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第二章一元二次方程根与系数的关系及应用
一元二次方程根与系数的关系及应用教学目标掌握根与系数关系，灵活应用根与系数关系解题重难点分析重点：1、根与系数关系的公式； 2、根的关系变形； 3、列一元二次方程。
难点：1、根与系数关系的变形及运算； 2、应用题中一元二次方程的列法。
知识点梳理1、一元二次方程根与系数关系若一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个实数根2142b b ac x a -+-=，2242b b ac x a ---=，则有2212442222b b ac b b ac b bx x a a a a-+-----+=+==-； 2222122244(4)42244b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a a a-+------=⋅===。
即根与系数的关系为a b x x -=+21，acx x =⋅21以上关系称为韦达定理。
2、特殊根问题3、列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为“审、设、列、解、验、答”，具体如下： （1）审题：仔细阅读题目、分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间（2）设未知数：一种方法是直接设所要求的量为x ；另一种方法是设与所求量有关系，且具有关键性作用的未知量为，而所求量能用的代数式表示；（3）列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程； （4）解方程。
（5）检验：检验未知数的值是否满足所列出的方程，还必须检验它是否能使实际问题有意义。
若不符合实际意义则应舍去；（6）写出答案：书写答案，要注意不要遗漏单位和名称。
知识点1：探索根与系数关系【例1】解下列方程，并填写表格：方 程+知识点2：根与系数关系的应用（1）已知一元二次方程，求两根关系【例1】若1x ，2x 分别是一元二次方程0822=--x x 的两根。
（1）求21x x +的值； （2）求21x x ⋅的值； （3）求2111x x +的值 （4）求的值【随堂练习】1、已知方程0132=--x x 的两根为1x ，2x ，求)3)(3(21--x x 的值。
初三上第二章 一元二次方程辅导
第二章 一元二次方程一元二次方程概念一元二次方程概念：含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程。
经过整理后，一个一元二次方程可化简为ax 2+bx+c=0(a ≠0)，即它的一般形式：ax 2+bx+c=0(a ≠0)。
判断一个方程是不是一元二次方程，满足三个条件：①含有一个未知数并且未知数的最高次数是2;②必须是整式方程；③二次项系数不能为零。
简而言之是指经化简后，若符合ax 2+bx+c=0(a ≠0) ，则为一元二次方程，否则不是。
易错易混点1. 下列关于x 的方程：(1) ax 2+bx+c=0 ；(2)532=+aa ；(3)0322=--x x ；(4)0223=+-x x x 中，一元二次方程的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 判断方程m 2(x 2+m)+2x=x(x+2m)-1是不是关于x 的一元二次方程。
(1)一变：若方程m 2(x 2+m)+2x=x(x+2m)-1是关于x 的一元二次方程，则m 应满足_________。
(2) 二变：若方程m 2(x 2+m)+2x=x(x+2m)-1是关于x 的一元一次方程，则m 的值为__________。
3. m 为何值时，关于x 的方程()023112=-+-+mx xm m 是一元二次方程？典型例题1. 下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）A. ax 2+bx+c=0B. k 2x+5k+6=0C. 02142333=--x x D. (m 2+3)x 2+2x-2=0 2. 若下列方程是关于x 的一元二次方程，求出m 的取值范围。
(1) ()()51122=---x m x m ； (2) ()0327124=++--mx x m m3. 某城市2003年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2005年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意，所列方程正确的是（ ）A. 300(1+x)=363B. 300(1+x)2=363C. 300(1+2x)=363D. 363 (1-x)2=3004. 某种产品，原来每件产品成本是700元，由于连续两次降价，现在成本为448元，如果每次降低成本的百分数相同，求每次降低成本百分之多少？若设每次降低成本的百分数为x ，则第一次降低成本后的成本为___________，第二次降低成本后的成本为____________，这样可列方程得__________________。
第二章_一元二次方程_根与系数的关系
初中数学八年级上册导学案一元二次方程的根与系数的关系选择题1．（2005•江汉区）若一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2，且满足，则m的值是（）A．﹣2 B．C．D．22．（2005•吉林）若方程x2+8x﹣4=0的两个根分别为x1、x2，则+的值为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣13．（2005•黄冈）下列关于一元二次方程的四种说法，你认为正确的是（）A．方程2y2﹣y+=0必有实数根B．方程x2+x+1=0的两个实数根之积为﹣1 C．以﹣1、2两数为根的一元二次方程可记为：x2+x﹣2=0 D．一元二次方程2x2+4x+3m=0的两实数根的平方和为7，则m=﹣14．（2005•湖州）已知一元二次方程x2+12x﹣7=0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值是（）A．﹣12 B．12 C．﹣7 D．75．（2005•枣庄）两个不相等的实数m，n满足m2﹣6m=4，n2﹣6n=4，则mn的值为（）A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣46．（2005•常德）已知方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两实根的平方和等于11，k的取值是（）A．﹣3或1 B．﹣3 C．1 D．3填空题7．（2010•烟台）方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根分别为x1，x2，则（x1﹣1）（x2﹣1）=_________．8．（2010•芜湖）已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根，则x13+8x2+20=_________．9．（2010•苏州）若一元二次方程x2﹣（a+2）x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b=_________．10．（2010•南通）设x1、x2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个根，2x1（x22+5x2﹣3）+a=2，则a=_________．11．（2010•泸州）已知一元二次方程x2﹣（+1）x+﹣1=0的两根为x1、x2，则=_________．12．（2010•娄底）阅读材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=，x1x2=根据上述材料填空：已知x1，x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则=_________．13．（2010•凉山州）已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是_________．14．（2010•菏泽）已知2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p=0的一个根，则该方程的另一个根是_________．15．（2010•河源）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x1+x2的值等于_________．16．（2010•鄂州）已知α，β是一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两实数根，则代数式（α﹣3）（β﹣3）=_________．17．（2010•成都）设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为_________．18．（2010•百色）方程x2=2x﹣1的两根之和等于_________．19．（2009•威海）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是﹣2，则另一个根是_________．20．（2009•庆阳）若关于x的方程x2+2x+k﹣1=0的一个根是0，则k=_________．21．（2009•攀枝花）已知x1，x2分别是一元二次方程2x2﹣6x﹣3=0的两个实数根，则代数式的值为_________．22．（2009•梅州）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1•x2=_________．23．（2009•兰州）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．根据该材料填空：已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则+的值为_________．24．（2009•来宾）已知关于x的方程x2+mx+n=0的两个根分别是1和﹣3，则m=_________．25．（2009•崇左）一元二次方程x2+mx+3=0的一个根为﹣1，则另一个根为_________．26．（2009•赤峰）已知关于x的方程x2﹣3x+2k=0的一个根是1，则k=_________．27．（2008•枣庄）已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个实根，则（x1﹣2）（x2﹣2）=_________．28．（2008•徐州）若x1，x2为方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则x1x2=_________．29．（2008•无锡）设一元二次方程x2﹣7x+3=0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2=_________，x1x2=_________．30．（2008•铜仁地区）设一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程之间有如下的关系：x1+x2=，x1x2=．请根据这种关系填空：已知x1，x2是2x2+5x+4=0的两个实数根，则=_________．一元二次方程的根与系数的关系参考答案与试题解析选择题1．（2005•江汉区）若一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2，且满足，则m的值是（）A．﹣2 B．C．D．2考点：根与系数的关系。
浙教版七年级数学下册第二章一元二次方程测试卷(Word版含答案)
浙教版七下第二章 一元二次方程测试卷（含解析）一．选择题（共10小题,满分30分,每小题3分）1．（3分）方程236ax y x -=+是二元一次方程,a 必须满足( ) A ．0a ≠B ．3a ≠-C ．3a ≠D ．2a ≠2．（3分）关于二元一次方程48x y +=的解,下列说法正确的是( ) A ．任意一对有理数都是它的解 B ．有无数个解 C ．只有一个解D ．只有两个解3．（3分）下列方程组中属于二元一次方程组的有( )（1）211x y y z -=⎧⎨=+⎩（2）03x y =⎧⎨=⎩（3）0235x y x y -=⎧⎨+=⎩（4）212 1.x y x y ⎧+=⎨+=-⎩．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（3分）解方程组①216511y x x y =+⎧⎨+=-⎩；②2310236x y x y +=⎧⎨-=-⎩比较简便的方法是( )A ．均用代入法B ．均用加减法C ．①用代入法,②用加减法D ．①用加减法,②用代入法5．（3分）若2x y m=-⎧⎨=⎩是方程64nx y +=的一个解,则代数式31m n -+的值是( )A ．3B ．2C ．1D ．1-6．（3分）由方程组43x m y m +=⎧⎨-=⎩可得出x 与y 的关系是( )A ．1x y +=B ．1x y +=-C ．7x y +=D ．7x y +=-7．（3分）已知278ax by cx y +=⎧⎨-=⎩的解为32x y =⎧⎨=-⎩,某同学由于看错了c 的值,得到的解为22x y =-⎧⎨=⎩,则a b c ++的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．108．（3分）已知x ,y 满足方程组36x m y m +=⎧⎨-=⎩,则无论m 取何值,x ,y 恒有关系式是( )A ．1x y +=B ．1x y +=-C ．9x y +=D ．9x y +=-9．（3分）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半,那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的23,那么乙也共有钱50．问：甲,乙两人各带了多少钱？设甲,乙两人持钱的数量分别为x ,y ,则可列方程组为()A．2502503x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩B．15022503x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C．15022503x yx y⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩D．2502503x yx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩10．（3分）文峰超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏,以下是4天的记录：第1天,卖出13支牙刷和7盒牙膏,收入132元；第2天,卖出26支牙刷和14盒牙膏,收入264元；第3天,卖出39支牙刷和21盒牙膏,收入393元；第4天,卖出52支牙刷和28盒牙膏,收入528元；其中记录有误的是()A．第1天B．第2天C．第3天D．第4天二．填空题（共8小题,满分24分,每小题3分）11．（3分）已知95xy=⎧⎨=⎩是关于x、y的方程23x ay-=的一个解,则a的值是．12．（3分）试写出一个关于x、y的的二元一次方程,使它的一个解为12xy=⎧⎨=⎩,这个方程为．13．（3分）已知x、y满足方程组52723x yx y+=⎧⎨-=⎩,则x y+的值为．14．（3分）若22(24)()|4|0x x y z y-+++-=,则x y z++等于．15．（3分）若21xy=⎧⎨=⎩是方程组75ax bybx cy+=⎧⎨+=⎩的解,则a与c的关系是．16．（3分）请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦,鸦树不知数,三只栖一树,五只没去处,五只栖一树,闲了一棵树,请你仔细数,鸦树各几何？”若诗句中谈到的鸦为x只,树为y棵,则可列出方程组为．17．（3分）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题,其题意为：客人一起分银子,若每人7两,还剩4两；若每人9两,则差8两．银子共有两．18．（3分）元旦期间,忠县永辉超市对三种风味的酸奶（原味、果粒味、大红枣味）进行A、B、C三种套餐的促销活动．已知A种套餐由3盒原味、4盒果粒味、5盒大红枣味搭配而成；B种套餐由2盒原味、8盒果粒味、8盒大红枣味搭配而成；C种套餐由5盒原味、4盒果粒味、6盒大红枣味搭配而成,每一种套餐的费用就是搭配该套餐的三种风味酸奶费用的总和．若一个A种套餐需35元,那么小明同学要买2个A种套餐、1个B种套餐和2个C种套餐共需费用元．三．解答题（共6小题,满分53分）19．（6分）已知方程1352x y+=,请你写出一个二元一次方程,使它与已知方程所组成的方程组的解为41xy=⎧⎨=⎩．20．（12分）解下列方程组：（1）124x yx y+=⎧⎨-=-⎩（2）1234()5()38x y x yx y x y+-⎧+=⎪⎨⎪+--=-⎩21．（7分）已知方程组27431x yx y+=⎧⎨-=-⎩的解也是关于x,y的二元一次方程3x y a=+的解,求(1)(1)7a a+-+的值．22．（8分）本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费．小文分别寄快递到上海和北京,收费标准及实际收费如表：收费标准：目的地起步价（元)超过1千克的部分（元/千克）上海7b北京104b+目的地质量（千克）费用（元)上海26a-北京37a+23．（10分）疫情期间为保护学生和教师的健康,某学校储备“抗疫物资”,用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒,甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒,25元/盒．（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？（2）现已知甲、乙两种口罩的数量分别是20个/盒,25个/盒,按照市教育局要求,学校必须储备足够使用10天的口罩,该校师生共计900人,每人每天2个口罩,问购买的口罩数量是否能满足市教育局的要求？24．（10分）为了提倡节约用水,某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过312m时,按一级单价收费；当每户每月用水量超过312m时,超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为310m,缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家,用水量为314m,缴纳水费51.4元．（1）问该市一级水费,二级水费的单价分别是多少？（2）某户某月缴纳水费为64.4元时,用水量为多少？浙教版七下第二章一元二次方程测试卷（含解析）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题,满分30分,每小题3分）1．（3分）方程236ax y x-=+是二元一次方程,a必须满足() A．0a≠B．