线性方程组的直接解法及matlab的实现
(完整word版)线性方程组的直接解法及matlab的实现
本科毕业论文（2010 届）题目线性方程组的直接解法及matlab的实现学院数学与信息工程学院专业数学与应用数学班级2006级数学1 班学号0604010127学生姓名胡婷婷指导教师王洁完成日期2010年5月摘要随着科技技术的发展及人类对自然界的不断探索模拟。
在自然科学和工程问题中的很多问题的解决常常归结为线性代数问题！本文的主要内容是对线性方程组求解方法的探讨,主要介绍了四种求解线性方程组的方法，第一种是教科书上常见的消元法，我们称之为基本法。
第二种方法是标准上三角形求解法，即将增广矩阵经过初等变换后化成标准上三角形，然后求解.它改进了一般教科书上的常见方法，与常见方法比较有如下优点:1)规范了自由未知量的选取;2）只用矩阵运算；3)减少了计算量.第三种方法是对特定的方程组（系数矩阵A为n阶对称正定矩阵，且A的顺序主子式均不为零。
）的求解方法进行描述，并且为这种线性方程的求解提供了固定的公式化的方法。
第四种方法是对现在实际问题中常常会遇到的系数矩阵为三对角矩阵的方程组的求解方法。
同时给出这几种方法的数值解法（matlab程序），由于运用电脑软件求解,所以必须考虑计算方法的时间、空间上的效率以及算法的数值稳定性问题,所以针对不同类型的线性方程组有不同的解法.但是，基本的方法可以归结为两大类,即直接法和迭代法.关键词高斯消去法;三角分解法；乔莱斯基分解法;追赶法AbstractSystems of linear equations are associated with many problems in engineering and scinence ，as well as with applications of mathematics to the social sciences and the quantitative study of business and economic problems.The main content of this article is the method for solving linear equations，we introduce four methods for solving linear equations in this paper。
MATLAB计算方法3解线性方程组计算解法
直到(n-1) 原方程组化为
a11 x1 a12 x2 a1n xn a1,n1 a22 x2 a2 n xn a2 ,n1
ann xn an ,n1
(上三角方程组) （3.2) 以上为消元过程。
(n) 回代求解公式
a n ,n1 xn a nn n x k 1 [a k ,n1 a kj x j ] a kk j k 1 ( k n 1, n 2,...,1)
由矩阵乘法 (1) 1) l11 a11 l11
umj 1 ukj a kj ukj a kj l km umj
m 1
k 1
2 求L的第k列：用L的第i行 u的第k列
(i k 1, , n)，即 ( l i 1 , , l ik , l kk , 0 0) ( u1k , u2 k , , ukk , 0 0)' a ik
( 2) 1)求u的第2行：用L的第2行 u的第j列 （j 2, , n) l 21 u1 j 1 u2 j a 2 j u2 j a 2 j l 21u1 j 2)求L的第2列：用L的第i行 u的第2列 （i 3,4, , n) l i 1 u12 l i 2 u22 a i 2 l i 2 (a i 2 l i 1 u12 ) / u22
m 1
l
k 1
im
umk l ik ukk a ik
k 1
l ik a ik l im umk ukk m 1
LU分解式： u1 j a1 j ( j 1,2, n) l i 1 a i 1 u11 ( i 2,3, , n) k 1 ukj a kj l km umj a kj m 1 ( j k , k 1, , n) k 1 l ik a ik l im umk ukk a ik m 1 ( i k 1, , n) ( k 2, 3, , n )
MATLAB计算方法3解线性方程组计算解法
MATLAB计算方法3解线性方程组计算解法线性方程组是数学中的一个重要问题，解线性方程组是计算数学中的一个基本计算，有着广泛的应用。
MATLAB是一种功能强大的数学软件，提供了多种解线性方程组的计算方法。
本文将介绍MATLAB中的三种解线性方程组的计算方法。
第一种方法是用MATLAB函数“linsolve”解线性方程组。
该函数使用高斯消元法和LU分解法求解线性方程组，可以处理单个方程组以及多个方程组的情况。
使用该函数的语法如下：X = linsolve(A, B)其中A是系数矩阵，B是常数向量，X是解向量。
该函数会根据A的形式自动选择求解方法，返回解向量X。
下面是一个使用“linsolve”函数解线性方程组的例子：A=[12;34];B=[5;6];X = linsolve(A, B);上述代码中，A是一个2×2的系数矩阵，B是一个2×1的常数向量，X是一个2×1的解向量。
运行代码后，X的值为[-4.0000;4.5000]。
第二种方法是用MATLAB函数“inv”求解逆矩阵来解线性方程组。
当系数矩阵A非奇异（可逆）时，可以使用逆矩阵求解线性方程组。
使用“inv”函数的语法如下：X = inv(A) * B其中A是系数矩阵，B是常数向量，X是解向量。
该方法先计算A的逆矩阵，然后将逆矩阵与B相乘得到解向量X。
下面是一个使用“inv”函数解线性方程组的例子：A=[12;34];B=[5;6];X = inv(A) * B;上述代码中，A是一个2×2的系数矩阵，B是一个2×1的常数向量，X是一个2×1的解向量。
运行代码后，X的值为[-4.0000;4.5000]。
第三种方法是用MATLAB函数“mldivide”（或“\”）求解线性方程组。
该函数使用最小二乘法求解非方阵的线性方程组。
使用“mldivide”函数的语法如下：X=A\B其中A是系数矩阵，B是常数向量，X是解向量。
MATLAB实验一 解线性方程组的直接法
没有了？
将每种情形的两个结果进行表格对比，如： n=6 时： GAUSS 列主消去法求得的 x
x 的有效数字
四、实验结果
五、讨论分析 （对上述算例的计算结果进行比较分析， 主要说清 matlab 的算符与消去法的适 用范围不同，自己补充）
A(index,:) = A(k,:); A(k,:) = temp; temp = b(index);b(index) = b(k); b(k) = temp; %消元过程 for i=k+1:n m=A(i,k)/A(k,k); %消除列元素 A(i,k+1:n)=A(i,k+1:n)-m*A(k,k+1:n); b(i)=b(i)-m*b(k); end end %回代过程 x(n)=b(n)/A(n,n); for k=n-1:-1:1; x(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n)')/A(k,k); end x=x'; end 然后调用 gaussMethod 函数，来实现列主元的高斯消去法。在命令框中输入 下列命令：
输出结果如下：
利用 LU 分解法及 matlab 程序源代码： function [L,U]=myLU(A) %实现对矩阵 A 的 LU 分解，L 为下三角矩阵 A[n,n]=size(A);
L=zeros(n,n); U=zeros(n,n); for i=1:n L(i,i)=1; end for k=1:n for j=k:n U(k,j)=A(k,j)-sum(L(k,1:k-1).*U(1:k-1,j)'); end for i=k+1:n L(i,k)=(A(i,k)-sum(L(i,1:k-1).*U(1:k-1,k)'))/U(k,k); end end 在命令框中输入下列命令：
解线性方程组直法Matlab实现
解线性方程组的直接法的Matlab实现姓名**********摘要：给出用MATLAB解线性方程组的各种方法,用MATLAB直接操作,不用编程,便可立即求出线性方程组的解.方法直观、简便、速度快,具有较强的实用性,另外提供了Jacobi迭代法程序.关键字：线性方程组数值解程序设计MATLAB Jacobi迭代法数据结构1 引言线性方程组Ax=b是我们在科学和工程计算中经常出现的数学模型,大量的科技与工程实际问题，常常归结为解线性代数方程组，有关线性方程组解的存在性和唯一性在“线性代数”理论中已经作过详细介绍，本章的主要任务是讨论系数行列式不为零的n阶非齐次线性方程组Ax=b的两类主要求方法：直接法（精确法）和迭代法。
对它的解法我们最熟悉的就是主元消去法,但它只是适用于A是低价稠密的矩阵,对于由工程技术中产生的大型稀疏矩阵方程组(即A的阶数n很大,但零元素较多,例如求某些偏微分方程数值解所产生的线性方程组,n≥104),还需利用迭代法求解。
如在计算机内存和运算两方面,都可以根据A中有大量零元素的特点采用迭代法。
本文将介绍两种常见的迭代:Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel迭代,并用迭代法在数学软件Matlab上实现线性方程组的解。
1迭代法的基本思想迭代法是按照某种规则构造一个向量序列{x(k)},使其极限向量x*是Ax=b的精确解。
因此,对迭代法来说一般有下面几个问题:(1)如何构造迭代序列?(2)构造的迭代法序列是否收敛?在什么情况下收敛?(3)如果收敛,收敛的速度如何?我们应该给予量的刻划,用以比较各种迭代法收敛的快慢。
2 相关知识线性方程组的概念及分类线性方程组的一般形式为a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2am1x1+am2x2+…+amnxn=b{n(1)若记X=x1x2(…x n)T,b=b1 b2(…bn)TA=a11 a12…a1na21 a22…a2n…am1 am2…a mn则线性方程组(1)记为AX=b.(2)若b的元素不全为零,则称方程组(1)为非齐次线性方程组;若b的元素全为零,即b1=b2=…=bn=0,则AX=0.(3)并称方程组(3)为齐次线性方程组,也称作方程组(2)的导出方程组,称(A b)=a11 a12…a1n…b1a21 a22…a2n…b2…am1 am2…amn…b n为线性方程组(1)的增广矩阵,记作A.若在方程组(1)中,当mn,即方程的个数多于未知数的个数时,方程组称为超定方程组.3、算法用高斯消元法解线性方程组bAX的MATLAB程序输入的量：系数矩阵A和常系数向量b；输出的量：系数矩阵A和增广矩阵B的秩RA,RB, 方程组中未知量的个数n和有关方程组解X及其解的信息.function [RA,RB,n,X]=gaus(A,b) B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0, disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.') returnend if RA==RB if RA==n disp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1（1）LU分解法lu 分解法解线性方程组function x=luxiaoyuan(A,b)[m,n]=size(A);[l u]=lu(A);s=inv(l)*[A,b];x=ones(m,1);for i=m:-1:1h=s(i,m+1);for j=m:-1:1;if j~=ih=h-x(j)*s(i,j);endendx(i)=h/s(i,i)end（2）高斯消元法高斯消元法的基本思想：Ax=b其对应的增广矩阵为为(A，b)对线性方程组的增广矩阵进行以下一系列初等变换（1）对换(A，b)某两行的顺序（2）(A，b)中的某行乘以一个不为零的数。
matlab 方程组 解
matlab 方程组解一、概述Matlab是一种强大的数学计算软件，它可以用来解决各种数学问题，包括解方程组。
在Matlab中，求解方程组是一个非常重要的功能，因为很多实际问题都可以转化为方程组的形式。
本文将详细介绍如何使用Matlab求解线性方程组和非线性方程组。
二、线性方程组1. 线性方程组的定义线性方程组是指各个未知量的次数都不超过1次的代数方程组。
例如：2x + 3y = 54x - 5y = 6就是一个包含两个未知量x和y的线性方程组。
