二阶阶微分方程的解法及应用
高等数学课件D7习题课二阶微分方程的解法及应用
f
(y, dy) dx
令 p(y) dy dx
p dp f (y, p) dy
2. 二阶线性微分方程的解法 齐次
• 常系数情形 非齐次
• 欧拉方程
代数法
x2 y pxy qy f (x)
令 x et , D d dt
D(D 1) pD q y f (et )
练习题: P353 题 2 (2);
,
并利用
y
x0
0,
定常数
C2
.
思考
若问题改为求解
y
1 2
y3
0
y x0 0 , y
x0
1
则求解过程中得
p2
1 1 x
,
问开方时正负号如何确定?
例1. 求微分方程
y y x,
x
π 2
满足条件
y 4 y 0 ,
x
π 2
y
x0
0,
y
x0
0,
在x
π 2
处连续且可微的解.
提示:
当x
π 2
时,
解满足
y
y
m k
v
m
(
m
g k2
B
)
ln
m
g B k m g B
v
作业
P348 4 , 6 ; P353 3 (8) ; 4 (2) ,(4) ；
7 ; *11(1)
第十一节
备用题 1. 设二阶非齐次方程 y (x)y f (x) 有特 解 y 1 , 而对应齐次方程有解 y x2 , 求 (x), f (x) 及
(r)
2 r
f
(r)
0
y2 2u
二阶微分方程的常见求解方法和应用
二阶微分方程的常见求解方法和应用二阶微分方程是一类重要的数学模型，在物理和工程学科中得到广泛应用。
本文将介绍几种常见的二阶微分方程求解方法，并探讨其在科学研究和工程实践中的应用。
一、常系数齐次二阶微分方程常系数齐次二阶微分方程形式为：$$ y''+ay'+by=0 $$其中，a和b是常数。
该方程的通解可以用特征方程求解。
特征方程为：$$ r^2+ar+b=0 $$如果特征方程有两个不同的实根$r_1$和$r_2$，通解为：$$ y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x} $$如果特征方程有一个重根$r_1$，通解为：$$ y=(c_1+c_2x)e^{r_1x} $$如果特征方程有两个共轭复根$\alpha\pm\beta i$，通解为：$$ y=e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x+c_2\sin\beta x) $$二、非齐次二阶线性微分方程非齐次二阶线性微分方程形式为：$$ y''+ay'+by=f(x) $$其中，f(x)是已知的函数。
我们可以通过猜测特解的形式，利用常数变易法求解。
通常，特解的形式取决于f(x)的形式。
常见的特解形式包括：1. f(x)是常数：特解形式为$y=k$，其中k是常数。
2. f(x)是mx+n型函数：特解形式为$y=mx+n$，其中m和n是常数。
3. f(x)是$e^{ax}$型函数：特解形式为$y=Ae^{ax}$，其中A是常数。
4. f(x)是三角函数型函数：特解形式为$y=A\cos bx+B\sin bx$，其中A和B是常数。
5. f(x)是多项式型函数：特解形式为$y=P_n(x)$，其中P_n(x)是n次多项式。
特解计算出来后，将通解与特解相加即可得到非齐次线性微分方程的通解。
三、应用二阶微分方程在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 振动问题：二阶微分方程可以用来描述物体的振动状态。
二阶常微分方程通解
二阶常微分方程通解引言常微分方程是数学分析领域中的一个重要分支，研究随时间变化的物理量与其导数之间的关系。
其中二阶常微分方程是常见的一类微分方程，具有广泛的应用。
本文将深入探讨二阶常微分方程的通解方法和应用。
二阶常微分方程介绍二阶常微分方程是指形式为f″(x)+p(x)f′(x)+q(x)f(x)=0的微分方程，其中p(x)和q(x)是给定的函数。
二阶常微分方程的求解通常分为两步：首先找到其特解，然后利用特解求得齐次方程的通解。
齐次方程的通解齐次方程是指形式为f″(x)+p(x)f′(x)+q(x)f(x)=0，其中p(x)和q(x)都为零的方程。
对于齐次方程，我们可以通过猜解法或特殊变量法来求解其通解。
猜解法猜解法适用于具有特定形式的方程，如f(x)=e rx。
我们先假设通解的形式，然后带入原方程，通过确定待定系数的值来求解。
例如，对于f″(x)−f(x)=0这一方程，我们可以猜解f(x)=e rx，然后带入方程得到r2e rx−e rx=0，进而确定r=1或r=−1。
因此，通解为f(x)=C1e x+C2e−x，其中C1和C2为常数。
特殊变量法特殊变量法适用于具有一些特殊形式的齐次方程。
常见的特殊变量包括x m、x m e nx和e nx sin(ax+b)等。
通过将方程中的函数进行特定变量代换，可以将原方程转化为一个常系数线性齐次方程或其他简单形式的方程，然后再进行求解。
非齐次方程的特解非齐次方程是指形式为f″(x)+p(x)f′(x)+q(x)f(x)=g(x)的方程，其中g(x)是给定的函数。
我们需要先找到非齐次方程的一个特解，然后利用该特解和齐次方程的通解求得非齐次方程的通解。
常数变易法常数变易法是求解非齐次方程特解的常用方法。
假设非齐次方程的特解形式为f(x)=C，将其代入非齐次方程得到p(x)C′+q(x)C=g(x)，然后求解常数C，即可得到特解。
