初一数学平方差公式专题提高训练资料讲解
第八章第三节完全平方公式与平方差公式专题练习(附答案及解析)
第八章第三节完全平方公式与平方差公式专题练习p1-7一、选择题(本大题共24小题，共72.0分)1. 如果x 2-（m-1）x+1是一个完全平方式，则m的值为（）A. -1B. 1C. -1或3D. 1或32. 计算（x+3）•（x-3）正确的是（）A. x 2+9B. 2xC. x 2-9D. x 2-63. 如果4x 2-kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（）A. 10B. ±10C. 20D. ±204. 下列各式中可以运用平方差公式的有（）①（-1+2x）（-1-2x）②（ab-2b）（-ab-2b）③（-1-2x）（1+2x）④（x 2-y）（y 2+x）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 已知a+b=3，则a 2-b 2+6b的值为（）A. 6B. 9C. 12D. 156. 如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下的部分剪开后拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为（）A. B.C. D.7. 已知x+ =7，则x 2+ 的值为（）A. 51B. 49C. 47D. 458. 若等式（x-4）2=x 2-8x+m 2成立，则m的值是（）A. 16B. 4C. -4D. 4或-49. 下列各式，能用平方差公式计算的是（）A. （a-1）（a+1）B. （a-3）（-a+3）C. （a+2b）（2a-b）D. （-a-3）210. 若x 2＋2(m－3)x＋16是完全平方式，则m的值是( )A. －1B. 7C. 7或－1D. 5或111. 下列各式中，能用平方差公式计算的有（）①（a﹣2b）（﹣a+2b）；②（a﹣2b）（﹣a﹣2b）；③（a﹣2b）（a+2b）；④（a﹣2b）（2a+b）．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12. 下列各式中，能用平方差公式计算的有（）①（a﹣2b）（﹣a+2b）；②（a﹣2b）（﹣a﹣2b）；③（a﹣2b）（a+2b）；④（a﹣2b）（2a+b）．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13. 下列计算正确的是（）A. （﹣x﹣y）2=﹣x 2﹣2xy﹣y2B. （4x+1）2=16x 2+8x+1C. （2x﹣3）2=4x 2+12x﹣9D. （a+2b）2=a 2+2ab+4b214. 下列计算正确的是（）A. （﹣x﹣y）2=﹣x 2﹣2xy﹣y 2B. （4x+1）2=16x 2+8x+1C. （2x﹣3）2=4x 2+12x﹣9D. （a+2b）2=a 2+2ab+4b 215. 下列各式是完全平方式的是（）A. B. C. D.16. 在多项式x 2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是（）A. xB. 3xC. 6xD. 9x17. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A. （2x-y）（2x+y）B. （-x+y）（x-y）C. （b-a）（b+a）D. （x-y）（-y-x）18. 计算（x 4+1）（x 2+1）（x+1）（x-1）的结果是（）A. x 8+1B. x 8-1C. （x+1）8D. （x-1）819. 下列各题中，能用平方差公式的是（）A. （a-2b）（-a+2b）B. （-a-2b）（-a-2b）C. （a-2b）（a+2b）D. （-a-2b）（a+2b）20. 如果多项式x 2+mx+16是一个完全平方式，则m的值是（）A. ±4B. 4C. ±8D. 821. 若x+y=5，x-y=3，则x 2-y 2的值是（）A. 8B. 15C. 2D. 422. 计算（a+2b）2的结果是（）A. a 2+4b 2B. a 2+2ab+2b 2C. a 2+4ab+2b 2D. a 2+4ab+4b 223. 若4a 2-2ka+9是一个完全平方的展开形式，则k的值为（）A. 6B. ±6C. 12D. ±1224. 已知x+y=7，xy=-8，则x 2+y 2=（）A. 49B. 65C. 33D. 57二、填空题(本大题共32小题，共96.0分)25. 若a+b=3，ab=2，则（a-b）2= ______ ．26. 已知2a 2+2b 2=10，a+b=3，则ab= ______ ．27. 若a 2-（b-c）2有一个因式是a+b-c，则另一个因式是a-b+ ______ ．28. 是一个完全平方式，则正整数的值是.29. 若是一个完全平方式，则等于.30. 计算：( x＋2)( x－2)= .