2018年初三数学中考模型之费马点问题含答案 学习文档

费马点的问题

定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：

1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；

2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。我们称这一结果为最短路线原理。

性质：费马点有如下主要性质：

1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

3．费马点为三角形中能量最低点。

°，所以费马点是三力平衡的点。三力平衡时三力夹角皆为1204．

ABH是等边三角形。例1：已知：△GA+GB+GH最小求证：G是其重心。△ABH是等边三角形。证明：∵

BGH=120°。∠AGB=∠∴∠AGH=

DBH. HB为边向右上方作等边三角形△以

GHP. 为边向右上方作等边三角形△以HG

AH=BH=AB=12.

∵

. °, ∠HGP=60 ∠AGH=120°∴三点一线。G、P A、∴两点。再连PD

. °∠GHB=30GHP和△BDH都是等边三角形, ∵△ABH、△

,.

°∠PHD=30∴

中和△HPD 在△HGB

HG=HP

∵PHD；∠GHB=∠

HB=HD；

（SAS）∴△HGB≌△HPD；

°；HPD=∠HGB=120 ∴∠

.

°∠HPG=60 ∵

三点一线。、D G、P ∴

且同在一条直线上。AG=GP=PD, ∴

GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD.

∵

G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。也就是重心。∴

°。BGC=120∠AGB=∠2：已知：△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。∠AGC=例最小求证：GA+GB+GC ；HGBBGC证明：将△逆时针旋转60°，连GP,DB.则△≌△HPDPCD. GCB=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠∠∴CPD=∠, GCP=60°∠∵

,

∠BCD=60°∴

都是等边三角形。和△△GCPBCD ∴

. CGP=60°∠∠∵AGC=120°,

三点一线。PGA ∴、、页 1 第

∵∠CPD=120°, ∠CPG=60°.

∴G、P、D三点一线。

∴AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。

∵GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.

∴G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。

但它不同于等边三角形的费马点是重心。

例3：已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。

求证：GA+GB+GC最小

证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则△CGB≌△CPD；

∴∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.

∵∠GCP=60°,

∴∠BCD=60°,

∴△GCP和△BCD都是等边三角形。

∵∠AGC=120°, ∠CGP=60°.

三点一线。、P A、G∴

. °∠CPG=60 ∠CPD=120°, ∵

三点一线。、D G、P∴

三条线段同在一条直线上。、PD AG、GP∴

GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.

∵一哪小的G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最∴

点，费马点。但它不同于等边三角形的费马点是重心。PCPB?t?PA??ABC P. 的取值范围是边长为1的等边（费马点问题）如图，内的任意一点，求''C?BPC?BP'?BBPP从而为等边三角形

60解：Part1:将°得到.绕点，易知顺时针旋转3?t'ACC'??PP'?P'PA?PB?PC?PA（两点之间线段最短）. ，从而AM?MN?ANAB、ACM、NBC P.

于点作的平行线分别交Part2:过，易知CNN?P?PNCC?P BM?PBMP??BMP①，中，因为在

和②。AMN?ANM??APM??AM?PA +③可得①+又②③. ，所以

2t?3?PC2PB?t?PA?t?.

即综上，的取值范围为.“费马点”与中考试题

——费马点费尔马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一．的三角形，费120°就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费尔马的结论：对于一个各角不超过的三角形，费马点就是这个内角的顶点．120°的点，对于有一个角超过120°马点是对各边的张角都是ABC△最小？这就是所谓的费尔PCPB+三个顶点的距离之和PA下面简单说明如何找点P使它到+ 马问题．

1

图

．′′，连接PPC°A1：如图，把△APC绕点逆时针旋转60得到△AP′解析PC，=CP′=为等边三角形，APP则△′AP PP，′′页 2 第

所以PA+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′．

点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．

这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，

∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，

∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°

△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°因此，当，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．

费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．

本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考．

本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考．

例1 （2019年广东中考题）已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值2?6，求此正方形的边长．为

图2图3

△ABC三个顶点的距离之和，这实际C三点的距离之和就是到到A、B、，发现点分析：连接AC E是费尔马问题的变形，只是背景不同．

解如图2，连接AC，把△AEC绕点C顺时针旋转60°，得到△GFC，连接EF、BG、A G，