叠加原理对于非齐次方程，其特解是由齐次方程通解和非齐次方程特解的和构成的。
二阶微分方程的解法及应用【开题报告】
毕业论文开题报告数学与应用数学二阶微分方程的解法及应用一、选题的背景、意义两千多年以前的古希腊时代，地中海沿岸的奴隶们在繁重的生产劳动中，早就认识到搬运重东西时利用滚动要比滑动省力因而在运输中广泛应用装有圆轮和圆轴的车子。
为了精密地制造这些工具，就需要对圆形有精确的认识，在深入地研究圆形的过程中，出现了“无限细分，无限求和”的微积分思想的萌芽。
到了16世纪前后，社会生产实践活动进入了一个新的时期。
在这段时间中，笛卡尔引进了变数的概念，有了变数，微分和积分也就立刻产生了！17世纪上半叶，随着函数观念的建立和对机械运动规律的探求，许多实际问题摆到了数学家的面前，几乎所有的科学大师都把自己的注意力集中到寻求解决这些难题的新的数学工具上来，他们在解决问题的过程中，逐步形成了微积分学的一些基本方法。
17世纪，当牛顿和莱布尼茨创立了微积分以后，数学家们便开始谋求用微积分这一有力的工具去解决越来越多的物理问题，但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题，这类问题不能通过简单的积分解决，要解决这类问题需要专门的技术，这样，微分方程这门学科就应运而生了。
它和天文学、力学、物理学等许多学科有广泛的联系，在数学领域，它和其它一些分支学科相互渗透，关系密切，为理工科院校数学专业重要的基础课程，理工科其它专业的高等数学课程也将会有越来越多的常微分方程内容。
17世纪到18世纪是常微分方程发展的经典理论阶段，以求通解为主要研究内容；从18世纪下半叶到19世纪，此阶段为常微分方程发展的适定性理论阶段，人们从求通解的热潮转向研究常微分方程问题的适定性理论；19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段，这一阶段的主要成果是微分方程的解析理论，运用幂级数和广义幂级数解法，求出一些重要的二阶线性方程的幂级数解，并得到极其重要的一些特殊函数；19世纪至20世纪是常微分方程的定性理论阶段，以定性与稳定性理论为研究内容。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题研究的基本内容：本文着重讨论求解各种二阶微分方程的方法。
二阶微分方程解法总结
二阶微分方程解法总结二阶微分方程是数学中的重要内容，特别是在物理学、工程学等领域中经常涉及到，因此掌握其解法十分重要。
本文将围绕二阶微分方程解法进行总结，详细介绍其解法步骤和要点。
一、分类讨论首先，对于二阶微分方程，需要根据其系数是否恒为零来进行分类讨论。
具体而言，二阶微分方程可分为齐次方程和非齐次方程两类。
对于齐次方程，其系数为常数，且自由项恒为零，此时可通过代入试探解法或特征方程解法求解；对于非齐次方程，其系数同样为常数，但自由项非零，因此需要运用常数变易法求解。
二、代入试探解法代入试探解法是求解齐次方程的常用方法。
具体而言，我们先根据已知条件猜测一个特殊的解，然后再通过验证来确定是否正确。
以一般的齐次二阶微分方程y''+py'+qy=0为例，设其特殊解为y=ce^(λx)，其中c和λ为待定系数。
将这个解代入方程中，得到λ^2+ pλ+ q=0，解出λ1和λ2，即可得到通解y=c1e^(λ1x)+c2e^(λ2x)。
三、特征方程解法特征方程解法也是求解齐次方程的一种方法。
对于一般的齐次二阶微分方程y''+py'+qy=0，可以通过设y=e^(mx)得到其特征方程m^2+pm+q=0。
解出m1和m2，则通解为y=c1e^(m1x)+c2e^(m2x)。
需要注意的是，在特征方程的求解过程中，方程的两个解m1和m2可能相等，此时通解应为y=(c1+c2x)e^(mx)。
因此，在解题时需要特别注意此类情况的处理。
四、常数变易法常数变易法是求解非齐次方程的基本方法。
具体而言，首先求出其对应的齐次方程的通解，然后特殊解通过试探法求得。
以一般的非齐次二阶微分方程y''+py'+qy=f(x)为例，首先求出其对应的齐次方程的通解y=c1e^(m1x)+c2e^(m2x)。
然后，我们猜测特殊解为y*=Ax+B，其中A和B为待定系数。
将y*代入方程中，可得到A=f'/m2，B=[f/(m2^2)]-[(p/m2)A]，从而得到非齐次方程的通解为y=c1e^(m1x)+c2e^(m2x)+y*。
二阶常微分方程的解法
二阶常微分方程的解法二阶常微分方程是微积分中的一个重要概念，涉及到求解具有两个未知函数的微分方程。
本文将介绍二阶常微分方程的一些解法方法。
一、可分离变量法对于形如f''(x) = g(x)的二阶常微分方程，可以通过分离变量的方法求解。
首先将方程进行变形，得到f''(x)-g(x) = 0。
然后令y=f'(x)，将方程转化为一阶方程y'-g(x)=0，再次进行变形得到dy/dx=g(x)。
接下来，对方程两边进行积分，得到y的表达式，再次积分即可得到f(x)的解。
二、特征方程法对于形如f''(x) + a1f'(x) + a0f(x) = 0的二阶常微分方程，可以通过特征方程法求解。
首先假设f(x)的解为f(x) = e^(rx)，其中r为待求解的常数。
代入原方程，得到特征方程r^2 + a1r + a0 = 0。
