§6.5 同构及同态(离散数学)

无限循环群同构于整数加法群。 例. 无限循环群同构于整数加法群。 证明： 证明： 设G=（g）是无限循环群，Z为整数 （ ）是无限循环群， 为整数 加法群，则对a∈ ， ∈ ， 加法群，则对 ∈G，n∈ Z，使得 a=gn， 令 f：a → n。 ： 。 上的1 映射； 不难验证 f 是G到Z上的1-1映射；任取 到 上的 a,b∈G，则存在i,j∈Z，使得a=gi， b=gj， a,b∈ ，则存在i,j∈ ，使得 i,j f(gi gj)= f(gi+j )=i+j=f(gi )+ f(gj), f( f( )=i+j=f( f( 因此， 上的同构映射， 因此， f 是G到Z上的同构映射，即G Z。 到 上的同构映射 。
§6.5 同构及同态
6.5.1 同 态 映 射 6.5.2 同 构 映 射 6.ห้องสมุดไป่ตู้.3 同 态 核
6.5.1 同 态 映 射
定义. 是一个群， 定义 设G是一个群，其运算是 ；K是一 是一个群 其运算是* 是一 个乘法系统，其运算为 个乘法系统，其运算为 ，称G到K的一个 到 的一个 映射σ是一个同态映射 如果对G中任意元 是一个同态映射， 映射 是一个同态映射，如果对 中任意元 素a，b ，有 ， σ(a * b)=σ(a) σ(b) 注意： 注意：这个映射既不一定是单射也不一定 是满射。 是满射。
例. （R*，）与（R，+）不可能同构。 ） ， ）不可能同构。 证明：用反证法。假设（ 证明：用反证法。假设（R*，）与（R，+） ） ， ） 同构， 可设映射σ为 同构 ， 可设映射 为 R*到 R上的一个同构映 上的一个同构映 射，于是必有 σ：1 → 0， ： ， -1 → a， a ≠ 0。 ， 。 从而， 从而， σ(1) σ(( σ((-1) ( )) σ( )=σ(( )(-1)) =σ( )+σ( )=a+a=2a。 σ(-1) σ( σ(-1) σ( 。 则有2a=0，a=0，与a ≠ 0矛盾。故，原假 矛盾。 则有 ， ， 矛盾 设不对，（ ，（R 设不对，（ *，）与（R，+）不可能同构。 ） ， ）不可能同构。
6.5.2 同 构 映 射
定义. 是一个群， 是一个乘法系统 是一个乘法系统， 定义 设G是一个群，K是一个乘法系统， 是一个群 G到K内的一个同态映射 如果σ 内的一个同态映射， σ是G到K内的一个同态映射，如果σ是G σ(G)上的1-1映射 则称σ是同构映射。 映射， 到σ( )上的 映射，则称σ是同构映射。 称G与σ( )同构，记成 σ( )。 与σ(G)同构，记成G σ(G)
群的第一同态定理
定理6.5.2 设σ是群 到Gˊ上的一个 是群G到 ˊ 定理 同态映射，于是， 同态映射，于是， 的核N是 的一个正规子群 的一个正规子群， σ的核 是G的一个正规子群， 对于Gˊ的任意元素aˊ， 对于Gˊ的任意元素aˊ ˊ)={x|x∈G ,σ( σ(x)= aˊ} σ-1 ( aˊ) ˊ) ∈ σ( ˊ 中的一个陪集， 是N在G中的一个陪集，因此，Gˊ的 在 中的一个陪集 因此， ˊ 元素和N在 中的陪集一一对应 中的陪集一一对应。 元素和 在G中的陪集一一对应。
(4) 往证 有左壹而且就是 往证G′有左壹而且就是 有左壹而且就是σ(1)， ， 即证对于任意的a’∈ ， 即证对于任意的 ∈G’，有σ(1)a’=a’。 。 因有a∈ 使得 因有 ∈G,使得 a’ =σ(a) ，按σ的同态性 的同态性 σ(1)a’ = σ(1)σ(a)=σ(1a)=σ(a)=a’。 。 (5) 往证 中任意元素 往证G’中任意元素 中任意元素σ(a) 有左逆且就是 -1)。 有左逆且就是σ(a 。 是群， 由a∈G，且G是群，知a-1∈G，故σ( a-1 ) ∈G’。 ∈ ， 是群 ， 。 由σ的同态性 的同态性 σ(a-1)σ(a)=σ(a-1a)=σ(1)。 。 综上， 做成一个群 做成一个群， 综上，G’做成一个群， G’的壹 ’=σ( )，G’中σ(a)的逆是σ( -1)。 的壹1’ σ( σ(1) 的逆是σ( 的壹 中 的逆是σ(a
