2019年河南省开封市高考数学一模试卷(理科)

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2019届河南省开封市高三上学期第一次模拟考试数学(理)试卷及解析

2019届开封市高三上学期第一次模拟考试数学（理）试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合A，B，利用交并补运算得到结果.【详解】由题意易得：，∴,∴,故选：C2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】由得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限．故选：D．3.已知函数，则下列说法正确的是A. 的最小正周期为B. 的最大值为2C. 的图像关于轴对称D. 在区间上单调递减【答案】C【解析】【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选：C．4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则A. 26B. 52C. 78D. 104【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为q，利用等比性质可得，即，再结合，即可得到结果.【详解】设等比数列的公比为q，∵，∴≠0，解得＝4，数列是等差数列，且．∴故选：B．5.已知直线，和平面，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】。

河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题+Word版+详解

开封市2019届高三第一次模拟考试数学（理科）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【分析】化简集合A，B，利用交并补运算得到结果.【详解】由题意易得：，∴,∴,故选：C【点睛】本题考查集合的交、并、补的基本运算，指数函数与对数函数的性质，考查计算能力．2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】由得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知函数，则下列说法正确的是A. 的最小正周期为B. 的最大值为2C. 的图像关于轴对称D. 在区间上单调递减【答案】C【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选：C．【点睛】本题考查余弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键．4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则A. 26B. 52C. 78D. 104【答案】B【分析】设等比数列的公比为q，利用等比性质可得，即，再结合，即可得到结果.【详解】设等比数列的公比为q，∵，∴≠0，解得＝4，数列是等差数列，且．∴故选：B．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知直线，和平面，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D 试题分析：直线，平面，且，若，当时，，当时不能得出结论，故充分性不成立；若，过作一个平面，若时，则有，否则不成立，故必要性也不成立．由上证知“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D ．考点：1、线面平行；2、命题的充分必要条件．6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B 【分析】首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体，其中正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为2，高为4，则组合体的体积：.本题选择B 选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 7.已知函数若，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】B 【分析】依题意，对a 分a与a讨论，再解相应的不等式即可．【详解】∵，∴或即或即∴的取值范围是故选：B【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用，突出考查分类讨论思想与方程思想的综合应用，属于中档题．8.若，满足约束条件则的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【分析】问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得．【详解】作出x，y满足约束条件的可行域如图：△ABC，表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，联方程组可解得B（2，﹣2），同理可得A（2，4），当直线经过点B时，M取最小值：，当直线经过点A时，M取最大值1．则的取值范围：[，1]．故选：A．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.9.已知数列中，，，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是A. B. C. D.【答案】C【分析】本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，模拟程序的运行过程知，该程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时求出满足题意的选项即可．【详解】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A，n＝1；第1次循环，A＝1﹣2＝﹣1，n＝1+1＝2；第2次循环，A＝1+1＝2，n＝2+1＝3；第3次循环，A＝1，n＝3+1＝4；…所以，程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时，n能被3整除，此时不满足循环条件．分析选项中的条件，满足题意的C．故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.已知的内角，，，为所在平面上一点，且满足，设，则的值为A. B. 1 C. D. 2【答案】A【分析】由题意结合三点共线的充分必要条件讨论的最大值即可.【详解】由题意可知，O为△ABC外接圆的圆心，如图所示，在圆中，所对的圆心角为，，点A,B为定点，点为优弧上的动点，则点满足题中的已知条件，延长交于点，设，由题意可知：，由于三点共线，据此可得：，则，则的最大值即的最大值，由于为定值，故最小时，取得最大值，由几何关系易知当是，取得最小值，此时.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查数形结合解题，三点共线的充分必要条件，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为A. 3B. 2C.D.【答案】B【分析】利用三角形的面积求出P的纵坐标，通过直线的斜率，求出P的横坐标，然后求解a，c，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】P是双曲线1（a＞0，b＞0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，c＝6，△PF1F2的面积为24，可得P的纵坐标y为：，y＝4．直线PF2的斜率为﹣4，所以P的横坐标x满足：，解得x＝5，则P（5，4），|PF1|13，|PF2|7，所以2a＝13﹣7，a＝3，所以双曲线的离心率为：e2．故选：B．【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力．当构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，a有最小值，易得a的取值范围，由此能求出此三棱锥体积的取值范围．【详解】构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，AD=BC=a,此时0＜a ＜2．取BC中点为E,连接AE,DE,易得：BC⊥平面ADE,∴，当且仅当4即时，等号成立，∴此三棱锥体积的取值范围是故选：【点睛】本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合数形结合思想，极限思想，求出a的最大值和最小值，进而得到形成的三棱锥体积最大值．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中，的系数等于__________．【答案】-120【分析】利用通项公式即可得出．【详解】（1﹣x）10的展开式中，T r+1（﹣x）r，令r＝3，则T4x3，则x3的系数120．故答案为：﹣120．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.14.已知向量，，且在方向上的投影为-3，则向量与的夹角为__________．【答案】，，解得，，，所以与的夹角为.15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是__________．【答案】【分析】根据几何概型的概率公式，设DF＝2AF＝2a，求出△DEF和△ABC的面积，计算所求的概率值．【详解】由题意，设DF＝2AF＝2a，且a＞0，由∠DFE，∴∠AFC＝π；∴△DEF的面积为S△DEF•2a•2a•sin a2，△AFC的面积为S△AFC•a•3a•sin a2，∴在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是P．故答案为：．【点睛】题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.16.已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，，且.若存在，使得成立，则实数的最小值为__________．【答案】【分析】先根据数列的递推公式可求出，再利用累乘法求出通项公式，再构造数列B n＝T2n ﹣T n，判断数列的单调性，即可求出【详解】∵3S n＝（n+m）a n，∴3S1＝3a1＝（1+m）a1，解得m＝2，∴3S n＝（n+2）a n，①，当n≥2时，3S n﹣1＝（n+1）a n﹣1，②，由①﹣②可得3a n＝（n+2）a n﹣（n+1）a n﹣1，即（n﹣1）a n＝（n+1）a n﹣1，∴，∴，，，…，，，累乘可得a n＝n（n+1），经检验a1＝2符合题意，∴a n＝n（n+1），n∈N*，∵a n b n＝n，∴b n，令B n＝T2n﹣T n，则B n+1﹣B n0，∴数列{B n}为递增数列，∴B n≥B1，∵存在n∈N*，使得λ+T n≥T2n成立，∴λ≥B1，故实数λ的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求面积的最大值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【分析】（Ⅰ）利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得A的值；（Ⅱ）的面积，由余弦定理及均值不等式即可得到bc的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得：，∵，∴，∵∴，∵∴.（Ⅱ）的面积，由及余弦定理得，又，故，当且仅当时，等号成立.∴面积的最大值为.【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）线段上是否存在一点，使二面角所成角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ) F为AD中点.【分析】（Ⅰ）先证BC⊥平面ABE，进而得面面垂直；（Ⅱ）建立空间坐标系，设点F的位置，利用向量列方程求解．【详解】（Ⅰ）∵平面，平面，平面，∴，，又∵，∴，∴平面，又平面，∴平面平面.（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，∵，，，∴.假设线段上存在一点满足题意，，，，，易知：平面的一个法向量为，∵，，∴设平面的一个法向量为，由，得，取，得，，∴.点为线段的中点时，二面角所成角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）求的最小值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)2【分析】（Ⅰ）由椭圆求得右焦点，根据抛物线的焦点求出p的值，再写出抛物线C的标准方程；（Ⅱ）①当动弦AB所在的直线斜率不存在时，求得2；②当动弦AB所在的直线斜率存在时，写出AB所在直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|AB|；写出FM所在的直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|MF|，再求的最小值，从而得出结论．【详解】（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为∴抛物线的焦点为，∴，抛物线的标准方程为.（Ⅱ）①当动弦所在直线的斜率不存在时，易得：，，.②当动弦所在的直线斜率存在时，易知，的斜率不为0.设所在直线方程为，且，.联立方程组：，得；，，，所在的直线方程为，联立方程组：，得点，∴∴，综上所述：的最小值为2.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．20.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率. （ⅰ）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ⅱ）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.参考数据：参考公式：，其中【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.【分析】（Ⅰ）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（Ⅱ）（ⅰ）分成四类情况，利用互斥概率加法公式计算即可；（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为，则，从而得到的分布列及今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.【详解】（Ⅰ）列联表如下：由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.（Ⅱ）（ⅰ）由题意得所求概率为.（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为，则，，，∴的分布列为估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为.【点睛】独立性检验的一般步骤：（I）根据样本数据制成列联表；（II）根据公式计算的值；（III）查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误．）21.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若，且方程在区间内有解，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ) 极小值为，极大值为. (Ⅱ)【分析】（Ⅰ）将a＝b＝1代入函数f（x）的解析式，求函数f（x）的导数f′（x），求出极值点，并分析函数f（x）的单调性，即可确定函数的极大值和极小值；（Ⅱ）由f（1）＝1，得b＝e﹣1﹣a，再由f（x）＝1，得e x＝ax2+bx+1，构造函数g（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，分析函数g（x）在区间（0，1）上的单调性，结合函数g（x）的极值正负确定方程f（x）＝1在区间（0，1）内有解的等价条件，从而构造不等式求出实数a的取值范围．【详解】（Ⅰ），当时，，，得，∴在上单调递增；，得或，∴在和上单调递减.∴的极小值为，极大值为.（Ⅱ）由得，由得，设，则在内有零点，设为在内的一个零点，由知在和不单调.设，则在和上均存在零点，即在上至少有两个零点.，，当时，，在上递增，不可能有两个及以上零点，当时，，在上递减，不可能有两个及以上零点，当时，令得，∴在上递减，在上递增，在上存在最小值，若有两个零点，则有，，，，，设，，则，令，得，当时，，递增；当时，，递减.∴，∴恒成立.由，，得.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了分类讨论的思想，属于难题. 求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线（其中）与曲线交于，两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长.【答案】(Ⅰ)，(Ⅱ)，.【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变变换和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】（Ⅰ）直线的普通方程为，极坐标方程为，曲线的普通方程为，极坐标方程为.（Ⅱ）依题意，∵，∴，，，∴，，∴，.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．选修4-5：不等式选讲23.已知函数，.（Ⅰ）若的最小值为1，求实数的值；（Ⅱ）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.【答案】(1) 或4.(2) .试题分析：（1）第（1）问，直接利用绝对值不等式求函数的最小值从而得到a的值. (2)第（2）问，先求出不等式的解集，再比较它们的关系得到实数a的取值范围.试题解析：（1）当时，，因为的最小值为3，所以，解得或4.（2）当时，即，当时，，即，因为不等式的解集包含，所以且，即，故实数的取值范围是.第- 21 - 页共21 页。

河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试(理数)

