弹性力学平面问题
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6-3弹性力学平面问题(极坐标)
可通过微分关系直接由直角坐标系下的几何方程得到。 同前分析，当 0 时，
所以
即
四. 极坐标系下的物理方程
因、方向正交，则物理方程与直角坐标系下具有相同形式。 即 当为平面应变问题时，E1E、1 。
五. 极坐标系下的相容方程
极坐标系下如果用应力函数表示相容方程，体力必须为零 或关于 ( ， ) 有势。
x y
2
f x f y (1 ) x y 0
f f 1 f 1
2
五. 极坐标系下的应力边界条件
设边界S的外法线方向与 、 方向的方向余弦分别为 l1、 l2 ，其上作用的面力沿、方向的分量分别为f、f 。则其 应力边界条件与直角坐标系下具有相同形式。 即
2
2 1 1 2 2 2 2
二. 极坐标系下的平衡微分方程
1. 直角坐标与极坐标系下的应力分量关系
（1）极坐标系下的应力分量和体力分量
O
如图，根据应力状态的定义， 过P 点分别以 方向和 方向为法线的截面 上的应力 、、 ， 作为在极坐 标系下的应力分量。 称为径向应力， y 称为环向向应力。 （2）应力分量的坐标转换
d 1 d 2 0 d d
2 2
f 0
1 u
（不计体力）
f f 1
2
应力分量 边界条件
应力分量 （不计体力）
( ) s l1 ( ) s l2 f ( ) s l1 ( ) s l2 f
应力边界条件
位移边界条件
所以
即
四. 极坐标系下的物理方程
因、方向正交，则物理方程与直角坐标系下具有相同形式。 即 当为平面应变问题时，E1E、1 。
五. 极坐标系下的相容方程
极坐标系下如果用应力函数表示相容方程，体力必须为零 或关于 ( ， ) 有势。
x y
2
f x f y (1 ) x y 0
f f 1 f 1
2
五. 极坐标系下的应力边界条件
设边界S的外法线方向与 、 方向的方向余弦分别为 l1、 l2 ，其上作用的面力沿、方向的分量分别为f、f 。则其 应力边界条件与直角坐标系下具有相同形式。 即
2
2 1 1 2 2 2 2
二. 极坐标系下的平衡微分方程
1. 直角坐标与极坐标系下的应力分量关系
（1）极坐标系下的应力分量和体力分量
O
如图，根据应力状态的定义， 过P 点分别以 方向和 方向为法线的截面 上的应力 、、 ， 作为在极坐 标系下的应力分量。 称为径向应力， y 称为环向向应力。 （2）应力分量的坐标转换
d 1 d 2 0 d d
2 2
f 0
1 u
（不计体力）
f f 1
2
应力分量 边界条件
应力分量 （不计体力）
( ) s l1 ( ) s l2 f ( ) s l1 ( ) s l2 f
应力边界条件
位移边界条件
6-1弹性力学平面问题(基本理论)
l2 cos( N , y) cos
v 0 x x l
x ( sin ) xy cos 0 y cos yx ( sin ) 0
例6-3
图示薄板，在y方向受均匀拉力作用， 证明在板中间突出部分（1 2 ）的尖 点A处无应力存在。
（a） （b）
（2） x C ( x 2 y 2 )， y Cy 2， xy 2Cxy；
解:（1） 将式（a）代入平衡方程：
x xy Fbx 0 x y yx y Fby 0 x y
3xy 2 3xy 2 0
y y 0
y
xy
x y y 0 p( x) p0 l (2) BC段（x l）： l1 1, l2 0
u |x l 0, v |x l 0
u y 0,
x l
y 0
0
(3) AC段（y x tan）:
l1 cos( N , x) cos(90 ) sin
( x ) s l1 ( yx ) s l2 px ( xy ) s l1 ( y ) s l2 p y
px p y 0
x x h 0
xy x h
0
右侧面： x h l1 1, l2 0 px y, p y 0 代入应力边界条件公式，有
l O x a b
z p
y
l a ， l b ——近似认为无限长
2. 受力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方 向不变化。
如水坝、滚柱、厚壁圆筒等。
水坝 3. 简化分析
（1）位移分量
v 0 x x l
x ( sin ) xy cos 0 y cos yx ( sin ) 0
例6-3
图示薄板，在y方向受均匀拉力作用， 证明在板中间突出部分（1 2 ）的尖 点A处无应力存在。
（a） （b）
（2） x C ( x 2 y 2 )， y Cy 2， xy 2Cxy；
解:（1） 将式（a）代入平衡方程：
x xy Fbx 0 x y yx y Fby 0 x y
3xy 2 3xy 2 0
y y 0
y
xy
x y y 0 p( x) p0 l (2) BC段（x l）： l1 1, l2 0
u |x l 0, v |x l 0
u y 0,
x l
y 0
0
(3) AC段（y x tan）:
l1 cos( N , x) cos(90 ) sin
( x ) s l1 ( yx ) s l2 px ( xy ) s l1 ( y ) s l2 p y
px p y 0
x x h 0
xy x h
0
右侧面： x h l1 1, l2 0 px y, p y 0 代入应力边界条件公式，有
l O x a b
z p
y
l a ， l b ——近似认为无限长
2. 受力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方 向不变化。
如水坝、滚柱、厚壁圆筒等。
水坝 3. 简化分析
（1）位移分量
03第三章 弹性力学中的平面问题
yx
yx y
dy
xy x dx
x
xy
Q
xy
c
dx
dy
x
x dx x
yx
y
x
o
力平衡
y y
?
1、力矩平衡：Mc=0
( xy dx dx dx) dy L xy dy L x 2 2 xy
z ( x y )
xy 2(1 ) xy
E
三、平面问题的方程组 平衡方程:
x yx f 0 x x y xy y f 0 y x y
?
几何方程:
u x v y y u v xy y x
P
p
S
x 若微平面的法线平行于某坐标轴，例如 Z轴，正应力表示为Z则可将剪应力 沿另两坐标轴分解， 得：zx、zy
o
y
应力正负规定
?
如果截面上的法线方向是沿坐标轴的正方向，则该截面 称为一个正面，截面上的应力以沿坐标轴正方向为正。
y
如果截面上的法线方向是沿坐 标轴的负方向，则该截面称为 一个负面，截面上的应力以沿 坐标轴负方向为正。
yx
y
x
xy
o
x
?
