可分离变量的微分方程解法分离变量法2
可分离变量的微分方程的解法
可分离变量的微分方程的解法可分离变量的微分方程是指可以化为关于自变量和因变量的两个单独函数的乘积形式的微分方程。
它是一类比较简单的微分方程，其解法比较直观、简单。
下面将介绍可分离变量的微分方程的解法，并提供相关参考内容。
一、可分离变量的微分方程的解法步骤：1. 将方程两边的各项分离开来，将自变量和因变量的函数分别放在一边。
2. 对两边分离出来的函数同时进行积分。
3. 求得两边的积分表达式后，通过移项可以得到最终的解。
二、可分离变量的微分方程的解法示例：以一阶非齐次线性微分方程为例，即dy/dx + P(x)y = Q(x)。
解法如下：1. 将该方程进行重写，变为dy/y = -P(x)dx + Q(x)dx。
2. 将dy/y与-Q(x)dx + P(x)dx进行分离，得到(dy/y) = (-P(x) + Q(x))dx。
3. 对上式两边同时进行积分，得到ln|y| = -∫P(x)dx + ∫Q(x)dx。
4. 移项，解得y = Ce^(-∫P(x)dx) + e^∫Q(x)dx，其中C为常数。
三、参考内容：1. 数学分析教程（中文版）- 微分方程部分，作者：郭家育，出版社：高等教育出版社。
2. 微分方程导论（中文版），作者：Dennis G. Zill，出版社：高等教育出版社。
3. 微积分与几何（中文版）-微分方程部分，作者：David C. Lay，出版社：人民邮电出版社。
4. 可分离变量的微分方程 - 百度百科。
5. Differential Equations - Paul's Online Math Notes。
通过以上参考内容，可以系统地学习可分离变量的微分方程的解法，并理解其中的原理和基本方法。
同时，还可以通过阅读习题和例题，进行练习和巩固，提高解题能力。
可分离变量的微分方程
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例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t0时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀含量Mt)随时间t 变化的规律
解 根据题意 得微分方程 即 lnMtlnC
dM M ( 是正常数)
dt 初始条件为M|t0M0
将方程分离变量 得
dM dt
M 两边积分 得
也即 MCe t
由初始条件 得M0Ce0C 所以铀含量Mt)随时间t变化的 规律MM0e t
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例3 设降落伞从跳伞塔 两边积分得
下落后 所受空气阻力与速度 成正比 并设降落伞离开跳伞
dv mg kv
dt m
塔时速度为零 求降落伞下落 即 速度与时间的函数关系
1 k
ln(
mg
k
v)
t m
C1
解 设降落伞下落速度为 vt) 根据题意得初值问题
m
dv dt
mg
kv
v |t 0 0
将方程分离变量得
是否可分离变量 是 是 不是 是 是
不是
例 1 求微分方程 dy 2xy 的通解 dx
解 这是一个可分离变量的微分方程
分离变量得
1 dy 2xdx y
两边积分得
1dy y
2xdx
即ln|y|x2C1 来自 加常数的另一方法从而
y eC1ex2 Cex2 从而
其中 C eC1 为任意常数
ln|y|x2lnC y Cex2
§.2 可分离变量 的微分方程
❖可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成
gy)dyf(x)dx (或写成y(x)(y))
的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 ❖可分离变量的微分方程的解法
可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程
微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同，学习时要认清各种微分方程的特点及它们的解法。
今天来学习可分离变量的微分方程，以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程。
一、可分离变量的微分方程
这种方程的形式为：
我们往往会以为将上式两端积分即可求解。
其实是不对的。
因为两端积分后，得，
右端即含有x，又含有y，是什么也求不出的，所以最终求不出y来。
其正确解法为：设y=y(x) 为所求的解，利用微分的知识，当y=y(x)时，有
这一步把y 的函数及dy ，与x的函数及dx分开了，称为分离变量，即习惯上将变量y放在了等号左边，将变量x放在了等号右边，这是求解关键的一步，下一步我们就可由不定积分进行求解了。
求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法。
注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们假定被除的函数不等于0，得到的通解不包含使被除的函数等于0的特解。
但是, 如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该C 不等于0，但这样方程就失去特解y等于正负1，而如果允许C 等于0，则y等于正负1仍包含在通解中.。
微分方程组求解方法
微分方程组求解方法微分方程组是描述自然现象的一种重要数学模型，可以用于解决许多实际问题。
解微分方程组有许多不同的方法，常见的有直接法、变量分离法、常数变易法、齐次方程法、二阶线性常系数齐次微分方程法等等。
