必修五-解三角形-题型归纳
(完整版)解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳、知识点归纳(★☆注重细节，熟记考点☆★)1正弦定理及其变形a sin A变式： b c —— — 2R (R 为三角形外接圆半径)sin B sin C (1 a 2RsinA,b 2Rsin B,c 2RsinC (边化角公式) (2) si nA,si nB ,si nC (角化边公式)2R 2R2R(3 a: b: c sin A:si nB:si nC一、a sin A a sin A b sin Bb sin Bc sin C c sin C2 •正弦定理适用情况：(1) 已知两角及任一边；(2) 已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况) 3 •余弦定理及其推论2 22ab c 2bccosAb ac 2accosB 222cab 2abcosC4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角;注.解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作 用)，统一成边的形式或角的形式•7. 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角b 22c 2 a2bc222ac b2ac2.22ab c (2)已知三边.5. 常用的三角形面积公式1(1) S ABC 底2 1(2) S 二一 absi nC26. 三角形中常用结论 1 1 acsin B bcsin A 24c R 为ABC 外接圆半径(两边夹一角)；(1) a b c, b c (2) 在 ABC 中, A (3) 在 ABC 中，A Ba, a ③ tan A B tanC ；b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边) b si nA si n B(即大边对大角，大角对大边) ，所以 ① sin A B sinC :② cos A B cosC ；A B C AB. C ④ sin cos ,⑤ cos sin2 2 2 2cos AcosB cosC 2ab在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图 ①）从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为a （如图②） 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
数学必修五知识点与题型
高中数学必修5知识点第一章 解三角形1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有 正弦定理的变形公式：①a=_________，b=_________，c=_________； ②sinA=_________，sinB=_________，sinC=_________； ③::_________a b c =； ④_________sin sin sin a b cC++=A +B +．在正弦定理中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。
注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：(1)三内角和为180° (2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(3)面积公式：S=21absinC=Rabc 4=2R 2sinAsinBsinC (4)三角函数的恒等变形。
如：sin(A+B)=sinC ，cos(A+B)=-cosC ，sin2B A +=cos 2C ，cos 2BA +=sin 2C 使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1 利用正弦定理公式原型解三角形 题型2 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。
例如：22sin 3s iA B C a +=⇒+题型3 三角形解的个数的讨论 方法一：画图看方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。
2、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．3、余弦定理：在C ∆A B 中，有2_________a =，2_________b =， 2_________c =．4、余弦定理的推论：cos _________A =，cos _________B =，cos _________C =．使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型题型1 利用余弦定理公式的原型解三角形 题型2 利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。
(完整版)必修五-解三角形-题型归纳
构成三角形个数问题1在 ABC 中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x 的取值范围是( )A.2 x 2\f2 B. X 2 血 C . V2 x 2 D. 0x22 •如果满足 ABC 60 , AC 12 , BC k 的厶ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是3.在 ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A* CJ = S J fr = 10^ A = 45" E ・ 口 = 60 r £* = S1 B = 6（T * C. a — 7 > £> = 5 ? A - &0=D ・ 口二 14# 6 - 20 , -4-45"心求边长问题A. 5 B5•在△ ABC 中, a 1,B 450, S ABC 2，则 b = _________________三. 求夹角问题6.在ABC中， ABC -, AB 2,BC 3，则 sin BAC （） 410 103 10 5 A. 10B 5C 10D57 .在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若4.在 ABC 中，角 A, B,C 所对边 a,b,c ，若 a 3,C1200,ABC的面积S15 3 41 2 2 2 acosB bcosA csinC, S -(b c a )，则/ B=()4A. 90° B . 60° C . 45° D . 30°四.求面积问题&已知△ ABC中，内角A，B, C所对的边长分别为a,b,c.若a 2bcosA, B -,c 1，则3 △ ABC的面积等于( )书书书书A B------B ■C iD i +118 6 4 2A9.锐角ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知cos2C j(i)求sinC的值；(n)当a 2, 2si nA si nC时，求b的长及| ABC的面积.10•如图，在四边形ABCD 中，AB 3,BC 7J3,CD 14, BD 7, BAD 120(1 )求AD边的长;(2)求ABC的面积.11.（本小题满分12分）已知ABC中，角A, B,C对边分别为a,b,c,已知c 2,C(1 )若ABC的面积等于3 ,求a,b(2)若si nC si n( B A) 2 si n2A,求ABC 的面积.12 .在ABC中，角A, B,C对边分别为a,b,c已知C 一 .3外接圆的面积；五.判定三角形形状问题若a 2,b 3，求ABC的13.在ABC中，a, b , c分别为角A, B , C所对边, a 2bcosC，则此三角形一定是（）A.等腰直角三角形B.C.等腰三角形D.直角三角形等腰或直角三角形1 1 114. ABC中三边上的高依次为丄，丄，丄，贝U ABC为（13 5 11A.锐角三角形 B •直角三角形 C •钝角三角形D）•不存在这样的三角形19.在锐角 ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且2asi nB ..3b . (1)求角A 的大小；(2 )若a 4,b c 8，求 ABC 的面积.15.在 ABC 中，若 0 tanA tanB A.锐角三角形B .钝角三角形那么 ABC 一定是 •直角三角形 D) .形状不确定16.在△ ABC 中, 2B a c cos ----------- 2 2c(a , b , c 分别为角A , B , C 的对边)，则△ ABC 勺形状 为 A.正三角形B .直角三角形()等腰三角形或直角三角形D •等腰直角三角形17•在 ABC 中，如果工一cosB.直角三角形A.等腰三角形bcosA'C则该三角形是.等腰或直角三角形D .以上答案均不正确六. 综合问题 18.在锐角厶ABC 中, a, b, c 是角 A , B , C 的对边，且，3a 2csin A .(1)求角C 的度数;(2)若 C .7，且△ ABC 的面积为3 3，求a b 的值。
必修5解三角形知识点归纳总结
第一章解三角形一.正弦定理: 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 —=—=—=2R （其中R 是三角形外接圆的半径） sin A sin B sinC a + b + c a b c = = = . sin A + sin B + sin Csin A sin B sin C 2）化边为角： a : b : c = sin A : sin B : sin C . a sin A b sin B a sin Ab sin B ，c sin C ，csin C 3）化边为角：a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin Csin A a sin B b sin A a • —— •sin B b ' sin C c ' sin C c 'abc sin A =——, sin B =——, sin C =—— 2 R 2 R 2 R3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题:①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a,解法：由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理a =空A ;-=把B b sin B c sin C a sin A = ------- ;求出b 与c c sin C②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理a =竺4求出角B,由A+B+C=180o 求出角C,再使用正 b sin B弦定理a = sn A 求出c 边 c sin C 4.△ABC 中，已知锐角A,边b,则①a < b sin A 时，B 无解;②a = b sin A 或a > b 时，B 有—个解③b sin A < a < b 时，B 有两个解。
2.变形：1） 4）化角为边: 5）化角为边:如：①已知A :60。
必修五-解三角形-题型归纳
一.构成三角形个数问题1.在AABC中，已知a二x,b二2,B=45°,如果三角形有两解，则x的取值范围是（）A2<x<2^2B x<2迈C近<x<2D.<x<22.如果满足ZABC二60，AC=12，BC=k的厶ABC恰有一个，那么k的取值范围是3.在AABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A.£?=Sj£i=10;A.=45^B.£?=60;i=S1；B=60=+-1C.a=l b=5?,4=8D=D.£7=14,h二20,卫二心二.求边长问题4.在A ABC中，角A,B,C所对边a,b,c，若a二3,C二1200，A ABC的面积S二，贝产=()4A.5B.6C.©39D.75.在△ABC中，a二1,B二45o,S二2，则b=A ABC三.求夹角问题6.在AABC中，ZABC二上,AB42BC二3，则sinZBAC=()v10<103帀A.10B.5C.10D.57.在△ABC中，角A,B，C所对的边分别a,b,c,S为表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC, S二(b2+c2-a2)，贝yZB=()4A.90°B.60°C.45D.30°四.求8.已知△ABC中，内角A,B,兀C所对的边长分别为a,b,c•若a=2b cosA,B=—△ABC的面积等于(A.—8B.—619.锐角AABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,已知cos2C二—「4 (I)求sin C的值；(II)当a=2,2sin A=sin C时，求b的长及AABC的面积.10.如图，在(1)求AD边的长；(2)求AABC的面积.兀11.(本小题满分12分)已知A ABC中，角A,B,C对边分别为a,b,c,已知c=2,C=丁.(1)若AABC的面积等于j3，求a,b(2)若sinC+sin(B一A)=2sin2A，求AABC的面积.A.等腰直角三角形 C.等腰三角形B.直角三角形 D.等腰或直角三角形兀12.在AABC 中，角A,B,C 对边分别为a,b,c 已知C =-.若a=2,b =3,求AABC 的外接圆的面积;五．判定三角形形状问题13.在A ABC中，a，b，c分别为角A ，B ，C所对边，若a=2b cos C，则此三角形一定是（111 14.A A BC 中三边上的高依次为右，：，则A ABC 为（）13511A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不存在这样的三角形15.在AABC 中，若0<tan A-tan B <1，那么AABC 一定是（） A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.形状不确定Ba +c16. 在△ABC 中，cos 2二，（a,b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），则△ABC 的形状为22c（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形word 格式-可编辑-感谢下载支持321.如图，在AABC 中,血Z B =一，AB =8，点D 在BC 边上，且CD =2cos Z ADC =1.7ab17.在AABC 中，如果=，则该三角形是cosBcosAA.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.以上答案均不正确六．综合问题18.在锐角厶ABC 中，a,b,c 是角A,B,C 的对边，且J3a =2csin A . (1)求角C 的度数；_.3：'3 (2)若c=、门，且△ABC 的面积为一-—，求a +b 的值。