以均匀的单向拉伸为例。设P为轴向拉力，F0为横截面积，则法向 与拉伸轴成角的平面上的全应力大小为：
S
P
F0 cos
P cos 0 cos F0
该面的正应力 和平行于该面的剪应力 分别为
S cos 0 cos 2 S sin 0 sin cos
弹性力学-第二章 平面问题基本理论 (徐芝纶第五版)
基本方程是二维的。
平面应力问题
平面应变问题
3
1.平面应力问题
支承板
z x
y
(2) 受力特性
外力(体力、面力)和约束，仅平行于 板面作用，沿z方向不变化。
(1) 几何特性
一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。
——平板
4
1.平面应力问题
(3) 应力特征
由于板面上不受力，有
sx =sx(x,y)
sy =sy(x,y)
53
54
55
56
习题
57
第二章 教学参考资料 （一）本章学习要求及重点
本章系统地介绍了平面问题的基本理论： 基本方程和边界条件，及两种基本解法。这 些内容在弹性力学中具有典型性和代表性。 因此，学好平面问题的基本理论，就可以方 便地学习其他各章。为此，我们要求学生深 入地理解本章的内容，掌握好以下几点：
)
f
y
0.
68
（2）用位移表示的应力边界条件
E
1
2
[l
(
u x
v
y
)m12
(
u y
v x
)]s
fx,
E
1
2
[m(
v y
u
x
)l12
(
u y
v x
)]s
fy.
（在s 上ss）
69
（3）位移边界条件
(u)s u , (v)s v.
(在Su上)
70
4、按应力求解平面问题（平面应力问题），
应力分量 σ x , σ y ,t x必y 须满足下列全部条件：
sx =sx(x,y) sy =sy(x,y) txy =txy(x,y) sz =sz (x,y) txz =tyz =0
平面应力问题
平面应变问题
3
1.平面应力问题
支承板
z x
y
(2) 受力特性
外力(体力、面力)和约束，仅平行于 板面作用，沿z方向不变化。
(1) 几何特性
一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。
——平板
4
1.平面应力问题
(3) 应力特征
由于板面上不受力，有
sx =sx(x,y)
sy =sy(x,y)
53
54
55
56
习题
57
第二章 教学参考资料 （一）本章学习要求及重点
本章系统地介绍了平面问题的基本理论： 基本方程和边界条件，及两种基本解法。这 些内容在弹性力学中具有典型性和代表性。 因此，学好平面问题的基本理论，就可以方 便地学习其他各章。为此，我们要求学生深 入地理解本章的内容，掌握好以下几点：
)
f
y
0.
68
（2）用位移表示的应力边界条件
E
1
2
[l
(
u x
v
y
)m12
(
u y
v x
)]s
fx,
E
1
2
[m(
v y
u
x
)l12
(
u y
v x
)]s
fy.
（在s 上ss）
69
（3）位移边界条件
(u)s u , (v)s v.
(在Su上)
70
4、按应力求解平面问题（平面应力问题），
应力分量 σ x , σ y ,t x必y 须满足下列全部条件：
sx =sx(x,y) sy =sy(x,y) txy =txy(x,y) sz =sz (x,y) txz =tyz =0
第七章_弹性力学平面问题的极坐标系解答讲解
在r = b边界（外径）：
r= -qb，r=0
本问题仍为轴对称问题，且体力为零，
可采用前述的应力函数求解方程，也可按位移法求解。
１．按应力函数法求解
按应力函数求解前面已导出应力分量和位移表达式：
， ，
平面应力问题的位移：
法求解：
由基本方程 得
代入应力与位移之间关系式，对于平面应力问题，有
其中Brsin=By可略去。
将( r,)代入应力分量表达式
A、C、D由力的边界条件来定。
力的边界条件：在主要边界上，
在r = a：r= 0,r= 0, 2Aa+C/a-2D/a3= 0
在r = b:r= 0,r= 0, 2Ab+C/b-2D/b3= 0
在次要边界上，
在=0，环向方向的面力为零， 满足。
在= 0: 由于主要边界满足，则此式自然满足；
在= 0:
(3)
主要边界满足时，由（1）、（2）、(3)求出A、B、C，应力求出后，依次可求出应变和位移表达式，详细推导在徐芝纶（上册）P.91-92。
在徐芝纶(4-13)中I、K、H为刚体位移，I = u0、K = v0, H =。
可利用约束确定，如令r0=(a+b)/2，= 0处
应力分量表达代入几何方程的第一式并积分，得
——(b)
考虑位移单值性比较（a）和（b）式：
4Br-F=0B=F=0
轴对称问题的应力和位移解为：
， ，
，
A、C由两个力的边界条件确定。
对于无体力圆盘（或圆柱）的轴对称问题，
则根据圆盘（或圆柱）中心应力和
位移有限值,得
A=0
图示圆盘受力情况，得应力为r==2C= -q
然后，利用r = a时， ，得
r= -qb，r=0
本问题仍为轴对称问题，且体力为零，
可采用前述的应力函数求解方程，也可按位移法求解。
１．按应力函数法求解
按应力函数求解前面已导出应力分量和位移表达式：
， ，
平面应力问题的位移：
法求解：
由基本方程 得
代入应力与位移之间关系式，对于平面应力问题，有
其中Brsin=By可略去。
将( r,)代入应力分量表达式
A、C、D由力的边界条件来定。
力的边界条件：在主要边界上，
在r = a：r= 0,r= 0, 2Aa+C/a-2D/a3= 0
在r = b:r= 0,r= 0, 2Ab+C/b-2D/b3= 0
在次要边界上，
在=0，环向方向的面力为零， 满足。
在= 0: 由于主要边界满足，则此式自然满足；
在= 0:
(3)
主要边界满足时，由（1）、（2）、(3)求出A、B、C，应力求出后，依次可求出应变和位移表达式，详细推导在徐芝纶（上册）P.91-92。
在徐芝纶(4-13)中I、K、H为刚体位移，I = u0、K = v0, H =。
可利用约束确定，如令r0=(a+b)/2，= 0处
应力分量表达代入几何方程的第一式并积分，得
——(b)
考虑位移单值性比较（a）和（b）式：
4Br-F=0B=F=0
轴对称问题的应力和位移解为：
， ，
，
A、C由两个力的边界条件确定。
对于无体力圆盘（或圆柱）的轴对称问题，
则根据圆盘（或圆柱）中心应力和
位移有限值,得
A=0
图示圆盘受力情况，得应力为r==2C= -q
然后，利用r = a时， ，得
5第三章弹性力学平面问题的解析解法讲解
2 X Y 2 x y y 2 x 2 ( x y ) (1 )
（平面应力情形）
（3）边界条件：
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
x 2 y
2
y 2 x
2
xy
2 xy
(2-28)
（无体力情形）
（3） 再让 x , y , xy满足应力边界条件和位移单值条件 （多连体问题）。
第三章 弹性力学平面问题的 解析解法
第四节 第五节 逆解法与半逆解法—多项式解答 矩形梁的纯弯曲
（2）边界条件： 位移边界条件： 应力边界条件：
（1 ）
u s u , vs v
（2）
E u v 1 u v l m X 2 y s 2 y x s 1 x （3 ） v u 1 v u E m l Y 2 1 y x s 2 x y s
4.