接下来，我将详细介绍这些常见的微分方程组求解方法。
1.直接法：如果能直接从方程组中解出一个或多个未知函数，则可以直接得到微分方程组的解。
但是这种方法只适用于少数情况，大多数微分方程组需要使用其他方法求解。
2. 变量分离法：对于一个可分离变量的微分方程组，可以通过将方程两边变量分离，然后分别对两边进行积分的方式得到解。
例如，对于方程组dy/dx = f(x)g(y)，可以将方程两边同时除以g(y)，然后将变量分离即可得到解。
3. 常数变易法：对于一般的非齐次微分方程组，可以通过令未知函数的系数为常数来转化为齐次微分方程组来求解。
例如，对于方程组dy/dx = f(x) + g(x)y，可以令g(x)为常数，然后将方程组转化为齐次微分方程组dy/dx = f(x) + gy，再使用其他方法求解。
4. 齐次方程法：对于齐次微分方程组，可以使用变量代换的方式将其转化为一阶线性常系数齐次微分方程组求解。
例如，对于方程组dy/dx = f(x)/g(x)，可以令y = ux，然后将方程组转化为一阶线性常系数齐次微分方程组du/dx + (u - f(x)/g(x))/x = 0，再使用其他方法求解。
5. 二阶线性常系数齐次微分方程法：对于二阶线性常系数齐次微分方程组，可以使用特征方程法求解。
首先，假设方程组的解为y =e^(mx)，然后将其代入方程组中得到特征方程，求解特征方程的根，然后根据根的类型（不同、相等、复数根）确定方程组的通解。
在实际问题中，常常需要将微分方程组转化为矩阵形式进行求解。
例如，对于二阶线性常系数齐次微分方程组，可以将其转化为矩阵方程Dy=Ay，其中D是微分算子，A是常数矩阵，y是未知函数向量。
高等数学课件7第二节 可分离变量的微分方程ppt
思考与练习
1. 求下列方程的通解 :
提示:
(1)
分离变量
y
x
1 y2 dy 1 x2 dx
(2) 方程变形为 y 2cos x sin y
ln tan y 2sin x C 2
4
y5,
dx
是可分离变量的微分方程．
4
y 5dy
Байду номын сангаас
2 x 2dx,
若 dy f ( x, y) dx
dy dx
f1(x) f2( y) ；
或由 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
M1( x)M2( y)dx N1( x)N2( y)dy 0 .
则均为可分离变量的微分方程．
二、分离变量法
( Q( x, y) 0 )
将它看成以 y 为自变量、x 为未知函数的方程
dx Q( x, y) dy P( x, y)
( P(x, y) 0 )
引例1. 求一阶微分方程 dy 2x 的通解． dx
解: 两端积分得通解 y x2 C ．
引例2. 求一阶微分方程 dy 2xy2 的通解． dx
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
令 C eC1
( C 为任意常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
例2. 求下列微分方程的通解:
解: 原方程化为
dy ex e y dx
分离变量
e ydy exdx
两边积分
通解： e y e x C
(2)
反之，
当 g( y) 0 时，
由(2)式所确定的隐函数y ( x)是(1)式的解;
可分离变量的微分方程
例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求 在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. dM 衰变系数 M ( 0 ) 解: 根据题意, 有 d t M t 0 M 0 (初始条件) 对方程分离变量, 然后积分:
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1 x
两边积分得
即
y x2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x 1 1
2
例3. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有 即 解得
1 u sin 2 u
通过适当变量代 换可化为可分离 变量的微分方程
t 0
0
dv m mg kv dt
对方程分离变量, 然后积分 : 得
( 此处 mg k v 0 )
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v t k mg 代入上式后化简, 得特解 v (1 e m ) k
作 业
P 304 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 6 ; 7
第二节 可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程及其解法 二、典型例题
一、可分离变量的微分方程及其解法
1、 可分离变量的微分方程
dy f1 ( x) f 2 ( y ) dx （一阶） M1 ( x)M 2 ( y) d x N1 ( x) N 2 ( y) d y 0
｝
转化
g ( y ) d y f ( x) d x
可分离变量方程
•可分离变量方程
•齐次方程
•其它
一、可分离变量的微分方程
1. 定义： 一阶微分方程：y h( x, y )
dy 即 h( x, y ) dx
f ( x) 若 h( x , y ) g( y )
即形如
g( y )dy f ( x )dx
可分离变量的微分方程.