3a≠-C．3a≠D．2a≠【解答】解：方程236ax y x-=+变形为(3)260a x y---=,根据二元一次方程的定义,得30a-≠,解得3a≠．故选：C．2．（3分）关于二元一次方程48x y+=的解,下列说法正确的是() A．任意一对有理数都是它的解B．有无数个解C．只有一个解D．只有两个解【解答】解：对于二元一次方程48x y+=,有无数个解,故选：B．3．（3分）下列方程组中属于二元一次方程组的有()（1）211x yy z-=⎧⎨=+⎩（2）3xy=⎧⎨=⎩（3）235x yx y-=⎧⎨+=⎩（4）212 1.x yx y⎧+=⎨+=-⎩．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）本方程组中含有3个未知数；故本选项错误；（2）有两个未知数,方程的次数是1次,所以是二元一次方程组；（3）有两个未知数,方程的次数是1次,所以是二元一次方程组；（4）第一个方程未知项2x的次数为2,故不是二元一次方程组．共2个属于二元一次方程组．故选：B．4．（3分）解方程组①216511y xx y=+⎧⎨+=-⎩；②2310236x yx y+=⎧⎨-=-⎩比较简便的方法是()A．均用代入法B．均用加减法C．①用代入法,②用加减法D．①用加减法,②用代入法【解答】解：解方程组①216511y xx y=+⎧⎨+=-⎩比较简便的方法为代入法；②2310236x yx y+=⎧⎨-=-⎩比较简便的方法加减法,故选：C．5．（3分）若2x y m=-⎧⎨=⎩是方程64nx y +=的一个解,则代数式31m n -+的值是( )A ．3B ．2C ．1D ．1-【解答】解：2x y m =-⎧⎨=⎩是方程64nx y +=的一个解, ∴代入得：264n m -+=,32m n ∴-=, 31213m n ∴-+=+=,故选：A ．6．（3分）由方程组43x m y m+=⎧⎨-=⎩可得出x 与y 的关系是( )A ．1x y +=B ．1x y +=-C ．7x y +=D ．7x y +=-【解答】解：原方程可化为43x m y m +=⎧⎨-=⎩①②,①+②得,7x y +=． 故选：C ．7．（3分）已知278ax by cx y +=⎧⎨-=⎩的解为32x y =⎧⎨=-⎩,某同学由于看错了c 的值,得到的解为22x y =-⎧⎨=⎩,则a b c ++的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【解答】解：根据题意得：322222a b a b -=⎧⎨-+=⎩,解得：45a b =⎧⎨=⎩,将3x =,2y =-代入得：3148c +=, 解得：2c =-,则4527a b c ++=+-=． 故选：A ．8．（3分）已知x ,y 满足方程组36x m y m +=⎧⎨-=⎩,则无论m 取何值,x ,y 恒有关系式是( )A ．1x y +=B ．1x y +=-C ．9x y +=D ．9x y +=-【解答】解：36x m y m +=⎧⎨-=⎩①②,把②代入①得,63x y +-=,整理得,9x y+=,故选：C．9．（3分）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半,那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的23,那么乙也共有钱50．问：甲,乙两人各带了多少钱？设甲,乙两人持钱的数量分别为x,y,则可列方程组为()A．2502503x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩B．15022503x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C．15022503x yx y⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩D．2502503x yx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩【解答】解：设甲需持钱x,乙持钱y,根据题意,得：15022503x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,故选：B．10．（3分）文峰超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏,以下是4天的记录：第1天,卖出13支牙刷和7盒牙膏,收入132元；第2天,卖出26支牙刷和14盒牙膏,收入264元；第3天,卖出39支牙刷和21盒牙膏,收入393元；第4天,卖出52支牙刷和28盒牙膏,收入528元；其中记录有误的是()A．第1天B．第2天C．第3天D．第4天【解答】解：设每支牙刷x元,每盒牙膏y元．第1天：137132x y+=；第2天：2614264x y+=；第3天：3921393x y+=；第4天：5228528x y+=．假设第1天的记录正确,则第2天、第4天的记录也正确；假设第1天的记录错误,则第2天、第4天的记录也错误．故选：C．二．填空题（共8小题,满分24分,每小题3分）11．（3分）已知95xy=⎧⎨=⎩是关于x、y的方程23x ay-=的一个解,则a的值是3．5y =⎩移项得：5318a -=-, 合并得：515a -=-, 解得：3a =． 故答案为：3．12．（3分）试写出一个关于x 、y 的的二元一次方程,使它的一个解为12x y =⎧⎨=⎩,这个方程为3x y +=（答案不唯一） ．【解答】解：根据题意：3x y +=（答案不唯一）, 故答案为：3x y +=（答案不唯一）13．（3分）已知x 、y 满足方程组52723x y x y +=⎧⎨-=⎩,则x y +的值为 1 ．【解答】解：527(1)23(2)x y x y +=⎧⎨-=⎩,（1）-（2）得：444x y +=, 1x y ∴+=,故答案为：1．14．（3分）若22(24)()|4|0x x y z y -+++-=,则x y z ++等于 12- ．【解答】解：22(24)()|4|0x x y z y -+++-=, ∴240040x x y z y -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩, 解得：2212x y z ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=-⎩,则112222x y z ++=--=-． 故答案为：12-．15．（3分）若21x y =⎧⎨=⎩是方程组75ax by bx cy +=⎧⎨+=⎩的解,则a 与c 的关系是 49a c -= ．1y =⎩5bx cy +=⎩得2725a b b c +=⎧⎨+=⎩①②,①2⨯-②,得49a c -=． 故答案为：49a c -=．16．（3分）请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦,鸦树不知数,三只栖一树,五只没去处,五只栖一树,闲了一棵树,请你仔细数,鸦树各几何？”若诗句中谈到的鸦为x 只,树为y 棵,则可列出方程组为 355(1)x y x y =+⎧⎨=-⎩．【解答】解：设诗句中谈到的鸦为x 只,树为y 棵,则可列出方程组为： 355(1)x y x y =+⎧⎨=-⎩． 故答案为：355(1)x y x y =+⎧⎨=-⎩．17．（3分）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题,其题意为：客人一起分银子,若每人7两,还剩4两；若每人9两,则差8两．银子共有 46 两． 【解答】解：设有x 人,银子y 两, 由题意得：7498y x y x =+⎧⎨=-⎩,解得646x y =⎧⎨=⎩,故答案为46．18．（3分）元旦期间,忠县永辉超市对三种风味的酸奶（原味、果粒味、大红枣味）进行A 、B 、C 三种套餐的促销活动．已知A 种套餐由3盒原味、4盒果粒味、5盒大红枣味搭配而成；B 种套餐由2盒原味、8盒果粒味、8盒大红枣味搭配而成；C 种套餐由5盒原味、4盒果粒味、6盒大红枣味搭配而成,每一种套餐的费用就是搭配该套餐的三种风味酸奶费用的总和．若一个A 种套餐需35元,那么小明同学要买2个A 种套餐、1个B 种套餐和2个C 种套餐共需费用 210 元．【解答】解：设1盒原味的价格为x 元,1盒果粒味的价格为y 元,1盒大红枣味的结果为z 元, 由题意得：34535x y z ++=,则小明同学要买2个A 种套餐、1个B 种套餐和2个C 种套餐共需费用为： 2352882(546)x y z x y z ⨯++++++ 70121620x y z =+++ 704(345)x y z =+++ 70435=+⨯210=（元),故答案为：210．三．解答题（共6小题,满分53分）19．（6分）已知方程1352x y+=,请你写出一个二元一次方程,使它与已知方程所组成的方程组的解为41xy=⎧⎨=⎩．【解答】解：经验算41xy=⎧⎨=⎩是方程1352x y+=的解,再写一个方程,如3x y-=．20．（12分）解下列方程组：（1）124x yx y+=⎧⎨-=-⎩（2）1234()5()38x y x yx y x y+-⎧+=⎪⎨⎪+--=-⎩【解答】解：（1）在1(1)24(2)x yx y+=⎧⎨-=-⎩中,（1）+（2）得：33x=-,解得：1x=-,把1x=-代入（1）得：2y=．∴方程组的解为12xy=-⎧⎨=⎩．（2）在1(1)234()5()38(2)x y x yx y x y+-⎧+=⎪⎨⎪+--=-⎩中,由（1）得：56x y+=（3）,由（2）得：938x y-+=-,938x y∴=+,将938x y=+代入（3）得：46184y=-, 4y∴=-．把4y=-代入938x y=+,得2x=．∴方程组的解为24xy=⎧⎨=-⎩．21．（7分）已知方程组27431x yx y+=⎧⎨-=-⎩的解也是关于x,y的二元一次方程3x y a=+的解,求(1)(1)7a a+-+的值．【解答】解：方程组27431x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②, ①3⨯+②得：1020x =,即2x =,把2x =代入①得：3y =,把2x =,3y =代入方程得：63a =+,即3a =,则原式21791715a =-+=-+=．22．（8分）本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费．小文分别寄快递到上海和北京,收费标准及实际收费如表： 收费标准： 目的地起步价（元) 超过1千克的部分（元/千克） 上海7 b 北京10 4b + 目的地质量（千克） 费用（元) 上海2 6a - 北京3 7a +【解答】解：依题意得：7(21)610(31)(4)7b a b a +-=-⎧⎨+-+=+⎩, 解得：152a b =⎧⎨=⎩． 答：a 的值为15,b 的值为2．23．（10分）疫情期间为保护学生和教师的健康,某学校储备“抗疫物资”,用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒,甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒,25元/盒．（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？（2）现已知甲、乙两种口罩的数量分别是20个/盒,25个/盒,按照市教育局要求,学校必须储备足够使用10天的口罩,该校师生共计900人,每人每天2个口罩,问购买的口罩数量是否能满足市教育局的要求？【解答】解：（1）设甲种口罩购进了x 盒,乙种口罩购进了y 盒,依题意得：900202519000x y x y +=⎧⎨+=⎩, 解得：700200x y =⎧⎨=⎩,答：甲种口罩购进了700盒,乙种口罩购进了200盒．（2）207002520014000500019000⨯+⨯=+=（个),29001018000⨯⨯=（个), 1900018000>,∴购买的口罩数量能满足市教育局的要求．24．（10分）为了提倡节约用水,某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过312m时,按一级单价收费；当每户每月用水量超过312m时,超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为310m,缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家,用水量为314m,缴纳水费51.4元．（1）问该市一级水费,二级水费的单价分别是多少？（2）某户某月缴纳水费为64.4元时,用水量为多少？【解答】解：（1）设该市一级水费的单价为x元,二级水费的单价为y元,依题意得：103212(1412)51.4xx y=⎧⎨+-=⎩,解得：3.26.5xy=⎧⎨=⎩．答：该市一级水费的单价为3.2元,二级水费的单价为6.5元．（2） 3.21238.4⨯=（元),38.464.4<,∴用水量超过312m．设用水量为a3m,依题意得：38.4 6.5(12)64.4a+-=,解得：16a=．答：当缴纳水费为64.4元时,用水量为316m．。
第二章 一元二次方程 第二课时
丹东市第二十四中学 第二章 一元二次方程 第二课时主备：曹玉辉 辅备：吴玉娟、杨会 审核： 2014年8月13日 一、学习准备：1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： ,其中 二次项， 是一次项， 是常数项， 二次项系数 ， 一次项系数。
3、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
（1）8142=x （2）)2(5)1(3+=-x x x二、学习目标：了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．用“夹逼”方法估算方程的根． 三、自学提示： （一）自主学习：1、一元二次方程的解是：2、一元二次方程的解也叫一元二次方程的根3、如何估算地毯花边的宽和梯子底端滑动的距离？ （二）合作探究：1．下面哪些数是方程2x 2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 2、.若x=1是关于x 的一元二次方程a x 2+bx+c=0(a ≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值 3、关于x 的一元二次方程(a-1) x 2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a 的值 4．要剪一块面积为150cm 2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm ，•这块铁片应该怎样剪？ 设长为xcm ，则宽为 cm列方程 ，即 请根据列方程回答以下问题：（1）x 可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．（2）完成下表：（3）你知道铁片的长x 是多少吗？5、你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x 2-64=0 （2）3x 2-6=0 （3）x 2-3x=0 6．方程x （x-1）=2的两根为（ ）．A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2 7．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．8．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．四、学习小结：五、夯实基础：（一）选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②a x2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5x=0A．1个B．2个C．3个D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数（二）填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．六、能力提升：1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）（x+1）是一元二次方程？2．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？3，判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5x=0 (4) x2-4=(x+2) 2(5) a x2+bx+c=04，方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？5，下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．6，.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值。
第二章一元二次方程-配方法、公式法(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调配方法和公式法这两个重点。对于难点部分，如配方法的转化思想和公式法的应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用图形或实物演示配方法的基本原理。
课堂上的实践活动和小组讨论非常活跃，学生们能够积极参与，提出自己的观点。我尝试作为一个引导者，提出一些开放性问题，让学生们思考一元二次方程在实际生活中的应用。从成果分享来看，学生们对于这个话题有很深的思考，这让我感到很欣慰。
然而，我也注意到在小组讨论中，部分学生可能过于依赖同伴，没有独立思考。在未来的教学中，我需要更加关注这部分学生，鼓励他们在讨论中提出自己的见解，提高他们的自主学习能力。
c.能够运用配方法求解典型的一元二次方程。
（2）掌握一元二次方程求解公式的推导和应用：公式法是求解一元二次方程的通用方法，重点在于：
a.理解韦达定理的推导过程；
b.掌握一元二次方程求解公式的形式；
c.学会使用公式法求解一元二次方程，包括计算判别式、求解根号内部分等；
d.能够根据实际问题选择合适的求解方法。
具体内容包括：
一元二次方程整章复习---完美版
二、问题解决
1. k取什么值时，方程 x2－k(kx＋－＋14)＝x＋0 42＝0 有两个相等的实数根？求这时方程的根.
二、问题解决
2. k取何值时, 方程 x2－4x＋k＝0 ①有两个相等的实数根？ ②有两个不相等的实数根？ ③有一个根为2？
④有一个根为 2 3？
⑤两根之比为 1 : 3？
二、问题解决
一、知识梳理
知识点三： 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情 况可由b2－4ac来判定：
当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
当b2－4ac＜0时，方程没有实数根；
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)的根的判别式，记为：△
系数是__2__,一次项系数是__-3__,常数
项是_-1___.
