( 数学建模)排队论模型
数学建模方法及其应用医院排队论模型
排队系统模拟
所谓排队系统模拟,就是利用计算机对一个客 观复杂的排队系统的结构和行为进行动态模拟,以 获得反映其系统本质特征的数量指标结果,进而预 测、分析或评价该系统的行为效果,为决策者提供 决策依据.
如果医院增添服务人员和设备,就要增加投资或发生空闲浪费; 如果减少服务设备,排队等待时间太长,对患者和社会都会带来不良 影响.
的； ③ 普通性：在同时间点上就诊或手术最多到达1个患者, 不
存在同时到达2个以上患者的情况； ④ 有限性：在有限的时间区间内只能到达有限个患者, 不可
能有无限个患者到达.
患者的总体可以是无限的也可以是有限的； 患者到来方式可以是单个的，也可以是成批的；
相继到达的间隔时间可以是确定的，也可是随机 的； 患者的到达可以是相互独立的，也可以是关联； 到来的过程可以是平稳的，也可是非平稳的；
医院排队系统的组成
排队系统的基本结构由四个部分构成：来到过 程（输入）、服务时间、服务窗口和排队规则. 1、来到过程（输入）是指不同类型的患者按照各 种 规律来到医院. 2、服务时间是指患者接收服务的时间规律. 3、服务窗口则表明可开放多少服务窗口来接纳患 者. 4、排队规则确定到达的患者按照某种一定的次序 接 受服务.
设在任意时刻t系统中有n个患者的概率Pn(t). 当系统达到稳 定状态后,Pn(t)趋于平衡Pn且与t无关. 此时,称系统处于统计平衡 状态,并称Pn为统计平衡状态下的稳态概率.
Pn=(1- ) n, n = 0, 1, 2, … . 其中 =/ 表示有效的平均到达率与平均服务率 之比(0＜ ＜
1).
医院排队论模型
医院就医排队是一种经常遇见的非常熟悉的现象.它每天以这 样或那样的形式出现在我们面前. 例如,患者到医院就医,患者到药 房配药、患者到输液室输液等,往往需要排队等待接受某种服务.
数学建模：排队论2
无顾客
无顾客
n
无顾客 1 个顾客
n
1 个顾客 无顾客
n
1 个顾客 1 个顾客
n
9
上述四种情况发生概率分别为：
情况
时刻 t 顾客数
区间[ t，t + △t ) 到达顾客 离开顾客
概率
A
n
无顾客 无顾客 pn (t )(1 t )(1 t )
B
n+1
无顾客 1 个顾客 pn1(t )(1 t )t
时刻 t 顾客数
0 1 0
区间[ t，t + △t )
时刻 t + △t
到达顾客 离开顾客 顾客数
无顾客
无顾客
0
无顾客 1 个顾客
0
1 个顾客 1 个顾客
0
16
上述三种情况发生概率分别为：
情况
时刻 t 顾客数
区间[ t，t + △t ) 到达顾客 离开顾客
A
0
无顾客
无顾客
B
1
无顾客 1 个顾客
D
0
12
dpn (t ) dt
pn1(t )
pn1(t )
(
)
pn (t )
解上述方程的解是很困难的。这里只研究系统达到平
稳状态的情况，即系统运行了无限长时间之后，状态
概率分布不再随时间变化，显然此时 dpn (t ) 0
dt
13
由此可得，当 n≥1 时：
pn1 pn1 ( ) pn 0，n 1
第四节 单服务台负指数分 布排队系统
讨论单服务台的排队系统，并设定： 顾客到达过程服从泊松分布。 顾客服务时间服从负指数分布。
2
数学建模排队论
数学建模排队论（最新版）目录一、数学建模与排队论简介二、数学建模的方法与应用三、排队论的概念及其应用四、数学建模在排队论中的应用案例五、总结正文一、数学建模与排队论简介数学建模是一种运用数学方法来描述和解决实际问题的科学方法，其目的是通过建立数学模型，揭示问题的本质，从而为解决实际问题提供理论依据。
而排队论是研究随机服务系统中顾客等待现象的一种数学理论，主要用于分析和优化服务系统的性能，以提高服务效率和顾客满意度。
二、数学建模的方法与应用数学建模的方法主要包括概率论、统计学、微分方程等。
这些方法在各个领域都有广泛的应用，如在经济学中分析市场需求、预测价格波动；在生物学中研究生物种群的数量变化等。
数学建模在排队论中也有着重要的应用，可以帮助我们理解顾客等待现象，优化服务系统。
三、排队论的概念及其应用排队论主要研究服务系统中的顾客到达、服务、离开等过程，以及顾客等待时间、服务时间等随机变量。
排队论的应用领域非常广泛，涉及到服务行业、交通工程、通信系统等。
通过排队论的分析，可以有效地优化服务系统的结构和策略，减少顾客等待时间，提高服务质量。
四、数学建模在排队论中的应用案例以一家医院挂号为例，我们可以通过数学建模和排队论来分析和优化挂号流程。
首先，我们可以建立一个概率模型，描述病人到达、挂号、就诊等过程。