齐次方程
1、变量代换
2、求解
思考题
dy x y x y 求解微分方程 cos cos . dx 2 2
思考题解答
dy x y x y cos cos 0, dx 2 2 dy x y 2 sin sin 0, dx 2 2
x sin dx , y 2 2 sin 2
由牛顿力学的知识可得 dv F mg kv m ma dt dv 1 mg 即 dt v mg kv m k
mg v0 0 C v k mg t , v k
Ce
k t m
k t mg 1 e m k
例 5 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过 程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间 的距离)随时间t的变化规律.
设M ( x , y)为L上任一点， M
MT为切线, 斜率为 y,
o
x
OMN NMR,
1 MN为法线, 斜率为 , y
N
L
tan OMN tan NMR,
y
M
o
T
R
x
N
L
由夹 角正 切公 式得
可分离变量的微分方程
M t=0 = M 0 (初始条件)
对方程分离变量,
然后积分:
∫
dM M
=
∫(−λ )d t
得 ln M = −λ t + ln C, 即 M = C e−λ t
M
利用初始条件, 得 C = M 0
M0
故所求铀的变化规律为 M = M 0 e−λ t . o
t
解法 1 分离变量 e− y d y = ex dx
− e−y = ex + C
即
(ex +C)ey +1= 0 ( C < 0 )
解法 2 令 u = x + y, 则u′ = 1+ y′
故有 积分
u′ =1+ eu
∫
1
d +
u eu
=
x+C
∫
(1
+ eu 1+
)− eu
eu
du
u − ln (1+ eu ) = x + C
(1 −
−
e
k m
t
)
v
≈
mg k
k
内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 .
例如, 方程 (x + y) y′ = 0 有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
dt
初始条件为 v t=0 = 0
∫ ∫ 对方程分离变量, 然后积分 :
dv = mg − kv
dt m
可分离变量的微分方程的解法
可分离变量的微分方程的解法可分离变量的微分方程是指可以将微分方程中自变量和因变量分离，然后分别对两边求积分的方程。
其一般形式为dy/dx =f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)都是关于变量x和y的函数。
解这种微分方程的一般步骤如下：1. 将方程重写为dy/g(y) = f(x)dx，将x和y分离开。
2. 对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。
3. 对上式右边和左边的积分进行求解，得到∫(1/g(y))dy = F(x) + C，其中C是常数。
4. 将上式两边关于y进行反函数运算，得到y = g^(-1)[F(x) +C]，其中g^(-1)表示g(y)的反函数。
5. 最后得到微分方程的解为y = g^(-1)[F(x) + C]。
下面是一些相关参考内容，用于解释和说明可分离变量的微分方程的解法：1. 《高等数学》- 许家栋等著本书是高校数学系教材，其中详细讲解了可分离变量的微分方程的解法。
书中从基本定义和概念出发，逐步介绍了可分离变量的微分方程的解法步骤，并配有大量的例题和习题，以帮助读者更好地理解和掌握该解法。
2. 《微分方程》- 吴钟灵等著这本书是微分方程的教材，其中涵盖了可分离变量的微分方程的解法。
书中详细介绍了可分离变量的微分方程的定义和性质，并提供了一些典型的例题和详细的解题过程，让读者能够通过实例来理解解方程的方法。
3. 《微积分学教程》- 张敬泉等著本书是一本综合性的微积分教材，其中的微分方程部分包含了可分离变量的微分方程的解法。
书中详细介绍了可分离变量的微分方程的概念和求解方法，并提供了一些典型的例题和解题思路，以帮助读者更好地理解和掌握该解法。
4. 在线教育平台上的相关视频课程很多在线教育平台上都提供了与微分方程相关的视频课程，其中包括了可分离变量的微分方程的解法。
通过观看这些视频课程，可以更直观地理解和学习可分离变量的微分方程的解法，同时还可以通过课后习题来巩固所学的内容。
可分离变量的微分方程典型例题分析
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
S 1 cm2 ,
h
dV 0.62 2gh dt, (1)
h h dh r
设在微小的时间间隔 [t, t dt], o
100 cm
水面的高度由 h 降至 h+dh , 则 dV r 2dh, r 1002 (100 h)2 200h h2 ,
y Ce x2为所求通解 .
