梁的极限荷载

梁的极限荷载

梁在横向力作用下，除了产生弯矩外，通常还产生剪力。一般来说，剪力对梁的极限荷载影响很小，可忽略不计。故，考虑梁的极限荷载前面的分析结果仍然有效。

一、静定梁的极限荷载

图（a ）

图（b ）

图（c ）

L/2 L/2

图示矩形等截面简支梁，跨中受由零逐渐增加的集中荷载P 作用。在加载初期，梁的各截面均处于弹性阶段，随着荷载的增加，跨中截面的最外侧纤维先达到屈服极限σy ，该截面的弯矩达到M y ，弹性阶段结束。此时的荷载称为弹性极限荷载P y 。 由静力平衡条件可得：

4L

P M y y = ，于是，L M P y

y 4=

当荷载继续增加时，中间截面的塑性范围逐渐加大，最后达到极限弯矩M u ，形成塑性铰而使结构成为机构。此时，位移可任意增大，而承载力却不能增大，即，荷载达到极限P u 而使结构处于极限状态。

由静力平衡条件，

4L P M u u = ，于是，L

M P u u 4= 如图（b ）所示。 极限荷载P u 与弹性极限荷载（屈服极限）P y 的比值：

5.1===αy

u y u M M P P

二、超静定梁的极限荷载

超静定梁有多余约束，故在出现多个塑性铰后才丧失承载力。

例1．

图示两端固定的等截面梁AB ，其正、负弯矩的极限值都是M u ，均布荷载q 逐渐增加。求极限荷载q u ，并分析荷载q 与跨中截面C 的竖向位移ΔCV 之间的关系。

q

图（a ） L/2 L/2

①当梁处于弹性状态时的弯矩图如下

qL 2/12 qL 2/12

图（b ）

qL 2/24

②当q 逐渐增大时，A 、B 两处的弯矩先同时达到极限M u ，此时，A 、B 、C 三处的弯矩关系仍然保持。

M u M u

图（c ）

M u /2

③当q 逐渐增大至q 1时，A 、B 两处的弯矩同时达到极限M u ，A 、B 截面已成为塑性铰， M u 不变，梁已经变为简支。此时刻梁的受力认为是两端作用M u ，承受均布荷载q 1 的简支梁，如下图。

M u M u

q 1L/8

图（d ）

由于②、③两个弯矩图是一致的，故，中点的弯矩为8

2

1L q u M -=2u M ， 从而得：2

112L M q u = 由于此时刻的梁已可看作简支梁，故，求中点C 的竖向位移，可作如下的M 图

图（e ）

图（d ）和图（e ）图乘就是要求的ΔCV

ΔCV =24212485223321⨯⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯L L M L L M EI u u =EI L M u 322 ④当荷载继续增加时，C 截面的弯矩不断增大，直至达到M u ，设此时的荷载为q 2 。梁A 、

B 、

C 三截面均已是塑性铰，梁变为机构。q 2=q u

M u M u

图（f ）

M u

由平衡条件，中点的弯矩为8

2

2L q u M -=u M 从而得：2

216L M q u = 图（f ）与图（e ）图乘得Δ

CV ΔCV =28248522321⨯⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯⨯⨯⨯L L M L L M EI u u =EI L M u 122 q

16

(M u /L 2 ) 截面C 出现塑性铰

12 截面A 、B 出现塑性铰

ΔCV

0.031 0.083 (M u L 2/EI)

q 与ΔCV 之间的非线性关系

例2．

图示一端固定、一端铰支的等截面梁AB ，其正、负弯矩的极限值都是M u ，均布荷载q 逐渐增加。求极限荷载q u 。

L

解：①当荷载q ≤q y 时，梁处于弹性阶段，作出如下的弯矩图，并求得最大正弯矩发生在离

B 端83L 处，M max =22

.142

qL

②随着荷载的增加，A 截面首先出现塑性铰。若荷载的继续增加，梁变为简支梁。增加的荷载由简支梁承担。

③由于增加的荷载由简支梁承担，最大正弯矩的位置将发生变化。设第二个塑性铰的位置距离B 端x 处

A

由平衡条件可得：M x =M u =22

12x q x L M x L q u u u -- ----------------------（1） 由于塑性铰首先在最大弯矩处发生，故，由

=dx dM x x q L M L q u u u --2=0 得：()

x L L M q u u 22-= -------------------（2） 把（2）式代入（1）式，

M u =2212x q x L M x L q u u u --=()

222212x x L L M x L M x L x M u u u ---- 整理得：0222=-+L Lx x

解得：()L L x 4142.012=-=

把x 代入（2）式得：266.11L M q u u =

1）只要预先判定超静定梁的破坏机构，就可根据该破坏机构应用静力平衡条件确定

极限荷载，而不必考虑梁的弹塑性变形的发展过程。----------称为极限平衡法

（2）温度变化、支座移动等因素对超静定梁的极限荷载没有影响。因为超静定梁变为

机构之前，先变为静定结构。

例3．

求图示变截面梁的极限荷载P u 。已知，AB 段截面的极限弯矩为M u ′，BC 段截面的极限弯

矩为M u 。

a b c

解：对变截面梁来讲，由于AB 、BC 段截面的极限弯矩不同，塑性铰不仅可能出现在A 、D 处，也可能出现在变截面B 处。 M A

①截面B 、D 出现塑性铰

破坏机构如下图。设D 处的竖向位移为ΔD

机构图 弯矩图

B 和D 处的弯矩都是M u ，截面A 的弯矩M A 易用比例关系求得：

u A M b a M ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=12 条件是≥'u

M u M b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12，否则A 截面产发生塑性铰，上述机构不成立。 由虚功原理：D u B u D u M M P θθ⋅+⋅=∆⋅

其中，b D B ∆=θ ，c

b D D D ∆+∆=θ 代入上式得： u u M b

c c b P ⋅⎪⎭

⎫

⎝⎛+=2