然后，通过分析模型中的参数，如到达率、服务率等，可以得到病人等待时间的分布，从而为优化挂号流程提供依据。
例如，可以通过增加挂号窗口、提高挂号效率等措施，来减少病人的等待时间。
五、总结数学建模与排队论在实际应用中相辅相成，通过建立数学模型，可以更好地理解和优化排队现象。
数学建模--排队论
B表示顾客源的数目；C表示服务规则；
课件
13
M /M /1/ / /FCFS
表示了一个顾客的到达时间间隔服从相同的负指数分布， 服务时间为负指数分布、单个服务台、 系统容量为无限、 顾客量无限、排队规则为先来先服务的排队模型。
课件
14
四、排队系统的主要数量指标和记号
1、队长和排队长 2、等待时间和逗留时间 3、忙期和闲期
排队论（Queueing Theory）
现实生活中的实例：
进餐馆就餐 到图书馆借书 去售票处购票 在车站等车等等
课件
2
一、排队系统的特征及排队论：
顾客为了得到某中服务而到达系统，若不能获得服 务而允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离 开系统。
课件
3
排队的形式：
顾客到达
队列
服务台
服务完成后离去
记
,
并设
1,
n 则：Cn
n1,2,
pnnp0
n1,2,
课件
22
其中：
p0
1
1
n
1
n
n0
1
n1
因此： p n(1)n
n0 ,1 ,
课件
23
②几个主要数量指标
平均队长：
Ln 0nnp n 0n (1)n1
平均排队长：
Lq (n1)pn L(1p0)L n1
2 2 1 ()
课件
24
关于顾客在系统中的逗留时间T，说明服从参数
的负指数分布，P T t e ( ) t
t 0
因此，平均逗留时间W为：
WE(T) 1
顾客在系统中逗留时间为等待时间和接受服务时间之和：
数学建模排队论
数学建模排队论
排队论是一种数学理论，它研究的是人们排队等待服务或交通等系统的行为模式。
在排队论中，数学建模被广泛应用于分析和优化这些系统的性能和效率。
排队系统的基本构成包括到达过程、服务过程和队列规则。
到达过程指的是顾客或流量进入系统的过程，它可以用概率分布来描述。
服务过程指的是系统为每个顾客提供服务的时间，同样也可以用概率分布来描述。
队列规则则规定了顾客在等待队列中的顺序以及他们被服务的顺序。
在排队系统中，我们通常关注两个主要的性能指标：平均等待时间和平均队列长度。
平均等待时间指的是顾客在进入系统后需要等待多长时间才能接受服务的时间平均值，而平均队列长度则指的是在某个时间点等待服务的顾客数量的平均值。
为了分析和优化排队系统的性能，我们可以使用数学模型进行建模。
其中最常用的模型包括M/M/1模型、M/M/c模型、M/G/1模型等。
这些模型分别描述了不同的到达过程、服务过程和队列规则，并且可以计算出各种性能指标。
例如，M/M/1模型表示到达过程和服务过程都是泊松分布，并且只有一个服务窗口。
在这种情况下，我们可以使用该模型计算出平均等待时间和平均队列长度，并比较不同服务率下的性能指标。
M/M/c模型则表示到达过程和服务过程都是泊松分布，但是有c个服
务窗口。
在这种情况下，我们可以研究如何合理分配服务窗口的数量以优化系统的性能。
数学建模排队论是一种非常有用的工具，它可以用来分析和优化人们排队等待服务或交通等系统的行为模式。
通过建立数学模型，我们可以更好地理解这些系统的性能和效率，从而为实际应用提供指导。
数学建模.排队论讲解
P1
(m 1)
(m n 1) (m n)
P2
Pn 1
Pn
Pn 1
2
由状态转移图，可以建立系统概率平衡方程如下： P 1 mP 0, Pn 1 (m n 1)Pn 1 [(m n) ]Pn , 1 n m 1 Pm Pm 1 ,
E (T ) 1
n!
e
1.5 排队系统的常用分布
同样，对顾客服务时间常用的概率分布也是负指数分布， 概率密度为： t
f (t ) e
(t 0)
其中 表示单位时间内完成服务的顾客数，也称平均服务率． 3）爱尔朗分布：
(k ) k t k 1 kt 分布密度函数： f k (t ) (k 1)! e (t 0, k , 0)
N k k
模型的各数量指标参数如下： 1）系统里没有顾客的概率 1 1 N 1 P
0
1 1
1 1 N
2.2 系统容量有限的 M / M / 1/N / 模型
n P P0，n N 2）系统里有n个顾客的概率 n
3）在系统里的平均顾客数
3）服务时间的分布——在多数情况下，对每一个顾客的服务 时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、 爱尔朗分布等.
