数学归纳法(北师大版选修-)

相当于使所有骨牌倒下的第2个条件 完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜
想对于所有的正整数n都是成立的。
例2 证明：
递推基础
12 22 32 42 L n2 n (n 1) (2n 1) (n N*). 6
证明 ①当n=1时，左边＝1 ＝右边,等式显然成立。
②假12设 2当2 n3=2 k时42 等L 式 k成2 立k ，(k 即1) (2k 1)
那么 ak1 ak d [a1 (k 1)d ] d
a1 [(k 1) 1]d
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
由（1）和（2），可知等式对任何 n N 都成立
上述结论是容易理解的：根据（1），n 1 时等式成立，再根据（2），n 11 2时等式 也成立。由于n 2时等式成立，再根据（2）， n 2 1 3时等式也成立，这样递推下去，就 知道n 4，5，6， 时等式都成立，即等式对任
公差为d的等差数列的前n项和公式.具体详解请同学
们∴看由本①节、教②材可例知1. 对任何n∈N*时，等式都成立
数学建构
类比多米诺骨牌游戏证明情境1中的猜想
12 22 32 42 L n2 n (n 1) (2n 1) .
的步骤为：
6
(1)证明当n=1时猜想成立 相当于第一张牌能倒下
(2)证明若当n=k时命题成立，则n=k+1时命 题也成立.
何n N 都成立。
点评：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要 注意三句话：
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉 。
练习2.（1） 用数学归纳法证明：
1 2 3 4 L n 1 n(n 1)(n N*). 2
证明 ①当n=1时，左边＝1 ＝右边,等式显然成立。
②假设当n1=k2时 3等L式成k 立1 k，(k即1)
可知不论有多少块骨牌， 都能全部倒下。
知对任意的正整数n，猜 想 都成立。
数学归纳法的概念：
定义：对于某些与正整数n有关的命题常 常采用下面的方法来证明它的正确性： 1.先证明当n取第一个值n0 (n0 N*)时命题成立 (归纳奠基） ； 2.然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，
证明当n=k+1时命题也成立(归纳递推）。 这种证明方法就叫做___数__学_归__纳__法____。
课题引入
观察数列{an },已知a1
1 a2 2 ,
a3
1 3
,
1, an1
1 a4 4 ,
an 1 an
,
猜
想
归
Leabharlann Baidu
纳
通
项
公
式: an
有
推
1如 何 通 过
限个步骤的
理n， 证 明 n
取所有正整数
不完全归
都成立？
纳法
先从多米诺骨牌游戏说起
多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨 制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌 按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨 牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次 倒下。
(1) n＝1时，左边=1，右边=1，等式成立；
(2)假设n＝k时，等式成立，即
1+3+5+…+(2k-1)＝k2 需要证明的式子是?
那么当n＝k+1时，
1+3+5+…+(2k-1)+（2k+1）
＝k2+（2k+1）＝（k+1）2
同样这的就方是法，说我，们当可n以=k用+1数时学，归等纳式法也证明成首立项为a1，
n+1
=
an 1+a
n
(n
N *),
多米诺骨牌游戏的原理
an
1 n
这个猜想的证明方法
（1）第一块骨牌倒下。（1）当n=1时猜想成立。
（2）若当n=k时猜想成立，
（则相2）邻若的第第kk块+倒1块下也时倒，下。即也成a立k ，1k即，则ak当1 n=kk1+11时。猜想
根据（1）和 （2）， 根据（1）和（2），可
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下 一定导致后一块倒下。 （依据）
条件（2）事实上给出了一个递推关系：当 第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。
1
思考：你认为证明数列的通项公式 an n 是 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你 能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
已知数列
a
n
,a1
=1,a
多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。 一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要 一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志 力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。
思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒 下的条件是什么？
只要满足以下两个条件，所有多米诺骨 牌就能全部倒下：
（1）第一块骨牌倒下；（基础）
第一章 推理与证明 §4 数学归纳法
举例说明：
一个数列的通项公式是：
an= (n2－5n+5)2 请算出a1=1，a2= 1，a3=1 ，a4= 1
猜测an＝? 猜测是否正确呢？
对一切n N ，都有an (n2 5n 5)2 1
由于a5＝25 ≠1，所以猜测是不正确的
所以由归纳法得到的结论不一定可靠
验证n=n0时 命题成立
归纳奠基
若n=k(k≥n0)时命题成立, 证明n=k+1时命题也成立.
归纳递推
命题对从n0开始所有 的正整数n都成立
例1、用数学归纳法证明：当n k 1时，需要证明的式子是： 1 3 5 (2k 1) (2k 1) (k 1)2
1+3+5+…+(2n-1)＝n2
6
12 22 32 42 L k 2 (k 1)2
那么,当n=k+1时，有 k (k 1) (2k 1) (k 1)2
6
递推依据
(k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1] 6
这就是说，当n=k+1时,等式也成立。 目标根：12据 2①2 和32②，42 可L知对k 2任 (何k n1)2N*等(k式1都)[(成k 立1)。61][2(k 1) 1]
练习1如果 {an }是等差数列，已知首项为 a1 公差为 d ，那么 an a1 (n 1)d
对一切n N 都成立 试用数学归纳法证明
证明：（1）当n=1时，左边 a1 , 右边 a1 0 d a1,
等式是成立的
（2）假设当n=k时等式成立，就是 ak a1 (k 1)d,
2
1 2 3 L k (k 1)
那么,当n=k+1时，有
1 k(k 1) (k 1)
2
1 (k 1)[(k 1) 1] 2
这就是说，当n=k+1时,等式也成立。 根据①和②，可知对任何nN*等式都成立。