分类讨论问题
分类讨论型问题
C．y＝2x
D．y＝x＋2
解析
根据已知，在没有给出 x 的取值范围时，不能确定 2x 和 x＋2
的大小，所以不能直接表示为 y＝2x，y＝x＋2. 当 x＜2 时，可得：x＋x＜x＋2，即 2x＜x＋2，可表示为 y＝2x. 当 x≥2 时，可得：x＋x≥x＋2，即 2x≥x＋2，可表示为 y＝x＋2. 故选 A.
3 方法二：设 P(x，－ x＋ 3)， 3 3 得 OM＝x，PM＝－ x＋ 3. 3 由∠BOP＝∠BAO，得∠POM＝∠ABO. PM ∵tan∠POM＝OM＝ － 3 x＋ 3 3 ， x
OA tan∠ABO＝OB＝ 3. － ∴ 3 x＋ 3 3 3 3 3 3 ＝ 3，解得 x＝ . 此时，P3( ， )． x 4 4 4
探究提高
本题有一定的难度，分类的情况比较复杂，解题
时要多读试题，首先确定分类的方向，理解解题思路，做
到胸有成竹，而不要急于下笔．
知能迁移3 (2010· 莆田)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝
90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分 ∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD，垂
图1
图2
探究提高
本题(2)中直线AB与⊙O相切有两种情况，一
种在⊙O的左边与AB相切，一种在⊙O的右边与AB相
切.
知能迁移2
已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的
距离相等，且OB＝OC.
图1
图2
(1)如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC； (2)如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC； (3)若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示．
题型分类
题型一
分类讨论思想答辩问题
分类讨论思想答辩问题1、自己为什么选择这个课题？由于自己对数学解题思想方面比较感兴趣，也因为将来最有可能的工作是教师，所以希望在毕业论文的研究中能对今后有所帮助。
加之数学解题技巧是初等数学中的一个非常重要的组成部分，所以选择了这个论问题2、研究这个课题的意义和目的是什么？答：数学解题是数学教学与学习的重要组成部分。
通过数学解题，可以深化对数学基础知识、基本技能的认识，逐渐体会数学知识的精髓--数学思想方法，培养严谨的逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力和创新意识，提高灵活运用数学知识去分析问题、解决问题的能力。
为了学生以后走上工作岗位不出现瘸腿现象，加强数学教育中的文化素质显得比较重要和具有现实意义3、全文的基本框架、基本结构是如何安排的？答：第一部分：几种常见的数学解题思想；第二部分：数学解题技巧的培养；第三部分：如何将数学解题思想贯穿于解题技巧中；第四部分：解题技巧的误区；第五部分：解题思想与解题技巧的体会；第六部分：结束语4、你这篇论文的侧重点在哪方面？为什么？答：我这篇论文的侧重点在如何将数学解题思想融入到数学解题技巧当中因为我觉得在所有掌握了各种解题思想后最重要的是懂得何用将这些思想运用到实际问题当中，只有这些才算真正理解了解题思想它的应用5、你觉得数学解题技巧在解决数学问题有什么优势？答：数学问题的解决方法有很多种，但是万变不离其中，这就要求我们掌握一些常用的数学解题技巧，在解题中不用为了用哪种方式合适而浪费时间，在解数学题时可以做到条件反射，从而为你整个解题过程节省很多时间6、论文虽未论及，但与其较密切相关的问题还有哪些？答：本文在撰写有关解题技巧的误区这一方面只是列举了两个技巧的误区，但我觉得这方面很重要。
这一点与如何培养学生的解题能力密切相关，应该罗列出哪些问题最容易产生惯性思维，避免走入技巧的误区7、哪些问题自己还没搞清楚，在论文中论述得不够透彻？答：有些数学题看起来哪种方法都可以用，但是实际上我们并不能直接反应出哪种方法最合适，这篇论文在有关哪些题型用哪些方法方面没有去罗列出来8、写作论文时立论的主要依据是什么？答：主要依据是数学解题思想的技巧，根据你所掌握的各种数学解题思想，然后将这些思想融入到实际问题当中，也即将这些思想融入到解题技巧当中。
分类讨论问题 教学课件
分类讨论问题
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差 异，分各种不同情况予以讨论.这种分类思考的方法是 一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略.
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学 对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法， 领会其实质，能帮助学生加深基础知识的理解，提高 分析问题、解决问题的能力.
时，请求出运动的时间.
备用图
备用图
解：(1)把 A(2，0)，B(8，0)代入抛物线 y＝ax2＋
bx＋6，
得46a4＋ a＋2b8＋ b＋6＝ 6＝0， 0，
解得a＝83， b＝－145，
∴抛物线的表达式为 y＝38 x2－145 x＋6.
(2)设直线 BC 的函数表达式是 y＝kx＋6， ∵直线 BC 过点 B(8，0)，
∵－38 ＜0，
∴当 m＝4 时，EF 取最大值 6， 此时 E 点坐标为(4，3). (3)设运动的时间为 t 秒，则 BP＝OQ＝t， ∴BQ＝OB－OQ＝8－t.
①当 PQ＝PB 时，过点 P 作 PD⊥QB 于点 D，
如图.
∵点 C 的坐标是(0，6)，点 B(8，0)， ∴OC＝6，OB＝8，
∴BE＝12 BP＝12 t.
∵∠EBQ＝∠OBC，∠BEQ＝∠BOC＝90°， ∴△BEQ∽△BOC，
1 ∴BBQC ＝BBOE ，81－0 t ＝28t ， ∴t＝6143 ；
③当 PB＝QB 时，如图，
则 8－t＝t，解得 t＝4.
综上所述，当 t 的值为 4 或4103 或1634 时，△PBQ 为等腰三角形.