1.3 排队系统的符号表示（Kendall符号）
根据不同的输入过程、排队规则和服务台数量，可以形成 不同的排队模型，为方便对模型的描述，通常采用如下的符 号形式：
X /Y / Z / A/ B /C
式中 表示平均到达率与平均服务率 之比，称为服务强度.
2.1 标准的 M / M / 1 模型
数学建模排队论模型
数学建模排队论模型排队论模型是一种数学建模方法，用于研究排队系统中的等待时间、服务效率和资源利用率等问题。
排队论模型可以应用于各种领域，如交通运输、医疗服务、银行业务等。
本文将介绍排队论模型的基本概念和应用。
一、排队论模型的基本概念排队论模型的基本概念包括：顾客到达率、服务率、队列长度、等待时间、系统利用率等。
顾客到达率是指单位时间内到达系统的顾客数量，通常用λ表示。
服务率是指单位时间内一个服务员能够完成服务的顾客数量，通常用μ表示。
队列长度是指系统中正在等待服务的顾客数量。
等待时间是指顾客在队列中等待服务的时间。
系统利用率是指系统中所有服务员的利用率之和。
排队论模型可以分为单队列模型和多队列模型。
单队列模型是指系统中只有一个队列，多个服务员依次为顾客提供服务。
多队列模型是指系统中有多个队列，每个队列对应一个服务员，顾客可以选择任意一个队列等待服务。
二、排队论模型的应用排队论模型可以应用于各种领域，如交通运输、医疗服务、银行业务等。
下面以银行业务为例，介绍排队论模型的应用。
在银行业务中，顾客到达率和服务率是两个重要的参数。
顾客到达率受到银行营业时间、银行位置、顾客数量等因素的影响。
服务率受到银行服务员数量、服务质量、服务时间等因素的影响。
为了提高银行的服务效率和资源利用率，可以采用排队论模型进行优化。
首先需要确定银行的顾客到达率和服务率，然后根据排队论模型计算出等待时间、队列长度、系统利用率等指标。
根据这些指标，可以制定相应的服务策略，如增加服务员数量、优化服务流程、提高服务质量等。
例如，如果银行的顾客到达率较高，服务员数量较少，导致顾客等待时间较长，可以考虑增加服务员数量或优化服务流程，以缩短顾客等待时间。
如果银行的服务率较低，导致服务员利用率较低，可以考虑提高服务质量或增加服务时间，以提高服务员利用率。
三、排队论模型的局限性排队论模型虽然可以应用于各种领域，但也存在一些局限性。
首先，排队论模型假设顾客到达率和服务率是稳定的，但实际情况中这些参数可能会发生变化。
数学建模：第五章 排 队 论
令 T0 = 0 Tn ：第 n 个顾客到达时刻， Xn：第 n 个顾客与第 n-1 个顾客到达的时间间隔。 则有
T0 T1 Tn
X n Tn Tn1 , n 1,2,
18
一般假定 { Xn }是独立同分布的，并记其分布函数 为 A( t )。关于{ Xn }的分布，排队论中经常用到的 有以下两种： ➢定长分布（D）：顾客相继到达时间间隔为确定 的常数。
Wq(t)：时刻 t 到达系统的顾客在系统中的等待时间。
pn(t)：时刻 t ，系统中有 n 个顾客的概率。
44
pn(t)
过渡状态
平稳状态
t
45
上述指标一般都是和系统运行的时间有关的随机变量 ，求这些随机变量的瞬时分布一般都是很困难的。 相当一部分排队系统，在运行了一定时间后，都会趋 于一个平稳状态（或称平衡状态），平稳状态下这些 指标和系统所处的时刻无关。
19
➢Poisson流（M）：顾客相继到达时间间隔的密度 函数为：
e t
a(
2. 排队
损失制排队系统
有限排队
队长有限排队系统
排队
混合制排队系统 等待时间有限排队系统
逗留时间有限排队系统 无限排队（等待制排队系统）
21
（1）有限排队
有限排队：排队系统中的顾客数是有限的，即系统 的空间是有限的，当系统被占满时，后面再来的顾 客将不能进入排队系统。
顾客相继到达时间 单个服务台
间隔为负指数分布
顾客源无限
M / M / 1 / ∞ / ∞ / FCFS
服务时间为负指数
分布
系统容量为无限
先到先服务
39
X/Y/Z/A/B/C
省略后三位
数学建模-排队论
①模型特点
顾客总体为m个，每个顾客到达并经过服 务台后，任然回到原来总体，所以任然可 以到来。
②系统的稳态概率 Pn ；
1
P0 m m! ( )i
i0 (m i)!