2. Matlab中求解线性方程组方法在Matlab中，可以使用“\”或者“inv()”函数来求解线性方程组。
其中，“\”表示矩阵左除，即Ax=b时，求解x=A\b；“inv()”函数表示矩阵求逆，即Ax=b时，求解x=inv(A)*b。
例如，在Matlab中求解以下线性方程组：2x + 3y = 54x - 5y = 6可以使用以下代码：A=[2,3;4,-5];b=[5;6];x=A\b输出结果为：x =1.00001.0000其中，“A”为系数矩阵，“b”为常数矩阵，“x”为未知量的解。
三、非线性方程组1. 非线性方程组的定义非线性方程组是指各个未知量的次数超过1次或者存在乘积项、幂项等非线性因素的代数方程组。
例如：x^2 + y^2 = 25x*y - 3 = 0就是一个包含两个未知量x和y的非线性方程组。
2. Matlab中求解非线性方程组方法在Matlab中，可以使用“fsolve()”函数来求解非线性方程组。
该函数需要输入一个函数句柄和初始值向量，输出未知量的解向量。
例如，在Matlab中求解以下非线性方程组：x^2 + y^2 = 25x*y - 3 = 0可以使用以下代码：fun=@(x)[x(1)^2+x(2)^2-25;x(1)*x(2)-3];x0=[1;1];[x,fval]=fsolve(fun,x0)输出结果为：Local minimum found.Optimization completed because the size of the gradient is less thanthe default value of the function tolerance.<stopping criteria details>ans =1.60561.8708其中，“fun”为函数句柄，表示要求解的非线性方程组，“x0”为初始值向量，“[x,fval]”为输出结果，其中“x”表示未知量的解向量，“fval”为函数值。
利用Matlab进行线性代数问题求解的方法与案例
利用Matlab进行线性代数问题求解的方法与案例引言线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。
而Matlab作为一种功能强大的数值计算软件，提供了各种实用的工具和函数，可以方便地解决线性代数问题。
本文将介绍一些常用的线性代数问题求解方法，并通过具体的案例来展示Matlab在实际应用中的效果。
一、线性方程组的求解线性方程组是线性代数中最基础的问题之一。
Matlab提供了多种求解线性方程组的函数，如“backslash”操作符（\）和“linsolve”函数等。
下面通过一个实例来说明Matlab的线性方程组求解功能。
案例：假设有以下线性方程组需要求解：2x + 3y - 4z = 53x - 2y + z = 8x + 5y - 3z = 7在Matlab中输入以下代码：A = [2 3 -4; 3 -2 1; 1 5 -3];b = [5; 8; 7];x = A\b;通过以上代码，我们可以得到线性方程组的解x=[1; -2; 3]。
这表明在满足以上方程组的条件下，x=1，y=-2，z=3。
可以看出，Matlab在求解线性方程组时，使用简单且高效。
二、矩阵的特征值和特征向量求解矩阵的特征值和特征向量也是线性代数中的重要概念。
利用特征值和特征向量可以得到矩阵的许多性质和信息。
在Matlab中，我们可以通过“eig”函数来求解矩阵的特征值和特征向量。
案例：假设有一个2x2矩阵A，需要求解其特征值和特征向量。
在Matlab中输入以下代码：A = [2 3; 1 4];[V, D] = eig(A);通过以上代码，我们可以得到矩阵A的特征向量矩阵V和特征值矩阵D。
具体结果如下：特征向量矩阵V = [0.8507 -0.5257; 0.5257 0.8507]特征值矩阵D = [1.5858 0; 0 4.4142]由结果可知，矩阵A的特征向量矩阵V和特征值矩阵D可以提供有关该矩阵的很多信息，如相关线性变换、对称性等。
matlab求解代数方程组解析
第三讲 Matlab 求解代数方程组理论介绍：直接法+迭代法，简单介绍相关知识和应用条件及注意事项 软件求解：各种求解程序讨论如下表示含有n 个未知数、由n 个方程构成的线性方程组：11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1）一、直接法 1.高斯消元法：高斯消元法的基本原理： 在（1）中设110,a ≠将第一行乘以111,k a a -加到第(2,3,,),k k n = 得： (1)(1)(1)(1)11112211(2)(1)(2)22112(2)(2)(2)22n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x a x b ⎧+++=⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩（2）其中(1)(1)1111,.k k aa b b ==再设(2)220,a ≠将（2）式的第二行乘以(2)2(2)22,(3,,)k a k n a -= 加到第k 行，如此进行下去最终得到：(1)(1)(1)(1)11112211(2)(1)(2)22112(1)(1)(1)1,111,1()()n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x a x b a x b --------⎧+++=⎪++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪=⎩（3） 从（3）式最后一个方程解出n x ，代入它上面的一个方程解出1n x -，并如此进行下去，即可依次将121,,,,n n x x x x - 全部解出，这样在()0(1,2,,)k kk a k n ≠= 的假设下，由上而下的消元由下而上的回代，构成了方程组的高斯消元法. 高斯消元法的矩阵表示：若记11(),(,,),(,,)T T ij n n n n A a x x x b b b ⨯=== ，则（1）式可表为.Ax b =于是高斯消元法的过程可用矩阵表示为：121121.n n M M M Ax M M M b --=其中：(1)21(1)111(1)1(1)11111n a a M a a ⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (2)32(2)222(2)2(2)221111n a a M a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭高斯消元法的Matlab 程序： %顺序gauss 消去法,gauss 函数 function[A,u]=gauss(a,n) for k=1:n-1%消去过程 for i=k+1:n for j=k+1:n+1%如果a(k,k)=0,则不能削去 if abs(a(k,k))>1e-6 %计算第k 步的增广矩阵 a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)/a(k,k)*a(k,j); else%a(k,k)=0,顺序gauss 消去失败 disp (‘顺序gauss 消去失败‘)； pause; exit; end end end end%回代过程 x(n)=a(n,n+1)/a(n,n); for i=n-1:-1:1 s=0; for j=i+1:n s=s+a(i,j)*x(j); endx(i)=(a(i,n+1)-s)/a(i,i); end%返回gauss 消去后的增广矩阵 A=triu(a); %返回方程组的解 u=x ;练习和分析与思考： 用高斯消元法解方程组：12345124512345124512452471523814476192536x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++=⎪⎪++++=⎨⎪+++=⎪+++=⎪⎩2.列主元素消元法在高斯消元法中进行到第k 步时，不论()k ik a 是否为0，都按列选择()||(,,)k ik a i k n = 中最大的一个，称为列主元，将列主元所在行与第k 行交换再按高斯消元法进行下去称为列主元素消元法。
matlab线性方程组求解
0.9739 -0.0047 1.0010
n= 5 Jacobi 迭代法： function [x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,varargin) if nargin==3 eps= 1.0e-6; M = 200; elseif nargin<3 error return elseif nargin ==5 M = varargin{1}; end D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); B=D/(L+U); f=D/b; x=B*x0+f; n=1; % 迭代次数 % 求 A 的对角矩阵 % 求 A 的上三角阵
n= 5 Gauss-Seidel 迭代法： function [x,n]=gauseidel(A,b,x0,eps,M) if nargin==3 eps= 1.0e-6; M = 200; elseif nargin == 4 M = 200; elseif nargin<3 error return; end D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); G=(D-L)/U; f=(D-L)/b; % 求 A 的对角矩阵 % 求 A 的上三角阵 % 求 A 的下三角阵
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线性方程组求解 1. 直接法 Gauss 消元法： function x=DelGauss(a,b) % Gauss 消去法 [n,m]=size(a); nb=length(b); det=1;% 存储行列式值 x=zeros(n,1); for k=1:n-1 for i=k+1:n if a(k,k)==0 return end m=a(i,k)/a(k,k); for j=k+1:n a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j); end b(i)=b(i)-m*b(k); end det=det*a(k,k); end det=det*a(n,n);
matlab 方程组 解
Matlab方程组解1. 引言方程组是数学中一个重要的概念，它描述了多个未知数之间的关系。
解方程组的过程在科学、工程和计算机科学等领域中有着广泛的应用。
Matlab作为一种高级数值计算环境，提供了丰富的工具和函数来解决方程组的求解问题。
本文将介绍如何使用Matlab解方程组，包括线性方程组和非线性方程组的求解方法。
2. 线性方程组的求解2.1 利用矩阵求解线性方程组可以表示为矩阵形式，例如：Ax = b，其中A是系数矩阵，x是未知数向量，b是常数向量。
在Matlab中，可以使用线性代数工具箱中的函数来求解线性方程组。
2.1.1 使用inv函数求解如果系数矩阵A是可逆的，可以使用inv函数求解线性方程组。
具体步骤如下： 1. 计算A的逆矩阵：A_inv = inv(A) 2. 计算解向量：x = A_inv * b2.1.2 使用linsolve函数求解linsolve函数可以直接求解线性方程组，无需计算逆矩阵。
具体步骤如下： 1. 调用linsolve函数：x = linsolve(A, b)2.2 利用高斯消元法求解高斯消元法是一种常用的求解线性方程组的方法，它通过矩阵的行变换将方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代得到解。
在Matlab中，可以使用lu函数来进行高斯消元法求解。
2.2.1 使用lu函数求解lu函数可以将方程组的系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，即A = LU。
具体步骤如下： 1. 调用lu函数：[L, U] = lu(A) 2. 解得方程组：x = U \ (L \ b)3. 非线性方程组的求解非线性方程组是指未知数与其函数之间存在非线性关系的方程组。
