b）可作曲线的三条切线，证明：-a（3）问过点（1，0）可以向曲线y=f（x）作多少条切线？说明理由.解（1）由于导函数f ′（x）=3x2-1，则曲线在点M（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f ′（t）（x-t），即y=（3t2-1）x-2t3.（2）如果有一条切线过点（a，b），则存在t，使b=（3t2-1）a-2t3.于是，若过点（a，b）可作曲线的三条切线，则方程2t3-3at2+a+b=0有三个不同的实数根.对于三次方程根的个数问题，可利用三次函数的图象来分析.令g（t）=2t3-3at2+a+b，可画出大致图象如图3所示.导函数为g′（t）=6t2-6at=6t（t-a），则极值点为t1=0，t2=a.可知极大值为a+b，极小值为g（t）=-a3+a+b=b-f（a）.若a+b0，即x轴在极大值点的上方或极小值点的下方，图象与x轴有一个交点；若a+b=0或b-f（a）=0，即x轴在极值点处相切，图象与x轴有两个交点；若a+b>0且b-f（a）所以如果过点（a，b）可作曲线的三条切线，必有-a（3）如果有一条切线过点（1，a），则存在t，使a=（3t2-1）-2t3.令g（t）=2t3-3t2+a+1，可画出大致图象如图3所示.只要判断方程2t3-3t2+a+1=0有多少个不同的实数根，即可判断过点（1，a）能作多少条切线.对于三次方程根的个数问题，可利用三次函数的图象来分析.导函数为g′（t）=6t2-6t，由此可知原函数的极值点为t1=0，t2=1.因此极大值为g（0）=1+a，极小值为g（1）=a.对a的取值可由-1和0分为三个区间进行讨论：若-10，极小值f（1）若a>0或a。

一道高考压轴题引发的对三次函数切线条数的探究

一道高考压轴题引发的对三次函数切线条数的探究
本文针对的是高考压轴题，一道关于三次函数切线条数的探究，文章字数在
500字左右，不低于三百字，可超出，不高于一千五百字。