Pn
m! (m n)!
(
)n
P0
,1
n
m
③系统运行指标 a、 系统中平均顾客数（队长期望值）
Ls m (1 P0)
排队论
（Queueing Theory）
生活中处处可见的排队现象
商店、超市等收款处排队付款 车站、民航、港口等售票处依次购买车船票 各种生产系统、存储系统、运输系统等一系
列现象 大型网游登陆前的排队等等
基本概念
研究随机的排队服务模型的主要工具是 排队论，排队论又称为随机服务系统理 论，是研究由顾客、服务机构及其排队 现象所构成的一种排队系统理论。
PnP10
P1 0 Pn1 (
) Pn
0
n 1
(3)
这是关于 Pn 的差分方程，表明了各状态间的转移 关系，可以用下图表示：
0
1
n-1
n
n+1
由上式可得 Pn ( / )n P0 令 / 1（否则队列将
排至无限远），由概率性质知
Pn 1
n0
将
Pn
的关系带入，
P0
n
n0
1
P0 1
求 limPn(t) Pn，此时系统的状态概率分布不再随时间变化 n
（4）利用 Pn 求系统运行指标
①队长：系统中的顾客数，期望记为 Ls ②排队长：系统中排队等待覅物的顾客数，期望记为 Lq ③逗留时间：一个顾客在系统中的停留时间，期望记为 Ws ④等待时间：一个顾客在系统中排队等待的时间，期望记
( 数学建模)排队论模型
(1)流具有平衡性
对任何 a和0 0t1t,2 tn x ( a t i) x ( a ) ( 1 i n )
的分布只取决于 t1,t2, 而,t与n 无关a。
(2)流具有无后效性
对互不交接的时间区间序列 a i,b i ( 1 i， n )
x(bi)是x(a一i)组相互独立的随机变量。
(3)流具有普通性 liP m xr (a t)x(a ) 1 0
(2)逗留时间
逗留时间是指一顾客从进入系统起一直到接受服 务后离开系统为止所花费的时间；等待时间是指一 顾客从进入系统起到接受服务时所花费的时间。显 然，一个顾客的逗留时间等于其等待时间与接受服 务的时间之和。逗留时间与等待时间对顾客来说是 最关心的，因为每个顾客都希望自己用于排队等待 的时间愈短愈好。
P T t 1 r T t 0 P T t 1 r t 0
上式可改写为：对任何 t0 ，0都有
P T t 0 r x T t 0 P T x r
如果把T解释为寿命，上式表明：如果已知年龄大
排队论模型
排队论模型
一、排队论的基本概念 二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统） 三、多通道等待制排队问题
（M／M／c排队系统）
一、排队论的基本概念
（一）排队过程 1.排队系统
“排队”是指在服务机构处要求服务对象的一个等 待队列，而“排队论”则是研究各种排队现象的理论。
到来 顾客源
排队机构
常用的记号：M——负指数分布；D——确定型； Ek——k阶爱尔朗（Erlang）分布；GI——一般相互 独立的随机分布，G——一般随机分布。这里主要讨 论M／M／1，M／M／C。
2.排队模型的数量指标
(1)队长
数学建模讲座 排队论模型
(2)
μ—— 排队系统的输出率
C自动扶梯——自动扶梯的 通过能力
d自动扶梯——自动扶梯的 净宽度
C楼梯——楼梯的通过能力
d楼梯——楼梯的净宽度
输出时间 t1表达式为：
t1
w
n
(3)
通过上面的假设和分析，每一组楼梯和自动 扶梯所组成的服务系统是一个定长输入、定 长输出的单通道排队系统，由n组楼梯和自动 扶梯布置在站台形成的乘客排队系统则是一 个定长输入、定长输出、多通道的排队系统 即：d/d/n排队系统。
load);L_q=R*W_q; W_s=W_q+T;L_s=W_s*R; End
例2： Model: S=3;R=15;T=10/60;load=R*T; Pwait=@peb(load,S); W_q=Pwait*T/(S-load); L_q=R*W_q; W_s=W_q+T;L_s=W_s*R; END
