教育统计学讲义抽样理论和参数估计
抽样分布、参数估计和假设检验
抽样分布一、抽样分布的理论及定理 （一） 抽样分布抽样分布是统计推断的基础，它是指从总体中随机抽取容量为n 的若干个样本，对每一样本可计算其k 统计量，而k 个统计量构成的分布即为抽样分布，也称统计量分布或随机变量函数分布。
（二） 中心极限定理中心极限定理是用极限的方法所求的随机变量分布的一系列定理，其内容主要反映在三个方面。
1．如果总体呈正态分布，则从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时，其样本均数的分布也呈正态分布；无论总体是否服从正态分布，只要样本容量足够大，样本均数的分布也接近正态分布。
2．从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时，所有样本均数的均数（X μ）等于总体均数（μ）即μμ=X3．从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时，所有样本均数的标准差（X σ）等于总体标准差除以样本容量的算数平方根，即n X σσ=中心极限定理在统计学中是相当重要的。
因为许多问题都使用正态曲线的方法。
这个定理适于无限总体的抽样，同样也适于有限总体的抽样。
中心极限定理不仅给出了样本均数抽样分布的正态性依据，使得大多数数据分布都能运用正态分布的理论进行分析，而且还给出了推断统计中两个重要参数（即样本均数X μ与样本标准差X σ）的计算方法。
（三）抽样分布中的几个重要概念1．随机样本。
统计学是以概率论为其理论和方法的科学，概率又是研究随机现象的，因此进行统计推断所使用的样本必须为随机样本（random sample ）。
所谓随机样本是指按照概率的规律抽取的样本，2．抽样误差。
从总体中抽取容量为n 的k 个样本时，样本统计量与总体参数之间总会存在一定的差距，而这种差距是由于抽样的随机性所引起的样本统计量与总体参数之间的不同，称为抽样误差。
3．标准误。
样本统计量分布的标准差或某统计量在抽样分布上的标准差，符号SE 或Xσ表示。
根据中心极限定理其标准差为n X σσ=正如标准差越小，数据分布越集中，平均数的代表性越好。
教育统计学第四章 抽样理论与参数估计_OK
20
平均身高.
138-
33
134-
22
130-
10
126-
9
122-
4
合计
120
10
参数估计练习题2
• 从某市随机抽取450 组限 次数
名小学教师，对他们
13201280-
3 9
月收入的调查结果如 1240- 24
下表。试估计该市小
12001160
51 69
学教师的平均月收入。 1120- 99
1080-
• （1）如果随机样本的容量是30，请问 95%置信度的置信区间的长度是多少？
• （2）如果要求99%置信度的置信区间长 度不超过4，请问样本容量至少是多大？
13
?1无偏性所有可能的统计量与参数真值的偏差的平均为0的平均为0?2有效性方差最小的无偏估计量为最稳定可靠的估计?3一致性当样本容量无限增大时估计值应越来越接近它所估计的总体参数区间估计?1样本平均数抽样分布为正态时?z?12222xxzxxp?2样本平均数抽样分布为t分布时
第四章 抽样理论与参数估计
66
1040-
48
1000-
36
960-
24
920-
15
880-
6
合计
450
11
参数 估计练习题3
• 从某市随机抽取36名7岁男孩为样本，他们的平均体重为21.53公斤，他们体重 的标准差为2.40公斤。试估计该市7岁男孩的平均体重。
12
参数估计练习题4
• 某原始正态总体的标准差是10，由样本平 均数估计总体平均数，
• 抽样的基本原则 • 抽样的方法 • 抽样分布 • 参数估计
1
教育与心理统计学 第四章 抽样理论与参数估计考研笔记-精品
第四章抽样理论与参数估计第一节抽样理论的基本知识分层抽样，又叫分层随机抽样，这种抽样方法是按照总体已有的某些特征，承认总体中已有的差异，按差异将总体分为几个不同的部分，每一部分称为一个层，在每一个层中实行简单随机抽样。
它充分利用了总体的已知信息，因而是一种非常适用的抽样方法，其样本代表性及推论的精确性一般优于简单随机抽样。
分层的原则是层与层之间的变异越大越好，各层内的变异要小。
试述分层抽样的原则和方法？分层抽样是按照总体上已有的某些特征，将总体分成几个不同部分，在分别在每一部分中随机抽样。
分层的总的原则是：各层内的变异要小，而层与层之间的变异越大越好。
在具体操作中，没有一成不变的标准，研究人员可根据研究需要依照多个分层标准，视具体情况而定。
