大学物理第二版中国矿业大学出版社精编

1.1有一质点沿着x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为23

4.52x t t =-，试求：⑴ 第2秒内的平均速度⑵ 第

2

秒

末

的

瞬

时

速

度

⑶

第

2

秒

内

的

路

程

。

解：⑴ 当1t s =时，1 2.5x m = 当2t s =时，218162x m =-=平均速度为

()212 2.50.5m v x x =-=-=-⑵第2秒末的瞬时速度()22966m s t dx

v t t dt

==

=-=-⑶ 第2秒内

的路程：（在此问题中必须注意有往回走的现象）当 1.5t s =时，速度0v =，2 3.375x m =;当1t s =时，

1 2.5x m = ;当2t s =时，32x m =;所以路程为：3.375 2.5 3.375

2 2.25m -+-=

1.8一艘正在沿直线行驶的电船，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，即dv/dt=-k v ∧2,

试证明电艇在关闭发动机后又行驶x 距离时的速度为v=v0e ∧-kx 式中，v0是关闭发动机后的速度。 证明：由题可知：

2dv dx kv kv dt dt =-=- 所以有： d v k v d x

=- 变换为： dv

kdx v

=- 两边同时积分就可得到：00v

x v dv kdx v =-⎰⎰ 0ln v

v v kx =-即0

ln v kx v =- 所以有0k x v v e -=

1.9迫击炮射击山顶上的一个目标，已知初速度为v0，抛射角为⊙,上坡与水平面成a 角，求炮弹的射

程及到达山坡时的速度。 解：

炮弹的运动轨迹如上图的虚线所示，如图建立坐标

轴,x y 。将初速度0v 沿坐标轴分解可得0000cos sin x y

v v v v θ

θ=⎧⎨=⎩ ⑴ 加速度g 沿坐标

轴分解可得 s i n c o s x y a g a g αα=-⎧⎨=-⎩ ⑵ 在任意时刻t 的速度为 0000cos sin sin cos x x x y y y v v a t v gt v v a t v gt θα

θα

=+=-⎧⎨

=+=-⎩⑶任意时刻t 的位移为 22002200

11cos sin 22

11sin cos 22

x x y y x v t a t v t gt y v t a t v t gt θαθα⎧

=+=-⎪⎪⎨⎪=+=-⎪⎩⑷ ⑴ 炮弹射程为

0y =时，所对应的x 。 0

y =对

应

的

时

刻

02sin cos v t g θ

α

=

，代入可

得

()()

220022

2sin cos cos sin sin 2sin cos cos cos v v x g g θθαθαθθααα

-+== ⑵ 将02sin cos v t g θ

α

=

代入方程组⑶可得

速度的大小为

v =

方向可以由 t a n 2t a n c o t

y x

v v βαθ=

=-

()arctan 2tan cot βαθ=- 1.14一质点沿半径为0.1（m ）的圆周运动，其角坐标⊙可用下式来表示：⊙=2+4t ∧3 请问：（1）当t=2(s)时，法向加速度和切向加速度各是多少（2）当⊙角等于多少时，其总加速度与半径成45°角。

解：3

24rad t θ=+，角速度为212rad s d t dt

θ

ϖ== 角加速度为224

r a d s t β= ⑴ 当2s t =时，2

48rad β=

⑵ 在t 时刻，法向加速度与切向加速度分别为

总加速度与半径夹角为45时，n a a τ= 可得 3

1

0.1676

t =

≈，即 2.167rad θ= 2.1 质量为2kg 的质点的运动方程为()()

22ˆˆ61331r t i t t j =++++，求证质点受恒力而运动，并求力

的方向和大小，采用国际单位制。

解：质点的运动方程为()(

)

22ˆˆ61331r t i t t j =++++，

那么通过对上式两边求导，便可得到速度()ˆˆ1263v t i t j

=++ 加速度为：ˆˆ126a i

j =+ 因此质点所受的力为ˆˆ2412N F m a i j ==+ 2.2 质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，质点的运动方程为ˆˆcos sin r a t i

b t j ϖϖ=+，,,a b ϖ为正常数，⑴ 求质点的动量；⑵ 证明作用于质点的合力总指向原点。

解：⑴ 由质点的运动方程可得质点的速度为：ˆˆsin cos v a t i b t j ϖϖϖϖ=-+ 质点的动量为：ˆˆs i n c o s p m v m a t i m b t j ϖ

ϖϖϖ==-+ ⑵ 质点的加速度为：22ˆˆcos sin a a t i

b t j ϖϖϖϖ=-- 作用于质点的合力为：

()

2222ˆˆcos sin ˆˆcos sin F ma m a t i m b t j

m a t i b t j m r

ϖϖϖϖϖϖϖϖ==--=-+=-