三次函数，又名系数多项式函数，是一类广义上常出现的数学函数，它可以完
美地描述各类数据及图形变化，因此在日常工作中经常用到。

同时，把三次函数的切线与一般函数的切线不同一般视为一种特殊情况，也吸引了人们的眼球。

那么，关于三次函数切线条数的探究，该如何来回答呢？首先我们要知道，切
线是三次函数图像的简化版。

把切线条数可以分为三种情况：第一，一次函数和锥形函数有三条切线。

而三次函数，从多次剖分角度看，切线条数至少有三条。

其次，从控制函数角度看，三次函数的切线条数也可以多于三条。

最后，从泰勒级数的点的连接角度看，三次函数的切线条数也可以无限多条，取决于点的连接情况。

综上，把三次函数的切线条数进行总结，可分为三种情况：第一，至少三条切线；第二，控制函数可以多于三条；第三，最多无数条。

这三类情况可以通过相应的实例来加以说明，对三次函数切线条数有一定的了解。

总之，三次函数切线条数的多少，取决于多种情况。

只有在清楚了解三次函数
的特性和表达式的计算关系时，才能够确定三次函数的切线条数。

谈谈三次曲线的切线

（２）所作切线的条数为２铮ｌｚ。 ≠ 一 ’
定理１过已知点Ｍ（ｘ。，。）可作已知的三次曲
线一，（）的切线条数即关于ｔ的一元三次方程
ｇ（￡）一＿厂（ｆ）＋（。一）ｆ（ｆ）－ｙ。一０
阶段的经典问题之一，在高中阶段学习了导数，导数
又是研究函数的有力工具，所以我们应当把这一经典问题弄清楚！反对题海战术（尤其要杜绝简单机械重复的训练），提倡师生一起（学生在老师的引导下，但
即ｚ：，（一）（＋）＋，（一）一：ｏ．
兴于《诗》，立于礼，成于乐
过已知点Ｍ
（ｚＰ，２；一３ｘＰ）（Ｐ ≠１），得
点Ｍ（ｘｏ。ｏ）
满足的条件
（Ｘｏ。Ｙｏ）作
已知曲线ｒ的切线条数
点
Ｍ的位置
—
２ｘ￣
－ —
３ｘｅ＋ｌ
— —
—
一６ｚ刍一３（ｚＰ ≠１），
１
一一。
Ｐ
上
却
ｒｌ一勒ｂ ’
曲线ｒ的上（下）方及切线ｚ的
１ｌ。一ｆ（－ｂ）或Ｇ＞Ｏ上称（中下心）方（即的拐公点共）区域或Ｉ１的对
◇
北京
甘志国（特级教师）

过一点作三次函数图像切线条数的完备结论

收稿日期:2007-10-25作者简介:贺斌(1961—),男,湖北随州人,湖北省谷城县第三中学高级教师.过一点作三次函数图像切线条数的完备结论贺　斌(谷城县第三中学,湖北　441700)中图分类号:O123.3 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2008)03-0011-02 文[1]回答了过哪些点可以作三次函数图像的三条切线.受文[1]启发,一个自然的问题是:过哪些点可以作三次函数y 图像的一条切线、两条切线?本文在文[1]的基础上给出过一点所作三次函数图像切线条数的完备结论.引理[2],[3]　三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)的图像C 上的点N (-b3a,f (-b3a))是C 的唯一对称中心.定理　设三次函数图像C 在其对称中心N 处的切线为l ,M 是三次函数图像C 所在平面上的一点,则(Ⅰ)过点M 能且仅能作C 的一条切线,当且仅当点M 位于C 和l 所夹的上、下两个区域内(边界除外),或点M 与点N 重合;(Ⅱ)过点M 能且仅能作C 的两条切线,当且仅当点M 位于图像C 或切线l 上(点N 除外);(Ⅲ)过点M 能且仅能作C 的三条切线,当且仅当点M 位于C 和l 所夹的左、右两个区域内(边界除外).为方便读者形象直观的理解,我们根据三次函数首项系数的正(如图1)负(如图2)画出相应的示意图如右.