3、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于 x的一元二次方程，则 （ C ）
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
按括号中的要求解下列一元二次方程：
（1）4(1+x)2=9（直接开平方法）； （2）x2+4x+2=0（配方法）； （3）3x2+2x-1=0（公式法）； （4）(2x+1)2= -3 (2x+1) （因式分解法）
第二章 一元二次方程复习
一、知识梳理
知识点一： 一元二次方程的定义
只含有 一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的 整式 方程叫做一元二次方程。
一般形式：
ax2＋bx＋c＝0 （a、b、c为常数，a≠0）
一、知识梳理
知识点二：
一元二次方程的解法：
北师大版 九年级上册 第二章 《一元二次方程》(解法)
一元二次方程教学目标1.一元二次方程的概念2.直接开平方法、配方法解一元二次方程3.推导一元二次方程的求根公式，并运用公式法解一元二次方程4.用因式分解法解一元二次方程重点难点灵活选择直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程知识解析1.一元二次方程的概念方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0（a、b、c为常数，a≠0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中______是二次项，_____是二次项的系数；______是一次项，______是一次项系数；______是常数项．2.直接开平方法与配方法①直接开平方：注意：用直接开平方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a(a≥0)；ax2＝b(a，b 同号，且a≠0)；(x＋a)2＝b(b≥0)；a(x＋b)2＝c(a，c 同号，且a≠0)。
②通过配成完全平方式的方法，将一元二次方程转化成（x＋m）2＝n（n≥0）的形式，进而得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．③配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边②二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方。
3.公式法、根的判别式以及根与系数的关系①求根公式的推导用配方法解方程：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．解：移项，得____________________________________二次项系数化为1，得___________________________配方，得___________________________即⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac4a 2.提示：这时能不能开方解方程？为什么？当b 2－4ac ＞0时，直接开平方，得____________________________________即x ＝____________________________________∴x 1＝_____________________， x 2＝_______________________.当b 2－4ac ＝0时，方程_________________________________当b 2－4ac ＜0时，方程_________________________________．由上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根由_______________而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当____________________时，将a ，b ，c 的值代入x ＝－b±b 2－4ac2a就可得到方程的根． （2）_________________________________叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用_______________________解一元二次方程的方法叫公式法．②公式法注意事项及根的判别式（1）在运用求根公式求解时，应先计算b 2－4ac 的值． 当b 2－4ac ≥0时，可以用公式求出两个实数解；当b 2－4ac<0时，方程没有实数解，就不必再代入公式计算了． （2）把方程化为一般形式后，在确定a ，b ，c 时，需注意符号．总结:一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根的情况可___________来确定．我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示． 当b 2－4ac ＞0时，方程有_________________________________； 当b 2－4ac ＝0时，方程有_________________________________； 当b 2－4ac ＜0时，方程_________________________________．③一元二次方程根与系数的关系一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0），用求根公式求出它的两个根x 1、x 2，由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式知x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a，能得出以下结果： x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ .4.因式分解法当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解为两个 的乘积时，我们就可以采用分解因式法解一元二次方程．典例解析考点一：一元二次方程的概念例1、（一元二次方程的判断）下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．x-2=0B ．x 2-4x-1=0C ．x 2-2x-3D ．xy+1=0 【变式1】下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A 、5x+3=0B 、x 2-x （x+1）=0C 、4x 2=9D 、x 2-x 3+4=0 1-2、若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是 .例2、（一元二次方程一般形式的理解）把一元二次方程4)3()1(2+-=-x x x 化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（ ）A 、2，-3B 、-2，-3C 、2，-3xD 、-2，-3x【变式1】若关于x 的一元二次方程x 2+5x+m 2-1=0的常数项为0，则m 等于（ ） A 、1 B 、2 C 、1或-1 D 、0【变式2】关于x 的方程013)2(22=--+-x x a a是一元二次方程，则a 的值是（ ）A 、a=±2B 、a=-2C 、a=2D 、a 为任意实数【变式3】把方程2(x 2+1)=5x 化成一般形式ax 2+bx+c=0后，a+b+c 的值是（ ） A 、8 B 、9 C 、-2 D 、-1 【变式3】方程5)1)(13(=+-x x 的一次项系数是 。
第二章 一元二次方程复习 讲义
龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名： 辅导课目：数学 年级：八年级 学科教师：汪老师 授课日期及时段课 题第二章 一元二次方程复习重点、难点、考点1、一元二次方程的基本概念2、一元二次方程的解法及应用学习目标1、理解一元二次方程的基本概念及其相应的应用2、一元二次方程的解法及其应用教学内容一、知识回顾:1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数。
2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （注意：用直接开平方的方法时要记得取正、负.）（2）配方法：关键化原方程为2()x m n +=的形式 （警告： 用配方法时二次项系数要化1.）（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥.（注意：方程要先化成一般形式.）（4）因式分解法（主要有提取公因式、运用平方差公式、运用完全平方公式、十字相乘法）：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.（注意：方程要先化成一般形式.）3．一元二次方程根的判别式: 24b ac ∆=-(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的实数根； ③当0∆<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。
知识点练习知识一：一元二次方程的概念1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x 2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ； 一次项系数是 ；常数项是 。
(滕州洪绪中学王宜军)第二章一元二次方程回顾思考.doc
课时课题：第二章一元二次方程回顾与思考课型：复习课授课人：滕州市洪绪中学王宜军授课时间：2012年 10 月 16日，星期二，第一节课教学目标：1.了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想.2.能够利用一元二次方程解决有关实际问题，帮助学生认识到运用方程解决实际问题的关键是确定题目中蕴含的等量关系；并且能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力.教法及学法指导：本节应用“学导练当堂清”教学模式，引导学生对设计的问题进行仔细观察、主动思考、小组讨论、主动探究，最后自己得出结论，学会解决问题的方法.通过对方程的认识、一题多解的思维展示，发展学生勇于展示自己的品质；在解决富有挑战性的问题的过程中，培养学生敢于直面困难、勇于挑战的良好品质，鼓励学生大胆尝试，体会成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣.本章的重点：一元二次方程的解法和应用.本章的难点：应用一元二次方程解决实际问题的方法.课前准备：制作课件,构建知识结构及导学案完成工作.教学过程:第一环节：构建知识结构师生活动内容：在授完本章新课知识后，让学生重新回顾本章内容，整理出本章的知识结构网络，理清各板块内容间的联系.此活动内容在上课前一天布置，让每一位学生都提前做好准备.上课时，选取有代表性的知识结构网络进行全班展示，其他同学对照自己的总结查缺补漏.同时，教师展示一下本章的框架，指出本节课的重点是：利用一元二次方程解决实际问题.设计意图：学生在整理本章知识结构的同时，可以回顾本章的重点内容，细细体会解一元二次方程的“转化”思想，找寻利用方程解决实际问题的关键.活动的实际效果：基于对学生两年来的不间断训练，绝大分学生可以对本章的主要内容以及注意点详细地总结出来，只是呈现形式略微不同.但也有少数同学只是泛泛地停留在书本上的定义、黑体字上，对于更深入的内容总结不到位，这部分同学在教学中往往也是需要特别关注的同学，需要我们教师从各方面来激发他们对数学学习的兴趣.教师利用实物展台展示部分学生的作业：学生甲的本章知识结构学生乙的本章知识结构：本章的知识体系包括三大部分：（一）一元二次方程的定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.在这里应注意的问题是：⑴只含有一个未知数；⑵未知数的最高指数必须是2；(3)二次项系数不为0）（二）一元二次方程的解法：一元二次方程的常用解法有：⑴直接开平方法；⑵配方法；⑶公式法；⑷分解因式法.（注意：在运用配方法解一元二次方程时，一般先将二次项系数化为1；在运用公式法解一元二次方程时，必须先将方程化为ax2+bx+c=0 (a≠0)的形式，同时判断b2-4ac是否≥0，如果b2-4ac≥0，才可用公式a acbbx24 2-±-=求解）（三）一元二次方程的应用：花边、道路宽度（P42引例）；梯子滑动（P43引例）；养鸡场问㈠问题情景---- —元二次方程1、定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.⑴直接开平方法⑵配方法⑶公式法ax2+bx+c=0 (a≠0，b2-4ac≥0)的解为：aacbbx242-±-=⑷分解因式法2、解法：3、应用：其关键是能根据题意找出等量关系.题（P 56 2）；古算题（P 65 1）；简单动点问题（P 66 2）；利润问题（P 66 例2）（其关键是能找出题目中的等量关系，列出方程）设计意图：让学生养成良好的梳理所学数学知识的习惯，同时展示部分学生的作品，让学生相互借鉴，共同提高，同时使被展示的学生享受到成功的喜悦.第二环节：基础知识重现师生活动内容：以投影形式展示一组基础题目，内容涉及一元二次方程的定义和解法.其中，1、2小题采取口答形式，第3、4小题对比来做，体会其中的方法，第5小题采取3个同学分别板演、其他同学纠错、教师集中规范的方式来解决.1、当m 时，关于x 的方程(m －1)12 m x +5+mx=0是一元二次方程.2、方程(m 2－1)x 2+(m －1)x+1=0，当m 时，是一元二次方程；当m 时，是一元一次方程.3、将一元二次方程x 2-2x-2=0化成(x+a)2=b 的形式是 ；此方程的根是 .4、用配方法解方程x 2+8x+9=0时，应将方程变形为 ( )5、解下列一元二次方程(1) 4x 2－16x+15=0 (用配方法解)(2) 9－x 2=2x 2－6x(用分解因式法解)(3) (x ＋1)(2－x)=1 (选择适当的方法解)设计意图：上述这一组题目主要目的是巩固对一元二次方程定义的理解、熟练地解一元二次方程.其中，第1、2小题对比，加深学生对一元二次方程和一元一次方程定义的理解；第3、4小题均是对一元二次方程配方法掌握程度的检验，同时，这部分内容所涉及的方法也是后续“二次函数”学习的基础，此处，也为二次函数的学习奠定一定的基础；第5小题设置三道小题，分别限定方法让学生来解一元二次方程，让学生熟练方程的解法.教学效果及注意的问题：对于第1题，学生普遍掌握比较好，但对于与之对比的第2题，有部分同学存在一定的问题，尤其是对于何时是一元一次方程，更是没有思路，通过这两道题的对比，使学生对方程的定义更加深了理解，也明确了判断一个方程是何类方程时，不仅要关注未知数的次数，还要注意系数；对于第5小题中的第（3）小题，部分学生直接用分解因式法来做，这也是本题设置的一个重要意图：当方程中等式右侧不为0时，不可以直接用分解因式法来做，而要先化成一般形式，再具体选用方法.通过这几道题，让学生关注了方程中的易错点，对于今后的学习也作了部分铺垫.第三环节：情境中合作学习师生活动内容：在本环节中，选择具有代表性的三类实际问题：利润问题、简单动点问题、周长一定的面积问题作为例题及小组合作学习的题目，其中的1、3小题作为例题，2、4小题作为小组合作学习的题目，仿照例题的分析方式小组合作完成，第5题作为师生互动的题目.选择第1题作为例题规范板书，其余题目只需分析、列方程即可.教师点拨思路:对于第1题，可以从以下几个方面提出问题，帮助学生分析问题、解决问题：（1）成本为多少？（2）“如果以20元/支的价格销售，每月可以售出200支”在本题中的作用是什么？（3）“售价每上涨1元就少卖10支”的作用？（4）利润的表达形式有哪几种？（5）本题中的等量关系是什么？在用一种方法解决完本题之后，可以让学生尝试其它的思路，进行一题多解.对于第3题，可以从以下几个方面入手分析：（1）题目中的等量关系是什么？（2）点P 、Q 移动的过程中，哪个量是相同的？（3）如何求出△PCQ 的面积？（4）如何求出Rt △ACB 面积？对于第5题，着重于第（4）（5）两个小问题，需要借助于一定的经验加以解决.同时，此题是典型的二次函数最值问题，放在此处，给学生一个直观的感受.1、新竹文具店以16元/支的价格购进一批钢笔，根据市场调查，如果以20元/支的价格销售，每月可以售出200支；而这种钢笔的售价每上涨1元就少卖10支.现在商店店主希望销售该种钢笔月利润为1350元，则该种钢笔该如何涨价？此时店主该进货多少？2、新新商场以16元/件的价格购进一批衬衫，根据市场调查，如果以20元/件的价格销售，每月可以售出200件；而这种衬衫的售价每上涨1元就少卖10件.现在商场经理希望销售该种衬衫月利润为1350元，而且，经理希望用于购进这批衬衫的资金不多于1500元，则该种衬衫该如何定价？此时该进货多少？3、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，BC=6m ，AC=8m ，点P 、Q 同时由A 、B 两点出发分别沿AC ，BC 方向向点C 匀速运动，已知点P 移动的速度是20cm/s ，点Q 移动的速度是10cm/s ，几秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的85？ 4、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°， AC=6m ，BC=8m ，点P 、Q 同时由A 、B两点出发分别沿AC ，BC 方向向点C 匀速运动，它们的速度都是1m/s ，几秒后△ A B C P Q CB P Q APCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半？5、新苑小区的物业管理部门为了美化环境，在小区靠墙的一侧设计了一处长方形花圃(墙长25m)，三边外围用篱笆围起，栽上蝴蝶花，共用篱笆40m ，(1) 花圃的面积能达到180m 2吗？(2) 花圃的面积能达到200m 2吗？(3) 花圃的面积能达到250m 2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．(4) 你能根据所学过的知识求出花圃的最大面积吗？此时，篱笆该怎样围？(5) 如果想在花圃中栽种两种不同的蝴蝶花，需要在花圃中再加一道篱笆，若不想改变篱笆的总长度，那么，此时花圃的最大面积会是多少，篱笆该怎样围？设计意图：让学生熟悉一元二次方程应用中的几种主要模型，明确解决各类问题的关键是找寻题目中蕴含的等量关系；另外，这几种问题情景也是在二次函数中频繁出现的实际问题，若在此处有一个良好的基础，势必会对学习二次函数的学习起到事半功倍的效果. 实际效果及问题再现：将1、3两道小题作为例题，学生彻底理解透彻后，本章的基本应用学生已大致掌握，数学建模思想初步形成.在第2题的合作学习过程中，呈现出了不同的思维形式，各组针对“用于购进这批衬衫的资金不多于1500元”展开了讨论，有的同学认为这是一个无用的条件；有的同学认为在解题之初，要结合进价来用；有的同学认为按常规思路解决完问题之后，用来确定最终的解的合理性.各种想法的提出，真正展现了学生开阔的思维，真正体现了合作学习的优势. 第四环节：巩固提高师生活动内容：重点放在一元二次方程的实际应用上，内容呈现形式多样化，设置实际背景比较全面.其中3、4小题表面上看类似，实际有一定的差异，可以对比来看；第5小题为后续学习的二次函数作铺垫；第7题为一道经典的中考真题，让学生感受一下中考的氛围.1.新园小区计划在一块长为40米，宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路(两条纵向.一条横向，且横向.纵向互相垂直)，其余部分种花草.若要使甬路的面积占矩形场地面积的6511.则甬路宽为多少米？设甬路宽为x 米，则根据题意， A B CD A B C D可列方程为 .2.由于家电市场的迅速成长，某品牌的电视机为了赢得消费者，在半年之内连续两次降价，从4980元降到3698元，如果每次降低的百分率相同，设这个百分率为x ，则根据题意，可列方程： .3.