河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|2,0}xA y y x ==>，2{|log (2)}B x y x ==-，则()R A B =ðA ．[0,1)B ．(1,2)C ．(1,2]D ．[2,)+∞ 2.已知复数z满足(1)1z i +=+，则复平面内与复数z 对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知函数44()sin cos f x x x =-，则下列说法正确的是A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的最大值为2C ．()f x 的图像关于y 轴对称D ．()f x 在区间[,]42ππ上单调递减 4.已知等比数列{}n a 中，有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，且77b a =，则13S =A ．26B ．52 C.78 D ．1045.已知直线m ，n 和平面α，n α⊂，则“m n ∥”是“m α∥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A ．16π- B ．164π- C.322π- D ．644π-7.已知函数123,2,()log (1),2,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩若()1f a ≥，则a 的取值范围是 A ．[1,2) B ．[1,)+∞ C.[2,)+∞ D ．(,2][1,)-∞-+∞8.若x ，y 满足约束条件22,2,20,x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2y x +的取值范围为A ．1[,1]2-B ．1(,][1,)2-∞-+∞ C. [0,1] D ．1[,1]29.已知数列{}n a 中，112a =，111n n a a +=-，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是A ．2012n ≤B ．2015n ≤ C.2017n ≤ D ．2018n ≤ 10.已知ABC ∆的内角3A π=，6AB =，4AC =，O 为ABC ∆所在平面上一点，且满足OA OB OC ==，设AO mAB nAC =+，则m n +的值为A ．1118 B ．1 C.718D ．2 11.已知P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，且在x 轴上方，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，12||12F F =，直线2PF的斜率为-12PF F ∆的面积为曲线的离心率为A ．3B ．2D12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是 A． B．C. D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.10(1)x -的展开式中，3x 的系数等于．14.已知向量(1,3)a =，(3,)b m =，且b 在a 方向上的投影为-3，则向量a 与b 的夹角为．15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2DF AF =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足12a =，3()n n S n m a =+，()m R ∈，且n n a b n =.若存在*n N ∈，使得2n n T T λ+≥成立，则实数λ的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.18. 如图所示，ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面BCE ，且1AE =.（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ABE ；（Ⅱ）线段AD 上是否存在一点F ，使二面角A BF E --请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由.19. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，抛物线C 的动弦AB 过点F ，过点F 且垂直于弦AB 的直线交抛物线的准线于点M .（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）求||||AB MF 的最小值.20. 大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率. （ⅰ）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ⅱ）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为X ，求X 的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++21. 已知函数21()xax bx f x e++=. （Ⅰ）当1a b ==时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若(1)1f =，且方程()1f x =在区间(0,1)内有解，求实数a 的取值范围.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是,1,x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程是22cos ,2sin ,x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线1:OP θα=（其中02πα<<）与曲线C 交于O ，P 两点，射线2:2OQ πθα=+与直线l 交于Q 点，若OPQ ∆的面积为1，求α的值和弦长||OP .23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-.（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[,1]2，求实数a 的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题1-5:CDCBD 6-10: ABACA 11、12：BB二、填空题13. -120 14.120︒ 15.413 16.13三、解答题17. 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sin cos sin sin sin A B B A C +=， ∵sin sin()C A B =+=sin cos cos sin A B A B +，∴sin sin cos sin B A A B =， ∵sin 0B ≠∴sin cos A A =，∵(0,)A π∈∴4A π=.（Ⅱ）ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==，由2a =及余弦定理得2242cos 4b c bc π=+-，又222b c bc +≥，故2(2bc ≤=，当且仅当b c =时，等号成立.∴ABC ∆1.18. 解：（Ⅰ）∵AE ⊥平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，∴AE BE ⊥，AE BC ⊥，又∵BC AB ⊥，∴AE AB A =，∴BC ⊥平面ABE ，又BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ABE . （Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系A xyz -，∵1AE =，2AB =，AE BE ⊥，∴BE =假设线段AD 上存在一点F 满足题意，1,0)2E ，(0,2,0)B ，(0,0,)F h ，(0)h >，易知：平面ABF 的一个法向量为(1,0,0)m =，∵33(,0)2BE =-，(0,2,)BF h =-， ∴设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，由00n BE n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得302220x y y hz -=⎪⎨⎪-+=⎩，取1y =，得2(3,1,)n h =，6cos ,4||||m n m n m n ⋅===⋅，∴1h =.点F 为线段AD 的中点时，二面角A BF E --19. 解：（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为(1,0)∴抛物线的焦点为(1,0)F ，∴2p =，抛物线的标准方程为24y x =. （Ⅱ）①当动弦AB 所在直线的斜率不存在时，易得：||24AB p ==，||2MF =，||2||AB MF =. ②当动弦AB 所在的直线斜率存在时，易知，AB 的斜率不为0. 设AB 所在直线方程为(1)y k x =-，且11(,)A x y ，22(,)B x y .联立方程组：24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得22222(2)0k x k x k -++=；21222(2)kx x k++=，121x x ⋅=，216(1)0k ∆=+>，12|||AB x x -=224(1)k k +=FM 所在的直线方程为1(1)y x k =--，联立方程组：1(1)1y x kx ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩，得点2(1,)M k -，∴||MF==∴224(1)||2||kABMF+==>，综上所述：||||ABMF的最小值为2.由列联表可得21250(50900200100)25010001501100k⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯18.939 6.635≈>，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.（Ⅱ）（ⅰ）由题意得所求概率为P=25501000.90.80.6250250250⨯+⨯+⨯502530.40.32502505+⨯+⨯=.（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为X，则3(4,)5X，4432()()()55k k kP X k C-==，0,1,2,3,4k=，估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为150905⨯=.21. 解：（Ⅰ）2'(2)1()xax a b x bf xe-+-+-=，当1a b==时，2'()xx xf xe-+=，'()0f x>，得01x<<，∴()f x在(0,1)上单调递增；'()0f x<，得0x<或1x>，∴()f x在(,0)-∞和(1,)+∞上单调递减.∴()f x 的极小值为(0)1f =，极大值为3(1)f e=. （Ⅱ）由(1)1f =得1b e a =--，由()1f x =得21xe ax bx =++，设2()1xg x e ax bx =---，则()g x 在(0,1)内有零点，设0x 为()g x 在(0,1)内的一个零点，由(0)(1)0g g ==知()g x 在0(0,)x 和0(,1)x 不单调.设'()()h x g x =，则()h x 在0(0,)x 和0(,1)x 上均存在零点，即()h x 在(0,1)上至少有两个零点.'g ()2x x e ax b =--，'()2x h x e a =-，当12a ≤时，'()0h x >，()h x 在(0,1)上递增，()h x 不可能有两个及以上零点，当2e a ≥时，'()0h x <，()h x 在(0,1)上递减，()h x 不可能有两个及以上零点，当122e a <<时，令'()0h x =得ln(2)(0,1)x a =∈， ∴()h x 在(0,ln(2))a 上递减，在(ln(2),1)a 上递增，()h x 在(0,1)上存在最小值(ln(2))h a ，若()h x 有两个零点，则有(ln(2))0h a <，(0)0h >，(1)0h >，(ln(2))h a =32ln(2)1a a a e -+-，1()22e a <<，设3()ln 12x x x x e ϕ=-+-，(1)x e <<，则'1()ln 2x x ϕ=-，令'()0x ϕ=，得x =当1x <<'()0x ϕ>，()x ϕx e <时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减.∴max ()10x e ϕϕ==-<，∴(ln(2))0h a <恒成立. 由(0)120h b a e =-=-+>，(1)20h e a b =-->，得21e a -<<.22. 解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为10x y -+=，极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=，曲线C 的普通方程为22(2)4x y -+=，极坐标方程为4cos ρθ=. （Ⅱ）依题意，∵(0,)2πα∈，∴||4cos OP α=，1|||sin()cos()|22OQ ππαα=+-+1sin cos αα=+，12cos ||||12cos sin OPQ S OP OQ ααα∆===+，∴tan 1α=，(0,)2πα∈，∴4πα=，||OP =23. 解：（Ⅰ）()2()f x g x +=|2|2|1|x a x ++-|2||22|x a x =++-|2|(22)||2|1x a x a ≥+--=+=∴1a =-或-3.（Ⅱ）当1[,1]2x ∈时，|2||1|1x a x ++-<，即|2|11x a x ++-<， ∴|2|x a x +<，3ax a -<<-， ()()1f x g x +<的解集包含1[,1]2，即132a -<且1a ->，∴312a -<<-.。

2019年开封市高考数学一模试卷及答案

【分析】
由以及绝对值的定义可得 ,再结合已知得 ,根据三角函数的符号法则可得.
【详解】
由，可知，结合，得，
所以角是第四象限角，
故选:D
【点睛】
本题考查了三角函数的符号法则,属于基础题.
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
先求并集，得到，再由补集的概念，即可求出结果.
【详解】
因为，，所以，
本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析的核心素养.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.
【详解】
∵函数，
∴ =2+9=11．
故选B．
【点睛】
本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．
4．D
解析：D
【解析】
对于③，为定值，到距离为定值，所以三角形的面积是定值，又因为点到面距离是定值，故可得三棱锥的体积为定值，此命题正确；
对于④，由图知，当与重合时，此时与上底面中心为重合，则两异面直线所成的角是，当与重合时，此时点与重合，则两异面直线所成的角是，此二角不相等，故异面直线所成的角不为定值，此命题错误．
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：A项中两直线还可能相交或异面,错误；
B项中两直线还可能相交或异面,错误；
C项两平面还可能是相交平面，错误；
故选D.
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
在三角形中，利用正弦定理可得结果.
【详解】

2019年河南省开封市高三第一次模拟考试(数学理)试卷(含答案)

高考数学精品复习资料2019.5高三数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第(22)-(24)题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}{}1|lg(2),|2,x A x R y x B y R y x A -=∈=-=∈=∈，则A .R B.(][),02,-∞+∞ C.[)2,+∞ D.(],0-∞ 2．复数5(3)z i i i =-+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为A ．2- i B.2+i C.4- iD.4+i3．直线224x my m +=-与直线22mx y m +=-垂直的充要条件是A.m=2B.m=-2 C ．m=0D.m ∈R4．一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(0，0，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，(0，2，0)则第五个顶点的坐标可能为A.(1，1，1)B.(1，1，2) C ．(1，1，3)D.(2，2，3)5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=A ．12-B ．12C ．-1D ．1 6．阅读如下程序框图，如果输出i =4，那么空白的判断框中应填人的条件是A. S<10?B. S<12?C. S<14?D. S<16?7．把长为1的铁丝截成三段，则这三段恰好能围成三角形的概率是A ．12 B.1 C ．14 D ．188．半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四个点，且满足0,0AB AC AC AD ⋅=⋅=,0AD AB ⋅=,则ABC ACD ADB S S S ∆∆∆++的最大值为A. 64B. 32 C ．16 D ．89．已知函数()sin 2cos cos2sin ,()f x x x x R ϕϕ=+∈，(z ∈R)其中ϕ为实数，且2()()9f x f π≤对任意实数R 恒成立，记257(),(),()366p f q f r f πππ===，则p 、q 、.r 的大小关系是A .r<p<q B. q<r<p C. p<q<r D. q<p<r10．从双曲线22221(0,0)x y a b a b+=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -与b-a 的关系为A.MO MT b a ->-B.MO MT b a -<-C ．MO MT b a -=- D.MO MT -与b-a 无关11．等比数列{}n a 中，182,4a a ==，函数128()()()()f x x x a x a x a =--⋅⋅⋅-则'(0)f =A. 122B.92 C ．82 D ．6212.已知函数()f x 定义在R 上，对任意实数x 有(4)()f x f x +=-+(1)y f x =-的图像关于直线x=1对称，(1)2f -=,则(2013)f =A. 2-+B.2+ C ．2- D ．2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答，第(22)题～第(2/1)题为选考题，考生根据要求做答。