证　设三次函数为f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0),点M 的坐标为(x 0,y 0),点A (t ,f (t ))为三次函数y =f (x )图像C 上的一点,则点A 处的切线方程为y -f (t )=f ′(t )(x -t ).于是,切线过点M ,等价于存在实数t ,使图1　三次函数图2　三次函数y 0-f (t )=f ′(t )(x 0-t )(1)注意到(1)是关于t 的三次方程(易知t 3的系数不为0),故过点M 最多可作图像C 的三条切线.记g (t )=y 0-f (t )-f ′(t )·(x 0-t ),则g ′(t )=-f ′(t )-f ″(t )(x 0-t )+f ′(t )=(t -x 0)f ″(t )=2(t -x 0)(3at +b ).若x 0=-b3a,则g ′(t )=6a (t -x 0)2,g (t )为R 上的单调函数,方程g (t )=0有且仅有一个实数根.即过直线x =-b3a上的任一点能且仅能作y =f (x )图像的一条切线.若x 0≠-b3a,则g ′(t )在点x 0附近的函数值异号,在点-b3a附近的函数值也异112008年第3期数学通讯号,故x 0和-b3a都是g (t )的极值点.于是结合函数g (t )的单调性知:1)方程g (t )=0有且仅有一个实数根,当且仅当函数g (t )的极大值<0(如图3,仅画出了g (t )首项系数大于0的情况,后同)或极小值>0(如图4).图3　三次函数图4　三次函数即g (x 0)<0,g (-b3a)<0,或g (x 0)>0,g (-b3a)>0.亦即g (x 0)·g (-b3a)>0(x 0≠-b 3a).即x 0≠-b3a,[y 0-f (x 0)]·[y 0-f (-b 3a)　-f ′(-b 3a )(x 0+b 3a)]>0(2)由引理知,三次函数y =f (x )的图像有唯一对称中心N (-b 3a ,f (-b3a)).而C 在点N 处的切线l 的方程为y -f (-b 3a )=f ′(-b 3a )(x +b 3a).故直线x =x 0与C 及l 的交点纵坐标分别为f (x 0),f (-b 3a )+f ′(-b 3a )(x 0+b 3a).由于x 0≠-b3a,故上述两纵坐标不相等.注意到不等式组(2)的第二式为关于y 0的一元二次不等式,并且y 20项的系数为正,故满足上述不等式组的点M (x 0,y 0)位于C 和l 所夹的上、下两个区域内(边界除外). 2)方程g (t )=0有且仅有两个相异实数根,当且仅当g (x 0)=0,或g (-b3a)=0(如图5,6),即y 0=f (x 0),或y 0-f (-b3a)=f ′(-b 3a )(x 0+b 3a).亦即当且仅当点M 位于y =f (x )的图像上,或点M 位于过三次函数对称中心N (-b 3a ,f (-b3a))处的切线l 上(点N 除外)时,可作y =f (x )的两条切线.图5　三次函数图6　三次函数3)方程g (t )=0有三个相异的实数根,当且仅当x 0≠-b 3a,g (x 0)·g (-b3a)<0,即x 0≠-b3a,[y 0-f (x 0)]·[y 0-f (-b3a)　-f ′(-b 3a )(x 0+b3a)]<0.通过与1)类似的分析(或参见文[1])知:满足上述不等式组的点M (x 0,y 0)位于C 和l 所夹的左、右两个区域内(边界除外).综上,定理获证.参考文献:[1]　贺斌,黄福.过哪些点可以作三次函数图像的三条切线.数学通讯,2007(21).[2]　管宏斌.三次函数对称中心初探.数学通讯,2004(15).[3]　刘国杰.三次函数图像对称性的探索.数学通讯,2006(20).21数学通讯 2008第3期。