与线性方程组不同，非线性方程组的求解通常需要借助数值方法。
Matlab提供了多种函数和工具箱来解决非线性方程组的求解问题。
3.1 利用fsolve函数求解fsolve函数是Matlab中用于求解非线性方程组的函数，它通过迭代的方式逼近方程组的解。
线性方程组直接解法实验
实验一 线性方程组直接解法实验一、实验目的1.运用matlab 软件完成线性方程组的直接实验；2.通过实验,了解Doolittle 分解方法和列主元消去法解方程组的过程，并比较两种方法的优点。
二、实验题目分别用Doolittle 分解方法和列主元消去法解方程组123410-7018-3 2.09999962 5.9000015-15-1521021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x x x . 输出A ，b ；Doolittle 分解方法的L 和U ；解向量x,det A ;列主元方法的行交换次序，解向量x,det A ；比较两种方法所得的结果。
三、实验原理1) Doolittle 分解方法的原理算法原理：应用高斯消去法解n 阶线性方程Ax b =经过1n -步消去后得出一个等价的上三角形方程组()()n n A x b =，对上三角形方程组用逐步回代就可以求出解来。
这个过程也可通过矩阵分解来实现。
将非奇异阵分解成一个下三角阵L 和上三角阵U 的乘积称为对矩阵A 的三角分解，又称LU 分解。
根据LU 分解,将Ax b =分解为Ly bUx y =⎧⎨=⎩形式,简化了求解问题。
程序框图：变量说明：ij a 为系数矩阵元素，i b 为常数矩阵系数，,ij ij l u 分别为下、上三角矩阵元素。
2)列主元消去法解方程组的原理算法原理：列选主元是当变换到第k步时，从k列的kk a及以下的各元素中选取绝对值a的位置上，然后再进行消元过程。
交换系数矩阵中最大的元素，通过行交换将其交换到kk的两行（包括常数项），相当于两个方程的位置交换了。
程序框图：Array变量说明：k表示消元到a为消元第k步时第k步，kk主对角线元素3)四、实验过程及结果1)Doolittle分解方法的输出结果----------计算实习题----------Page64 第1题用Doolittle分解方法解方程组A =10.0000 -7.0000 0 1.0000-3.0000 2.1000 6.0000 2.00005.0000 -1.0000 5.0000 -1.00002.0000 1.0000 0 2.0000b =8.00005.90005.00001.0000L =1.0e+006 *0.0000 0 0 0-0.0000 0.0000 0 00.0000 -2.5000 0.0000 00.0000 -2.4000 0.0000 0.0000 U =1.0e+007 *0.0000 -0.0000 0 0.00000 -0.0000 0.0000 0.00000 0 1.5000 0.57500 0 0 0.0000 X =-0.0000-1.00001.00001.0000det(A)值为-762.00009000----------输出完毕----------2)列主元消去法输出结果----------计算实习题----------Page64 第1题列主元消去法解方程组A =10.0000 -7.0000 0 1.0000-3.0000 2.1000 6.0000 2.00005.0000 -1.0000 5.0000 -1.00002.0000 1.0000 0 2.0000b =8.00005.90005.00001.0000X =0.0000-1.00001.00001.0000detA值为-762.00009000----------输出完毕----------五、实验分析1.运用LU分解法可以成批地解方程组,且速度快.若c先求LU=A3,再解(LU)x=b,则要重新计算,计算量增加;如果按照上述方法计算,能够减少运算次数,加快运算速度.3. ⑴无论当n=10、n=100、n=1000时,x1与x2的值都相等,且随着n的增大,变化的只是解的中间部分数字,头、前后几位数都没有变化.⑵高斯消去法应用于三对角方程组得到的就是所谓的“追赶法”.追赶法不需要对零元素计算，只有6n-5次乘除法计算量，求解速度快.且当系数矩阵对角占优时数值稳定，是解三对角方程组的优秀解法.⑶用LU分解法解此方程组速度慢.顺序高斯消去法实际上就是将方程组的系数矩阵分解成单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积.顺序高斯消去法的消元过程相当于LU分解过程和Ly=b的求解,回代过程则相当于解线性方程组Ux=y,故其求解速度慢.六、附原程序1)Doolittle分解方法原程序fprintf('----------计算实习题----------\n')fprintf('Page64 第1题用Doolittle分解方法解方程组\n')A=[10 -7 0 1 ; -3 2.099999 6 2 ;5 -1 5 -1 ; 2 1 0 2];b=[8;5.900001;5;1];n=length(A);U=zeros(n,n);L=eye(n,n);U(1,:)=A(1,:);L(2:n,1)=A(2:n,1)/U(1,1);for i=2:n;U(i,i:n)=A(i,i:n)-L(i,1:i-1)*U(1:i-1,i:n);L(i+1:n,i)=(A(i+1:n,i)-L(i+1:n,1:i-1)*U(1:i-1,i))/U(i,i); endY=zeros(n);Y(1)=b(1);for i=2:nY(i)=b(i)-L(i,1:i-1)*Y(1:i-1,1);endX=zeros(n,1);if det(U)==0;X=0;elseX(n)=Y(n)/U(n,n);for i=n-1:-1:1X(i)=(Y(i)-U(i,i+1:n)*X(i+1:n,1))/U(i,i);endendAbLUXfprintf('det(A)值为%9.8f\n',det(A))fprintf('----------输出完毕 ----------\n')2)列主元消去法原程序fprintf('----------计算实习题----------\n')fprintf('Page64 第1题列主元消去法解方程组\n')A=[10 -7 0 1 ; -3 2.099999 6 2 ;5 -1 5 -1 ; 2 1 0 2];b=[8;5.900001;5;1];C=[A b];n=length(A);D=zeros(n,n+1);l=zeros(n,1);for i=1:nD=C;k=min(find(C(i:n,i)==max(C(i:n,i))));C(i,i:n+1)=D(k+i-1,i:n+1);C(k+i-1,i:n+1)=D(i,i:n+1);l(i+1:n,1)=C(i+1:n,i)/C(i,i);C(i+1:n,i:n+1)= C(i+1:n,i:n+1)- l(i+1:n,1)*C(i,i:n+1); endX=zeros(n,1);X(n)=C(n,n+1)/C(n,n);for i=n-1:-1:1X(i)=(C(i,n+1)-C(i,i+1:n)*X(i+1:n,1))/C(i,i); endAbXfprintf('detA值为%9.8f\n',det(A))fprintf('----------输出完毕----------\n')。
matlab计算方程组
matlab计算方程组Matlab作为一款试用范围广泛的科学计算软件，其计算方程组的能力也是非常强大的。
在Matlab中，可以通过多种方式计算方程组，比如使用直接法、迭代法、线性方程组求解器等等。
下面将分步骤阐述使用Matlab计算方程组的方法。
一、使用直接法求解直接法是一种将系数矩阵直接求逆再与常数向量相乘的方法，通常在方程组的规模较小时使用。
下面是使用Matlab求解线性方程组的示例代码：```matlab% 定义系数矩阵和常数向量A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];b = [3; 6; 9];% 求解方程组x = A\b;disp(x);```这段代码首先定义了一个3x3的系数矩阵A和一个3x1的常数向量b，然后使用反斜线符号来求解方程组。
该符号将A的逆矩阵乘上b，得到解向量x。
二、使用迭代法求解当方程组的规模较大时，直接法的计算量可能会非常大，在这种情况下可以使用迭代法来求解方程组。
迭代法的主要思想是通过反复迭代求解来逼近方程组的解。
常见的迭代法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法等。
以Jacobi迭代法为例，下面是使用Matlab求解线性方程组的示例代码：```matlab% 定义系数矩阵和常数向量A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];b = [3; 6; 9];% 定义Jacobi迭代法函数function [x, k] = jacobi(A, b, x0, tol, max_iter)D = diag(diag(A));L = -tril(A, -1);U = -triu(A, 1);x = x0;for k = 1:max_iterx = inv(D)*(b + L*x + U*x);if norm(A*x - b) < tolreturnendendend% 求解方程组x0 = [0; 0; 0];tol = 1e-6;max_iter = 1000;[x, k] = jacobi(A, b, x0, tol, max_iter);disp(x);```这段代码首先定义了一个3x3的系数矩阵A和一个3x1的常数向量b，然后定义了一个Jacobi迭代法的函数来求解方程组。
MATLAB线性方程组求解方法
——GW318 物联网实验室学术活动
MATLAB 线性方程组求解方法
1．线性方程组的问题 在工程计算中，一个重要的问题是线性方程组的求解。在矩阵表示法中，上述问题可以 表述为给定两个矩阵 A 和 B，是否存在惟一的解 X 使得 AX=B 或 XA=B。 例如，求解方程 3x=6 就可以将矩阵 A 和 B 看成是标量的一种情况，最后得出该方 程的 解为 x=6/3=2。 尽管在标准的数学中并没有矩阵除法的概念，但 MATLAB 7.0 采用了与解标量方程中 类 似的约定，用除号来表示求解线性方程的解。MATLAB 7.0 采用第 2 章介绍过的运算 符斜杠 ’/’和运算符反斜杠’\ ’来表示求线性方程的解，其具体含义如下： • X=A\B 表示求矩阵方程 AX=B 的解； • X=B/A 表示求矩阵方程 XA=B 的解。 对于 X=A\B，要求矩阵 A 和矩阵 B 有相同的行数，X 和 B 有相同的列数，X 的行 数等于 矩阵 A 的列数。X=B\A 行和列的性质则与之相反。 在实际情况中，形式 AX=B 的线性方程组比形式 XA=B 的线性方程组要常见得多。 因此 反斜杠’\’用得更多。本小节的内容也主要针对反斜杠’\’除法进行介绍。斜杠’/’ 除法的性质可以 由恒等变换式得到(B/A)’=(A’\B’)。 系数矩阵 A 不一定要求是方阵，矩阵 A 可以是 m×n 的矩阵，有如下 3 种情况： • m=n 恰定方程组，MATLAB7.0 会寻求精确解； • m>n 超定方程组，MATLAB7.0 会寻求最小二乘解； • m<n 欠定方程组，MATLAB7.0 会寻求基本解，该解最多有 m 个非零元素。 值得注意的是用 MATLAB 7.0 求解这种问题时，并不采用计算矩阵的逆的方法。针对 不 同的情况，MATLAB7.0 会采用不同的算法来解线性方程组。 2．线性方程组的一般解 线性方程组 AX=B 的一般解给出了满足 AX=B 的所有解。线性方程组的一般解可以通 过 下面的步骤得到。 • 解相应的齐次方程组 AX=0， 求得基础解。 可以使用函数 null()来得到基础解。 语 句 null(A) 返回齐次方程组 AX=0 的一个基础解，其他基础解与 null(A)是线性关系。 • 求非齐次线性方程组 AX=B，得到一个特殊解。 • 非齐次线性方程组 AX=B 的一般解等于基础解的线性组合加上特殊解。 在后面的章节将介绍求非齐次线性方程组 AX=B 特殊解的方法。 3．恰定方程组的求解
解线性方程组的直接法的Matlab实现
1.消元过程 设,对计算 ⒉回代过程
