湖南省汝城一中2011年高中数学2.2.1椭圆的第二定义教案新人教A版选修2-1
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c
典型例题
例 1、椭圆 x 2 y 2 1上的点 M 到左准线的距离是 2.5 ，求 M 到左焦点 25 16
的距离为
.
变式：求 M 到右焦点的距离为
.
解：记椭圆的左右焦点分别为 F1 , F2 到左右准线的距离分别为 d1, d 2 由椭
圆
的
第
二
定
义
可
知
：
| MF | e | MF1 | e c 3 | MF1 | ed1 3 2.5 1.5 | MF1 | 1.5
批 注
1．椭圆 9x 2 y2 81的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为 6 2 ，
离心率为 2 2 ，焦点坐标为 (0, 6 2 ) ，顶点坐标为 (0, 9) ( 3,0) ，（准线
3
方程为 y
27 2 ）. 4
2．短轴长为 8，离心率为 3 的椭圆两焦点分别为 F1 、 F2 ，过点 F1 作直 5
| MF | ( x c) 2 y2
解：
x2 y2 a2 b2 1
代 入 消 去 y2
得
| MF |
x2
2cx c 2 b 2
b2 a2
x2
( c x a)2 a
c
c
a2
a2
| x a| |x
| e| x
|
a
a
c
c
问题 1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）
椭圆上的点 M到右焦点 F (c,0) 的距离与它到定直线 x
a2 ． c
用心 爱心 专心
-2-
可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的 比，这就是离心率的几何意义．
由 椭 圆 的 第 二 定 义 | MF | e 可 得 ： 右 焦 半 径 公 式 为 d
a2
| MF 右 | ed e | x
| a ex
；
左
焦
半
径
公
式
为
c
a2 | MF 左 | ed e | x ( ) | a ex
线 l 交椭圆于 A、B 两点，则 ABF 2的周长为 20 .
引入课题
【例】椭圆的方程为 x2 y 2 1，M1，M2 为椭圆上的点 25 16
① 求点 M1（ 4， 2.4 ）到焦点 F（3，0）的距离 2.6 . ② 若点 M2 为（ 4，y0）不求出点 M2 的纵坐标， 你能求出这点到焦点 F（ 3，
巩固练习
1．已知 是椭圆
上一点，若 到椭圆右准线的距离是
，
则 到左焦点的距离为 _____________．
2．若椭圆 ______________．
的离心率为
，则它的长半轴长是
答案： 1．
2 ．1 或 2
教学反思 1．椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 2．椭圆定义的简单运用； 3．离心率的求法以及焦半径公式的应用； 课后作业
1
x2
故所求的轨迹方程为
y2
1
a2
16 12
小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常 数时”最好的方法是采用求轨迹方程的思路 , 但是这种方法计算量比较 大； 解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据 可以符合课本例 4 的关系的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准 方程，则只能用解法一的思维来解。
0）的距离吗？
解 ： | MF |
(4 3) 2
y
2 0
且 42
2
y0
1 Fra Baidu bibliotek 入 消 去 y02 得
25 16
用心 爱心 专心
-1-
169 13 | MF |
25 5
2
【推广】 你能否将椭圆
x a2
y2 b2
1上任一点 M (x, y) 到焦点 F (c,0)( c 0)
的距离表示成点 M横坐标 x 的函数吗？
a2 的距离的比等
c
于离心率 c a
问题 2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？（逆命题中不能 出现焦点与离心率）
动点 M 到定点 F (c,0) 的距离与它到定直线
x
a2 的距离的比等于常数
c
c (a c) 的点的轨迹是椭圆．
a
【引出课题】椭圆的第二定义
当点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数
1. 已知 ， 为椭圆
上的两点， 是椭圆的右焦点． 若
方程．
， 的中点到椭圆左准线的距离是 ，试确定椭圆的
． 思考： 1．方程 2 (x 1) 2 ( y 1) 2 | x y 2 |表示什么曲线？
用心 爱心 专心
-4-
( x 1) 2 ( y 1) 2 解：