按应力求解平面问题的基本方程 说明：
（1）对位移边界问题，不易按应力 求解。
（1）平衡方程
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
（2）相容方程（形变协调方程）
（2）对应力边界问题，且为单连通 问题，满足上述方程的解是唯 一正确解。
（3）对多连通问题，满足上述方程 外，还需满足位移单值条件， 才是唯一正确解。
按应力求解平面问题（X = 常量、Y = 常量）的归结为： （1） 先由方程（2-27）求出应力函数： ( x ,7) 0 4 2 2 4 x x y y x , y , xy （2） 然后将 ( x , y ) 代入式（2-26）求出应力分量：
有限元2-弹性力学平面问题(24矩形单元,25六节点三角形单元)
u 1 1 2 3 4 u 2 1 2 3 4
u 3 1 2 3 4
u 4 1 2 3 4
有限单元法
土木工程学院
P-9/44
解方程组便可求得待定常数。将这些参数代回式 （2-4-4），经整理得：
(1,1)
有限单元法
土木工程学院
P-6/44
二、结点位移列阵和结点力列阵
每个结点2个位移分量，共８个位移分量， 设结点位移和结点力列阵分别为：
d u v u v u v u v
e
2 4 2 e T F X Y X Y X Y X Y 1 1 2 2 3 3 4 4 2 4 3
有限单元法
土木工程学院
P-18/44
第2章 弹性力学平面问题有限单元法
2.1 三角形单元 2.2 三角形单元中几个问题的讨论 2.3 平面问题有限元程序设计 2.4 矩形单元 2.5 六结点三角形单元 2.6 四结点四边形单元 2.7 八结点曲线四边形等参元 2.8 几个问题的补充
有限单元法
土木工程学院
3
1
2
(1 ,1 )
(1,1)
有限单元法
土木工程学院
P-11/44
如果引进参数: ξ0=ξiξ, η0=ηiη(i=1, 2, 3, 4), (ξi, ηi)是矩形单元4个结点的局部坐标。结点i(ξi, ηi)的 坐标值分别是 (-1,-1), (1,-1),(1,1), (-1,-1)。代入 上式，则可将上式简记成：
Ai Li A
Lj Aj A
Am Lm A
i
m
Aj
弹性力学平面问题总结
P
思考题
① 试证明微分体绕 z 轴的平均转动分量是
1 2 v x u . y
② 当应变为常量时，x=a, y=b, xy=c, 试 求对应的位移分量。
第二章 平面问题的基本理论
2-1 平面应力问题与平面应变问题 2-2 平衡微分方程 2-4 几何方程 刚体位移 2-5 物理方程
物理方程
物理方程描述应力分量和应变分量之间
z
x
y
z
x
y
xy
zx
zy
1 G 1 G 1 G
xy ,
xy
) E
0,
xy ,
zx ,
zx
zy .
zy
0.
物理方程
平面应力问题的物理方程：
x
y
1 E 1 E 2(1
x
y
, ,
y
x
) E
xy
xy .
此外， z
E
x
y
,
zx
zy
0.
平面应力问题，虽然 σz=0，但一般 εz≠0。
物理方程
平面应变问题： z
0,
(在V 中)
xy 存在。
故只有平面应力 σx , σy ,
平面应力问题
(2) 由于板为等厚度，外力、约束沿 z 向不变， 故应力 x , y , xy 仅为 f x , y 。
所以归纳为平面应力问题：
a.应力中只有平面应力 x , y , xy 存在；
b.且仅为 f x , y 。
几何方程
平面问题中的几何方程：
x
u , x
y
v , y
xy
v x
u . y
当弹性体的位移分量完全确定时，应变分 量即完全确定。反之，当应变分量完全确定时， 位移分量却不能完全确定。
《弹性力学》第二章_平面问题的基本理论
o
xy
x
y
P
yx
y
A
XN
x
设AB面在xy平面内的长度为dS， 厚度为一个单位长度，N为该面的外 法线方向，其方向余弦为：
B
N
N
N
cos(N , x) l , cos(N , y) m
9
YN S
图2 － 4
斜面AB上全应力沿x轴及y轴的投影分别为XN和YN。由PAB 的平衡条件 Fx 0 可得： X N dS xldS yxmdS
2.主应力的方向
1 与 2 互相垂直。
11
§2-4
几何方程、刚体位移
在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。 通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图2-5所示。弹性 体受力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。 一、P点的正应变
u (u dx) u u x x dx x
二、P点的剪应变
线段PA的转角：
同理可得线段PB的转角：
u y
所以
xy
v u x y
13
因此得到平面问题的几何方程：
u x x v y y v u xy x y
由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变 分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分 量却不能完全确定。
z
E
( x y )
16
二、平面应变问题的物理方程 1 2 x ( x y ) E 1 1 2 y ( y x ) E 1 2(1 ) xy xy E 三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间的 变换关系 1 ( ) y 将平面应力中的关系式： x E x
弹性力学第二章平面问题的基本理论
常体力情况下的简化（2）
— 求解平衡方程
平衡方程 所求的应力函数必须满足以下方程： 应力调和方程
其中
式的解为
式的通解加上
式的特解：
常体力情况下的简化（3）
— 平衡方程的特解
特解一： 特解二： 特解三：
常体力情况下的简化（4）
— 平衡方程的通解
剪应力相等：
艾里George Airy (1801-1892)应力 函数
平面应力问题
平面应力问题：设有很薄的等厚度板，只在板边上受有 平行于板面且不沿厚度变化的面力或约束，同时体力也 平行于板面且不沿厚度变化。
z
x
h
y
平面应变问题
平面应变问题：设有很长的柱形体，它的横截面不沿长 度变化，在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化 的面力或约束，同时体力也平行于横截面且不沿长度变 化。
则有：
最后得到：
因此，由
中第一式：
由
中第二式：
常体力情况下的简化（5）
— 平衡方程的解
通解
特解
常体力情况下的简化（6）
— 艾里应力函数表示的相容方程
代入 应力调和方程
得到：
简写为：
y x
z
物理方程
这里，E为弹性模量，G为剪切模量，µ 泊松系数，且有 如下关系：
平面应力问题的物理方程
注：平面应力状态中，垂直于平面方向上的正应变 不为零。
平面应变问题的物理方程
注：平面应变状态中，垂直于平面方向上的正应力 不为零。
平 衡 微 分 方 程 (1)
o x
c
y
平 衡 微 分 方 程 (2)
F F F/A F F/A
F
F/2 F/2
第五章弹性力学平面问题的有限单元法解析