如图，E，H，G在正方形的边上，DE交GH于点O，∠GOD=45°，AB=6，GH= ，则DE的长为.31. 如图1所示，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形．这一过程所揭示的乘法公式是______ ．32. 已知a+b=3，ab=2，则a 2+b 2的值为______ ．33. 用四个相同的长方形与一个小正方形无重叠、无缝隙地拼成一个大正方形的图案（如图），则由图形能得出（a-b）2= ______ （化为a、b两数和与积的形式）34. （3a+3b+1）（3a+3b-1）=899，则a+b= ______ ．35. 若x-y=2，xy=4，则x 2+y 2的值为______ ．36. 若x 2-mxy+9y 2是完全平方式，则m=37. 计算：已知：a+b=3，ab=1，则a 2+b 2= ．38. 计算：已知：a+b=3，ab=1，则a 2+b 2= ．39. 若4a 2﹣（k﹣1）a+9是一个关于a的完全平方式，则k= ．40. 如果a 2+ma+9是一个完全平方式,那么m=_________.41. 若9 是完全平方式，那么m=_______.42. 计算：（－1）（+1）= 。
初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b22 23（1（24由（由5（a+b（a－a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
二．例题精选例1．已知x、y满足x2+y2+54=2x+y,求代数式xyx y的值。
例2．整数x,y满足不等式x2+y2+1≤2x+2y,求x+y的值。
例3．同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:•第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b; 乙商场:两次提价的百分率都是2a b+(a>0,•b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,•则哪个商场提价最多?说明理由. 例4．计算:(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1；(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452.例5222()例6例7例8数.12A.x 3A 45(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________。
6．已知a+1a=5,则=4221a a a ++=_____。
7．已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______.8．已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a ba b +-=_____.9．若代数式b x x +-62可化为1)(2--a x ，则b ﹣a 的值是． 10．已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数.证明:(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数. 参考答案： 一．例题精选例1．提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12,原式=13例2．原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x 、y 为整数,(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,•10x -=11x -=±10x -=解得x y =⎧⎨⎩例3例4．(2)设例5． 例6．P ＜Q ；差值法：P -例7．例8因(x 12+x 22+…+x 102)-(y 12+y 22…+y 102)=(x 12-y 12)+(x 22-y 22)+…+(x 102-y 102) =(x 1+y 1)(x 1-y 1)+(x 2+y 2)(x 2-y 2)+…+(x 10+y 10)(x 10-y 10) =9[(x 1+x 2+…+x 10)-(y 1+y 1+…+y 10)]=0二．同步练习9．121)(222-+-=--a ax x a x ，这个代数式于b x x +-62相等，因此对应的系数相等，即﹣2a ＝﹣6，解得a ＝3，b a =-12，将a ＝3代入得b ＝8，因此b ﹣a ＝5． 10．解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又c+b 与c-b 同奇同偶,c+b>c-b,故a•不可能为偶质数2,a应为奇质数,c+b与c-b同奇同偶,b与c必为一奇一偶.(2)c+b=a2,c-b=1,两式相减,得2b=a2-1,于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.。