2019年河南省六市高考数学一模试卷(理科)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ＝{x |y ＝ln （2﹣x ）}，则A ∩B ＝（） A ．[﹣3，2）B ．（2，3]C ．[﹣1，2）D ．（﹣1，2）【解答】解：∵集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}＝{x |﹣1≤x ≤3}＝[﹣1，3]， B ＝{x |y ＝ln （2﹣x ）}＝{x |2﹣x ＞0}＝{x |x ＜2}＝（﹣∞，2）； ∴A ∩B ＝[﹣1，2）．故选：C ．2．（5分）设复数z ＝1+i ，则5z +z 2＝（）A ．−52+i2B ．−52−i2C ．52+i2D ．52−i2【解答】解：∵z ＝1+i ，∴5z +z 2=51+i +(1+i)2=5(1−i)(1+i)(1−i)+2i=52−52i +2i =52−12i ．故选：D ．3．（5分）cos70°sin50°﹣cos200°sin40°的值为（） A ．−√32B ．−12C ．12D ．√32【解答】解：cos70°sin50°﹣cos200°sin40° ＝cos70°sin50°+cos20°sin40° ＝cos70°sin50°+sin70°cos50° ＝sin （50°+70°）＝sin120° =√32．故选：D ．4．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（）A ．1415B ．1315C ．29D ．79【解答】解：从10部名著中选择2部名著的方法数为C 102＝45（种）， 2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为C 32＝3（种），由对立事件的概率计算公式得P ＝1−345=1415．故选：A ．5．（5分）已知函数f （x ）＝3ln （x +√x 2+1）+a （7x +7﹣x ），x ∈R ，则“a ＝0”是“函数f（x ）为奇函数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：若a ＝0，则f （x ）＝3ln （x +√x 2+1），则f （﹣x ）+f （x ）＝3ln （﹣x +√x 2+1）+3ln （x +√x 2+1）＝3（ln （﹣x +√x 2+1）（x +√x 2+1）＝3ln （x 2+1﹣x 2）＝3ln 1＝0，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），即f （x ）是奇函数，即充分性成立，若函数f （x ）是奇函数，则满足f （0）＝0，即f （0）＝0，即f （0）＝3ln 1+a （1+1）＝2a ＝0，则a ＝0，即必要性成立，则“a ＝0”是“函数f （x ）为奇函数”的充要条件，故选：C ．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的表面积为（）A ．64﹣2πB ．64+2πC ．80﹣2πD ．80+2π【解答】解：根据三视图知，该几何体是棱长为4的正方体，截去一个14圆柱体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的表面积为S ＝2×42+2×4×2+（2×42−12π×22）+14×2π×2×4＝80+2π．故选：D ．7．（5分）若x ∈（e ﹣1，1），a ＝lnx ，b =(12)lnx ，c ＝e lnx ，则（）A ．b ＞c ＞aB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c【解答】解：∵x ∈（e ﹣1，1） ∴a ＝lnx ＜ln 1＝0 即a ＜0考察幂函数f （t ）＝t lnx ∵lnx ＜0∴当t ＞0时，f （t ）是减函数 ∵12＜e∴b =(12)lnx ＞c =e lnx ＞0 所以有b ＞c ＞a 故选：A ．8．（5分）若将函数f （x ）＝sin （2x +φ）+√3cos （2x +φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点（π2，0）对称，则函数g （x ）＝cos （x +φ）在[−π2，π6]上的最小值是（） A ．−12B ．−√32C ．√22D ．12【解答】解：∵f （x ）＝sin （2x +φ）+√3cos （2x +φ）＝2sin （2x +φ+π3），∴将函数f （x ）图象向左平移π4个单位后，得到函数解析式为：y ＝2sin[2（x +π4）+φ+π3]＝2cos （2x +φ+π3），∵函数的图象关于点（π2，0）对称，∴对称中心在函数图象上，可得：2cos （2×π2+φ+π3）＝2cos （π+φ+π3）＝0，解得：π+φ+π3=k π+π2，k ∈Z ，解得：φ＝k π−5π6，k ∈Z ， ∵0＜φ＜π， ∴解得：φ=π6， ∴g （x ）＝cos （x +π6）， ∵x ∈[−π2，π6]，x +π6∈[−π3，π3]，∴cos （x +π6）∈[12，1]，则函数g （x ）＝cos （x +φ）在[−π2，π6]上的最小值是12．故选：D ．9．（5分）已知变量x 、t 满足约束条件{x +2y ≥22x +y ≤44x −y ≥−1，则目标函数z ＝3x ﹣y 的最大值是（）A ．﹣4B ．−32C ．﹣1D ．6【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z ＝3x ﹣y 得y ＝3x ﹣z ，显然直线过（2，0）时z 最大， z 的最大值是6，故选：D ．10．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a−c b=cosC cosB，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为（） A ．4√3B ．2√3C ．2D ．√3【解答】解：∵在△ABC 中2a−c b=cosC cosB，∴（2a ﹣c ）cos B ＝b cos C ，∴（2sin A ﹣sin C ）cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin C cos B +sin B cos C ＝sin （B +C ）＝sin A ，约掉sin A 可得cos B =12，即B =π3，由余弦定理可得16＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝a 2+c 2﹣ac ≥2ac ﹣ac ， ∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时取等号， ∴△ABC 的面积S =12ac sin B =√34ac ≤4√3 故选：A ．11．（5分）抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线上的两个动点，若x 1+x 2+4=2√33|AB |，则∠AFB 的最大值为（） A ．π3B ．3π4C ．5π6D ．2π3【解答】解：因为x 1+x 2+4=2√33|AB|，|AF |+|BF |＝x 1+x 2+4，所以|AF|+|BF|=2√33|AB|．在△AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB =|AF|2+|BF|2−|AB|22|AF|⋅|BF|=(|AF|+|BF|)2−2|AF|⋅|BF|−|AB|22|AF|⋅|BF|=43|AB|2−|AB|22|AF|⋅|BF|−1=13|AB|22|AF|⋅|BF|−1．又|AF|+|BF|=2√33|AB|≥2√|AF|⋅|BF|⇒|AF|⋅|BF|≤13|AB|2．所以cos∠AFB ≥13|AB|22×13|AB|2−1=−12，∴∠AFB 的最大值为2π3，故选：D ．12．（5分）函数f （x ）是定义在（1，+∞）上的可导函数，f ′（x ）为其导函数，若f （x ）+（x ﹣1）f ′（x ）＝x 2（x ﹣2），且f （e 2）＝0，则不等式f （e x ）＜0的解集为（） A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，2）D ．（2，+∞）【解答】解：函数f （x ）是定义在（1，+∞）上的可导函数，f '（x ）为其导函数，令φ（x ）＝（x ﹣1）f （x ），则φ′（x ）＝（x ﹣1）•f '（x ）+f （x ）＝x 2（x ﹣2）， ∴当x ∈（1，2）时，φ（x ）是单调减函数，x ∈（2，+∞）时，函数是单调增函数， ∵f （e 2）＝0，∴φ（e 2）＝（e 2﹣1）f （e 2）＝0，又φ（1）＝φ（e 0）＝0， ∴不等式f （e x ）＜0的解集就是（e x ﹣1）f （e x ）＜0的解集，即φ（e x ）＜0，∴e 0＜e x ＜e 2，∴0＜x ＜2，故不等式的解集为{x |0＜x ＜2}．故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量a →=（1，0），|b →|＝2，a →与b →的夹角为60°，若c →=a →+b ，d →=a →−b →，则c →在d →方向上的投影为 −√3 ．【解答】解：|a →|=1，|b →|=2，a →，b →的夹角为60°； ∴a →⋅b →=1；∴d →2=(a →−b →)2=a →2−2a →⋅b →+b →2=1−2+4=3； ∴|d →|=√3，且c →⋅d →=a →2−b →2=1−4=−3； ∴c →在d →方向上的投影为：|c →|cos ＜c →，d →＞=|c →|⋅c →⋅d→|c →||d →|=−3√3=−√3．故答案为：−√3．14．（5分）在(x −1x −1)4的展开式中，常数项为 ﹣5 ．【解答】解：(x −1x −1)4的展开式中的通项公式：T r +1=∁4r （﹣1）4﹣r (x −1x)r （r ＝0，1，2，3，4）．∵(x −1x )r 的通项公式：T k +1=∁r k x r−k (−1x )k =（﹣1）k ∁r k xr ﹣2k，令r ﹣2k ＝0，即r ＝2k ．r ＝0，k ＝0；r ＝2，k ＝1；r ＝4，k ＝2．∴常数项＝1−∁21×∁42+∁42×1＝﹣5．故答案为：﹣5．15．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（b ＞a ＞0），焦距为2c ，直线l 经过点（a ，0）和（0，b ），若（﹣a ，0）到直线l 的距离为2√23c ，则离心率为 √3 ．【解答】解：直线l 的方程为xa +y b=1，即为bx +ay ﹣ab ＝0，c 2＝a 2+b 2，（﹣a ，0）到直线l 的距离为2√23c ，可得：√a 2+b 2=2√23c ，即有3ab =√2c 2，即9a 2b 2＝2c 4，即9a 2（c 2﹣a 2）＝2c 4， 9a 2c 2﹣9a 4﹣2c 4＝0，由于e =ca ，则2e 4﹣9e 2+9＝0，解得，e 2＝3或e 2=32．由于0＜a ＜b ，即a 2＜b 2，即有c 2＞2a 2，即有e 2＞2，则e =√3或e =√62舍去．故答案为：√3．16．（5分）如图，△ABC 是等腰直角三角形，斜边AB ＝2，D 为直角边BC 上一点（不含端点），将△ACD 沿直线AD 折叠至△AC 1D 的位置，使得C 1在平面ABD 外，若C 1在平面ABD 上的射影H 恰好在线段AB 上，则AH 的取值范围是（1，√2）．【解答】解：∵在等腰Rt △ABC 中，斜边AB ＝2，D 为直角边BC 上的一点， ∴AC ＝BC =√2，∠ACB ＝90°，将△ACD 沿直AD 折叠至△AC 1D 的位置，使得点C 1在平面ABD 外，且点C 1在平面ABD 上的射影H 在线段AB 上，设AH ＝x ， ∴AC 1＝AC =√2，CD ＝C 1D ∈（0，√2），∠AC 1D ＝90°， C 1H ⊥平面ABC ，∴AH ＜AC 1=√2，当CD =√2时，B 与D 重合，AH ＝1，当CD ＜√2时，AH ＞12AB ＝1， ∵D 为直角边BC 上的一点， ∴CD ∈（0，√2），∴AH 的取值范围是（1，√2）．故答案为：（1，√2）．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）设数列{a n }前n 项和为S n ，且满足a 1＝r ，S n ＝a n +1−132(n ∈N ∗)．（Ⅰ）试确定r 的值，使{a n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设b n ＝log 2a n ，求数列{|b n |}的前n 项和T n ．【解答】解：（Ⅰ）当n ＝1时，S 1=a 2−132，a 2=a 1+132，当n ≥2时，S n−1=a n −132，与已知式作差得a n ＝a n +1﹣a n ，即a n +1＝2a n （n ≥2），欲使{a n }为等比数列，则a 2＝2a 1＝2r ，又a 2=a 1+132，∴r =132，故数列{a n }是以132为首项，2为公比的等比数列，所以a n =2n−6；（Ⅱ）由（I ）知b n ＝n ﹣6，∴|b n |={6−n ，n ＜6n −6，n ≥6，若n ＜6，T n =−b 1−⋯−b n =11n−n 22，若n ≥6，T n =−b 1−⋯−b 5+b 6+⋯+b n =n 2−11n2+30，∴T n ={11n−n 22，n ＜6n 2−11n2+30，n ≥6． 18．（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32，48，32．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的数学期望和方差；（i）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32，48，32．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．应从甲部门的员工中抽取：7×3232+48+32=2人，乙部门的员工中抽取：7×4832+48+32=3人，丙部门的员工中抽取：7×3232+48+32=2人．（Ⅱ）（i）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）=C43C73=435，P（X＝1）=C31C42C73=1835，P（X＝2）=C32C41C73=1235，P（X＝3）=C33C73=135，∴随机变量X的分布列为：X0123P43518351235135E（X）=0×435+1×1835+2×1235+3×135=97，D（X）＝（0−97）2×435+（1−97）2×1835+（2−97）2×1235+（3−97）2×135=198343．（ii）抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．基本事件总数n=C73=35，A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，则事件A包含的基本事件个数m=C73−C33−C43=30，∴事件A 发生的概率P （A ）=m n =3035=67． 19．（12分）已知五边形ABECD 有一个直角梯形ABCD 与一个等边三角形BCE 构成，如图1所示，AB ⊥BC ，且AB ＝BC ＝2CD ，将梯形ABCD 沿着BC 折起，形成如图2所示的几何体，且AB ⊥平面BEC ．（1）求证：平面ABE ⊥平面ADE ；（2）求二面角A ﹣DE ﹣B 的平面角的余弦值．【解答】证明：（1）：取BE 的中点F ，AE 的中点G ，连接FG 、GD 、CF ，则GF ∥=12AB ．∵DC =∥12AB ，：．CD ∥GF 且CD ＝GF ，：．四边形CFGD 为平行四边形，：．CF ∥DG ．∵AB ⊥平面BEC ，∴AB ⊥CF ． ∵CF ⊥BE ，AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面ABE ， ∵CF ∥DG ， ∴DG ⊥平面ABE ，∵DG ⊂平面ADE ，∴平面ABE ⊥平面ADE ．以O 为坐标原点，OE 、BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，过O 且平行于AB 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝4，则A （0，﹣2.4），B （0，﹣2，0），D （0，2，2），E （2√3，0，0）， ∴ED →=（﹣2√3，2，2），EA →=（﹣2√3，﹣2，4），EB →=（﹣2√3，﹣2，0），设平面EAD 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则有{n →⋅ED →=0n →⋅EA →=0，即{−√3x +y +z =0−√3x −y +2z =0．取z ＝2，得x =√3，y ＝1，则n →=（√3，1，2），设平面BDE 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅ED →=0m →⋅EB →=0，即{−√3x +y +z =0√3x +y =0，取x ＝1，得y =−√3，z ＝2√3，则m →=（1，−√3，2√3）．cos ＜m →，n →＞=m →⋅n→|m →||n →|=√64，又由图可知，二面角A ﹣DE ﹣B 的平面角为锐角，即二面角A ﹣DE ﹣B 的平面角的余弦值是√64．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上的任意一点，且|PF 1|•|PF 2|的最大值为4，椭圆C 的离心率与双曲线x 24−y 212=1的离心率互为倒数．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P （﹣1，32），过点P 作两条直线l 1，l 2与圆（x +1）2+y 2＝r 2（0＜r ＜32）相切且分别交椭圆于M ，N ，求证：直线MN 的斜率为定值．【解答】解：（Ⅰ）双曲线x 24−y 212=1的离心率为42=2，可得椭圆C 的离心率为12，设椭圆的半焦距为c ，∴a ＝2c ， ∵|PF 1|•|PF 2|≤（|PF 1|+|PF 2|2）2＝a 2，∴a 2＝4， ∴c ＝1，又b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣1＝3 ∴椭圆方程为x 24+y 23=1；（Ⅱ）证明：显然两直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由于直线l 1，l 2与圆（x +1）2+y 2＝r 2（0＜r ＜32）相切，则有k 1＝﹣k 2，直线l 1的方程为y −32=k 1（x +1），联立椭圆方程3x 2+4y 2＝12，消去y ，得x 2（3+4k 12）+k 1（12+8k 1）x +（3+2k 1）2﹣12＝0， ∵P ，M 为直线与椭圆的交点，所以x 1﹣1=−k 1(12+8k 1)3+4k 12，同理，当l 2与椭圆相交时，x 2﹣1=k 1(12−8k 1)3+4k 12，∴x 1﹣x 2=−k 1(12+8k 1)3+4k 12−k 1(12−8k 1)3+4k 12=−24k 13+4k 12，而y 1﹣y 2＝k 1（x 1+x 2）+2k 1=12k 13+4k 12， ∴直线MN 的斜率k =y 1−y2x 1−x 2=−12．21．（12分）已知函数f （x ）＝x 3﹣x −√x ．（Ⅰ）判断f(x)x的单调性；（Ⅱ）求函数y ＝f （x ）的零点的个数；（Ⅲ）令g （x ）=2f(x)+√x +lnx ，若函数y ＝g （x ）在（0，1e）内有极值，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设φ（x ）=f(x)x =x 2﹣1x（x ＞0），则φ'（x ）＝2x 12√x 0，∴φ（x ）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）∵φ（1）＝﹣1＜0，φ（2）＝320，且φ（x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴φ（x ）在（1，2）内有零点，又f （x ）＝x 3﹣x −√x =x •φ（x ），显然x ＝0为f （x ）的一个零点， ∴f （x ）在（0，+∞）上有且只有两个零点；（Ⅲ）g （x ）=ax 2+ax x 3−x +lnx ＝lnx +ax−1，则g '（x ）=1x −a (x−1)2=x 2−(2+a)x+1x(x−1)2，设h （x ）＝x 2﹣（2+a ）x +1，则h （x ）＝0有两个不同的根x 1，x 2，且有一根在（0，1e）内，不妨设0＜x 1＜1e，由于x 1x 2＝1，即x 2＞e ，由于h （0）＝1，故只需h （1e ）＜0即可，即1e 2−（2+a ）⋅1e +1＜0，解得a ＞e +1e−2，∴实数a 的取值范围是（e +1e−2，+∞）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C 1：x 2﹣y 2＝2，曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，射线θ=π6与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点（异于极点O ），定点M （3，0），求△MAB 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C 1：x 2﹣y 2＝2，∴曲线C 1的极坐标方程为：ρ2cos 2θ﹣ρ2sin 2θ＝2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分） ∵曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ（θ为参数）．∴曲线C 2的普通方程为：（x ﹣2）2+y 2＝4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分） ∴x 2+y 2﹣4x ＝0，∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：点A 的极坐标为（2，π6），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）点B 的极坐标为（2√3，π6），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴|AB |＝|2﹣2√3|＝2√3−2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分） M （3，0）点到射线θ=π6（ρ≥0）的距离为d ＝3sin π6=32，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） ∴△MAB 的面积为：S △MAB =12|AB |d =12×(2√3−2)×32=3√3−32．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x +2|﹣5．（Ⅰ）解不等式：f （x ）≥|x ﹣1|；（Ⅱ）当时x ≥﹣1时，函数g （x ）＝f （x ）+|x ﹣m |恒为正值，求实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）|2x +2|﹣5≥|x ﹣1|等价于{x ≤−1−2x −2−5≥1−x 或{−1＜x ≤12x +2−5≥1−x 或{x ＞12x +2−5≥x −1，解得x ≤﹣8或x ∈∅或x ≥2，综上所述，不等式f （x ）≥|x ﹣1|的解集为（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞）；（Ⅱ）当m ＝﹣1时，则g （x ）＝|2x +2|﹣5+|x ＝1|＝3|x +1|﹣5＝3x ﹣2＞0，只需g （﹣1）＝﹣3﹣2＞0，不可能！当m ＞﹣1时，g （x ）＝|2x +2|+|x ﹣m |﹣5＝|x ﹣m |+2x ﹣3={3x −m −3，x ≥m x +m −3，x ＜m ，要使函数g （x ）＝f （x ）+|x ﹣m |恒为正值，则g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣1+m ﹣3＞0，可得m ＞4，当m ＜﹣1时，g （x ）＝|2x +2|+|x ﹣m |﹣5＝3x ﹣m ﹣3＞0恒成立，只需要g （x ）min ＝﹣3﹣m ﹣3＞0，可得m ＜﹣6，综上所述，实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（4，+∞）．。