解特征方程，可以得到两个根r1和r2，然后f(x)的解可以表示为f(x) = C1e^(r1x) +C2e^(r2x)，其中C1和C2为待定常数。
三、常系数齐次线性微分方程法对于形如f''(x) + af'(x) + bf(x) = 0的二阶常微分方程，可以通过常系数齐次线性微分方程法求解。
首先假设f(x)的解为f(x) = e^(rx)，代入原方程，得到特征方程r^2 + ar + b = 0。
解特征方程，可以得到两个根r1和r2。
根据根的不同情况，可以得到不同的解形式。
1）当r1和r2是不相等的实根时，f(x)的解可以表示为f(x) =C1e^(r1x) + C2e^(r2x)，其中C1和C2为待定常数。
2）当r1和r2是相等的实根时，f(x)的解可以表示为f(x) = (C1x +C2)e^(r1x)，其中C1和C2为待定常数。
3）当r1和r2是共轭复数根时，f(x)的解可以表示为f(x) =e^(ax)[C1cos(bx) + C2sin(bx)]，其中C1和C2为待定常数。
二阶常微分方程的求解方法和应用
二阶常微分方程的求解方法和应用二阶常微分方程是指包含了二阶导数或者二次项的一类微分方程。
解决这类微分方程是理应掌握的技能，因为它们在许多自然科学和工程学科中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将讨论二阶常微分方程的求解方法以及它们的常见应用。
一、二阶常微分方程的基本形式二阶微分方程的一般形式是：$f''(x)+p(x)f'(x)+q(x)f(x)=g(x)$其中，函数f是要求解的未知函数，x是自变量，p(x)和q(x)是已知函数，g(x)是已知的函数或常数。
通常，二阶微分方程左侧的三项可以看作是二阶导数f''(x)、一阶导数f'(x)和f(x)对自变量x的线性组合。
这个线性组合中的系数p(x)和q(x)通常是自变量x的函数。
二、二阶微分方程的解法1.特解法特解法适用于在右侧有特殊类型函数的情况下，比如方程右侧是常数、指数函数、三角函数等。
因为这种情况下函数在取微分后与自身的形式变化不大，因此我们可以借助类似的解来猜测：如果右侧的g(x)是Acos(ax)+Bsin(ax)，那么我们可以尝试将函数f(x)猜测为Ccos(ax)+Dsin(ax)的形式，其中C和D是待求解的常数。
特解法的主要优点是简单易懂，特别是对于初学者而言。
但是，它有一个缺点：并不能解决更复杂的情况，比如右侧是分段函数的情况，因此需要用到其他解法。
2.变量分离法变量分离法是二阶微分方程求解的一种另类方法，它将原方程转换成一个含有单个未知函数但双变量的方程。
比如：$y''+y=0$方程左边的两项y''和y可以看作是函数y和y'的函数。
将方程拆开成两个修正的一阶方程，使用变量分离法来解决，得到：$\frac{dy}{dx}=u$$\frac{du}{dx}=-y$求解上述方程后，我们可以得到原始二阶微分方程的一般解：$y=Acos(x)+Bsin(x)$在实际应用中，变量分离法非常实用，例如在电工电子工程学里，它被用于模拟LC振荡器、无源滤波器等等。
二阶常微分方程的解法及其应用本科毕业论文
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3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。
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二阶线性偏微分方程的解法和特解
二阶线性偏微分方程的解法和特解在数学领域中，二阶线性偏微分方程是一种重要的方程类型。
它在物理学、工程学以及其他领域的建模和问题求解中具有广泛的应用。
解决这类方程的问题既有理论上的方法，也有实用的数值解法。
本文将介绍二阶线性偏微分方程的求解方法，包括一般解法和特解法。
一、一般解法对于形如：\[a(x, y) \frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} + b(x, y) \frac{{\partial^2 u}}{{\partial x \partial y}} + c(x, y) \frac{{\partial^2 u}}{{\partial y^2}} + d(x, y) \frac{{\partial u}}{{\partial x}} + e(x, y) \frac{{\partial u}}{{\partial y}} + f(x, y) u = g(x, y)\]的二阶线性偏微分方程，其中\(a(x, y), b(x, y), c(x, y), d(x, y), e(x, y), f(x, y), g(x, y)\)是已知函数，我们希望求解未知函数\(u(x, y)\)满足该方程。
首先，我们可以采用变量分离法将方程化简。
令\(u(x, y) = X(x)Y(y)\)，代入原方程，可以得到两个方程：\[ a(x) \frac{{X''(x)}}{{X(x)}} + d(x) \frac{{X'(x)}}{{X(x)}} + f(x) = -\lambda \]\[ c(y) \frac{{Y''(y)}}{{Y(y)}} + e(y) \frac{{Y'(y)}}{{Y(y)}} +\lambda = -g(x, y) \]其中\(\lambda\)是常数。