例２ 求解微分方程 y e y2x 的通解.
解 分离变量,得 e ydy e2 xdx,
两端积分,得
e ydy e2xdx,
解得
ey
1 e2x 2
C1
即 2e y e2 x C (C 为任意常数 )
2e y e2 x C 为所求通解 .
例5 求 y y2 cos x 满足初始条件 y(0) 1的特解.
四、小船从河边点 0 处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为 a ,船行方向始终与河岸垂直,设河宽 为 h ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 的乘积成正比(比例系数为 k ).求小船的航行路 线.
练习题答案
一、1、tan x tan y C ； 2、(e x 1)(e y 1) C ； 3、4( y 1)3 3 x4 C .
求方程的通解 : y sin( x y) sin( x y) 提示:
方程变形为
y 2cos x sin y ln tan y 2sin x C 2
练习题
一、求下列微分方程的通解:
1、sec2 x tan ydx sec2 y tan xdy 0； 2、(e x y e x )dx (e x y e y )dy 0；
可分离变量的微分方程的解法
可分离变量的微分方程的解法可分离变量的微分方程是指可以通过变量的分离，将微分方程化为两个变量的乘积形式，从而简化求解过程的一类微分方程。
一般而言，可分离变量的微分方程可以写为以下形式：$$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$其中，$f(x)$和$g(y)$是关于$x$和$y$的函数。
解题思路如下：1. 将微分方程中的变量分离。
将$f(x)$和$g(y)$分别移到方程的一边，得到$$\frac{1}{g(y)}dy = f(x)dx$$2. 对方程两边同时积分。
对上式两边同时积分，得到$$\int\frac{1}{g(y)}dy = \int f(x)dx + C$$其中，$C$是常数。
3. 对两边的积分进行分解和计算。
对于左边的积分，可以通过换元法或其他方法将其分解为更简单的积分形式。
对于右边的积分，可以直接计算。
4. 解出$y$的函数表达式。
将左边的积分结果和右边的积分结果通过恰当的计算方法解出$y$的函数表达式。
需要注意的是，在进行积分操作时，常常需要根据不同的情况进行变量的换元或其他的运算处理，以使积分结果更为简单。
同时，在解出$y$的函数表达式后，需要将$C$视为一个变量，并根据给定的初始条件或其他约束条件对其进行确定。
以下为一些常见的可分离变量微分方程的解法示例：例1：$$\frac{dy}{dx} = 2xe^{y^2}$$首先，将变量分离得到：$$\frac{1}{e^{y^2}}dy = 2x dx$$对两边同时积分，得到：$$\int\frac{1}{e^{y^2}}dy = \int 2x dx$$左边的积分可以通过换元法，令$u = y^2$，得到：$$\int\frac{1}{e^{y^2}}dy = \int\frac{1}{2} e^{-u}du = -\frac{1}{2}e^{-u} + C_1$$右边的积分直接计算得到：$$\int 2x dx = x^2 + C_2$$将两边的积分结果相等，得到：$$-\frac{1}{2}e^{-y^2} + C_1 = x^2 + C_2$$进一步整理得到：$$e^{-y^2} = -2(x^2 + C)$$解出$y$的函数表达式为：$$y = \sqrt{-\ln(-2(x^2 + C))}$$例2：$$\frac{dy}{dx} = \frac{y+1}{x+1}$$首先，将变量分离得到：$$(y+1)dy = (x+1)dx$$对两边同时积分，得到：$$\int(y+1)dy = \int(x+1)dx$$直接计算得到：$$\frac{1}{2}y^2 + y = \frac{1}{2}x^2 + x + C$$ 整理得到：$$y^2 + 2y = x^2 + 2x + 2C$$解出$y$的函数表达式为：$$y = -1 \pm \sqrt{x^2 + 2x + 2C}$$以上为可分离变量微分方程的解法示例，通过变量的分离和积分运算，可以将微分方程转化为更为简单的形式，并解出相应的函数表达式。