图1
图2
∵⊙M 与直线 AB 相切，∴MD＝2. ∵∠OBA＝∠DBM，∠BOA＝∠BDM，
分类讨论解决问题
分类讨论解决问题在我们的生活中，我们会遇到各种各样的问题。
有些问题可能很简单，可以迅速解决，而有些问题则可能比较复杂，需要我们做更深入的思考和研究。
为了更好地解决问题，分类讨论是一种有效的方法。
通过将问题分成不同的类别，我们可以更系统地分析和解决问题。
在本文中，将讨论分类讨论解决问题的意义以及如何进行分类讨论的具体步骤。
分类讨论的意义分类讨论解决问题的意义在于帮助我们整理思路、提供更清晰的解决方案并节省时间。
通过将问题划分为不同的类别，我们可以更好地理解问题的本质和根源，并有针对性地采取措施。
此外，分类讨论还可以帮助我们找到不同类别之间的相似之处和差异之处，从而更全面地了解问题。
通过有序地分类讨论，我们可以系统地探索问题，并实施相应的解决方案。
分类讨论的具体步骤进行分类讨论需要以下几个具体步骤：1. 识别问题：首先，我们需要明确所面临的问题。
只有明确了问题，我们才能有目标地进行分类讨论。
2. 划分类别：根据问题的性质和特点，确定适合的分类标准。
例如，如果我们要解决家庭预算的问题，我们可以将家庭开支、收入来源、节省策略等作为分类标准。
3. 归类问题：将问题按照不同的分类标准进行分类。
确保每个问题都能被正确归类，并且不会出现重复或遗漏的情况。
4. 分析每个类别：针对每个类别，我们需要详细地分析其特点、问题和可能的解决方案。
这可以通过收集相关信息、进行调查研究和与他人讨论来实现。
5. 制定解决方案：基于对每个类别的分析，制定相应的解决方案。
确保解决方案具有可行性和可操作性，并且能够解决每个类别中的问题。
6. 实施和评估：将制定好的解决方案付诸实施，并持续监督和评估其效果。
如果发现问题没有得到解决或效果不理想，可以对解决方案进行调整和改进。
通过上述步骤，我们可以进行有序的分类讨论，深入分析问题并提供相应的解决方案。
分类讨论可以帮助我们更系统地解决问题，提高解决问题的效率和准确性。
总结分类讨论是一种有效的解决问题的方法。
分类讨论问题(含问题解析)
初三数学专题复习：分类讨论问题【学习目标】1、学会运用数学的思维方式去观察、分析数学问题，体会分类讨论思想解决数学问题的方法．2、培养学生思维的逻辑性、探究性、以及归纳的条理性、完整性．【学习重点】用分类讨论思想观察、分析数学问题【学习难点】选择恰当的标准进行分类【学习过程】一、分类讨论概述：1、分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想.2、分类的要求：①分类的标准统一②分类要不重不漏.二、典型例题例1.已知直角三角形两边、的长满足，则第三边长为。
例2.⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，AB＝6㎝，CD＝8㎝，则AB和CD的距离是（）A. 7㎝B. 8㎝C. 7㎝或1㎝D. 1㎝例3.如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。
当DM＝时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。
例4.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝900，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P 从D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 出发，经线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点P 、Q 分别从D 、C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。
设运动时间为秒。
⑴设△BPQ 的面积为S ，求S 与之间的函数关系式。
⑵当为何值时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？二、当堂达标1．如图，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是( )A ．(4,0)B ．(1,0)C ．(－2 2，0)D ．(2,0)2．若函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≤2)，2x (x ＞2)，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )A ．± 6B ．4C ．±6或4D ．4或－ 63．如图，在平面直角坐标系xOy 中，分别平行x 、y 轴的两直线a 、b 相交于点A (3,4)，连接OA ，若在直线a 上存在点P ，使△AOP 是等腰三角形，那么所有满足条件的点P 的坐标是( )A ．(8,4)B ．(8,4)或(－3,4)C ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)D ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)或⎝⎛⎭⎫－76，44．矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1 cm 和3 cm 两部分，则这个矩形的面积为多少cm 2？( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6或85．若正比例函数y ＝2kx 与反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象交于点A (m,1)，则k 的值是( )A ．－2或 2B ．－22或22 C.22D. 26．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________． 7．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝AB ＝6，BC ＝14，点M 是线段BC上一定点，且MC＝8.动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有________个．8．在△ABC中，AB＝AC＝12 cm，BC＝6 cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1 cm的速度沿B→A→C的方向运动，设运动的时间为t秒，过D、P两点的直线将△ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值为________．9．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，如图所示．把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为_______．10．如图，点A、B在直线MN上，AB＝11 cm，⊙A、⊙B的半径均为1 cm，⊙A以每秒2 cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r＝1＋t(t≥0)，当点A出发后________秒两圆相切．