弹性力学平面问题

结构力学：研究杆件系统
弹性力学：研究一般弹性体的一般行为。如二、三维实体，板壳 结构，应力集中体，无限、半无限体等。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1
二、弹性力学的基本假设 •

弹性力学基本概念
为什么要作基本假设基本假设？ 对实际研究对象根据所研究的层次和范围，进行科学抽象和假设， 突出主要矛盾，以建立可用的模型。
• • •
这种平面问题模型下，所得到的结果能满足工程上的精度要求，
而分析计算工作量大大减少。
大量的固体力学问题都可以简化为平面问题。 平面问题包括：平面应力问题和平面应变问题。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.2
一、平面应力问题 •
弹性力学平面问题基础
平面应力问题的基本特征： 1）几何特征 物体在一个方向（z)的尺寸远远小于其它两个方向（x,y)的尺寸。 几何上为均匀薄板。 2）受力特征
2）应力边界条件
在
Su 上
l，m为边界外法线方向余弦 t x，t y为边界上面力分量
l x m xy t x m y l xy t y
第三章
弹性力学平面问题有限元法
可以确定弹性体中的位移场、应力场、应变场。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1
弹性力学基本概念
• 弹性力学问题的求解策略
1）解析法—精确解 a. 应力解法 b. 位移解法 2）能量法（变分法）—近似解 3）数值法—近似解 a.有限差分法 b.有限元法 c.边界元法
第三章
弹性力学平面问题有限元法
f x，f y为体力分量。
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.2
四）平面问题边界条件
弹性力学平面问题基础
平面弹性体的边界分为位移边界
Su
和应力边界

St
通过前面的基本方程求解弹性力学 问题时，必须考虑上述边界上位移 的协调和力的平衡——边界条件。 边界条件描述如下： 1）位移边界条件

u u,v v
3
3.1
弹性力学平面问题
3.2 弹性力学 平面问题基础
弹性力学 基本概念
弹性力学的基本任务有哪些？ 弹性力学的基本假设？
平面问题的分类？ 平面应力问题的基本特征和分量 平面应变问题的基本特征和分量 平面问题的基本方程（几何方程、 物理方程、平衡方程）和边界条件
弹性力学的研究方法如何？
弹性力学中的基本量有哪些？
将平面应力弹性矩阵中的弹性常数作如下变换： E 因此，对于平面问题的推导和编程， E 2 1 1 u 只按平面应力问题处理。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.2
三）平面问题的平衡方程
弹性力学平面问题基础
通过研究微分单元体平衡，得到下列平衡微分方程：
x xy fx 0 x y xy y fy 0 x y
几何方程对于平面应力和平面应变问题相同
0 u y v x
算子矩阵
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.2
弹性力学平面问题基础
二）平面问题的物理方程——应力～应变关系
对于平面应力问题，应用虎克定律可导出应力与应变之间的关系。
x 1 y E 2 1 0 xy
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.1
一、弹性力学的任务 •
弹性力学基本概念
弹性力学是固体力学的分支学科，研究一般弹性体在外部因素 （力、温度变化等）作用下产生的应力、变形；并为机械零件、 工程结构的强度、刚度、稳定性分析提供理论工具。
• 弹性力学与材料力学和结构力学的比较：

1）基本任务相同 2）研究对象和范围有所区别 材料力学：研究杆状构件

第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.1
•
弹性力学基本概念
弹性力学研究方法概述 1）研究弹性体内微分单元体的平衡，写出一组平衡微分方程； 2）由于平衡方程数少于未知应力数，必须考虑几何方面的关系：应 变分量和位移分量之间的微分方程。 3）再引入应力和应变之间的物理关系——广义虎克定律。 4）边界上单元体的内部应力和外部载荷之间的平衡，得到应力边界 条件；考虑边界位移约束得到位移边界条件。 上述基本方程和边界条件组成一个复杂的偏微分方程边值问题，
为理想弹性体。第五个假设属于几何假设，符合该假设的理想弹性
体的问题称为线性弹性力学。
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.1
三、弹性力学的研究方法
弹性力学基本概念
• 与材料力学研究方法的比较：