我们先考虑第一个方程，它可以化为一个常系数齐次线性微分方程：\[ a(x) X''(x) + d(x) X'(x) + \left(f(x) + \lambda\right) X(x) = 0 \]接下来根据常系数线性微分方程的解法，可以求得\(X(x)\)的解。
二阶常微分方程解法
二阶常微分方程解法二阶常微分方程是数学中常见的方程形式，可以通过不同的方法来求解。
本文将介绍二阶常微分方程的解法，并通过例题来说明具体步骤。
一、齐次二阶常微分方程的解法齐次二阶常微分方程的一般形式为：y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0齐次二阶常微分方程的解法步骤如下：1. 首先，设y=e^(λx)为方程的解，其中λ为待定常数。
2. 求解特征方程λ^2 + P(x)λ + Q(x) = 0的根。
设该方程的根为λ1和λ2。
3. 根据特征根λ1和λ2的值，分别列出对应的解y1=e^(λ1x)和y2=e^(λ2x)。
4. 则原方程的通解为y=C1y1 + C2y2，其中C1和C2为任意常数。
例题1：求解二阶常微分方程y'' - 4y' + 4y = 0。
解题步骤：1. 特征方程为λ^2 - 4λ + 4 = 0，解得λ=2。
2. 因此，对应的特解为y1=e^(2x)。
3. 原方程的通解为y=C1e^(2x) + C2xe^(2x)，其中C1和C2为任意常数。
二、非齐次二阶常微分方程的解法非齐次二阶常微分方程的一般形式为：y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)非齐次二阶常微分方程的解法步骤如下：1. 首先，求解对应的齐次方程y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0的通解，假设为y=C1y1 + C2y2。
2. 再根据待定系数法，设非齐次方程的特解为y*，代入原方程得到特解的形式。
3. 求解特解形式中的待定系数，并将特解形式代入原方程进行验证。
4. 特解形式正确且验证通过后，非齐次方程的通解为y=C1y1 +C2y2 + y*。
例题2：求解二阶常微分方程y'' - 4y' + 4y = x^2 + 3x + 2。
解题步骤：1. 对应的齐次方程的通解为y=C1e^(2x) + C2xe^(2x)，其中C1和C2为任意常数。
二阶微分方程的解法
二阶微分方程的解法二阶微分方程是一种重要的数学工具，使用普通方程难以描述的许多自然现象，可以通过二阶微分方程来描述。
二阶微分方程的解法一般通过分离变量、变量代换、常数变易法、常微分方程定理等多种方法来实现。
1.分离变量法对于形如 y''=f(x)y 的二阶微分方程，可以通过分离变量来解决。
首先将方程转化为 y''/y=f(x)，然后对两端同时积分，得到ln|y|=∫f(x)dx+C(常数)，则 y=Ae^（∫f(x)dx）或 y=Be^（-∫f(x)dx）。
2.变量代换法当二阶微分方程存在某种特殊的变量代换时，我们可以通过代换来解方程。
例如，对于 y''+p(x)y'+q(x)y=0 的方程，如果我们用y=e^(∫p(x)dx)v(x) 进行代换，则方程转化后的 v(x) 满足 v''+(q(x)-p'(x))v(x)=0,可以进一步使用其他的解法来求解。
3.常数变易法常数变易法主要适用于二阶齐次线性微分方程 y''+p(x)y'+q(x)y=0 的特殊情况。
在解此类方程时，我们常常按照 y=e^(mx) 代入方程，然后解出对应的特征方程。
如果特征方程的根是实数或共轭复数对，那么方程的通解可以表示为y=C1e^(αx)+C2e^(βx)，其中 C1，C2 是任意常数，α，β 是特征根；如果特征方程的根是重根，那么方程的通解可以表示为 y=(C1+C2x)e^(mx)。
4.常微分方程定理对于非齐次线性微分方程 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) 的解法，可以利用常微分方程定理（又称为Lagrange公式）来完成。
该定理指出，非齐次线性微分方程的特解可以表示为y*=u(x)y1+v(x)y2，其中 y1，y2分别为解齐次方程 y''+p(x)y'+q(x)y=0，u(x) 和 v(x) 是待定系数函数。
二阶微分方程的解法
二阶微分方程的解法概述二阶微分方程是微积分课程中的重要内容，它描述了一类与二阶导数有关的数学关系。
解决二阶微分方程是求解许多自然科学和工程学科中的问题的关键步骤。
本文将介绍二阶微分方程的基本概念，常见的解法以及解法的应用领域。
二阶微分方程的基本概念二阶微分方程是指含有二阶导数的微分方程，通常形式为：d2y dx2=F(x,y,dydx)其中，y是未知函数，x是自变量，F是给定函数。
二阶微分方程可以分为线性和非线性两类，线性二阶微分方程的一般形式为：d2y dx2+P(x)dydx+Q(x)y=R(x)其中，P(x)、Q(x)、R(x)是已知函数。
常见的解法解决二阶微分方程的方法有多种，下面介绍几种常见的解法。
1. 特解和通解对于非齐次二阶线性微分方程，我们可以通过特解和通解的组合求解。
首先求解相应齐次方程（将非齐次方程中的R(x)置为0）的通解，记为y c。
然后求解非齐次方程的一个特解，记为y p。
最后，原方程的通解可以表示为y= y c+y p。
2. 常数变易法常数变易法适用于形如y″+P(x)y′+Q(x)y=R(x)的方程。
