高一数学导数求函数单调区间问题
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f ′(x)＝3ax2＋1，若a≥0时，f ′(x)＝3ax2＋ 1>0.f ′(x)>0恒成立，所以函数f (x)在R上为增函数． 此时f (x)只有一个单调区间，与已知矛盾． 若a<0时，f ′(x)<0，即3ax2＋1<0， 解得x >－
2
1 3a
，
所以x>
－
1 3a
或x<－
－
wenku.baidu.com1 3a
；
f ′(x)>0，即3ax2＋1>0， 解得－ － 1 3a <x< － 1 3a
当x变化时，f ′(x)与f (x)的变化如下表：
x f′(x) f(x)
2 ( ,1 ) 1＋ m
2 m
(1
2 ,1) m
1 0 极大 值
(1，＋∞) － 单调递减
－ 单调递减
0 极小 值
＋ 单调递增
2 －∞，1＋ 上单调 由上表可知，当m <0时，f (x)在 m 2 递减，在 1＋ ，1 上单调递增，在(1，＋∞)上单 m 调递减．
错解分析 此题要求的是函数f (x)的单调区间，而错 解求出的是导函数的单调区间；另外，错解利用函 数f ′(x)的单调区间取代f (x)的单调区间，它们的单 调性是不一定相同的．(1)的结果是正确的． 正解 (1)略． (2)f ′(x)＝3m x2－6(m ＋1)x＋n 2 1＋ ， ＝3m (x－1) x－ m 2 当m <0时，1>1＋ . m
nx＋1的一个极值点，其中m 、n∈R，m <0. (1)求m 与n的关系； (2)求f (x)的单调区间．
错解 (1)f ′(x)＝3m x －6(m ＋1)x＋n.因为x＝1
2
是函数f (x)的一个极值点，所以f ′(1)＝0，即 3m －6(m ＋1)＋n＝0，所以n＝3m ＋6.
(2)因为f ′(x)＝3m x2－6(m ＋1)x＋n，此函数 是二次函数，它的对称轴为x＝ m ＋1 m m ＋ 1 上是增函数， －∞， 所以函数f (x)在x∈ m m ＋1 上是减函数． ，＋∞ 在x∈ m .又因为m <0，
三、未理解题意 【例3】 设f (x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，试确
定a的取值范围，并求出这三个单调区间． 错解 f ′(x)＝3ax2＋1，若a>0时，则f ′(x)>0，得3ax2
＋1>0.因为此式恒成立，所以函数f (x)在R上为增函数． 若a<0时，f ′(x)<0，得3ax ＋1<0，解得x >－ 所以x> － 或x<－ 3a 1 － . 3a － ，＋∞上为减函数． 3a 1 1
备课资讯4
导数求函数单调区间问题 易错点分析
利用导数求函数的单调区间问题较复杂，学生在 学习时经常遇到困难，下面就学生在解题中出现的 错误分析如下，供大家参考． 一、未弄清逻辑关系 【例1】 “在区间(a，b)内f ′(x)>0”是“f (x)在 ( ) 该区间内单调递增”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3
.