过哪些点能够作三次函数图象的三条切线

过哪些点能够作三次函数图象的三条切线中图分类号：文献标识码：文章编号：2007年高考全国卷理22题为已知函数3()f x x x =-．（I ）求曲线()y f x =在点(,())M t f t 处的切线方程；（II ）设0a >，如果过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f x -<<．此题第（II ）小题的结论颇赖人寻味。

通过研读相关资料上所提供的“参考答案”能够发现：当0a >时，()a b f x -<<也是过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线的充分条件．并且易知y x =-为()y f x =在其对称中心(0,0)处的切线．于是，我们有如下更直观的结果：设函数3()f x x x =-，则过点(,)M a b ' （0a >）可作曲线C ：()y f x =的三条切线当且仅当点M '位于曲线C 与C 在其对称中心处的切线l 所夹的右侧区域内（边界除外）．（如图１）．我们更感兴趣的是，对于一般的三次函数，是否仍有类似结论？通过探索可知，答案是肯定的．定理过点M 可作三次函数图象C的三条切线，当且仅当点M 位于图象C 与C 在其对称中心处的切线l 所夹的左、右两个区域内（边界除外）．为方便读者形象直观的理解，我们根据三次函数首项系数的正（如图1）负（如图2）画出相对应的示意图如下：____________________收稿日期：2007-08-图1　三次函数图2 三次函数证设三次函数为 32()f x ax bx cx d =+++ （0a ≠），点M 的坐标为00(,)x y ，点(,())A t f t 为三次函数()y f x =图象C 上的一点．则点A 处的切线方程为 ()()()y f t f t x t '-=-．于是，切线过点M ，等价于存有实数t ，使00()()()y f t f t x t '-=- (1) 注意到（1）是关于t 的三次方程（易知3t 的系数不为0），则过点M 可作C 的三条切线，当且仅当关于t 的方程（1）有三个相异的实数根．记 00()()()()g t y f t f t x t '=---，则 0()()()()()g t f t f t x t f t '''''=---+0()()t x f t ''=-02()(3)t x at b =-+．若03b x a=-，则20()6()g t a t x '=-，()g t 为R 上的单调函数，方程()0g t =有且仅有一个实数根．若03b x a ≠-，则()g t '在点0x 附近的函数值异号，在点3b a-附近的函图3 三次函数数值也异号，故0x 和3b a-都是()g t 的极值点．于是结合函数()g t 的单调性知，方程()0g t =有三个相异的实数根，当且仅当003()()03b x a b g x g a ⎧≠-⎪⎪⎨⎪⋅-<⎪⎩即 000003[()][()()()]0333b x a b b b y f x y f f x a a a ⎧≠-⎪⎪⎨⎪'-⋅----+<⎪⎩（2）由文[1]、[2]知，三次函数()y f x =的图象有唯一对称中心(,())33b b N f a a--．而C 在点N 处的切线l 的方程为 ()()()333b b b y f f x a a a'--=-+ 故直线0x x =与C 及l 的交点纵坐标分别为0()f x 及 0()()()333b b b f f x a a a '-+-+．因为03b x a≠-，故上述两纵坐标不相等。