必修五解三角形高考题型总结复习
解三角形一．选择题。
1. ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=，则b =( )A.2 B ．4＋．4—2．在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 14．关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-CB A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形5.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．01506．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．2:7．在△ABC 中，090C ∠=，00450<<A ，则下列各式中正确的是（ ） A ．sin cos A A > B ．sin cos B A > C ．sin cos A B > D ．sin cos B B >. 8. （海南）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）A. 5/18B. 3/4 D. 7/8二．填空题。
9.（北京）. 若错误！未找到引用源。
的内角错误！未找到引用源。
、错误！未找到引用源。
、错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
,则错误！未找到引用源。
10.（江苏）在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ 11.（北京）在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB =12.在△ABC 中，若,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是_________13.（湖南文）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，c =π3C =，则A = ． 14.（重庆文）在△ABC 中，AB =1, B C =2, B =60°，则AC ＝15. （江苏）若，则ABC S ∆的最大值 ．16. （湖北）在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 .17. （浙江）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________。
高一数学必修五解三角形基本知识点及练习
解三角形一、知识点复习1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（）sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C=== 3.余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab+-=+-=+-= 5.常用的三角形面积公式（1）高底⨯⨯=∆21ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边夹一角）； 6.三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在△ABC 中, A+B+C=π, 所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
二、典型例题（1）用正、余弦定理解三角形例1.已知在练习：C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆（2）三角形解的个数1.知道3边、3角, 2角1边, 2边及其夹角时不会出现两解,2、两边及一边的对角时:A 为锐角A 为钝角或直角图形关系A<bsinA A=bsinA bsinA<a<b a ≥b a ≤b 解无解 一解 两解 一解 无解例1: 在 中, 分别根据下列条件解三角形, 其中有两解的是【 】A. , , ；B. , , ； C 、 , , ；D 、 , , 。
必修五解三角形常考题型
必修五解三角形常考题型1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3, 求a :b :c.例2在ABC 中，已知c= 2+ 6 ，C=30°，求a+b 的取值范围。
考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3 在△ABC中， 2a ·tanB=2b ·tanA ，判断三角形ABC的形状。
例 4 在△ABC中，如果lg a lgc lgsin B lg 2 ，并且B 为锐角，试判断此三角形的形状。
考察点 3：利用正弦定理证明三角恒等式 例 5 在△ABC 中，求证222222a b b c c acos A cos B cos B cos C cos C cos A0 .例 6 在△ABC 中，a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边， C=2B ，求证2 2c b ab .考察点 4：求三角形的面积例 7 在△ABC 中，a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边，若B 2 5a 2,C,cos , 求425△ABC 的面积 S.例 8已知△ ABC 中a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边，△ABC 的外接圆半径为 12，且求△ABC 的面积 S 的最大值。
C,3考察点5：与正弦定理有关的综合问题例9 已知△ABC的内角A,B 极其对边a,b 满足a b a cot A b c ot B, 求内角 C例10 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c, 且c=10, 的内切圆半径。
c os A b 4cos B a 3，求a,b 及△ABC『易错疑难辨析』易错点利用正弦定理解题时，出现漏解或增解【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。
高中数学必修五__第一章___解三角形知识点归纳及测试题
第十二讲 解三角形1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ．7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A 等，变形： 222cos 2b c a bc+-A =等，8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
②已知三边求角） 9、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >． 11、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）12．坡角和坡比坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡比)．1. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于 （ ）A 63B 62C 12D 322. △ABC 中，cos cos cos a b cA B C ==，则△ABC 一定是 （ ）A 直角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形3.△ABC 中，若60A =，3a =，则sin sin sin a b cA B C +-+-等于 （ ）A 2B 12C 3D 324. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ）A13 B 12 C 34D 0 5.在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是 。
精编暑假辅导资料高中数学必修五解三角形常见题型与练习
精编暑假辅导资料高中数学必修五解三角形常见题型与练习题型之一：求解斜三角形中的基本元素1 ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB 2.在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值． 题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．1．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）2.在△ABC 中，若a bAB 22=tan tan ，试判断△ABC 的形状。
题型之三：解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题． 1.在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，AB =3，求A tan 、∆ABC 的面积。
2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．题型之四：三角形中求值问题1.在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和321+=b c ，求A ∠和B tan 的值．2．ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值。
3．在锐角ABC △中，角AB C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin 3A =，（1）求22tan sin 22B C A++的值；（2）若2a =，ABC S △b 的值。
4．在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=．（Ⅰ）若ABC △a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．题型之五：正余弦定理解三角形的实际应用（一.）测量问题1. 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。
高中数学必修五--常见题型归类
高中数学必修五必修五第一章 解三角形1.1解三角形题型1三角形解的个数1.△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围 A 2>x B ．2<x C ．3342<<x D 3342≤<x ( )2.在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是 ( )A.0°＜A ＜30°B.0°＜A ≤45°C.0°＜A ＜90°D.30°＜A ＜60°题型2 判断三角形的形状1.∆ABC 中，a = 2 b cosC ，则这个三角形一定是 （ ） A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰或直角三角形2.△ABC 中，cos cos sin a b c A B C==，则△ABC 一定是 （ ） A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形3.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC ______________．4.在△ABC 中，若()B A C B A cos cos sin sin sin +=+，判断△ABC 的形状________。