11．(2010·柳州)如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t<3)，连接EF，当t值为多少时，△BEF是直角三角形．12．(2011·南通)已知A(1,0)，B(0，－1)，C(－1,2)，D(2，－1)，E(4,2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)，经过其中三个点．(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上；(2)点A在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？(3)求a和k的值．13、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD 内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N．(1)求过A、C两点直线的解析式；(2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围；(3)过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、M 为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．中考数学专题复习分类讨论问题参考答案一、例题参考答案【例题1】解：由已知易得⑴若是三角形两条直角边的长，则第三边长为。
第36课 分类讨论型问题
(2)分三种情况讨论：①当 0≤x＜6 时，如解图②所示． ∵∠GDB＝60° ，∠GBD＝30° ，∴∠BGD＝90° ． 1 3 ∵BD＝x，∴DG＝ x，BG＝ x． 2 2 1 1 1 3 3 ∴y＝ DG· BG＝ × x· x＝ x2． 2 2 2 2 8 ②当 6≤x＜12 时，如解图③所示． 1 3 ∵BD＝x，∴DG＝ x，BG＝ x，BE＝x－6， 2 2 ∴EH＝ 3 (x－6)． 3
【典例 1】
(2015· 河南)如图 361，正方形 ABCD 的边长是 16，
点 E 在边 AB 上，AE＝3，F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一 个动点．把△ EBF 沿 EF 折叠，点 B 落在点 B′处，若△ CDB′恰 为等腰三角形，则 DB′的长为________．
【点评】
图 361 本题主要考查折叠的性质、正方形的性质及等腰三角
形的性质，注意等腰三角形的腰和底的不确定性．
【解析】 △ CDB′恰为等腰三角形需分三种情况讨论： ①当 DB′＝DC 时，DB′＝16(易知点 F 在 BC 上且不与点 C，B 重合)． ②当 CB′＝CD 时，∵EB＝EB′，FB＝FB′， ∴点 E，F 在 BB′的垂直平分线上，∴EF 垂直平分 BB′． 由折叠可知，点 F 与点 C 重合，不符合题意，舍去． ③当 CB′＝DB′时，如解图，过点 B′作 B′G⊥AB 于点 G， B′G 的反向延长线交 CD 于点 H． ∵AB∥CD，∴B′H⊥CD． 1 ∵CB′＝DB′，∴DH＝ CD＝8． 2 ∴AG＝DH＝8．∴GE＝AG－AE＝5． 在 Rt△ B′EG 中，∵GE＝5，B′E＝BE＝AB－AE＝13， ∴B′G＝12．∴B′H＝GH－B′G＝4． 在 Rt△ B′DH 中，B′H＝4，DH＝8，∴DB′＝4 5． 综上所述，DB′＝16 或 4 5．
初一上册分类讨论典型例题
初一上册分类讨论典型例题初一上册的数学课程中，分类讨论是一个重要的学习内容。
通过典型例题的讨论，可以帮助学生掌握分类讨论的方法和技巧。
下面我将从不同的角度给出一些分类讨论的典型例题。
1. 分类讨论整数的奇偶性：问题，将100个自然数分成两类，一类是奇数，一类是偶数，问两类中至少有多少个数？解答，我们可以分别讨论奇数和偶数的个数，然后找到一个满足条件的分法。
假设奇数的个数为x，那么偶数的个数就是100-x。
根据题意，我们需要找到一个分法，使得两类中至少有一个数。
如果奇数的个数是0或者100，那么无论怎么分，都无法满足条件。
所以我们需要考虑1<=x<=99的情况。
当x=1时，偶数的个数是99，显然满足条件。
当x=99时，偶数的个数是1，也满足条件。
所以答案是至少有1个数。
2. 分类讨论几何图形的性质：问题，在一个平面上，有4个点，问它们是否能构成一个矩形？解答，我们可以通过分类讨论来解决这个问题。
首先，我们知道一个矩形有4个顶点，且相对的边相等且平行。
所以我们可以通过计算这4个点之间的距离和斜率来判断它们是否构成一个矩形。
假设这4个点是A、B、C、D。
我们可以计算AB、AC、AD、BC、BD、CD的长度，如果其中有两条边相等且另外两条边也相等，那么它们可能构成一个矩形。
然后我们再计算AB与CD的斜率、AC与BD的斜率、AD与BC的斜率，如果这三个斜率的乘积等于-1，那么它们也可能构成一个矩形。
通过这样的分类讨论，我们可以判断这4个点是否能构成一个矩形。
3. 分类讨论方程的解：问题，解方程2x^2-5x+2=0。
解答，这是一个二次方程，我们可以通过分类讨论来解决它。
首先，我们可以计算Δ=b^2-4ac，其中a=2，b=-5，c=2。
如果Δ>0，那么方程有两个不相等的实数解；如果Δ=0，那么方程有两个相等的实数解；如果Δ<0，那么方程没有实数解。
计算得到Δ=25-16=9，所以Δ>0，方程有两个不相等的实数解。
请给小学生数学编写一个需要分类讨论的问题
请给小学生数学编写一个需要分类讨论的问题
问题：在一批图书中，有若干本是故事书，若干本是科普书，而剩下的是绘本。
已知故事书的数量是科普书数量的两倍，而绘本的数量又比科普书的数量少3本。
如果总共有30本图书，请问每种类型的图书各有多少本？
解答：我们可以通过分类讨论来解决这个问题。
设故事书的数量为x，科普书的数量为y，绘本的数量为z。
根据已知条件，我们可以列出以下方程：
1. 故事书的数量是科普书数量的两倍：x = 2y
2. 绘本的数量比科普书的数量少3本：z = y - 3
3. 图书总数为30本：x + y + z = 30
现在我们可以利用这些方程，解得每种类型的图书的数量。
首先，我们将方程1代入方程3中，得到：2y + y + z = 30，即3y + z = 30。
然后，将方程2代入上面的方程，得到：3y + y - 3 = 30，即4y = 33，解出y = 8.25。
由于y代表科普书的数量，而书的数量应为整数，所以无法得到一个精确的值。
此时，我们可以近似地认为y ≈ 8。
然后，将近似值代入方程1，得到x ≈ 16。
再将近似值代入方程2，得到z ≈ 5。
所以，根据我们近似得到的结果，可能有大约16本故事书，8本科普书和5本绘本。
请注意，这只是根据近似值得到的结果，实际的解可能会有所不同。
分类讨论型问题
证：AB＝AC；
证明：(1)过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分
别是垂足， 由题意知：OE＝OF，OB＝OC ∴Rt△OEB≌Rt△OFC， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC.