平方差公式经典25题型
平方差公式经典25题型一、平方差公式基础题型。
1. 计算(a + 3)(a - 3)- 解析：根据平方差公式(x + y)(x - y)=x^2-y^2，这里x = a，y = 3。
- 所以(a + 3)(a - 3)=a^2-3^2=a^2-9。
2. 计算(2x+5)(2x - 5)- 解析：对于(2x+5)(2x - 5)，其中x = 2x，y = 5。
- 根据平方差公式可得(2x)^2-5^2=4x^2-25。
3. 计算(-m + n)(-m - n)- 解析：这里x=-m，y = n。
- 则(-m + n)(-m - n)=(-m)^2-n^2=m^2-n^2。
4. 计算(3a - 2b)(3a+2b)- 解析：令x = 3a，y = 2b。
- 由平方差公式得(3a)^2-(2b)^2=9a^2-4b^2。
5. 计算(x+1)(x - 1)(x^2+1)- 解析：- 先计算(x + 1)(x - 1)，根据平方差公式(x + 1)(x - 1)=x^2-1。
- 再计算(x^2-1)(x^2+1)，这里把x^2看作一个整体，根据平方差公式可得(x^2)^2-1^2=x^4-1。
6. 计算(a + b)(a - b)+(b + c)(b - c)+(c + a)(c - a)- 解析：- 根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，(b + c)(b - c)=b^2-c^2，(c + a)(c - a)=c^2-a^2。
- 则原式=a^2-b^2+b^2-c^2+c^2-a^2=0。
7. 若x + y = 5，x - y=3，求x^2-y^2的值。
- 解析：- 因为x^2-y^2=(x + y)(x - y)。
- 已知x + y = 5，x - y = 3，所以x^2-y^2=5×3 = 15。
8. 计算(2m - 3n)(3n+2m)- 解析：- 可变形为(2m - 3n)(2m+3n)，这里x = 2m，y = 3n。
初中数学专题1.1 巧用平方差公式
1.1 巧用平方差公式我们把公式(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2称为乘法公式中的平方差公式；反过来a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )称之为因式分解中的平方差公式．在一定条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式恒等变形，平方差公式是代数式恒等变形中的重要公式之一，它在数值运算、代数式的化简与求值、不定方程（组）的解法、代数不等式的证明、一元二次方程的解法等方面都有广泛的运用．例1 已知712—1可被40至50之间的一个素数整除，这个素数是( )．A ．41B ．43C ．47D ．49【解】用平方差公式作因式分解：712－1＝(76＋1)(76－1)＝(72＋1) (74－72＋1) (73＋1) (73－1)＝50(74－72＋1)(7＋1)(72－7＋1)(7－1)(72 ＋7＋1)＝43·48·50·57(74－72＋1)，而74－72＋1＝48·49＋1不能被41，49，47整除，故答案选B ．【注】 也可以用立方差公式分解76－1，如果先用立方差公式，那么76－1＝ (72－1)( 74 ＋72＋1)＝48(74＋72＋1)，而74＋72＋1的分解可以通过拆项完成，具体分解知下：74＋72 ＋1＝74＋2·72＋1－72＝(72＋1)2－72＝(72＋7＋1) (72—7＋1).例2已知对任意大于2的正整数n ，n 5－5n 3 ＋4n 都是正整数m 的倍数，求m 的最大值．【解】 n 5 －5n 3＋ 4n ＝n (n 4－5n 2＋4)＝n (n 2－4)(n 2 －1)＝n (n －2)(n ＋2)(n －1)(n ＋1)．因为n (n －2)(n ＋2)(n －1)(n ＋1)是五个连续正整数的乘积，所以它是5 !的倍数，又当n ＝3时，原式＝120，故m 的最大值是120.【注】这里用到了一个数论中的结论：连续的5个正整数的乘积是5!的倍数，事实上，连续的5个正整数中必有1个5的倍数，2个2的倍数（其中一个为4的倍数），1个3的倍数，顺便提一句，也可以利用组合数公式来证明连续n 个正整数的乘积是n ！的倍数，这是因为由!)1()2)(1(n n m m m m C n m +-⋅⋅⋅--=可知连续的n 正整数乘积n m C n n m m m m !)1()2)(1(=+-⋅⋅⋅--，从而结论成立，例3计算:)419)(417)(415)(413)(211()4110)(418)(416)(414)(212(4444444444++++++++++ 【分析】由于括号内的每一个式子代数结构都相同，因此考虑用414+x 来代替，再进行因式分解后找出规律．