⑷两阶段随机抽样两阶段随机抽样首先将总体分成M个部分，每一部分叫做一个"集团"（或"群"），第一步从M个集团中随机抽取m个"集团”作为第一阶段样本，第二步是分别从所选取的m个"集团”中抽取个体（g构成第二阶段样本。
一般而言，两阶段抽样相对于简单随机抽样，标准误要大些，但是，两阶段抽样简便易行，节省经草贼，因而它是大规模调查研究中常被使用的抽样方法。
例如，如果我们要了解全国城市初中二年级学生的身高，第一步我们可以从全国几百个城市中随机抽取几十个城市作为第一阶段的样本。
第二步，在第一阶段随机抽取出来的城市中再随机抽取初中二年级的学生。
（二）非旃抽样非概率抽样不是完全按随机原则选取样本，有方便抽样、判断抽样。
方便抽样是由调查人员自由、方便地选择被调查者的非随机选样。
判断抽样是通过某些条件过滤，然后选择某些被调查者参与调查的抽样法。
当采取非概率抽样的方法选取样本时，研究者要说明采用此种方取样的原因以及对研究结果可能造成的影响。
第二节抽样分布［统计量分布、基本随机变量函数的分布］总体：又称母全体、全域，指具有某种特征的一类事物的全体。
(抽样检验)抽样与参数估计最全版
（抽样检验）抽样与参数估计抽样和参数估计推断统计：利用样本统计量对总体某些性质或数量特征进行推断。
从数据得到对现实世界的结论的过程就叫做统计推断(statisticalinference)。
这个调查例子是估计总体参数（某种意见的比例）的壹个过程。
估计(estimation)是统计推断的重要内容之壹。
统计推断的另壹个主要内容是本章第二节要介绍的假设检验(hypothesistesting)。
因此本节内容就是由样本数据对总体参数进行估计，即：学习目标：了解抽样和抽样分布的基本概念理解抽样分布和总体分布的关系了解点估计的概念和估计量的优良标准掌握总体均值、总体比例和总体方差的区间估计第一节抽样和抽样分布回顾相关概念：总体、个体和样本抽样推断：从所研究的总体全部元素(单位)中抽取壹部分元素(单位)进行调查,且根据样本数据所提供的信息来推断总体的数量特征。
总体(Population)：调查研究的事物或现象的全体参数个体(Itemunit)：组成总体的每个元素样本(Sample)：从总体中所抽取的部分个体统计量样本容量(Samplesize)：样本中所含个体的数量壹般将样本单位数不少于三十个的样本称为大样本，样本单位数不到三十个的样本称为小样本。
壹、抽样方法及抽样分布1、抽样方法（1）、概率抽样：根据已知的概率选取样本①、简单随机抽样：完全随机地抽选样本，使得每壹个样本都有相同的机会（概率）被抽中。
注意：在有限总体的简单随机抽样中，由抽样是否具有可重复性，又可分为重复抽样和不重复抽样。
而且，根据抽样中是否排序，所能抽到的样本个数往往不同。
②、分层抽样：总体分成不同的“层”（类），然后在每壹层内进行抽样③、整群抽样：将壹组被调查者（群）作为壹个抽样单位④、等距抽样：在样本框中每隔壹定距离抽选壹个被调查者（2）非概率抽样：不是完全按随机原则选取样本①、非随机抽样：由调查人员自由选取被调查者②、判断抽样：通过某些条件过滤来选择被调查者（3）、配额抽样：选择壹群特定数目、满足特定条件的被调查者2、抽样分布壹般地，样本统计量的所有可能取值及其取值概率所形成的概率分布，统计上称为抽样分布（samplingdistribution）。
第6章抽样分布与参数估计
2019年12月6日/下午9时44分
《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
6.1 抽样分布
2．中心极限定理
在客观现实中，有许多随机变量是由大量的相互独立的随机因素的综
合影响而形成的，任何一个因素在总的影响中的作用都是微小的，这种
随机变量往往近似地服从正态分布。
中心极限定理（Central Limit Theorem）反映了随机变量近似地服
2019年12月6日/下午9时44分
《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
6.1 抽样分布
6.1.1 总体、个体和样本
总体（Population）是指所研究的事物及其现象的全体，由该事物及 其现象的全部个体组成。
个体（Item Unit）是指构成总体的元素。 总体容量（Population Size）是指构成总体的全部个体的数量。
6.1 抽样分布
2．小样本场合下的样本均值抽样分布 在小样本场合，不满足中心极限定理对于样本容量充分大的要求，样
本均值不趋于正态分布，而是趋于t分布。 统计学家戈斯特（W. S. Gosset 1876-1936）在1908年以 Student
的笔名发表的一篇论文中，首次提出了t分布，从而这一小样本分布理 论被称为Student分布，简称为t分布。