q w n
l
输入的时间 t0 2 n v
其输入率λ的具体表达式为：
2wv
(1)
l
λ——排队系统的输入率 W——列车到站后下车或换乘的人数 v——下车乘客在站台上的行走速度 l——站台的有效长度 n——站台上楼梯和自动扶梯的组数
排队规则：乘客到达楼梯和自动扶梯口处， 若楼梯和自动扶梯没被占用时，乘客立即使 用楼梯和自动扶梯，若楼梯和自动扶梯被占 用，不能为乘客提供服务时，乘客就会在此 等候楼梯和自动扶梯的服务，而且服务次序 为先到先服务。
3.@pfs(load,S,K)
该函数的返回值是当到达负荷为load ，顾客数为K,平行服务台 数量为S时，有限源的Poisson服务系统等待或返修顾客数的 期望值
数学建模-排队论及其应用)
ρ ——服务强度，即每个服务台单位时间内的平均 服务时间，—般有ρ =λ ／(sμ )，这是衡量排队 系统繁忙程度的重要尺度，当ρ 趋近于0时，表 明对期望服务的数量来说，服务能力相对地说 是很大的。这时，等待时间一定很短，服务台 有大量的空闲时间；如服务强度ρ 趋近于1，那 么服务台空闲时间较少而顾客等待时间较多。 我们一般都假定平均服务率μ 大于平均到达率 λ ，即λ /μ <1,否则排队的人数会越来越多， 以后总是保持这个假设而不再声明。
Wq W 1 0.75h 0.75h 45min
（4）为使病人平均逗留时间不超过半 小时，那么平均服务时间应减少多少？ 由于
1 1 W 2
代入λ =3，解得μ ≥5，平均服务时间 为：
1
1
5
h 12 min
15－12＝3min 即平均服务时间至少应减少3min
例1 某医院急诊室同时只能诊治一个病人，诊
故服务强度为：
60 3人 / h, 人 / h 4人 / h 15
3 0.75 4
（2）计算稳态概率：
P0 1 1 0.75 0.25
这就是急诊室空闲的概率，也是病人不 必等待立即就能就诊的概率。 而病人需要等待的概率则为：
(5)若医院希望候诊的病人90% 以上都能有 座位,则候诊室至少应安置多少座位? 设应该安置χ 个座位,加上急诊室的一 个座位,共有χ +1个。要使90% 以上的候诊 病人有座位，相当于使“来诊的病人数不 多于χ +1个”的概率不少于90%，即
P( N x 1) 1 P( N x 1) 0.9
(3)混合制
3．服务台
数学建模方法与其应用医院排队论模型
解 平均到达率 = 6/8 = 0.75人/小时,平均服 务率 = 1人/小时,服务强度 = 0.75/1 = 0.75.
① MRI室没有拍摄患者的概率为
P0 = 1 - = 1 - 0.75 = 0.25.
即工作人员有25%的时间空闲.
② MRI室有2名等候患者的概率为
此外, 用 表示服务强度,其值为有效的平均到达率与平均 服务率 之比, 即 =/ .
M | M | 1 模型
M|M|1模型是输入过程为泊松输入,服务时间为负指数分 布并具有单服务台的等待制排队系统模型,这是最简单的排队系 统模型.
假定系统的患者源和容量都是无限的,患者单队排列,排队 规则是先到先服务.
因此,医院管理人员要考虑如何在这两者之间取得平衡,以便 提高服务质量,降低服务费用.
医院排队论,就是为了解决上述问题而发展起来的一门科学.它 是运筹学的重要分支之一.
在排队论中,患者和提供各种形式服务的服务机构组成一个排 队系统,称为随机服务系统.
这些系统可以是具体的,也可以是抽象的. 排队系统模型已广泛应用于各种管理系统.如手术管理、输液 管理、医疗服务、医技业务、分诊服务,等等.
排队系统的主要数量指标
评价和优化排队系统,需要通过一定的数量指标来反映. 建立排队系统模型的主要数量指标有三个：等待时间、忙期 与队长. ⑴ 等待时间 指患者从到达系统时起到开始接受服务时止这 一段时间. 显然患者希望等待时间越短越好.
用Wq 表示患者在系统中的平均等待时间.若考虑到服务时间, 则用Ws 表示患者在系统中的平均逗留时间(包括等待时间和服务 时间).