。 （2）、逆矩阵 因为AX=b,得到，从而的，即可算出结果。 （3）追赶法 追赶法用于求解以下形式的方程组(三对角方程组) 其中，系数矩阵(三对角矩阵) 系数矩阵A的元素满足 第一步：实现A=LU的分解，按照递推公式计算：
第二步：求解方程组LY=f,相应的递推公式 第三部：求解方程组UX=Y，相应的递推公式求得x 因为计算及的过程是追的过程，结出结果X。 4、程序代码 1、高斯消元 function [RA,RB,n,X]=gaus(A,b) B=[A b]; n=length(b);RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0, disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.') return end if RA==RB if RA==n disp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1 for k=p+1:n m= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m*
教 评
师 语 指导教师： 年 月 日
实验名 称 姓名
湖北民族学院《数值分析》实验报告 解线性方程组的直接法的Matlab 实验时间 实现 王亚敏 班级 0209408 学号 020940807
2011年11 月 9日 成 绩
实验报告内容要求： 一、实验目的与要求；二、实验内容；三、算法描述(数学原理或设计思 路、计算公式、计算步骤)； 四、程序代码；五、数值结果；六、计算结果分析（如初值对结果的影 响；不同方法的比较；该方法的特点和改进等）；七、实验中出现的问 题，解决方法及体会（整个实验过程中（包括程序编写，上机调试等）出 现的问题及其处理等广泛的问题）. 一、实验目的与要求 1．掌握高斯消去法和追赶法的基本思路和迭代步骤； 2．培养编程与上机调试能力。 二、实验内容 1．编写用高斯消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方 程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证. （1） （2）
MATLAB解线性方程组的直接方法
在这章中我们要学习线性方程组的直接法，特别是适合用数学软件在计算机上求解的方法.3.1 方程组的逆矩阵解法及其MATLAB 程序3.1.3 线性方程组有解的判定条件及其MATLAB 程序 判定线性方程组A n m ⨯b X =是否有解的MATLAB 程序function [RA,RB,n]=jiepb(A,b)B=[A b];n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB ，所以此方程组无解.') return endif RA==RB if RA==ndisp('请注意：因为RA=RB=n ，所以此方程组有唯一解.') elsedisp('请注意：因为RA=RB<n ，所以此方程组有无穷多解.') end end例3.1.4 判断下列线性方程组解的情况.如果有唯一解，则用表 3-2方法求解.(1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+;0742,0634,0723,05324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+;0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (3) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+;8311,1023,22421321321x x x x x x x x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+.12,2224,12w z y x w z y x w z y x解 在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[2 3 -1 5;3 1 2 -7;4 1 -3 6;1 -2 4 -7]; b=[ 0; 0; 0; 0]; [RA,RB,n]=jiepb(A,b)运行后输出结果为请注意：因为RA=RB=n ，所以此方程组有唯一解. RA = 4,RB =4,n =4 在MATLAB 工作窗口输入>>X=A\b,运行后输出结果为 X =(0 0 0 0)’.(2) 在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[3 4 -5 7;2 -3 3 -2;4 11 -13 16;7 -2 1 3];b=[ 0; 0; 0; 0];[RA,RB,n]=jiepb(A,b)运行后输出结果请注意：因为RA=RB<n ，所以此方程组有无穷多解. RA =2,RB =2,n =4(3) 在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[4 2 -1;3 -1 2;11 3 0]; b=[2;10;8]; [RA,RB,n]=jiepb(A,B)运行后输出结果请注意：因为RA~=RB ，所以此方程组无解. RA =2,RB =3,n =3(4)在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[2 1 -1 1;4 2 -2 1;2 1 -1 -1]; b=[1; 2; 1]; [RA,RB,n]=jiepb(A,b)运行后输出结果请注意：因为RA=RB<n ，所以此方程组有无穷多解. RA =2,RB =2,n =33.2 三角形方程组的解法及其MATLAB 程序3.2.2 解三角形方程组的MATLAB 程序 解上三角形线性方程组b AX =的MATLAB 程序function [RA,RB,n,X]=shangsan(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB ，所以此方程组无解.') return endif RA==RB if RA==ndisp('请注意：因为RA=RB=n ，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1); X(n)=b(n)/A(n,n); for k=n-1:-1:1X(k)=(b(k)-sum(A(k,k+1:n)*X(k+1:n)))/A(k,k);end elsedisp('请注意：因为RA=RB<n ，所以此方程组有无穷多解.')end end例3.2.2 用解上三角形线性方程组的MATLAB 程序解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+-=-+-=++-.63,456,7472,203254434324321x x x x x x x x x x . 解 在MATLAB 工作窗口输入程序>>A=[5 -1 2 3;0 -2 7 -4;0 0 6 5;0 0 0 3]; b=[20; -7; 4;6];[RA,RB,n,X]=shangsan(A,b)运行后输出结果请注意：因为RA=RB=n ，所以此方程组有唯一解. RA = RB =4, 4, n =4,X =[2.4 -4.0 -1.0 2.0]’3.3 高斯（Gauss ）消元法和列主元消元法及其MATLAB 程序3.3.1 高斯消元法及其MATLAB 程序用高斯消元法解线性方程组b AX =的MATLAB 程序f unction [RA,RB,n,X]=gaus(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB ，所以此方程组无解.') return endif RA==RB if RA==ndisp('请注意：因为RA=RB=n ，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p);B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1); end endb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q); endelsedisp('请注意：因为RA=RB<n ，所以此方程组有无穷多解.') end end例3.3.2 用高斯消元法和MATLAB 程序求解下面的非齐次线性方程组，并且用逆矩阵解方程组的方法验证.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+---=+--=+--=-+-.142,16422,0,13432143214324321x x x x x x x x x x x x x x x 解 在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[1 -1 1 -3; 0 -1 -1 1;2 -2 -4 6;1 -2 -4 1]; b=[1;0; -1;-1]; [RA,RB,n,X] =gaus (A,b)运行后输出结果请注意：因为RA=RB=n ，所以此方程组有唯一解. RA =4RB =4n =43.3.2 列主元消元法及其MATLAB 程序用列主元消元法解线性方程组b AX =的MATLAB 程序function [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);X = 0 -0.5000 0.5000 0RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB ，所以此方程组无解.') return endif RA==RB if RA==ndisp('请注意：因为RA=RB=n ，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1[Y,j]=max(abs(B(p:n,p))); C=B(p,:); B(p,:)= B(j+p-1,:); B(j+p-1,:)=C; for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p);B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1); end endb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q); endelsedisp('请注意：因为RA=RB<n ，所以此方程组有无穷多解.') end end例3.3.3 用列主元消元法解线性方程组的MATLAB 程序解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+---=+--=-+-=+--.142,16422,13,0432143214321432x x x x x x x x x x x x x x x . 解 在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[0 -1 -1 1;1 -1 1 -3;2 -2 -4 6;1 -2 -4 1]; b=[0;1;-1;-1]; [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)运行后输出结果请注意：因为RA=RB=n ，所以此方程组有唯一解. RA = 4，RB = 4，n = 4，X =[0 -0.5 0.5 0]’3.4 LU 分解法及其MATLAB 程序3.4.1判断矩阵LU 分解的充要条件及其MATLAB 程序 判断矩阵A 能否进行LU 分解的MATLAB 程序function hl=pdLUfj(A)[n n] =size(A); RA=rank(A); if RA~=ndisp('请注意：因为A 的n 阶行列式hl 等于零，所以A 不能进行LU 分解.A的秩RA 如下：'), RA,hl=det(A); returnendif RA==nfor p=1:n,h(p)=det(A(1:p, 1:p));, endhl=h(1:n); for i=1:nif h(1,i)==0disp('请注意：因为A 的r 阶主子式等于零，所以A 不能进行LU 分解.A 的秩RA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：'),hl;RA,returnend endif h(1,i)~=0disp('请注意：因为A 的各阶主子式都不等于零，所以A 能进行LU 分解.A 的秩RA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：')hl;RA end end例3.4.1 判断下列矩阵能否进行LU 分解，并求矩阵的秩.