中位线定理
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求证∠PMN＝∠PNM．
（第 4 题）
典例示范
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点.
猜想四边形EFGH的形状并证明。
A
H
E
B
F
答： 四边形EFGH为平行四边形。
D
证明：如图，连接AC
G
同∵理EEF得F是/：△/ 12AGABHC/C/的12 A中C位线
6.4三角形的中位线定理
三角形的中位线
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分 给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同， 请设计合理的解决方案。
获取新知
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线 A
D
E
你还能画出几条三角形的中位线？
Biblioteka Baidu
B
F
C
温馨提示
三角形有三条中位线
三角形的中位线和三角形的中线 不同
A 概念对比 A
∴ AE、DF互相平分（平行四边形
图 24.4.3
的对角线互相平分）．
例3：已知
ABCD中，AC、BD相交
于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD
的中点。求 证：∠HEF＝ ∠FGH。
A
E F
B
H O
D G
C
D
E
D 中线DC
中位线DE
B
C
B
C
（1）相同之处——都和边的中点有关； （2）不同之处：
三角形中位线的两个端点都是边的中点；
三角形中线只有一个端点是边的中点，另一
端点是三角形的顶点。
A
理解三角形的中位线
D
E
定义的两层含义:
B
C
① 如果D、E分别为AB、AC的中点，
那么DE为△ABC的中位线；
② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的 中点 。
C
GH//EF
∴四边形EFGH是平行四边形
E，F是AB，BC的中点，你联想到什么？
要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？
例1 求证三角形的一条中位线与第三边 上的中线互相平分．
已知： 如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF ＝FC． 求证： AE、DF互相平分．
A
D
F
B
C
E
延长ED到F,使DF=ED , 连接CF
易证△ADE≌△CFE，
E
D
F 得CF=AE , ∠A=∠ACF
又可得CF=BE,CF//BE
所以四边形BCFE是平行四边形
B
C
则有DE//BC,DE= 1 EF= 1 BC
22
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言：
D E ∵DE是△ABC的中位线
例: 求证三角形的一条中位线与第三边
上的中线互相平分．
已知： 如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF
＝FC．
求证： AE、DF互相平分．
证明 连结DE、EF．
∵ AD＝DB，BE＝EC，
∴ DE∥AC（三角形的中位线平行
于第三边并且等于第三边的一
半）．
同理EF∥AB．
∴四边形ADEF是平行四边形．
B
C
D
E/
/1 2
B
C
途 用 ① 证明平行问题 ② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
初试身手
A
.如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、 AC、BC的中点
①③若A∠CA=D4cEm=,6B5C°=，6c则m，∠ABB==685c度m，，为什么？
D
E ②④若则若△△BCDA=EBFC8的的cm周周长，长=为则_9_2Dc_4m_，E_=4△_ DEFc的m周，长为是什_1_么2__？_
获取新知
猜一猜：
A
△ ABC的中位线DE与BC的
关系怎样？（从位置和数量
D
E
关系猜想）
DE∥BC, DE 1 BC
B
2
C
即：三角形的中位线平行于第三边，
并且等于第三边的 一半。
你能验证你的猜想吗？
已知： 如图：在△ABC中，D是AB的中点，
E是AC的中点。
求证：DE∥BC, DE= 1
A
BC. 2 分析:
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少 C．线段EF的长不变 D．线段EF的长不能确定
A
E
D
F
H G
C
B
在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边 形EFGH的周长是 11 。
已知： 在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角 线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．
在AB外选一点C，连结AC和 BC，并分别找出AC和BC的中点M、 N，如果测得MN = 20m，那么A、 A B两点的距离是多少？为什么？
M
40
20
C
N
B
初初试试身身手手
如图所示，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点， E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动
而点R不动时， 那么下列结论成立的是（ ）C
⑤ 图中有__3___个平行四边形
⑥ 若△ABC的面积为24，△DEF的面积是__6___
B
F
C
探究活动
1、 三角形三条中位线围成的三角 形的周长与原三角形的周长有什么
关系？
2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积有什么关系？
设 计 方 案：
A
(中点)D
E(中点)
B
F
C
（中点）
A、B两点被池塘隔开，如何才 能知道它们之间的距离呢？
（第 4 题）
典例示范
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点.