微分方程解法的十种求法(非常经典)
微分方程解法的十种求法(非常经典)本文将介绍微分方程的十种经典求解方法。
微分方程是数学中重要的概念，广泛应用于物理学、工程学等领域。
通过研究这十种求解方法，读者将更好地理解和应用微分方程。
1. 变量可分离法变量可分离法是最常见和简单的微分方程求解方法之一。
该方法适用于形如dy/dx=f(x)g(y)的微分方程，其中f(x)和g(y)是关于x和y的函数。
通过将方程两边分离变量，即把f(x)和g(y)分别移到不同的方程一边，然后进行积分，最后得到y的表达式。
2. 齐次方程法齐次方程法适用于形如dy/dx=F(y/x)的微分方程。
通过令v=y/x，将微分方程转化为dv/dx=g(v)，其中g(v)=F(v)/v。
然后再使用变量可分离法求解。
3. 线性微分方程法线性微分方程法适用于形如dy/dx+a(x)y=b(x)的微分方程。
通过乘以一个积分因子，将该方程转化为可以进行积分的形式。
4. 恰当微分方程法恰当微分方程法适用于形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的微分方程。
通过判断M(x,y)和N(x,y)的偏导数关系，如果满足一定条件，则可以找到一个函数u(x,y)，使得u满足偏导数形式的方程，并且通过积分得到原方程的解。
5. 一阶线性常微分方程法一阶线性常微分方程法适用于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的微分方程。
通过先求齐次线性方程的通解，然后再利用待定系数法找到特解，最后求得原方程的通解。
6. 二阶常系数齐次线性微分方程法二阶常系数齐次线性微分方程法适用于形如d²y/dx²+a1dy/dx+a0y=0的微分方程。
通过设y=e^(mx)，将微分方程转化为特征方程，然后求解特征方程得到特征根，利用特征根找到原方程的通解。
7. 二阶非齐次线性微分方程法二阶非齐次线性微分方程法适用于形如d²y/dx²+a1dy/dx+a0y=F(x)的微分方程。
通过先求齐次线性方程的通解，再利用待定系数法找到非齐次线性方程的特解，最后求得原方程的通解。
可分离变量的微分方程的解法
可分离变量的微分方程的解法微分方程是研究自然现象中变化规律的重要工具。
其中，可分离变量的微分方程是一类常见且重要的微分方程，在许多领域中都有广泛的应用。
下面，我们将介绍可分离变量的微分方程的解法，并以具体的例子来说明。
可分离变量的微分方程是指可以通过将方程中的变量分离到方程的两边，并对两边进行积分来求解的微分方程。
其一般形式为：dy/dx = f(x)g(y)其中，f(x)和g(y)是关于变量x和变量y的函数。
下面，我们将介绍可分离变量的微分方程的解法步骤。
步骤一：将方程中的变量分离将dy/dx = f(x)g(y)两边移项，可以得到：g(y)dy = f(x)dx步骤二：对两边进行积分对方程两边同时进行积分，可以得到：∫g(y)dy = ∫f(x)dx这样，方程左边的积分就得到了y的表达式，方程右边的积分就得到了x的表达式。
步骤三：解方程对两边进行积分后，我们就可以得到y和x的表达式。
然后，我们可以使用已知的初值条件求解出常数C，并得到特解。
下面我们以一个具体的例子来说明可分离变量的微分方程的解法。
例如，考虑方程dy/dx = 2x(1+y^2)，我们可以按照上述步骤进行解法。
步骤一：将方程中的变量分离移项后，可以得到(1+y^2)dy = 2xdx。