王老师假期中去参加高中同学聚会，聚会时，所有到会的同学都互相握了一次手，王老师发现共握手435次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有x 人，则根据题意，可列方程： .4.初三.三班同学在临近毕业时，每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张以表示纪念，全班共送了1640张照片，如果设全班有x 名学生，则根据题意，可列方程( )5.一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心2010海里的圆形区域(包括边界)都属台风区.当轮船到A 处时，测得台风中心移到位于点A 正南方向B 处，且AB=100海里.若这艘轮船自A 处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风?若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由. 设计意图：对本节知识进行巩固练习,进一步检测学生的学习复习效果. 教学效果：通过对这些题目的具体分析，学生再次经历在实际问题中抽象出一元二次方程的过程，发展他们分析问题、解决问题的意识和能力，也为下学期二次函数的学习奠定一定的基础，体现了教材螺旋式上升的设计意图. 第五环节：课堂小结师生活动内容：师生共同总结本节课的收获，内容主要设计以下几个方面：（1）整节课的感悟：如在解决概念性题目时，要注意领会概念的实质含义；在计算时要做到细心；对于学过的内容，自己要及时进行梳理等等；（2）解决问题时所用到的方法；（3）对于某个知识点的困惑；（4）通过本节课的学习，自己的最大收获.设计意图：学生对数学知识的理解、数学方法的掌握和数学情感的感悟，力争使每个层次的学生在本节课学有所获.东 北BA实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，每个同学的感受也揭示了各自的良好学习方法，为其他同学的学习、听讲等方面提供了有效的借鉴.达标检测：导学案达标题目，当堂面批，及时纠错.板书设计：课题：第二章一元二次方程回顾与思考1.—元二次方程:2.解下列一元二次方程(1)4x2－16x+15=0(用配方法解)(2)9－x2=2x2－6x(用分解因式法解)(3)(x＋1)(2－x)=1(选择适当的方法解)教学反思：1.作为一章的复习课，本节课设置的内容较为全面细致，重点突出，课堂容量相对来说较大，学生的分组讨论从时间上来看较为紧张，因而，应该更好地规划对某些题目的处理.2.通过课前知识网络的整理、课堂展示讲解的过程，为学生提供展示自己的机会，更利于教师在此过程中发现学生的闪光点以及思维的误区，以便指导今后的教学.3.学生的学习合作小组也应该是动态的，所学知识的不同，学生的反应也不相同，在分组时，应该将思维形态类似的同学放在一组，这样，可以避免让一些思维活跃的学生代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问.同时，教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性.此外，作为一个较大的章节复习课，希望一节课完成上面所有的任务，是比较困难的，因此，建议根据学生状况灵活选择其中部分例习题，如有可能，将例习题分解成两个课时．。
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第二章一元二次方程第1讲一元二次方程概念及解法【知识要点】:知识结构网络一元二次方程的四种解法直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为x2 =bb -0或x a 2二b的形式的方程求解。
当b 一0时，可两边开平方求得方程的解；当b：：： 0时, 方程无实数根。
2. 因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于0,得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。
3. 配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为（x m）^ n 的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
4. 公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式ax2 bx 0，确定a、b、c的..b b2- 4ac 值；（2）计算b2-4ac的值并判别其符号；（3）若b2-4ac — 0，则利用公式x二」b—4ac求2a 方程的解，若b2 -4ac ：：： 0，则方程无实数解。
【典型例题】(1) 6x 2 —7x —3=0 (用因式分解法)解：(3x1)( 2x - 3) = 0 • 3x 1 二 0 或 2x _3=0 1 3 x 1, x 2 = — 3 2 (2) 3x 2 = 4x 1 （用公式法）解：3x 2 — 4x — 1 = 0.-：=(一4)2 - 4 X 3 X ( _1) = 28 . 0解:手）—2= 3 2, -5 2【经典练习】、直接开方法二、配方法注：（1） 2x 2 -、2x -30 = 0 二、公式法1. 用求根公式法解下列方程(1) x 2 2x —2 =0; -(-4) ± ,28 2 ± ,7(3) 2x -2x-30 0 （用配方法） ,2 x (-2)2 4 二 15 ( (1) (x 1)2 二(1 -2x)(2) (x a)2 = b.2121 (2) 3x2 = 4x 1解：2(2) 2y 8y _1 =0 ;解：2 1⑶2x -3x 0 ;8解：(4) 3y2 -2y =1 ;解：(5) 2x2 5x -1 =0 ;解：2 —(6) x 2..5x 3=0 ;解：(7) 3x2 -4x 5 =0 ;解：(7)方程无实数根；(8) 、2x2 4 3x - 2 .2 =0 ;解：(9) 0.02x2 - 0.03x =0.35 ;解：(9)先在方程两边同乘以100,化为整数系数，再代入求根公式, (10) (1 2、3)x —x2二、、3(1 、3)解：。
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（北大师）九年级上册 第二章 一元二次方程知识点一：认识一元一次方程（一）一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元）并且未知数的次数是2（二次）的整式方程，这样的方程叫一元二次方程。
（注意：一元二次方程必须满足以下三个条件：是整式方程；一元；二次）（二） 一元二次方程的一般形式：把20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式。
其中a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。
【例题】1、一元二次方程3x 2＝5x －1的一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
2、一元二次方程（x+1）(3x －2)=10的一般形式是 。
3、当m= 时，关于x 的方程5)3(72=---x x m m是一元二次方程。
4、下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0C.(x+3)(x-2)=x+5D.2332057x x +-=知识点二：求解一元一次方程（一）一元二次方程的根定义：使得方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
【例题】例1、关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、12（二）解一元二次方程的方法： 1.配方法 <即将其变为2()0x m +=的形式> 配方法解一元二次方程的基本步骤： ①把方程化成一元二次方程的一般形式； ②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方； ⑤把方程转化成2()0x m +=的形式； ⑥两边开方求其根。
【例题】例2 一元二次方程x 2-8x-1=0配方后可变形为（ ）A ．（x+4）2=17B ．（x+4）2=15C ．（x-4）2=17D ．（x-4）2=15例3 用配方法解一元二次方程x 2-6x-4=0，下列变形正确的是（ ） A ．（x-6）2=-4+36B ．（x-6）2=4+36C ．（x-3）2=-4+9D ．（x-3）2=4+9例4 x 2-6x-4=0； x 2-4x=1； x 2-2x-2=02.公式法242b b acx a-±-=（注意在找abc 时须先把方程化为一般形式）【例题】例5若一元二次方程x 2+2x+a=0的有实数解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜1B ．a≤4C ．a≤1D ．a≥1例6 已知一元二次方程2x 2-5x+3=0，则该方程根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．两个根都是自然数D ．无实数根例7 已知关于x 的方程x 2+2x+a-2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．3.分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。
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第二章 一元二次方程 1 认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程01 基础题知识点1 一元二次方程的概念及一般形式1．(西安交大附中期中)下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是(A) A ．x 2＝1B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．(x －3)2＋15＝x 2－5x ＋1D ．x 2－5＋1x＝12．若关于x 的方程(m ＋1)x 2＋2mx －3＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是(C) A ．任意实数 B ．m ≠1 C ．m ≠－1 D ．m ＞13．一个关于x 的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－5，则这个一元二次方程是2x 2＋3x －5＝0.4知识点2 建立一元二次方程模型5．某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x 米，则可列方程为(C)A ．x(x －11)＝180B ．2x ＋2(x －11)＝180C ．x(x ＋11)＝180D ．2x ＋2(x ＋11)＝1806．(教材P32习题T1(2)变式)两个连续偶数的平方和是100，求这两个数．若设最小的数为x ，则可列方程为x 2＋(x ＋2)2＝100．易错点1 确定各项时未化为一般形式而出错7．若一元二次方程2x 2－(m ＋1)x ＋1＝x 的一次项系数为－3，则m 的值为1． 易错点2 忽视二次项系数不为0的条件而致错8．已知(m －2)x |m|＋x ＝1是关于x 的一元二次方程，则m 的值是－2． 02 中档题9．(西安高新三中月考)将一元二次方程2(x ＋2)2＋(x ＋3)(x －2)＝－11化为一般形式为(D) A ．x 2＋3x ＋4＝0 B ．3x 2＋9x ＋12＝0 C ．3x 2＋8x ＋13＝0 D ．3x 2＋9x ＋13＝010．(教材P31引例变式)为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%.若设白边的宽为x 米，则根据题意可列出方程(B) A ．90%×(2＋x)(1＋x)＝2×1 B ．90%×(2＋2x)(1＋2x)＝2×1 C ．90%×(2－2x)(1－2x)＝2×1 D ．(2＋2x)(1＋2x)＝2×1×90%11．已知关于x 的方程(m －3)xm 2－7＋(m －2)x ＋5＝0. (1)m 为何值时，方程是一元二次方程； (2)m 为何值时，方程是一元一次方程．解：(1)∵关于x 的方程(m －3)xm 2－7＋(m －2)x ＋5＝0是一元二次方程，∴m 2－7＝2且m －3≠0. 解得m ＝－3.故m 为－3时，方程是一元二次方程．(2)∵关于(m －3)xm 2－7＋(m －2)x ＋5＝0是一元一次方程， ∴m －3＝0且m －2≠0或m 2－7＝1，解得m ＝3或m ＝±2 2. 故m 为3或±22时，方程是一元一次方程． 03 综合题12．【分类讨论思想】若x 2a ＋b －2x a －b ＋3＝0是关于x 的一元二次方程，求a ，b 的值．张敏是这样考虑的：满足条件的a ，b 必须满足⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝2，你说张敏的这种想法全面吗？若不全面，请你说明其余满足的条件．解：张敏的这种想法不全面．由x 2a ＋b －2x a －b ＋3＝0是关于x 的一元二次方程，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝1，a －b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a －b ＝2.第2课时 一元二次方程的解的估算01 基础题知识点1 一元二次方程的解1．下列各数中，是方程x 2＝4x －3的解的是(C)A ．－1B ．0C ．1D ．22．(榆林期中)已知x ＝1是方程x 2－2x ＋c ＝0的一个根，则实数c 的值是(C) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．23．(西安雁塔区期中)若关于x 的一元二次方程ax 2－bx －2 019＝0有一根为x ＝1，则a －b ＝2__019． 4．写出一个根为x ＝－1的一元二次方程，它可以是x 2－1＝0(答案不唯一)． 知识点2 估计一元二次方程的近似解5．(咸阳三原县月考)根据下列表格对应值：判断关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的一个解x 的范围是 (B) A ．x ＜3.24 B ．3.24＜x ＜3.25 C ．3.25＜x ＜3.26 D ．3.25＜x ＜3.28 6．为估算方程x 2－2x －8＝0的解，填写下表：由此可判断方程x －2x －8＝0的解为x 1＝－2，x 2＝4． 02 中档题7．【易错】(西安莲湖区期中)关于 x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2－1＝0 的一个根是0，则a 的值为(B) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．08．(西安二十三中月考)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0和a －b ＋c ＝0，则方程的根是(C) A ．1，0 B ．－1，0 C ．1，－1 D ．无法确定9．(西安二十三中月考)若m 是关于x 的方程x 2＋nx －m ＝0的解，且m ≠0，则m ＋n 的值是(A) A ．1 B ．－0.5 C ．0.5 D ．－110．【整体思想】(西安铁一中期中)已知x ＝a 是方程x 2－3x －5＝0的根，则代数式4－2a 2＋6a 的值为(D) A ．6 B ．9 C ．14 D ．－6 11(1)根据上表可知方程x －5x ＋6＝0的根是x 1＝2，x 2＝3；(2)根据上表可知方程x 2－4x ＋2＝0的根x 的值介于0与1、3与4之间．12．小颖在做作业时，一不小心，一个方程3x 2－■x －5＝0的一次项系数被墨水盖住了，但从题目的条件中，她知道方程的解为x ＝5，请你帮助她求出被覆盖的数是多少． 解：设被覆盖的数是a ，将x ＝5代入原方程，得 3×52－5a －5＝0. 解得a ＝14.∴被覆盖的数是14.13．(教材P35习题T3变式)对于向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，有如下关系：h ＝vt －12gt 2，其中h是离抛出点所在平面的高度，v 是初速度，g 是重力加速度(g ＝10 m/s 2)，t 是抛出后所经过的时间．如果将一物体以25 m/s 的初速度向上抛出，几秒钟后它在离抛出点20 m 高的地方？解：由题意，得25t －5t 2＝20，列表略，估算，当t ＝1 s 和t ＝4 s 时，物体在离抛出点20 m 高的地方．03 综合题14．【整体思想】已知关于m 的一元二次方程7nm 2－n 2m －2＝0的一个根为2，求n 2＋n －2的值．解：把m ＝2代入方程，得47n －2n 2－2＝0.两边同时除以－2n ，得－27＋n ＋n －1＝0.即n ＋n －1＝27.两边平方，得n 2＋n －2＋2＝28.∴n 2＋n －2＝26.2 用配方法求解一元二次方程第1课时 用配方法解简单的一元二次方程01 基础题知识点1 直接开平方法1．(西安交大附中月考)方程x 2＝4的解是(D)A ．x ＝2B ．x ＝－2C ．x 1＝1或x 2＝4D ．x 1＝2或x 2＝－2 2．一元二次方程x 2－4＝5的解是x 1＝3，x 2＝－3．3．若关于x 的方程x 2＝a 没有实数根，则实数a 的取值范围是a ＜0． 4．解方程： (1)3x 2＝243； 解：x 2＝81. x ＝±9.∴x 1＝9，x 2＝－9.(2)(x －3)2－9＝0； 解：(x －3)2＝9. x －3＝±3.∴x 1＝0，x 2＝6.(3)4(x －1)2＝25. 解：(x －1)2＝254.x －1＝±52.∴x 1＝72，x 2＝－32.知识点2 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 5．用配方法解方程：x 2＋2x －1＝0. 解：移项，得x 2＋2x ＝1．配方，得x 2＋2x ＋1＝1＋1，即(x ＋1)2＝2． 两边开平方，得x ＋1＝ 即x ＋1＝x ＋1＝－所以x 1x 26．(陕西师范大学附中期中)一元二次方程y 2－y －34＝0配方后可化为(B)A ．(y ＋12)2＝1B ．(y －12)2＝1C ．(y ＋12)2＝34D ．(y －12)2＝347．若将方程x 2＋6x ＝7化为(x ＋m)2＝16，则m ＝3.8．(咸阳永寿县期末)用配方法将方程x 2－4x ＋1＝0化成(x ＋m)2＝n 的形式(m ，n 为常数)，则m ＋n ＝1．9．解方程： (1)x 2＋4x ＝2；解：配方，得x 2＋4x ＋4＝6. 即(x ＋2)2＝6.两边开平方，得x ＋2＝±6. ∴x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.(2)x 2－2x －24＝0；解：移项，得x 2－2x ＝24.配方，得x 2－2x ＋1＝24＋1，即(x －1)2＝25. 两边开平方，得x －1＝±5. ∴x 1＝6，x 2＝－4.(3)x 2＋3x －4＝0；解：移项，得x 2＋3x ＝4. 配方，得x 2＋3x ＋(32)2＝4＋(32)2，即(x ＋32)2＝254.两边开平方，得x ＋32＝±52.∴x 1＝1，x 2＝－4.(4)x 2－6x －4＝0.解：移项，得x 2－6x ＝4. 配方，得x 2－6x ＋9＝4＋9. 即(x －3)2＝13.两边开平方，得x －3＝±13. ∴x 1＝3＋13，x 2＝3－13. 02 中档题10．(西安高新三中月考)不论x ，y 取何实数，代数式x 2－4x ＋y 2＋13总是(B) A ．非负数 B ．正数 C ．负数 D ．非正数11．(西安雁塔区期中)一元二次方程x 2－10x ＋21＝0的两根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形的周长为(B)A ．13B ．17C ．13或17D ．不能确定12．如图是一个简单的数值运算程序，则输入x 的值为(B)输入x ―→（x －1）2―→×（－3）―→输出－27A ．3或－3B ．4或－2C ．1或3D ．2713．