(2)如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC； (2)过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，
(2)当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标．
解：(2)当△CBD 为等腰三角形时，有以下三种情况，
如图(1)，设动点 D 的坐标为(x，y) 由 (1)，得 B(－1,0)，C(4,0)，∴BC＝5. ①当 BD1＝ C1C 时，过点 D1 作 C1M1②⊥x 轴， 1 垂足为点 M1，则 BM1＝M1C＝ BC， 2 5 5 3 3 ∴ BM1＝ ，OM1＝ －1＝ ，x＝ 2 2 2 2 3 3 15 3 15 ∴ y＝－ × ＋3＝ ，点 D1 的坐标为( ， ) 4 2 8 2 8
第44课 分类讨论型问题
基础知识 自主学习
要点梳理
1．分类讨论是重要的数学思想，又是一种重要的
解题策略，很多数学问题很难从整体上去解决，若将其 划分为所包含的各个局部问题，就可以逐个予以解决， 分类讨论在解题策略上就是分而治之各个击破． 2．一般分类讨论的几种情况 (1)由分类定义的概念必须引起的讨论； (2)计算化简法则或定理、原理的限制，必须引起的
由∠BOP＝∠BAO，得∠POM＝∠ABO.
3 － PM 3 x＋ 3 ∵tan∠POM＝ ＝ ，tan∠ABO＝ OA＝ 3 . OM x OB ∴－ 3 x＋ 3 ，解得x＝ 3 . 4 3 3 3 )． 此时，P3( 3， 4 4
④若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP＝∠BAO＝30°.
分类讨论的七年级数学题题目
以下是一些适合七年级学生的数学题，这些题目需要使用分类讨论的思维方式来解决：1.有理数的比较大小比较有理数的大小是七年级数学中的一个基本技能。
给定两个有理数，例如a和b，我们可以比较它们的大小。
首先，我们可以将这两个数进行绝对值比较，即比较|a|和|b|的大小。
如果|a|小于|b|，那么a小于b；如果|a|大于|b|，那么a大于b。
如果|a|等于|b|，那么我们需要进一步比较a和b的符号。
如果a和b都是正数，那么a 等于b；如果a和b都是负数，那么a等于b。
如果a和b中一个是正数另一个是负数，那么无法比较它们的大小。
例如，比较-3和2的大小。
首先，我们比较它们的绝对值。
|-3|等于3，而|2|等于2。
因为3大于2，所以-3小于2。
2.分式的约分分式的约分是七年级数学中的一个重要内容。
给定一个分式，例如a/b，我们可以将其约分成最简形式。
首先，我们需要找出分子a 和分母b的最大公约数。
然后，我们将分子a和分母b分别除以这个最大公约数。
这样就可以得到最简形式的分式。
例如，约分36/48。
首先，我们找到36和48的最大公约数是12。
然后，我们将36除以12得到3，将48除以12得到4。
所以，36/48约分成最简形式是3/4。
3.一元一次方程的解法一元一次方程是七年级数学中的一个基本方程形式。
给定一个一元一次方程，例如ax+b=0，我们需要找到它的解。
首先，我们需要确定方程的解的类型。
如果a等于0且b不等于0，那么方程无解；如果a等于0且b等于0，那么方程有无数个解。
如果a不等于0，那么方程有唯一解，这个解可以通过将方程变形得到。
例如，解方程2x+6=0。
首先，我们看到a=2且b=6。
因为a不等于0，所以方程有唯一解。
我们可以将方程变形得到x=-3。
所以，方程2x+6=0的解是x=-3。
4.绝对值的应用绝对值是七年级数学中的一个基本概念。
给定一个有理数，例如a，它的绝对值是|a|。
绝对值的性质包括：如果a小于0，那么|a|=-a；如果a大于或等于0，那么|a|=a。
专题六 分类讨论问题
分类讨论问题是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干 不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想.分类讨 论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难度较大，在各地中考 试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有选拔性.目前， 深圳中考试卷中，常见的需分类讨论的知识点有三大类: （1）代数类：有绝对值、方程及根的定义,函数的定义以及点(坐标 未给定)所在象限等. （2）几何类：有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似 的可能对应情况等. （3）综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.
●考点解析
题型三 综合类
类代数与几何类分类情况的综合运用.
【例题 5】（2016·齐齐哈尔市）如图所示，在平面直角坐 标系中，过点 A( 3, 0) 的两条直线分别交y轴于B，C两点， 且B，C两点的纵坐标分别是一元二次方程 x2 2x 3 0 的两 个根． （1）求线段BC的长度． （2）试问直线AC与直线AB是否垂直？
思路分析：直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质 进而得出x2=4，y2-5y+6=0，再利用分类讨论得出即可， 故答案为 2 2或 13或. 5.
●考点解析
题型二 几何题
几何类常涉及各种图形的位置关系，未明确对应关系 的全等或相似的可能对应情况，函数的定义以及点(坐标 未给定)所在象限等；函数自变量的取值变化、函数图象 未给出、函数对称性(反比例函数、二次函数的图象)等， 分类讨论问题也常通过数形结合的方法来解答.
【例题 3】在半径为5 cm的⊙O中，弦AB=6 cm，弦CD=8 cm，且AB∥CD，求AB与CD之间的距离.
思路分析：两平行弦与圆心的位置关系一般有两种：两 弦在圆心的同侧；两弦在圆心的异侧.
