第二章一元二次方程.doc

第二章一元二次方程

3 •用公式法求解一元二次方程（一）

教学目标

（一）教学知识点

1•一元二次方程的求根公式的推导.

2•会用求根公式解一元二次方程.

（二）能力训练要求

1•通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力.

2•会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程.

（三）情感与价值观要求

通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯.

教学重点

一元二次方程的求根公式

教学难点

求根公式的条件：b2-4ac > 0

教学方法

讲练相结合

教具准备

投影片

教学过程

第一环节；回忆巩固

活动内容：

①用配方法解下列方程：（1）2x 2+3=7X（2）3X2+2X+仁0

全班同学在练习本上运算，可找位同学上黑板演算

②由学生总结用配方法解方程的一般方法：

第一题：2x2+3=7x

解：将方程化成一般形式：2x2-7x +3=0

x2—7=0

两边都除以一次项系数：2 2 2

活动目的:

改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平 方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。

(2) 选择了一个没有解的方程，让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范 围内都有解。 (3) 教师还可以根据上节课作业情况，选学生出错多的题目纠错、练习

活动的实际效果：

通过对旧知识的回顾， 学生再次经历了配方法解方程的全过程，

由于是旧知识，学生容

配方：加上再减去一次项系数一半的平方

即：

X 2

_7

x (I)2

一

49

? =0

2 4 16 2

7 2

25

r 一肓0

2

25

=16

两边开平方取“土” 得:

x

厶？

4 _4 4

一4

写出方程的根

x1=3 , x2=

第二题:

3x2+2x+仁0

解：两边都除以一次项系数 ：3

x2

1x V 0

配方:加上再减去一次项系数一半的平方 即：

x 2 Mx (1)2」-2=0 3 3 9 2

.丄1 、2丄25 小 (x+3 寸

25

18

：：:0 •••原方程无解

(1)

进一步夯实用配方法解方程的一般步骤

.在这里相对于书上的解题方法作了小小的

易做出正确答案，并获得成功的喜悦，调动了学生的学习热情，唤醒学生的思维， 为后面的 探

索奠定了良好的基础。

第二环节探究新知

（1）活动1:自主推导求根公式。 提出问题：解一元二次方程：

ax+bx+c=O （a 丰0）

学生在演算纸上自主推导、 并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。 最 后由

师生共同归纳、总结，得出求根公式

解：两边都除以一次项系数:a

问：为什么可以两边都除以一次项系数

:a

问：如果b 2

-4ac<0时，会出现什么问题？

x 2 -x - =0

a a

答：因为0

配方：加上再减去一次项系数一半的平方

x 2

b

x （卫）2

a 2a

（x

上）

a b 2

-4ac

4a 2

（x b

） a b 2

-4ac 4a 2

问：现在可以两边开平方吗?

答：不可以，因为不能保证 b 2

-4ac 0

4a 2

—

问：什么情况下 b 2

-4ac 0

学生讨论后回答: 答：•/ a 工0

••• 4a 2

>0

要使b 2

-4ac 小

2

0 4a

2

只要b -4ac > 0即可

•••当b 2

-4ac > 0时，两边开平方取“土

得：x+冷片

b b 2

- 4ac

x

a 2a

b 丄、b -4ac

x 二

a 2a

-b b 2

-4ac x 二 2a

答：方程无解

如果b2-4ac=0呢？答；方程有两个相等的实数根。

活动目的：

学生能否自主推导出来并不重要，重要的是由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识•在集体交流的时

候，才能有感而发。

活动的实际效果：

学生的主要问题通常出现在这样的几个地方：

（1） 2 b b 2 b2 c中b2c运算的符号出现错误和通分出现错误

x x （） 2 o -存a

a 2a 4a a 4a a

（2）不能主动意识到只有当b2-4ac > 0时，两边才能开平方

（3）两边开平方，忽略取“土”。

大部分学生需要在教师的帮助下，才能完善公式的推导。

（2）活动2:归纳总结公式法定义和根的判别式。

第三环节：巩固新知

活动内容：

1、判断下列方程是否有解：（学生口答）

2 2 2 2 2

(1)2x +3=7x (2) x -7x=18 (3) 3x +2x+ 仁0 (4) 9x +6x+ 仁0 (5)16x +8x=3

2

⑹ 2x -9x+8=0

学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断出根的情况。

问第（3）题的判断，与第一环节中的第（2）题对比，哪种方法更简捷？

2、上述方程如果有解，求出方程的解

学生口述，教师板书第（ 1 ）题，第（4）题

2

例：解方程2x +3=7x

先将方程化成一般形式解：2x 2-7x+3=0

确定a,b,c的值a=2, b=-7, c=3

判断方程是否有根

2 2

•/ b -4ac=(-7) -4 X 2X 3=25>0

—b 二b —4ac x -

2a

7_ 25 7 _5

_ 2 2 _ 4

写出方程的根即x i=3,x 2=- 1

2