我们首先假设通解为y=u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)都是未知函数。
然后将通解带入原方程得到一个关于u和v的方程。
通过选择合适的u和v，使得方程成立，即可求得原方程的通解。
3. 欧拉方程对于形如x2y″+P(x)xy′+Q(x)y=0的方程，我们可以通过欧拉方程进行求解。
将未知函数y表示为y=x r，其中r是常数。
然后将这个表达式代入原方程，并确定r的值，从而求得方程的通解。
4. 分离变量法对于一些特殊的二阶微分方程，我们可以使用分离变量法求解。
例如，对于形如y″=f(x)g(y)的方程，我们可以将方程两边同时乘以dy/dx，从而将方程分离为关于x和y的方程。
然后可以分别积分得到x和y的关系式，最终求得方程的解。
二阶微分方程的应用领域二阶微分方程在物理学、工程学和经济学等领域中有广泛的应用。
微分方程应用二阶常微分方程的解法和物理应用
微分方程应用二阶常微分方程的解法和物理应用微分方程应用一、引言微分方程是数学中重要的一种方程形式，在各个领域中都有广泛的应用。
其中，二阶常微分方程是微分方程中的常见形式之一，其解法和物理应用具有重要意义。
本文将围绕二阶常微分方程展开讨论，分析其解法和物理应用。
二、二阶常微分方程的解法二阶常微分方程可以写作：$$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)$$其中，$y''(x)$表示函数$y(x)$的二阶导数，$y'(x)$表示函数$y(x)$的一阶导数，$p(x)$、$q(x)$和$f(x)$为已知函数。
在解二阶常微分方程时，常采用以下两种方法。
1. 特征方程法特征方程法是解二阶常微分方程的常用方法之一。
首先，我们将二阶常微分方程转化为特征方程，并求解该特征方程的根。
假设特征方程有两个不同的实根$\lambda_1$和$\lambda_2$，则二阶常微分方程的通解可以表示为：$$y(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$$其中，$C_1$和$C_2$为待定常数。
2. 变量分离法变量分离法也是解二阶常微分方程的常用方法之一。
我们将二阶常微分方程通过一些变换，化为可分离变量的形式。
然后，对方程进行逐步积分，并对变量进行分离，最终求得方程的解。
变量分离法灵活简便，适用于不同形式的二阶常微分方程。
三、二阶常微分方程的物理应用二阶常微分方程在物理学中有着广泛的应用。
下面介绍几个典型的物理应用例子。
1. 自由振动在弹簧振子的运动中，可通过二阶常微分方程描述其自由振动。
方程形式如下：$$m\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0$$其中，$m$表示弹簧振子的质量，$k$表示弹簧的弹性系数。
通过求解该二阶常微分方程，可以得到弹簧振子的运动规律。
2. 热传导热传导现象可用二阶常微分方程进行描述。
热传导方程如下：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$其中，$u$表示温度的变化，$a$为传热系数。
二阶微分方程解法与应用
二阶微分方程解法与应用对于二阶微分方程的解法与应用，我们需要先了解什么是二阶微分方程，以及其解法和应用的基本原理。
本文将介绍二阶微分方程的概念和常见类型，探讨其解法和实际应用。
一、二阶微分方程的概念二阶微分方程是指具有以下形式的方程：d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = R(x)其中，y 是自变量 x 的函数，P(x)、Q(x) 和 R(x) 是已知的函数。
二阶微分方程是微积分中常见的方程形式，它描述了函数 y 在自变量 x 上的变化规律。
二、二阶微分方程的解法1.特解与齐次方程解对于非齐次性二阶微分方程，我们首先需要找到其对应的齐次方程的通解，再寻找特解。
齐次方程的通解可以通过特征方程解法求得。
特征方程解法：假设齐次方程的解为 y = e^(rx) ，则将其带入齐次方程中得到特征方程：r² + P(x)r + Q(x) = 0解特征方程得到 r1 和 r2，根据特解形式 y = C₁e^(r₁x) +C₂e^(r₂x)，其中 C₁和 C₂为常数，即可得到齐次方程的通解。
2.倍角公式与特解求解对于常见的二阶微分方程，可以利用倍角公式求得特解。
例如，当非齐次方程为：d²y/dx² + 4y = 2cos(2x)我们知道，cos(2x) = (e^(2ix) + e^(-2ix))/2，代入方程得：d²y/dx² + 4y = e^(2ix) + e^(-2ix)此时我们可以假设特解为 y = C₁e^(2ix) + C₂e^(-2ix)，其中 C₁和C₂为常数。
通过求导后代入方程，可以求得特解的具体形式。
3.拉普拉斯变换与解的转化拉普拉斯变换是一种常用的求解二阶微分方程的工具。
通过将方程转化为代数方程，我们可以利用拉普拉斯变换进行求解。
例如，对于方程 d²y/dx² + 3dy/dx + 2y = x，我们可以进行拉普拉斯变换：s²Y - sy(0) - y'(0) + 3sY - y(0) + 2Y = 1/s²其中，Y 和 y 为拉普拉斯变换后的函数，y'(0) 和 y(0) 分别为函数 y 在初始点的导数和值。