（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6547121321；（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛654721321；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛654321321.解 （1）在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[1 2 3;1 12 7;4 5 6];hl=pdLUfj(A)运行后输出结果为请注意：因为A 的各阶主子式都不等于零，所以A 能进行LU 分解.A 的秩RA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：RA = 3， hl = 1 10 -48（2）在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[1 2 3;1 2 7;4 5 6];hl=pdLUfj(A)运行后输出结果为请注意：因为A 的r 阶主子式等于零，所以A 不能进行LU 分解.A 的秩RA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：RA = 3， hl =1 0 12（3）在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[1 2 3;1 2 3;4 5 6];hl=pdLUfj(A)运行后输出结果为请注意：因为A 的n 阶行列式hl 等于零，所以A 不能进行LU 分解.A 的秩RA 如下RA = 2， hl = 03.4.2 直接LU 分解法及其MATLAB 程序 将矩阵A 进行直接LU 分解的MATLAB 程序function hl=zhjLU(A)[n n] =size(A); RA=rank(A); if RA~=ndisp('请注意：因为A 的n 阶行列式hl 等于零，所以A 不能进行LU 分解.A的秩RA 如下:'), RA,hl=det(A);return endif RA==n for p=1:nh(p)=det(A(1:p, 1:p)); endhl=h(1:n); for i=1:nif h(1,i)==0disp('请注意：因为A 的r 阶主子式等于零，所以A 不能进行LU 分解.A的秩RA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：'), hl;RAreturn end endif h(1,i)~=0disp('请注意：因为A 的各阶主子式都不等于零，所以A 能进行LU 分解.A的秩RA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：')for j=1:nU(1,j)=A(1,j); endfor k=2:n for i=2:n for j=2:nL(1,1)=1;L(i,i)=1; if i>jL(1,1)=1;L(2,1)=A(2,1)/U(1,1);L(i,1)=A(i,1)/U(1,1);L(i,k)=(A(i,k)- L(i,1:k-1)*U(1:k-1,k))/U(k,k); elseU(k,j)=A(k,j)-L(k,1:k-1)*U(1:k-1,j); end end end endhl;RA,U,L end end例3.4.3 用矩阵进行直接LU 分解的MA TLAB 程序分解矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3010342110100201A . 解 在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[1 0 2 0;0 1 0 1;1 2 4 3;0 1 0 3]; hl=zhjLU(A)运行后输出结果请注意：因为A 的各阶主子式都不等于零，所以A 能进行LU 分解.A 的秩RA和各阶顺序主子式值hl 依次如下：RA = 4U = 1 0 2 00 1 0 10 0 2 10 0 0 2 3.4.4 判断正定对称矩阵的方法及其MATLAB 程序 判断矩阵A 是否是正定对称矩阵的MATLAB 程序function hl=zddc(A) [n n] =size(A); for p=1:nh(p)=det(A(1:p, 1:p)); endhl=h(1:n);zA=A'; for i=1:nif h(1,i)<=0disp('请注意：因为A 的各阶顺序主子式hl 不全大于零，所以A 不是正定的.A 的转置矩阵zA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：'), hl;zA,returnend endif h(1,i)>0disp('请注意：因为A 的各阶顺序主子式hl 都大于零，所以A 是正定的.A 的转置矩阵zA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：')hl;zA endL = 1 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 1 hl = 1 1 2 4例3.4.5 判断下列矩阵是否是正定对称矩阵：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--98754113211143214321.0；(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------19631690230311211； (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----212100212100002121002121；（4）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---401061112. 解 （1）在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[0.1 2 3 4;-1 2 -3 4;11 21 13 41;5 7 8 9];hl=zddc (A)运行后输出结果请注意： A 不是对称矩阵请注意：因为A 的各阶顺序主子式hl 不全大于零，所以A 不是正定的.A 的转置矩阵zA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：zA = 1/10 -1 11 5 2 2 21 7 3 -3 13 8 4 4 41 9 hl = 1/10 11/5 -1601/10 3696/5因此,A 即不是正定矩阵，也不是对称矩阵.（2）在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[1 -1 2 1;-1 3 0 -3;2 0 9 -6;1 -3 -6 19],hl=zddc(A)运行后输出结果A = 1 -1 2 1 -1 3 0 -3 2 0 9 -6 1 -3 -6 19 请注意： A 是对称矩阵请注意：因为A 的各阶顺序主子式hl 都大于零，所以A 是正定的.A 的转置矩阵zA和各阶顺序主子式值hl 依次如下：zA = 1 -1 2 1 -1 3 0 -3 2 0 9 -6 1 -3 -6 19 hl = 1 2 6 24 （3）在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[1/sqrt(2) -1/sqrt(2) 0 0; -1/sqrt(2) 1/sqrt(2) 0 0; 00 1/sqrt(2) -1/sqrt(2); 0 0 -1/sqrt(2) 1/sqrt(2)], hl=zddc (A) 运行后输出结果A= 985/1393 -985/1393 0 0 -985/1393 985/1393 0 0 0 0 985/1393 -985/1393 0 0 -985/1393 985/1393 请注意： A 是对称矩阵请注意：因为A 的各阶顺序主子式hl 不全大于零，所以A 不是正定的.A 的转置矩阵zA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：zA = 985/1393 -985/1393 0 0 -985/1393 985/1393 0 0 0 0 985/1393 -985/1393 0 0 -985/1393 985/1393 hl = 985/1393 0 0 0可见，A 不是正定矩阵，是半正定矩阵；因为A = A T因此，A 是对称矩阵.（4）在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[-2 1 1;1 -6 0;1 0 -4];hl=zddc (A)运行后输出结果A = -2 1 11 -6 0 1 0 -4 请注意： A 是对称矩阵请注意：因为A 的各阶顺序主子式hl 不全大于零，所以A 不是正定的.A 的转置矩阵zA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：zA = -2 1 1 hl = -2 11 -38 1 -6 0 1 0 -4可见A 不是正定矩阵，是负定矩阵；因为A = A T因此，A 是对称矩阵.3.5 求解线性方程组的LU 方法及其MATLAB 程序3.5.1 解线性方程组的楚列斯基（Cholesky ）分解法及其MATLAB 程序例3.5.1 先将矩阵A 进行楚列斯基分解,然后解矩阵方程b AX =，并用其他方法验证.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=7531,19631690230311211b A . 解 在工作窗口输入>>A=[1 -1 2 1;-1 3 0 -3; 2 0 9 -6;1 -3 -6 19];b1=1:2:7; b=b1'; R=chol(A);C=A-R'*R,R1=inv(R);R2=R1'; x=R1*R2*b,Rx=A\b-x运行后输出方程组的解和验证结果x = Rx = 1.0e-014 * C = 1.0e-015 * -8.0000 -0.7105 0 0 0 0 0.3333 -0.0833 0 -0.4441 0 0 3.6667 0.2220 0 0 0 0 2.0000 0.1332 0 0 0 03.5.2 解线性方程组的直接LU 分解法及其MATLAB 程序例3.5.2 首先将矩阵A 直接进行LU 分解，然后解矩阵方程b AX =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3010342110100201A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=5121b . 解 (1) 首先将矩阵A 直接进行LU 分解.在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[1 0 2 0;0 1 0 1;1 2 4 3;0 1 0 3];b=[1;2;-1;5];hl=zhjLU(A),A-L*U 运行后输出LU 分解请注意：因为A 的各阶主子式都不等于零，所以A 能进行LU 分解.A 的秩RA和各阶顺序主子式值hl 依次如下：RA = 4U = 1 0 2 00 1 0 10 0 2 10 0 0 2A 分解为一个单位下三角形矩阵L 和一个上三角形矩阵U 的积 LU A =.