严格地说，实际的弹性结构都是空间结构，并处于空间受力状 态，属于空间问题，然而，对于某些特定问题，根据其结构和外力 特点可以简化为平面问题来处理。这种近似，可大大减少计算工作 工作量，为有限元分析提供方便。弹性力学平面问题可分为两类：
(1) 平面应变问题： 如图柱形管道和长柱形坝体，具有如下特点：a纵向尺寸远大 于横向尺寸，且各横截面尺寸都相同；b 载荷和约束沿纵向不变， 因此可以认为，沿纵向的位移分量 等于零。
一悬臂梁的力学模型简化和单元划分如图： 在确立了力学模型的基础上，再把原来连续的弹性体离散化， 分为有限个单元，这些单元可以是三结点三角形、四结点任意四边 形、八结点曲边四边形等等。单元之间只在结点处相联结。平面问 题的结点为铰结点。完成单元划分以后，需要对所有单元按次序编 号，就得到了有限元的计算模型。
A
S
U
(
A
*
xx
*
yy
xy
* xy
)
t
dx
dy
上面三个积分的意义为：
W 中的第一个积分表示全部体积力作的虚功；第二个积分表示
自由边界S 上的表面力作的虚功。U 中的积分为
dU
(
x
* x
y
* y
xy
* xy
)
t
dx
dy
它表示单面体四个侧面上的应力在虚应变上作的虚功。
1 力学模型的简化 用有限元法研究实际工程结构的强度与刚度问题，首先要从工 程实际问题中抽象出力学模型，即要对实际问题的边界条件，约束 条件和外载荷进行简化，这种简化应尽可能反映实际情况，使简化 后的弹性力学问题的解答与实际相近，但也不要带来运算上的过分 复杂。 在力学模型简化过程中，必须明确以下几点 ①判断实际结构的问题类型，是 二维问题还是三维 问题；对于 平面问题，是平面应变 问题还是平面应力 问题。 ②结构是否对称 。如果是对称的，要充分利用对称条件，以简 化计算。 ③简化的力学模型必是静定 的或超静定的。
(1) 平面应变问题： 如图柱形管道和长柱形坝体，具有如下特点：a纵向尺寸远大 于横向尺寸，且各横截面尺寸都相同；b 载荷和约束沿纵向不变， 因此可以认为，沿纵向的位移分量 等于零。
一悬臂梁的力学模型简化和单元划分如图： 在确立了力学模型的基础上，再把原来连续的弹性体离散化， 分为有限个单元，这些单元可以是三结点三角形、四结点任意四边 形、八结点曲边四边形等等。单元之间只在结点处相联结。平面问 题的结点为铰结点。完成单元划分以后，需要对所有单元按次序编 号，就得到了有限元的计算模型。
A
S
U
(
A
*
xx
*
yy
xy
* xy
)
t
dx
dy
上面三个积分的意义为：
W 中的第一个积分表示全部体积力作的虚功；第二个积分表示
自由边界S 上的表面力作的虚功。U 中的积分为
dU
(
x
* x
y
* y
xy
* xy
)
t
dx
dy
它表示单面体四个侧面上的应力在虚应变上作的虚功。
1 力学模型的简化 用有限元法研究实际工程结构的强度与刚度问题，首先要从工 程实际问题中抽象出力学模型，即要对实际问题的边界条件，约束 条件和外载荷进行简化，这种简化应尽可能反映实际情况，使简化 后的弹性力学问题的解答与实际相近，但也不要带来运算上的过分 复杂。 在力学模型简化过程中，必须明确以下几点 ①判断实际结构的问题类型，是 二维问题还是三维 问题；对于 平面问题，是平面应变 问题还是平面应力 问题。 ②结构是否对称 。如果是对称的，要充分利用对称条件，以简 化计算。 ③简化的力学模型必是静定 的或超静定的。
弹性力学第六章__平面问题直角坐标解答
界条件即可。平面问题的静力边界条件为：
(6-13) 显然，式（6-6）、式（6-12）、式（6-13）都不含弹性常数。 因此，对于单连域物体，当边界上没有给定的位移约束 条件，且体力为常量或可忽略时，其应力状态与材料的性质 无关。这就是平面光弹性实验应力分析的理论依据。
§6-2 平面问题的应力解法 · 应力函数 （续4）
u,v
应
变
x , y , xy yz z x 0
x , y , xy
应
力
x , y , xy
yz zx 0
z 0
x , y , xy
w0 yz z x 0 z 0 yz z x 0
x、 y、 xy ，故两类问题
(4) 两类问题中的物理方程形式相同。关于平面应变问 的 E、 换成 E1、1 即可。
题的物理方程，只须将平面应力问题的物理方程中
两类平面问题及其特征
平面应力问题 名 位 称 移 平面应变问题
未知量
已知量
未知量
已知量
u, ,v u v
w0
z ( x y ) z E ( x y ) E
应力函数求解问题基本思路、基本方程和基本解
题技巧。 三：按应力求解平面问题的应用举例。
主要内容
§6-1 平面应变问题 · 平面应力问题
§6-2
§6-3 §6-4 §6-5 §6-6
平面问题的应力解法· 应力函数
用多项式解平面问题 悬臂梁一端受集中力作用 简支梁受均匀分布荷载作用 应力函数确定的“材料力学方法”
变形协调方程 为：
( x y ) 0
2
(6-12)
(6-13) 显然，式（6-6）、式（6-12）、式（6-13）都不含弹性常数。 因此，对于单连域物体，当边界上没有给定的位移约束 条件，且体力为常量或可忽略时，其应力状态与材料的性质 无关。这就是平面光弹性实验应力分析的理论依据。
§6-2 平面问题的应力解法 · 应力函数 （续4）
u,v
应
变
x , y , xy yz z x 0
x , y , xy
应
力
x , y , xy
yz zx 0
z 0
x , y , xy
w0 yz z x 0 z 0 yz z x 0
x、 y、 xy ，故两类问题
(4) 两类问题中的物理方程形式相同。关于平面应变问 的 E、 换成 E1、1 即可。
题的物理方程，只须将平面应力问题的物理方程中
两类平面问题及其特征
平面应力问题 名 位 称 移 平面应变问题
未知量
已知量
未知量
已知量
u, ,v u v
w0
z ( x y ) z E ( x y ) E
应力函数求解问题基本思路、基本方程和基本解
题技巧。 三：按应力求解平面问题的应用举例。
主要内容
§6-1 平面应变问题 · 平面应力问题
§6-2
§6-3 §6-4 §6-5 §6-6
平面问题的应力解法· 应力函数
用多项式解平面问题 悬臂梁一端受集中力作用 简支梁受均匀分布荷载作用 应力函数确定的“材料力学方法”
变形协调方程 为：
( x y ) 0
2
(6-12)
弹性力学平面问题的直坐标系解答
物理方程描述了应力与应变之 间的关系，它是通过材料的弹 性常数建立的。在直坐标系中 ，物理方程可以表示为
03
直坐标系中的弹性力学平面问题
直坐标系中的平衡方程
80%
平衡方程概述
在直坐标系中，弹性力学平面问 题的平衡方程描述了物体在受力 作用下的静力平衡状态。
100%
平衡方程的推导
通过分析物体的受力情况，结合 牛顿第二定律，可以推导出平衡 方程的具体形式。
弹性力学的基本概念
应力和应变
在弹性力学中，物体在外力作用下会发生形变，这 种形变程度可以用应力和应变来描述。
胡克定律
胡克定律指出，在弹性范围内，物体的应力和应变 之间存在线性关系，即应力与应变成正比。
边界条件和初始条件
在弹性力学问题中，物体边界上的条件和问题开始 前的初始状态对于确定物体的应力和应变是必要的 。
总结词
考虑弹性体在平面内受拉伸的情况， 分析其应力分布和变形。
详细描述