河南省开封市高考数学一模试卷(理科)

河南省开封市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019高一上·兴庆期中) 已知，则集合的元素个数是（）A . 8B . 7C . 6D . 52. （2分）若命题，则是（）A .B . 或C .D . 且3. （2分） (2018高二下·西宁期末) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为（）．A .B .C .D .4. （2分） (2018高二下·辽宁期中) 已知都是实数，“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）(2017·湖北模拟) 如图所示，单位位圆上的两个向量相互垂直，若向量满足（）•（）=0，则| |的取值范围是（）A . [0，1]B . [0， ]C . [1， ]D . [1，2]6. （2分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A . 180B . 200C . 220D . 2407. （2分）已知函数y=sin2x的图象为C，为了得到函数y=sin(2x+)的图象，只要把C上所有的点（）A . 向左平行移动个单位长度B . 向右平行移动个单位长度C . 向左平行移动个单位长度D . 向右平行移动个单位长度8. （2分） (2018高三上·大连期末) 给出以下命题：⑴“ ”是“曲线表示椭圆”的充要条件⑵命题“若，则”的否命题为：“若，则”⑶ 中， . 是斜边上的点， .以为起点任作一条射线交于点，则点落在线段上的概率是⑷设随机变量服从正态分布，若，则则正确命题有（）个A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分）(2017·长沙模拟) 若复数为纯虚数，且（为虚数单位），则 ________.10. （1分）(2017·石嘴山模拟) 已知（2x2+x﹣y）n的展开式中各项系数的和为32，则展开式中x5y2的系数为________．（用数字作答）11. （1分）(2013·上海理) （2013•上海）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn=________．12. （1分）已知等比数列{an}的首项a1=2013，公比q=﹣，数列{an}前n项的积记为Tn ，则使得Tn 取得最大值时n的值为________．13. （1分） (2016高二上·绍兴期中) 设双曲线x2﹣ =1的左、右焦点分别为F1、F2 ，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是________14. （1分） (2017高一上·无锡期末) 已知f（x）= 是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共50分)15. （10分） (2018高二下·磁县期末) 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，．（1）求c的值；（2）求的面积．16. （10分） (2018高二下·四川期中) 近年来空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关，在市第一人民医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到了如表的列联表：患心肺疾病不患心肺疾病合计男5女10合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为 .参考格式：，其中 .下面的临界值仅供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由.17. （5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的AA1=1，底面ABCD的周长为4．（1）当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B﹣A1C﹣D的值；（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．18. （10分） (2017高二下·陕西期末) 已知函数 f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x．（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．19. （10分）(2018·大新模拟) 已知椭圆的离心率为，是椭圆上的两个不同点.（1）若，且点所在直线方程为，求的值；（2）若直线的斜率之积为，线段上有一点满足，连接并廷长交椭圆于点，求的值.20. （5分）(2017·丰台模拟) 对于∀n∈N* ，若数列{xn}满足xn+1﹣xn＞1，则称这个数列为“K数列”．（Ⅰ）已知数列：1，m+1，m2是“K数列”，求实数m的取值范围；（Ⅱ）是否存在首项为﹣1的等差数列{an}为“K数列”，且其前n项和Sn满足？若存在，求出{an}的通项公式；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列{an}是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列{bn}是否为“K数列”，并说明理由．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共50分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、。