【解】 因为2222244214141x x x x x x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-++=+ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=212122x x x x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4121412122x x 所以，原式＝⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛41221412194129412741254123222222· 122222241219412174127412541234121-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛ ＝221.例4若a 是非负整数，则a 4 －3a 2＋9是合数还是素数？【解】 由于a 4－3a 2＋9＝(a 2＋3)2－(3a )2＝(a 2－3a ＋3) (a 2＋3a ＋3)，下面对a 讨论：当a ＝0时，原式＝9，是一个合数；当a ＝1时，原式＝7，是一个素数；当a ＝2时，原式＝13，是一个素数；当a ＞2时，因a 2－3a ＋3与a 2 ＋3a ＋3都是大于1的整数，故原式是一个合数．综上所述，当a ＝0或a ＞2时，a 4 －3a 2＋9是合数；当a ＝1或2时，a 4－3a 2 ＋9是素数.【注】在将原式分解成(a 2－3a ＋3)(a 2＋3a ＋3)后，不能轻易下结论说它就是个合数，因为要保证a 2－3a ＋3与a 2＋3a ＋3都大于1才能是合数．通过运用平方差公式进行因式分解的训练，可以使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力得到锻炼与提高，而在条件中能否找出或构造出a 2－b 2的形式，然后用平方差公式进行分解成为解题的关键.例5 求证：若n 是正整数，则存在无穷多个正整数k ，使得n 4＋k 是合数．【证明】 令k ＝4a 4（a 为正整数），则n 4 ＋k ＝n 4＋4a 2n 2＋4a 4－4a 2n 2＝(n 2＋2a 2)2－(2an )2＝ (n 2＋2an ＋2a 2)(n 2－2an ＋2a 2).当a ≥2时，n 2＋ 2an ＋2a 2与n 2－2an ＋2a 2都是大于1的正整数，因为a 有无穷多个，故存在无穷多个k ，使得n 4＋k 是合数，【注】 本题的关键在于构造k ＝4a 4，这用到了本章节例题3的代数形式．例6 对于不超过50的正整数n ，满足：恰有一对非负整数（a ，b ），使得a 2－b 2＝n ，试求满足条件的n 的数目.【解】 由于n ＝(a ＋b )(a －b )，且a ＋b 与a －b 同奇偶，所以n ≠2(mod 4).(1)当n 为奇素数时，仅有一对()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21,21,n n b a 满足条件； (2)当n 为奇合数时，不妨设n ＝uv （u ≥v ＞1，u ，v 为奇数），那么至少有2组非负整数解()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21,21,n n b a 或⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2,2v u v u ，不满足题意，因此奇数中满足题意的共有： 1,3,5,7,11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47共计15个；(3)当4|n 时，如果4n 为合数，至少有2组非负整数解，也不满足题意．因此偶数中满足条件的为4，8，12，20，28，44共6个．综上所述，一共有21个正整数n 满足题意.【注】本题如果一开始直接枚举容易产生错误，约束适当的范围再进行枚举是关键．例7试求关于m ，n 的不定方程m 2－1＝p 2（n 2－1）的所有正整数解，其中p 为素数．【解】 因为(m －1)(m ＋1)＝p 2(n 2－1)，下面按照p 作分类讨论：(1)若p 为奇素数，则p 2| m －1或p 2 | m ＋1．若p 2|m －1，设m ＝kp 2＋1(k 为非负整数），则n 2＝k 2p 2＋2k ＋1，但是k 2p 2＜k 2p 2＋2k ＋1≤(kp ＋1)2从而k ＝0，进而m ＝n ＝1;若p 2|m ＋1，设m ＝kp 2－1(k 为正整数)，则n 2＝k 2p 2－2k ＋1，但是(kp －1)2＜k 2p 2－2k ＋1＜k 2p 2矛盾！