题型3 三角形中求值问题1.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( ) A 90°B 120° C 135° D 150°2.在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于 （ ） A ．06030或 B 06045或 C 。
060120或 D ．015030或3. 在∆ABC 中，三边a ，b ，c 与面积s 的关系式为222),s a b c =+-则角C 为 A30 B45 C60 D90 ( )4.在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则CB A cb a sin sin sin ++++等于A ．33B ．3392 C ．338 D ． 239( )5.在ΔABC 中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π，则外接圆的半径为_____.6.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且8 sin 22B C+－2 cos 2A ＝7． （1）求角A 的大小；（2）若a b ＋c ＝3，求b 和c 的值．7.△ABC 的内角A,B,C 所对的边长为a,b,c,且acosB=3,bsinA=4 （1）求a（2）若三角形的面积为10,求其周长题型4 三角形的取值范围问题1.已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 （ ） A.51<<x B ．135<<x C ．50<<x D ．513<<x2.已知∆ABC 中， AB=1，BC=2，则角 C 的取值范围是 （ ） A 60π≤<C B 20π<<C C 26ππ<<C D 36ππ≤<C3.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csinA=acosC ． （Ⅰ）求角C 的大小；（B+4π）的最大值，并求取得最大值时角A 、B 的大小。
解三角形(总结+题+解析)
解三角形一．正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到1.(1) a=2RsinA(2) b=2RsinB(3) c=2RsinC2.(1) sinA=a/2R(2) sinB=b/2R(3) sinC=c/2R3.a ：b ：c=sinA ：sinB:sinC适用类型（1）AAS（2）SSA二．余弦定理：1. a^2 = b^2 + c^2 - 2·b ·c ·cosA2. b^2 = a^2 + c^2 - 2·a ·c ·cosB3. c^2 = a^2 + b^2 - 2·a ·b ·cosC余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a ·b)2. cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a ·c)3. cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b ·c ）适用类型1.SSA2.SAS3.SSS三．余弦定理和正弦定理的面积公式S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB（常用类型：已知三角形两边及其夹角）判断解的个数判断三角形的形状有两种途径：（1）将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解（2）将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解三．解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。
俯角：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角方向角：从指定方向线到目标方向的水平角测距离的应用测高的应用(一)已知两角及一边解三角形例1已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.∠B=180°-30°-45°=105°a=10sin45°/sin30°=10√2sin105°=sin(60+45)=√2/2(√3/2+1/2)=(√6+√2)/41/sin105=√6-√2b=10sin45°/sin105°=5√2(√6-√2)=10(√3-1)（二）已知两边和其中一边对角解三角形例2在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=2√3，b =√6，A=45°，求边长C由余弦定理，得b²+c²-2bccosA-a²=06+c²-2√3c-12=0c²-2√3c-6=0根据求根公式，得c=√3±3又c>0所以c=3+√3（三）已知两边及夹角，解三角形例3△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.解：由余弦定理得∴a2-9a+18=0，得a=3或6当a=3时，A=30°，∴C=120°当a=6时，由正弦定理∴A=90°∴C=60°。
必修五解三角形重难点题型归纳梳理非常完美
专题02 解三角形【重难点知识点网络】：【正弦定理】 2sin sin sin a b c R A B C===（R 为ABC ∆外接圆的半径）. 【正弦定理的变形】①2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===②2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++【三角形常用结论 】（1）B A B A B A b a cos cos sin sin <⇔>⇔>⇔>（2）在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. （3)面积公式： ①111222a b c S ah bh ch ===，②111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===. 【三角恒等变换公式】()()()()1.sin sinC,cos =-cos tan =-tan A B A B C A B C +=++，（其中,,A B C 是三角形的三个内角） ()()2.sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+()()3.sin -sin cos -cos sin αβαβαβ=()()4.sinx cosx ,tan b y a b x aϕϕ=+=+=其中 【内角和定理】三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.A>B a>b sinA>sinB ⇔⇔，60⇔A,B,C 成等差数列B=题型一：正余弦定理选择例1．（1）中，角所对的边分别为．若，则边【解析】，即，解得或（舍去）．（2）．在中，，，则的外接圆面积为【解析】因为在中，，，所以，又，设三角形外接圆半径为，则，因此的外接圆面积为. （3）．（2020·四川省都江堰中学高一期中）在ABC中，已知60,B b==sin sina bA B+=+（）.A．2 B．12C D．3【详解】由题意知60,B b==2sin sin60bB==根据正弦定理，可得2sin sina bA B===，所以2sin sin sina b aA B A+==+.故选：A.【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·高一期末（理））在ABC中，若角π4B=，AC=AB=C=（）A．π6B．π3C．π6或5π6D．π3或2π3【详解】由正弦定理可得：sin sinAC ABB C=，则sinsin22AB BCAC===，ABC∆,,A B C,,a b c3,60a b A===︒c= 2222cosa cb cb A=+-213923cos60c c⇒=+-⨯⨯︒2340c c--=4c= 1c=-ABC c=75A=︒45B=︒ABCABC75A=︒45B=︒60C=︒2c=r21sincrC===ABC214S rππ==因为AC AB <，所以B C <， 故3C π=或23π.故选：D ． （2）已知分别为三个内角的对边且，则=____【解析】因为，所以，所以,,.故答案为. （3）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则此三角形的外接圆的面积为______.【解析】在中，由余弦定理可得：解得：；再由正弦定理可得：，解得， 由圆面积公式解得外接圆面积为：.故答案为：. 题型二：边角互换 例2．（1）（2020·全国高二课时练习）在ABC 中，若cos sin c A a C =，则角A 的值为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【详解】cos sin sin cos sin sin c A a C C A A C =⇒=，0C π<<，sin 0C ∴≠，cos sin A A ∴=，0A π<<，且2A π≠，tan 1A ∴= ，4A π∴=，故选：B （2）（2021·四川成都市·高三月考（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ∠，C ∠的对边，如果sin sin sin A b c B C b a+=--，那么cos C 的值为（ ） A ．12 B ．2 C ．23 D ．2【详解】∵sin sin sin A b c B C b a +=--，由正弦定理可得a b c b c b a+=--，即：()()()a b a b c b c -=+- ,,a b c ABC ,,A B C 222b c a +=A ∠222b c a +-=222b c a +-=cos A =6A π∴=6πABC ∆A B C a b c 8b =3c =60A =︒ABC ∆222249a b c bccosA =+-=7a =2a R sinA =R =2493S R ππ==493π整理得：222c a b ab =+-，对照余弦定理可得1cos 2C =故选：A ． （3）中，分别是角对边,若,且，则的值为__ 【解析】在中，因为,且，由正弦定理得，因为，则，所以，即，解得， 由余弦定理得，即，解得． 【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·树德怀远中学高一期中）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos 2b C c a +=，且3b c ==，则a =（ ）A ．1 BC． D ．4【详解】2cos 2,b C c a += 由正弦定理可得()2sin cos sin 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin ,B C C A B C B C B C +==+=+sin 2cos sin ,sin 0,0,.3C B C C B B ππ∴=≠<<∴=由余弦定理可得2222cos ,13,3b a c ac B b c =+-== ，解得 4.a = 故选D（2）（2019·四川成都市·双流中学高二期中（文））在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2cos a C c A b B +=，且cos22sin sin 1B A C +=，则a cb +的值为（） A ．1B C D ．2 【详解】cos cos 2cos a C c A b B +=，由正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，()sin 2sin cos sin A C B B B ∴+==，sin 0B ≠，1cos 2B ∴=， ABC ∆,,a b c ,,A B C sin cos 0b A B =2b ac =a c b +ABC ∆sin cos0b A B =2b ac =sin sin cos 0B A A B-=(0,)A π∈sin 0A>sin 0B B =tan B =3B π=222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-()224b a c =+2a c b+=0B π<<，3B π∴=，cos22sin sin 1B A C +=，32sin sin 2A C ∴=， 232sin sin 34A A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭23cos sin 2A A A +=，11sin 2cos 2222A A -=，sin 216A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，3ABC π∴===， ∴ABC ∆为正三角形，则2a c b +=.故选：D（3）（2020·全国高一课时练习）在ABC ∆2sin b A =，则B 等于（ ）A ．30B ．60C ．30或150D ．60或120【详解】32sin a b A =2sin sin A A B =，0180A <<，sin 0A ∴>，可得sin B =，0180B <<，60B ∴=或120.故选：D. 题型三：三角形面积例3．