的； ③ 普通性：在同时间点上就诊或手术最多到达1个患者, 不
存在同时到达2个以上患者的情况； ④ 有限性：在有限的时间区间内只能到达有限个患者, 不可
数学建模中的排队论问题
数学建模中的排队论问题数学建模是运用数学方法来解决实际问题的一种学科，而排队论则是数学建模中的一个重要问题。
排队论是研究人们在排队等待时所产生的等待时间、服务时间、队列长度等问题的数学理论。
在各个领域中，排队论都有广泛的应用，例如交通运输、生产调度、服务管理等。
排队论的基本概念包括顾客、服务台、队列、到达率、服务率等。
顾客是指等待服务的个体，可以是人、机器或其他物体。
服务台是为顾客提供服务的地方，可以是柜台、服务窗口或机器设备。
队列是顾客排队等待的区域。
到达率是指单位时间内到达队列的顾客数量。
服务率则是指单位时间内服务台完成服务的顾客数量。
排队论的目标是通过数学模型来分析和优化排队系统，以提高效率和服务质量。
常用的排队论模型有M/M/1, M/M/c, M/M/∞等，其中M表示到达率和服务率满足泊松分布，1表示一个服务台，c表示多个服务台，∞表示无穷多个服务台。
在现实生活中，排队论的应用非常广泛。
以交通运输为例，交通流量大的道路上常常出现拥堵现象。
排队论可以用来研究交通信号灯的时序控制，从而减少交通阻塞和等待时间。
排队论还可以应用于生产调度问题，如工厂的生产线、餐馆的点餐队列等，通过优化排队系统可以提高生产效率和顾客满意度。
除了基本的排队论模型，还有许多扩展模型用于解决更复杂的实际问题。
例如，考虑到顾客的不满意程度，可以引入优先级排队模型。
考虑到服务台设备可能发生故障，可以引入可靠性排队模型。
排队论也可以与优化算法相结合，寻找最佳的服务策略和资源配置。
在数学建模中，解决排队论问题通常需要进行数学推导、建立数学模型、进行仿真实验以及进行实际数据的拟合和验证。
通过数学建模的方法，可以对排队系统的性能进行全面评估，从而提出改进方案和决策策略。
综上所述，数学建模中的排队论问题在实际应用中具有重要的意义。
通过研究排队论，可以优化排队系统，提高效率和服务质量。
随着科技的进步和数据的丰富，排队论的研究将在各个领域中得到更广泛的应用和发展。
( - 数学建模)排队论模型
（- 数学建模）排队论模型第五讲排队论模型【修理工录用问题】工厂平均每天有一台机器发生故障而需要修理，机器的故障数服从泊松分布。
修理一台机器平均花费20元。
现有技术水平不同的修理工人A 和B，A种修理工平均每天能修理1.2台机器，每天工资3元；B种修理工平均每天能修理1.5台机器，每天工资5元，两种修理工修理机器的时间为负指数分布。
问工厂录用哪种工人较合算？本讲主要内容1. 排队论的基本概念2. 单服务台的排队模型3. 多服务台的排队模型4. 排队系统的最优化问题5. 数学建模实例：校园网的设计和调节收费问题5.1 排队论的基本概念5.1.1 什么是排队系统排队论也称随机服务系统理论，它是20世纪初由丹麦数学家Erlang应用数学方法在研究电话话务理论过程中而发展起来的一门学科，在实际中有广泛的应用。
它涉及的是建立一些数学模型，藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。
现实世界中排队的现象比比皆是，如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。
排队的内容虽然不同，但有如下共同特征：（1）有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为“顾客”。
（2）有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员”。
由顾客和服务员就组成服务系统。
（3）顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间不一定是确定的，服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队，而某些时候服务员又空闲无事。
为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分：1.输入过程即顾客来到服务台的概率分布。
排队问题首先要根据原始资料，由顾客到达的规律、作出经验分布，然后按照统计学的方法（如卡方检验法）确定服从哪种理论分布，并估计它的参数值。
我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布，且顾客的达到是相互独立的、平稳的输入过程。
所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的影响。
数模排队论
如何考虑随机因素，设计合理方案，建立数学模 型，一方面提供服务的服务机构即公交公司的线
路设计合理，能够赢得顾客，获得利益；另一方 面被服务的顾客能够在被服务的过程中，排队等 候的时间最短，这都是上述问题要解决的，也是 排队论的主要研究内容.
二、排队论的基本知识
1.背景介绍
排队论是研究排队现象的理论和应用的学科，是 专门研究由于随机因素影响而产生的拥挤现象的科学. 20世纪初丹麦数学家、电气工程师爱尔朗把概率论应 用于电话通话问题，从而开创了这门应用数学科学. 20世纪30年代中期，费勒引进了生灭过程，排队论 才被数学界承认为一门重要的学科.20世纪40年代排 对论在运筹学这个新领域中成了一个重要的部分.20 世纪50年代初肯德尔对排对论作了系统的研究，他用
(iii) 顾客流的概率分布.或称相继顾客到达的时间 间隔的分布.这是求解排队系统有关运行指标问题 时，首先需要确定的指标.顾客流的概率分布一般 有定长分布、二项分布、泊松流(最简单流)、爱尔 朗分布等若干种. (2).排对规则 指服务台从队列中选取顾客进行 服务的顺序.一般可以分为损失制、等待制和混 合制等3大类. (i)损失制 指如果顾客到达排队系统时，所有 服务台都被先到的顾客占用，那么他们就自动 离开系统永不再来.
5分钟，车辆满载率不应超过120%，一般也不要
低于50%. 试根据这些材料和要求，为该线路设计一个 便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案 包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少 辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和 公交公司双方的利益；等等.