2019年河南省开封市高考数学一模试卷(理科)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A ＝{y |y ＝2x ，x ＞0}，B ＝{x |y ＝log 2（x ﹣2）}，则A ∩（∁R B ）＝（） A ．[0，1）B ．（1，2）C ．（1，2]D ．[2，+∞）【解答】解：集合A ＝（y |y ＝2x ，x ＞0}＝{y |y ＞1}＝（1，+∞）， B ＝{x |y ＝log 2（x ﹣2）}＝{x |x ﹣2＞0}＝{x |x ＞2}，则∁R B ＝{x |x ≤2}＝（﹣∞，2]， ∴A ∩（∁R B ）＝（﹣∞，2]．故选：C ．2．（5分）已知复数z 满足（1+√3i ）z ＝1+i ，则复平面内与复数z 对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由（1+√3i ）z ＝1+i ，得z =1+3i =√3i)(1+3i)(1−3i)=1+√34+1−√34i ， ∴复平面内与复数z 对应的点的坐标为（1+√34，1−√34），在第四象限角．故选：D ．3．（5分）已知函数f （x ）＝sin 4x ﹣cos 4x ，则下列说法正确的是（） A ．f （x ）的最小正周期为2πB ．f （x ）的最大值为2C ．f （x ）的图象关于y 轴对称D ．f （x ）在区间[π4，π2]上单调递减【解答】解：∵f （x ）＝sin 4x ﹣cos 4x ＝sin 2x ﹣cos 2x ＝﹣cos2x ， ∴函数的最小正周期T ＝π，∵f （﹣x ）＝﹣cos （﹣2x ）＝﹣cos2x ＝f （x ）， ∴f （x ）为偶函数，其图象关于y 轴对称，∵f （x ）＝cos2x 在[π4，π2]上单调递减，故f （x ）＝﹣cos2x 在[π4，π2]上单调递增．故选：C ．4．（5分）已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且b 7＝a 7，则S 13＝（） A ．26B ．52C ．78D ．104【解答】解：等比数列{a n}中，a3a11＝4a7，可得a72＝4a7，解得a7＝4，数列{b n}是等差数列中b7＝a7＝4，则S13=12×13（b1+b13）＝13b7＝13×4＝52．故选：B．5．（5分）已知直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”与“m∥α”相互推不出．∴“m∥n”是“m∥α”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为（）A．16﹣πB．16﹣4πC．32﹣2πD．64﹣4π【解答】解：根据几何体的三视图：得到：该几何体是由一个长为2，宽为4高为2的长方体，挖去一个半径为1，高为4的14圆柱构成，故：V＝2⋅2⋅4−14⋅π⋅12⋅4，＝16﹣π．故选：A．7．（5分）已知函数f （x ）={e x−1，x ＜2log 3(x 2−1)，x ≥2，若f （a ）≥1，则a 的取值范围是（）A ．[1，2）B ．[1，+∞）C ．[2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）【解答】解：函数f （x ）={e x−1，x ＜2log 3(x 2−1)，x ≥2，若f （a ）≥1，可得：{a ＜2e a−1≥1或{a ≥2log 3(a 2−1)≥1，解：{a ＜2e a−1≥1，可得：1≤a ＜2；{a ≥2log 3(a 2−1)≥1解得a ≥2．综上a ≥1．故选：B ．8．（5分）若x ，y 满足约束条件{2x +y ≥2y −x ≤2x −2≤0，则yx+2的取值范围为（）A ．[−12，1] B ．[﹣∞，−12]∪[1，+∞） C ．[0，1]D ．[12，1]【解答】解：作出x ，y 满足约束条件{2x +y ≥2y −x ≤2x −2≤0的可行域如图：△ABC ，y x+2表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，联方程组{x =22x +y =2可解得B （2，﹣2），同理可得A （2，4），当直线经过点B 时，M 取最小值：−22+2=−12，当直线经过点A 时，M 取最大值42+2=1．则yx+2的取值范围：[−12，1]．故选：A ．9．（5分）已知数列{a n}中，a1=12，a n+1＝1−1a n，利用如图程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（）A．n≤2012B．n≤2015C．n≤2017D．n≤2018【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A=12，n＝1；第1次循环，A＝1﹣2＝﹣1，n＝1+1＝2；第2次循环，A＝1+1＝2，n＝2+1＝3；第3次循环，A＝1−12=12，n＝3+1＝4；…所以，程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A ＝2时，n 能被3整除，此时不满足循环条件．分析选项中的条件，满足题意的C ．故选：C ．10．（5分）已知△ABC 的内角A =π3，AB ＝6，AC ＝4，O 为△ABC 所在平面上一点，且满足OA ＝OB ＝OC ，设AO →=m AB →+n AC →，则m +n 的值为（） A ．1118B ．1C ．718D ．2【解答】解：由OA ＝OB ＝OC ，得：点O 是△ABC 的外心，又外心是中垂线的交点，则有：{AO →⋅AB →=18AO →⋅AC →=8，即{(mAB →+nAC →)⋅AB →=18(mAB →+nAC →)⋅AC →=8，又AB ＝6，AC ＝4，AB →⋅AC →=12，所以{6m +2n =33m +4n =2，解得：{m =49n =16，即m +n =49+16=1118，故选：A ．11．（5分）已知P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，|F 1F 2|＝12，直线PF 2的斜率为﹣4√3，△PF 1F 2的面积为24√3，则双曲线的离心率为（） A ．3B ．2C ．√3D ．√2【解答】解：P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，|F 1F 2|＝12，c ＝6，△PF 1F 2的面积为24√3，可得P 的纵坐标y 为：12×12×y =24√3，y ＝4√3．直线PF 2的斜率为﹣4√3，所以P 的横坐标x 满足：y x−6=−4√3，解得x ＝5，则P （5，4√3），|PF 1|=√(5+6)2+(4√3−0)2=13，|PF 2|=√(5−6)2+(4√3−0)2=7，所以2a ＝13﹣7，a ＝3，所以双曲线的离心率为：e =ca=2．故选：B ．12．（5分）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是（） A ．（0，8√327] B ．（0，16√327] C ．（0，√33] D ．（0，2√33]【解答】解：如图，AB ＝CD ＝a ，AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2．过A 作AE ⊥CD 于E ，连结BE ，则AE =√4−a24=BE ，又AB ＝a ，∴S △ABE =12a ⋅√4−a 24−a 24=12a √4−a 22， ∴V A−BCD=13×a ×12a ⋅√4−a 22=16√4a 4−a 62，令f(a)=4a 4−a 62，则f ′（a ）＝16a 3﹣3a 5＝0，解得当a 2=163时，（V A ﹣BCD ）max =16√327． ∴此三棱锥体积的取值范围是（0，16√327]．故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）（1﹣x ）10的展开式中，x 3的系数等于 ﹣120 ．【解答】解：（1﹣x ）10的展开式中，T r +1=∁10r（﹣x ）r ，令r ＝3，则T 4=−∁103x 3，则x 3的系数=−∁103=−120．故答案为：﹣120．14．（5分）已知向量a →=（1，√3），b →=（3，m ），则b →在a →方向上的投影为﹣3，则向量a →与b →的夹角为2π3．【解答】解：根据题意，设向量b →与a →夹角为θ，向量a →=（1，√3），b →=（3，m ），则|a →|＝2，a →•b →=3+√3m ，若b →在a →上的投影为﹣3，则有a →⋅b→|a →|=3+√3m 2=−3，解可得：m ＝﹣3√3，则b →=（3，﹣3√3），则|b →|＝6，则cos θ=a →⋅b→|a →||b →|=−62×6=−12，又由0≤θ≤π，则θ=2π3，故答案为：2π315．（5分）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF ＝2AF ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是413．【解答】解：由题意，设DF ＝2AF ＝2a ，且a ＞0，由∠DFE =π3，∴∠AFC ＝π−π3=2π3； ∴△DEF 的面积为S △DEF =12•2a •2a •sin π3=√3a 2，△AFC 的面积为S △AFC =12•a •3a •sin2π3=3√34a 2， ∴在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是 P =√3a23×3√34a 2+√3a2=413．故答案为：413．16．（5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ．满足a 1＝2，3S n ＝（n +m ）a n ，（m ∈R ），且a n b n ＝n ，若存在n ∈N *，使得λ+T n ≥T 2n 成立，则实数λ的最小值为13．【解答】解：∵3S n ＝（n +m ）a n ， ∴3S 1＝3a 1＝（1+m ）a 1，解得m ＝2， ∴3S n ＝（n +2）a n ，①，当n ≥2时，3S n ﹣1＝（n +1）a n ﹣1，②，由①﹣②可得3a n ＝（n +2）a n ﹣（n +1）a n ﹣1，即（n ﹣1）a n ＝（n +1）a n ﹣1， ∴a n a n−1=n+1n−1， ∴a 2a 1=31，a 3a 2=42，a 4a 3=53，…，a n−1a n−2=nn−2，a n a n−1=n+1n−1，累乘可得a n ＝n （n +1），经检验a 1＝2符合题意， ∴a n ＝n （n +1），n ∈N *， ∵a n b n ＝n ，∴b n =1n+1，令B n ＝T 2n ﹣T n =1n+2+1n+3+⋯+12n+1，则B n +1﹣B n =12n+3+12n+2−1n+2=3n+4(2n+2)(2n+3)(n+2)＞0， ∴数列{B n }为递增数列， ∴B n ≥B 1=13，∵存在n ∈N *，使得λ+T n ≥T 2n 成立， ∴λ≥B 1=13，故实数λ的最小值为13，故答案为：13．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝a cos B +b sin A ．（Ⅰ）求A（Ⅱ）若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin C ＝sin A cos B +sin B sin A ① 又A +B +C ＝π，故有sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ② 由 ①②得sin A ＝cos A 即tan A ＝1，又A ∈(0，π)∴A =π4；（Ⅱ）△ABC 的面积为S =12bcsinA =√24bc ，又已知及余弦定理可得4=b 2+c 2−2bccosA ≥2bc −2bccosA =(2−√2)bc ， ∴bc ≤42−√2，当且仅当b ＝c 时，等号成立， ∴面积S =12⋅bcsinA ≤√2+1，即面积最大值为√2+1．18．（12分）如图所示，ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面BCE ，且AE ＝1．（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ABE ；（Ⅱ）线段AD 上是否存在一点F ，使三棱锥A ﹣BF ﹣E 所成角的余弦值为√64？若存在，请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AE ⊥平面BCE ， ∴AE ⊥BE ，AE ⊥BC ，又BC ⊥AB ， ∴BC ⊥平面ABE ， ∴平面ABCD ⊥平面ABE ；（Ⅱ）以A 为原点建立空间坐标系如图， ∵AE ＝1，AB ＝2，AE ⊥BE ， ∴BE =√3，设AF ＝h ，则F （0，0，h ），E （√32，12，0），B （0，2，0）， ∴BE →=(√32，−32，0)，BF →=(0，−2，ℎ)，设平面BEF 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅BE →=0n →⋅BF →=0⇒{x −√3y =02y −ℎz =0，取y ＝1，得n →=(√3，1，2ℎ)，易知，m →=(1，0，0)为平面ABF 的一个法向量，由题意得：|cos ＜m →，n →|=|m →⋅n→|m →||n →||=√3√4+4ℎ2=√64，解得：h ＝1，故当F 为AD 中点时，满足题意．19．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 与椭圆x 24+y 23=1的右焦点重合，抛物线C 的动弦AB 过点F ，过点F 且垂直于弦AB 的直线交抛物线的准线于点M ．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）求|AB||MF|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆x 24+y 23=1知，其右焦点为（1，0），即抛物线的焦点为F （1，0）， ∴p2=1，解得p ＝2；∴抛物线C 的标准方程为y 2＝4x ；（Ⅱ）①当动弦AB 所在的直线斜率不存在时，易得|AB |＝2p ＝4，|AB||MF|=2；②当动弦AB 所在的直线斜率存在时，易知AB 的斜率不为0，设AB 所在直线方程为y ＝k （x ﹣1），且A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程组{y 2=4x y =k(x −1)，消去y 得k 2x 2﹣2（k 2+2）x +k 2＝0；∴x 1+x 2=2(k 2+2)k2，x 1•x 2＝1，且△＝16（k 2+1）＞0；∴|AB |=2|x 1﹣x 2|=2√(2k 2+4k 2)2−4=4(k 2+1)k2； FM 所在的直线方程为y =−1k （x ﹣1），联立方程组{y =−1k (x −1)x =−1，求得点M （﹣1，2k ），∴|MF |=√22+4k2=2√1+k2k2，∴|AB||MF|=4(k2+1)k22√1+k2k2=2√1+1k2＞2；综上所述，|AB||MF|的最小值为2．20．（12分）大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如表所示：分数a95≤a≤10085≤a＜9575≤a＜8560≤a＜75a＜60人数25501005025参加自主招生获得通过的概率0.90.80.60.40.3（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据如图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程250没有学习大学先修课程总计150（Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学先修课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ii）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为X，求X的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数．参考数据： P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.879参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d【解答】解：（Ⅰ）列联表如下：优等生非优等生总计学习大学先修课程 50 200 250 没有学习大学先修课程 1009001000总计1501100 1250由列联表可得K 2=1250(50×900−200×100)2250×1000×150×1100≈18.939＞6.635．∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．（Ⅱ）（i ）由题意得所求概率为： p =25250×0.9+50250×0.8+100250×0.6+50250×0.4+25250×0.3=35．（ii ）设获得高校自主招生通过的人数为X ，则X ～X （4，35），P （X ＝4）=C 4k (35)k (25)4−k ．k ＝0，1，2，3，4，∴X 的分布列为：X 01234P166259662521662521662581625估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数为150×35=90． 21．（12分）已知函数f （x ）=ax 2+bx+1e x．（Ⅰ）当a ＝b ＝1时，求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）若f （1）＝1，且方程f （x ）＝1在区间（0，1）内有解，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a ＝b ＝1时，f(x)=x 2+x+1e x ，则f′(x)=x−x 2ex ，解不等式f ′（x ）＞0，得0＜x ＜1，所以，函数f （x ）在（0，1）上单调递增；解不等式f ′（x ）＜0，得x ＜0或x ＞1，所以，函数f （x ）在（﹣∞，0）和（1，+∞）上单调递减，因此，函数f （x ）的极小值为f （0）＝1，极大值为f （1）=3e ；（Ⅱ）由f （1）＝1得b ＝e ﹣1﹣a ，由f （x ）＝1，得e x ＝ax 2+bx +1，设g （x ）＝e x ﹣ax 2﹣bx ﹣1，则g （x ）在（0，1）内有零点，设x 0为g （x ）在（0，1）内的一个零点，由g （0）＝g （1）＝0知，g （x ）在（0，x 0）和（x 0，1）上不单调，设h （x ）＝g ′（x ），则h （x ）在（0，x 0）和（x 0，1）上均存在零点，即h （x ）在（0，1）上至少有两个零点．g ′（x ）＝e x ﹣2ax ﹣b ，h ′（x ）＝e x ﹣2a ．当a ≤12时，h ′（x ）＞0，h （x ）在（0，1）上单调递增，h （x ）不可能有两个及以上的零点；当a ≥e2时，h ′（x ）＜0，h （x ）在（0，1）上单调递减，h （x ）不可能有两个及以上的零点；当12＜a ＜e 2时，令h ′（x ）＝0，得x ＝ln （2a ）∈（0，1），所以，h （x ）在（0，ln （2a ））上单调递减，在（ln （2a ），1）上单调递增， h （x ）在（0，1）上存在极小值h （ln （2a ）），若h （x ）有两个零点，则有h （ln （2a ））＜0，h （0）＞0，h （1）＞0， h （ln （2a ））＝3a ﹣2aln （2a ）+1﹣e (12＜a ＜e2)，设m(x)=32x −xlnx +1−e(1＜x ＜e)，则m′(x)=12−lnx ，令m ′（x ）＝0，得x =√e ．当1＜x ＜√e 时，m ′（x ）＞0，函数m （x ）单调递增；当√e ＜x ＜e 时，m ′（x ）＜0，函数m （x ）单调递减．所以，m(x)max =m(√e)=√e +1−e ＜0，所以，h （ln （2a ））＜0恒成立，由h （0）＝1﹣b ＝a ﹣e +2＞0，h （1）＝e ﹣2a ﹣b ＞0，得e ﹣2＜a ＜1． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =ty =t +1（t 为参数），曲线C 的参数方程是{x =2+2cosφy =2sinφ，（φ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线OP ：θ1＝α（其中0＜α＜π2）与曲线C 交于O ，P 两点，射线OQ ：θ2=α+π2与直线l 交于Q 点，若△OPQ 的面积为1，求α的值和弦长|OP |．【解答】解：（Ⅰ）直线l 的参数方程是{x =t y =t +1（t 为参数），转换为直角坐标方程为：x ﹣y +1＝0．转换为极坐标方程为：ρcos θ﹣ρsin θ+1＝0．曲线C 的参数方程是{x =2+2cosφy =2sinφ，（φ为参数），转换为直角坐标方程为：（x ﹣2）2+y 2＝4，转换为极坐标方程为：ρ＝4cos θ．（Ⅱ）由于0＜α＜π2，所以：|OP |＝4cos α， |OQ |=1|sin(α+π2)−cos(α+π2)|=1sinα+cosα．所以：S △OPQ =12|OP||OQ|=2cosαcosα+sinα=1，所以：tan α＝1，由于：0＜α＜π2，故：α=π4，所以：|OP |＝4cos π4=2√2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x +a |，g （x ）＝|x ﹣1|．（Ⅰ）若f （x ）+2g （x ）的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）+g （x ）＜1的解集包含[12，1]，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）＝|2x +a |，g （x ）＝|x ﹣1|． f （x ）+2g （x ）＝|2x +a |+2|x ﹣1| ＝|2x +a |+|2x ﹣2|≥|2x +a ﹣（2x ﹣2）| ＝|a +2|＝1，解得a ＝﹣1或a ＝﹣3；（Ⅱ）x ∈[12，1]时，不等式f （x ）+g （x ）＜1，即：|2x +a |+|x ﹣1|＜1，可得：|2x +a |+1﹣x＜1，∴|2x +a |＜x ． ∴−a3＜x ＜﹣a ，不等式f （x ）+g （x ）＜1的解集包含[12，1]，即：−a3＜12且﹣a ＞1，∴−32＜a ＜−1．实数a 的取值范围：（−32，﹣1）．。