综上所述，a<0时，f (x)＝ax ＋x恰有三个单调区 －3a － 3 a ， 间．其中增区间为 ，－ 3a 3a － 3 a － 3 a 减区间为－∞， 、 － ，＋∞ . 3a 3a
返回
错解
C 一般地，由f ′(x)>0能推出f (x)为增函
错解分析
数，反之，则不一定．如函数f (x)＝x3在区间(－∞， ＋∞)上单调递增，但是f ′(x)≥0.因此f ′(x)>0是函 数f (x)为增函数的充分不必要条件． 正解 A
二、混淆概念 【例2】 已知x＝1是函数f (x)＝m x3－3(m ＋1)x2＋
2 2
， 3a
1
综上所述，a>0时，函数f (x)在R上为增函数；a<0时，函数 －∞，－ f (x)在 1 － 和 3a
错解分析
题意是求恰有三个单调区间时a满足的条
件，显然，a>0时，函数f (x)在R上为增函数不满足题 意；另外，a<0时没有研究f ′(x)>0的情况，更没有 讨论a＝0的情况． 正解
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所以x>
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或x<－
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f ′(x)>0，即3ax2＋1>0， 解得－ － 1 3a <x< － 1 3a
当x变化时，f ′(x)与f (x)的变化如下表：
x f′(x) f(x)
2 ( ,1 ) 1＋ m
2 m
(1
2 ,1) m
1 0 极大 值
(1，＋∞) － 单调递减
－ 单调递减
0 极小 值
＋ 单调递增
2 －∞，1＋ 上单调 由上表可知，当m <0时，f (x)在 m 2 递减，在 1＋ ，1 上单调递增，在(1，＋∞)上单 m 调递减．
错解分析 此题要求的是函数f (x)的单调区间，而错 解求出的是导函数的单调区间；另外，错解利用函 数f ′(x)的单调区间取代f (x)的单调区间，它们的单 调性是不一定相同的．(1)的结果是正确的． 正解 (1)略． (2)f ′(x)＝3m x2－6(m ＋1)x＋n 2 1＋ ， ＝3m (x－1) x－ m 2 当m <0时，1>1＋ . m
nx＋1的一个极值点，其中m 、n∈R，m <0. (1)求m 与n的关系； (2)求f (x)的单调区间．
错解 (1)f ′(x)＝3m x －6(m ＋1)x＋n.因为x＝1
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是函数f (x)的一个极值点，所以f ′(1)＝0，即 3m －6(m ＋1)＋n＝0，所以n＝3m ＋6.
(2)因为f ′(x)＝3m x2－6(m ＋1)x＋n，此函数 是二次函数，它的对称轴为x＝ m ＋1 m m ＋ 1 上是增函数， －∞， 所以函数f (x)在x∈ m m ＋1 上是减函数． ，＋∞ 在x∈ m .又因为m <0，
三、未理解题意 【例3】 设f (x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，试确
定a的取值范围，并求出这三个单调区间． 错解 f ′(x)＝3ax2＋1，若a>0时，则f ′(x)>0，得3ax2
＋1>0.因为此式恒成立，所以函数f (x)在R上为增函数． 若a<0时，f ′(x)<0，得3ax ＋1<0，解得x >－ 所以x> － 或x<－ 3a 1 － . 3a － ，＋∞上为减函数． 3a 1 1
备课资讯4
导数求函数单调区间问题 易错点分析
利用导数求函数的单调区间问题较复杂，学生在 学习时经常遇到困难，下面就学生在解题中出现的 错误分析如下，供大家参考． 一、未弄清逻辑关系 【例1】 “在区间(a，b)内f ′(x)>0”是“f (x)在 ( ) 该区间内单调递增”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
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综上所述，a<0时，f (x)＝ax ＋x恰有三个单调区 －3a － 3 a ， 间．其中增区间为 ，－ 3a 3a － 3 a － 3 a 减区间为－∞， 、 － ，＋∞ . 3a 3a
返回
错解
C 一般地，由f ′(x)>0能推出f (x)为增函
错解分析
数，反之，则不一定．如函数f (x)＝x3在区间(－∞， ＋∞)上单调递增，但是f ′(x)≥0.因此f ′(x)>0是函 数f (x)为增函数的充分不必要条件． 正解 A
二、混淆概念 【例2】 已知x＝1是函数f (x)＝m x3－3(m ＋1)x2＋
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综上所述，a>0时，函数f (x)在R上为增函数；a<0时，函数 －∞，－ f (x)在 1 － 和 3a
错解分析
题意是求恰有三个单调区间时a满足的条
件，显然，a>0时，函数f (x)在R上为增函数不满足题 意；另外，a<0时没有研究f ′(x)>0的情况，更没有 讨论a＝0的情况． 正解