2.问题分析：
对于第一个问题，关于公交车的调度方案，
(ii)服务方式. 这是指在某一时刻接受服务的顾客数， 它有单个服务和成批服务两种. (iii)服务时间的分布.在多数情况下，对每一个顾客的 服务时间是一随机变量.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
顾客数状况，与过去时刻
t1,时t2顾,客,数tn的2 状况无
关。这个特性就是随机过程
x(t) : t 0
的Markov特性。
我们把系统在某一时刻的顾客数看做系统在这个
时刻的状态。根据系统状态 x的(t)Markov特性，容
易研究在时间区间 (t,t 内t)系统状态的转移概率，为
研究系统在任一时刻的状态分布提供工具。
t
t
即在t时间内，事件发生多于1次的概率为 o(。t)
定理1设 x(t) :t是 0最 简单流，则对任何 和a 0 t 0 都有 Prx(a t) x(a) k (k)k et (k 0,1,2, )
k!
我们把满足这一分布规律的随机过程 x(t) :t 0
称为Poisson过程，最简单流亦称Poisson流，特别
上、下班的工人乘公共汽车 病人到医院看病 高炮击退敌机
机器发生故障需要维修
顾客
工人 病人 敌机 机器
服务台
公共汽车 医生 高炮 修理工
排队系统队列除了有形的还有无形的。
在上述顾客-服务台组成的排队系统中，顾客到来 的时刻与服务台进行服务的时间一般来说是随不同 的时机与条件而变化的，往往预先无法确定。因此， 系统的状态是随机的，故而排队论也称随机服务系 统。
Pr(t,内t 多于t) 一名顾客进入 Pr(t,t内没t有) 顾客离开
o(t) et 1 t o(t)
Pr(t,t内有t一) 名顾客离开
tet t o(t)
Pr(t,内t 多t于) 一名顾客离开
o(t)
导出 pn (满t)足的微分方程组
p0(t t) p0(t)(1 t) p1(t)t(1 t) o(t) p0 (t t) p0 (t) p0 (t)t p1(t)t o(t)
(1)流具有平衡性
对任何 a 和0 0 t1 t,2 tn x(a ti ) x(a)
的分布只取决于 t1,t2,而,t与n 无关a。
(2)流具有无后效性
(1 i n)
对互不交接的时间区间序列 ai ,bi (1 i， n)
x(bi ) 是x(a一i ) 组相互独立的随机变量。
(3)流具有普通性 lim Prx(a t) x(a) 1 0
(3)忙期
忙期是指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再 次为空闲为止的这段时间，即服务机构连续繁忙的时 间长度。这是服务机构最关心的数量指标，因为它直 接关系到服务员的工作强度，与忙期相对应的是闲期， 即为服务机构连续保持空闲的时间长度。显然，在排 队系统中，忙期与闲期是交错出现的。
（三）Poisson流与指数分布
2.排队系统的稳态解
记时刻t系统处于状态n的概率 Pn (t) Prx(t) n
利用M／M／1／∞对输入与服务时间分布的假设，在时
间区间 (t,t 内，t) 新进入或离开顾客个数有以下结果：
Pr(t,内t 没有t) 顾客进入
et 1 t o(t)
Pr(t,内t 新进t) 入一名顾客
tet t o(t)
的长度(tn1,tn )，即
tn tn1
Pr x(tn ) in x(t1) i1, x(t2 ) i2, , x(tn1) in1
Pr x(tn ) in x(tn1) in1
直观地说，如果知道现在时刻 tn时1 系统的顾客数
状况，那么从概率意义上来说，将来时刻 时系tn 统的
(2)排队规则
排队规则是指到达的顾客以怎样的规则接受服务。 1）损失制：顾客到达，服务台不空立即离去，另 求服务。 2）等待制：顾客到达，排队等待。对等待制服务 可分为：先到先服务，后到先服务，优先服务，随机 服务，成批服务等。 3）混合制：在现实生活中，很多服务系统介于损 失制和等待制之间，当顾客到达时，服务台不空就排 队，若排队的位置已满就离去。
1.最简单流与Poisson过程
记随机过程｛x（t）：t≥0｝为时间［0，t］内流 (事件)发生的次数，例如对于随机到来某电话交换台 的呼叫，以x（t）表示该交换台在［0，t］这段时间 内收到呼叫的次数；若是服务机构，可以用x（t）表 示该机构在［0，t］时间内来到的顾客数。
最简单流应 x(t) :t 具 0有以下特征称
于是12分钟内进入15k名! 顾客的概率
Prx(12) 15
1
(
5
12)15
512
e3
0.0516
15! 3
(2)由于输入时间间隔τ服从参数为λ的指数分布
Pr n
t
1 0
et
t0 t0
则所求概率为
Pr n
1
5
e3
0.1888
二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统）
对于单通道等待制排队问题主要讨论输入过程 为Poisson流，服务时间服从负指数分布，单服务 台的情形，即M／M／1排队系统。
取a 0 得
Prx(t) k (k)k et
k!