个体（Item Unit）是指构成总体的元素。 总体容量（Population Size）是指构成总体的全部个体的数量。
样本（Sample）是指从总体抽取的若干个体构成的集合。 抽样（Sampling）是指按照具体的抽样方法和抽样设计，从总体中抽 取若干个体的过程。 样本容量（Sample size）是指构成样本的全部个体的数量。
通过对样本均值的标准化处理，在用样本均值估计总体均值时，可以 使用标准正态分布来计算抽样误差出现的概率。
统计学第四章抽样与参数估计
疗效评价
通过参数估计和假设检验等方法，评价药物 的疗效和安全性。
案例三：工业生产过程质量控制
抽样检验计划制定
根据产品特性和质量要求，制定合适的抽样 检验计划。
不合格品控制
对不合格品进行统计分析和处理，找出原因 并采取措施加以改进。
过程能力分析
收集生产过程中的质量数据，进行过程能力 分析和参数估计。
抽样作用
通过样本信息推断总体特征，为决策提供依据。
抽样方法分类
随机抽样
按照随机原则从总体中抽取样本，每个个体 被抽中的概率相等。
系统抽样
按照某种规则从总体中抽取样本，如每隔一 定距离或时间抽取一个样本。
分层抽样
将总体分成若干层，然后从各层中随机抽取 样本。
整群抽样
将总体分成若干群，然后随机抽取若干群作 为样本。
05
案例分析：实际场景下抽样 与参数估计问题探讨
案例一：市场调查中消费者满意度测评
01
抽样方法选择
根据市场调查的目的和预算，选 择合适的抽样方法，如简单随机 抽样、分层抽样或整群抽样。
03
数据收集与处理
设计调查问卷，收集消费者满意 度数据，并进行数据清洗和整理
。
02
样本量确定
综合考虑调查的精度要求、总体 规模、抽样误差等因素，合理确
运用统计学方法进行假设检验和参数估计，验证研究假 设的可靠性。
THANKS
定样本量。
04
参数估计
运用统计学方法，对消费者满意 度进行参数估计，如计算满意度
均值、标准差等。
案例二：医学研究中药物疗效评价
试验设计
采用随机对照试验等方法，确保试验组和对 照组的可比性。
样本量计算
第六章 抽样和参数估计
2.5
D X2116X20 .62 5 2
X 1i6 1
n
例6.1 设从均值为μ＝8，标准差σ＝0.6 的总体中 随机抽取样容量为 n＝25 的样本，假定总体并不是很偏
的，则 １．求样本均值 X 小于 7.9 的近似概率 ２．求样本均值 X 超过 7.9 的近似概率
它是θ的函数，记
n
L,x1,x2, ,xnfxi , i1
称为似然函数。
(6.14)
最大似然估计法就是求似然函数的最大值点 作ˆ 为
θ 的估计量。
例6.4 设 X1,X2,,Xn来自正态总体 N(,2) ，求μ
与 2 的最大似然估计。
解：正态总体 N,2的概率密度为
2. P(X7.9)1P(X7.9)
1P(Z0.83 )0.7967
3. P( X 0.1) P( 0.1 X 0.1 )
0.12 0.12 0.12
PZ 0.83P(Z 0.83) 20.83120.79671
0.5934
解：⑴．根据中心极限定理，当厂商假定正确时，50个
电池的平均寿命 X 近似服从正态分布，有
54,
2
2
62
0.72
X
X n 50
0.720.85 X
即
X~N5,0 4 .825
⑵
．
P X 52P X0.8554502.8554
PZ2.351PZ2.35
Z0.0
5
2
2451
1
2
1.645 89 61.37
2
五、两个样本方差比的分布
设 X1,X2,,Xn1 为来自正态总体 N1,12 的一个 随机样本，Y1,Y2,,Yn2 是来自正态总体 N2,22 的一个
抽样分布与参数估计概述
抽样分布与参数估计概述引言在统计学中，我们经常需要推断整个总体的性质，并据此进行决策或推断。
然而，由于种种原因，我们往往无法直接观察到整个总体的数据。
这时，我们通过对样本的观察和分析来进行总体的推断，这就涉及到了抽样分布和参数估计。
抽样分布抽样分布是指由相同样本大小的一系列独立随机样本所得到的统计量的分布。
在统计学中，我们通常将样本平均值、样本比例或者其他统计量作为总体参数的估计量。
而抽样分布那么将这些统计量的取值范围进行了描述。
中心极限定理中心极限定理是抽样分布的重要定理之一。
它指出，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布将近似于正态分布。
换言之，即使总体分布未知或不是正态分布，样本均值的抽样分布将会趋近于正态分布。
中心极限定理的意义在于，它允许我们利用正态分布的性质来对总体参数进行估计和推断。
通过对样本数据进行观察和分析，我们可以得到样本的均值和标准差，进而利用正态分布的性质来进行置信区间的构造、假设检验等。