【整体思想】若(x 2＋y 2－5)2＝64，则x 2＋y 2等于(A) A ．13 B ．13或－3 C ．－3 D ．以上都不对14．(西安长安区期中)当x ＝4时，代数式x 2－8x ＋12的值是－4.15．将x 2＋6x ＋4进行配方变形后，可得该多项式的最小值为－5.16．(益阳中考)规定：a b ＝(a ＋b)b ，如：23＝(2＋3)×3＝15.若2x ＝3，则x ＝1或－3． 17．解方程：(1)x 2－2x ＝2x ＋1；解：移项，得x 2－4x ＝1， 配方，得x 2－4x ＋4＝1＋4， 即(x －2)2＝5.两边开平方，得x －2＝±5， ∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.(2)x 2－53x －23＝0；解：移项，得x 2－53x ＝23，配方，得x 2－53x ＋(56)2＝23＋(56)2，即(x －56)2＝4936.两边开平方，得x －56＝±76，∴x 1＝－13，x 2＝2.(3)x 2－22x －3＝0.解：配方，得x 2－22x ＋(2)2－(2)2－3＝0， 即(x －2)2＝5.两边开平方，得x －2＝5或x －2＝－5， ∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.18．我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称作二阶行列式，规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 21 5＝8，运算，得5x －2＝8，x ＝2.按照这种运算的规定，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2x 2 x ＝5，求x 的值．解：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2x 2 x ＝5，∴x 2－4x ＝5. 配方，得x 2－4x ＋4＝5＋4， 即(x －2)2＝9.两边开平方，得x －2＝±3. ∴x 1＝－1，x 2＝5.03 综合题19．【关注数学文化】(舟山中考)欧几里得的《原本》记载，形如x 2＋ax ＝b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB ＝90°，BC ＝a 2，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝a2，则该方程的一个正根是(B)A ．AC 的长B ．AD 的长C ．BC 的长D ．CD 的长提示：将x 2＋ax ＝b 2配方，得(x ＋a 2)2＝(a 2)2＋b 2，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得b 2＋(a 2)2＝(AD ＋a 2)2.所以AD 的长即为方程的一个正根．第2课时 用配方法解较复杂的一元二次方程01 基础题知识点 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程 1．用配方法解方程： 2x 2－3x －2＝0. 解：二次项系数化为1，移项，得x 2－32x ＝1．配方，得x 2－32x ＋916＝2516．即(x －34)2＝2516.方程两边同时开平方，得 x －34＝±54． ∴x 1＝2，x 2＝－12．2．用配方法解方程2x 2－x ＝4，配方后方程可化为(x －14)2＝3316．3．用配方法解方程：(1)3x 2＋6x －1＝0；解：x 1＝－1＋233，x 2＝－1－23 3.(2)2x 2＋3x －1＝0；解：x 1＝－3＋174，x 2＝－3－174.(3)23x 2＋13x －2＝0. 解：x 1＝32，x 2＝－2.02 中档题4．如果一个一元二次方程的二次项是2x 2，经过配方整理得(x －12)2＝1，那么它的一次项和常数项分别是(C)A ．－x ，－34B ．－2x ，－12C ．－2x ，－32D ．x ，－325．若方程4x 2－(m －2)x ＋1＝0的左边是一个完全平方式，则m 等于－2或6．6．已知实数a ，b 满足a 2＋4b 2＋2a －4b ＋2＝0，你认为能够求出a 和b 的值吗？如果能，请求出a ，b 的值；如果不能，请说明理由．解：能．理由：∵a 2＋4b 2＋2a －4b ＋2＝0， ∴a 2＋2a ＋1＋4b 2－4b ＋1＝0. ∴(a ＋1)2＋(2b －1)2＝0.∵(a ＋1)2≥0，(2b －1)2≥0， ∴a ＋1＝0，2b －1＝0. ∴a ＝－1，b ＝0.5.03 综合题7．已知代数式A ＝2m 2＋3m ＋7，代数式B ＝m 2＋5m ＋5，试比较A 与B 的大小． 解：A －B ＝2m 2＋3m ＋7－m 2－5m －5 ＝m 2－2m ＋2 ＝(m －1)2＋1.∵(m －1)2≥0，∴(m －1)2＋1>0. ∴A －B>0，即A>B.8．(西安高新区六中月考)给出以下五个方程：①2(x ＋1)2＝8；②x ＋2y ＝6；③x 2－4x －5＝0；④45x 2－5＝0；⑤2x 2＝1x .(1)其中是一元二次方程的有①③④(写序号)；(2)请你选择其中的一个一元二次方程用适当的方法求出它的解． 解：①2(x ＋1)2＝8，用直接开平方法，解得x 1＝1，x 2＝－3； ③x 2－4x －5＝0，用配方法，解得x 1＝5或x 2＝－1； ④45x 2－5＝0， 用直接开平方法，解得x 1＝52，x 2＝－52.利用配方法求最值【方法指导】 用配方法求二次三项式的最值，需要把二次三项式配方成a(x ＋h)2＋k 的形式，当a ＜0，x ＝－h 时，该二次三项式有最大值k ；当a ＞0，x ＝－h 时，该二次三项式有最小值k. 当x ＝3时，代数式x 2－6x ＋10有最小(填“大”或“小”)值，是1．【变式1】 当x ＝－2时，代数式2x 2＋8x －3有最小值(填“大”或“小”)，是－11． 【变式2】 当x ＝－4时，代数式－12x 2－4x ＋7的最大值是15．3 用公式法求解一元二次方程第1课时 公式法01 基础题知识点1 一元二次方程的求根公式1．利用求根公式求方程3x 2－4＝5x 的根时，将方程化为一般形式，得3x 2－5x －4＝0． 所以a ＝3，b ＝－5，c ＝－4．又因为求根公式x 2a所以代入a ，b ，c 的值得x 知识点2 用公式法解一元二次方程2．(西安理工大学附中期中)用公式法解一元二次方程2x 2＋3x ＝1时，化方程为一般式当中的a ，b ，c 依次为(B) A ．2，－3，1 B ．2，3，－1 C ．－2，－3，－1 D ．－2，3，1 3．一元二次方程x 2－x －1＝0的根是(B) A ．x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52B ．x 1＝1＋52，x 2＝1－52C ．x 1＝1＋32，x 2＝1－32D ．没有实数根4．用公式法解方程x 2－4x ＋3＝0，其中b 2－4ac ＝4，x 1＝1，x 2＝3． 5．解方程：(1)x 2＋4x －1＝0；解：∵a ＝1，b ＝4，c ＝－1， ∴b 2－4ac ＝42－4×1×(－1)＝20. ∴x ＝－4±202×1.∴x 1＝－2＋5，x 2＝－2－ 5.(2)(咸阳永寿县期中)x 2－3x －4＝0； 解：∵a ＝1，b ＝－3，c ＝－4，∴b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×(－4)＝25. ∴x ＝－（－3）±252×1.∴x 1＝4，x 2＝－1.(3)3x 2＋2x ＋1＝0；解：∵a ＝3，b ＝2，c ＝1，∴b 2－4ac ＝4－4×3×1＝－8<0. ∴原方程没有实数根．(4)2x 2－1＝3x.解：∵a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，∴b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－1)＝17. ∴x ＝－（－3）±172×2.∴x 1＝3＋174，x 2＝3－174.知识点3 一元二次方程根的判别式6．(陕西师范大学附中期中)一元二次方程x 2－2x ＝0根的判别式的值为(A)A ．4B ．2C ．0D ．－4 7．(河南中考)下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是(B) A ．x 2＋6x ＋9＝0 B ．x 2＝xC ．x 2＋3＝2xD ．(x －1)2＋1＝08．若关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值范围是(B) A ．a ＜1 B ．a ＞1 C ．a ≤1 D ．a ≥19．(西安理工大学附中期中)若关于x 的一元二次方程kx 2＋4x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围是(D) A ．k ＜4 B ．k ≤4C ．k ＜4且k ≠0D ．k ≤4且k ≠010．(宝鸡一中期中)关于x 的一元二次方程2x 2－6x ＋k ＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是k ＜4.5． 易错点 概念不清11．若关于x 的方程kx 2－2x －1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是k ≥－1．【变式1】 若关于x 的方程kx 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为k ＞－1且k ≠0．【变式2】 (菏泽中考)关于x 的一元二次方程(k ＋1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是k ≤0且k ≠－1．02 中档题12．下列选项中，能使关于x 的一元二次方程ax 2－4x ＋c ＝0一定有实数根的是(D) A ．a>0 B ．a ＝0 C ．c>0 D ．c ＝013．(西安交大附中期中)当k ＜－14时，关于x 的一元二次方程(k －2)x 2－(2k －1)x ＋k ＝0的根的情况是(C)A ．两个相等的实数根B ．两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法判断14．(西安高新三中月考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m －2＝0有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m 的和为(B)A ．6B ．5C ．4D ．3 15．(西安二十三中月考)若实数a ，b 满足a 2＋ab －b 2＝0，则a b ＝－1±52．16．用公式法解方程：(x －1)(1＋2x)＝2.解：方程化为一般形式，得2x 2－x －3＝0. x ＝－（－1）±（－1）2－4×2×（－3）2×2，x 1＝－1，x 2＝32.17．(西安雁塔区期中)已知：关于x 的方程x 2＋2kx ＋k 2－1＝0.(1)试说明无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)如果方程有一个根为3，试求2k 2＋12k ＋2 018的值． 解：(1)∵Δ＝(2k)2－4×1×(k 2－1)＝4k 2－4k 2＋4＝4＞0， ∴无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根． (2)∵方程有一个根为3，∴9＋6k ＋k 2－1＝0，即k 2＋6k ＝－8. ∴2k 2＋12k ＋2 018＝2(k 2＋6k)＋2 018 ＝－16＋2 018＝2 002.18．(宝鸡一中期中)已知▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个实数根，当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD. ∴Δ＝0，即(－m)2－4(m 2－14)＝0.整理得(m －1)2＝0，解得m ＝1. 当m ＝1时，原方程为x 2－x ＋14＝0，解得x 1＝x 2＝0.5.故当m ＝1时，四边形ABCD 是菱形，且菱形的边长是0.5.根据一元二次方程根的情况求字母系数的取值(范围))【方法指导】 关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实数根，注意对a 分类讨论． (1)当a ＝0，且b ≠0时，方程为一元一次方程，必有实数根；(2)当a ≠0时，方程为一元二次方程：①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ<0时，方程没有实数根．已知关于x 的一元二次方程m 2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是m>－14且m ≠0．【变式1】 若该一元二次方程有两个相等的实数根，则m 的值为－14．【变式2】 若该一元二次方程没有实数根，则m 的取值范围是m ＜－14．【变式3】 若该一元二次方程有实数根，则m 的取值范围是m ≥－14且m ≠0．【变式4】 若方程m 2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是m ≥－14．第2课时公式法的应用01基础题知识点公式法的应用1．从一块正方形木板上锯掉3 m宽的长方形木条，剩下的面积是54 m2，则原来这块木板的面积是(C)A．9 m2 B．64 m2C．81 m2D．121 m22．如图，小明家有一块长1.50 m，宽1 m的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍，则花色地毯的宽为0.25m.3．(深圳中考)一个矩形周长为56 cm.(1)当矩形面积为180 cm2时，长、宽分别为多少？(2)能围成面积为200 cm2的矩形吗？请说明理由．解：(1)设矩形的长为x cm，则宽为(28－x)cm，依题意，得x(28－x)＝180.解得x1＝10(舍去)，x2＝18.则28－x＝28－18＝10.答：长为18 cm，宽为10 cm.(2)设矩形的长为x cm，则宽为(28－x)cm，依题意，得x(28－x)＝200.化简，得x2－28x＋200＝0.∴Δ＝282－4×200＝784－800＝－16＜0.∴原方程无实数根．故不能围成一个面积为200 cm2的矩形．02中档题4．【关注数学文化】中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多(A)A．12步B．24步C．36步D．48步5．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB为20米．6．(教材P44随堂练习变式)(咸阳三原县月考)如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为多少米？解：设修建的路宽为x米．由题意，得答：修建的路宽应为1米．7．在一块长16 m ，宽12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，如图所示分别是小华与小芳的设计方案．同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请你依照小芳的方案设计小路的宽度．解：不符合．设小路的宽度均为x 米，则花园的长为(16－2x)米，宽为(12－2x)米，根据题意，得 (16－2x)(12－2x)＝12×16×12.解得x 1＝2，x 2＝12(舍去)．∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应为2米．03 综合题8．准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路(如图所示)，四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路的面积为80平方米，求小路的宽度．解：设小路的宽度为x 米，则小正方形的边长为4x 米，依题意，得 (30＋4x ＋24＋4x)x ＝80.整理，得4x 2＋27x －40＝0， 解得x 1＝－8(舍去)，x 2＝54.答：小路的宽度为54米.4 用因式分解法求解一元二次方程01 基础题知识点1 用因式分解法求解一元二次方程 1．方程(x －1)(x ＋2)＝0的两根分别为(D)A ．x 1＝－1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝2C ．x 1＝－1，x 2＝－2D ．x 1＝1，x 2＝－2 2．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是(A) A ．(2x －2)(3x －4)＝0，∴2x －2＝0或3x －4＝0 B ．(x ＋3)(x －1)＝1，∴x ＋3＝0或x －1＝1 C ．(x －2)(x －3)＝2×3，∴x －2＝2或x －3＝3解：因式分解，得(x －1)·(2x ＋1)＝0. ∴2x ＋1＝0或x －1＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝1．5．利用因式分解法求解下列方程： (1)2x 2－3x ＝0； 解：x(2x －3)＝0， ∴x ＝0或2x －3＝0. ∴x 1＝0，x 2＝32.(2)4x 2－121＝0；解：(2x ＋11)(2x －11)＝0， ∴2x ＋11＝0或2x －11＝0. ∴x 1＝－112，x 2＝112.(3)x(x －2)＝x.解：x(x －2)－x ＝0， ∴x(x －3)＝0.∴x ＝0或x －3＝0. ∴x 1＝0，x 2＝3.知识点2 用适当的方法求解一元二次方程6．已知下列方程，请把它们的序号填在相应最适当的解法后的横线上． ①2(x －1)2＝6; ②(x －2)2＋x 2＝4； ③(x －2)(x －3)＝3; ④x 2－2x －1＝0； ⑤x 2－5x ＋14＝0; ⑥x 2－2x －98＝0.(1)直接开平方法：①； (2)配方法：④⑥； (3)公式法：③⑤； (4)因式分解法：②．7．用适当的方法解方程： (1)9x 2－25＝0；解：(3x ＋5)(3x －5)＝0， ∴3x ＋5＝0或3x －5＝0. ∴x 1＝－53，x 2＝53.(2)5x 2＝2x ；解：5x 2－2x ＝0， x(5x －2)＝0.∴5x －2＝0或x ＝0. ∴x 1＝0，x 2＝2.(3)x 2－4x ＋1＝0.解：∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×1＝12，∴x ＝2±3.∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.易错点1 在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致失根 8．解方程：(x ＋2)(x －3)＝x ＋2.解：将方程两边约去(x ＋2)，得x －3＝1.① 所以x ＝4.②以上解答错在第①步，正确的答案是x 1＝__－2，x 2＝4． 9．方程3x(x －2)＝x －2的解是x 1＝13，x 2＝2．易错点2 用因式分解法解一元二次方程时，忽略了方程右边应该为0 10．解方程：(x －1)(x ＋3)＝12. 解：x 2＋2x －15＝0. ∴(x ＋5)(x －3)＝0. ∴x 1＝－5，x 2＝3.02 中档题11．(西安二十三中月考)若一元二次方程式x 2－8x －3×11＝0的两根为a ，b ，且a ＞b ，则a －2b 的值为(D) A ．－25 B ．－19 C ．5 D ．1712．(安顺中考)若一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是(A) A ．12 B ．9C ．13D ．12或9 13．如果x 2－x －1＝(x ＋1)0，那么x 的值为(C) A ．2或－1 B ．0或1 C ．2 D ．－1 14．若分式x 2＋5x ＋6x ＋2的值为0，则x 的值为－3．15．(西安铁一中月考)方程(x －3)(x －1)＝3(x －1)的解为x 1＝1，x 2＝6． 16．解方程： (1)2x 2－22x －5＝0； 解：(2x －1)2＝6， 2x －1＝±6， x ＝1±62.∴x 1＝2＋232，x 2＝2－232.