（1）（2019·四川成都市·双流中学高三月考（文））在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2,60,b B ABC ==︒∆a c +=( )A B ．4 C ．2 D ．4+【详解】因为ABC ∆中，2,60b B ==︒，所以ABC ∆的面积为11sin 222S ac B ac ==⋅=，则4ac =又2222cos b a c ac B =+-，即()()22224312a c ac a c ac a c =+-=+-=+-即()216a c +=，解得4a c +=，故选：B（2）（2020·四川宜宾市·高三二模（文））在ABC 中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD △的面积是（ ）A B ． C ．1 D ．3【详解】()sin sin sin ADC ADB ADB π∠=-∠=∠，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB BAD ADB=∠∠，同理可得sin sin CD AC CAD ADC =∠∠， 因为ABC 中，角A 的平分线交边BC 于D ，上述两个等式相除得BD AB CD AC =， 4AB =，8AC =，2BD =，8244AC BD CD AB ⋅⨯∴===，6BC ∴=.2222224681cos 22464AB BC AC B AB BC +-+-∴===-⋅⨯⨯，sin 4B ==. 1sin 2ABDS AB BD B ∴=⋅⋅=A ． （3）（2020·四川省成都市第十七中学高一期中）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，它的面积为2224a b c --，则角A 等于（ ） A ．30 B ．45︒ C ．60︒ D ．135︒ 【详解】因为2224a b c --12bcsinA =，且2222a b c bccosA =+-， 故可得sinA cosA =-，即1tanA =-，又因为()0,A π∈，故可得34A π=.故选：D. 【变式训练】．（1）（2021·全国高三专题练习（理））已知ABC 中，内角,,ABC 的对边分别为,,a b c ，若2,23A b π==，且ABC a 的值为（ ）A ．B ．8C ．2D ．12【详解】11sin 2222ABC S bc A c ==⨯⨯=，解得2c =，由余弦定理：22212cos 44222122a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，a ∴=故选：A.（2）中，，，，，则__________． 【解析】由题意，在中，， 所以的面积为，解得， 由余弦定理得，又由，所以. （3）在中，、、分别是角、、的对边，若，，则的面积为【解析】由余弦定理可得， 即，解得，因此，题型四：三角形形状判断例4．（1）（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos sin sin B A C =，则ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【详解】因为2cos sin sin B A C =，所以22222a c b a c ac+-⋅⋅=， 所以22a b =，所以a b =，所以三角形是等腰三角形，故选：B.（2）（2020·四川省泸县第四中学高一期中）在ABC 中，cos cos a b A B c ++=，则ABC 是（ ）A ．等腰直角三角形B ．等腰或直角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形ABC ∆AB =1AC =30B =ABC ∆C =ABC ∆01,30AB AC B ===ABC ∆111sin 222S AB BC B BC =⋅⋅=⨯=2BC =2221431cos 22142AC BC AB C AC BC +-+-===⋅⨯⨯0(0,180)C ∈60C =︒ABC ∆a b c A B C 2b c =a =3A π=ABC ∆2222212cos 4222a b c bc A c c c c =+-=+-⨯⨯⨯236c =c =2b c ==11sin 22ABC S bc A ∆==⨯=【详解】因为cos cos a b A B c ++=，sin sin sin a b A B c C++= 所以sin sin cos cos sin A B A B C++=，所以sin cos sin cos sin sin C A C B A B +=+ 因为A B C π++=，所以()()sin sin sin sin A B B C A C +=+++即()()sin cos sin cos sin sin C A C B B C A C +=+++所以sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin C A C B B C B C A C A C +=+++所以sin cos sin cos 0B C A C +=，因为sin sin 0B A +≠，所以cos 0C =因为()0,C π∈，所以2C π=，即ABC 是直角三角形，故选：D（3）（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中（文））△ABC 中，如果tan a A ＝tan b B ＝tan c C ，那么△ABC 是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 【详解】因为tan a A ＝tan b B ＝tan c C ，所以由正弦定理可得sin sin sin tan tan tan A B C A B C ==， 所以cos cos cos A B C ==，又函数cos y x =在(0,)π上为递减函数，且(0,),(0,),(0,)A B C πππ∈∈∈，所以A B C ==，所以△ABC 为等边三角形，故选：B【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·双流中学高一开学考试）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos b c A =，则ABC 的形状为（ ）．A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形【详解】因为cos b c A =且222cos 2b c a A bc+-=，所以222222cos 22b c a b c a b c A c bc b +-+-==⨯=， 即有222c a b =+，所以可判断ABC 为直角三角形，故选：B（2）（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高一月考）在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形 【详解】已知：cos cos a A b B =，利用正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===， 解得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以：22A B =或21802A B =︒-， 解得：A B =或90A B +=︒，所以：ABC 的形状一定是等腰或直角三角形，故选：D ．（3）（2020·四川省宜宾市第四中学校高一期中）已知ABC 中，()()sin sin sin 2B A B A A ++-=，则ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．无法确定.【详解】因为()()sin sin sin 2B A B A A ++-=，由两角和差的正弦公式可得2sin cos sin 2B A A =，所以sin cos sin cos B A A A =，若cos =0A ，即2=A π时，此时ABC 是直角三角形；若cos 0A ≠，即sin sin B A =，所以A B =，所以ABC 是等腰三角形；综上，ABC 是等腰三角形或直角三角形；故选：C.题型五：三角形个数例5．（1）（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期末（理））满足60ABC ∠=︒，12AC =，BC k =的ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ）A．k = B ．012k <≤ C ．12k ≥ D ．012k <≤或k =【详解】由题意得，sin6012k ︒=或012k <≤时，满足的三角形恰有一个，解得12sin 60k ===︒012k <≤，故选：D （2）（2020·遂宁市·高一期末）已知ABC中，4a b B π===，那么满足条件的ABC（ ）A ．有一个解B ．有两个解C ．不能确定D ．无解【详解】由题可知：4a b B π===，sin 2==a B <=<b a 所以可知ABC 有两个解，故选：B（3）．8．（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期末（理））满足60ABC ∠=︒，12AC =，BC k =的ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ）A ．k =B ．012k <≤C ．12k ≥D ．012k <≤或k =【详解】如图，由题意得，sin6012k ︒=或012k <≤时，满足的三角形恰故选：D【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·高一期中（理））在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b，c ，已知60A =︒，b =a 满足的条件是（ ）A ．0a <<B ．0<<3aC ．3a <<D ．a ≥3a =【详解】C 到AB 的距离d=bsinA=3，∴当3＜a ＜2时，符合条件的三角形有两个，故选C ．（2）（2019·四川成都市·成都外国语学校高一期中（文））在ABC ∆中，已知,45,1,2 ===B c b 则此三角形有几个解 ( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定【解析】因为sin 12c B b ⋅=<<=，所以三角形只有一个解，故选B. （3）（2020·重庆市黔江新华中学校高一期中）已知满足30C =，4AB =，AC b =的ABC ∆恰有一个，那么b 的取值范围是_________. 【详解】根据正弦定理，sin sin 8b C bB c ==，若三角形有一解，即B 仅有一个解，所以0sin sin B C <≤ 或sin 1B =，即0b c <≤或18b=，解得(]{}0,48b ∈⋃.因此，b 的取值范围是(]{}0,48⋃.题型六：取值范围例6．（1）（2020·全国高三专题练习）在锐角．．ABC 中， 2,2a B A ==，则b 的取值范围是（ ）A ．(2, B ．C ．4) D ．【详解】由题得3C B A A ππ=--=-，因为三角形是锐角三角形，所以0202,,cos 26422032A B A A A C A ππππππ⎧<<⎪⎪⎪<=<∴<<<<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩. 由正弦定理得22,,4cos sin sin sin 22sin cos sin b b b b A B A A A A A=∴==∴=.所以b ∈.选：B. （2）．（2020·四川省绵阳南山中学高二开学考试）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2B A =，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B．(2,C．D．4)【详解】在锐角三角形中， 022A π<<，即04A π<<，且3B A A +=，则32A ππ<<，即63A ππ<<，综上64A ππ<<，则cos 22A <<，因为2a =，2B A =， 所以由正弦定理得sin sin 2sin cos a b b A B A A ==，得4cos b A =，因为cos 22A <<，所以4cos A <<b <<b的取值范围为.故选：C.【变式训练】．（1）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a 2ab +b 2＝1，c ＝1，a ﹣b 的取值范围为_____．【解析】因为，，所以.. 因为，所以.又因为，所以，，.因为，所以.，所以（3）在中，，，则角的取值范围是（ ）A ．B．C ．D ．【解析】，∴，∴，因，必为锐角，故题型七：射影定理221a b +=1c =222a b c +-=222cos 2a b c C ab +-===02C <<π6C π=12sin sin sin 6a b A B π===2sin a A =2sin bB =56B A π=-2sin b A B -=-52sin()6A A π=--552(sin cos cos sin )66A A A ππ=--cos 2sin()6A A A π=-=-025062A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩32A ππ<<663A πππ<-<1sin()262A π<-<b -∈ABC ∆1AB =2BC =C 0,6π⎛⎤⎥⎝⎦,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭sin sin AB BC C A =1sin sin 2C A =10sin 2C <≤AB BC <C 0,6C π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦例7.