热力学统计物理试题(B卷)

热力学·统计物理试题（B 卷）

适用于200×级本科物理学专业 (200×-200×学年度第×学期)

1. (10分) 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关.

2. (20分) 试证明，相变潜热随温度的变化率为

β

p c dT dL =-αp c -+T

L αβαβ

v v L

T v T v p p -⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 如果β相是气相，α相是凝聚相，试证明上式可简化为：

α

βp p c c dT

dL -= 3．(10分) 若将U 看作独立变数T , V , n 1,… n k 的函数，试证明： （1）V

U

V

n U n U i i

i

∂∂+∂∂=

∑ （2）V

U

v n U u i

i i ∂∂+∂∂=

4．（20分） 试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为

∑-=s

Ps Ps Nk S ln

式中P s 是总粒子处于量子态s 的概率，1Z e N e P s s s βεβεα---=

=,∑s

对粒子的所有量子态求和。

5．（20分） 铁磁体中的自旋波也是一种准粒子,遵从玻色分布,色散关系是2

Ak =ω.试证明在低温下,这种准粒子的激发所导致的热容与2

/3T 成正比.

6．（20分）在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为

cp

=

ε,其中c为光速.试求自

由电子气体在0K时的费米能量,内能和简并压.

附标准答案

1. (10分) 解证：范氏气体()RT b v v a p =-⎪⎭

⎫

⎝⎛+

2 由式(2.2.7)⇒ T v U ⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂=T V

T p ⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂-p =T 2

v a p b v R =-- (5分) T v U ⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂=2v

a ⇒)(),(0T f v a U v T U +-=

=V C V

T U ⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂=)(T f ' ；与v 无关。 (5分)

2．(20分) 证明：显然属于一级相变; ()())(αβS S T L -=; 其中())(,T p T S S =，

在p ～T 相平衡曲线上.

()[]⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅∂∂∆+⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂∆+-=dT dp p S T T S T S S dT dL αβ 其中：=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∆T S ()P T S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂β()P

T S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-α =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∂∂∆dT dp p S [()P T S ⎪

⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂β()P T S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-α]dT dp

⋅ (5分) 又有：T C P =P

T S ⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂；()()

)(αβS S T L -= 由麦氏关系(2.2.4): -=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂T

p S P

T V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ （5分） 上几式联立(并将一级相变的克拉伯珑方程代入)得：

β

p c dT dL =-αp c -+T

L αβαβ

v v L

T v T v p p -⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ (5分) 若β相是气相，α相是凝聚相；()

αV

～0；()p

T V ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂α～0；

β相按理想气体处理。pV=RT

⇒

α

βp p c c dT

dL -= (5分)

3．（10分） 证明：（1） ),,,(),,,(11k k n n V T U n n V T U λλλλ=

根据欧勒定理，f x f x i i i =∂∂∑ ，可得

V U

V

n U n U i i

i

∂∂+∂∂=∑ (5分) （2）i i

i i i i i i i

i

u n V U

v n U n V U V n U n U ∑∑∑=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=

)( V

U

v n U u i

i i ∂∂+∂∂=

(5分) 4．（20分）证明：出现某状态s ψ几率为P s

设S 1,S 2,……S k 状态对应的能级s 'ε

设S k+1 ,S k+2,……S w 状态对应的能级s 'ε

类似………………………………

则出现某微观状态的几率可作如下计算：根据玻尔兹曼统计 N

e P s

S βεα--=；

显然NP s 代表粒子处于某量子态S 下的几率，S

e

NP S βεα--=。于是

S

e βε

α-

-∑代表

处于S 状态下的粒子数。例如，对于s 'ε能级⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛∑=--'K S S S S e 1βεα个粒子在s 'ε上的K 个微观状态的概率为： ()()⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛''∑

=='='--k S S S s e S S P

P S P

1βεα粒子数 类似写出：()⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛''∑

=''=''--k S S S s e S P

S P

1βεα

………………………………………………等等。 (5分)

于是N 个粒子出现某一微观状态的概率。