(2)2(t －1)2＋t ＝1；解：2(t －1)2＋(t －1)＝0， (t －1)(2t －1)＝0， ∴t －1＝0或2t －1＝0.(3)(3x －1)2－4(2x ＋3)2＝0； 解：(3x －1)2－[2(2x ＋3)]2＝0，(3x －1＋4x ＋6)(3x －1－4x －6)＝0， (7x ＋5)(－x －7)＝0， ∴7x ＋5＝0或－x －7＝0. ∴x 1＝－57，x 2＝－7.(4)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝13； 解：原方程可化为x 2＋2x －8＝0， (x ＋4)(x －2)＝0.∴x ＋4＝0或(x －2)＝0. ∴x 1＝2，x 2＝－4.(5)2(x －3)2＝x 2－9.解：2(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)， 2(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0， (x －3)[2(x －3)－(x ＋3)]＝0， (x －3)(x －9)＝0.∴x －3＝0或x －9＝0. ∴x 1＝3，x 2＝9.17．如图，把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆的半径为x m ，则大圆的半径为(x ＋5)m.根据题意，得 π(x ＋5)2＝2πx 2，解得x ＝5＋52或x ＝5－52(不合题意，舍去)． 答：小圆形场地的半径为(5＋52)m.运用十字相乘法分解因式解一元二次方程)阅读下列材料：(1)将x 2＋2x －35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： x 2＝x·x ，－35＝(－5)×(＋7)． ②交叉相乘，验中项：⇒7x ＋(－5)x ＝2x.③横向写出两因式：x 2＋2x －35＝(x ＋7)(x －5)．我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．解：x 1＝3，x 2＝7. 解：x 1＝－1，x 2＝6. 解：x 1＝1，x 2＝－13. 解：x 1＝－2，x 2＝32.小专题5 一元二次方程的解法类型1 直接开平方法形如x 2＝p(p ≥0)或(mx ＋n)2＝p(p ≥0)的方程，用直接开平方法求解． 1．用直接开平方法解下列方程： (1)3x 2－27＝0； 解：3x 2＝27. x 2＝9. x ＝±3.∴x 1＝3，x 2＝－3.(2)(西安高新三中月考)(3x ＋1)2－9＝0. 解：(3x ＋1)2＝9. ∴3x ＋1＝±3. ∴x 1＝－43，x 2＝23.类型2 配方法当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解． 2．用配方法解下列方程： (1)－x 2＋2x －5＝0； 解：x 2－2x ＝－5. x 2－2x ＋1＝－5＋1. (x －1)2＝－4<0. ∴原方程无解．(2)14x 2－6x ＋3＝0. 解：x 2－24x ＋12＝0. (x －12)2＝132.x －12＝±233，∴x 1＝233＋12，x 2＝－233＋12.类型3 公式法当方程没有明显特征时，运用公式法求解． 3．用公式法解下列方程：(1)(西安二十三中月考)2x 2－10x ＝3； 解：2x 2－10x －3＝0， ∴a ＝2，b ＝－10，c ＝－3.∴Δ＝(－10)2－4×2×(－3)＝124. ∴x ＝10±1242×2＝10±2314＝5±312.∴x 1＝5＋312，x 2＝5－312.∴x ＝36±68.∴x 1＝62，x 2＝64.(3)3x(x －3)＝2(x －1)(x ＋1)． 解：原方程可化为x 2－9x ＋2＝0. ∵a ＝1，b ＝－9，c ＝2，∴b 2－4ac ＝81－4×1×2＝73＞0. ∴x ＝9±732.∴x 1＝9＋732，x 2＝9－732.类型4 因式分解法能化成形如(x ＋a)(x ＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解． 4．用因式分解法解下列方程： (1)x(x －2)＋x －2＝0； 解：(x －2)(x ＋1)＝0. ∴x －2＝0或x ＋1＝0. ∴x 1＝2，x 2＝－1.(2)3(x －5)2＝x(x －5)；解：3(x －5)2－x(x －5)＝0， (x －5)(2x －15)＝0， ∴x －5＝0或2x －15＝0. ∴x 1＝5，x 2＝152.(3)(西安雁塔区期中)2(x －3)2＝x 2－9. 解：2(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)．移项，得2(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0， (x －3)(2x －6－x －3)＝0， (x －3)(x －9)＝0， ∴x －3＝0或x －9＝0. ∴x 1＝3，x 2＝9.类型5 选择合适的方法解一元二次方程 5．用适当的方法解下列方程： (1)x 2－4x －6＝0；解：由原方程，得x 2－4x ＝6.配方，得x 2－4x ＋4＝6＋4，即(x －2)2＝10. 直接开平方，得x －2＝±10. ∴x 1＝2＋10，x 2＝2－10.Δ＝(－2)2－4×2×(－1)＝12. x ＝－（－2）±122×2＝1±32.∴x 1＝1＋32，x 2＝1－32.(3)y(y －8)＝－16；解：去括号，得y 2－8y ＝－16. 移项，得y 2－8y ＋16＝0. 配方，得(y －4)2＝0. ∴y 1＝y 2＝4.(4)－3x ＋12x 2＝－2；解：原方程可化为x 2－6x ＝－4， 配方，得x 2－6x ＋9＝－4＋9， 即(x －3)2＝5.直接开平方，得x －3＝±5. ∴x 1＝3＋5，x 2＝3－ 5.(5)4(x ＋1)2＝9(x －2)2； 解：4(x ＋1)2－9(x －2)2＝0.[2(x ＋1)＋3(x －2)][2(x ＋1)－3(x －2)]＝0. ∴(5x －4)(－x ＋8)＝0. ∴x 1＝45，x 2＝8.(6)(2x －1)(x ＋1)＝(3x ＋1)(x ＋1)． 解：(x ＋1)(2x －1－3x －1)＝0， (x ＋1)(－x －2)＝0， ∴x 1＝－1，x 2＝－2.类型6 换元法6．【注重阅读理解】(教材P57复习题T12变式)阅读材料：为了解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1看作一个整体，设x 2－1＝y ，那么原方程可化为y 2－5y ＋4＝0①，解得y 1＝1，y 2＝4.当y ＝1时，x 2－1＝1，∴x 2＝2.∴x ＝±2；当y ＝4时，x 2－1＝4，∴x 2＝5.∴x ＝±5，故原方程的解为x 1＝2，x 2＝－2，x 3＝5，x 4＝－ 5. 解答问题：解：(2)设y ＝x 2＋x ，则y 2－5y ＋4＝0. ∴(y －1)(y －4)＝0. 解得y 1＝1，y 2＝4.①当x 2＋x ＝1，即x 2＋x －1＝0时， 解得x ＝－1±52；②当x 2＋x ＝4，即x 2＋x －4＝0时， 解得x ＝－1±172.综上所述，原方程的解为x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52，x 3＝－1＋172，x 4＝－1－172.(3)设x ＝a 2＋b 2，则x 2－3x －10＝0.整理，得(x －5)(x ＋2)＝0. 解得x 1＝5，x 2＝－2(舍去)． 故a 2＋b 2＝5.周测(2.1～2.4)(时间：40分钟 满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．下列方程中，是一元二次方程的是(D)A ．x ＝2y －3B ．2(x ＋1)＝3C ．x 2＋3x －1＝x 2＋1D ．x 2＝92．用公式法解－x 2＋3x ＝1时，先求出a ，b ，c 的值，则a ，b ，c 依次可以是(D) A ．－1，3，1 B ．1，－3，－1 C ．－1，－3，－1 D ．1，－3，13．(咸阳三原县月考)将方程 x 2－6x ＝1左边配成一个完全平方式得(A) A ．(x －3)2＝10 B ．(x －3)2＝9 C ．(x －6)2＝8 D ．(x －6)2＝10 4．下列一元二次方程没有实数根的是(B)A ．x 2＋2x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋2＝0C ．x 2－1＝0D ．x 2－2x －1＝0 5．若2x ＋1与2x －1互为倒数，则实数x 等于(C)A ．±12B ．±1C ．±22D ．±26．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表：x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出－13.75－8.04－2.313.449.21分析表格中的数据，估计方程(x ＋8)－826＝0的一个正数解x 的大致范围为(C) A ．20.5＜x ＜20.6 B ．20.6＜x ＜20.7 C ．20.7＜x ＜20.8 D ．20.8＜x ＜20.97．现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－3a ＋b ，如：3★5＝32－3×3＋5，若x ★2＝6，则实数8．如图，学校将一面积为110 m 2矩形空地的一边增加4 m ，另一边增加5 m 后，建成了一个正方形训练场，则此训练场的面积为(D)A ．289 m 2B ．400 m 2C ．256 m 2D ．225 m 2二、填空题(每小题4分，共24分)9．已知x ＝1是关于x 的方程ax 2－2x ＋3＝0的一个根，则a ＝－1．10．已知方程mxm 2＋m ＋2－(m ＋1)x ＋m 2＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为－1． 11．已知A ＝x 2－2x ＋3，B ＝2x 2＋x －4，则当x ＝－3±372时，A ＝B.12．一个直角三角形的三条边长是三个连续整数，设斜边的长为x ，则可列方程为x 2－6x ＋5＝0(要求整理成一般形式)．13．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2－13x ＋36＝0的根，则三角形的周长为13． 14．已知关于x 的方程(k ＋1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是k ≤0且k ≠－1． 三、解答题(共44分)15．(16分)用适当的方法解方程： (1)2(x ＋3)2＝8； 解：(x ＋3)2＝4， x ＋3＝±2，∴x 1＝－5，x 2＝－1.(2)2x 2－4x ＋1＝0； 解：x 2－2x ＝－12，x 2－2x ＋1＝－12＋1，(x －1)2＝12，x －1＝±22，∴x 1＝1＋22，x 2＝1－22.(3)(x －3)2＋2x(x －3)＝0； 解：(x －3＋2x)(x －3)＝0， 3(x －1)(x －3)＝0， ∴x －1＝0或x －3＝0. ∴x 1＝1，x 2＝3. (4)x 2－22x ＝－18. 解：8x 2－42x ＋1＝0.∴b 2－4ac ＝0. ∵x ＝42±016，∴x 1＝x 2＝24.16．(8分)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式时，对于b 2－4ac ＞0的情况，她是这样做的：由于a ≠0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为： x 2＋b a x ＝－ca，…第一步x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b2a )2，…第二步(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2，…第三步x ＋b 2a＝b 2－4ac 4a 2(b 2－4ac ＞0)，…第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a.…第五步(1)嘉淇的解法从第四步开始出现错误，事实上，当b 2－4ac ＞0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是x ＝2a(2)用配方法解方程：x 2－2x －24＝0. 解：移项，得x 2－2x ＝24.配方，得x 2－2x ＋1＝24＋1，即(x －1)2＝25. 直接开平方，得x －1＝±5. ∴x 1＝6，x 2＝－4.17．(10分)关于x 的一元二次方程x 2－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝0. (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于1，求k 的取值范围． 解：(1)证明：∵Δ＝[－(k ＋3)]2－4×1×(2k ＋2) ＝k 2－2k ＋1 ＝(k －1)2≥0，∴方程总有两个实数根．(2)解这个方程，得x ＝k ＋3±（k －1）2.∴x 1＝2，x 2＝k ＋1. ∵方程有一根小于1， ∴k ＋1＜1. 解得k ＜0.∴k 的取值范围为k ＜0.利用25 m)，现在已备足可以砌50 m 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m 2.解：设AB 为x m ，则BC 为(50－2x)m.根据题意，得 x(50－2x)＝300.整理，得2x 2－50x ＋300＝0. 解得x 1＝10，x 2＝15.当x ＝10时，50－2x ＝30>25(不合题意，舍去)． 当x ＝15时，50－2x ＝20<25(符合题意)．答：当砌墙宽为15 m ，长为20 m 时，花园面积为300 m 2.*5一元二次方程的根与系数的关系01 基础题知识点1 利用根与系数的关系求两根之和与两根之积1．(怀化中考)若x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －3＝0的两个根，则x 1x 2的值是(D)A ．2B ．－2C ．4D ．－3 2．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积． (1)x 2＋4x ＝0；解：Δ＝b 2－4ac ＝42－4×1×0＝16＞0， ∴方程有两个实数根． 设为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝0.(2)2x 2－3x ＝5；解：原方程可化为2x 2－3x －5＝0，Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－5)＝49＞0， ∴方程有两个实数根． 设为x 1，x 2，则 x 1＋x 2＝32，x 1x 2＝－52.(3)2x 2＋3＝7x 2＋x.解：原方程可化为5x 2＋x －3＝0， Δ＝b 2－4ac ＝12－4×5×(－3)＝61>0， ∴方程有两个实数根． 设为x 1，x 2，则 x 1＋x 2＝－15，x 1x 2＝－35.知识点2 利用根与系数的关系求相关代数式的值3．(贵港中考)已知α，β是一元二次方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是(B) A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－34．(眉山中考)已知一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根为x 1，x 2，则(x 1－1)(x 2－1)的值是－4. 5．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x 21＋x 22； 解：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝32－2×(－1)＝11.(2)1x 1＋1x 2. 解：1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3.知识点3 利用根与系数的关系求方程中待定字母的取值(范围)6．(雅安中考)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2x －k －1＝0的两根，且x 1x 2＝－3，则k 的值为(B) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．(遵义中考)已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋bx －3＝0的两根，且满足x 1＋x 2－3x 1x 2＝5，那么b 的值为(A) A ．4 B ．－4 C ．3 D ．－38．关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根之积为负数，则实数m 的取值范围是m ＞12．9．(教材P51习题T3变式)已知方程x 2＋mx ＋3＝0的一个根是1，则它的另一个根是3，m 的值是－4． 易错点 用根与系数的关系时忽视隐含条件“Δ≥0”10．已知关于x 的方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0的两个根互为倒数，则a 的值为－1． 【变式】 若关于x 的方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是－1． 02 中档题11．(西安雁塔区期中)已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个实数根分别为x 1＝2，x 2＝4，则m ＋n 的值是(D)A ．－10B ．10C ．－6D ．212．若一元二次方程x 2－7x ＋5＝0的两个实数根分别是a ，b ，则一次函数y ＝abx ＋a ＋b 的图象一定不经过(D) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限13．(西北工业大学附中月考)已知实数a ，b 满足a 2－8a ＋4＝0，b 2－8b ＋4＝0，且a ≠b ，则b a ＋ab 的值是(C)A ．7B ．12C ．14D ．1614．(咸阳永寿县期末)兰兰和笑笑分别解一道关于x 的一元二次方程，兰兰因把一次项系数看错，解得方程的两根为－2和6，笑笑因把常数项看错，解得方程的两根为3和4，则原方程是(B) A ．x 2＋7x －12＝0 B ．x 2－7x －12＝0 C ．x 2＋7x ＋12＝0 D ．x 2－7x ＋12＝015．(西安高新三中月考)设x 1，x 2是一元二次方程x 2－mx －6＝0的两个根，且x 1＋x 2＝1，则x 1＝－2，x 2＝3． 16．(巴中中考)对于任意实数a ，b ，定义：a ◆b ＝a 2＋ab ＋b 2.若方程(x ◆2)－5＝0的两根记为m ，n ，则m 2＋n 2＝6． 17．(西安交大附中期中)已知关于x 的方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－3＝0. (1)当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)设x 1，x 2是方程的两根，且(x 1＋x 2)2－(x 1＋x 2)－12＝0，求m 的值． 解：(1)∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－2(m ＋1)]2－4×1×(m 2－3) ＝16＋8 m ＞0. 解得m ＞－2.(2)根据根与系数的关系可得：x 1＋x 2＝2(m ＋1)． ∵(x 1＋x 2)2－(x 1＋x 2)－12＝0， ∴[2(m ＋1)]2－2(m ＋1)－12＝0. 解得m 1＝1或m 2＝－52.又∵m ＞－2， ∴m 的值为1.18．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－3)x＋m2＝0有两个实数根x1，x2.(1)求实数m的取值范围；(2)若x1＋x2＝6－x1x2，求(x1－x2)2＋3x1x2－5的值．