二阶微分方程的解法
二阶微分方程的解法引言：在微积分中，二阶微分方程是一种常见的数学工具，用于描述复杂的物理和工程问题。
解决二阶微分方程可以提供对系统的深入理解，并有助于预测和控制其行为。
本文将介绍几种常见的二阶微分方程的解法，包括常系数线性二阶微分方程、非齐次线性二阶微分方程以及常见特殊形式的二阶微分方程。
一、常系数线性二阶微分方程的解法：常系数线性二阶微分方程的一般形式可以表示为：\\[ay'' + by' + cy = 0\\]其中，a、b、c为常数，y是未知函数。
这个方程中的三个系数a、b、c决定了方程的性质和解的形式。
1.特征方程法：解决常系数线性二阶微分方程的一种常见方法是通过求解特征方程来获得解的形式。
通过设定y=e^(rx)，将其代入原方程，可以得到特征方程：\\[ar^2 + br + c = 0\\]根据特征方程的解，可以将原方程的通解表示为：\\[y = C_1e^(r_1x) + C_2e^(r_2x)\\]其中，r1和r2是特征方程的解，C1和C2是待定常数。
这个方法适用于特征方程有两个不相等的实根的情况。
2.欧拉方程法：对于具有复数解的特征方程，可以使用欧拉方程法来解决。
通过设y=e^(rx)，将其带入原方程，并使用欧拉公式进行变换，可以得到解的形式：\\[y = e^(ax) (C_1cos(bx) + C_2sin(bx))\\]其中，a和b是特征方程的实部和虚部，C1和C2是待定常数。
这个方法适用于特征方程有复数解的情况。
二、非齐次线性二阶微分方程的解法：非齐次线性二阶微分方程的一般形式可以表示为：\\[ay'' + by' + cy = f(x)\\]其中，f(x)是已知函数。
为了解决这个方程，首先需要求解对应的齐次方程\\(ay'' + by' + cy = 0\\)的通解。
然后，根据待定系数法或常数变易法，找到非齐次方程的一个特解。
二阶线性常微分方程的解法
二阶线性常微分方程的解法在数学中，二阶线性常微分方程是一个常见且重要的概念。
本文将介绍二阶线性常微分方程的解法，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、二阶线性常微分方程的定义二阶线性常微分方程是指形如下式的微分方程：y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = g(x)其中y(x)是未知函数，p(x)，q(x)和g(x)是已知函数，一般假设其在所考虑的区间上连续。
二、齐次方程的解法首先，我们来研究二阶线性常微分方程的齐次形式，即g(x)为零的情况。
这类方程的解法非常有规律性。
假设y1(x)和y2(x)是二阶线性常微分方程的两个解，那么线性组合c1y1(x) + c2y2(x)也是该方程的解，其中c1和c2是任意常数。
因此，我们可以找到两个解y1(x)和y2(x)，并通过线性组合的方式得到方程的通解。
具体的解法有三种情况。
1. 两个不同实数根当方程的特征方程有两个不同的实数根r1和r2时，对应的两个解分别为y1(x) = e^(r1x)和y2(x) = e^(r2x)。
2. 重根当方程的特征方程有一个重根r时，对应的两个解分别为y1(x) =e^(rx)和y2(x) = xe^(rx)。
3. 复数根当方程的特征方程有共轭复数根a±bi时，对应的两个解分别为y1(x) = e^(ax)cos(bx)和y2(x) = e^(ax)sin(bx)。
三、非齐次方程的解法对于非齐次方程，我们需要借助齐次方程的解，通过特解的方法来求解。
假设y1(x)和y2(x)是齐次方程的两个解，我们可以得到非齐次方程的特解为y(x) = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x)，其中u1(x)和u2(x)是待定函数。
具体的求解步骤是：1. 将待求特解y(x)代入原方程，消去齐次方程的项，得到u1'(x)y1(x) + u2'(x)y2(x) = g(x)。
二阶微分方程的通解公式
二阶微分方程的通解公式1. 引言在微积分中，二阶微分方程是一类常见且重要的方程。
解二阶微分方程的过程可以帮助我们理解和预测许多自然现象，如振动系统、电路分析和物理方程。
本文将介绍二阶微分方程的通解公式及其应用。
2. 二阶微分方程的一般形式二阶微分方程的一般形式可以表示为：d^2y/dx^2 + p(x) * dy/dx + q(x) * y = r(x)其中，y是未知函数，x是自变量，p(x)、q(x)和r(x)是已知函数。
3. 二阶齐次微分方程的解法二阶齐次微分方程是指r(x)为零的情况，即：d^2y/dx^2 + p(x) * dy/dx + q(x) * y = 03.1 特征方程的求解首先，我们设y = e^rx，将其代入方程，得到：r^2 * e^rx + p(x) * r * e^rx + q(x) * e^rx = 0将公式整理后，得到齐次方程的特征方程：r^2 + p(x) * r + q(x) = 03.2 特征方程的解根解特征方程可以得到两个解根r1和r2，可能存在以下三种情况： - 两个不同的实数根：r1和r2 - 一个重复实数根：r1 = r2 - 一对共轭复数根：r1 = α + βi 和r2 = α - βi（其中i为虚数单位）3.3 解的形式根据解根的不同情况，二阶齐次微分方程的通解可以表示为以下三种形式：•两个不同的实数根：y = C1 * e^(r1x) + C2 * e^(r2x)•一个重复实数根：y = (C1 + C2x) * e^(rx)•一对共轭复数根：y = e^(αx) * (C1 * cos(βx) + C2 * sin(βx))其中，C1和C2为任意常数，α和β为实数。