Ex(t) t
(k 0,1,2, )
故参数λ表示单位时间内事件发生次数的平均数。
2.Poisson流的发生时间间隔分布
当流(过程) x(t) :t 构0成Poisson过程时，就称为
Poisson流。设流发生的时刻依次为 t1,t2,,…,，tn
(3)服务机构
服务机构主要指服务台的数目，多个服务台 进行服务时，服务方式是并联还是串联；服务 时间服从什么分布等。
（二）排队模型的分类及数量指标
1.排队模型的分类
D.G.Kendall引进了排队模型分类符号，现已广泛 采用，这里仅针对并列的服务台。
记X：顾客到达的时间间隔分布；Y：服务时间的分 布；Z：服务台数。则排队模型：X／Y／Z。
中的顾客数。
对于任何 0 t1 t条2 件 概 t率n
Pr x(tn ) in x(t1) i1, x(t2 ) i2, , x(tn1) in1
由于输入为Poisson流，服务时间服从负指数分布，
则无论x(t)在 t1,t2,处,tn取何值，上式条件概率仅依赖于
的值和x(t区n1 )间
PrT t1 T t0 PrT t1 t0
上式可改写为：对任何 t0 ，0 都有
PrT t0 xT t0 PrT x
如果把T解释为寿命，上式表明：如果已知年龄大
于 岁t0，则再活x年的概率与以前的 (年t0)无关，所以
有时又风趣地称指数分布是“永远年轻”。 上面两式表明连续型随机变量T的Markov特性当
常用的记号：M——负指数分布；D——确定型；Ek—— k阶爱尔朗（Erlang）分布；GI——一般相互独立的随 机分布，G——一般随机分布。这里主要讨论M／M／ 1，M／M／C。
2.排队模型的数量指标
(1)队长
队长是指系统中的顾客数(包括排队等候和正在 接受服务的顾客数)；等待队长是指系统中等待服务 的顾客数。无论是队长还是等待队长，都是顾客和 服务机构最关心的数量指标，特别是对系统设计者 来说，尤为重要，因为它涉及到系统等待空间的大 小。
顾客源
到来
排队机构
服务规则
服 离去 务 机 构
排队系统
在排队论中，我们把要求服务的对象称为“顾 客”，而将从事服务的机构或人称为“服务台”。 在顾客到达服务台时，可能立即得到服务，也可 能要等待到可以利用服务台的时候为止。
排队系统中的“顾客”与“服务台”这两个名词 可以从不同的角度去理解。
排队系统
（一）标准模型
即为M／M／1／∞排队系统。所谓标准模型， 就是顾客的输入流是参数为λ的Poisson流，每个 顾客的服务时间是相互独立的且服从参数为μ的负 指数分布，单个服务台且系统的容量无限(排队模 型分类第四个表示系统中允许的最大顾客数)。
1.系统的Markov特性
考虑随机过程 x(t) :t， 其0 中 为时x刻(t) 时排队系t 统
发生的时间间隔记为 n tn tn1(n，1其,2,中 ) 。 t0 0
定理2 事件流 x(t) :为t P0oisson流的充要条件是
x(t) :t的 0流 发生时间间隔 相互 n独 立，且服从相同的
负指数分布，即
Pr n
t
1 0
et
t0 t0
3.负指数分布的Markov特性
定理3设T为连续型随机变量，且T≥0，那么，T服从 负指数分布的充要条件是：对任何 t1 t0， 都0 有
当 时t 有0
p0(t) p0 (t) p1(t)
对 n1
pn (t t) pn1(t)t pn (t)(1 t)(1 t) pn1(t)t o(t)
pn (t) pn1(t) ( ) pn (t) pn1(t)
故pn (t满)足的微分方程组
pn (t) pn1(t) ( ) pn (t) pn1(t)
(2)逗留时间
逗留时间是指一顾客从进入系统起一直到接受服 务后离开系统为止所花费的时间；等待时间是指一 顾客从进入系统起到接受服务时所花费的时间。显 然，一个顾客的逗留时间等于其等待时间与接受服 务的时间之和。逗留时间与等待时间对顾客来说是 最关心的，因为每个顾客都希望自己用于排队等待 的时间愈短愈好。
2.排队系统的组成和特征
各式各样的排队现象呈现的基本特征：排队系统由 输入过程、排队规则及服务机构三部分组成。
(1)输入过程
输入过程就是顾客按怎样的规律到达，它首先应包 括顾客总体数，是有限的还是无限的；其次应说明顾 客到达的方式，是成批到达(每批数量是随机的还是确 定性的)还是单个到达；最后应说明相继到达的顾客 (或批或单个)之间的时间间隔的分布是什么。
p0
(t
)
p0
(t
)
p1
(t
)
n 1,2,
对于系统的稳定状态情形， pn (与t)t无关，