解：(1)Δ＝(2m－3)2－4m2＝4m2－12m＋9－4m2＝－12m＋9，∵方程有两个实数根，∴Δ≥0.∴－12m＋9≥0.∴m≤3 4.(2)由题意可得x1＋x2＝－(2m－3)＝3－2m，x1x2＝m2，又∵x1＋x2＝6－x1x2，∴3－2m＝6－m2.∴m2－2m－3＝0.∴m1＝3，m2＝－1.又∵m≤34，∴m＝－1.∴x1＋x2＝5，x1x2＝1.∴(x1－x2)2＋3x1x2－5＝(x1＋x2)2－4x1x2＋3x1x2－5＝(x1＋x2)2－x1x2－5＝52－1－5＝19.运用数学思想求代数式的值数学思想1整体思想1．如果关于x的一元二次方程x2＋3x－7＝0的两根分别为α，β，那么α2＋4α＋β＝4．2．(内江中考)已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为1．3．已知α，β是方程x2＋3x＋1＝0的两个根，则(1＋5α＋α2)(1＋5β＋β2)的值为4．数学思想2转化思想4．【分类讨论】已知实数m，n满足条件m2－7m＋2＝0，n2－7n＋2＝0，则nm＋mn的值是452或2．6应用一元二次方程第1课时利用一元二次方程解决几何问题类型1利用一元二次方程解决几何图形问题1．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为(B)A．x(x－10)＝900B．x(x＋10)＝900C．10(x＋10)＝900D．2[x＋(x＋10)]＝9002．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为(B)A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝63．新园小区计划在一块长为40米，宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路(两条纵向、一条横向，且横向、54米，则根据题意，可列方程为(40－2x)(26－x)＝5465×40×26.4．如图，某小区内有一块长、宽比为2∶1的矩形空地，计划在该空地上修筑两条宽均为2 m 的互相垂直的小路，余下的四块小矩形空地铺成草坪，如果四块草坪的面积之和为312 m 2，请求出原来大矩形空地的长和宽． (1)请找出上述问题中的等量关系：原矩形面积－小路面积＝草坪面积；(2)若设大矩形空地的宽为x m ，可列出的方程为(x －2)(2x －2)＝312，方程的解为x ＝14或x ＝－11(舍去)，原来大矩形空地的长和宽分别为28__m ，14__m.5．如图，某工厂师傅要在一个面积为15 m 2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1 m ，则裁剪后剩下的阴影部分的面积为2m 2.6．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中条件，求出x 的值．解：由题意，得(x ＋1)2－1＝24. 整理，得(x ＋1)2＝25.解得x ＝4或x ＝－6(不合题意，舍去)． ∴x 的值是4.7．(教材P57复习题T8变式)如图，有一块长方形铁皮，长40 cm ，宽30 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？解：设切去的小正方形的边长为x cm.依题意，得 (40－2x)(30－2x)＝600. 解得x 1＝5，x 2＝30.当x ＝30时，30－2x ＜0，∴x ＝30不合题意，应舍去．∴x ＝5.答：铁皮各角应切去边长为5 cm 的正方形．8．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a 米． (1)当a 为10时，花圃的面积为800平方米；(2)通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3∶5？如果能，试求出此时通道的宽．解：根据题意，得(40－2a)(60－2a)＝58×60×40.解得a 1＝5，a 2＝45(舍去)．答：通道的面积与花圃的面积之比能等于3∶5，此时通道的宽为5米．类型2 利用一元二次方程解决动态几何问题9．如图，AB ⊥CB ，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，一只螳螂从A 点出发，以2 cm/s 的速度向B 爬行，与此同时，一只蝉从C 点出发，以1 cm/s 的速度向B 爬行，当螳螂和蝉爬行x s 后，它们分别到达了点M ，N 的位置，此时，△MNB 的面积恰好为24 cm 2，根据题意可得方程(D)A ．2x·x ＝24B ．(10－2x)(8－x)＝24C ．(10－x)(8－2x)＝24D ．(10－2x)(8－x)＝4810．(教材P52例1变式)如图，某海关缉私艇在点O 处发现在正北方向相距45海里的点A 处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方向航行，随即调整方向，以75海里/时的速度准备在点B 处将其拦截，试问需要多长时间？解：设需要x 小时，根据题意，得 (60x)2＋452＝(75x)2，解得x 1＝1，x 2＝－1(舍去)． 答：需要1小时．11．如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O 处．甲沿着喀什路以4 m/s 的速度由西向东走，乙沿着北京路以3 m/s 的速度由南向北走，当乙走到点O 以北50 m 处时，甲恰好到点O 处，若两人继续向前行走，。
一元二次方程的概念(1)
一元一次方程 一元二次方程
一般式
相同点 不同点
ax2+bx+c=0 (a≠0） 整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
ax+b=0 (a≠0）
1.本节学习的数学知识是：
（1） 2、学习的数学思想方法是 转化、建模思想。
一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 （2）
是关于x的一元二次方程？
4.若关于x的方程2mx（x-1）-nx（x+1）=1，化 成一般形式后为4x2-2x-1=0，求m、n的值。
例2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次
项系数、一次项系数和常数项：
一般形式 二次项 系 数 一次项 系 数 常数项
方
2
程
3x =5x-1 (x+2)(x -1)=6
上述三个方程有什么共同特点？与我们以前学过的一元一次方 程和分式方程有什么区别？ 1、上面三个方程整理后含有 一个 ___未知数,它们的最高次数 是 2 ___ ,等号两边是 整 __ 式。 2、和以前所学的方程比较它们叫什么方程？ 请定义。
特点: ①只含一个未知数; ②未知数的最高次数是2. ③都是整式方程;
(m-3)x -(m-1)x-m=0(m≠3)
2
2 -4 3 4 m-3 3
1 2 -1
4 0 -1
2
2
2
0
1-m -8
-5
-m -10
3x(x-1)=5(x+2)
例3.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不
去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他 沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进 去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程． 解：设竹竿的长 为x尺,则门的宽 度为(x－4) 尺,长 为 (x－2) 尺,依题 意得方程：
第二章 2.1 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系课标要求素养要求1.理解判别式的作用，掌握一元二次方程的解法：因式分解法(包括“十字相乘法”)，配方法和求根公式法(重点).2.掌握一元二次方程根与系数的关系(韦达定理).通过求一元二次方程的解集及根与系数关系的应用，提升逻辑推理和数学运算素养.教材知识探究利用恒等式的变形，推导一元二次方程根与系数的关系如下 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)两根为x 1，x 2， 令ax 2＋bx ＋c ＝a (x －x 1)(x －x 2)＝ax 2－a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2， ∴⎩⎨⎧b ＝－a （x 1＋x 2），c ＝ax 1x 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝c a .1.一元二次方程的解集 (1)一般地，方程x 2＝t ：①当t >0时，解集为{t ，－t }； ②当t ＝0时，解集为{0}； ③当t <0时，解集为∅． (2)一般地，方程(x －k )2＝t ：①当t >0时，解集为{k ＋t ，k －t }； ②当t ＝0时，解集为{k }； ③当t <0时，解集为∅．(3)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式及求根公式判别式只能判定实系数(系数全都是实数)一元二次方程的解集的情况一般地，Δ＝b 2－4ac 称为一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式．对一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，Δ>0⇔有两个不相等的实根；Δ＝0⇔有两个相等的实根；Δ<0⇔无实数根． 当Δ≥0时，x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式．(4)一元二次方程的解集 实系数一元二次方程有实数根的充要条件是Δ≥0 设ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) ①当Δ＝b 2－4ac ＞0时，方程的解集为⎩⎭2a ，2a ； ②当Δ＝b 2－4ac ＝0时，方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－b 2a ；③当Δ＝b 2－4ac ＜0，方程的解集为∅. 是指在实数范围内方程无解． 2.一元二次方程根与系数的关系对任何Δ≥0的一元二次方程，根与系数的关系都成立设x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根，则有⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－b a，x 1x 2＝c a Ｗ.常用的几个变形：①x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2； ②(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2；③x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)； ④|x 1－x 2|＝（x 1－x 2）2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2； ⑤1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2. 教材拓展补遗[微判断]1.ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数)叫做一元二次方程.(×) 提示 当a ＝0时，不是一元二次方程.2.一元二次方程均可化为(x －k )2＝t 的形式.(√)3.一元二次方程解的情况由一元二次方程的系数完全确定.(√) [微训练]1.下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是( ) A.3(x ＋1)2＝2(x ＋1)B.1x 2＋1x －2＝0C.ax 2＋bx ＋c ＝0D.x 2＋2x ＝x 2－1解析 A 中方程可化为3x 2＋4x ＋1＝0，是一元二次方程；B 中方程是关于1x 的一元二次方程；对C ，当a ＝0时，不是关于x 的一元二次方程；D 中方程可化为2x ＝－1，不是一元二次方程. 答案 A2.已知m 是方程x 2－x －1＝0的一个根，则代数式m 2－m 的值等于( ) A.－1 B.0 C.1D.2解析 由题意，m 2－m －1＝0，即m 2－m ＝1. 答案 C3.关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，则p ，q 的值分别为( ) A.－3，2 B.3，－2 C.2，－3D.2，3解析 由根与系数的关系，得⎩⎨⎧2＋1＝－p ，2×1＝q ，∴⎩⎨⎧p ＝－3，q ＝2.答案 A [微思考]一元二次方程(系数均为实数)有两个根，它的解集是否一定有两个元素？ 提示 当一元二次方程的判别式为零时，方程有两个相等的实数根，其解集只有一个元素.题型一 一元二次方程判别式的应用【例1】 试证明：不论m 为何值，方程2x 2－(4m －1)x －m 2－m ＝0总有两个不相等的实数根.证明 ∵Δ＝[－(4m －1)]2－4×2×(－m 2－m )＝24m 2＋1＞0，∴不论m 为何值时，方程2x 2－(4m －1)x －m 2－m ＝0总有两个不相等的实数根. 规律方法 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且a ≠0)的实数根的情况可由Δ＝b 2－4ac 加以判定，即Δ＞0时，有两不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根. 【训练1】 不解方程，判别下列方程根的情况. (1)x 2－14x ＋12＝0；(2)4x 2＋12x ＋9＝0； (3)2x 2－3x ＋6＝0.解 (1)Δ＝(－14)2－4×1×12＝148＞0，∴x 2－14x ＋12＝0有两个不相等的实数根；(2)Δ＝122－4×4×9＝0，∴4x 2＋12＋9＝0有两个相等的实数根； (3)Δ＝(－3)2－4×2×6＝－39＜0，∴2x 2－3x ＋6＝0没有实数根. 题型二 换元法的应用【例2】 求方程1x 2－1x －1＝0的解集.解 令y ＝1x ≠0，则方程1x 2－1x －1＝0可化为y 2－y －1＝0， 由求根公式，得y 1＝1＋52或y 2＝1－52，即1x ＝1＋52或1x ＝1－52， ∴x ＝5－12或x ＝－5＋12，∴原方程的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－5＋12，5－12. 规律方法 通过引入新元y (y 为关于x 的代数式)，可把一些关于x 的方程化为关于y 的二次方程ay 2＋by ＋c ＝0(a ≠0)，从而求出y 的值，进而求出x 的值. 【训练2】 求下列方程的解集. (1)x 4－3x 2＋2＝0；(2)x ＋2x －1＝0； (3)(x 2－x )2－(x 2－x )－2＝0.解 (1)令y ＝x 2≥0，得y 2－3y ＋2＝0， ∴y ＝1或y ＝2，即x 2＝1或x 2＝2， ∴x ＝±1或x ＝± 2.∴原方程的解集为{－2，－1，1，2}. (2)令y ＝x ≥0，得y 2＋2y －1＝0， ∴y ＝－1＋2或y ＝－1－2(舍).从而x ＝－1＋2，即x ＝3－22， ∴原方程的解集为{3－22}.(3)令x 2－x ＝t ，得t 2－t －2＝0，∴t 1＝－1或t 2＝2， 即x 2－x ＋1＝0 ①或x 2－x －2＝0 ② 对①，Δ＝－3＜0，无实数解；对②，易得x ＝－1或x ＝2，故原方程的解集为{－1，2}. 题型三 一元二次方程根与系数关系的应用【例3】 已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求m 的取值范围；(2)当x 21＋x 22＝6x 1x 2时，求m 的值.解 (1)由Δ＝(－2)2－4(m －1)＝－4(m －2)≥0，得m ≤2，即m 的取值范围是 (－∞，2].(2)由根与系数的关系，得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －1.∵x 21＋x 22＝6x 1x 2，∴(x 1＋x 2)2＝8x 1x 2，即22＝8(m －1)，解得m ＝32.∵32<2，∴m 的值为32.规律方法 运用根与系数的关系，注意两点(1)常见变形x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2，|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2；(2)整体代入.【训练3】 已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值.解 (1)由Δ＝[－2(k －1)]2－4k 2＝4(1－2k )≥0，得k ≤12，即k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12. (2)由根与系数的关系，得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2（k －1），x 1x 2＝k 2.∵|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，∴|2(k －1)|＝k 2－1 ①，∵k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12，∴k －1≤－12，∴①可化为－2＝k ＋1，∴k ＝－3.一、素养落地1.通过学习求一元二次方程的解集提升运算素养；通过学习根与系数的关系提升逻辑推理和数学运算素养.2.求一元二次方程解集时，先用判别式判定解的情况再求解集.3.运用根与系数关系时，注意恒等变形和整体代入. 二、素养训练1.用配方法解下列方程时，配方有错误的是( ) A.x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100 B.x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25 C.2t 2－7t －4＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫t －742＝8116D.3y 2－4y －2＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＝109解析 x 2＋8x ＋9＝0配方应为(x ＋4)2＝7.选B. 答案 B2.如果关于x 的方程ax 2＋x －1＝0有实数根，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0∪(0，＋∞) 解析 当a ＝0时，x ＝1，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝12＋4a ≥0，得a ≥－14.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞.答案 B3.已知(x 2＋y 2＋1)(x 2＋y 2－3)＝5，则x 2＋y 2＝________.解析 令t ＝x 2＋y 2≥0，则原方程可化为(t ＋1)(t －3)＝5，即t 2－2t －8＝0. ∴t ＝4或t ＝－2(舍去)，故x 2＋y 2＝4. 答案 44.已知关于x 的方程x 2－kx ＋k －2＝0有两个正实根，则k 的取值范围是________.解析由题意得⎩⎨⎧（－k ）2－4（k －2）≥0，k ＞0，k －2＞0，解得k ＞2.答案 (2，＋∞)5.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程6x 2－3x －2＝0的两根的平方. 解 设方程6x 2－3x －2＝0的两根为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－13.由题意求作方程的两根为x 21，x 22，则x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝1112，x 21·x 22＝(x 1x 2)2＝19，故求作的一元二次方程为x 2－1112x ＋19＝0， 即为36x 2－33x ＋4＝0.