河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题

开封市2019届高三第一次模拟考试数学（理科）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|2,0}xA y y x ==>，2{|log (2)}B x y x ==-，则()R A B = ð A ．[0,1) B ．(1,2)C ．(1,2]D ．[2,)+∞2.已知复数z 满足(1)1z i =+，则复平面内与复数z 对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知函数44()sin cos f x x x =-，则下列说法正确的是A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的最大值为2C ．()f x 的图像关于y 轴对称D ．()f x 在区间[,]42ππ上单调递减 4.已知等比数列{}n a 中，有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，且77b a =，则13S = A ．26 B ．52 C.78 D ．1045.已知直线m ，n 和平面α，n α⊂，则“m n ∥”是“m α∥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A ．16π-B ．164π- C.322π- D ．644π-7.已知函数123,2,()log (1),2,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩若()1f a ≥，则a 的取值范围是 A ．[1,2) B ．[1,)+∞ C.[2,)+∞ D ．(,2][1,)-∞-+∞8.若x ，y 满足约束条件22,2,20,x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2y x +的取值范围为A ．1[,1]2-B ．1(,][1,)2-∞-+∞ C. [0,1] D ．1[,1]29.已知数列{}n a 中，112a =，111n na a +=-，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是A ．2012n ≤B ．2015n ≤ C.2017n ≤ D ．2018n ≤ 10.已知ABC ∆的内角3A π=，6AB =，4AC =，O 为ABC ∆所在平面上一点，且满足OA OB OC ==，设AO mAB nAC =+，则m n +的值为A ．1118 B ．1 C.718D ．2 11.已知P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，且在x 轴上方，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，12||12F F =，直线2PF 的斜率为-12PF F ∆的面积为A ．3B ．12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是A ．B ． C. D ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.10(1)x -的展开式中，3x 的系数等于．14.已知向量(1a = ，(3,)b m =，且b 在a 方向上的投影为-3，则向量a 与b 的夹角为．15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2DF AF =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足12a =，3()n n S n m a =+，()m R ∈，且n n a b n =.若存在*n N ∈，使得2n n T T λ+≥成立，则实数λ的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.18. 如图所示，ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面BCE ，且1AE =.（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ABE ；（Ⅱ）线段AD 上是否存在一点F ，使二面角A BF E --请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由.19. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，抛物线C 的动弦AB 过点F ，过点F 且垂直于弦AB 的直线交抛物线的准线于点M .（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）求||||AB MF 的最小值.20. 大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.（ⅰ）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ⅱ）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为X，求X的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数. 参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++21. 已知函数21()xax bx f x e ++=.（Ⅰ）当1a b ==时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若(1)1f =，且方程()1f x =在区间(0,1)内有解，求实数a 的取值范围. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是,1,x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程是22cos ,2sin ,x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线1:OP θα=（其中02πα<<）与曲线C 交于O ，P 两点，射线2:2OQ πθα=+与直线l交于Q 点，若OPQ ∆的面积为1，求α的值和弦长||OP . 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-.（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[,1]2，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CDCBD 6-10: ABACA 11、12：BB二、填空题13. -120 14.120︒ 15.413 16.13三、解答题17. 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sin cos sin sin sin A B B A C +=， ∵sin sin()C A B =+=sin cos cos sin A B A B +，∴sin sin cos sin B A A B =， ∵sin 0B ≠∴sin cos A A =，∵(0,)A π∈∴4A π=.（Ⅱ）ABC ∆的面积1sin 24S bc A ==，由2a =及余弦定理得2242cos 4b c bc π=+-，又222b c bc +≥，故2(2bc ≤=，当且仅当b c =时，等号成立.∴ABC ∆1.18. 解：（Ⅰ）∵AE ⊥平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，∴AE BE ⊥，AE BC ⊥，又∵BC AB ⊥，∴AE AB A = ，∴BC ⊥平面ABE ，又BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ABE . （Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系A xyz -，∵1AE =，2AB =，AE BE ⊥，∴BE =假设线段AD 上存在一点F 满足题意，1,0)2E ，(0,2,0)B ，(0,0,)F h ，(0)h >，易知：平面ABF 的一个法向量为(1,0,0)m =，∵3,0)2BE =- ，(0,2,)BF h =- ，∴设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，由00n BE n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得30220x y y hz -=⎪-+=⎩，取1y =，得2)n h = ，cos ,||||m n m n m n ⋅===⋅，∴1h =. 点F 为线段AD 的中点时，二面角A BF E --19. 解：（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为(1,0)∴抛物线的焦点为(1,0)F ，∴2p =，抛物线的标准方程为24y x =. （Ⅱ）①当动弦AB 所在直线的斜率不存在时，易得：||24AB p ==，||2MF =，||2||AB MF =. ②当动弦AB 所在的直线斜率存在时，易知，AB 的斜率不为0. 设AB 所在直线方程为(1)y k x =-，且11(,)A x y ，22(,)B x y .联立方程组：24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得22222(2)0k x k x k -++=；21222(2)k x x k++=，121x x ⋅=，216(1)0k ∆=+>，12|||AB x x =-=224(1)k k +=FM 所在的直线方程为1(1)y x k =--，联立方程组：1(1)1y x kx ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩，得点2(1,)M k -，∴||MF ==∴224(1)||2||k AB MF +==>，综上所述：||||AB MF 的最小值为2. 20. 解：（Ⅰ）列联表如下：由列联表可得21250(50900200100)25010001501100k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯18.939 6.635≈>，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系. （Ⅱ）（ⅰ）由题意得所求概率为P =25501000.90.80.6250250250⨯+⨯+⨯502530.40.32502505+⨯+⨯=. （ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为X ，则3(4,)5X ，4432()()()55k k kP X k C -==，0,1,2,3,4k =，∴X 的分布列为估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为3150905⨯=. 21. 解：（Ⅰ）2'(2)1()x ax a b x b f x e -+-+-=，当1a b ==时，2'()xx x f x e-+=， '()0f x >，得01x <<，∴()f x 在(0,1)上单调递增；'()0f x <，得0x <或1x >，∴()f x 在(,0)-∞和(1,)+∞上单调递减.∴()f x 的极小值为(0)1f =，极大值为3(1)f e=. （Ⅱ）由(1)1f =得1b e a =--，由()1f x =得21xe ax bx =++，设2()1x g x e ax bx =---，则()g x 在(0,1)内有零点，设0x 为()g x 在(0,1)内的一个零点，由(0)(1)0g g ==知()g x 在0(0,)x 和0(,1)x 不单调.设'()()h x g x =，则()h x 在0(0,)x 和0(,1)x 上均存在零点，即()h x 在(0,1)上至少有两个零点.'g ()2x x e ax b =--，'()2x h x e a =-，当12a ≤时，'()0h x >，()h x 在(0,1)上递增，()h x 不可能有两个及以上零点，当2ea ≥时，'()0h x <，()h x 在(0,1)上递减，()h x 不可能有两个及以上零点，当122ea <<时，令'()0h x =得ln(2)(0,1)x a =∈， ∴()h x 在(0,ln(2))a 上递减，在(ln(2),1)a 上递增，()h x 在(0,1)上存在最小值(ln(2))h a ，若()h x 有两个零点，则有(ln(2))0h a <，(0)0h >，(1)0h >，(ln(2))h a =32ln(2)1a a a e -+-，1()22e a <<，设3()ln 12x x x x e ϕ=-+-，(1)x e <<，则'1()ln 2x x ϕ=-，令'()0x ϕ=，得x =当1x <<'()0x ϕ>，()x ϕx e <<时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减.11∴max ()10x e ϕϕ==-<，∴(ln(2))0h a <恒成立.由(0)120h b a e =-=-+>，(1)20h e a b =-->，得21e a -<<.22. 解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为10x y -+=，极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=，曲线C 的普通方程为22(2)4x y -+=，极坐标方程为4cos ρθ=. （Ⅱ）依题意，∵(0,)2πα∈，∴||4cos OP α=，1|||sin()cos()|22OQ ππαα=+-+1sin cos αα=+， 12cos ||||12cos sin OPQ S OP OQ ααα∆===+， ∴tan 1α=，(0,)2πα∈，∴4πα=，||OP =23. 解：（Ⅰ）()2()f x g x +=|2|2|1|x a x ++-|2||22|x a x =++-|2|(22)||2|1x a x a ≥+--=+= ∴1a =-或-3. （Ⅱ）当1[,1]2x ∈时，|2||1|1x a x ++-<，即|2|11x a x ++-<，∴|2|x a x +<，3a x a -<<-， ()()1f x g x +<的解集包含1[,1]2，即132a -<且1a ->，∴312a -<<-.。