分类讨论问题
分类讨论问题【简要分析】分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想．对于因存在一些不确定因素、解答无法或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决．分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏．【典型考题例析】例1：已知直角三角形两边x、y的长满足240x-=，则第三边长为．例2：⊙O的半径为5㎝，弦AB∥∥CD，AB=6㎝，CD=8㎝，则AB和CD的距离是（）（A）7㎝（B）8㎝（C）7㎝或1㎝（D）1㎝例3：如图2-4-2，正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动．当DM= 时，△ABE与以D、M、N为项点的三角形相似．例4：如图2-4-3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=900，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动时间为t 秒．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形？题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证．【提高训练12】1．已知等腰△ABC的周长为18㎝，BC=8㎝．若△ABC≌△A´B´C´，则△A´B´C´中一定有一定有条边等于（）A．7㎝B．2㎝或7㎝C．5㎝D．2㎝或7㎝2．已知⊙O的半径为2，点P是⊙O外一点，OP的长为3，那么以P这圆心，且与⊙O相切的圆的半径一定是（）A．1或5 B．1 C．5 D．1或则3．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过t小时两车相距50千米，则t的值是（）A．2或2．5 B．2或10 C．10或12．5 D．2或12．5４．已知点Ｐ是半径为２的⊙Ｏ外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，且PA=2，在⊙O内作了长为的弦AB，连续PB，则PB的长为5．在直角坐标系xoy中，一次函数2y=+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）苈以原点O这圆心的圆与直线AB切于点C，求切点C的坐标．（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【提高训练12参考答案】1．D 2．A 3．A 4．2或5（1）3（2）满足条件的2点P存在，它的坐标是或或或((4(4---。
第44课分类讨论型问题
①当点 Q 在边 AB 上时，0<t≤5，如解图①，过 Q 作
QE⊥AC 于 E，连结 PQ，∵∠C＝90°，∴QE∥BC，∴△
ABC∽△AQE，∴AAQB＝AACE＝QBCE，∵AQ＝2t，AP＝t，∴120t ＝ t＋8PE＝Q6E，∴PE＝53t，QE＝56t，∴PQ2＝QE2＋PE2，∴PQ
(例 3 题图解) ③如解图③，AE＝EF＝4.先求出 AE 边上的高 DF＝ 7，再代入面积公 式求得 S＝2 7 cm2.
答案 8 cm2 或 2 15 cm2 或 2 7 cm2
变式训练 3 (2015·攀枝花)如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 在矩形 OABC 中，点 A(10，0)，C(0，4)，D 为 OA 的中点，P 为 BC 边上一 点．若△POD 为等腰三角形，则所有满足条件的点 P 的坐标为________．
答案 D
变式训练 1 (2014·潍坊)等腰三角形一条边的边长为 3，它的另两条边
的边长是关于 x 的一元二次方程 x2－12x＋k＝0 的两个根，则 k 的值是( )
A. 27
B. 36
C. 27 或 36
D. 18
解析 由于等腰三角形的一边长 3 为底或腰不能确定，故应分两种情 况进行讨论：①当 3 为腰时，其他两条边中必有一个为 3，把 x＝3 代入原方 程可求出 k 的值，进而求出方程的另一根，再根据三角形的三边关系判断出 的值是否符合题意即可；②当 3 为底时，则其他两条边相等，即方程有两个 相等的实数根，由 Δ＝0 可求出 k 的值，再求出方程的两个根进行判断即可．
变式训练 3 题图解
答案 (2.5，4)或(3，4)或(2，4)或(8，4)
总结回顾：此题型多为点的位置不确定，导致图形不确定，所以在解题 时依据点可能出现的位置进行分类讨论，此类问题的分类讨论容易遗漏，考 虑问题务必要全面.
分类讨论问题的一种简捷方法
分类讨论问题的一种简捷方法分类讨论法是一种常用的思考和解决问题的方法，它帮助我们将复杂的问题拆分成若干个更小的子问题，并通过分类和讨论来深入思考和分析每个子问题。
下面我将详细介绍分类讨论法的步骤和应用，以及它在解决问题中的作用。
一、分类讨论法的步骤分类讨论法的使用步骤如下：1.确定问题范围和目标：首先要明确需要解决的问题是什么，以及我们希望达到的目标是什么。
2.拆分问题成若干子问题：将整个问题拆分成若干个更具体、更小的子问题，并确保每个子问题都能够独立思考和分析。
3.分类子问题：对于拆分出的子问题，根据它们的特点和属性进行分类。
可以根据问题的性质、影响因素、解决方案等进行分类。
4.讨论每个子问题：对于每个子问题，进行深入的讨论和分析。
可以列出各种观点、优缺点、解决方法等，并进行评估和比较。
5.综合总结：在讨论完每个子问题后，综合各个子问题的讨论结果，得出最终的结论和解决方案。
二、分类讨论法的应用场景分类讨论法适用于各种问题的分析和解决，特别是对于复杂的问题和多个因素综合影响的问题更为有效。
以下是分类讨论法的几个常见应用场景：1.问题分析：对于一个复杂的问题，通过分类讨论法可以将其分解成多个子问题，有助于更好地理解和分析问题的本质，并找到解决方案。
2.决策制定：在面临多个选择或者不同意见时，可以通过分类讨论法对每个选项或者意见进行分类和讨论，以帮助做出明智的决策。
3.方案评估：在评估不同方案的优劣时，可以通过分类讨论法对各个方案的优点、缺点、风险等进行分类和讨论，从而做出更有针对性的评估。
4.项目管理：在项目管理中，可以使用分类讨论法来对项目的各个方面进行分类和讨论，帮助更好地规划和组织项目。
5.辩论与讨论：在辩论或讨论中，可以使用分类讨论法将不同的观点和论证进行分类和讨论，有助于更全面和深入地探讨问题。
三、分类讨论法的作用分类讨论法在解决问题中起到了重要的作用，主要有以下几点：1.拆解问题：通过分类讨论法，可以将一个复杂的问题拆解成若干个更小的子问题，使其更具可解性，便于分析和处理。
小学三年级数学分类讨论练习题
小学三年级数学分类讨论练习题在小学三年级的数学学习中，分类讨论是一个重要的内容。
通过分类讨论，学生可以培养逻辑思维和分析问题的能力。
本文将给出一些小学三年级数学分类讨论练习题，帮助学生巩固知识并提高解决问题的能力。
1. 分类讨论加法运算（100以内）题目：将下列算式归类，分类汇总结果，并填写在下表中。
算式：8 + 9、15 + 20、10 + 3、7 + 12、25 + 35、18 + 22分类汇总表：| 运算结果≥20 | 运算结果＜20 || ----------- | ----------- || | |解析：将算式的结果进行判断，如果大于等于20，则归类到“运算结果≥20”的一列中；如果小于20，则归类到“运算结果＜20”的一列中。
最后填写总数即可。
2. 分类讨论减法运算（100以内）题目：将下列算式归类，分类汇总结果，并填写在下表中。
算式：30 - 10、40 - 25、21 - 9、50 - 35、12 - 8、18 - 25分类汇总表：| 运算结果≥20 | 运算结果＜20 || ----------- | ----------- || | |解析：将算式的结果进行判断，如果大于等于20，则归类到“运算结果≥20”的一列中；如果小于20，则归类到“运算结果＜20”的一列中。
最后填写总数即可。
3. 分类讨论乘法运算（10以内）题目：将下列算式归类，分类汇总结果，并填写在下表中。