基础达标一、选择题1.解方程(5x －1)2＝3(5x －1)的适当方法是( ) A.开平方法 B.配方法 C.公式法D.因式分解法解析 由(5x －1)2＝3(5x －1)，得(5x －1)(5x －4)＝0，再求解最简单.故选D. 答案 D2.如果x 2＋2(m －2)x ＋9是完全平方式，那么m 的值等于( ) A.5 B.5或－1 C.－1D.－5或－1解析 由题意m －2＝±3，∴m ＝5或m ＝－1. 答案 B3.下列结论正确的是( )A.若x 2＝4，则x ＝2B.若x 2－5xy －6y 2＝0(xy ≠0)，则x y ＝6或xy ＝－1 C.方程x (2x －1)＝2x －1的解集为{1} D.方程x 2－3x ＋2x －1＝0的解集为{1，2}解析 对A ，由x 2＝4，得x ＝±2；对B ，∵xy ≠0，∴方程两边同除以y 2得⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－5x y －6＝0，∴x y ＝6或xy ＝－1；对C ，方程可化为(2x －1)(x －1)＝0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1；对D ，x ＝1时方程无意义.故选B. 答案 B4.已知α，β是一元二次方程x 2－5x －2＝0的两实数根，则α2＋αβ＋β2的值为( ) A.－1 B.9 C.23D.27解析 由根与系数的关系，得⎩⎨⎧α＋β＝5，αβ＝－2，则α2＋αβ＋β2＝(α＋β)2－αβ＝52＋2＝27. 答案 D5.小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项，解得两根为2，－3，而小华看错常数项，解得两根为－2，5，那么原方程为( ) A.x 2－3x ＋6＝0 B.x 2－3x －6＝0 C.x 2＋3x －6＝0D.x 2＋3x ＋6＝0解析 设原方程为x 2＋mx ＋n ＝0，其两根为x 1，x 2，由题意，得⎩⎨⎧2×（－3）＝n ，－2＋5＝－m .∴m ＝－3，n ＝－6.选B. 答案 B 二、填空题6.设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2 018＝0的两个实根，则m 2＋3m ＋n ＝________.解析 ∵m ，n 是方程x 2＋2x －2 018＝0的两根， ∴m 2＋2m －2 018＝0，即m 2＋2m ＝2 018，又m ＋n ＝－2，故m 2＋3m ＋n ＝(m 2＋2m )＋(m ＋n )＝2 018－2＝2 016. 答案 2 0167.已知方程x 2＋4x －2m ＝0的一个根α比另一个根β小4，则α＝________，β＝________，m ＝________.解析 由Δ＝16＋8m ＞0得m ＞－2，由题意α＝β－4，即α－β＝－4 ①，又α＋β＝－4 ②，由①②得α＝－4，β＝0，∴αβ＝0＝－2m ，m ＝0. 答案 －4 0 08.关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根为负，则实数m 的取值范围是________.解析 设方程两根为x 1，x 2，则x 1＜0，x 2＜0，∴⎩⎨⎧Δ≥0，x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－2m ＋1＞0，∴0≤m ＜12. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 三、解答题9.求下列方程的解集：(1)x 4－2x 2－8＝0；(2)6x 2－1x －1＝0.解 (1)令y ＝x 2(y ≥0)，则原方程可变为y 2－2y －8＝0，∴y ＝4或y ＝－2(舍去)，即x 2＝4，∴x ＝±2，∴原方程的解集为{2，－2}. (2)令y ＝1x ≠0，则原方程可化为6y 2－y －1＝0， ∴(3y ＋1)(2y －1)＝0， ∴y ＝－13或12，即1x ＝－13或12，∴x ＝－3或2，∴原方程的解集为{－3，2}.10.设x 1，x 2是方程3x 2－2x －4＝0的两根，不解方程，求下列各式的值； (1)1x 1＋1x 2；(2)x 2x 1＋x 1x 2；(3)(x 1－x 2)2；(4)x 31＋x 32.解由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－43.(1)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－12.(2)x 2x 1＋x 1x 2＝x 21＋x 22x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝（x 1＋x 2）2x 1x 2－2＝－13－2＝－73.(3)(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝529.(4)x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)(x 21－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2－3x 1x 2] ＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)＝8027.能力提升11.已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根.(1)是否存在a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.(2)求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值. 解 由题意知⎩⎨⎧a －6≠0，Δ＝（2a ）2－4a （a －6）≥0，∴a ≥0且a ≠6.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2aa －6，x 1x 2＝aa －6.(1)若－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2， 则x 1＋x 2＋4＝x 1x 2， 即4－2a a －6＝aa －6，∴a ＝24. 故满足条件的a 存在，且a ＝24.(2)∵(x 1＋1)(x 2＋1)＝(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋1＝a a －6－2aa －6＋1＝－6a －6为负整数，∴a 可取的整数为7，8，9，12.12.已知一元二次方程x 2－4x ＋k ＝0有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且x 2－4x －k ＝0与x 2＋mx ＋1＝0有一个根相同，求此时m 的值.解 (1)由题意Δ＝(－4)2－4k ＝4(4－k )＞0，∴k <4.即k 的取值范围为(－∞，4).(2)∵k ∈(－∞，4)，∴k 的最大整数为k ＝3.∴方程x 2－4x －k ＝0即x 2－4x －3＝0的解集为{2－7，2＋7}.设方程x 2＋mx ＋1＝0的两根为x 1，x 2，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝1.若方程x 2＋mx ＋1＝0的一个根为2－7，则另一个根为12－7＝－2＋73， 此时m ＝－(x 1＋x 2)＝－⎝⎛⎭⎪⎫2－7－2＋73＝－4＋473. 若方程x 2＋mx ＋1＝0的一个根为2＋7，则另一个根为12＋7＝－2＋73， 此时m ＝－(x 1＋x 2)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋7＋－2＋73＝－4＋473.。
一次二元次方程
一次二元次方程嘿，朋友们！今天咱们来唠唠一元二次方程，这玩意儿就像一个神秘的魔法盒，里面藏着好多有趣的秘密呢。
你看啊，一元二次方程长这样：ax² + bx + c = 0（a≠0）。
这就好比是一个奇特的生物，a、b、c就像它的基因，不同的基因组合就会产生完全不同的“生物特性”。
比如说，当a特别大的时候，就像这个方程有一个超级强壮的骨架，整个方程的形状就会被它撑得很“高大上”。
一元二次方程的解就像是藏在迷宫里的宝藏。
我们得通过各种神奇的咒语（也就是公式啦）来找到它。
那个求根公式，x = [-b ±√(b² - 4ac)] / 2a，就像是一把万能钥匙。
这钥匙长得还挺复杂的，就像那种有着很多弯弯绕绕的魔法钥匙，得小心翼翼地使用，不然很容易就被那些根号啊、加减号啊给绕晕了。
有时候，我们看这个方程的判别式Δ=b² - 4ac，这简直就是一个“方程探测器”。
如果Δ大于0呢，就好像方程有两个活泼的小精灵在里面，两个不同的解就像这两个小精灵在方程这个小世界里蹦跶着。
要是Δ等于0呢，那就只有一个小精灵了，这个解就像是独生子女一样独特。
而当Δ小于0的时候，就像方程进入了一个神秘的异次元空间，在实数范围内找不到解，就好像宝藏被隐藏到了另一个维度，我们得用复数这个“时空穿越器”才能找到。
一元二次方程在生活中的应用也是超级搞笑的。
比如说，你想计算一个抛物线形状的滑梯有多高多陡，一元二次方程就像一个滑梯设计师，准确地告诉你滑梯的各种参数。
这方程就像一个小小的建筑师，把现实中的东西用它那独特的数学语言描述得清清楚楚。
想象一下，你扔一个球出去，球在空中划过的轨迹就可以用一元二次方程来表示。
这方程就像一个跟踪小能手，紧紧地跟着球的轨迹，告诉我们球什么时候达到最高点，就像在喊“看呐，球到顶点啦，它要开始下落喽”。
在商业里，一元二次方程也能插一脚。
比如说计算利润最大化的时候，它就像一个精明的商人，在成本和售价之间找到那个最佳的平衡点，让利润像气球一样膨胀起来。
第二章第二节一元二次不等式的解法
§2.2一元二次不等式的解法一、知识点复习1、一元二次不等式的解集情况如下表：二、课前练习1、不等式(x+2)(1-x)>0的解集是 ．2、若关于x 的不等式01>+-x a x 的解集为),4()1,(+∞--∞ ，则实数a = ． 3、解下列不等式：（1）01832<++-x x （2） 18342<-≤x x（3）0132<++x x （4）02322>-+-x x三、典型例题例1、已知不等式022>++c x ax 的解集为2131<<-x ，则=+c a 例2、已知常数R a ∈，解关于x 的不等式02)2(2<++-a x a x ．例3、当a 为何值时，不等式01)1()1(22<----x a x a 的解是全体实数例4、某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离sm 和汽车车速h xkm /有如下关系：21801201x x s +=，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于m 5.39，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？（精确到h km /01.0）四、课后作业（一）基础题：1、解下列一元二次不等式⑴ 01442>++x x (2) 0532>+-x x(3) 03222>-+-x x (4) 01692≤+-x x2、已知不等式02>++c bx ax 的解集为()βα,，且βα<<0，求不等式02<++a bx cx 的解集．3、已知不等式03)1(4)54(22>+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围（二）提高题1、已知关于x 的不等式4632>+-x ax 的解集为),()1,(+∞-∞b ,求⑴求b a ,的值；⑵解关于x 的不等式0)(2<++-bc x b ac ax 的解集．2、已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(，⑴若方程06)(=+a x f 有两个相等的实数根，求)(x f 的解析式；⑵若)(x f 的最大值为正数，求实数a 的取值范围.3、某种商品现在定价每件p 元，每月卖出n 件，因而现在每月售货总金额是np 元，设定价上涨x 成，卖出数量减少y 成，售货总金额变成现在的z 倍，⑴．用x 和y 表示z ；⑵．设)10(<<=k kx y ，利用k 表示当售货总金额最大时x 的值； ⑶．如果x y 32=，求使售货金额有所增加的x 值的范围；。
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第二章一元二次方程
3 •用公式法求解一元二次方程（一）
教学目标
（一）教学知识点
1•一元二次方程的求根公式的推导.
2•会用求根公式解一元二次方程.
（二）能力训练要求
1•通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力.
2•会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程.
（三）情感与价值观要求
通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯.
教学重点
一元二次方程的求根公式
教学难点
求根公式的条件：b2-4ac > 0
教学方法
讲练相结合
教具准备
投影片
教学过程
第一环节；回忆巩固
活动内容：
①用配方法解下列方程：（1）2x 2+3=7X（2）3X2+2X+仁0
全班同学在练习本上运算，可找位同学上黑板演算
②由学生总结用配方法解方程的一般方法：
第一题：2x2+3=7x
解：将方程化成一般形式：2x2-7x +3=0
x2—7=0
两边都除以一次项系数：2 2 2
活动目的:
改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平 方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。
(2) 选择了一个没有解的方程，让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范 围内都有解。
(3) 教师还可以根据上节课作业情况，选学生出错多的题目纠错、练习
活动的实际效果：
通过对旧知识的回顾， 学生再次经历了配方法解方程的全过程，
由于是旧知识，学生容
配方：加上再减去一次项系数一半的平方
即：
X 2
_7
x (I)2
一
49
? =0
2 4 16 2
7 2
25
r 一肓0
2
25
=16
两边开平方取“土” 得:
x
厶？
4 _4 4
一4
写出方程的根
x1=3 , x2=
第二题:
3x2+2x+仁0
解：两边都除以一次项系数 ：3
x2
1x V 0
配方:加上再减去一次项系数一半的平方 即：
x 2 Mx (1)2」-2=0 3 3 9 2
.丄1 、2丄25 小 (x+3 寸
25
18
：：:0 •••原方程无解
(1)
进一步夯实用配方法解方程的一般步骤
.在这里相对于书上的解题方法作了小小的
易做出正确答案，并获得成功的喜悦，调动了学生的学习热情，唤醒学生的思维， 为后面的 探
索奠定了良好的基础。
第二环节探究新知
（1）活动1:自主推导求根公式。
提出问题：解一元二次方程：
ax+bx+c=O （a 丰0）
学生在演算纸上自主推导、 并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。
最 后由
师生共同归纳、总结，得出求根公式
解：两边都除以一次项系数:a
问：为什么可以两边都除以一次项系数
:a
问：如果b 2
-4ac<0时，会出现什么问题？
x 2 -x - =0
a a
答：因为0
配方：加上再减去一次项系数一半的平方
x 2
b
x （卫）2
a 2a
（x
上）
a b 2
-4ac
4a 2
（x b
） a b 2
-4ac 4a 2
问：现在可以两边开平方吗?
答：不可以，因为不能保证 b 2
-4ac 0
4a 2
—
问：什么情况下 b 2
-4ac 0
学生讨论后回答: 答：•/ a 工0
••• 4a 2
>0
要使b 2
-4ac 小
2
0 4a
2
只要b -4ac > 0即可
•••当b 2
-4ac > 0时，两边开平方取“土
得：x+冷片
b b 2
- 4ac
x
a 2a
b 丄、b -4ac
x 二
a 2a
-b b 2
-4ac x 二 2a
答：方程无解
如果b2-4ac=0呢？答；方程有两个相等的实数根。
活动目的：
学生能否自主推导出来并不重要，重要的是由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识•在集体交流的时
候，才能有感而发。
活动的实际效果：
学生的主要问题通常出现在这样的几个地方：
（1） 2 b b 2 b2 c中b2c运算的符号出现错误和通分出现错误
x x （） 2 o -存a
a 2a 4a a 4a a
（2）不能主动意识到只有当b2-4ac > 0时，两边才能开平方
（3）两边开平方，忽略取“土”。
大部分学生需要在教师的帮助下，才能完善公式的推导。
（2）活动2:归纳总结公式法定义和根的判别式。
第三环节：巩固新知
活动内容：
1、判断下列方程是否有解：（学生口答）
2 2 2 2 2
(1)2x +3=7x (2) x -7x=18 (3) 3x +2x+ 仁0 (4) 9x +6x+ 仁0 (5)16x +8x=3
2
⑹ 2x -9x+8=0
学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断出根的情况。
问第（3）题的判断，与第一环节中的第（2）题对比，哪种方法更简捷？
2、上述方程如果有解，求出方程的解
学生口述，教师板书第（ 1 ）题，第（4）题
2
例：解方程2x +3=7x
先将方程化成一般形式解：2x 2-7x+3=0
确定a,b,c的值a=2, b=-7, c=3
判断方程是否有根
2 2
•/ b -4ac=(-7) -4 X 2X 3=25>0
—b 二b —4ac x -
2a
7_ 25 7 _5
_ 2 2 _ 4
写出方程的根即x i=3,x 2=- 1
2
问：与第一环节中的第（1）题对比，哪种解法更简捷？
2
例：解方程9x +6x+仁0
确定a,b,c 的值解：a=9, b=6, c=1
判断方程是否有根•/ b2-4ac=6 2-4 X 9 X仁0
—b ±l b2—4ac
x =
2a
_ - 6 -■. 0
••• 一2 9
-6 _0
-18
1
=——
3
（剩下的题目教师根据时间情况选择使用，个别学生上黑板做题，其他同学在座位上练习）
3、课本随堂练习1、2.
活动目的：通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解
学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。
活动实际效果：教师引导学生分析，学生口答、板书，笔答，对比，评价，总结•大部分学
生能够正确、熟练的用公式法解方程。
第四环节：收获与感悟
活动内容：
提出问题：
_ 2
1、一元二次方程ax +bx+c=0（a丰0）的求根公式是什么？
2、如何判断一元二次方程根的情况？
3、用公式法解方程应注意的问题是什么？
4、你在解方程的过程中有哪些小技巧？
让学生在四人小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。
活动目的：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。
活动实际效果：学生通过回顾本节课的学习，感受到公式推导的全过程，发展了逻辑思维能力，提高了推理技能，在使用公式解方程的过程中，感受到有的一元二次方程的有根，而有的没有根，通过解方程，进一步提高了学生的运算能力。
第五环节：布置作业
用公式法解下列方程（教师可根据实际情况选用）
1、课本47 页1,2 题。
2、程解应用题
（1）已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少?
（2）一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同, 求台布的长和宽
教学反思
教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。
本节课教师就根据学生实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题。