（2020·四川省广元市八二一中学高一期中）在ABC ∆中，角A B C ，，所对应的边分别为a b c ，，．已知cos cos 2b C c B b +=，则ba=______ ． 【详解】将cos cos 2b C c B b +=，利用正弦定理可得：sin cos sin cos 2sin B C C B B +=， 即()sin 2sin B C B +=，∵()sin sin B C A +=，∴sin 2sin A B =，可得：2a b =，则12b a =，故答案为12． 【变式训练】．（2020·四川眉山市·仁寿一中高二开学考试）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c，且cos 3C =，cos cos 2b A a B +=，则ABC ∆的外接圆面积为__________． 【详解】由正弦定理知：cos cos 2sin cos 2sin cos 2b A a B R B A R A B +=⋅⋅+⋅=，即()1sin sin A B C R +==，cos 3C =，1sin 3C =，即3R =.故29S R ππ==.故答案为9π 题型八：解析几何中运用例8．（1）如图,在,已知点在边上,,,,则的长为【解析】由题意， ∴，．（2）的两边长分别为1，第三边上的中线长为1，则其外接圆的直径为【解析】，设，在中，，即，①ABC ∆D BC AD AC ⊥sin 3BAC ∠=AB =3AD =BD sin()cos 23BAD BAD π∠+==∠2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠2232333=+-⨯⨯=BD =ABC ∆1,1AB AC AD ===BD CD x ==ABD ∆2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠2112cos x x ADB =+-∠在中，同理可得，②，①+②得，为等边三角形，，的外接圆直径为 .（3）（2020·全国高三专题练习）在ABC ∆中，5AB =，BAC ∠的平分线交边BC 于D .若45ADC ∠=.BD sin C =___________.【详解】ABD ∆中，由正弦定理可得，5sin sin135BAD =∠，所以sin 10BAD ∠=AD 为BAC ∠的平分线即sin sin BAD CAD ∠=∠=，()10sin sin45C DAC ∴=∠+∠==.【变式训练】．（1）如图，，，，为平面四边形的四个内角，若，，，，，则四边形面积是______．【解析】连接BD ，在中，， 在中，，所以=ACD ∆2312cos x x ADC =+-∠,cos cos 0ADB ADC ADB ADC π∠+∠=∠+∠=2422,1,x x ABD =+=∆3Bπ=ABC ∆2sin BCB==A B C D ABCD 180A C +=︒6AB =4BC =5CD =5AD =ABCD ABD ∆2222cos 6060cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅=-BCD ∆2222cos 4141cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅=-6060cos A -，因为，所以，所以，则， 所以四边形面积（2）四边形中，，，，，，则的长为______【解析】连接AC ,设,则，故在中，，， 又在中由余弦定理有,解得即.（3）在中，已知，是边上一点，如图，，则__________．【解析】，根据余弦定理，，，，根据正弦定理，则4141cos C -180A C +=︒cos cos A C =-1cos 5A =sin 5A =ABCD 11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯1165452525=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=ABCD 4AB =5BC =3CD =90ABC ∠=︒120BCD ∠=︒AD ACB θ∠=120ACD θ∠=-Rt ABC ∆sin θθ==()11cos 120cos sin 2222θθθ-=-+=-+=ACD ∆()2223cos 120AD θ+--==265AD =-AD =ABC ∆45B =︒D BC 75,1,BAD DC AC ∠=︒==AB =0120ADC ∠=22202cos120AC AD DC AD DC =+-⋅⋅260AD AD +-=2AD =060ADC ∠=00sin 60sin 45AB AD=. 考点八：综合运用例8．（1）在中，，向量 在上的投影的数量为，则 【解析】∵向量 在上的投影的数量为，∴．①∵，∴，∴．② 由①②得，∵为的内角，∴，∴． 在中，由余弦定理得，∴（2）（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）已知A 、B 、C 为ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若cos (2)cos 0a C c b A ++=．（1）求A ．（2）若a =4b c +=，求ABC 的面积．【详解】（1）cos (2)cos 0a C c b A ++=，由正弦定理可得：sin cos (sin 2sin )cos 0A C C B A ++=，sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B A ++=，sin()2sin cos 0A C B A ++=，sin 2sin cos 0B B A +=，sin 0B ≠，1cos 2A ∴=-，(0,)A π∈，23A π∴=． （2）由a =4b c +=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，2212()22cos3b c bc bc π∴=+--，即有1216bc =-，4bc ∴=， 故ABC 的面积为112sin 4sin 223S bc A π==⨯⨯= 02sin 60sin 45AD AB ===ABC ∆3AC =AB AC 2,3ABC S ∆-=BC =AB AC 2-||cos 2AB A =-3ABC S ∆=13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==||sin 2AB A =tan 1A =-A ABC ∆34A π=2||3sin 4AB π==ABC ∆2222232cos323(294BC AB AC AB AC π=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯=BC =（3）（2020·四川成都市·树德中学高一月考）已知向量(sin ,1)m x =，1(3cos ,)2n x =，函数()()f x m n m =+⋅.（1）求函数()f x 单调递增区间；（2）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，a =3c =，且5()2f A =，求角C. 【详解】（1）231cos23()()sin cos 222x f x m n m x x x -=+⋅=+⋅+=++cos 22sin(2)226x x π=-+=-+ 由222()26263k x k k x k k Z πππππππππ-≤-≤+⇒-≤≤+∈，所以单调递增区间是[,]()63k k k Z ππππ-+∈（2）由（1）知，51()sin(2)2sin(2)6262f A A A ππ=-+=⇒-=， a c <，(0,)2A π∴∈52(,)666A πππ∴-∈-，266A ππ∴-=，6A π∴=，于是，由正弦定理，3sin sin sin sin 2a c C A C C =⇒=⇒=，3sin 2c A a c ⨯=<<，∴两个解均成立，3C π∴=或23π 【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·（理））在ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足tan 2sin a C c A =． （1）求C∠的大小；（2）若2c a b ==，求ABC 的面积．【详解】（1）由tan 2sin a C c A =得sin 2sin cos a CA c C⋅=， 由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=，又(0,),sin 0A A π∈≠, ∴1cos 2C =,∵0C π<<, ∴3C π=（2）∵2222cos c a b ab C =+-，且2a b =．∴2222142232b b b b b =+-⋅⋅⋅=，∴2b =，∴4a =，∴1sin 2ABCSab C ==（2）（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高三月考（理））已知函数()()()cos sin f x x x x x =∈R .（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若22B f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，6b =，求ABC 的面积的取值范围.【详解】（1）()211cos2cos sin sin 222xf x x x x x +==1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴()f x 的周期T π=， 由222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 所以()f x 的单调递增区间是5,1212k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k Z ∈.（2）∵sin 2322B f B π⎛⎫⎛⎫=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又(0,)B π∈，∴3B π=，由正弦定理有6sin sin sin sin 3a cb A C B π====∴11sin sin sin 22ABC S ac B A C B A C ==⋅⋅=△221sin (sin )18sin cos 322A A A A A A A Aπ⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭1cos29sin 2226A A A π-⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭∵203A π<<，∴72666A πππ-<-<，∴(ABC S ∈△ （3）（2020·四川成都市·高一期末（理））在ABC 中，三角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且cos 5A =，sin B C =． （1）求tan C 的值；（2）若a =ABC 的面积．【详解】在ABC 中，A B C π++=，0A π<<，sin 0A >，因为cos A =，得sin 5A ===①．（1()()sin sin sin sin cos cos sin C B A C A C A C A C π==-+=+=+⎡⎤⎣⎦，C C C =+．所以sin 3cos C C =②． 如果cos 0C =，则sin 0C =与22sin cos 1C C +=③矛盾，所以cos 0C ≠．所以sin tan 3cos CC C==． （2）因为0C π<<，由tan 30C =>，得02C <<π，则sin 0C >，cos 0C >．将（1）中②代入（1）中③解得：sin10C=，cos10C=．于是sin102B C===．将a=1）①代入正弦定理sin sina cA C==3c=．所以ABC的面积11sin33222S ac B==⨯⨯=．课后训练1.（2020·宜宾市叙州区第二中学校高二开学考试（理））在ABC∆中，若sin cosA Ba b=，则角B为（）A．6πB．4πC．3πD．2π【解析】因为sin cosA Ba b=,所以cos sin,tan1,4B BB Bb bπ=∴=∴=.2.（2020·四川成都市·成都七中高三开学考试（理））设ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且22cosb cBa+=，则A∠的大小为（）A．30B．60︒C．120︒D．150︒【详解】根据题意,由正弦定理可得：sin2sin2cossinB CBA+=，即sin2sin2cos sinB C B A+=，因为()C A Bπ=-+,∴sin2sin()sin2sin cos2cos sin2cos sinB A B B A B A B B A++=++=，sin2cos sin0B A B∴+=，sin0B ≠，12cos0A∴+=，解得1cos2A=-，(0,180)A∈︒︒，120A∴=︒.故选：C3.