(2)在工作窗口输入>> U=[1 0 2 0;0 1 0 1;0 0 2 1;0 0 0 2]; L=[1 0 0 0;0 1 0 0;1L = 1 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 1 hl = 1 1 2 42 1 0;0 1 0 1];b=[1;2;-1;5];U1=inv(U); L1=inv(L); X=U1*L1*b,x=A\b运行后输出方程组的解X = 8.50000000000000 0.50000000000000 -3.75000000000000 1.500000000000003.5.3 解线性方程组的选主元的LU 方法及其MATLAB 程序例3.5.3 先将矩阵A 进行LU 分解，然后解矩阵方程b AX = 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=98754113211143214321.0A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=5121b . 解 方法1 根据（3.28）式编写MATLAB 程序，然后在工作窗口输入>> A=[0.1 2 3 4;-1 2 -3 4;11 21 13 41;5 7 8 9];b=[1;2;-1;5]; [L U P]=LU(A), U1=inv(U); L1=inv(L); X=U1*L1*P*b运行后输出结果L = 1.0000 0 0 0 -0.0909 1.0000 0 0 0.0091 0.4628 1.0000 0 0.4545 -0.6512 0.2436 1.0000 U =11.0000 21.0000 13.0000 41.0000 0 3.9091 -1.8182 7.72730 0 3.7233 0.05120 0 0 -4.6171方法2 根据（3.29）式编写MATLAB 程序，然后在工作窗口输入>> A=[0.1 2 3 4;-1 2 -3 4;11 21 13 41;5 7 8 9];b=[1;2;-1;5]; [F U]=LU(A), U1=inv(U); F1=inv(F); X=U1*F1*b运行后输出结果F=0.0091 0.4628 1.0000 0 -0.0909 1.0000 0 0 1.0000 0 0 0 0.4545 -0.6512 0.2436 1.0000 X =[-1.2013 3.3677 0.0536 -1.4440]’ 用LU 分解法解线性方程组A n m ⨯b X =的MATLAB 程序function [RA,RB,n,X,Y]=LUjfcz(A,b)[n n] =size(A);B=[A b]; RA=rank(A); RB=rank(B); for p=1:nh(p)=det(A(1:p, 1:p)); endhl=h(1:n); for i=1:nif h(1,i)==0disp('请注意：因为A 的r 阶主子式等于零，所以A 不能进行LU 分解.A的秩RA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：')hl;RA return end endif h(1,i)~=0disp('请注意：因为A 的各阶主子式都不等于零，所以A 能进行LU 分解.A 的秩RA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：')P = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 X =[-1.2013 3.3677 0.0536 -1.4440]’ U=11.0000 21.0000 13.0000 41.0000 0 3.9091 -1.8182 7.7273 0 0 3.7233 0.0512 0 0 0 -4.6171X=zeros(n,1); Y=zeros(n,1); C=zeros(1,n);r=1:1; for p=1:n-1[max1,j]=max(abs(A(p:n,p))); C=A(p,:); A(p,:)= A(j+P1,:); C= A(j+P1,:); g=r(p); r(p)= r(j+P1); r(j+P1)=g; for k=p+1:nH= A(k,p)/A(p,p); A(k,p) = H; A(k,p+1:n)=A(k,p+1:n)-H* A(p,p+1:n);end endY(1)=B(r(1)); for k=2:nY(k)= B(r(k))- A(k,1:k-1)* Y(1:k-1); endX(n)= Y(n)/ A(n,n); for i=n-1:-1:1X(i)= (Y(i)- A(i, i+1:n) * X (i+1:n))/ A(i,i); end end[RA,RB,n,X,Y]’;3.6 误差分析及其两种MATLAB 程序3.6.1 用MATLAB 软件作误差分析例3.6.2 解下列矩阵方程b AX =，并比较方程（1）和（2）有何区别，它们的解有何变化.其中,13/112/111/110/19/18/17/112/111/110/19/18/17/16/111/110/19/18/17/16/15/110/19/18/17/16/15/14/19/18/17/16/15/14/13/18/17/16/15/14/13/12/17/16/15/14/13/12/11)1(⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A ;2222221⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ,13/112/111/110/19/18/17/112/111/110/19/18/17/16/111/110/19/18/17/16/15/110/19/18/17/16/15/14/19/18/17/16/15/14/13/18/17/16/15/14/13/12/17/16/15/14/13/12/1001.1)2(⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A .2222221⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b 解 (1) 矩阵方程b AX =的系数矩阵A 为7阶希尔伯特（Hilbert ）矩阵，我们可以用下列命令计算n 阶希尔伯特矩阵>>h=hilb(n) % 输出h 为n 阶Hilbert 矩阵 在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=hilb(7);b=[1;2;2;2;2;2;2];X=A\b运行后输出b AX =的解为 X =（-35 504 -1260 -4200 20790 -27720 12012T).（2）在MATLAB 工作窗口输入程序>> B =[0.001,zeros(1,6);zeros(6,1),zeros(6,6)]; A=(B+hilb(7)); b=[1;2;2;2;2;2;2];X=A\b运行后输出方程的解为 X=（-33 465 -966 -5181 22409 -29015 12413T).在MATLAB 工作窗口输入程序>> X =[-33, 465,-966,-5181,22409,-29015,12413]';X1 =[-35,504,-1260,-4200,20790,-27720,12012]'; wu=X1'- X' 运行后输出方程（1）和（2）的解的误差为=δX 401- 1295 1619- 981 294- 39 -2(T ).方程（1）和（2）的系数矩阵的差为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=δ⨯⨯⨯661661001.0O O O A ，常数向量相同，则b Ax =的解的差为=δX 40112951619981294392(----T ).A 的微小变化，引起X 的很大变化，即X 对A 的扰动是敏感的.3.6.2 求P 条件数和讨论b AX =解的性态的MATLAB 程序求P 条件数和讨论b AX =解的性态的MATLAB 程序function Acp=zpjxpb(A)Acw = cond (A, inf);Ac1= cond (A,1);Ac2= cond (A,2);Acf = cond (A,'fro');dA=det(A);if (Acw>50)&(dA<0.1)disp('请注意：AX=b 是病态的，A 的∞条件数,1条件数,2条件数, 弗罗贝尼乌斯条件数和A 的行列式的值依次如下：')Acp=[Acw Ac1 Ac2 Acf dA]';elsedisp(' AX=b 是良态的，A 的∞条件数,1条件数,2条件数,弗罗贝尼乌斯条件数和A 的行列式的值依次如下：')Acp=[Acw Ac1 Ac2 Acf dA]';end例3.6.3 根据定理3.10，讨论线性方程组b AX =解的性态，并且求出A 的4种条件数.其中（1）A 为7阶希尔伯特矩阵；（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=7421631472135132A . 解 （1）首先将求P 条件数和讨论b AX =解的性态的MATLAB 程序保存名为zpjxpb.m 的M 文件，然后在MATLAB 工作窗口输入程序>> Acp =zpjxpb(hilb(7)); Acp',det(hilb(7))运行后输出结果请注意：AX=b 是病态的，A 的∞条件数,1条件数,2条件数, 弗罗贝尼乌斯条件数和A 的行列式的值依次如下：ans = 1.0e+008 *9.8519 9.8519 4.7537 4.8175 0.0000ans = 4.8358e-025（2）在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[2 3 -1 5;3 1 2 -7;4 1 -3 6;1 -2 4 -7];Acp=zpjxpb(A); Acp' 运行后输出结果 AX=b 是良态的，A 的∞条件数,1条件数,2条件数, 弗罗贝尼乌斯条件数和A 的行列式的值依次如下：ans =14.1713 19.4954 8.2085 11.4203 327.00003.6.3 用P 范数讨论b AX =解和A 的性态的MATLAB 程序用P 范数讨论b AX =解和A 的性态的MATLAB 程序function Acp=zpjwc(A,jA,b,jb,P)Acp = cond (A,P);dA=det(A); X=A\b;dertaA=A-jA;PndA=norm(dertaA, P);dertab=b-jb;Pndb=norm(dertab, P);if Pndb>0jX=A\jb; Pnb= norm(b, P);PnjX = norm(jX,P); dertaX=X-jX;PnjdX= norm(dertaX, P);jxX= PnjdX/PnjX; PnjX =norm(jX,P);PnX = norm(X,P); jxX= PnjdX/PnjX; xX= PnjdX/PnX;Pndb=norm(dertab,P);xAb=Pndb/Pnb;Pnbj=norm(jb,P); xAbj=Pndb/Pnbj;Xgxx= Acp*xAb;endif PndA>0jX=jA\b; dertaX=X-jX;PnX = norm(X,P);PnjdX= norm(dertaX, P);PnjX = norm(jX,P); jxX= PnjdX/PnjX;xX= PnjdX/PnX;PnjA=norm(jA,P); PnA=norm(A,P);PndA=norm(dertaA,P);xAbj= PndA/PnjA;xAb= PndA/PnA;Xgxx= Acp*xAb;endif (Acp >50)&(dA<0.1)disp('请注意：AX=b 是病态的，A 的P 条件数Acp,A 的行列式值dA ，解X ，近似解jX ，解的相对误差jxX ，解的相对误差估计值Xgxx ，b 或A 的相对误差xAb 依次如下：')Acp,dA,X',jX',xX',jxX',Xgxx',xAb',xAbj'elsedisp('请注意： AX=b 是良态的，A 的P 条件数Acp,A 的行列式值dA ，解X ，近似解jX ，解的相对误差jxX ，解的相对误差估计值Xgxx ，b 或A 的相对误差xAb 依次如下：')Acp,dA,X',jX',xX',jxX',Xgxx',xAb',xAbj'end例3.6.4 根据定理3.10，讨论线性方程组b AX =解的性态，并利用（3.32）式讨论当A 的每个元都取4位有效数字时，其解的相对误差.