为整数加群， 为实数加群， 例. 设G为整数加群，G’ 为实数加群， 为整数加群 σ：x → -x， x∈G， 令 ： ， ， 则σ是G到G’内的映射， 是 到 内的映射， 内的映射 且对任意x 且对任意 1, x2 ∈G， ， 有 σ(x1+x2)=-(x1+x2)=(-x1)+(-x2)=σ(x1)+σ(x2)， ， 所以σ是 到 的同态映射 的同态映射， 所以 是G到 G’的同态映射，显然是单射 但不是满射， 的子群。 但不是满射，σ(G)=Z 是G’的子群。 的子群
6.5.3 同 态 核
上的一个同态映射， 定义. 是 到 上的一个同态映射 定义 设σ是G到G′上的一个同态映射，命 N为G中所有变成 中1′的元素 的集合，记 中所有变成G′中 的元素 的集合， 的元素g的集合 为 中所有变成 为σ-1(1′)，即 ， N=σ-1 ( 1′)={g∣ g∈G ,σ(g)=1′} ∣ ∈ 则称N为 的核 的核。 则称 为σ的核。 是整数加法群， 是模 的加法群： 是模3的加法群 例. 设G是整数加法群， G′是模 的加法群： 是整数加法群 {0，1，2}，σ：x → x（mod 3），x∈G ， ， ， ， ： （ ） ∈ 上的同态映射。 的核为 的核为3G。 则σ是G 到G′上的同态映射。σ的核为 。 是 上的同态映射
对群(Z， 和 例. 对群 ，+)和(C*，) ，若令 σ：n → in， n ∈ Z， ： ， 其中i是 的虚数单位 的虚数单位。 其中 是C的虚数单位。 则σ是Z到C*内的一个映射，且对 是 到 内的一个映射，且对m,n∈Z， ， 有 σ(m+n)=im+n= imin=σ(m)σ(n)。 。 的同态映射， 即，σ是(Z，+)到(C*，)的同态映射， 是 ， 到 的同态映射 Z～σ(Z)。 ～ 。 σ(Z)={1，-1，i，-i}是C*的一个子群。 ， ， ， 是 的一个子群。
例. 群（R+，）和（R，+）是同构的。因为若 ） ， ）是同构的。 令 σ：x→logx，x∈R+， ： → ， ∈ 上的1-1映射 则σ是R+到R上的 映射，且对任意 ∈R+， 是 上的 映射，且对任意a,b∈ σ(ab)=log(ab)=log a + log b=σ(a)+σ(b)。 。 故σ是（R+，）到（R，+）上的同构映射。 是 ） ， ）上的同构映射。 Log x是以 为底的 的对数，若取 是以e为底的 的对数， 是以 为底的x的对数 若取σ(x)=log2 x，或 ， 若取σ(x)=log10 x，则得到R+到R上的不同的同构 若取 ，则得到 上的不同的同构 映射。 映射。 由此可见， 由此可见，群间可存在好多个甚至是无限多个同 构映射。 构映射。
例.设G1是整数加法群，G2是模 的整数加 设 是整数加法群， 是模n的整数加 法群， 上的运算⊕如下： 法群，G2上的运算⊕如下： a ⊕ b= a + b, 当a + b < n,
a + b n, 当a + b ≥ n
令σ：x →x(mod n)， x∈G1， ： ， ∈ 的满射，且对任意a,b∈ 则σ是G1到G2的满射，且对任意 ∈G1， 是 有 σ(a+b)=a+b(mod n) =a(mod n) ⊕ b(mod n) =σ(a) ⊕ σ(b) 。 σ是G1到G2的满同态映射。 的满同态映射。 是
例. 设(G，*)，(K，+)是两个群，令 ， ， ， 是两个群， 是两个群 σ：x → e， x∈G， ： ， ， 其中e是 的单位元 的单位元。 其中 是K的单位元。 内的映射， 则σ是G到K内的映射，且对任意 是 到 内的映射 且对任意a,b∈G， ， 有 σ(a*b)=e=e+e=σ(a)+σ(b)。 。 的同态映射。 即，σ是G到K的同态映射。 是 到 的同态映射 σ(G)={e}是K的一个子群 记G～σ(G)。 的一个子群, 是 的一个子群 ～ 。
是同态的， 例. 群（R，+）和 (R+, )是同态的， ， ） 是同态的 因为若令σ： 因为若令 ：x →ex ， x∈R ， 映射， 则σ是R到R+的1-1映射，且对 是 到 映射 任意x 任意 1, x2 ∈R ， 有 σ(x1+x2)=ex1+x2= ex1 ex2 =σ(x1) σ(x2)， ， σ是（R，+）到(R+, )的满同态映射。 的满同态映射。 是 ， ） 的满同态映射