三次函数图像与性质

2016年9月9日星期五1、三次函数的概念()()()32220.32,412.f x ax bx cx d a f x ax bx c b ac=+++≠′=++∆=−形如函数叫做把叫做三次函数三次函导函数定的义：定数义判别式：y y()()()()()()()()()()1212121112121,,0,0,0,0.x x x x f x a x x x x f x x x x a x x x x x x x x a ′<∴=−−−∞∴<−−>−<−<∴>Q 解：、分别为极大值和极小值点，且在，为增函数，当时，bD.( B( B()()()32.33121011163A.13 B.14 C.15 D 4.16f x x ax bx x y a b =−++−=−−=已知函数的图像与直线相切于点，，则小结函数三次函数有以作业2.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值, 曲线y=f(x)过原点和点P(-1, 2). 若曲线f(x)在点P处的切线与直线y=2x的夹角为45°, 且倾角为钝角. (1)求f(x)的解析式; (2)若f(x)在区间[2m-1, m+1]递增, 求m 的取值范围.1.设函数f （x ）=x 3-x 2+（a+1)x+1，其中a 为实数（Ⅰ）已知函数f （x ）在x=1处取得极值，求a 的（Ⅱ）已知不等式f (x)>x 2-x-a+1对任意a ∈（0，+∞）都成立，求实数x 的取值范围。

2.a 为何值时，方程x 3-3x 2-a=0恰有一个实根、两个实根、三个实根，有没有可能无实根？2x。

过三次函数图象上一点能作几条切线

Ｂ口Ｙ＝（３ａｘ；＋２ｂｘ。＋ｃ）ｘ一２一ｂｘ＋ｄ．
・．
・
‘ ．．
ｃ宦作２条或３条切线
Ｄ．能作１条或２条或３条切线
且口ａｍ。＋ｂｍ＋ｃｍ＋ｄ＝（３＋２ｂｘ０＋ｃ）ｍ一２ｎ一＋ｄ，
— — — 一
４ｄ
．
’ ｙ’ ＝３ａｘ＋２ｂｘ＋ｃ，
．
下面的问题供同学们练习．
・．
切线斜率ｋ＝３锻＋２ｂｘ０＋ｃ，
１．过曲线Ｙ＝一３ｘ上一点（１，＿２舴切线，求切线方程．２．过曲线Ｙ＝Ｘ一３ｘ＋＋ｌ上一点Ａ（１，１）作切线，求切线
用综合除法分解因式得
解
设切点为Ｐ（ｘ。，Ｙ。），因为Ｙ ’ ＝３ｘ，所以，以Ｐ为切点的
（一［２ａｘｏ＋（ａｍ＋６）］＝０．
ａｍ＋ｂ
切线的斜率＝３，切线方程为Ｙ— Ｙ。＝ｋ（ｘ — 。），即
方程．
切线方程为Ｙ — Ｙ。＝（３ａｘ＋２撕。＋ｃ）一Ｘｏ），
‘
．
‘ ｙ０＝
＋ｈ＋“ ０＋ｄ，
’ ．
Ｙ＝（３．４＋２ｂｘ０＋ｃ）ｘ一（３＋２ｂｘ０＋ｃ）ｘｏ＋Ｙ０
３．过曲线Ｙ＝一９ｘ＋２上一点（３，２）作切线，求切线方程．４．（选择题）过三次函数Ｙ＝上任一点作曲线的切线，则