其中A 为7阶希尔伯特矩阵，()22224311=b T .解 （1）取∞范数和∞条件数，线性方程组b AX =的b 不变时，取∞范数和∞条件数，系数矩阵A 为7阶希尔伯特矩阵，A 中的每个元素取4位有效数字.用P 范数讨论b AX =解和A 的性态的MATLAB 程序保存名为zpjwc.m 的文件,然后在工作窗口输入MATLAB 程序>> jA =[1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.14290.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.12500.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.11110.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.10000.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.09090.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.08330.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.0769]; A=hilb(7);b=[1;1/3;4;2;2;2;2];jb=[1;0.3333;4;2;2;2;2]; Acp=zpjwc(A,jA,b,jb,inf)运行后输出结果请注意：AX=b 是病态的，A 的P 条件数Acp,A 的行列式值dA ，解X ，近似解jX ，解的相对误差jxX ，解的相对误差估计值Xgxx ，b 或A 的相对误差xAb 依次如下：Acp = dA =9.8519e+008 4.8358e-025ans =1.0e+007 *0.0020 -0.0697 0.6243 -2.3054 4.0677 -3.41231.0943ans =1.0e+004 *0.0349 -0.4807 2.1126 -5.1087 7.6557 -6.32392.1112xX = jxX = Xgxx =0.9981 530.3248 4.9291e+004 xAb = xAbj =5.0032e-005 5.0031e-005由此可见，因为∞条件数(Cond ≈∞)A 985 194 889.719 848 31>>，所以此方程组为病态的b AX =的解T 932)94210320,12334-790,676380,402.305-300,2436 256,697- 565,19( =X ， b X jA =)(的解为T )11221239,63-,55767087,51-126,21 079,48- ,493( =jX 解的相对误差120.998≈∞∞X Xδ,291.2749≤+∞∞X X X δδ , 530.32≈+∞∞X X X δδ,,1025.0035-∞∞⨯≈A Aδ即相对误差放大了约985 194 889.72倍.(2) 如果取2范数和2条件数计算，在MATLAB 工作窗口输入程序>> Acp =zpjwc(A,jA,b,jb,2)运行后输出结果请注意：AX=b 是病态的，A 的P 条件数Acp,A 的行列式值dA ，解X ，近似解jX ，解的相对误差jxX ，解的相对误差估计值Xgxx ，b 或A 的相对误差xAb 依次如下：Acp = dA =4.7537e+008 4.8358e-025ans =1.0e+007 *0.0020 -0.0697 0.6243 -2.3054 4.0677 -3.41231.0943ans =1.0e+004 *0.0349 -0.4807 2.1126 -5.1087 7.6557 -6.32392.1112xX = jxX = Xgxx=0.9981 511.0640 2.9951e+004xAb = xAbj =6.3006e-005 6.3005e-005因为2条件数Cond ≈2)(A 475 367 356.591>>，所以此方程组为病态的.解的相对误差10.998 22≈X X δ,,105300.6522-⨯≈A A δ,06.51122≈+X X X δδ.85.9502922≤+A A A δδ 即相对误差放大了约475 367 356.59倍.。
线性方程组直接解法实验
实验一 线性方程组直接解法实验一、实验目的1.运用matlab 软件完成线性方程组的直接实验；2.通过实验,了解Doolittle 分解方法和列主元消去法解方程组的过程，并比较两种方法的优点。
二、实验题目分别用Doolittle 分解方法和列主元消去法解方程组123410-7018-3 2.09999962 5.9000015-15-1521021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x x x . 输出A ，b ；Doolittle 分解方法的L 和U ；解向量x,det A ;列主元方法的行交换次序，解向量x,det A ；比较两种方法所得的结果。
三、实验原理1) Doolittle 分解方法的原理算法原理：应用高斯消去法解n 阶线性方程Ax b =经过1n -步消去后得出一个等价的上三角形方程组()()n n A x b =，对上三角形方程组用逐步回代就可以求出解来。
这个过程也可通过矩阵分解来实现。
将非奇异阵分解成一个下三角阵L 和上三角阵U 的乘积A LU =称为对矩阵A 的三角分解，又称LU 分解。
根据LU 分解,将Ax b =分解为Ly bUx y=⎧⎨=⎩形式,简化了求解问题。
程序框图：变量说明：ij a 为系数矩阵元素，i b 为常数矩阵系数，,ij ij l u 分别为下、上三角矩阵元素。
开始输入a ij ,b ii,j=1,2,…,na i1=l i1=a i1/a 11i=2,3,…,nk=2akj=ukj=akj-∑l ktj=k,…,nk=n?k=k+1y 1=b 1,y i =b i -∑l ij y ji=2,…,n x n =y n /u nnx i =(y i -∑u ij x j )/u iii=n-1,…2,1是否a kj =l jk =(a jk -∑l it u tk )/u kkj=k,…,n2)列主元消去法解方程组的原理算法原理：列选主元是当变换到第k步时，从k列的kk a及以下的各元素中选取绝对值最大的元素，通过行交换将其交换到kka的位置上，然后再进行消元过程。
MATLAB解方程组(线性与非线性方程组)
例7-9 求下列非线性方程组在(0.5,0.5) 附近的数值解。 (1) 建立函数文件myfun.m。 function q=myfun(p) x=p(1); y=p(2); q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y); q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y); (2) 在给定的初值x0=0.5,y0=0.5下，调用fsolve函数求方程的根。 x=fsolve('myfun',[0.5,0.5]',optimset('Display','off')) x= 0.6354 0.3734
2．Gauss-Serdel迭代法 在Jacobi迭代过程中，计算时，已经得到，不必再用，即原来的迭代
公式Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可以改进为Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b， 于是得到：
x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b 该式即为Gauss-Serdel迭代公式。和Jacobi迭代相比，Gauss-Serdel
7.1.2 迭代解法 迭代解法非常适合求解大型系数矩阵的方程组。在数值分析中，迭代
解法主要包括 Jacobi迭代法、Gauss-Serdel迭代法、超松弛迭代法 和两步迭代法。
1．Jacobi迭代法 对于线性方程组Ax=b，如果A为非奇异方阵，即aii≠0(i=1,2,…,n)，则
可将A分解为A=D-L-U，其中D为对角阵，其元素为A的对角元素， L与U为A的下三角阵和上三角阵，于是Ax=b化为： x=D-1(L+U)x+D-1b 与之对应的迭代公式为：
(2) QR分解
实验一用matlab求解线性方程组
实验1.1 用matlab 求解线性方程组第一节 线性方程组的求解 一、齐次方程组的求解rref （A ） %将矩阵A 化为阶梯形的最简式null （A ） %求满足AX ＝0的解空间的一组基，即齐次线性方程组的基础解系【例１】 求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并写出通解：我们可以通过两种方法来解： 解法1：>> A=[1 -1 1 -1;1 -1 -1 1;1 -1 -2 2]; >> rref(A) 执行后可得结果： ans=1 -1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 由最简行阶梯型矩阵，得化简后的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+--=-+-02200432143214321x x x x x x x x x x x x取x2，x4为自由未知量，扩充方程组为即提取自由未知量系数形成的列向量为基础解系，记所以齐次方程组的通解为解法2： clearA=[1 -1 1 -1;1 -1 -1 1;1 -1 -2 2];B=null(A, 'r') % help null 看看加个‘r ’是什么作用,若去掉r ，是什么结果？执行后可得结果： B=1 0 1 0 0 1 0 1⎩⎨⎧=-=-004321x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====44432221x x x x x x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡11000011424321x x x x x x ,00111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ε,11002⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ε2211εεk k x +=易见，可直接得基础解系所以齐次方程组的通解为二、非齐次线性方程组的求解 Matlab 命令的基本格式：X ＝A\b %系数阵A 满秩时，用左除法求线性方程组AX ＝b 的解注意：A/B 即为AB -1, 而A\B 即为A -1B.C =[A,b];D ＝rref(C) % 求线性方程组AX ＝b 的特解，即D 的最后一列元素【例2】 求下列非齐次线性方程组的解：,00111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ε,11002⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ε⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150650650651655454354332121x x x x x x x x x x x x x 2211εεk k x +=解： clearA=[5 6 0 0 0;1 5 6 0 0;0 1 5 6 0;0 0 1 5 6;0 0 0 1 5]; b=[1;0;0;0;1];format rational %采用有理数近似输出格式,比较format short 看看x=A\b执行后可得所求方程组的解. 作业：【第一题】 求下列非齐次线性方程组的通解.A=[1 2 3 1;1 4 6 2;2 9 8 3;3 7 7 2] B=[3;2;7;12] format rational x=A\B x =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++1227737389222643324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x42/31/2684838239393950-7/3【第二题】计算工资问题一个木工，一个电工，一个油漆工，三个人相互同意彼此装修他们自己的房子。