参数估计参数估计是指利用样本数据对总体参数进行估计的过程。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计点估计是通过单个统计量来估计总体参数的方法。
例如，我们可以用样本均值作为总体均值的估计值，用样本比例作为总体比例的估计值。
点估计能够给出一个具体的数值作为总体参数的估计，但是无法给出估计值的准确性。
区间估计区间估计是通过一个区间来估计总体参数的范围。
而这个区间通常使用置信区间来表示。
置信区间是指总体参数估计值在一定置信水平下的上下限范围。
常用的置信水平有95%和99%等。
置信区间的构造通常基于抽样分布的性质。
利用样本数据和抽样分布的知识，我们可以计算出参数估计值的抽样分布，并根据置信水平选择适当的临界值，从而得到置信区间。
总结抽样分布和参数估计是统计学中重要的概念和方法。
通过对样本数据的观察和分析，我们可以利用抽样分布和参数估计方法来推断总体的性质，并进行统计推断和决策。
中心极限定理告诉我们，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布将近似于正态分布，从而允许我们利用正态分布的性质对总体参数进行估计和推断。
统计学之抽样与总体参数的估计(ppt 67页)
6.1.3 样本均值的分布与中心极限定理
1、样本均值X分布的含义
采用随机抽样的方法，从总体中抽取大小为n的一个样本,计 算出它的平均值X1,然后将这些个体放回总体去,再抽取n个个 体,又可以计算出平均值X2,… 再将n个个体放回去,再抽取n个 个体,如此可以计算出无限个X,这些样本均值X所有可能值的 概率分布叫均值X的抽样分布.
第六章 抽样与总体参数的估计
统计推断是统计学研究的重要内容。抽样是进行统计 统计推断的基础工作。参数估计是统计推断的重要内 容之一。 6.1 抽样与抽样分布 6.2 参数的估计方法 6.3 总体均值和总体比例的区间估计 6.4 两个总体均值及两个总体比例之差的估计 6.5 正态总体方差及两个正态总体方差比的区间估计 6.6 相关系数的区间估计
2 2
2 2
S
2 X
1 n1 1
n1 i 1
(Xi
X )2,
X
1 n1
n1 i 1
Xi
SY2
1 n2 1
n2
(Yi
i 1
Y )2,Y
1 n2
n2
Yi
i 1
F(n1-1,n2-1)为第一自由度(分子自由度)为n1-1,为第二自由度 (分母自由度)为n2-1的F分布。
F分布的定义
设有两个总体X, Y,已知X ~ 2 (n1), Y ~ 2 (n2 ),并且X与Y相互独立，则称随机变量
具有可加性。
4) E( 2 (n)) n,
D( 2 (n)) 2n
卡方分布表给出了卡方变
量在不同自由度下的临界
值. P( 2 2 (n)) 0
2 (n)
当n很大时, 2 2(n) 近似服从 N ( 2n 1,1)
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样本均值的抽样分布
计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均 值的抽样分布
16个样本的均值（x）
第一个 观察值
第二个观察值 1 2 3 4
1 1.0 1.5 2.0 2.5
2 1.5 2.0 2.5 3.0
3 2.0 2.5 3.0 3.5
4 2.5 3.0 3.5 4.0
P(x) 0.3
0.2
0.1
0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
样本均值的抽样分布
教育统计学讲义抽样理论和参数估计
样本均值的分布与总体分布的比较
总体分布
.3
.2
.1 0
1
234
= 2.5
σ2 =1.25
.3 P ( x )
抽样分布
.2
.1
0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
心理与教育统计学
第六章 抽样理论与参数估计
教育统计学讲义抽样理论和参数估计
本章要点：
1. 抽样方法； 2. 抽样分布； 3. 参数估计；
教育统计学讲义抽样理论和参数估计
概率与概率分布
1. 抽样的基本概念与方法
教育统计学讲义抽样理论和参数估计
Definition of terms
Population & Sample;
教育统计学讲义抽样理论和参数估计
Definition of terms
Population & Sample; Sample is a subset of a population that shares the
same characteristics as the population.