|x y 2|
2 2 1；即方程表示到定点的距离与到定 22
2
直线的距离的比常数（且该常数小于 1） 方程表示椭圆。
教学后记：
用心 爱心 专心
-5-
椭圆的第二定义
课题： 椭圆的第二定义
第 课时
总序第
课型： 新授课
编写时时间： 年 月 日
年月日
教学目标：
知识目标：椭圆第二定义、准线方程；
能力目标： 1 使学生了解椭圆第二定义给出的背景；
2
了解离心率的几何意义；
3
使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义；
4
使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用；
d
d1
a5
5
又由椭的第一定义可知： | MF1 | | MF 2 | 2a 10 | MF 2 | 8.5
另解：点 M 到左准线的距离是 2.5 ，所以点 M 到右准线的距离为
a2
50 5 85
2 2.5
c
32 6
| MF 2 | e | MF 2 | ed2 3 85 8.5
d2
56
小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用 例 2 点 P 与定点 A（2，0）的距离和它到定直线 x 8 的距离的比是 1：
e
c (0
e 1) 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线
a
叫做椭圆的准线，常数 e是椭圆的离心率．
对于椭圆
x2 a2
y2 b2
1，相应于焦点 F (c,0) 的准线方程是 x
a2 ．根据对
c
称性，相应于焦点 F ( c,0) 的准线方程是 x
a2 c
．对于椭圆
y2 a2
x2 b2
1
的准线方程是 y
5
使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；
情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用
运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值 .
教学重点： ：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；
教学难点：椭圆的第二定义的运用；
教学用具：与教材内容相关的资料。
教学方法： 探究推广
教学过程：
复习回顾
个教案 执行时间：
2，求点 P 的轨迹；
(x 2)2 y 2 解法一： 设 P(x, y) 为所求轨迹上的任一点， 则
1 由化简
|x 8|
2
得 x 2 y 2 1，故所的轨迹是椭圆。 16 12
解法二：因为定点 A（2，0）所以 c 2 ，定直线 x 8 所以 x a 2 8 解 c
用心 爱心 专心
-3-
得 a 4 ，又因为 e c
典型例题
例 1、椭圆 x 2 y 2 1上的点 M 到左准线的距离是 2.5 ，求 M 到左焦点 25 16
的距离为
.
变式：求 M 到右焦点的距离为
.
解：记椭圆的左右焦点分别为 F1 , F2 到左右准线的距离分别为 d1, d 2 由椭
圆
的
第
二
定
义
可
知
：
| MF | e | MF1 | e c 3 | MF1 | ed1 3 2.5 1.5 | MF1 | 1.5
批 注
1．椭圆 9x 2 y2 81的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为 6 2 ，
离心率为 2 2 ，焦点坐标为 (0, 6 2 ) ，顶点坐标为 (0, 9) ( 3,0) ，（准线
3
方程为 y
27 2 ）. 4
2．短轴长为 8，离心率为 3 的椭圆两焦点分别为 F1 、 F2 ，过点 F1 作直 5
| MF | ( x c) 2 y2
解：
x2 y2 a2 b2 1
代 入 消 去 y2
得
| MF |
x2
2cx c 2 b 2
b2 a2
x2
( c x a)2 a
c
c
a2
a2
| x a| |x
| e| x
|
a
a
c
c
问题 1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）
椭圆上的点 M到右焦点 F (c,0) 的距离与它到定直线 x
a2 ． c
用心 爱心 专心
-2-
可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的 比，这就是离心率的几何意义．
由 椭 圆 的 第 二 定 义 | MF | e 可 得 ： 右 焦 半 径 公 式 为 d
a2
| MF 右 | ed e | x
| a ex
；
左
焦
半
径
公
式
为
c
a2 | MF 左 | ed e | x ( ) | a ex
线 l 交椭圆于 A、B 两点，则 ABF 2的周长为 20 .
