三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质

一、选择题

1.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝

tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )

A.①②③

B.①③④

C.②④

D.①③

解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；

④y ＝tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A.

答案 A

2.(2017·石家庄模拟)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )

A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤

k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.⎝

⎛⎭⎪⎫

k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎣

⎢⎡

⎦⎥⎤k π－π12，k π＋

5π12(k ∈Z) D.⎝

⎛

⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋

2π3(k ∈Z) 解析 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)，解得k π2－π12＜x ＜k π2＋

5π

12(k ∈Z)，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是⎝

⎛⎭⎪⎫

k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)，故选B. 答案 B

3.(2017·成都诊断)函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A.3，－1

B.3，－2

C.2，－1

D.2，－2

解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，

令t ＝sin x ，则t ∈[－1，1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2，

所以y max ＝2，y min ＝－2. 答案 D

4.(2016·山东卷)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2

B.π

C.3

2

π

D.2π

解析 f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (x )的最小正周期T

＝π. 答案 B

5.(2017·安徽江南十校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝

⎛

⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且∀x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π3成立，则f (x )图象的一个对

称中心坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 C.⎝

⎛⎭

⎪⎫

2π3，0 D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫

5π3，0 解析 由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝1

2

.因为

f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2

＋2k π(k ∈Z)， 由|φ|<

π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1

2

x ＋π3.

令12x ＋π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z)， 故f (x )图象的对称中心为⎝

⎛⎭⎪⎫

2k π－2π3，0(k ∈Z)， 当k ＝0时，f (x )图象的对称中心为

⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0. 答案 A 二、填空题

6.(2017·昆明调研)若函数f (x )＝cos ⎝

⎛

⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则

φ＝________.

解析 因为f (x )为奇函数， 所以φ－π3＝π2＋k π，φ＝5π6＋k π，k ∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝5π6

. 答案

5π6

7.(2017·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y ＝12sin x ＋3

2cos

x ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________.

解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫x ＋π3，

由2k π－

π2≤x ＋π3≤2k π＋π

2(k ∈Z)， 解得2k π－

5π6≤x ≤2k π＋π

6

(k ∈Z). ∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡

⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z)， 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴单调递增区间为⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0，π6.

答案 ⎣

⎢⎡

⎦⎥⎤0，π6

8.若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤

π3，π2上单调

递减，则ω＝________.

解析 法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，

π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝3

2

. 法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π3＝sin π3ω＝1.

由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2，解得ω＝3

2.

答案

3

2