在直坐标系中，设弹性体受到沿x轴方 向的拉伸力作用，根据弹性力学基本 方程，可以求出弹性体内各点的应力 和应变分布，以及位移场。
圆盘受压问题
总结词
研究圆盘在受到垂直向下的均匀 压力作用下的应力分布和变形。
详细描述
在直坐标系中，设圆盘中心位于 原点，半径为R。根据弹性力学基 本方程，可以求出圆盘内各点的 应力和应变分布，以及位移场。
弹性力学平面问题的直坐标系 解答
目
CONTENCT
录
• 引言 • 弹性力学平面问题的基本方程 • 直坐标系中的弹性力学平面问题 • 解法举例 • 结论
01
引言
主题简介
弹性力学平面问题
在弹性力学中，平面问题指的是应变和应力分量在空间中仅随两 个坐标变量变化的情形。
断裂力学讲义第三章弹性力学的平面问题
第3章 弹性力学的平面问题任何弹性力学问题都是空间问题，但是在某些条件下，它们可以简化为平面问题。
在平面问题中，我们以x,y,z 表示直角坐标系的三个坐标，以u,v,w 表示相应的位移分量，而以xx σ、yy σ…和xx ε、yy ε…分别表示相应的应力分量和应变分量。
§3.1 平衡方程与变形协调方程在平面问题里，所有位移量都只是x , y 的函数，与z 无关，因而所有应变和应力分量也都只是x , y 的函数，与z 无关。
平衡方程(2.40)可简化为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y yyxy x xyxx f y x f y x σσσσ (3.1)变形协调方程(2.63)只余下yx x y xy yyxx ∂∂ε∂∂ε∂∂ε∂222222=+ (3.2) §3.2平面应力与平面应变3.2.1平面应力问题平面应力问题是指: 发生在物体某一方向(z 方向)的尺寸远小于其余两个方向尺寸的物体中，即物体是一个很薄的平板，此外还要求板的厚度均匀，所有外力都作用在板的中面内，或者所有外力都作用在与中面平行的平面内，且载荷对中面对称。
根据这些前提条件，在物体的两个端面(上下底面)上，进而整个物体内，=zz σ0, 其它应力分量中0==zy zx σσ。
平面应力的应变分量, 根据虎克定律(2.95)式，有0==zx yz εε,)(yy xx zz Eσσνε+-= (3.3)利用(2.95)式，虎克定律可以写成⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+==-=-=xy xy xy xx yy yy yy xx xx E E E σνσμενσσενσσε121)(1)(1(3.4)3.2.2平面应变问题平面应变问题是指：在弹性体沿某一方向(z 方向)的尺度远大于其余两个方向的尺度，而且物体形状及载荷沿z 方向不变的情况下，在任一远离端部且与xoy 平行的平面内，物体的变形都是相同的。
此外，由于z 方向尺度极大，不能产生z 方向的位移，即0=w ，因此，物体内的变形只发生在与xoy 平行的平面内。
第6章弹性力学的平面问题
2
2
+
∂y
2
4
=0
有
x d f d f1 d f2 d f + x 4 + 4 +2 2 = 0 4 2 dy dy dy dy
4
值上式都满足， 由于对于任何 x值上式都满足，所以各次 幂的系数都应为零 即
x
d4 f d4 f1 d4 f2 d2 f = 0, = 0, +2 2 = 0 4 4 4 dy dy dy dy
2 2 2
本构方程
τxy 1 ' εx = （ x − µσy） εxy = σ ' E 2G 1 ' εy = （ y − µσx） σ ' E
材料常数
E ’ E = E 1− µ2
平 应 面 力 平 应 面 变
µ ’ µ = µ 1− µ
平 应 面 力 平 应 面 变
代入平面问题本构方程可以得到： 将 ϕ代入平面问题本构方程可以得到： ∂2ϕ ∂2ϕ εx = E ’ 2 −µ ’ 2 y ∂ x ∂
εy εxy
∂2ϕ ∂2ϕ =E ’ 2 −µ ’ 2 x ∂ y ∂ 1 ∂2ϕ =− ⋅ 2 G ∂ ∂ x y
将上式代入应变协调方程
6.3 平面问题应力函数
在平面问题中，当忽略体力时，平衡方程可简化为： 在平面问题中，当忽略体力时，平衡方程可简化为：
∂σ x ∂τ xy + =0 ∂x ∂y ∂τ yx ∂σ y + =0 ∂x ∂y
由平衡方程有
∂ τ yx ∂σ y ∂ τ xy ∂σ x =− (1) =− (2) ∂x ∂y ∂y ∂x ∂A ∂A =σx =− yx τ 引入 ∂y ∂x
2
+
∂y
2
4
=0
有
x d f d f1 d f2 d f + x 4 + 4 +2 2 = 0 4 2 dy dy dy dy
4
值上式都满足， 由于对于任何 x值上式都满足，所以各次 幂的系数都应为零 即
x
d4 f d4 f1 d4 f2 d2 f = 0, = 0, +2 2 = 0 4 4 4 dy dy dy dy
2 2 2
本构方程
τxy 1 ' εx = （ x − µσy） εxy = σ ' E 2G 1 ' εy = （ y − µσx） σ ' E
材料常数
E ’ E = E 1− µ2
平 应 面 力 平 应 面 变
µ ’ µ = µ 1− µ
平 应 面 力 平 应 面 变
代入平面问题本构方程可以得到： 将 ϕ代入平面问题本构方程可以得到： ∂2ϕ ∂2ϕ εx = E ’ 2 −µ ’ 2 y ∂ x ∂
εy εxy
∂2ϕ ∂2ϕ =E ’ 2 −µ ’ 2 x ∂ y ∂ 1 ∂2ϕ =− ⋅ 2 G ∂ ∂ x y
将上式代入应变协调方程
6.3 平面问题应力函数
在平面问题中，当忽略体力时，平衡方程可简化为： 在平面问题中，当忽略体力时，平衡方程可简化为：
∂σ x ∂τ xy + =0 ∂x ∂y ∂τ yx ∂σ y + =0 ∂x ∂y
由平衡方程有
∂ τ yx ∂σ y ∂ τ xy ∂σ x =− (1) =− (2) ∂x ∂y ∂y ∂x ∂A ∂A =σx =− yx τ 引入 ∂y ∂x
弹性力学平面问题ppt课件
（平面应力问题） （2-17）
应力：
（2-18）ZS
2、弹性力学问题的求解方法
（1）按位移求解（位移法、刚度法） 以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、
v 表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力
与形变分量。
（2）按应力求解（力法，柔度法）
以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分 量表示，并求出应力分量 ，再由几何方程、物理方程求出
ZS
§2-5 物理方程
弹性模量， 泊松比
§2-6 边界条件
应力边界，位移边界，混合边界
§2-7 圣维南原理
静力等效， 原理应用
ZS
1. 平衡微分方程
平面问题的基本方程
3. 物理方程
2. 几何方程
（2-2）
（2-15）
（2-9）
4. 边界条件 位移：
（平面应力问题） （2-17）
（2） 常体力下，方程中不含E、μ
（2）相容方程（形变协调方程）
（a）两种平面问题，计算结果
相同（但
（3）边界条件
显然有：
（2-22） —— 形变协调方程（或相容方程）
即：