河南省开封市2019届高三第一次模拟考试数学(理)试题

河南省开封市2019届高三第一次模拟考试数学（理科）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合A，B，利用交并补运算得到结果.【详解】由题意易得：，∴,∴,故选：C【点睛】本题考查集合的交、并、补的基本运算，指数函数与对数函数的性质，考查计算能力．2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】由得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知函数，则下列说法正确的是A. 的最小正周期为B. 的最大值为2C. 的图像关于轴对称D. 在区间上单调递减【答案】C【解析】【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选：C．【点睛】本题考查余弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键．4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则A. 26B. 52C. 78D. 104【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为q，利用等比性质可得，即，再结合，即可得到结果.【详解】设等比数列的公比为q，∵，∴≠0，解得＝4，数列是等差数列，且．∴故选：B．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知直线，和平面，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：直线，平面，且，若，当时，，当时不能得出结论，故充分性不成立；若，过作一个平面，若时，则有，否则不成立，故必要性也不成立．由上证知“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D．考点：1、线面平行；2、命题的充分必要条件．6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体，其中正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为2，高为4，则组合体的体积：.本题选择B选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7.已知函数若，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依题意，对a分a与a讨论，再解相应的不等式即可．【详解】∵，∴或即或即∴的取值范围是故选：B【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用，突出考查分类讨论思想与方程思想的综合应用，属于中档题．8.若，满足约束条件则的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得．【详解】作出x，y满足约束条件的可行域如图：△ABC，表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，联方程组可解得B（2，﹣2），同理可得A（2，4），当直线经过点B时，M取最小值：，当直线经过点A时，M取最大值1．则的取值范围：[，1]．故选：A．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.9.已知数列中，，，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，模拟程序的运行过程知，该程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时求出满足题意的选项即可．【详解】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A，n＝1；第1次循环，A＝1﹣2＝﹣1，n＝1+1＝2；第2次循环，A＝1+1＝2，n＝2+1＝3；第3次循环，A＝1，n＝3+1＝4；…所以，程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时，n能被3整除，此时不满足循环条件．分析选项中的条件，满足题意的C．故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.已知的内角，，，为所在平面上一点，且满足，设，则的值为A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由题意结合三点共线的充分必要条件讨论的最大值即可.【详解】由题意可知，O为△ABC外接圆的圆心，如图所示，在圆中，所对的圆心角为，，点A,B为定点，点为优弧上的动点，则点满足题中的已知条件，延长交于点，设，由题意可知：，由于三点共线，据此可得：，则，则的最大值即的最大值，由于为定值，故最小时，取得最大值，由几何关系易知当是，取得最小值，此时.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查数形结合解题，三点共线的充分必要条件，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为A. 3B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】利用三角形的面积求出P的纵坐标，通过直线的斜率，求出P的横坐标，然后求解a，c，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】P是双曲线1（a＞0，b＞0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，c＝6，△PF1F2的面积为24，可得P的纵坐标y为：，y＝4．直线PF2的斜率为﹣4，所以P的横坐标x满足：，解得x＝5，则P（5，4），|PF1|13，|PF2|7，所以2a＝13﹣7，a＝3，所以双曲线的离心率为：e2．故选：B．【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力．当构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，a有最小值，易得a的取值范围，由此能求出此三棱锥体积的取值范围．【详解】构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，AD=BC=a,此时0＜a ＜2．取BC中点为E,连接AE,DE,易得：BC⊥平面ADE,∴，当且仅当4即时，等号成立，∴此三棱锥体积的取值范围是故选：【点睛】本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合数形结合思想，极限思想，求出a的最大值和最小值，进而得到形成的三棱锥体积最大值．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中，的系数等于__________．【答案】-120【解析】【分析】利用通项公式即可得出．【详解】（1﹣x）10的展开式中，T r+1（﹣x）r，令r＝3，则T4x3，则x3的系数120．故答案为：﹣120．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.14.已知向量，，且在方向上的投影为-3，则向量与的夹角为__________．【答案】【解析】，，解得，，，所以与的夹角为 .15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是__________．【答案】【解析】【分析】根据几何概型的概率公式，设DF＝2AF＝2a，求出△DEF和△ABC的面积，计算所求的概率值．【详解】由题意，设DF＝2AF＝2a，且a＞0，由∠DFE，∴∠AFC＝π；∴△DEF的面积为S△DEF•2a•2a•sin a2，△AFC的面积为S△AFC•a•3a•sin a2，∴在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是P．故答案为：．【点睛】题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.16.已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，，且.若存在，使得成立，则实数的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】先根据数列的递推公式可求出，再利用累乘法求出通项公式，再构造数列B n＝T2n ﹣T n，判断数列的单调性，即可求出【详解】∵3S n＝（n+m）a n，∴3S1＝3a1＝（1+m）a1，解得m＝2，∴3S n＝（n+2）a n，①，当n≥2时，3S n﹣1＝（n+1）a n﹣1，②，由①﹣②可得3a n＝（n+2）a n﹣（n+1）a n﹣1，即（n﹣1）a n＝（n+1）a n﹣1，∴，∴，，，…，，，累乘可得a n＝n（n+1），经检验a1＝2符合题意，∴a n＝n（n+1），n∈N*，∵a n b n＝n，∴b n，令B n＝T2n﹣T n，则B n+1﹣B n0，∴数列{B n}为递增数列，∴B n≥B1，∵存在n∈N*，使得λ+T n≥T2n成立，∴λ≥B1，故实数λ的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求面积的最大值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得A的值；（Ⅱ）的面积，由余弦定理及均值不等式即可得到bc的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得：，∵，∴，∵∴，∵∴.（Ⅱ）的面积，由及余弦定理得，又，故，当且仅当时，等号成立.∴面积的最大值为.【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）线段上是否存在一点，使二面角所成角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ) F为AD中点.【解析】【分析】（Ⅰ）先证BC⊥平面ABE，进而得面面垂直；（Ⅱ）建立空间坐标系，设点F的位置，利用向量列方程求解．【详解】（Ⅰ）∵平面，平面，平面，∴，，又∵，∴，∴平面，又平面，∴平面平面.（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，∵，，，∴.假设线段上存在一点满足题意，，，，，易知：平面的一个法向量为，∵，，∴设平面的一个法向量为，由，得，取，得，，∴.点为线段的中点时，二面角所成角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）求的最小值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)2【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆求得右焦点，根据抛物线的焦点求出p的值，再写出抛物线C的标准方程；（Ⅱ）①当动弦AB所在的直线斜率不存在时，求得2；②当动弦AB所在的直线斜率存在时，写出AB所在直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|AB|；写出FM所在的直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|MF|，再求的最小值，从而得出结论．【详解】（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为∴抛物线的焦点为，∴，抛物线的标准方程为.（Ⅱ）①当动弦所在直线的斜率不存在时，易得：，，.②当动弦所在的直线斜率存在时，易知，的斜率不为0.设所在直线方程为，且，.联立方程组：，得；，，，所在的直线方程为，联立方程组：，得点，∴∴，综上所述：的最小值为2.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．20.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率. （ⅰ）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ⅱ）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.参考数据：参考公式：，其中【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（Ⅱ）（ⅰ）分成四类情况，利用互斥概率加法公式计算即可；（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为，则，从而得到的分布列及今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.【详解】（Ⅰ）列联表如下：由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.（Ⅱ）（ⅰ）由题意得所求概率为.（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为，则，，，∴的分布列为估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为.【点睛】独立性检验的一般步骤：（I）根据样本数据制成列联表；（II）根据公式计算的值；（III）查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误．）21.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若，且方程在区间内有解，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ) 极小值为，极大值为. (Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）将a＝b＝1代入函数f（x）的解析式，求函数f（x）的导数f′（x），求出极值点，并分析函数f（x）的单调性，即可确定函数的极大值和极小值；（Ⅱ）由f（1）＝1，得b＝e﹣1﹣a，再由f（x）＝1，得e x＝ax2+bx+1，构造函数g（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，分析函数g（x）在区间（0，1）上的单调性，结合函数g（x）的极值正负确定方程f（x）＝1在区间（0，1）内有解的等价条件，从而构造不等式求出实数a的取值范围．【详解】（Ⅰ），当时，，，得，∴在上单调递增；，得或，∴在和上单调递减.∴的极小值为，极大值为.（Ⅱ）由得，由得，设，则在内有零点，设为在内的一个零点，由知在和不单调.设，则在和上均存在零点，即在上至少有两个零点.，，当时，，在上递增，不可能有两个及以上零点，当时，，在上递减，不可能有两个及以上零点，当时，令得，∴在上递减，在上递增，在上存在最小值，若有两个零点，则有，，，，，设，，则，令，得，当时，，递增；当时，，递减.∴，∴恒成立.由，，得.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了分类讨论的思想，属于难题. 求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线（其中）与曲线交于，两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长.【答案】(Ⅰ)，(Ⅱ)，.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变变换和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】（Ⅰ）直线的普通方程为，极坐标方程为，曲线的普通方程为，极坐标方程为.（Ⅱ）依题意，∵，∴，，，∴，，∴，.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．选修4-5：不等式选讲23.已知函数，.（Ⅰ）若的最小值为1，求实数的值；（Ⅱ）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.【答案】(1) 或4.(2) .【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用绝对值不等式求函数的最小值从而得到a的值. (2)第（2）问，先求出不等式的解集，再比较它们的关系得到实数a的取值范围.试题解析：（1）当时，，因为的最小值为3，所以，解得或4.（2）当时，即，当时，，即，因为不等式的解集包含，所以且，即，故实数的取值范围是.。

2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)

2019年高考数学(理科)模拟试卷(一) 2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|y=lg(3-2x)}，B={x|x²≤4}，则A∪B=（）A。

{x|-2≤x<2}B。

{x|x<2}C。

{x|-2<x<2}D。

{x|x≤2}2.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A。

(-∞,1)B。

(-∞,-1)C。

(1,+∞)D。

(-1,+∞)3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）A。

6斤B。

9斤C。

9.5斤D。

12斤4.某三棱锥的三视图如图M1-1，则该三棱锥的体积为（）A。

60B。

30C。

20D。

105.设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数。

若存在实数t，使得[t]=1，[t²]=2，…，[tn]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A。

3B。

4C。

5D。

66.执行两次如图M1-2所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次、第二次输出的a 值分别为（）A。

0,0B。

1,1C。

0,1D。

1,07.某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A。

10B。

11C。

12D。

138.若x，y满足约束条件x+y-3≥0，x-2y≤0，则x≥（）A。

[0,6]B。

[0,4]C。

[6,+∞)D。

[4,+∞)13.首先求出向量a和b的夹角，由向量点乘公式可得cosθ = (a·b)/(|a||b|) = 9/√20，其中θ为夹角。

河南省开封市2019届高三年级定位考试——数学(理)

开封市2019届高三定位考试数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）－（23）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后．再选涂其他答案的标号．非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整．笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卷面清洁。

不折叠，不破损。

5．做选考题时．考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M ＝{0，1，2}，N ＝{x ｜｜x －1｜≤1}，则A ．M ＝NB ．N ⊆MC ．M ∩N ＝MD ．M ∪N ＝M2．若z ＝122i i－1＋，则｜z ｜＝ A ．35 B ．1 C ．75 D ．5 3．若命题p ：x ∀∈R ，x －lnx ＞0，则p ⌝为A ．0x ∃∈R ，x 0－lnx 0≤0B ．0x ∃∈R ，x 0－lnx 0＞0C ．x ∀∈R ，x －lnx ≤0D ．x ∀∈R ，x －lnx ＜04．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若a 2＋S 3＝0，则公比q ＝A ．－1B ．1C ．－2D ．25．某商场经营的某种包装的大米质量ξ（单位：kg ）服从正态分布N （10，σ2），根据检测结果可知P （9．9≤ζ≤10．1）＝0．96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1000名职工，则分发到的大米质量在9．9kg 以下的职工数大约为A ．10B ．20C ．30D ．406．执行如右图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的x 为A ．－1B ．0C ．－1或1D ．－1或07．已知x ，y 满足约束条件40220x y x x y ⎧⎪⎨⎪⎩－＋≥≤＋－≥，则z ＝x ＋3y 的最小值为A ．0B ．2C ．6D ．88．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A ．13B ．12C ．23D ．19．已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，则A ．e π＜3eB ．23e －π＜32e π－C ．log e π＞3log eD ．π3log e ＞3log e π10．已知空间四边形ABCD ，∠BAC ＝23π，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝6，且平面ABC ⊥平面BCD ，则空间四边形ABCD 的外接球的表面积为A ．60πB ．36πC ．24πD ．12π11．将函数y ＝sin 2x －cos 2x 的图象向左平移m （m ＞0）个单位以后得到的图象与函数y ＝ksinxcosx （k ＞0）的图象关于（3π，0）对称，则k ＋m 的最小正值是 A ．2＋4π B ．2＋34π C ．2＋512π D ．2＋712π 12．已知函数f （x ）＝（k ＋4k ）lnx ＋24x x－，k ∈[4，＋∞），曲线y ＝f （x ）上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），使曲线y ＝f （x ）在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1＋x 2的取值范围为A ．（85，＋∞）B ．（165，＋∞）C ．[85，＋∞）D ．[165，＋∞）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答。

精品解析：2019年12月河南省开封市一模数学(理)试题(解析版)