材料力学：除了引入“基本假设”，还根据不同对象引入补充假 设，如：直梁弯曲的“平面假设”，“纵向纤维无挤压”假设； 扭转理论中的“刚性平面”假设等。 弹性力学：除了必要的基本假设外，不再引入补充假设，而是严 格按照静力学、几何学、物理学三方面的条件建立基本方程和边 界条件，求得精确结果。因而弹性力学可以对材料力学的理论和 解答进行验证考核。
薄板上下两个面上无载荷作用； 周边侧面上受到平行于板面且沿板厚均匀分布的面力作用；
体力平行于板面且不沿板厚变化（x,y的函数）。
平 面 应 力 问 题 模 型
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.2
•
弹性力学平面问题基础
平面应力问题的应力、应变、位移分量 由基本特征推出： z zx zy 0
应力分量：
( z 0)
（非独立）
x , y , xy
应变分量：
——x,y的函数
x , y , xy
位移分量：
——x,y的函数
u u( x, y) v v( x, y)
第三章 弹性力学平面问题有限元法
平面应力问题的例子
§3.2
二、平面应变问题
弹性力学平面问题基础
§3.1
弹性力学基本概念
四、弹性力学中的基本量
• 弹性力学中用以描述研究对象状态的基本力学量包括：外力、应 力、应变、位移。 外力 1) 体积力（体力）：物体内部单位体积上所受外力称为体力 （矢量）。如：重力、惯性力等。

2) 表面力（面力）：物体表面单位面积上所受外力称为面力 （矢量）。如：静水压力、接触力等。
0 x 1 0 y 1 xy 0 2
D
0 1 D E 2 1 0 ——平面应力弹性矩阵，对称方阵。 1 1 0 0 2 平面应变问题弹性矩阵可按如下办法得到。
•平面应变问题的基本特征： 1）几何特征

一个方向（z)尺寸远远大于其它两个方向（x,y)的尺寸,呈现为无 限长等截面柱体；或任何横截面可以看作对称面：z方向无位移。
2）受力特征

外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿纵向不变化。
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平面应变问题的例子
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.2
弹性力学平面问题基础
x , y , z
3个剪应变： xy , yz , zx
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1
弹性力学基本概念

位移
弹性体受力变形后任意一点都产生位置的变化，形成一个位移
矢量，其在坐标轴上的投影（位移分量）用 u，v，w 表示。
• 一般情况下，各点的应力、应变、位移分量是其空间坐标的函数。
在弹性力学中体力、面力均为空间坐标的函数。
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.1

弹性力学基本概念
应力
弹性体中某一点的应力状态用9个应力分量表示：
x , xy , xz
y , yz , yx
z , zx , zy
其中由于剪应力互等，只有6个独立分量。

应变
空间问题的一点应变分量包括： 3个正应变：
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1
弹性力学基本概念
4)完全弹性假设 假设物体在外加因素去除后能完全恢复原来形状，没有剩余变形。 同时认为应力与应变呈线性关系，即服从虎克定律。 5）微小变形假设

假设物体在载荷作用下产生的位移远远小于物体的特征尺寸，
应变分量和转角均远小于1。 •上述5项假设中，前四个属于物理假设，符合前四个基本假设的称
1) 连续性假设

假设物体所占的空间被组成该物体的介质所充满，不留任何空隙。 不考虑介质的微观物质结构。物体内的物理量就能用空间坐标的连 续函数来描述。
2) 均匀性假设 认为物体由同一种材料组成，内部的物理性质处处完全相同。
3）各向同性假设

假设物体内每一点沿不同方向的物理性质相同，如弹性常数，导 热系数等。
平面应变问题的例子
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弹性力学平面问题有限元法
§3.2
弹性力学平面问题基础
三、平面问题基本方程和边界条件
•
平面应力和平面应变问题都归结为求解平面内的3个应力分量、3 个应变分量、2个位移分量。 要求解这些未知力学量，需要研究平面弹性体的平衡、几何、 物理关系得到足够的方程。
•
一）平面问题几何方程——应变～位移关系 u x x x x v y 0 y y xy u v xy y y x
•平面应变问题的应力、应变、位移分量 由基本特征推出：
z zy zx 0 z 0
应变分量：
（非独立）
x , y , xy
——x,y的函数
应力分量：
x , y , xy
位移分量：
——x,y的函数
u u( x, y) v v( x, y)
第三章
弹性力学平面问题有限元法
§3.2
弹性力学平面问题基础
•
弹性力学平面问题基础
任何实际变形体的力学问题都是空间问题（三维问题），所受的 外力一般都是空间力系。
•
在某些特殊情况下，比如物体具有特殊形状，受特殊的外力，特
殊的位移约束时，空间问题就可以简化成平面问题。此时，问题 的几何和力学量仅仅是二维坐标的函数。所求未知力学量只是二 维空间内的分量。