4. 非齐次二阶微分方程的解法对于非齐次二阶微分方程，即r(x)不为零的情况，我们可以利用特解和齐次解的叠加来求解。
4.1 特解的求解特解y_p可以通过常数变易法、待定系数法等方法求解。
二阶偏微分方程
二阶偏微分方程是数学中的一个重要分支，它涉及到许多实际问题，例如热传导、电磁场等。
在这篇文章中，我们将深入探讨的概念、解法以及其在实际问题中的应用。
一、的概念是形如$$ \frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2} = f(x,y) $$的方程，其中$$u=u(x,y)$$是未知函数，$$f(x,y)$$是已知函数。
通常，我们把这个方程称为泊松方程，其基本形式是：$$ \nabla^2 u = f(x,y) $$ 其中，$$\nabla^2$$是拉普拉斯算子，可以表示为：$$\nabla^2 =\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$$二、的解法要解决泊松方程，我们需要找到一个满足方程的函数$$u(x,y)$$。
在某些简单的情况下，我们可以直接通过代入法得到解析解。
但是，在大多数情况下，我们需要采用更加复杂的数值方法来求解。
一种常用的数值方法是有限元法。
该方法将求解区域划分成多个小区域，并在每个小区域内构建一个插值函数。
然后，通过将这些插值函数相加，我们可以得到一个近似解。
但是，对于某些情况，有限元法可能并不适用，这时我们需要使用其他的数值方法，例如有限差分法和谱方法等。
三、的应用泊松方程在电磁学、热传导学、流体力学等领域都有着广泛的应用。
例如，它可以用于描述高维空间中的电势分布；在热传导学中，它可以用于描述热流的分布情况。
此外，泊松方程还可以用于解决流体的速度分布问题以及许多其他领域的问题。
四、结论综上所述，是一种重要的数学工具，它可以用于解决许多实际问题。
虽然的求解过程可能会比较复杂，但是通过采用合适的数值方法，我们仍然能够得到较为准确的近似解。
因此，对于某些领域的研究和实际问题的解决，深入理解的概念和解法至关重要。
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f (0) 1
思考: 设 ( x) e x
x
x 0
( x u ) d u, (0) 0,
提示: 对积分换元 , 令 t x u , 则有
解初值问题: 答案:
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例3. 设函数
数, 且
内具有连续二阶导
(1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 2 d x dx 3 ( y sin x)( ) 0 2 dy dy
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(7) y 2 y 5 y sin 2 x
特征根: 齐次方程通解: Y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x ) 令非齐次方程特解为 代入方程可得 A 117 ,
原方程通解为 y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x )
dp f ( x, p ) dx
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2. 二阶线性微分方程的解法 齐次 • 常系数情形 非齐次 • 欧拉方程
代数法
x 2 y p x y q y f (x) d t 令 x e ,D dt D( D 1) pD q y f (et )
o x x
F x g (20 x) g 2( x 10) g
由牛顿第二定律, 得
d x 20 2 2( x 10) g dt dx 0 x t 0 12 , d t t 0
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2
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微分方程通解:
由初始条件得 故定解问题的解为
11.2 103 (m s)
这说明第二宇宙速度为 11.2 km s
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例5. 已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点
上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系数 为 k),
s
求质点的运动规
提示: 由题设 F ds k t , 两边对 s 求导得:
解得
( 左端 1, 舍去另一根 )
当 x = 20 m 时, (s)
思考: 若摩擦力为链条 1 m 长的重量 , 定解问题的
数学模型是什么 ?