算式：3 × 4、5 × 2、1 × 9、6 × 1、8 × 2、7 × 0分类汇总表：| 运算结果是偶数 | 运算结果是奇数 || ------------- | ------------- || | |解析：将算式的结果进行判断，如果是偶数，则归类到“运算结果是偶数”的一列中；如果是奇数，则归类到“运算结果是奇数”的一列中。
最后填写总数即可。
4. 分类讨论除法运算（10以内）题目：将下列算式归类，分类汇总结果，并填写在下表中。
中考数学《第36讲：分类讨论型问题》总复习讲解含真题分类汇编解析
第36讲分类讨论型问题(建议该讲放第21讲后教学)内容特性分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后逐类进行研究和求解的一种数学解题思想．对于存在的一些不确定因素而无法解答或结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决.解题策略很多数学问题很难从整体上去解决，若将其划分为所包含的各个局部问题，就可以逐个予以解决．分类讨论在解题策略上就是分而治之各个击破．具体是：(1)确定分类对象；(2)进行合理分类(理清分类“界限”，选择分类标准，并做到不重复、不遗漏)；(3)逐类进行讨论；(4)归纳并得出结论.基本思想分类讨论的基本方法是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复)；再对各个分类逐步进行讨论，分层进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.类型一由计算化简时，运用法则、定理和原理的限制引起的讨论例1(·南通模拟)矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为()A．3cm2B．4cm2C．12cm2D．4cm2或12cm2【解后感悟】解此题的关键是求出AB＝AE，注意AE＝1或3不确定，要进行分类讨论．1．(1)若关于x的函数y＝kx2＋2x－1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为____________________．(2)已知平面上有⊙O及一点P，点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm.(3)若|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，则a＋b＝()A．5或－1 B．－5或1 C．5或1 D．－5或－1类型二在一个动态变化过程中，出现不同情况引起的讨论例2为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.人均住房面积(平方米)单价(万元/平方米)不超过30(平方米)0.3超过30平方米不超过m平方米部分(45≤m≤60)0.5超过m平方米部分0.7根据这个购房方案：(1)若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；(2)设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；(3)若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60时，求m的取值范围．【解后感悟】本题是房款＝房屋单价×购房面积在实际生活中的运用，由于单价随人均面积而变化，所以用分段函数的解析式来描述．同时建立不等式组求解，解答本题时求出函数解析式是关键．2．(1)在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与反比例函数y＝1x的图象有唯一公共点，若直线y＝－x＋b与反比例函数y＝1x的图象有2个公共点，则b的取值范围是()A．b>2 B．－2<b<2 C．b>2或b<－2 D．b<－2(2)如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t(秒)，下列能反映S与t之间函数关系的图象是()3．已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A，B(点A，B在原点O两侧)，与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2＝43x＋n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．类型三由三角形的形状、关系不确定性引起的讨论例3(·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx(k＞0)分别交反比例函数y＝1x和y＝9x在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝1x的图象于点C，连结AC.若△ABC是等腰三角形，则k的值是________．【解后感悟】解题的关键是用k表示点A、B、C的坐标，再进行分类讨论．4．(1)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(1，3)，M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为()A．4 B．5 C．6 D．8(2)(·北流模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA 全等，则AP＝.(3)(·临淄模拟)如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CD上，且CN＝14CD ，若AB ＝1，设BM ＝x ，当x ＝ 时，以A 、B 、M 为顶点的三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似．类型四 由特殊四边形的形状不确定性引起的讨论例4 (·鄂州模拟)如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝8cm ，AD ＝16cm ，BC ＝22cm ，∠ABC ＝90°，点P 从点A 出发，以1cm /s 的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以3cm /s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．(1)当t 为何值时，四边形ABQP 成为矩形？(2)当t 为何值时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？(3)四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度(匀速运动)，使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．【解后感悟】解本题的关键是用方程(组)的思想解决问题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意分类讨论及数形结合．5．(1)(·盐城模拟)在平面直角坐标系中有三点A(1，1)，B(1，3)，C(3，2)，在直角坐标系中再找一个点D ，使这四个点构成平行四边形，则D 点坐标为 .(2)(·江阴模拟)如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝6cm ，射线AG ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm /s 的速度运动，点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动．如果点E 、F 同时出发，设运动时间为t(s )，当t ＝ s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．(3) (·金华模拟)如图，B(6，4)在函数y ＝12x ＋1的图象上，A(5，2)，点C 在x 轴上，点D 在函数y ＝12x ＋1上，以A 、B 、C 、D 四个点为顶点构成平行四边形，写出所有满足条件的D 点的坐标 .