（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）在ABC中，60B=︒，1a=，ABCABC 外接圆面积为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．3π【详解】在ABC 中，11sin 1sin 60222S ac B c ==⨯⨯⨯︒=，则2c =， 根据余弦定理：2222cos b a c ac B =+-2212212cos603=+-⨯⨯⨯︒=，则b =2sin sin 60b R B ==︒，则1R =， ∴外接圆面积221S R πππ==⨯=．故选：C4.（2020·四川眉山市·高一期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2cos a B b Ac C ，2CB =CB 在CA 方向上的投影为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【详解】因为cos cos 2cos a B b A c C ，所以sin cos sin cos sin cos A B B A C C += ，即()sin cos A B C C +=， 即sin sin cos C C C =， 因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以cos C =，所以CB 在CA 方向上的投影为：cos 451BC C ⋅=︒=． 故选：A ． 5.（2020·四川成都市·双流中学高三月考（理））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【详解】∵(2)cos cos a b C c B -=，由正弦定理可得(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=，∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=，三角形中sin 0A ≠，∴1cos 2C =，∴3C π=．故选：C ． 6.（2019·四川成都市·树德中学高二开学考试）如果满足条件：3ABC π∠=，12AC =，BC k =的ABC ∆恰有两个，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．012k <≤B ．12k ≥C ．12k <<D ．012k <≤或k = 【详解】要使满足条件的ABC ∆恰有两个，只需满足sin 12k ABC k ∠<<，即12k k <<，所以12k <<C 7.（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一开学考试）在ABC 中，内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若cos cos B Ab a=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形【详解】因为cos cos B A b a=，由正弦定理得cos cos sin sin B AB A =， 所以sin cos cos sin A B A B =，即sin cos cos sin 0A B A B -=，所以in 0()s A B -=，又,(0,)A B π∈，所以0A B -=，即A B =，所以ABC 为等腰三角形，故选：A8.（2020·四川省成都市第十七中学高一期中）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2a =，2A B =，则cos B =( )A ．3B C D ．6【解析】∵在ABC 中a =，∴由正弦定理可得sin A B =①，又∵2A B =，∴sin sin22sin cos A B B B ==②，由①②可得2sin cos B B B =，可得cos B =，故选B.9.（2020·四川成都市·高一期末）我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为ABCS =△7a =，8b =，9c =，则ABC 的内切圆半径为（ ）A BCD【详解】由已知条件可知：ABCS =△7a =，8b =，9c =，所以ABCS ==△()12ABC S a b c r =++⨯△，则()17892r ++⨯=r =故选：D. 10.（2020·四川成都市·棠湖中学高一月考）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1000km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30︒，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75︒，则山顶的海拔高度为（精确到0.1 km 1.732≈）A ．11.4 kmB ．6.6 kmC ．6.5 kmD ．5.6 km【详解】在ABC ∆中，15030,753045.1000603o o o oBAC ACB AB ∠=∠=-==⨯=根据正弦定理，503sin 45sin 30o o BC BC =∴=,sin 75sin(4530)11.5oo o BC ∴=+≈ 所以：山顶的海拔高度为18-11.5=6.5 km .故选：C11.（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期末（理））如图，在ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，2AB =，2BC DB =，则sin C 的值为（ ）AB．6CD．6【详解】设AB x =，则,,AD x BD x BC x ===， 在ABD △中，由余弦定理可得，2222224213cos 223x x AB AD BD A AB AD x -+-===⋅， 所以sin =A ，在ABD △中，由正弦定理得，sin sin AB BD ADB A=∠，则sin sin 233AB x ADB A x BD ∠==⨯=，所以sin BDC ∠=在BDC 中，由正弦定理得sin sin BD BC C BDC =∠，则sin sin x BD BDC C BC ⋅∠===D11.（2020·广西南宁市·南宁三中高三其他模拟（理））已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1cos 3A =，23b c =，且ABC ∆，a =___________.【详解】1cos 3A =，sin 3A ∴==，23b c =，且ABC ∆1sin 2ABC S bc A ∆∴=，12233c c =⨯⨯，2c ∴=，b =由余弦定理得2229192cos 222322a b c bc A =+-=+-=，2a ∴=.故答案为2． 12.（2019·四川省成都市第八中学校高二期中（理））已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1c =，π3C =，若()sin sin C A B +-=sin 2B ，则ABC 的面积为______． 【详解】∵在ABC 中，()sin sin sin 2C A B B +-=，则()()sin sin 2sin cos B A A B A B ++-=，∴2sin cos 2sin cos A B B B =，故有sin sin A B =或cos 0B =．①sin sin A B =，则有a b =，又1c =，π3C =． 在ABC 中，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，代入整理可得，21a =即1a b ==，此时，1sin 24ABC S ab C ==△．②cos 0B =即π2B =，ABC 为直角三角形，又1c =，π3C =，∴3a =，3b =，此时11236ABC S =⨯⨯=△．故答案为：413．（2020·四川成都市·高一期中（理））已知函数()2cos(2)2cos 213f x x x π=+-+，若ABC 为锐角三角形且()0f A =，则b c的取值范围为_____.【详解】()2cos 2cos2sin 2sin2cos 2133f x x x x ππ=⋅-⋅-+2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭()2sin 2106f A A π⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭，即1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，02A π<<，72666A πππ∴<+<则5266A ππ+=，3A π=，1sin sin sin 1322sin sin sin 2tan 2C C C b B c C C C C π⎛⎫++ ⎪⎝⎭====+ 62C ππ<<，tan C ⎫∴∈+∞⎪⎪⎝⎭，则302<<，11,222⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 即bc 的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭14.（2020·成都市·四川电子科大实验中学高一期中）如图，海上某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75︒，距离为A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30，距离为A 处行驶到D 处时，若灯塔B 在方位角120︒的方向上，则灯塔C 与D 处之间的距离为_______海里.【详解】在ABD∆中,75,60,45AB DAB ADB ABD =∠=∠=∠=由正弦定理可得sin sin AB AD ADB ABD =∠∠,代入可得sin 60sin 45AD=解得sin 4524sin 60AD ==在ACD ∆中AC =,由余弦定理可得2222cos CD AC AD AC AD CAD =+-⋅∠代入可得21925762242CD =+-⨯⨯2192CD = 所以CD=:15.（2020·四川省泸县第一中学高一月考）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2cos cos cos a C b C c B =+.（1）求角C ；（2）若8b =，4c a =+，求ABC 的面积. 【详解】（1）在ABC 中，根据正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 由2cos cos cos a C b C c B =+，可得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+， 所以()2sin cos sin sin A C B C A =+=，因为A 为ABC 内角，所以sin 0A >，所以1cos 2C =因为C 为ABC 内角，所以3C π=， （2）在ABC 中，8b =，4c a =+，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-()2224828cos3a a a π+=+-⨯⨯,解得3a =，所以11sin 38sin 223ABCSab C π==⨯⨯⨯=. 16.（2020·四川成都市·高一期末）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且角C 是锐角，若ABC的外接圆半径为R ，c =.（1）求角C ；（2）若4ABC S =△，求ABC 的周长.【详解】（1）由题知：2sin c R C =，所以sin =C解得1sin 2C =，又角C 是锐角，所以6C π=.（2）因为1sin 26△π==ABC S ab ，所以ab =.又因为2222cos 6c a b ab π=+-，所以()22232=+=+-a b a b ab ，即()(22123+=+=a b ，3+=+a b所以ABC 的周长为3a b c ++=+17.在中，，，分别为角，，所对边，若. （1）求角的大小.（2）若，求周长的取值范围.【解析】（1）由正弦定理知：，即由余弦定理知：，因此（2）由正弦定理知：，则，故，则，故，因此18.（2020·宜宾市叙州区第一中学校高一月考）在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知满足(2)cos cosa c Bb C-=.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若2b=，求ABC∆的面积的取值范围．