理论力学(第7版)第六章 刚体的简单运动
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一. 角速度和角加速度的矢量表示 d 大小：| || |
dt 作用线：沿轴线滑移 角速度矢 方向：指向按右手螺旋法 则，表示刚体转动的方向
取转轴为z轴，它的正向用单位矢 k表示 k
其 中是 角 速 度 的 代 数 值 。
d d 同理： k k dt dt
a r sin R an v sin90o v r 2
22
例6-1 已知：刚体绕定轴转动，已知转轴通过坐标原点O,角速 πt πt 度矢为 5sin i 5cos j 5 3k 。 2 2 求：t =1s时,刚体上点M（0，2，3）的速度矢及 加速度矢。 解：
角速度 与转速 的关系为： n
2n n n (rad/s ) 60 30 10
9
7-2 刚体绕定轴的转动
2、匀变速转动: =常数
0 t 常用公式： 1 0 t t 2 2
与点的运动相类似。
10
[思考题：P167 6-1，6-2，6-6]
第六章 刚体的简单运动
6-1 刚体的平行移动 刚体有两种简单的运动： 1）刚体的平行移动 2）刚体的定轴转动
一.刚体平动的定义: 刚体内任一直线，在运动过程中始终平 行于初始位置。 当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同； 在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。
2
3
6-1 刚体的平行移动
同理: a A a B
即:平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。 4
6-2 刚体绕定轴的转动
一.刚体定轴转动
——刚体上(或其扩展部分)两点保持不动的运动。 特点:有一条通过这两固定点的不动的直线称为转轴,其余 各点都在垂直于转轴的平面上做圆周运动。 ---转角, 单位
rad
固定 平面
M
转轴
11
6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
一.线速度v和角速度之间的关系
以固定点O’为弧坐标S的原点,按 角的正向规定弧坐标S的正向,
s R
dS d 两边求导 R dt dt
v R
方向：沿圆周的切线，指向转动的一方。
12
二.角加速度与an ,a 的关系
1、切向加速度： a dv d (R) dt dt d a R R dt 方位：沿圆周切线 指向：由角加速度的符号决定
当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同； 在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。 线段AB在运动中的方向和大小始终不变。 证：
BA 是 恒 矢 量 。
由A,B 两点的运动方程式:
rA rA( t),rB rB (t)
而rA rB BA
drA d drB vA ( rB BA) vB dt dt dt
21
2、绕定轴转动刚体上M点的速度和加速度
大 小: r sin R v 速 度: v r 方向：矢积方向
dv d d dr 加速度 a : r r dt dt dt dt
r v
a an
13
三、速度与加速度分布图
| a全 || an a | an a
2 2
a R R ; tg a 2 2 R n
2 4
结论:
（ 1、每一瞬时 , 一 定 ） ，转动刚体内所有各点的速度、加速 度大小均与这些点到轴线的垂直距离R 成正比。 2、每一瞬时，各点的全加速度方向与各点转动半径夹角 都一致。当 已知，则可绘出各点的加速度。 3、通过轴的直线上各点的加速度按线性分布，该加速度矢端 曲线为过轴心的直线。
n aM 2 vM 1002 25000 2 m/s R 0.4
16
[思考题：P168 6-5,6-7 ]
17
7-4
轮系的传动比
一.齿轮传动 1、内啮合
因为作纯滚动(没有相对滑动)
1 R1 2 R2 1 R2 2 R1 齿轮传动比：
——主动轮和从动轮的角速度的比值。
19
7-4
轮系的传动比
二. 带轮传动
前提：1）不考虑胶带的厚度 2）胶带与带轮间无相对滑动。
v A vB
1 r1 2 r2
皮带轮传动比 ：
i 12
1 r2 2 r1
两轮的角速度与其半径成反比。
20
7-5 以矢量表示角速度与角加速度 以矢积表示点的速度与加速度
解：1） a R a M sin a M sin 40 sin30 50 rad/s2 R 0.4 1 2 0 0, 0 t t 25t 2 2
转动方程 25t 2
2） 50t v M R 20t 100m / s
14