步骤二：对两边进行积分对方程两边同时进行积分，可以得到∫(1+y^2)dy = ∫2xdx。
方程左边的积分为∫(1+y^2)dy = y + (1/3)y^3 + C1（其中C1是积分常数），方程右边的积分为∫2xdx = x^2 + C2（其中C2是积分常数）。
步骤三：解方程将上述结果代入原方程，我们得到y + (1/3)y^3 + C1 = x^2 +C2。
根据已知的初值条件，我们可以求解出常数C1和C2。
假设当x=0时，y=0，则代入方程得0 + (1/3)*0^3 + C1 = 0 + C2，因此，C1 =C2。
最后，我们得到方程的特解为y + (1/3)y^3 = x^2 + C。
6.2可分离变量的微分方程解析
dy k (a1 x b1 y ) c 对于 dx a1 x b1 y c1
令u a1 x b1 y，则方程化为
du ku c a1 b1 , dx u c1 此为变量分离方程。
a b 若 , a1 b1
ax by c 0, 则 有唯一解h, k。 a1x b1 y c1 0,
练习题答案
一、1、tan x tan y C ； 2、(e x 1)(e y 1) C ； 3、4( y 1) 3 3 x 4 C . 二、1、 2 cos y cos x ； 2、e x 1 2 2 cos y . 三、v 269.3 厘米/秒. 四、取 0 为原点,河岸朝顺水方向为x 轴 ,y 轴 指向对 k h 2 1 3 岸,则所求航线为 x ( y y ) . a 2 3
x X h 可化为齐次方程的方程 令 . y Y k
小结3
y 1.齐次方程 y f ( ) x
2.线性非齐次方程 3.伯努利方程
令 y xu;
P ( x ) dx
令 y u( x )e
;
令 y 1 n z;
思考题
方程 2 y( t )
x 0
g( y )dy f ( x )dx
数,
分离变量法
设函数G ( y ) 和 F ( x ) 是依次为g( y ) 和 f ( x ) 的原函
G( y ) F ( x ) C 为微分方程的解.
典型例题
例1 求解微分方程 解 分离变量
dy 2 xy 的通解. dx
dy 2 xdx , y
2 3
三、可化为分离变量的方程 dy ax by c 1. 形如 的微分方程 dx a1 x b1 y c1
12-2可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程
G[ ( x)] H ( x) C
则由隐函数求导法，得
G( y) y ( x) ( x) H ( x)
1
( x) h( x)
g( y) y ( x)
即 ( x) h( x) g[ ( x)]
2 当g( y0 ) 0时，y y0也是(1.1)的解.
注 若题目只需求通解，则不必讨论 g( y) 0情形.
——— 一阶线性微分方程
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.
例如 d y y x2, d x x sin t t 2,
dx
dt
求解法:
1. 常数变易法 1º齐次线性方程： d y P( x) y 0
dx 分离变量： d y P( x)d x,
y
(2.2)
dy y
P(
x)d
x,
ln | y | P(x)d x ln C,
齐次线性方程的通解为：y Ce P( x)d x .
2º非齐次线性方程： d y P( x) y Q( x). dx
将 C 变易 C( x) (待定)
作变换 y C( x)e P( x)d x
y C( x) e P( x)d x C( x) [P( x)]e P( x)d x ,
2. 常数变易公式 (2.1)的通解为：
y e P( x)d x[ Q( x)e P( x)d x d x C ] (2.3)
注 1 常数变易法的实质: 未知函数的变量代换 法，通过变量代换将 原方程化为可分离变 量的方程.