【详解】（Ⅰ）()2cos cosa c Bb C-=，由正弦定理得：()2sin sin cos sin cosA CB B C-=()2sin cos sin cos sincos sin sinA B C B B C B C A∴=+=+=()0,Aπ∈，sin0A∴≠，1cos2B∴=，()0,Bπ∈，3Bπ∴=（Ⅱ）由正弦定理得：sinsinb AaB=，a A∴==，同理：c C=ABC∆a b c A B C(sin sin)sin sina A B c Cb B+=-C c=ABC∆22()a abc b+=-222a b c ab+-=-2221cos22a b cCab+-==-23Cπ=4sin sin sina b cA B C====4sina A=4sinb B=4sin4sinABCC a b c A B∆=++=++24sin4sin()4sin4sin3A A C A Aπ⎛⎫=+++=+++⎪⎝⎭2sin4sin3A A Aπ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭0,3Aπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2,333Aπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin3Aπ⎫⎛⎫+∈⎪⎪⎝⎭⎝⎭ABCC∆∈+1sin 1s in sin 233in 223ABC A C A ac C S B ∆=⨯⨯=∴=⨯21sin sin sin 32C C C C C π⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1112cos 2sin 24462C C C π⎫⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭203C π<<，72666C πππ∴-<-<，1sin 2126C π⎛⎫∴-<-≤ ⎪⎝⎭10sin 2362C π⎫⎛⎫∴<-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ABC ∆∴的面积的取值范围为：(19．（2020·四川成都市·棠湖中学高一月考）如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝2π，B ＝23π，AB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE ＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝23π，EC .(1)求sin ∠BCE 的值；(2)求CD 的长.【详解】(1)在△BEC 中，由正弦定理，知sin BE BCE ∠＝sin CE B，因为B ＝23π，BE ＝1，CE ，所以sin ∠BCE ＝sin BE B CE ⋅＝14.(2)因为∠CED ＝B ＝23π，所以∠DEA ＝∠BCE ，所以cos ∠DEA ＝14.因为2A π=，所以△AED 为直角三角形，又AE ＝5，所以ED ＝cos AEDEA∠.在△CED 中，CD 2＝CE 2＋DE 2－2CE ·DE ·cos ∠CED ＝7＋28－2××12⎛⎫-⎪⎝⎭＝49.所以CD ＝7.20.（2020·四川成都市·高一期末（文））如图，在ABC ∆中，30B ∠=，AC =D 是边AB 上一点．（1）求ABC ∆的面积的最大值；（2）若2,CD ACD =∆的面积为4，ACD ∠为锐角，求BC 的长．【详解】（1）因为在ABC ∆中，30,B AC D ∠==是边AB 上一点， 所以由余弦定理得：(22222202cos 2AC AB BC AB BC ABC AB BC BC AB BC ==+-⋅∠=+-⋅≥⋅所以(202AB BC ⋅≤=+，所以(1sinB 522ABCS AB BC =⋅≤+所以ABC ∆的面积的最大值为5(2+ （2）设ACD θ∠=，在ACD ∆中，因为2,CD ACD =∆的面积为4，ACD ∠为锐角，所以11sin 2sin 422ABC S AC CD θθ=⋅=⨯=，所以255sin ,cos θθ，由余弦定理，得，2222cos 204816AD AC CD AC CD θ=+-⋅=+-=所以4=AD ，由正弦定理，得sin sin AD CD A θ=，所以42sin sin A θ=，所以sin A =， 此时sin sin BC AC A B=，所以sin 4sin AC A BC B ==．所以BC 的长为4 21.（2020·四川成都市·双流中学高一开学考试）如图，在平面四边形ABCD 中，23D π∠=，CD =ACD ∆的面积为2．⑴求AC 的长；⑵若AB AD ⊥，4B π∠=，求BC 的长．【详解】⑴∵23D π∠=，CD =ACD ∆∴11sin 22ACD S AD CD D AD ∆=⋅⋅=⨯=,∴AD =∴由余弦定理得22212cos 6626()182AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=+-⨯⨯-=，∴AC =⑵由（1）知ACD ∆中AD =CD =23D π∠=∴6DAC ,∵AB AD ⊥,∴3BAC π∠=,又∵4B π∠= ，AC =∴在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin BC AC BAC B =∠,2=,∴BC =。
高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习
高中数学必修5 第一章 解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C=== (R 为三角形外接圆的半径). 2.正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2cR=； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（iv ）R CB A cb a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）【余弦定理】1．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 2.推论： 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3.设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >． 4.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,1.111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++= Rabc 4=2R 2sinAsinBsinC （其中r 为三角形内切圆半径） 2.设)(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)【三角形中的常见结论】（1）π=++C B A (2) sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos CB A =+; （3）若⇒>>C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >>若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >>（大边对大角，小边对小角） （4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(5) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值（6）C ∆AB 中，A,B,C 成等差数列的充要条件是 60=B .(7) C ∆AB 为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列，且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总题型1【判定三角形形状】判断三角形的类型（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.（2）在ABC ∆中，由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）(3) 若B A 2sin 2sin =，则A=B 或2π=+B A .例1.在ABC ∆中，A b c cos 2=，且ab c b a c b a 3))((=-+++，试判断ABC ∆形状.题型2【解三角形及求面积】一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.例2.在ABC ∆中，1=a ，3=b ，030=∠A ，求的值例3.在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3π=C ． （Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)(sin sin =-+，求ABC ∆的面积． 题型3【证明等式成立】证明等式成立的方法：（1）左⇒右，（2）右⇒左，（3）左右互相推.例4.已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，求证：B c C b a cos cos +=. 题型4【解三角形在实际中的应用】仰角 俯角 方向角 方位角 视角例5．如图所示，货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解三角形高考题精选一．选择题。
必修五解三角形章节总结范文与题型
必修五解三角形章节总结范文与题型章末整合提升知识梳理abc1.正弦定理：inA=inB=inC=2R，其中R是三角形外接圆半径.b2c2a22222222bc.2.余弦定理：a=b+c-2bccoA,b=a+c-2accoB,coA=111abcS(Sa)(Sb)(Sc)23.S△ABC=2abinC=2bcinA=2acinB,S△==Sr(S=,r为abc内切圆半径)=4R(R为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcoC+ccoB,b=acoC+ccoA,c=acoB+bcoA.6.三角形内角的诱导公式CCABAB(1)in(A+B)=inC,co(A+B)=-coC,tanC=-tan(A+B),co2=in2,in2=co2在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;(2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.7.解三角形常见的四种类型abc(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及inA=inB=inC，可求出角C，再求b、c.(2)已知两边b、c与其夹角A，由a=b+c-2bccoA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C. 222ab(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理inA=inB，求出另一边b的对角B，acab由C=π-(A+B)，求出c，再由inA=inC求出C，而通过inA=inB求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.专题一：正、余弦定理的应用1．正弦定理主要有两个方面的应用：(1)已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的第三个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角．2．余弦定理有两方面的应用：(1)已知三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边，进而求出其他两角；(2)已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角．例1．在ABC中，已知a，c，B60，求b及A；222bac2accoB解析：（1）∵=222COS4502121)=8=∴b求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：b2c2a22221,解法一：∵coA∴A600.a0AinBin45,解法二：∵in2.41.43.8,∴a＜＜21.83.6,c，即00＜A＜900,A60.∴针对练习：1．（2022上海文数）18.若△ABC的三个内角满足inA:inB:inC5:11:13，则△ABC（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由inA:inB:inC5:11:13及正弦定理得a:b:c=5:11:13521121320，所以角C为钝角由余弦定理得coc25112．（2022湖南文数）7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则A.a＞bB.a＜bC.a＝bD.a与b的大小关系不能确定【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题例2．.（2022北京理）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B3，4coA,b（Ⅰ）求inC的值；（Ⅱ）求ABC的面积.5【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．解（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且B∴C3,coA4，523A,inA，35∴inCin12.AAinA323,inC5（Ⅱ）由（Ⅰ）知inA又∵B,bABC中，由正弦定理，得3binA6.∴ainB5∴△ABC的面积S针对练习：3．设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acoB＝3，binA＝4.(1)求边长a；(2)若△ABC的面积S＝10，求△ABC的周长l.解：(1)将acoB＝3与binA＝4两式相除，得116336abinC.22510503acoBacoBbcoB1＝＝·＝·＝.4binAinAbinBbtanB又由acoB＝3知coB>0，34∴coB＝，inB＝，即a＝5.551(2)由S＝acinB，得c＝5.2a2＋c2－b2由coB＝，解得b＝25.2ac∴l＝a＋b＋c＝10＋25.理解并掌握正弦定理与三角形面积计算公式的结合．要掌握面积与角或边的转换方法．4．（2022天津理数）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a2b2，inCB，则A=（A）30（B）60（C）120（D）15000【答案】A【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。