7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
四、例题
[例1]试画出图中刚体上Ｍ¸ 两点在图示位置时的 Ｎ 速度加速度。
15
[例2]
已知：圆轮O由静止开始作等加速转动，OM＝0.4m， 在某瞬时测得 a M 40 m/s2 , 30
求： 1）转动方程; 2）t＝5s时，Ｍ点的速度和 向心加速度的大小。
如 果与同 号 ， 则 是 加 速 转 动 ； 如 果与异 号 ， 则 是 减 速 转 动 。
8
7-2 刚体绕定轴的转动
讨论两种特殊情况:
1、匀速转动： =常数
d 常量 两 边 积 分 0 t dt
转速——工程中反映转动快慢的常用单位（每分钟转数n）
n = 转/分(r / min)
10 3i 15 j 10k d a r v r v dt 15 π 75 3 i 200 j 75k 2
23
第6章
刚体的简单运动
第6章结束
O’
动平面
5
6-2 刚体绕定轴的转动
二.转角和转动方程
---转角, 单位rad (代数量 ) 转轴
O’
f (t ) ——转动方程
方向规定: 从z 轴正向看去,
逆时针为正 顺时针为负
固定 平面
M
动平面
6
7-1 刚体的平行移动
CD作平动 ,OB作定轴转动
AB、凸轮均作平动
7
7-2 刚体绕定轴的转动
三.定轴转动的角速度和角加速度
d f ' (t ) (代数量 ) 1.角速度：定义: dt 角速度表征刚体转动的快慢和方向。 单位 rad/s
方向规定: 从z 轴正向看去: 逆时针为正 顺时针为负
2.角加速度:
d d 2 f (t ) (代数量) 2 dt dt 角加速度表征角速度变化的快慢。单位:rad/s2
i 12
啮合条件：v A
vB
v A vB
1 R2 Z2 2 R1 Z1
18
7-4
轮系的传动比
2.外啮合
当各轮规定有正向时，角 速度 取代数值，传动比也 取代数值。
i 12
1 R2 Z2 2 R1 Z1
负号表示主动轮与从动轮转 向Leabharlann Baidu反，为外啮合。正号则为 内啮合。 （一般轮数较少时， 不用正负号表达转动方向。）
如 果与同 号 ， 角 速 度 的 绝 对 值 增 加 ， 刚 体 作 加 速 转 动此 时 点 的 切 向 加 速 度 。
a 与 速 度 的 指 向 相 同 ； 否 则 相 。 v 反
2、法向（向心）加速度：
(R) 2 an R 2 R v2
方向：与速度垂直并指向轴线。
dt 作用线：沿轴线滑移 角速度矢 方向：指向按右手螺旋法 则，表示刚体转动的方向
取转轴为z轴，它的正向用单位矢 k表示 k
其 中是 角 速 度 的 代 数 值 。
d d 同理： k k dt dt
a r sin R an v sin90o v r 2
22
例6-1 已知：刚体绕定轴转动，已知转轴通过坐标原点O,角速 πt πt 度矢为 5sin i 5cos j 5 3k 。 2 2 求：t =1s时,刚体上点M（0，2，3）的速度矢及 加速度矢。 解：
角速度 与转速 的关系为： n
2n n n (rad/s ) 60 30 10
9
7-2 刚体绕定轴的转动
2、匀变速转动: =常数
0 t 常用公式： 1 0 t t 2 2
与点的运动相类似。
10
[思考题：P167 6-1，6-2，6-6]
第六章 刚体的简单运动
6-1 刚体的平行移动 刚体有两种简单的运动： 1）刚体的平行移动 2）刚体的定轴转动
一.刚体平动的定义: 刚体内任一直线，在运动过程中始终平 行于初始位置。 当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同； 在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。
2
3
6-1 刚体的平行移动
同理: a A a B
即:平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。 4
6-2 刚体绕定轴的转动
一.刚体定轴转动
——刚体上(或其扩展部分)两点保持不动的运动。 特点:有一条通过这两固定点的不动的直线称为转轴,其余 各点都在垂直于转轴的平面上做圆周运动。 ---转角, 单位
rad
固定 平面
M
转轴
11
6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
一.线速度v和角速度之间的关系
以固定点O’为弧坐标S的原点,按 角的正向规定弧坐标S的正向,
s R
dS d 两边求导 R dt dt
v R
方向：沿圆周的切线，指向转动的一方。
12
二.角加速度与an ,a 的关系
1、切向加速度： a dv d (R) dt dt d a R R dt 方位：沿圆周切线 指向：由角加速度的符号决定