用《几何画板》实现三次函数的切线的条数.doc

《几何画板》小妙招判断三次函数的切线的条数于非洲山东临沂第一中学2760001引言过平面内任意一点P作一个三次函数图彖的切线，可能有一条，二条或三条.可是，当点P 落在怎样的一个区域内时可以作一条，二条或三条呢？本文拟用《几何画板》软件实现对这一问题的直观化.2探索由于一般的三次函数g(x) = ax3+ hx2 + cr+d(a H 0)都是中心对称曲线，其对称中心为(-#，&(-#))，所以其函数解析式可化为：3a 3a(b z戾、/ b、( b、y = a^+(c--)(x+-) + g(--)于是通过变换：bX — X 9 3a, (by =y-g(-—)9 < 3a(*)m = a,b2n = c --- •3ci就可以把问题转化为研究最简单的三次函数/(对=肌「+处(加工0)的切线问题了.设点MOo，%)为平血上任一点，过点M作函数/(x) = mx3+ tvc的切线，设切点樂标为(西』),则切线方程为：°y-y x =(3mx「+肪(兀_若).把点M(x o,>J o)的坐标代入上式，并整理得关于西的方程：2mX] 一3nvc{)x^ + %-'%) = 0 ・于是，过点M有几条切线，就等价于这个关于西的三次方程有几个不同的零点.设h{x) = - 3mx o x2 + % 一(加工0),则由h f(x) = 6nvc2 -6nvc()x = 6nix(x-x()) = 0,得到x = 0,x = x o.当兀=0时,h(x) = 2mx3 + y Q(m^0)在R上是单调函数,/?(x)只有一个零点，这时过点M只有一条切线.特别的，当点M(0,0)为/(兀)=机丘+心的对称中心时，其切线方程为y = nx.当兀()工0时，力(x)有两个极值，一个是极大值，一个是极小值，其函数值分别是力(0) = % 一S ‘ K XQ) = y Q -mxj -nx Q. h(x)的零点的个数就与这两个极值的符号有关：若力(0)与/?(x())同号，即/?(O)-/z(x o) > 0时〃(兀)只有一个零点，这时过点M只有一条切线；若加0)与加兀°)中有且只有一个为0,即加0)•心)=0时方(兀)有两个零点,这时过点M有两条切线；若加0)与处G异号,即力(0)•心)<0时,%(兀)有三个零点,这时过点M有三条切线.3规律及图解：注意到当/?(0) = y0-tvc(}= 0时,点M恰在过对称中心的切线y =力上；当力(不)=% —m* - n^=Q时，点M恰在函数f\x) = mx34- nx的图像上.如果把函数f(x) = fnx3的图像想象成一条直线的话，那么y = nx与/(x) = mx3 +/xr的图像相交于对称中心，它们把平面分成如下几部分(如图1)：一个交点(三次函数的对称中心)，四条射线，四个两两对顶的区域.通过以上的研究，我们不仅很容易知道过一个点能够作多少条切线，而且也使得用《儿何画板》图解这一有趣的现象成为可能的了：当点M为/(x) = twc' + ivc的对称中心(0, 0)时，过点M有且只有一条切线y = A?x (如图2)；当点M 落在两个对顶区域且满足（％-71¥（））（%）-肌¥（:-啟（））>0时，过点M 有且只有一条切线（如图3和图4）；过点M 有且只有两条切线（如图5和图6）；当点M 落在两个对顶区域且满足（y Q -ztr 0）（^0 -fnx^-nx^ < 0时，过点M 有且只有三条切线（如图7和图8）；4应用掌握了这一规律，我们不仅能够准确的判断出过一个点能够作多少条切线，而且还可以当点落M 在四条射线上（不含对称中心）即满足（％ - nx 0）（y 0 - inxj 一农（））=0 时/| （人山伙0）（丫03%3山伙0）= 0.00利用这一规律轻松解题呢!例 1 已知曲线 C ： /(X ) = X 3-X +2,试问：分别过点(1) (0,-54), (2) (2,0),(3)(罟,2)作曲线C 的切线有儿条？解：这里 a = l,b = 0,c = —l,d = 2 , ------- = 0,/(— ) = 2, m = 1, /? = c --------- = —1,3a 3a 3a所以通过变换(*) BP \ y =y ~2,可以把原函数转化为y = x 3-x,三个点分别转化为 tn = 1,n = -\.(0,一56),(2,一2),(罟,0).(1) (y 0 - nr ())(y 0 - inxj - ) = 3136 > 0,・•・过点(0,-56)作y =丘一兀的切线只有一条；(2) (y 0-/zx 0)(y 0 一叫彳一吒)=0,・•・过点(2,-2)作y = x 3-x 的切线有两条; 16 Q・•・过点(亓,0)作y = W 一兀的切线有三条于是原问题获解. 例2 (2008南昌一模)已知/(x) = x 3 -3x, 点A(l,d)(dH-2)可作曲线丿=/(x)的三条切线，则Q 的取值范围是() A.(l,・1) B. (-2, 3) C. (-1, -2) D.(・3, -2)解：这里的m = },n = -3f x 0 = 1,y 0 = 6?,所以当[a_(_3)・l][a_F + 3xl]v0即-3<tz<-2时为所求.答案为D.例3 (2007全国II 卷)己知函数f(x) = x 3-x.(1)求曲线y = /(兀)在点M(f, /(/))处的切线方程;(2)设6/>0，如果过点(a, b)可作曲线y = /(x)的三条切线，证明：—xbjf(a).解：(1)求函数/(兀)的导数；广(兀)=3兀2_1・曲线y = f(x)在点f(t))处的(%—处())(％ _码)3 16 、— =— ° 111 7<0,切线方程为：= ,即y = (3t2-l)x-2t\(2)过点(Q, b)可作曲线y = /(x)的三条切线，其充要条件为(Z? + d)・(b-/(d)) <0 ,注意到。