(3) 往证 中有结合律成立： 往证G’中有结合律成立 中有结合律成立： 任取a’ 任取 ,b’,c’∈G’，往证 a’ (b’c’)=(a’b’)c’。 ∈ ， 。 因有a,b,c∈G,使得 因有 ∈ 使得 a’ =σ(a), b’=σ(b), c’=σ(c)， ， 故按σ的同态性， 故按 的同态性， 的同态性 a’ (b’ c’) = σ(a)(σ(b)σ(c)) = σ(a(bc)) (a’b’)c’= (σ(a)σ(b))σ(c) = σ((ab)c) 因群G中有结合律成立 中有结合律成立,所以 因群 中有结合律成立 所以 a(bc)=(ab)c。 。 于是 σ(a(bc))=σ((ab)c)。 。 因此， 因此， a’ (b’ c’)=(a’b’)c’。 。
证明
因为群G非空 至少1∈ ， 非空， (1) 因为群 非空，至少 ∈G，故至少 σ(1)∈G′，即G′非空。 非空。 ∈ ， 非空 (2) 任取 ∈G′，b’∈G′， 任取a’∈ ， ∈ ， 往证a’b’∈G′。 往证 ∈ 。 因有a,b∈ 因有 ∈G, 使得 a’=σ(a), b’=σ(b)， ， 故按σ的同态性 的同态性， 故按 的同态性， a’b’= σ(a)σ(b)=σ(ab)， ， 因而a’b’ =σ(ab) ∈σ(G), 而ab ∈G, 因而 即 a’b’ ∈G′。 。
再证N是 的正规子群 的正规子群， 再证 是 G的正规子群，即证对于任意的 g∈G，gNg-1 N。事实上， ∈ ， 。事实上， σ(gNg-1)=σ(g)σ(N)σ(g-1) =σ(g)1’σ(g)-1=σ(g)σ(g)-1=1’。 。 故gNg-1 N。 。 任取x∈ 则有n （任取 ∈ gNg-1 , 则有 ∈N，使得 ， x= gng-1 ,故 σ(x)=σ(gng-1 ) =σ(g)σ(n) σ (g-1 ) ) = σ(g)1’σ (g-1 )=σ(g) (σ(g))-1=1’， ， 因此， ∈ 。 因此， x∈ N。
证明
先证N是 的子群 的子群。 先证 是G的子群。 1）证N非空。因为 非空。 ） 非空 因为σ(1)=1ˊ，所以 ∈N。 ˊ 所以1∈ 。 2）若a∈N，b∈N，往证 -1∈N。由 ） ∈ ， ∈ ，往证ab 。 σ（a）=1′，σ（b）=1′， （ ） ， （ ） ， 可得 σ(ab-1)=σ(a)σ(b-1)=σ(a)(σ(b))-1 =1’(1’)-1=1’， ， 故ab-1∈N。 。
自同构映射
定义. 是一个群， 定义 设G是一个群，若σ是G到G上的同 是一个群 是 到 上的同 构映射，则称σ为自同构映射 为自同构映射。 构映射，则称 为自同构映射。 恒等映射，称为恒等自同构映射。 例. 恒等映射，称为恒等自同构映射。 例. 设（Z，+）是整数加法群，令 ， ）是整数加法群， σ：n → -n， n∈Z ， ： ， ∈ 的一个自同构映射。 则σ是Z的一个自同构映射。 是 的一个自同构映射 是一个Abel群，将G的每个元素都 例. 设G是一个 是一个 群 的每个元素都 映到其逆元素的映射σ： 映到其逆元素的映射 ：a → a-1 ( a∈G） ∈ ） 的一个自同构映射: 是G的一个自同构映射 的一个自同构映射 σ(ab)= (ab)-1 = b-1a -1 =a-1b -1=σ(a)σ(b)
定理6.5.1 定理
是一个群， 是一个乘法系统 是一个乘法系统， 是 设G是一个群， K是一个乘法系统， σ是G 是一个群 中的一个同态映射， 到K中的一个同态映射， G’=σ(G) ，则 中的一个同态映射 G’是一个群， 是一个群， 是一个群 G’的单位元 ’就是 的单位元 的映像 的单位元1’就是G的单位元 的单位元1的映像 的单位元 σ(1) ，即，1’= σ(1)； ’ ； 对任意a 对任意 ∈G， （σ(a)）-1 = σ(a-1) 。 ， ） 同态， 称G和G′同态，记为 ～G′。 和 同态 记为G～ 。