开封市2020届高三第一次模拟考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解二次不等式得，再求交集即可得解.【详解】解：解不等式，解得：，即，又，则，故选：B.【点睛】本题考查了二次不等式的解法及集合交集的运算，属基础题.2.在复平面内，复数对应的点位于直线的左上方，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由复数的运算可得，再结合复数在复平面所对应的点的位置列不等式求解即可.【详解】解：因为复数，又复数对应的点位于直线的左上方，则，即，故选：A.【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了复数在复平面所对应的点的位置，属基础题.3.已知,为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据向量数量积的定义式可知，若，则与夹角为锐角或零角，若与夹角为锐角，则一定有，所以“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.4.已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的定义可求得,结合正切的二倍角公式即可求得的值.【详解】因为角的终边经过点由三角函数定义可得根据正切的二倍角代入可得故选:D【点睛】本题考查了三角函数的定义,正切二倍角公式的应用,属于基础题.5.已知定义在上的奇函数，满足时，，则的值为（）A. -15B. -7C. 3D. 15【答案】A【解析】【分析】根据奇函数定义域关于原点中心对称,可求得的值.根据奇函数性质,即可求得的值.【详解】因为奇函数的定义域关于原点中心对称则,解得因为奇函数当时,则故选:A【点睛】本题考查了奇函数的定义域关于原点对称,奇函数的性质应用,属于基础题.6.某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为，，，，五个等级，等级，等级，等级，，等级共.其中等级为不合格，原则上比例不超过.该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示.若该校高二年级共有1000名学生，则估计该年级拿到级及以上级别的学生人数有（）A. 45人B. 660人C. 880人D. 900人【答案】D【解析】【分析】根据等级的人数和占比,可计算出样本容量.再根据扇形图可计算出、、等级一共的人数,即可估计该年级拿到级及以上级别的学生人数.【详解】由条形图和扇形统计图可知,在抽取的部分学生中等级共有人,占样本容量的所以样本容量为则样本中等级人数为人由条形图可知样本中等级人数为人所以在样本中级及以上级别的学生人数为人则该年级拿到级及以上级别的学生人数为人故选:D【点睛】本题考查了条形图与扇形图在统计中的应用,样本与总体的关系,属于基础题.7.国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为25米，则旗杆的高度约为（）A. 17米B. 22米C. 3l米D. 35米【答案】C【解析】【分析】先确定的已知角及已知边，再结合正弦定理求解即可.【详解】解：设旗杆高为米，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则，在中，,, ,即，由正弦定理可得，所以，解得：，故选：C.【点睛】本题考查了正弦定理及三角函数的实际应用，属中档题.8.已知是斐波那契数列，则，（且），下图程序框图表示输出斐波那契数列的前项的算法，则（）A. 10B. 18C. 20D. 22【答案】C【解析】【分析】根据程序框图的结构,计算出前几项,结合归纳推理即可得解.【详解】第一次循环:第二次循环:第三次循环:由以上循环可知,每循环一次,输出斐波那契数列的2项所以当时,共输出数列的项故选:C【点睛】本题考查了程序框图循环结构的特征,斐波那契数列的特征,归纳推理的应用,属于基础题.9.设，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由不等式的性质及换底公式即可得解.【详解】解：因为，，则，且，所以，，又,即,则，即，故选：D.【点睛】本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题.10.已知为双曲线：的右焦点，圆：与在第一象限、第三象限的交点分别为，，若的面积为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】先设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可得：四边形为矩形，再列方程组，运算即可得解.【详解】解：不妨设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可得：四边形为矩形，则为直角三角形，设，，则，解得，即，即，则，则，得，故选：A.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，重点考查了双曲线的几何性质，属中档题.11.将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若的对称中心为坐标原点，则关于函数有下述四个结论：①的最小正周期为 ②若的最大值为2，则③在有两个零点 ④在区间上单调其中所有正确结论的标号是（） A. ①③④B. ①②④C. ②④D. ①③【答案】A 【解析】【分析】根据辅助角公式化简,根据平移后的图像关于原点中心对称可求得解析式.根据正弦函数的图像与性质可依次判断四个选项是否正确. 【详解】函数,由辅助角公式可得将图像向右平移单位长度可得因为的对称中心为坐标原点,由正弦函数图像与性质可知过即,可得则对于①的最小正周期为,所以①正确;对于②若的最大值为2,则,解得,所以②错误对于③,令,当时,满足,.解方程可得或,所以③正确;对于④,,则其一个单调递增区间为,解得,当时满足在区间上单调,所以④正确.综上可知,正确的为①③④故选:A【点睛】本题考查了正弦函数的图像与性质的综合应用,辅助角公式的用法,三角函数图像平移变换,综合性较强,属于中档题.12.已知正方体的棱长为1，平面过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面内的正投影面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正方体每条棱所在直线与平面所成的角相等,可得该平面的截面.由正方体的棱长及投影形状,即可求出正投影的面积.【详解】正方体的棱长为1,平面过正方体的一个顶点,且与正方体每条棱所在直线所成的角相等,可得空间几何体及平面如下图所示:该正方体在平面内的正投影如下图所示:则即为该正方体在平面内的正投影面积,该投影是正六边形.因为正方体的棱长为1,则则由正六边形的性质可知则所以则故选:B【点睛】本题考查了空间中直线与平面的夹角,空间几何体在平面上的投影面积问题,对空间想象能力要求较高,属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知向量，，若，则______.【答案】1【解析】【分析】根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得与,再结合向量的模长公式即可求得的值.【详解】向量,则,则因为即,化简可得解得故答案为:【点睛】本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题.14.我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼-15”舰载机准备着舰，已知乙机不能最先着舰，丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为______.【答案】48【解析】【分析】将问题转化为不同的5位同学坐从左到右的5个座位，乙同学不坐第1个座位，丙同学必须坐在甲同学的左边，再结合排列组合中的分步原理求解即可.【详解】解：不妨将问题转化为不同的5位同学坐从左到右的5个座位，乙同学不坐第1个座位，丙同学必须坐在甲同学的左边，则可先在2至5号座位上选1个座位给乙坐，然后在剩下的4个座位中选2个坐丙同学和甲同学，且丙坐在甲的左边，剩下的2个座位坐剩下的两位同学即可，即不同的坐法共有，即不同的着舰方法种数为48，故答案为：48.【点睛】本题考查了排列组合中的分步原理，重点考查了特殊元素优先处理的解题方法，属基础题.15.设点为函数上任意一点，点为直线上任意一点，则，两点距离的最小值为______.【答案】【解析】【分析】先设为函数上一点，且以点为切点的直线与直线平行，利用导数的几何意义求得，再利用点到直线的距离公式即可得解.【详解】解：设为函数上一点，且以点为切点的直线与直线平行，由，则，由已知有，化简得,解得：，则，两点距离的最小值为点到直线的距离，由点到直线的距离公式，故答案为：.【点睛】本题考查了已知直线斜率求切点坐标，重点考查了点到直线的距离，属中档题.16.若数列满足，则称数列为“差半递增”数列.若数列为“差半递增”数列，且其通项与前项和满足，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】根据,利用递推公式求得数列的通项公式.再根据新定义的意义,代入解不等式即可求得实数的取值范围.【详解】因为所以当时,两式相减可得,即,所以数列是以公比的等比数列当时,所以则由“差半递增”数列的定义可知化简可得解不等式可得即实数的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用,等比数列通项公式在新定义里的应用,属于中档题.三、解答题：共70分。

2019年河南省开封市县第一高级中学高三数学理联考试题含解析

2019年河南省开封市县第一高级中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．若与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向参考答案：D【考点】平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】直接利用向量关系，判断即可．【解答】解：向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．=﹣2，所以两个向量共线，反向．故选：D．2. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为A.B. C.D.参考答案：D3. 给出下列命题：（1）等比数列的公比为，则“”是“”的既不充分也不必要条件；（2）“”是“”的必要不充分条件；（3）函数的的值域为R，则实数；（4）“”是“函数的最小正周期为”的充要条件。

其中真命题的个数是A．1 B．2C．3 D．4参考答案：B4. （5分）（2015?枣庄校级模拟）以双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F为圆心，作半径为b的圆F，则圆F与双曲线的渐近线（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定参考答案：C【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题．【分析】：确定圆F的方程，双曲线的渐近线方程，求出圆心到直线的距离，即可得到结论．解：由题意，圆F的方程为：（x+c）2+y2=b2，双曲线的渐近线方程为：bx±ay=0∴F到渐近线的距离为d==b∴圆F与双曲线的渐近线相切故选C．【点评】：本题考查双曲线的性质，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．5. 已知函数及其导数，若存在，使得=，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是（）①，②，③，④，⑤A.2B. 3C. 4D. 5参考答案：B略6. 若复数z满足，则（）A．－3+i B．3－2i C．3+i D．1+i参考答案：C7. 设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：a=log0.80.9∈（0，1），b=log1.10.9＜0，c=1.10.9＞1，∴c＞a＞b．故选：A．8. 若，则方程有实根的概率为A． B．C． D．参考答案：D9. 在的展开式中常数项为A．28 B．－28 C．－56D．56参考答案：A因为，故，又的展开式中的系数为，故选A.10. 如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝_______ _.参考答案：略12. 在直角坐标系x Oy中，直线过抛物线y2=4x的焦点F且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方，若直线的倾斜角为60°则△OAF的面积为。

2019年河南省开封市一模数学试卷

2019年河南省开封市一模数学试卷（满分120分，考试时间100分钟）一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，最小的数是（）A ．0B ．1C ．-πD．2. 2019年河南省清明节旅游市场共接待游客1 437万人次，旅游收入89.14亿元，则数据89.14亿用科学记数法表示为（） A ．89.14×106B ．89.14×107C ．8.914×108D ．8.914×109 3. 下列运算正确的是（）A ．2a 2-5a 2=3a 2B ．(-a 2)3=-a 6C ．(a -1)2=a 2-1D ．a 3·a 4=a 12 4. 关于x 的一元二次方程x 2+4x +k =0有两个相等的实数根，则k 的值为（）A ．k =4B ．k =-4C ．k ≥-4D ．k ≥45. 2019年3月31日，以“双城有爱，一生一世”为主题的郑开马拉松开赛．在这次马拉松长跑比赛中，抽取了10名女子选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下：A ．这组样本数据的中位数是186B ．这组样本数据的众数是195C ．这组样本数据的平均数超过170D ．这组样本数据的方差小于30 6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A ．16+12πB ．16+4πC ．16+8πD ．24+2π7. 不等式组211423x x x +-⎧⎨+>⎩≥的最大正整数解为（）A ．1B ．2C ．3D ．48. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面有三个推断：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620．其中合理的是（） A ．①B ．②C ．①②D ．①③俯视图左视图主视图9. 如图，⊙O 的半径为4，将⊙Q 的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心O ．则折痕AB 的长为（） A．B．C ．6D ．310. 如图，菱形ABCD 的边长是4 cm ，∠B =60°，动点P 以1 cm/s 的速度从点A 出发沿AB 方向运动至点B 停止，动点Q 以2 cm/s 的速度从点B 出发沿折线BCD 运动至点D 停止．若点P ，Q 同时出发，运动了t s ，记△BPQ 的面积为S cm 2，则下面图象中能表示S 与t 之间的函数关系的是（）A ．B ．C．D．二、填空题（每小题3分，共15分）11. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，分别以A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线交BC 于点P ，连接AP ，当∠B 为__________度时，AP 平分∠CAB ．12. 如图，在△AOB 中，∠AOB =90°，AO =3 cm ，BO =4 cm ．将△AOB 绕顶点O ，按顺时针方向旋转到△A 1OB 1处，此时线段OB 1与AB 的交点D 恰好为AB 的中点，则线段B 1D =__________cm ．13. 如图，△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，BC上，若AD :DB =CE :EB =2:3，则S △DBE :S △ADC =__________．B 1A 1ABODDABCPEDCBA14.如图，已知顶点为(-3，-6)的抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1，-4)，下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥-6；③若点(-2，m)，(-5，n)在抛物线上，则m＞n；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-1，其中正确的是__________．15.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分面积的差S1-S2为__________．EFG 三、解答题（本大题共8小题，共75分）16.（8分）先化简，再求值：22112x yx y x y x y⎛⎫-+÷⎪-+-⎝⎭，其中x，y满足|x-2|+(2x-y-3)2=0．17.（9分）当今社会手机越来越普遍，有很多人每天过分依赖手机，每天使用手机时间过长而形成了“手机瘾”．为了解某高校大学生每天使用手机时间的情况，某社团随机调查了部分学生使用手机的时间，将调查结果分为五类：A．基本不用；B．平均每天使用1～2小时；C．平均每天使用2～4小时；D．平均每天使用4～6小时；E．平均每天使用超过6小时．并把所得数据绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：E 10% D 18%C 40%BA 8%调查结果扇形统计图调查结果条形统计图（1）将条形统计图补充完整；（2）若每天使用手机的时间超过6小时，则患有严重的“手机瘾”．该校共有学生14 900人，试估计该校约有多少人患有严重的“手机瘾”；（3）在被调查的基本不使用手机的4位同学中有2男2女，现要从中随机抽取两名同学去参加座谈会，请你用列表法或树状图法求出所选两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的概率．18. （9分）如图，在平行四边形ABCD 中，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 与⊙O 相切于点C ，点P 是劣弧上的一个动点（点P 不与B ，C 点重合），连接P A ，PB ，PC ．（1）求证：CA =CB ；（2）当AP =AC 时，试判断△APC 与△CBA 是否全等，请说明理由；（3）填空：当∠D 的度数为__________时，四边形ABCD 是菱形．PD19. （9分）如图，某数学社团测量坡角∠BCD =30°的斜坡上大树AB 的高度．小东在离山脚底部C点1米的F 处，测得大树顶端A 的仰角为45°，树底部B 的仰角为20°，测得斜坡上树底B 点到山脚C点的距离为AB 的高度．（sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）AB C DF20. （9分）参照学习函数的过程与方法，探究函数2x y x -=（x ≠0）的图象与性质．因为221x y x x -==-，即21y x =-+，所以我们对比函数2y x =-来探究．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以2y x =相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y 轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来．（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而__________；（填“增大”或“减小”）②2xyx-=的图象是由2yx=-的图象向_______平移______个单位而得到；③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标）（3）函数2xyx-=与直线y=-2x+1交于点A，B，求△AOB的面积．21.（10分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2 000元，乙种商品共用了2 400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品每件的进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品每件售价为60元，乙种商品每件售价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原售价的七折销售；乙种商品售价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2 460元，问甲种商品按原售价至少销售多少件？22. （10分）（1）操作：如图1，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与MN 相交于点O ，请利用图1画出一对以点O 为对称中心的全等三角形．（不写画法）根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：（2）探究一：如图2，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE =∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．（3）探究二：如图3，DE ，BC 相交于点E ，BA 交DE 于点A ，且BE :EC =1:2，∠BAE =∠EDF ，CF ∥AB ．若AB =5，CF =1，求DF 的长度．图1M NQ PO图2F EDC B AAB C D E F图323.（11分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与抛物线212y x bx c=-++（b，c是常数）交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式．（2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B重合）．①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求PDOD的最大值；②如图3，若点P在x轴上方，连接PC，以PC为一边作正方形CPEF．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变，当顶点E或F恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．图1图2图3。

2019年12月河南省开封市一模数学(理)试题

坐标原点，则关于函数 f x 有下述四个结论：
① f x 的最小正周期为 2 ②若 f x 的最大值为 2，则 a 1
③ f x 在 , 有两个零点
④
f
x
在区间
5 6
, 6

上单调
其中所有正确结论的标号是（）
3
A. ①③④
B. ①②④
开封市 2020 届高三第一次模拟考试
数学（理科）试题
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合 A x | x2 x 6 0 ， B N ，则 A B （）
A. {-1, 0,1, 2}
该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果
如图所示.若该校高二年级共有 1000 名学生，则估计该年级拿到 C 级及以上级别的学生人数有（）
1
A. 45 人
B. 660 人
C. 880 人
D. 900 人
7.国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为15 的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，

的前
n
项和，求数列

1 Sn

的前
n
项和
Tn
.
4
18.底面 ABCD 为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体.若 DA DH DB 4 ， AE CG 3 . （1）求证： EG DF ；（2）求二面角 A HF C 的正弦值.
5
19.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F 1, 0 ，直线 l ： x 1 ，点 P 在直线 l 上移动， R 是线段 PF 与 y