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本科毕业论文（ 2010 届）题目线性方程组的直接解法及matlab的实现学院数学与信息工程学院专业数学与应用数学班级2006级数学1 班学号**********学生姓名胡婷婷指导教师王洁完成日期2010年5月摘要随着科技技术的发展及人类对自然界的不断探索模拟.在自然科学和工程问题中的很多问题的解决常常归结为线性代数问题！本文的主要内容是对线性方程组求解方法的探讨,主要介绍了四种求解线性方程组的方法,第一种是教科书上常见的消元法,我们称之为基本法.第二种方法是标准上三角形求解法,即将增广矩阵经过初等变换后化成标准上三角形,然后求解.它改进了一般教科书上的常见方法,与常见方法比较有如下优点:1)规范了自由未知量的选取;2)只用矩阵运算;3)减少了计算量.第三种方法是对特定的方程组（系数矩阵A为n阶对称正定矩阵,且A的顺序主子式均不为零.）的求解方法进行描述,并且为这种线性方程的求解提供了固定的公式化的方法.第四种方法是对现在实际问题中常常会遇到的系数矩阵为三对角矩阵的方程组的求解方法.同时给出这几种方法的数值解法（matlab程序）,由于运用电脑软件求解,所以必须考虑计算方法的时间、空间上的效率以及算法的数值稳定性问题,所以针对不同类型的线性方程组有不同的解法.但是,基本的方法可以归结为两大类,即直接法和迭代法.关键词高斯消去法;三角分解法;乔莱斯基分解法;追赶法AbstractSystems of linear equations are associated with many problems in engineering and scinence ,as well as with applications of mathematics to the social sciences and the quantitative study of business and economic problems.The main content of this article is the method for solving linear equations, we introduce four methods for solving linear equations in this paper. The first is the elimination method which is commonly found in textbooks, and we call the Basic Law. The second method is Standard on the triangle Solution, that first change Augmented matrix into standards in primary triangle, and then solving. It improves the general textbook on common methods, compared with the common method has the following advantages:1) Specification of the free choice of unknowns; 2)Only matrix operations;3) Reduce the computation. The third method describes a way to solve a Specific equations(N coefficient matrix A is symmetric positive definite matrix, and A are not zero-order principal minor), And for this linear equation provides a fixed formulaic approach. The fourth method is to present practical problems often encountered in the coefficient matrix is tridiagonal matrix method for solving the equations. These methods are given numerical solution of (matlab program), As the use of computer software to solve, it is necessary to consider ways of computing time and space efficiency and numerical stability of algorithms, Therefore, different types of linear equations have a different solution. However, the basic method can be classified into two categories, namely direct methods and iterative methods.Key wordsGaussian elimination; Triangular decomposition; Cholesky decomposition method;Thomas algorithm目录1. 引言 (1)2．相关知识 (2)2.1 向量和矩阵 (2)2.2 特殊矩阵 (3)3.问题叙述 (3)4．问题分析 (4)4.1高斯分解法 (4)4.2三角分解法 (6)4.3乔莱斯基分解法 (6)4.4追赶法 (7)5. 举例说明与总结 (9)5.1举例说明 (9)5.1.1高斯分解的matlab程序方法 (9)5.1.2三角分解法的matlab程序方法 (10)5.1.3乔莱斯基分解法的matlab程序方法 (11)5.1.4追赶法的matlab程序方法 (13)5.2总结 (14)参考文献 (16)谢辞 (17)线性方程组的直接解法及matlab的实现Direct solution of linear equations and matlab implementation数学与信息工程学院数学与应用数学专业胡婷婷指导教师:王洁1.引言随着科技技术的发展及人类对自然界的不断探索模拟.在自然科学和工程问题中的很多问题的解决常常归结为线性代数问题！例如电学中的网络问题,用最小二乘法求实验数据拟合问题（如大地测量数据处理）,解非线性方程组问题,用差分法或有限元法解常微分方程、偏微分方程边值问题等最终都归结于解线性代数方程组.从实际数据来看,这些方程组的系数矩阵大致分为两种,一种是低阶稠密矩阵（阶数不超过150）.另一种是大型稀疏矩阵（矩阵阶数高且零元素较多）.所以,现在我们需要对求线性方程组的方法进行探究,以便能够找到一些简便的方法来加以应用！本文主要就线性方程组的直接解法予以讨论.线性方程组是线性代数的主要内容,包括线性方程组有解性的判定、消元法解线性方程组和线性方程组解的结构. 它与矩阵、向量的内容密切相关,与矩阵、向量组相关的许多重要结论都是线性方程组有关结论的应用和推广. 如:一个向量是否可以由一个向量组线性表示、表示形式是否唯一往往与非齐次线性方程组是否有解、有唯一解还是无穷多解是等价的;一个向量组是否线性相关与齐次线性方程组是否有非零解是等价的等等.而且随着现代工业的发展,线性方程组的应用出现在各个领域,伴随着大量方程和多未知数的出现, 例如电学中的网络问题,用最小二乘法求实验数据拟合问题（如大地测量数据处理）,解非线性方程组问题,用差分法或有限元法解常微分方程、偏微分方程边值问题等最终都归结于解线性代数方程组。
所以寻找简便而且准确的求解方法就显得十分重要而且具有现实意义.因此对线性方程组解法的研究就显得十分必要.从实际数据来看,这些方程组的系数矩阵大致分为两种,一种是低阶稠密矩阵（阶数不超过150）.另一种是大型稀疏矩阵（矩阵阶数高且零元素较多）.本论文的主要内容是对线性方程组求解方法的探讨,主要介绍了四种求解线性方程组的方法,第一种是教科书上常见的消元法,我们称之为基本法.第二种方法是标准上三角形求解法,即将增广矩阵经过初等变换后化成标准上三角形,然后求解.它改进了一般教科书上的常见方法,与常见方法比较有如下优点:1)规范了自由未知量的选取;2)只用矩阵运算;3)减少了计算量.第三种方法是对特定的方程组（系数矩阵A 为n 阶对称正定矩阵,且A 的顺序主子式均不为零.）的求解方法进行描述,并且为这种线性方程的求解提供了固定的公式化的方法.第四种方法是对现在实际问题中常常会遇到的系数矩阵为三对角矩阵的方程组的求解方法.同时给出这几种方法的数值解法（matlab 程序）,由于运用电脑软件求解,所以必须考虑方法的计算时间和空间效率以及算法的数值稳定性问题,所以针对不同类型的线性方程组有不同的解法.但是,基本的方法可以归结为两大类,即直接法和迭代法.本文主要介绍的直接法,包括Gauss 消去法和它的变形——直接三角形法.以及特定方程组的解法乔莱斯基分解法、追赶法.和这几种方法运用计算机求解线性方程组的数值计算方法.2．相关知识2.1 向量和矩阵用R n m ⨯表示全部n m ⨯实矩阵的向量空间,C n m ⨯表示全部n m ⨯复矩阵的向量空间. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⇔∈⨯mn m m n n ij n m a a a a a a a a a a A A R 212222111211)(（称为m 行n 列矩阵）. []T n n x x x x R x 21=⇔∈（称为n 维列向量） []n a a a A 21= ,其中i a 为A 的第i 列.同理⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=T m T T b b b A 21,其中T i b 为A 的第i 行. 矩阵基本运算:(1)矩阵加法)),,.(,n m n m n m ij ij ij R C R B R A b a c B A C ⨯⨯⨯∈∈∈+=+=其中.(2)矩阵与标量的乘法ij ij a c A C αα==,.(3)矩阵与矩阵的乘法),,(,1p m p n n m n k kj ik ij R C R B R A b a c AB C ⨯⨯⨯=∈∈∈==∑.（4）单位矩阵[]nn n R e e e I ⨯∈= 21 ,其中[].,,2,1,0,,0,1,0,0n k e Tk == 2.2 特殊矩阵设n n ij R a A ⨯∈=][,则有 A 为:(1)对角矩阵 如果当j i ≠时,0=ij a ;(2)三对角矩阵 如果当01=>-ij a j i 时，;(3)上三角矩阵 如果当0=>ij a j i 时，;(4)对称矩阵 如果TA A =;(5)正定矩阵 如果设A 是n 阶实系数对称矩阵, 如果对任何非零向量[]n x x X ,,1 =都有0>AX X T ,就称A 正定. 3．问题叙述比较下列用直接法解线性代数方程组的方法.设有线性代数方程组 mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++=+++22112222212111212111或写成矩阵形式⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m n mn m m n n b b b x x x a a a a a a a a a 2121212222111211,简记为 b AX =. 分别用高斯消元法,三角分解法,乔莱斯基分解法,追赶法来对方程b AX =进行求解.4．问题分析该方程组（例）的矩阵系数A 为非奇异矩阵.因此我们可以通过,高斯消元法,三角分解法,乔来斯基分解法,追赶法来进行求解.下面我就对该问题非别使用这几种方法来解决问题.4.1.高斯消元法对方程组m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++=+++221122122212111212111 （1）首先检查1x 的系数,如果1x 的系数12111,,,m a a a 全为零,那么方程组（1）对1x 的系数没有任何限制,1x 就可以任意取,而方程组（1）可看作m x x ,,2 的方程组来解。