(4)(·萧山模拟)已知在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 、D 的坐标依次为(－1，0)，(m ，n)，(－1，10)，(－7，p)，且p ≤n.若以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是菱形，则n 的值是 .类型五 由直线与圆的位置关系不确定性引起的讨论例5 如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，OP ＝10cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q.A 、B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm /s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm /s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t(s )．(1)求PQ 的长；(2)当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？【解后感悟】本题是直线与圆的位置关系应用，题目设置具有创新性．解决本题的关键是抓住直线与圆的两种情况位置关系，及其对应数量关系进行分析．6．(·泗洪模拟)如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝12x 2－1上运动，当⊙P与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 .【压轴把关题】如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(－3，0)，(0，6)，动点P 从点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C 从点B 出发，沿射线BO 方向以每秒2个单位的速度运动．以CP ，CO 为邻边构造▱PCOD ，在线段OP 延长线上取点E ，使PE ＝AO ，设点P 运动的时间为t 秒．(1)当点C 运动到线段OB 的中点时，求t 的值及点E 的坐标； (2)当点C 在线段OB 上时，求证：四边形ADEC 为平行四边形；(3)在线段PE 上取点F ，使PF ＝1，过点F 作MN ⊥PE ，截取FM ＝2，FN ＝1，且点M ，N 分别在第一、四象限，在运动过程中，设▱PCOD 的面积为S.①当点M ，N 中，有一点落在四边形ADEC 的边上时，求出所有满足条件的t 的值； ②若点M ，N 中恰好只有一个点落在四边形ADEC 内部(不包括边界)时，直接写出S 的取值范围．【方法与对策】本题是四边形的综合题，对于第(3)题解题的关键是正确分几种不同情况求解．①当点C在BO上时，第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解；【分类讨论应不重复、不遗漏】在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有________条．参考答案第36讲 分类讨论型问题【例题精析】例1 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∴∠AEB ＝∠ABE ，∴AB ＝AE ，①当AE ＝1cm 时，AB ＝1cm ＝CD ，AD ＝1cm ＋3cm ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是1cm ×4cm ＝4cm 2；②当AE ＝3cm 时，AB ＝3cm ＝CD ，AD ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是：3cm ×4cm ＝12cm 2；故选D .例2 (1)由题意，得三口之家应缴购房款为：0.3×90＋0.5×30＝42(万元)； (2)由题意，得①当0≤x ≤30时，y ＝0.3×3x ＝0.9x ；②当30＜x ≤m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3×(x －30)＝1.5x －18；③当x ＞m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3(m －30)＋0.7×3×(x －m)＝2.1x －18－0.6m.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.9x （0≤x ≤30）1.5x －18（30<x ≤m ）2.1x －18－0.6m （x>m ）(45≤m ≤60)． (3)由题意，得①当50≤m ≤60时，y ＝1.5×50－18＝57(舍)．②当45≤m ＜50时，y ＝2.1×50－0.6m －18＝87－0.6m.∵57＜y ≤60，∴57＜87－0.6m ≤60，∴45≤m ＜50.综合①②得45≤m ＜50.例3 ∵点B 是y ＝kx 和y ＝9x 的交点，y ＝kx ＝9x ，解得：x ＝3k ，y ＝3k ，∴点B 坐标为⎝⎛⎭⎫3k ，3k ，点A 是y ＝kx 和y ＝1x 的交点，y ＝kx ＝1x ，解得：x ＝1k ，y ＝k ，∴点A坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，k ，∵BD ⊥x 轴，∴点C 横坐标为3k，纵坐标为13k＝k3，∴点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ，k 3，∴BA ≠AC ，若△ABC 是等腰三角形，①AB ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋（3k －k ）2＝3k －k 3，解得：k ＝377；②AC ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋⎝⎛⎭⎫k 3－k 2＝3k －k 3，解得：k ＝155；故答案为k ＝377或155.例4 (1)∵∠ABC ＝90°，AP ∥BQ ，∴当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 成为矩形，由运动知，AP ＝t ，CQ ＝3t ，∴BQ ＝22－3t ，∴t ＝22－3t ，解得t ＝112.∴当t ＝112时，四边形ABQP成为矩形； (2)当P 、Q 两点与A 、B 两点构成的四边形是平行四边形时，就是(1)中的情形，此时t ＝112.当P 、Q 两点与C 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，∵PD ∥QC ，∴当PD ＝QC 时，四边形PQCD 为平行四边形．此时，16－t ＝3t ，t ＝4；当P 、Q 两点与B 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，16－t ＝22－3t ，t ＝3；当P 、Q 两点与A 、C 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，t ＝3t ，t ＝0，不符合题意；故当t ＝112或t ＝4或t ＝3时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． （3）四边形PBQD 不能成为菱形．理由如下：∵PD ∥BQ ，∴当PD ＝BQ ＝BP 时，四边形PBQD 能成为菱形．由PD ＝BQ ，得16－t ＝22－3t ，解得t ＝3，当t ＝3时，PD ＝BQ ＝13，AP ＝AD －PD ＝16－13＝3.在Rt △ABP 中，AB ＝8，根据勾股定理得，BP ＝AB 2＋AP 2＝64＋9＝73≠13，∴四边形PBQD 不能成为菱形；如果Q 点的速度改变为v cm /s 时，能够使四边形PBQD 在时刻t s 为菱形，由题意得，⎩⎨⎧16－t ＝22－vt ，16－t ＝64＋t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝6，v ＝2.