高考数学高考试题教学运用与探究再探三次曲线的切线条数

三次曲线的切线条数一、问题的提出引例：（2020·北京文·20）已知函数()323f x x x =-. （1）求()f x 在区间[]2,1-上的最大值；（2）若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点()()()1,2,2,10,0,2A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？(只需写出结论) 本题第（2）（3）问都是“过一点作三次函数图象切线的条数”的问题，特别是第（3）问只需写出结论，如何才能迅速地进行判断呢？有没有规律性的结论呢？二、直线与曲线相切的概念如图1，设曲线C 是函数()y f x =的图象，在曲线C 上取一点()00,P x y 及邻近的一点()00,Q x x y y +∆+∆，过两点,P Q 作割线，并分别过,P Q 两点作x 轴与y 轴的平行线,,MP MQ 又设割线PQ 的倾斜角为,β，那么,,tan .yMP x MQ y xβ∆=∆=∆=∆ 这就是说，yx∆∆就是割线的斜率.如图2，当点()00,Q x x y y +∆+∆沿着曲线逐渐向点()00,P x y 接近时，割线PQ 将绕着点P 逐渐转动.当点Q 沿着曲线无限接近点P 即0x ∆→时，如果割线PQ 有一个极限位置PT ，那么，直线PT 叫做曲线在点P 处的切线.由直线与曲线相切的概念可知，切线是割线的极限位置，直线与曲线相切是一个局部的概念，因而直线l 与曲线C 可以同时相切于点A 和相交于点B ，比如曲线3y x =与直线32y x =+在点()1,1--处相切，在点()2,8处相交.三、探究函数()323f x x x =-，过定点()00,Q x y 的直线l 与函数()y f x =的图象相切，这样的直线有几条？设直线l 与曲线()y f x =相切于()(),M t f t ，则切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，因为切线必过()00,Q x y ，则()()()00y f t f t x t '-=-，所以()()()32002363,y t t t xt --=--整理可得：320004630,t x t y x -++= ①显然，关于t 的方程①有多少个不同的解，就有多少条不同的切线. 下面，解决关于t 的方程①的解的个数问题.设()32000463,g t t x t y x =-++则()()200121212,g t t x t t t x '=-=-由()0g t '=，得：1200,t t x ==，（1）当00x =时，()0g t '≥，()g x 单调递增，关于t 的方程①有一个解；（2）当00x ≠时，()g x 的示意图：两个极值分别为()0003g y x =+，()()()3233000000000000004632323g x x x x y x y x x y x x y f x =-++=-+=--=-，（ⅰ）当()()000g g x >即()()000030y x y f x +->⎡⎤⎣⎦时，两个极值同号，定点()00,Q x y 在不等式()()30y x y f x +->⎡⎤⎣⎦所表示的平面区域内，此时，函数()g x 只有一个零点，关于t 的方程①有一个解；注意到函数()323f x x x =-是奇函数，坐标原点是对称中心，等式30y x +=所表示的直线恰是曲线()y f x =在原点处的切线.（ⅱ）当()()000g g x =即()()000030y x y f x +-=⎡⎤⎣⎦时，定点()00,Q x y 在等式()()30y x y f x +-=⎡⎤⎣⎦所表示的曲线上，此时，函数()g x 有两个零点，关于t 的方程①有两个解；（ⅲ）当()()000g g x <即()()000030y x y f x +-<⎡⎤⎣⎦时，定点()00,Q x y 在不等式()()30y x y f x +-<⎡⎤⎣⎦所表示的平面区域内，此时，函数()g x 有三个零点，关于t 的方程①有三个解；综上所述，很容易给出结论. 四、结论一般的，已知定点Q ，三次函数对称中心N 处的切线与曲线将平面分成四个平面区域（如图所示）：（1）若点Q 在图象对称中心N 处或在Ⅰ、Ⅱ区域内（不含边界），则过定点Q 作三次函数图象切线只能作一条；（2）若点Q 在图象对称中心N 处的切线上（对称中心除外）或在函数图象上（对称中心除外），则过定点Q 作三次函数图象的切线有两条；（3）若点Q 在Ⅲ、Ⅳ区域内（不含边界），则过定点Q 作三次函数图象的切线有三条. 五、应用例：（2020·北京文·20）已知函数()323f x x x =-.（1）（略）（2）若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点()()()1,2,2,10,0,2A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？(只需写出结论)解析：（2）易知()()11,03,f f '=-=-又函数()f x 在对称中心处的切线为0:3l y x =-，直线1x =与曲线交于()1,1-，与切线0l 交于()1,3-，因为过()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，所以()1,P t 必在区域Ⅳ内，故()3,1.t ∈--（3）易知()1,2A -在区域Ⅲ，所以过点()1,2A -存在三条直线与曲线相切；易知()2,10B 在曲线上，且不是对称中心，所以过点()2,10B 存在二条直线与曲线相切；易知()0,2C 在区域Ⅰ，所以过点()0,2C 存在一条直线与曲线相切.。