必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协
调，才能求得这些位移分量。
例：
其中：C为常数。
由几何方程得：
积分得：
由几何方程的第三式得：
显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。
2、变形协调方程的应力表示
（1）平面应力情形 将物理方程代入相容方程，得：
（a） 利用平衡方程将上述化简：
将上述两边相加：
（b）
（2-15） （2-22）
《弹性力学》第二章平面问题的基本理论
平面问题研究方法
01
02
03
解析法
通过弹性力学的基本方程 和边界条件，求解出满足 条件的应力、应变和位移 分量。
数值法
利用计算机进行数值计算， 如有限元法、差分法等， 求解出弹性体的应力、应 变和位移分布。
实验法
通过实验手段，如光弹性 实验、应变电测实验等， 直接测定弹性体的应力、 应变和位移。
02 基本方程与定解条件
物理方程反映了材料的力学性质，是弹性力学中的重要基础。
03
定解条件（边界条件与初始条件）
01
02
03
定解条件是弹性力学问 题中必须满足的附加条 件，包括边界条件和初
始条件。
边界条件描述了物体边 界上的应力、位移等物 理量的已知情况，是求 解弹性力学问题的重要
依据。
初始条件描述了物体在 初始时刻的应力、位移 等物理量的已知情况， 对于动态问题和瞬态问
04 平面问题解法及实例分析
按位移求解平面问题
位移边界条件
在位移边界上，物体受到的约束可以 转化为在给定位移边界上各点的位移。
平衡微分方程
根据弹性力学的基本方程，可以建立 以位移表示的平衡微分方程。
应力边界条件
在应力边界上，物体受到的面力可以 转化为应力边界上各点的应力分量。
求解方法
通过联立平衡微分方程和应力边界条 件，可以求解出位移分量，进而求得 应力分量。
复杂应力函数求解技巧
复杂应力函数的特点
复杂应力函数可能具有复杂的数学形式和边界条件，求解难度较大。
求解技巧
针对复杂应力函数的求解，可以采用变量分离法、积分变换法、复 变函数法等数学工具进行简化处理，降低求解难度。
实例分析
以一个复杂的弹性力学问题为例，介绍如何运用上述技巧求解复杂 应力函数，并给出相应的应力分量分布图。
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应力分量：
( z 0)
（非独立）
x , y , xy
应变分量：
——x,y的函数
x , y , xy
位移分量：
——x,y的函数
u u( x, y) v v( x, y)
第三章 弹性力学平面问题有限元法
平面应力问题的例子
§3.2
二、平面应变问题
弹性力学平面问题基础
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1
弹性力学基本概念
4)完全弹性假设 假设物体在外加因素去除后能完全恢复原来形状，没有剩余变形。 同时认为应力与应变呈线性关系，即服从虎克定律。 5）微小变形假设
假设物体在载荷作用下产生的位移远远小于物体的特征尺寸，
应变分量和转角均远小于1。 •上述5项假设中，前四个属于物理假设，符合前四个基本假设的称
0 x 1 0 y 1 xy 0 2
D
0 1 D E 2 1 0 ——平面应力弹性矩阵，对称方阵。 1 1 0 0 2 平面应变问题弹性矩阵可按如下办法得到。
• • •
这种平面问题模型下，所得到的结果能满足工程上的精度要求，
而分析计算工作量大大减少。
大量的固体力学问题都可以简化为平面问题。 平面问题包括：平面应力问题和平面应变问题。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.2
一、平面应力问题 •
弹性力学平面问题基础
平面应力问题的基本特征： 1）几何特征 物体在一个方向（z)的尺寸远远小于其它两个方向（x,y)的尺寸。 几何上为均匀薄板。 2）受力特征
§3.1
弹性力学基本概念
四、弹性力学中的基本量
• 弹性力学中用以描述研究对象状态的基本力学量包括：外力、应 力、应变、位移。 外力 1) 体积力（体力）：物体内部单位体积上所受外力称为体力 （矢量）。如：重力、惯性力等。
2) 表面力（面力）：物体表面单位面积上所受外力称为面力 （矢量）。如：静水压力、接触力等。
f x，f y为体力分量。
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.2
四）平面问题边界条件
弹性力学平面问题基础
平面弹性体的边界分为位移边界
Su
和应力边界
St
通过前面的基本方程求解弹性力学 问题时，必须考虑上述边界上位移 的协调和力的平衡——边界条件。 边界条件描述如下： 1）位移边界条件
u u,v v
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.1
•
弹性力学基本概念
弹性力学研究方法概述 1）研究弹性体内微分单元体的平衡，写出一组平衡微分方程； 2）由于平衡方程数少于未知应力数，必须考虑几何方面的关系：应 变分量和位移分量之间的微分方程。 3）再引入应力和应变之间的物理关系——广义虎克定律。 4）边界上单元体的内部应力和外部载荷之间的平衡，得到应力边界 条件；考虑边界位移约束得到位移边界条件。 上述基本方程和边界条件组成一个复杂的偏微分方程边值问题，
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.1
一、弹性力学的任务 •
弹性力学基本概念
弹性力学是固体力学的分支学科，研究一般弹性体在外部因素 （力、温度变化等）作用下产生的应力、变形；并为机械零件、 工程结构的强度、刚度、稳定性分析提供理论工具。
• 弹性力学与材料力学和结构力学的比较：
1）基本任务相同 2）研究对象和范围有所区别 材料力学：研究杆状构件
结构力学：研究杆件系统
弹性力学：研究一般弹性体的一般行为。如二、三维实体，板壳 结构，应力集中体，无限、半无限体等。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1
二、弹性力学的基本假设 •
弹性力学基本概念
为什么要作基本假设基本假设？ 对实际研究对象根据所研究的层次和范围，进行科学抽象和假设， 突出主要矛盾，以建立可用的模型。
•平面应ห้องสมุดไป่ตู้问题的应力、应变、位移分量 由基本特征推出：
z zy zx 0 z 0
应变分量：
（非独立）
x , y , xy
——x,y的函数
应力分量：
x , y , xy
位移分量：
——x,y的函数
u u( x, y) v v( x, y)
将平面应力弹性矩阵中的弹性常数作如下变换： E 因此，对于平面问题的推导和编程， E 2 1 1 u 只按平面应力问题处理。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.2
三）平面问题的平衡方程
弹性力学平面问题基础
通过研究微分单元体平衡，得到下列平衡微分方程：
x xy fx 0 x y xy y fy 0 x y
为理想弹性体。第五个假设属于几何假设，符合该假设的理想弹性
体的问题称为线性弹性力学。
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.1