(2)若p 为2，则2|m －1，2|m ＋1，设m ＝2k －1(k 为正整数)，那么n 2＝k (k －1)＋1＝k 2－k ＋1但是(k －1)2＜k 2－k ＋1≤k 2，故k ＝1，进而m ＝1，由此可得n ＝1综上所述，m ＝n ＝1【注】 本题的因式分解体现了处理整除时候常见的转成两边均是乘积式的模式，并且利用了两个相邻平方数之间没有平方数这一个性质，通过不等式控制，实现了论证.练习1.11.计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-222201111311211 2.已知：2122+=-b a ，2122-=-c b ，求222222444a c c b b a c b a ---++的值3.证明：存在无穷多个完全平方数，它们无论对怎样的素数p 及怎样的正整数n 、k ，都不能表示成p ＋n 2k 的形式4.证明：对每个正整数n ，均存在正整数m ，使得：()121++=+m m n5.试确定实数a 、b 、c 的值，使得对任何正整数n ，∑-=++-+++=10323231n k ck bk ak ck bk ak n恒成立.练习1.11.原式⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201111201111211211 2011100620112012201120105654454334322321=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 2.因为()()()][21222222222222222444a c c b b a a c c b b a c b a -+-+-=---++，又因为,21,212222-=-+=-c b b a 两式相加得a 2－c 2＝2，从而原式＝()()52212121222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++ 3.若p ＋n 2k ＝m 2，则由平方差公式可得(m －n k )(m ＋n k )＝p ，由于p 为质数，则必有⎩⎨⎧=+=-pn m n m k k 1，从而p ＝2n k ＋1，m ＝n k ＋1。
专题03 平方差公式五种压轴题型全攻略(解析版) 四川成都七年级数学下册-
专题03平方差公式五种压轴题型全攻略【知识点梳理】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。
注：①字母a、b仅是一个代数式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。
②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。
特别需要注意“-”的处理。
类型一、公式的变形与逆运用∵0m >，∴9m =，即229a b +=，故答案为：9．【点睛】此题考查了根据平方差公式求解，解题的关键是熟练掌握平方差公式：()()22a b a b a b +-=-．【变式训练2】．(m+n+p+q)(m-n-p-q)＝()2-()2．【答案】mn+p+q【详解】(m+n+p+q)(m-n-p-q)=[m+(n+p+q)][m-(n+p+q)]=()22m n p q -++，故答案为(1)m ，(2)n+p+q.点睛：本题主要考查了平方差公式，平方差公式是两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，多项式与多项相乘时，要注意观察能否将其中符号相同的项结合成为一项后，再运用平方差公式运算.【变式训练3】．计算：(2x+y-3)(2x-y+3).【答案】22469x y y -+-【详解】解：原式()()2323x y x y ⎡⎤⎡⎤=+-⋅--⎣⎦⎣⎦()()2223x y =--()22469x y y =--+22469x y y =-+-类型二、简便运算例．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图，在边长为m的正方形纸片中剪去一个边长m n>，把剩余的部分拼成一个长方形纸片．为n的小正方形纸片()②计算：2211(1)(1)23-⨯-【答案】(1)C (2)①15；②10122023【分析】（1）分别表示出两幅图阴影部分的面积，(1)若图1中的阴影部分面积为22a b -；则图2中的阴影部分面积为______．（用含字母a 的代数式且不同于图1的方式表示）(2)由（1）你可以得到等式______．(3)根据你所得到的等式解决下面的问题：计算：①2267.7532.25-；②()()22a b c a b c +---．()()67.7532.2567.7532.25=+-10035.5=⨯3550=．②()()22a b c a b c +---()()22a c b a c b =-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()222a c b =--22224a ac c b =-+-．