2 在常数变易公式(2.3)中，应将积分
P( x)d x, Q( x)e P( x)d x d x
x
d
各类微分方程的解法大全
各类微分方程的解法1.可分离变量的微分方程解法一般形式:g(y)dy=f(x)dx直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解2.齐次方程解法一般形式:dy/dx=φ(y/x)令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解3.一阶线性微分方程解法一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x)先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程解得u=∫Q(x) e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］即y=Ce－∫P(x)dx+e－∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解4.可降阶的高阶微分方程解法①y(n)=f(x)型的微分方程y(n)=f(x)y(n-1)= ∫f(x)dx+C1y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解②y”=f(x,y’) 型的微分方程令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1)即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2③y”=f(y,y’) 型的微分方程令y’=p则y”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C1)即dy/dx=φ(y,C1),即dy/φ(y,C1)=dx,所以∫dy/φ(y,C1)=x+C25.二阶常系数齐次线性微分方程解法一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=06.二阶常系数非齐次线性微分方程解法一般形式: y”+py’+qy=f(x)先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解求y”+py’+qy=f(x)特解的方法:①f(x)=P m(x)eλx型令y*=x k Q m(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Q m(x)的m+1个系数②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+P n(x)sinωx］型令y*=x k eλx［Q m(x)cosωx+R m(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Q m(x)和R m(x)的m+1个系数。
第二节可分离变量得微分方程
解：设oA：y f (x).
则x2 x f (x)dx 1 xf (x)
0
2
y p(x, y)
A(1,1)
求导，2x f (x) 1 f (x) 1 xf (x)
2
2
即xf (x) f (x) 4x
0x
x
df (x) 1 f (x) 4且f (1) 1 dx x
y
arcsin 1
1 x2
例3 一曲线通过点（1，2），它在两坐标轴间得任意点的切线 线段均被切点所平分，求这曲线的方程。
解：（1）建立微分方程：
设P(x, y)是所求曲线y y(x)上任一点。
则切线方程 Y y y(X x)
y
令Y 0,
得x轴上截距a x
y y
的特解
6
解：原式为cos y dy 2x dx
sin y
1 x2
cos y dy sin y
1
2x x2
dx
C1
ln sin y ln(1 x2 ) ln C
sin
y
1
C x2
即y
arcsin 1
C x2
代入y
x1
得C
6
1
dt
by
a
x2 y2 x
x2 y2
by
y
令
x y
u,得
du u2 1
a by
dy,
得arshu
a b
(ln
y
ln c)
一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程
十、 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的 方程,然后求出通解:
1、 dy 1 1； dx x y
2、 y y 2 2(sin x 1) y sin2 x 2sin x cos x 1； 3、 dy 1 y .
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1、cos
x sin
ydy
cos
y sin xdx
, y x0
； 4
2、cos
ydx
(1
e x ) sin
ydy
0, y x0
. 4
三、质量为 1 克 的质点受外力作用作直线运动,这外力 和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在t 10 秒时,速度等于50厘米 / 秒 ,外力为4克 厘米 / 秒2 , 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?
xy
x2 y2 y,
y
1
y 2
y,
x x
原方程是齐次方程.
3. dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y,
dy
cos y
dx tan y x sin 2 y,
dy
x eln cos y sin 2 y eln cos y dy C
2e
x y
)dx
2e
x y
(1
x )dy
0.
y
六、 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解:
1、( y 2 3x 2 )dy 2xydx 0, y x0 1； 2、( x 2 2xy y 2 )dx ( y 2 2xy x 2 )dy 0 ,
y 1 . x1
七、求下列微分方程的通解: 1、 y y cos x e sin x ； 2、 y ln ydx ( x ln y)dy 0； 3、( y 2 6x) dy 2 y 0. dx
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5-习题课（57）
20
６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
解法 待定系数法.
二阶常系数非齐次线性方程
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型
0 不是根 k 1 是单根 ,
2 是重根
5-习题课（57）
21
其中
R(1 m
)
(
x
),
R(2) m
(
x
)是m次多项式，
m maxl, n
k
0 1
二阶常系数齐次线性方程
二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
5-习题课（57）
18
特征方程为
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x
u xu u(cos u usin u), usin u cos u
分离变量
usin u cos u du dx ,
2ucos u
x
两边积分
ln( ucos u) ln x2 ln C ,
ucos u C , x2
y cos y C , x x x2
j不是特征方程的根时; j是特征方程的单根时.