故点Q 的速度为2cm /s 时，能够使四边形PBQD 在某一时刻为菱形．例5 (1)连结OQ ，∵PN 与⊙O 相切于点Q ，∴OQ ⊥PN ，即∠OQP ＝90°.∵OP ＝10，OQ ＝6，∴PQ ＝102－62＝8(cm )． (2)过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C.∵点A 的运动速度为5cm /s ，点B 的运动速度为4cm /s ，运动时间为t s ，∴PA ＝5t ，PB ＝4t.∵PO ＝10，PQ ＝8，∴PA PO ＝PB PQ ＝t2.∵∠P ＝∠P ，∴△PAB ∽△POQ ，∴∠PBA ＝∠PQO ＝90°.∵∠BQO ＝∠CBQ ＝∠OCB ＝90°，∴四边形OCBQ 为矩形，∴BQ ＝OC.∵⊙O 的半径为6，∴BQ ＝OC ＝6时，直线AB 与⊙O 相切．①当AB 运动到如图1所示的位置时，BQ ＝PQ －PB ＝8－4t ，由BQ ＝6，得8－4t ＝6，t ＝0.5.②当AB 运动到如图2所示的位置时，BQ ＝PB －PQ ＝4t －8，由BQ ＝6，得4t －8＝6，t ＝3.5.综上，当t ＝0.5s 或3.5s 时，直线AB 与⊙O 相切．【变式拓展】1．(1)0或－1 (2)4或2 (3)C 2.(1)C (2)D3．根据OC 长为8可得一次函数中的n 的值为8或－8.分类讨论：①n ＝8时，易得A(－6，0)，如图1，∵抛物线经过点A 、C ，且与x 轴交点A 、B 在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a ＜0，∵AB ＝16，且A(－6，0)，∴B(10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝－6＋102＝2，要使y 1随着x 的增大而减小，∵a ＜0，∴x ≥2；②n ＝－8时，易得A(6，0)，如图2，∵抛物线过A 、C 两点，且与x 轴交点A ，B 在原点两侧，∴抛物线开口向上，则a ＞0，∵AB ＝16，且A(6，0)，∴B(－10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝6－102＝－2，要使y 1随着x 的增大而减小，且a ＞0，∴x ≤－2.4．(1)C (2)6或12 (3)12或455.(1)(3，0)或(－1，2)或(3，4) (2)2或6 (3)(2，2)或(－6，－2)或(10，6) (4)2，5，186.(6，2)或(－6，2)【热点题型】【分析与解】(1)∵OB ＝6，C 是OB 的中点，∴BC ＝12OB ＝3.∴2t ＝3，即t ＝32s .∴OE ＝32＋3＝92，E(92，0)． (2)如图1，连结CD 交OP 于点G ，在▱PCOD 中，CG ＝DG ，OG ＝PG ，∵AO ＝PE ，∴AG ＝EG .∴四边形ADEC 是平行四边形． (3)①(Ⅰ)当点C 在线段BO 上时，第一种情况：如图2，当点M 在CE 边上时，∵MF ∥OC ，∴△EMF ∽△ECO.∴MFCO＝EF EO ，即26－2t ＝23＋t，解得t ＝1.第二种情况：如图3，当点N 在DE 边时，∵NF ∥PD ，∴△EFN ∽△EPD.∴FN PD ＝EF EP 即16－2t ＝23，解得t ＝94.(Ⅱ)当点C 在BO 的延长线上时，第一种情况：如图4，当点M 在DE 边上时，∵MF ∥PD ，∴EMF ∽△EDP.∴MF DP ＝EF EP 即22t －6＝23，解得t ＝92.第二种情况：如图5，当点N 在CE 边上时，∵NF ∥OC ，∴△EFN ∽△EOC.∴FN OC ＝EF EO 即12t －6＝23＋t ，解得t ＝5.综上所述，所有满足条件的t 的值为1，94，92，5.②278＜S ≤92或272＜S ≤20.【错误警示】当PD∥BC时，△APD∽△ABC，当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，连结PC，∵∠A＝36°，AB＝AC，点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝PC，∠ABC＝∠ACB ＝72°，∴∠ACP＝∠PAC＝36°，∴∠PCB＝36°，∴∠B＝∠B，∠PCB＝∠A，∴△CPB ∽△ACB，故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故答案为：3.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(1)如果圆的一条弦长与半径相等,那么此弦所对的圆周角的度数是_____
(2)一个等腰三角形的一个外角等于100°,则这个三角形的三个角应该是________
(3)直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y＝x2－x－6与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C.如果点M在抛物线上，S△AOC＝S△OBM，那么点M的坐标是。
（4）归纳得出结论。
例题精选
例1.如图,在平面直角坐标系中,直角梯形ABCO的边OC落在X轴的正半轴上, AB∥OC,BC⊥OC,AB=4,BC=6,OC=8.正方形ODEF的两边分别落在坐标轴上,且它的面积等于直角梯形的面积.将正方形ODEF沿着x轴的正半轴方向平行移动,设它与直角梯形ABCO重叠部分的面积为S.
课堂小结
谈谈这节课你有什么收获？
分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想．对于因存在一些不确定因素、解答无法或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决．分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏．
A.5或-5 B.1或-1 C.5或1 D.-5或-1
(3).直角三角形两边长分别为3、4，则三角形的周长为__________.
(4).已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结CP．
满足什么条件时△ACP∽△ABC．
及时总结
(一)分类讨论是比较数学对象的共同性和差异性.根据数量关系或空间形式的某一标准将数学对象分为不同种类,然后分别对它们进行讨论,得出各种情况下相应结论的数学思想方法.
（1）求正方形ODEF的边长;
(2)①正方形ODEF平行移动中,通过操作,观察,试判断S的变化情况是()
(A)逐渐增大(B)逐渐减少
(C)先增大后减少(D)先减少后增大
②当正方形ODEF的顶点F移动到点B时,求S的值.
(3)探究：设正方形ODEF的顶点O移动 的距离为x,当点F移动到点B时停止移动,求S与x的函数关系式.
学习目标:
1.理解分类讨论的数学思想方法.
2．了解引起分类讨论的主要原因.
3.掌握解分类讨论问题的一般步骤.
教学用分类讨论思想进行观察、分析和解决问题。
回顾检测
(1)若aa-3=1,则a等于( )
A.1或0 B.1或3 C.1或-1 D.1或-1或3
(2)已知|x|=3,|y|=2,且xy＜0,则x+y的值等于( )
(二)引起分类讨论的主要原因是:
(1)某些公式、定理、性质和法则有范围或条件限制;(2)概念本身是分类定义的;
(3)图形的位置或形状不确定;(4)题目的条件或结论不唯一;(5)解含字母系数的题目时,必须根据字母系数不同取值范围进行讨论.
分类讨论一般解题步骤：
（1）认真审题，确定分类对象；（2）进行合理分类；（3）逐类讨论解决
分类讨论问题
地位与作用：
在数学中，分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想，正确应用分类思想，是完整解题的基础。而在中考中，分类讨论思想也贯穿其中，几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都涉及分类讨论，由此可见分类思想的重要性，下面精选了几道有代表性的试题予以说明。