三次函数的图像和性质以及在高考中的应用

三次函数的性质以及在高考中的应用三次函数厂用+bF 七 +&（占0）已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。

2004年高考，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是湖北卷以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视。

单调性和对称性最能反映这个函数的特性。

下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。

函数厂卅4贰址沙验知）的导函数为八“+2卄。

我们不妨把方程2 I曲+称为原函数的导方程，其判别式色=4@一纸）。

若A >0，设其两根，则可得到以下性质:性质1：函数厂宀贰七+班尹）,若>0|,当A兰0时，y = f（x）是增函数；当|A >0|时，其单调递增区间是（-©无山［比+®）,单调递增区间是【冋，帀】；若口uD，当A < 0时，戸=/0）是减函数；当A >0时，其单调递减区间是（-□也］,［心！+侗），单调递增区间是［乃*心］。

（证明略）推论：函数厂用+用 F+辿#®,当怙£0|时，不存在极大值和极小值；当心时，有极大值41）、极小值•‘「。

根据a和「的不同情况，其图象特征分别为：图1性质2 :函数了何"F +M +滋+乳口尹5 ［耕*用］,若观E ［糾总］,且''■ ' 1 '，则：/何闷=msLX（f（m^ /（0）, /何）.（证明略）性质3 :函数’I .「一I是中心对称图形，其对称中心是证明：设函数7（工）=/亠曲4^+平知）的对称中心为（m, n）o—按向量住7-用、-冊将函数的图象平移，则所得函数》=/（兀+啊）一丹是奇函数，所以j（才+ wi） + 丁（一工+ - 2w = 0（纸诅+3）常-+a^ +助即+卍耕4£ 一理=0 上式对・L「恒成立，故化简得:3rna +占=0 ,得n - am1十占烧° +即耗+ d = /（------------ ）3aO__________________________ . 丄■ f （丄）所以，函数P =赤4” 5 T占°）的对称中心是（x 3a）o可见，y = f（x）图象的对称中心在导函数y ：I的对称轴上，且又是两个极值点的中点。

三次函数及其切割线的关系

三次函数及其切割线的关系曾文远中国/北京市/北京十一学校指导教师：潘国双本文共七章，主要研究了三次函数上一点的切线，割线和三次函数的关系；三次函数上一点切线，割线斜率的性质；三次函数图像的性质和分类；以及三次函数的一种新定义。

全文结构安排如下：第一章介绍了文章的研究背景，基本记号，一些基本定义，引理和定理。

第二章研究了三次函数上一点处的切线和该三次函数相交的问题。

包括切点，交点的坐标关系和切线与三次函数围成图形的面积。

第三章中类比圆锥曲线的极坐标形式，研究了三次函数上一点到一定直线距离的问题，并给出了三次函数新的定义形式。

第四章研究了三次函数图像的对称问题。

第五章研究了三次函数零点处切线斜率的性质，并利用范德蒙德行列式将部分结论推广到n次函数。

第六章研究了平面上一点和三次函数三个零点连线的斜率问题，并推广到n次函数。

第七章研究了三次函数的图像类型与其对应的三次方程的解之间的关系。

关键词：三次函数三次函数图像零点极值点拐点斜率切线割线对称中心面积n次函数范德蒙德行列式摘要1第一章4 1.1 4 第二章82.1 8第三章123.1 123.2 13第四章154.1 15附录参考文献致谢第一章…2.1 …3.1 …4.1 …附录参考文献[1]人教版高中数学必修1. 人民教育出版社,2007.[2]人教版高中数学选修1-1. 人民教育出版社,2007.[3]刘玉琏傅沛仁林玎苑德馨刘宁数学分析讲义（第五版）上册.高等教育出版社,2008.[4]卢刚线性代数第三版. 高等教育出版社,2009.[5]Wikipedia致谢感谢指导老师对我的鼓励与帮助.感谢我的家长和同学们，是他们的支持和鼓励给了我勇气和信心来完成这篇论文.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。