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不考虑摩擦力时的数学模型为 d2 x 20 2 2( x 10) g dt dx 0 x t 0 12 , d t t 0 摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为
o x x
d2 x 20 2 2( x 10) g 1 g dt dx 0 x t 0 12 , d t t 0
此时链条滑下来 所需时间为
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练习题 从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测
要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函 数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m, 体积为B , 海水比重为 , 仪器所受阻力与下沉速度成正 比 , 比例系数为 k ( k > 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的微分 方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . ( 95考研 ) 提示: 建立坐标系如图. 由牛顿第二定律
故通解为
y y x y x 0 0 , y
x 0
0
y C1 cos x C2 sin x x
利用 y x 0 0, y x 0 0, 得
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处的衔接条件可知,
解满足
y 4 y 0
其通解: y C1 sin 2 x C2 cos 2 x 定解问题的解: y 1 sin 2 x (1 ) cos 2 x, x 2 2 2 故所求解为
练习题: P327 题 2
;
3 (6) , (7) ; 8
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4(2)；
解答提示
P327 题2 求以 故特征方程为 因此微分方程为 P327 题3 求下列微分方程的通解 为通解的微分方程 .
提示: 由通解式可知特征方程的根为
y2 1 0, (7) y 2 y 5 y sin 2 x . (6) y y 则方程变为 提示: (6) 令 dp yp p2 1 0 , dy
思考
B 417
若 (7) 中非齐次项改为
提示:
特解设法有何变化 ?
故 y* A cos 2 x B sin 2 x D
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y a y 2 0 P327 题4(2) 求解 y x 0 0 , y
x 0
1
提示: 令 则方程变为 1 积分得 a x C1 , 利用 p x 0 y x 0 1 得 C1 1 p dy 1 , 并利用 y x 0 0 , 定常数 C2 . 再解 dx 1 ax
s0
牛顿第二定律
ds d 2 s k 2 dt dt m ds 2 2 k t C1 … dt m
d 2s dt m 2 k ds dt d ds 2 2 k dt dt m
开方如何定 + – ?
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例6. 一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8 m , 另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦 力, 求链条滑下来所需的时间 . 解: 建立坐标系如图. 设在时刻 t , 链条较长一段 下垂 x m , 又设链条线密度为常数 , 此时链条受力
o
y
y
质量 m 体积 B
d y 重力 浮力 阻力 m 2 mg B k v dt dv d y dv v 注意: dy d t dy
2
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得
dv m v m g B k v dy
y 0
o
y
y
质量 m 体积 B
初始条件为 v
0
用分离变量法解上述初值问题得
思考 若问题改为求解 y
则求解过程中得
x 0
0,
问开方时正负号如何确定?
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P327 题8 设函数
内满足拉普拉斯方程 二阶可导, 且
在r>0
u
2
x2
u2ຫໍສະໝຸດ y 2 z 2 试将方程化为以 r 为自变
u
2
0,
量的常微分方程 , 并求 f (r) . u x f (r ) 提示: x r 2u x2 x2 f (r ) 2 f (r ) 1 3 2 x r r r 利用对称性, 原方程可化为
变换为 y＝y(x) 所满足的微分方程 ;
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 的解. 解: (1) 由反函数的导数公式知
(03考研)
上式两端对 x 求导, 得:
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设①的特解为 y A cos x B sin x, 代入①得 A＝0, 1 B , 故 y 1 sin x, 从而得①的通解: 2 2
第十二章 习题课 (二) 二阶微分方程的 解法及应用(25)
一、两类二阶微分方程的解法
二、微分方程的应用
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一、两类二阶微分方程的解法
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法
d y f ( x) 2 dx
2
逐次积分求解
dy 2 令 p ( x) d y dy dx f ( x, ) dx dx 2 dy 2 令 p ( y) d y dy dx f ( y, ) dx dx 2
1 y C1e C2 e sin x 2 3 由初始条件 y (0) 0, y (0) , 得 2 C1 1, C2 1
x x
故所求初值问题的解为
y e e
x
x
1 sin x 2
题
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二、微分方程的应用
1 . 建立数学模型 — 列微分方程问题 建立微分方程 ( 共性 )
f (t ) d t , 则
f ( x) cos x 0 f (t )d t x f (x) x f (x) f ( x) sin x f ( x)
问题化为解初值问题: 最后求得
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x
f ( x) f ( x) sin x
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d x d2 x y 2 ( y ) 2 0 dy dy dx y 2 d x dy y 2 2 dy ( y ) ( y ) 3 代入原微分方程得 y y sin x ① (2) 方程①的对应齐次方程的通解为 x x Y C1e C2 e
m m ( m g B ) m g B k v y v ln 2 k m g B k
作业
P317 5 , 6 ; P327 3 (8) ; 4 (2) ,(4) ; 8 .
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利用物理规律
利用几何关系 初始条件 边界条件 可能还要衔接条件
确定定解条件 ( 个性 )
2 . 解微分方程问题 3 . 分析解所包含的实际意义
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例4. 欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球