猜想四边形EFGH的形状并证明。
A
H
E
B
F
答： 四边形EFGH为平行四边形。
D
证明：如图，连接AC
G
同∵理EEF得F是/：△/ 12AGABHC/C/的12 A中C位线
6.4三角形的中位线定理
三角形的中位线
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分 给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同， 请设计合理的解决方案。
获取新知
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线 A
D
E
你还能画出几条三角形的中位线？
Biblioteka Baidu
B
F
C
温馨提示
三角形有三条中位线
三角形的中位线和三角形的中线 不同
A 概念对比 A
∴ AE、DF互相平分（平行四边形
图 24.4.3
的对角线互相平分）．
例3：已知
ABCD中，AC、BD相交
于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD
的中点。求 证：∠HEF＝ ∠FGH。
A
E F
B
H O
D G
C
D
E
D 中线DC
中位线DE
B
C
B
C
（1）相同之处——都和边的中点有关； （2）不同之处：
三角形中位线的两个端点都是边的中点；
三角形中线只有一个端点是边的中点，另一
端点是三角形的顶点。
A
理解三角形的中位线
D
E
定义的两层含义:
B
C
① 如果D、E分别为AB、AC的中点，
那么DE为△ABC的中位线；
② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的 中点 。
C
GH//EF
∴四边形EFGH是平行四边形
E，F是AB，BC的中点，你联想到什么？
要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？
例1 求证三角形的一条中位线与第三边 上的中线互相平分．
已知： 如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF ＝FC． 求证： AE、DF互相平分．
A
D
F
B
C
E
延长ED到F,使DF=ED , 连接CF
易证△ADE≌△CFE，
E
D
F 得CF=AE , ∠A=∠ACF
又可得CF=BE,CF//BE
所以四边形BCFE是平行四边形
B
C
则有DE//BC,DE= 1 EF= 1 BC
22
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言：
D E ∵DE是△ABC的中位线
例: 求证三角形的一条中位线与第三边
上的中线互相平分．
已知： 如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF
＝FC．
求证： AE、DF互相平分．
证明 连结DE、EF．
∵ AD＝DB，BE＝EC，
∴ DE∥AC（三角形的中位线平行
于第三边并且等于第三边的一
半）．
同理EF∥AB．
∴四边形ADEF是平行四边形．
B
C
D
E/
/1 2
B
C
途 用 ① 证明平行问题 ② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
初试身手
A
.如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、 AC、BC的中点
①③若A∠CA=D4cEm=,6B5C°=，6c则m，∠ABB==685c度m，，为什么？
D
E ②④若则若△△BCDA=EBFC8的的cm周周长，长=为则_9_2Dc_4m_，E_=4△_ DEFc的m周，长为是什_1_么2__？_
获取新知
猜一猜：
A
△ ABC的中位线DE与BC的
关系怎样？（从位置和数量
D
E
关系猜想）
DE∥BC, DE 1 BC
B
2
C
即：三角形的中位线平行于第三边，
并且等于第三边的 一半。
你能验证你的猜想吗？
已知： 如图：在△ABC中，D是AB的中点，
E是AC的中点。
求证：DE∥BC, DE= 1
A
BC. 2 分析:
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少 C．线段EF的长不变 D．线段EF的长不能确定
A
E
D
F
H G
C
B
在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边 形EFGH的周长是 11 。
已知： 在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角 线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．
在AB外选一点C，连结AC和 BC，并分别找出AC和BC的中点M、 N，如果测得MN = 20m，那么A、 A B两点的距离是多少？为什么？
M
40
20
C
N
B
初初试试身身手手
如图所示，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点， E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动
而点R不动时， 那么下列结论成立的是（ ）C
⑤ 图中有__3___个平行四边形
⑥ 若△ABC的面积为24，△DEF的面积是__6___
B
F
C
探究活动
1、 三角形三条中位线围成的三角 形的周长与原三角形的周长有什么
关系？
2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积有什么关系？
设 计 方 案：
A
(中点)D
E(中点)
B
F
C
（中点）
A、B两点被池塘隔开，如何才 能知道它们之间的距离呢？