当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同； 在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。 线段AB在运动中的方向和大小始终不变。 证：
BA 是 恒 矢 量 。
由A,B 两点的运动方程式:
rA rA( t),rB rB (t)
而rA rB BA
drA d drB vA ( rB BA) vB dt dt dt
21
2、绕定轴转动刚体上M点的速度和加速度
大 小: r sin R v 速 度: v r 方向：矢积方向
dv d d dr 加速度 a : r r dt dt dt dt
r v
a an
13
三、速度与加速度分布图
| a全 || an a | an a
2 2
a R R ; tg a 2 2 R n
2 4
结论:
（ 1、每一瞬时 , 一 定 ） ，转动刚体内所有各点的速度、加速 度大小均与这些点到轴线的垂直距离R 成正比。 2、每一瞬时，各点的全加速度方向与各点转动半径夹角 都一致。当 已知，则可绘出各点的加速度。 3、通过轴的直线上各点的加速度按线性分布，该加速度矢端 曲线为过轴心的直线。
n aM 2 vM 1002 25000 2 m/s R 0.4
16
[思考题：P168 6-5,6-7 ]
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7-4
轮系的传动比
一.齿轮传动 1、内啮合
因为作纯滚动(没有相对滑动)
1 R1 2 R2 1 R2 2 R1 齿轮传动比：
——主动轮和从动轮的角速度的比值。
19
7-4
轮系的传动比
二. 带轮传动
前提：1）不考虑胶带的厚度 2）胶带与带轮间无相对滑动。
v A vB
1 r1 2 r2
皮带轮传动比 ：
i 12
1 r2 2 r1
两轮的角速度与其半径成反比。
20
7-5 以矢量表示角速度与角加速度 以矢积表示点的速度与加速度
解：1） a R a M sin a M sin 40 sin30 50 rad/s2 R 0.4 1 2 0 0, 0 t t 25t 2 2
转动方程 25t 2
2） 50t v M R 20t 100m / s
14
7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
四、例题
[例1]试画出图中刚体上Ｍ¸ 两点在图示位置时的 Ｎ 速度加速度。
15
[例2]
已知：圆轮O由静止开始作等加速转动，OM＝0.4m， 在某瞬时测得 a M 40 m/s2 , 30
求： 1）转动方程; 2）t＝5s时，Ｍ点的速度和 向心加速度的大小。
如 果与同 号 ， 则 是 加 速 转 动 ； 如 果与异 号 ， 则 是 减 速 转 动 。
8
7-2 刚体绕定轴的转动
讨论两种特殊情况:
1、匀速转动： =常数
d 常量 两 边 积 分 0 t dt
转速——工程中反映转动快慢的常用单位（每分钟转数n）
n = 转/分(r / min)
10 3i 15 j 10k d a r v r v dt 15 π 75 3 i 200 j 75k 2
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第6章
刚体的简单运动
第6章结束
O’
动平面
5
6-2 刚体绕定轴的转动
二.转角和转动方程
---转角, 单位rad (代数量 ) 转轴
O’
f (t ) ——转动方程
方向规定: 从z 轴正向看去,
逆时针为正 顺时针为负
固定 平面
M
动平面
6
7-1 刚体的平行移动
CD作平动 ,OB作定轴转动
AB、凸轮均作平动
7
7-2 刚体绕定轴的转动
三.定轴转动的角速度和角加速度
d f ' (t ) (代数量 ) 1.角速度：定义: dt 角速度表征刚体转动的快慢和方向。 单位 rad/s
方向规定: 从z 轴正向看去: 逆时针为正 顺时针为负
2.角加速度:
d d 2 f (t ) (代数量) 2 dt dt 角加速度表征角速度变化的快慢。单位:rad/s2
i 12
啮合条件：v A
vB
v A vB
1 R2 Z2 2 R1 Z1
18
7-4
轮系的传动比
2.外啮合
当各轮规定有正向时，角 速度 取代数值，传动比也 取代数值。
i 12
1 R2 Z2 2 R1 Z1
负号表示主动轮与从动轮转 向Leabharlann Baidu反，为外啮合。正号则为 内啮合。 （一般轮数较少时， 不用正负号表达转动方向。）
如 果与同 号 ， 角 速 度 的 绝 对 值 增 加 ， 刚 体 作 加 速 转 动此 时 点 的 切 向 加 速 度 。
a 与 速 度 的 指 向 相 同 ； 否 则 相 。 v 反
2、法向（向心）加速度：
(R) 2 an R 2 R v2
方向：与速度垂直并指向轴线。