三、弹性力学的研究方法
弹性力学基本概念
• 与材料力学研究方法的比较：
材料力学：除了引入“基本假设”，还根据不同对象引入补充假 设，如：直梁弯曲的“平面假设”，“纵向纤维无挤压”假设； 扭转理论中的“刚性平面”假设等。 弹性力学：除了必要的基本假设外，不再引入补充假设，而是严 格按照静力学、几何学、物理学三方面的条件建立基本方程和边 界条件，求得精确结果。因而弹性力学可以对材料力学的理论和 解答进行验证考核。
平面应变问题的例子
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.2
弹性力学平面问题基础
三、平面问题基本方程和边界条件
•
平面应力和平面应变问题都归结为求解平面内的3个应力分量、3 个应变分量、2个位移分量。 要求解这些未知力学量，需要研究平面弹性体的平衡、几何、 物理关系得到足够的方程。
•
一）平面问题几何方程——应变～位移关系 u x x x x v y 0 y y xy u v xy y y x
可以确定弹性体中的位移场、应力场、应变场。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1
弹性力学基本概念
• 弹性力学问题的求解策略
1）解析法—精确解 a. 应力解法 b. 位移解法 2）能量法（变分法）—近似解 3）数值法—近似解 a.有限差分法 b.有限元法 c.边界元法
第三章
弹性力学平面问题有限元法
1) 连续性假设
假设物体所占的空间被组成该物体的介质所充满，不留任何空隙。 不考虑介质的微观物质结构。物体内的物理量就能用空间坐标的连 续函数来描述。
2) 均匀性假设 认为物体由同一种材料组成，内部的物理性质处处完全相同。
3）各向同性假设
假设物体内每一点沿不同方向的物理性质相同，如弹性常数，导 热系数等。
几何方程对于平面应力和平面应变问题相同
0 u y v x
算子矩阵
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.2
弹性力学平面问题基础
二）平面问题的物理方程——应力～应变关系
对于平面应力问题，应用虎克定律可导出应力与应变之间的关系。
x 1 y E 2 1 0 xy
•平面应变问题的基本特征： 1）几何特征
一个方向（z)尺寸远远大于其它两个方向（x,y)的尺寸,呈现为无 限长等截面柱体；或任何横截面可以看作对称面：z方向无位移。
2）受力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿纵向不变化。
平面应变问题的例子
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.2
弹性力学平面问题基础
薄板上下两个面上无载荷作用； 周边侧面上受到平行于板面且沿板厚均匀分布的面力作用；
体力平行于板面且不沿板厚变化（x,y的函数）。
平 面 应 力 问 题 模 型
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.2
•
弹性力学平面问题基础
平面应力问题的应力、应变、位移分量 由基本特征推出： z zx zy 0
x , y , z
3个剪应变： xy , yz , zx
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1
弹性力学基本概念
位移
弹性体受力变形后任意一点都产生位置的变化，形成一个位移
矢量，其在坐标轴上的投影（位移分量）用 u，v，w 表示。
• 一般情况下，各点的应力、应变、位移分量是其空间坐标的函数。
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.2
弹性力学平面问题基础
•
弹性力学平面问题基础
任何实际变形体的力学问题都是空间问题（三维问题），所受的 外力一般都是空间力系。
•
在某些特殊情况下，比如物体具有特殊形状，受特殊的外力，特
殊的位移约束时，空间问题就可以简化成平面问题。此时，问题 的几何和力学量仅仅是二维坐标的函数。所求未知力学量只是二 维空间内的分量。
在弹性力学中体力、面力均为空间坐标的函数。
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.1
弹性力学基本概念
应力
弹性体中某一点的应力状态用9个应力分量表示：
x , xy , xz
y , yz , yx
z , zx , zy
其中由于剪应力互等，只有6个独立分量。
应变
空间问题的一点应变分量包括： 3个正应变：
2）应力边界条件
在
Su 上
l，m为边界外法线方向余弦 t x，t y为边界上面力分量
l x m xy t x m y l xy t y
( z 0)
（非独立）
x , y , xy
应变分量：
——x,y的函数
x , y , xy
位移分量：
——x,y的函数
u u( x, y) v v( x, y)
第三章 弹性力学平面问题有限元法
平面应力问题的例子
§3.2
二、平面应变问题
弹性力学平面问题基础
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1
弹性力学基本概念
4)完全弹性假设 假设物体在外加因素去除后能完全恢复原来形状，没有剩余变形。 同时认为应力与应变呈线性关系，即服从虎克定律。 5）微小变形假设
假设物体在载荷作用下产生的位移远远小于物体的特征尺寸，
应变分量和转角均远小于1。 •上述5项假设中，前四个属于物理假设，符合前四个基本假设的称
0 x 1 0 y 1 xy 0 2
D
0 1 D E 2 1 0 ——平面应力弹性矩阵，对称方阵。 1 1 0 0 2 平面应变问题弹性矩阵可按如下办法得到。
• • •
这种平面问题模型下，所得到的结果能满足工程上的精度要求，
而分析计算工作量大大减少。
大量的固体力学问题都可以简化为平面问题。 平面问题包括：平面应力问题和平面应变问题。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.2
一、平面应力问题 •
弹性力学平面问题基础
平面应力问题的基本特征： 1）几何特征 物体在一个方向（z)的尺寸远远小于其它两个方向（x,y)的尺寸。 几何上为均匀薄板。 2）受力特征
§3.1
弹性力学基本概念
四、弹性力学中的基本量
• 弹性力学中用以描述研究对象状态的基本力学量包括：外力、应 力、应变、位移。 外力 1) 体积力（体力）：物体内部单位体积上所受外力称为体力 （矢量）。如：重力、惯性力等。
2) 表面力（面力）：物体表面单位面积上所受外力称为面力 （矢量）。如：静水压力、接触力等。
f x，f y为体力分量。
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.2
四）平面问题边界条件
弹性力学平面问题基础
平面弹性体的边界分为位移边界
Su
和应力边界
St
通过前面的基本方程求解弹性力学 问题时，必须考虑上述边界上位移 的协调和力的平衡——边界条件。 边界条件描述如下： 1）位移边界条件
u u,v v
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.1