5-习题课（57）
22
7、欧拉方程
形如
x yn (n)
p x y n1 (n1) 1
pn1 xy
pn y
f (x)
的方程(其中 p1 , p2 pn为常数)，叫欧拉方程.
欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换 x et 或 t ln x 可化为常系数微分方程.
5-习题课（57）
23
8、幂级数解法
当微分方程的解不能用初等函数或其积分 表达时, 常用幂级数解法.
5-习题课（57）
24
二、典型例题
例1
解 原方程可化为
dy dx
y x
cos y
(
y
x sin
y
y sin x cos
y
x y
),
xx
x
5-习题课（57）
25
令 u y , y ux, y u xu. 代入原方程得 x
欧拉方程
5-习题课（57）
1
微分方程解题思路
一阶方程
作 变
降
换阶
高阶方程
作变换
分离变量法
全微分方程
积分因子
常数变易法
特征方程法
非非 变全 量微 可分 分方 离程
幂级数解法 待定系数法
5-习题课（57）
2
1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
,
x2
1
y2
,
x y2
,
y x2
等.
5-习题课（57）
13
3、可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y(n) f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
(2) y f ( x, y) 型
特点 不显含未知函数 y. 解法
代入原方程, 得 P f ( x, P( x)).
5-习题课（57）
14
(3) y f ( y, y) 型
一、主要内容
一阶方程
基本概念
高阶方程
类型
1.直接积分法 2.可分离变量
二阶常系数线性 方程解的结构
3.齐次方程
特征方程法
4.可化为齐次
方程 5.全微分方程
待 定 系
6.线性方程
数
法
特征方程的根 及其对应项
f(x)的形式及其
特解形式
7.伯努利方程
可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
形如 dy f ( ax by c )
dx
a1 x b1 y c1
齐次方程． 否则为非齐次方程．
解法
化为齐次方程．
（其中h和k是待定的常数）
5-习题课（57）
6
(4) 一阶线性微分方程
当Q( x) 0, 当Q( x) 0,
上方程称为齐次的． 上方程称为非齐次的.
解法 齐次方程的通解为 （使用分离变量法）
y ex (C1 cos x C2 sin x)
5-习题课（57）
19
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
特征方程为
特征方程的根
若是k重根r
通解中的对应项
(C0 C1x Ck1xk1 )erx
若是k重共轭 复根 j
[(C0 C1x Ck1xk1)cosx (D0 D1x Dk1xk1 )sinx]ex
特点 不显含自变量 x. 解法
代入原方程, 得 P dp f ( y, P). dy
４、线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
5-习题课（57）
15
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
5-习题课（57）
16
5-习题课（57）
17
５、二阶常系数齐次线性方程解法
n阶常系数线性微分方程
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
5-习题课（57）
3
通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
5-习题课（57）
4
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程 形如 g( y)dy f ( x)dx
解法
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy f ( y) dx x
解法 作变量代换
5-习题课（57）
5
(3) 可化为齐次的方程
(6) 全微分方程 形如
其中
5-习题课（57）
9
注意： 解法 应用曲线积分与路径无关.
通解为
用直接凑全微分的方法.
5-习题课（57）
10
(7) 可化为全微分方程 形如
若 ( x, y) 0连续可微函数，且可使方程 ( x, y)P( x, y)dx ( x, y)Q( x, y)dy 0成为全
5-习题课（57）
7
非齐次微分方程的通解为
（常数变易法） (5) 伯努利(Bernoulli)方程
方程为线性微分方程.
方程为非线性微分方程.
5-习题课（57）
8
解法 需经过变量代换化为线性微分方程．
y1n z
e ( (1n)P( x)dx Q( x)(1 n)e (1n)P( x)dxdx c).
微分方程.则称 ( x, y)为方程的积分因子.
5-习题课（57）
11
公式法:
若 1 (P Q y
Q) x
f (x)
若
1 P
(Q x
P ) y
g(
y)
观察法:
熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子．
5-习题课（57）
12
常见的全微分表达式
可选用积分因子
x
1
y
,
1 x2
,
1 x2 y2