样本（Sample）总体的一个子集，拥有与总体同样的 特征。 也就是说，按统计的原则和方法从总体中随机抽取一 部分个体。 样本所含的个体数叫做样本含量(sample size) 。
教育统计学讲义抽样理论和参数估计
总体
参数
抽取部分观察单位 样本
统计量
统计量：样本的统计指 标，如样本均数、标准 差，采用拉丁字母分别
记为 X、S 。 参数附
近波动的随机变量 。
推断inference
参数：总体的统计指标，如总体均数、标准差，采用希腊字
母分别记为μ、σ。固定的常数。
教育统计学讲义抽样理论和参数估计
方法： 将总体元素连续编号 确定样本间的间距（N/n=K） 随机确定一个起点A（1<A<K）后，每隔K个单位抽取一
个。
教育统计学讲义抽样理论和参数估计
分层抽样
将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从 不同的层中独立、随机地抽取样本 原则： 层间差异大于层内差异（层内样本差异要小；层与曾间的差 异尽可能大) 方法： 按各层比例分配样本元素个数。 各个层次按简单随机抽样的方法抽样，产生自己的样本，最 后合成整个整体。
抽样分布的形成过程(sampling distribution)
总体
样
计算样本统计
本
量
如：样本均值
、比例、方差
教育统计学讲义抽样理论和参数估计
样本均值的抽样分布
在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所
有可能取值形成的相对频数分布 一种理论概率分布
推断总体均值的理论基础
教育统计学讲义抽样理论和参数估计
样本均值的抽样分布
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本； 采用重复抽样条件（C41 * C41 ） 所有样本的结果为：
所有可能的n = 2 的样本（共16个）
第一个
第二个观察值
观察值
1
2
3
4
1
1,1
1,2
1,3
1,4
2
2,1
2,2
2,3
2,4
3
3,1
3,2
3,3
3,4
4
4,1
4,2
4,3
4,4
教育统计学讲义抽样理论和参数估计
Population is a complete set of individuals, objects, or measurements having some common observable characteristic.
总体（Population）是具有某些共同的可被观察的特征 的人和物的总集合。 或者，根据研究目的确定的同质研究对象的全体（集 合），分有限总体与无限总体。 总体中接受统计观测的每一个对象叫做个体（case）， 个体是统计的基本单位。
简单随机抽样
概念：从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本， 使得每一个容量为样本都有相同的机会(概率)被抽中。 抽取元素的具体方法： a、抽签法； b、随机数字
教育统计学讲义抽样理论和参数估计
等距抽样
将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定 的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先 规定好的规则确定其他样本单位。
教育统计学讲义抽样理论和参数估计
概率与概率分布
2. 抽样分布
教育统计学讲义抽样理论和参数估计
总体分布(population distribution)
总体中各元素的观察值所形成的分布 分布通常是未知的 可以假定它服从某种分布
总体
教育统计学讲义抽样理论和参数估计
样本分布(sample distribution)
x 2.5
2 x
0.625
教育统计学讲义抽样理论和参数估计
样本均值的抽样分布
样本均值的数学期望
E(x)
样本均值的方差
一个样本中各观察值的分布 也称经验分布 当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总
体的分布
样 本
教育统计学讲义抽样理论和参数估计
抽样分布(sampling distribution)
从总体X中，随机抽取n个样本元素：“x1 、x2 ……xn ”， 则 f(x1 、x2 ……xn ) 即统计量的概率分布即抽样分布。
样本均值的抽样分布
例：设一个总体，含有4个个体 ，即总体单位数
N=4。4 个个体的取值分别为x1=1，x2=2，x3=3， x4=4 。总体的均值、方差及分布如下
总体分布
均值和方差
.3
.2
.1 0
1
234
n
xi
i1 2.5
N
N
(xi )2
2 i1
N
1.25
教育统计学讲义抽样理论和参数估计
例： X
1 n
n
i1
xi
是样本“x1 、x2 ……xn
”的函数；
当“x1 、x2 ……xn ”是随机变量时， X 也是随机变量；
当“x1 、x2 ……xn ”有确定的值时， X 就是个统计量；
样本容量相同的所有可能样本
教育统计学讲义抽样理论和参数估计