引入课题
【例】椭圆的方程为 x2 y 2 1，M1，M2 为椭圆上的点 25 16
① 求点 M1（ 4， 2.4 ）到焦点 F（3，0）的距离 2.6 . ② 若点 M2 为（ 4，y0）不求出点 M2 的纵坐标， 你能求出这点到焦点 F（ 3，
巩固练习
1．已知 是椭圆
上一点，若 到椭圆右准线的距离是
，
则 到左焦点的距离为 _____________．
2．若椭圆 ______________．
的离心率为
，则它的长半轴长是
答案： 1．
2 ．1 或 2
教学反思 1．椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 2．椭圆定义的简单运用； 3．离心率的求法以及焦半径公式的应用； 课后作业
1
x2
故所求的轨迹方程为
y2
1
a2
16 12
小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常 数时”最好的方法是采用求轨迹方程的思路 , 但是这种方法计算量比较 大； 解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据 可以符合课本例 4 的关系的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准 方程，则只能用解法一的思维来解。
0）的距离吗？
解 ： | MF |
(4 3) 2
y
2 0
且 42
2
y0
1 Fra Baidu bibliotek 入 消 去 y02 得
25 16
用心 爱心 专心
-1-
169 13 | MF |
25 5
2
【推广】 你能否将椭圆
x a2
y2 b2
1上任一点 M (x, y) 到焦点 F (c,0)( c 0)
的距离表示成点 M横坐标 x 的函数吗？
a2 的距离的比等
c
于离心率 c a
问题 2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？（逆命题中不能 出现焦点与离心率）
动点 M 到定点 F (c,0) 的距离与它到定直线
x
a2 的距离的比等于常数
c
c (a c) 的点的轨迹是椭圆．
a
【引出课题】椭圆的第二定义
当点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数
1. 已知 ， 为椭圆
上的两点， 是椭圆的右焦点． 若
方程．
， 的中点到椭圆左准线的距离是 ，试确定椭圆的
． 思考： 1．方程 2 (x 1) 2 ( y 1) 2 | x y 2 |表示什么曲线？
用心 爱心 专心
-4-
( x 1) 2 ( y 1) 2 解：
|x y 2|
2 2 1；即方程表示到定点的距离与到定 22
2
直线的距离的比常数（且该常数小于 1） 方程表示椭圆。
教学后记：
用心 爱心 专心
-5-
椭圆的第二定义
课题： 椭圆的第二定义
第 课时
总序第
课型： 新授课
编写时时间： 年 月 日
年月日
教学目标：
知识目标：椭圆第二定义、准线方程；
能力目标： 1 使学生了解椭圆第二定义给出的背景；
2
了解离心率的几何意义；
3
使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义；
4
使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用；
d
d1
a5
5
又由椭的第一定义可知： | MF1 | | MF 2 | 2a 10 | MF 2 | 8.5
另解：点 M 到左准线的距离是 2.5 ，所以点 M 到右准线的距离为
a2
50 5 85
2 2.5
c
32 6
| MF 2 | e | MF 2 | ed2 3 85 8.5
d2
56
小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用 例 2 点 P 与定点 A（2，0）的距离和它到定直线 x 8 的距离的比是 1：
e
c (0
e 1) 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线
a
叫做椭圆的准线，常数 e是椭圆的离心率．
对于椭圆
x2 a2
y2 b2
1，相应于焦点 F (c,0) 的准线方程是 x
a2 ．根据对
c
称性，相应于焦点 F ( c,0) 的准线方程是 x
a2 c
．对于椭圆
y2 a2
x2 b2
1
的准线方程是 y
5
使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；
情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用
运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值 .
教学重点： ：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；
教学难点：椭圆的第二定义的运用；
教学用具：与教材内容相关的资料。
教学方法： 探究推广
教学过程：
复习回顾
个教案 执行时间：
2，求点 P 的轨迹；
(x 2)2 y 2 解法一： 设 P(x, y) 为所求轨迹上的任一点， 则
1 由化简
|x 8|
2
得 x 2 y 2 1，故所的轨迹是椭圆。 16 12
解法二：因为定点 A（2，0）所以 c 2 ，定直线 x 8 所以 x a 2 8 解 c
用心 爱心 专心
-3-
得 a 4 ，又因为 e c