必修五解三角形整理+例题+练习+答案
第一章 解三角形一、知识点总结 1．正弦定理:()2,sin sin sin a b cC R R A B ===为三角形外接圆的半径变形：例（1）(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.322.余弦定理：例（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值_（3）2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________．3.面积公式例（4）△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 4.射影定理（了解）：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA5.三角形中的常用结论：2sin ,2sin ,2sin sin =,sin ,sin 222::sin :sin :sin ++=2sin sin sin sin +sin +sin sin sin sin A B C a b a R A b R B c R C a b cA B C R R R a b c A B Ca b c a b cR A B A B C C C A B c >===⎫⎪⎬==>⇔>>⇔>>⎪⎭====边角互化（大角对大边：）①②③④2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos 2cos 2cos 2⎧+-=⎪⎪+-⎪⇒=⎨⎪⎪+-=⎪⎩b c a A bc a c b B ac b a c C ab 111222∆===ABC a b c S ah bh ch 111sin sin sin =2224ABC abc S ab C bc A ac B R ∆===或(1),(+>-<a b c a b c 即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）二、常见题型 1、解三角形利用正弦定理：①已知两角和任意一边(AAS 、ASA )，求其他的两边及一角（只有一解） ②已知两边和其中一边的对角(SSA )，求其他边角（无解，一解，两解） 利用余弦定理：①已知三边(SSS )求三角（只有一解）②已知两边及夹角(SAS )，求第三边和其他两角（只有一解）③已知两边和其中一边的对角(SSA )，求其他边角（无解，一解，两解） 已知“SSA ”利用正弦定理与余弦定理求解的区别：(2)sin sin cos cos ∆>⇔>⇔>⇔<ABC A B a b A B A B在中，(3)222sin()sin ,cos()cos tan()tan ,sin cos ,cos sin ,2222A B CA B C A B C A B C A B C A B C A B A B C C πππ+++=⇒⇒=-+=+=-+=-+=-++==三角形中的诱导公式：，A.32或 3B.32或34C.3或34D. 32、判断三角形形状或求值方法一：确定最大角（只要知道三边的关系，就可以利用余弦定理的推论求出角） 方法二：边化角（统一化成角）方法三：角化边（统一化成边）❖常见的形式：例（6）ABC ∆中，若C B A B A 22222sin sin cos cos sin =-，判断ABC ∆的形状例 (7) 在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ＝43，试判断三角形的形状．3、构成三角形三边的问题2222222sin ,2sin ,2sin ,2cos sin sin sin 2sin sin cos a R A b R B c R C a b c bc A A B C B C A====+-⇒=+-⋅①常用公式：222222222sin ,sin ,sin ,222cos ,cos ,cos ,222a b cA B C R R R b c a a c b a b c A B C bc ac ab ===+-+-+-===①常用公式：sin =sin ()(sin sin +22)sin 2=sin 2()()2A B A B k k A B A B A B αβαβπαπβππ⇒=⎫⎪=⇔==-+⎬⇒=+=⎪⎭②常见结论：等腰三角形原理：或等腰三角形或直角三角形2222222222222229090a b c A a b c A a b c b a c c a b>+⇒>=+⇒=⎧<+⎪<+⇒⎨⎪<+⎩②常见结论：(钝角三角形)(直角三角形)锐角三角形cos cos ()()cos cos cos cos ()sin 2sin cos ())()3,sin 2sin cos ()a Ab B a bc A B C b a C A B C a b c b c a bc A B C =====+++-==①等腰三角形或直角三角形②等边三角形③直角三角形④等腰三角形⑤（且等边三角形21,,1()2.a a a a +-【例8】设为钝角三角形的三边，求实数考虑最大角为钝角和两边之和大于取值范围第三边的4、周长面积问题（记得同时利用两个公式：余弦定理和完全平方公式）5、正、余弦定理的综合应用【例11】在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c，a =tan tan 4,22A B C++= 2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A B C π++=这个特殊性：,sin()sin ,sincos 22A B CA B C A B C π++=-+==；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
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一． 构成三角形个数问题
1．在ABC ∆中，已知,2,45a x b B ===，如果三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A ． 222x << B. 22x < C ． 22x << D.02x <<
2．如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是__________．
3．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）
二．
求边长问题
4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边,,a b c ，若0
3,120a C ==，ABC ∆的面积153
4
S =，则c =（ ）
A ．5
B ．6
C ．39
D ．7
5．在△ABC 中，0
1,45,2ABC a B S ∆===，则b =_______________.
三．
求夹角问题
6．在ABC ∆中，3,2,4
===
∠BC AB ABC π
，则=∠BAC sin （ ）
A ．1010
B ．510
C ．10103
D ．5
5
7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别S c b a ,,,为表示△ABC 的面积，若
,sin cos cos C c A b B a =+ )(4
1222
a c
b S -+=
，则∠B=( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 四．
求面积问题
8．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为c b a ,,.若2cos ,,13
a b A B c π
===，则
△ABC 的面积等于 （ ）
9．锐角ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，已知4
12cos -=C . （Ⅰ）求C sin 的值；
（Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 的长及ABC ∆的面积．
10．如图，在四边形ABCD 中，3,73,14,7,120AB BC CD BD BAD ====∠=︒．
（1）求AD 边的长； （2）求ABC ∆的面积．
11．（本小题满分12分）已知ABC ∆中, 角C B A ,,对边分别为c b a ,,,
（1）若ABC ∆的面积等于求b a ,
（2）若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+,求ABC ∆的面积．
12．在ABC ∆中，角C B A ,,对边分别为c b a ,,已知3
C π
=．若2,3a b ==，求ABC ∆的
外接圆的面积；
五． 判定三角形形状问题
13．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边，若C b a cos 2=，则此三角形一定是（ ）
A.等腰直角三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰或直角三角形
14．ABC ∆中三边上的高依次为
，则ABC ∆为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不存在这样的三角形
15．在ABC ∆中，若0tan tan 1A B <⋅<，那么ABC ∆一定是（ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．形状不确定
16．在△ABC （a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），则△ABC 的形状为 ( )
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形或直角三角形
D ．等腰直角三角形
17．在ABC ∆中，如果
cos cos a b
B A
=
，则该三角形是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．以上答案均不正确
六．综合问题
18．在锐角△ABC 中，,,a b c 是角A ，B ，C （1）求角C 的度数；
（2ABC ，求a b +的值。
19.在锐角ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且 （1）求角A 的大小；
（2）若8,4=+=c b a ，求ABC ∆的面积.
20．在ABC 中，角,,A B C 对边分别是,,a b c ，且满足()2cos sin 2c b A a B π⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
. （1）求角A 的大小；
（2）若2a =，且ABC 的面积为3，求,b c .
21．如图，在ABC ∆中，=
3
B π
∠，8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1
cos 7
ADC ∠=
.
（I ）求sin BAD ∠； （II ）求,BD AC 的长.
22．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知()
222332b c a bc +=+. （1）求sin A 的值；
（2）若2,a ABC =的面积2
2
S =，且b c >，求b 和c 的值.
23．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsinC ． （Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）若a c b +==求△ABC 的面积．
24．（本小题满分12分）已知在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，．且
（Ⅰ）求
sin sin C
A
的值； ，2b =，求ABC ∆的面积S 。
25．（本题满分15分）在ABC ∆中，内角A B C ，， 所对的边长分别为a b c ，，，
（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）已知ABC ∆不是．．，,2sin 2)sin(sin A A B C =-+求ABC ∆的面积.
26．（本题满分13分）在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1=c ．。