•
弹性力学基本概念
弹性力学研究方法概述 1）研究弹性体内微分单元体的平衡，写出一组平衡微分方程； 2）由于平衡方程数少于未知应力数，必须考虑几何方面的关系：应 变分量和位移分量之间的微分方程。 3）再引入应力和应变之间的物理关系——广义虎克定律。 4）边界上单元体的内部应力和外部载荷之间的平衡，得到应力边界 条件；考虑边界位移约束得到位移边界条件。 上述基本方程和边界条件组成一个复杂的偏微分方程边值问题，
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.1
一、弹性力学的任务 •
弹性力学基本概念
弹性力学是固体力学的分支学科，研究一般弹性体在外部因素 （力、温度变化等）作用下产生的应力、变形；并为机械零件、 工程结构的强度、刚度、稳定性分析提供理论工具。
• 弹性力学与材料力学和结构力学的比较：
1）基本任务相同 2）研究对象和范围有所区别 材料力学：研究杆状构件
结构力学：研究杆件系统
弹性力学：研究一般弹性体的一般行为。如二、三维实体，板壳 结构，应力集中体，无限、半无限体等。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1
二、弹性力学的基本假设 •
弹性力学基本概念
为什么要作基本假设基本假设？ 对实际研究对象根据所研究的层次和范围，进行科学抽象和假设， 突出主要矛盾，以建立可用的模型。
•平面应ห้องสมุดไป่ตู้问题的应力、应变、位移分量 由基本特征推出：
z zy zx 0 z 0
应变分量：
（非独立）
x , y , xy
——x,y的函数
应力分量：
x , y , xy
位移分量：
——x,y的函数
u u( x, y) v v( x, y)
将平面应力弹性矩阵中的弹性常数作如下变换： E 因此，对于平面问题的推导和编程， E 2 1 1 u 只按平面应力问题处理。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.2
三）平面问题的平衡方程
弹性力学平面问题基础
通过研究微分单元体平衡，得到下列平衡微分方程：
x xy fx 0 x y xy y fy 0 x y
为理想弹性体。第五个假设属于几何假设，符合该假设的理想弹性
体的问题称为线性弹性力学。
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.1
三、弹性力学的研究方法
弹性力学基本概念
• 与材料力学研究方法的比较：
材料力学：除了引入“基本假设”，还根据不同对象引入补充假 设，如：直梁弯曲的“平面假设”，“纵向纤维无挤压”假设； 扭转理论中的“刚性平面”假设等。 弹性力学：除了必要的基本假设外，不再引入补充假设，而是严 格按照静力学、几何学、物理学三方面的条件建立基本方程和边 界条件，求得精确结果。因而弹性力学可以对材料力学的理论和 解答进行验证考核。
平面应变问题的例子
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.2
弹性力学平面问题基础
三、平面问题基本方程和边界条件
•
平面应力和平面应变问题都归结为求解平面内的3个应力分量、3 个应变分量、2个位移分量。 要求解这些未知力学量，需要研究平面弹性体的平衡、几何、 物理关系得到足够的方程。
•
一）平面问题几何方程——应变～位移关系 u x x x x v y 0 y y xy u v xy y y x
可以确定弹性体中的位移场、应力场、应变场。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1
弹性力学基本概念
• 弹性力学问题的求解策略
1）解析法—精确解 a. 应力解法 b. 位移解法 2）能量法（变分法）—近似解 3）数值法—近似解 a.有限差分法 b.有限元法 c.边界元法
第三章
弹性力学平面问题有限元法
1) 连续性假设
假设物体所占的空间被组成该物体的介质所充满，不留任何空隙。 不考虑介质的微观物质结构。物体内的物理量就能用空间坐标的连 续函数来描述。
2) 均匀性假设 认为物体由同一种材料组成，内部的物理性质处处完全相同。
3）各向同性假设
假设物体内每一点沿不同方向的物理性质相同，如弹性常数，导 热系数等。
几何方程对于平面应力和平面应变问题相同
0 u y v x
算子矩阵
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.2
弹性力学平面问题基础
二）平面问题的物理方程——应力～应变关系
对于平面应力问题，应用虎克定律可导出应力与应变之间的关系。
x 1 y E 2 1 0 xy
•平面应变问题的基本特征： 1）几何特征
一个方向（z)尺寸远远大于其它两个方向（x,y)的尺寸,呈现为无 限长等截面柱体；或任何横截面可以看作对称面：z方向无位移。
2）受力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿纵向不变化。
平面应变问题的例子
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.2
弹性力学平面问题基础
薄板上下两个面上无载荷作用； 周边侧面上受到平行于板面且沿板厚均匀分布的面力作用；
体力平行于板面且不沿板厚变化（x,y的函数）。
平 面 应 力 问 题 模 型
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.2
•
弹性力学平面问题基础
平面应力问题的应力、应变、位移分量 由基本特征推出： z zx zy 0
x , y , z
3个剪应变： xy , yz , zx
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1
弹性力学基本概念
位移
弹性体受力变形后任意一点都产生位置的变化，形成一个位移
矢量，其在坐标轴上的投影（位移分量）用 u，v，w 表示。
• 一般情况下，各点的应力、应变、位移分量是其空间坐标的函数。
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.2
弹性力学平面问题基础
•
弹性力学平面问题基础
任何实际变形体的力学问题都是空间问题（三维问题），所受的 外力一般都是空间力系。
•
在某些特殊情况下，比如物体具有特殊形状，受特殊的外力，特
殊的位移约束时，空间问题就可以简化成平面问题。此时，问题 的几何和力学量仅仅是二维坐标的函数。所求未知力学量只是二 维空间内的分量。
在弹性力学中体力、面力均为空间坐标的函数。
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.1
弹性力学基本概念
应力
弹性体中某一点的应力状态用9个应力分量表示：
x , xy , xz
y , yz , yx
z , zx , zy
其中由于剪应力互等，只有6个独立分量。
应变
空间问题的一点应变分量包括： 3个正应变：
2）应力边界条件
在
Su 上
l，m为边界外法线方向余弦 t x，t y为边界上面力分量
l x m xy t x m y l xy t y