【点睛】本题考查的是平方差公式的几何背景，掌握()()22a b a b a b -=+-是解题的关键．【变式训练2】．乘法公式的探究及应用．(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是______；(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个梯形．通过计算图1、图2阴影部分的面积，可以得到一个乘法公式，运用你所得到的公式．．．．．．．．．，计算下列各题：①10.39.7⨯；②m n p m n p +--+（）（）．【答案】(1)22a b -；(2)99.91,2222m n np p -+-【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出；（2）比较图1、图2中阴影部分的面积，可以得到公式：()()22a b a b a b -=+-，利用平方差公式就可方便简单的计算．【详解】（1）；解：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积22a b =-；故答案为：22a b -；（2）解：根据图1、图2的面积，可以得出()()22a b a b a b -=+-，①原式()()100.3100.3=+⨯-22100.3-＝1000.09=-99.91=；②原式()()m n p m n p ⎡⎤⎡⎤=+-⨯--⎣⎦⎣⎦()22m n p =--2222m n np p =-+-.【点睛】本题考查了整式的乘法公式，其中涉及到平方差公式的推导，结合题干中的条件，利用图形的面积相等，得出平方差公式，然后再进行计算即可，计算时要细心.(1)上述操作能验证的等式是（A ．()()22a b a b a b -=+-；B (2)请应用（1）中的等式完成下列各题：①己知2291628a b -=，34a b +【详解】解：（1）根据题意得：68212482424⨯-⨯=-=，故答案为：24；（2）是，这个定值是35．理由如下：设十字星中心的数为x ，则十字星左右两数分别为1x -，1x +，上下两数分别为6x -，6x +，十字差为：()()()()22116613635x x x x x x -+--+=--+=．故不同位置十字星的“十字差”是一个定值，这个定值为35；(3)定值为21k -，证明如下：设设十字星中心的数为y ，则十字星左右两数分别为1y -，1y +，上下两数分别为y k -，(3)y k k +≥，十字差为：()()()()22221111y y y k y k y y k k -+--+=--+=-，故这个定值为21k -．【点睛】此题考查了整式运算的实际应用，正确理解题意以及熟练掌握运算法则是解本题的关键．类型五、多次运用平方差公式(1)图1中图形的面积为22a b-，图2中图形的面积为示）。
平方差公式与完全平方公式提高训练
平方差公式与完全平方公式提高训练一、平方差公式x_1x_2=c/ax_1+x_2=-b/a其中，a、b、c为方程的系数。
平方差公式可以帮助我们在解二次方程时，通过已知的一根求出另一根。
它的推导基于第二个根是解得方程ax^2+bx+c=0的一个根，记为x_2、那么我们可以将二次方程表示为(x-x_2)(x-x_1)=0，展开：x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0。
比较系数即可得到平方差公式。
举例来说，假设有一个二次方程x^2-5x+6=0，我们可以使用平方差公式来解题。
根据平方差公式，我们可以得到：x_1x_2=6/1=6x_1+x_2=-(-5)/1=5因此，方程的两个根分别为2和3二、完全平方公式完全平方公式是指对于一个一次方程x^2+2ax+a^2=b，可以转变为(x+a)^2=b的形式。
完全平方公式可以帮助我们在解一次方程时，简化计算。
它的推导基于二次方程与一次方程的关系：对于一个二次方程ax^2+bx+c=0，如果它有两个相等的根x_1=x_2=x，那么x也是对应的一次方程bx+c=0的一个解。
举例来说，假设有一个一次方程x^2+6x+9=25，我们可以使用完全平方公式来解题。
根据完全平方公式，我们可以得到：(x+3)^2=25因此，方程的解为x=-3±√25总结：平方差公式和完全平方公式是高中数学中非常基础和重要的概念，它们在解二次方程和一次方程时非常有用。
通过掌握和熟练应用这两个公式，我们可以简化计算，提高解题效率。
因此，在数学学习中，我们要加强对这两个公式的理解和应用。
平方差公式和完全平方公式强化训练变式精品
平方差公式和完全平方公式强化训练变式精品在平方差公式中，对两个数进行平方并相减，可以得到一个差的平方。
这个公式可以通过一些变化来扩展其应用范围。
变式1：三数之差的平方给定三个数a、b和c，求(a-b)^2-c^2的值。
解法：首先，根据平方差公式，有(a - b)^2 - c^2 = (a - b +c)(a - b - c)。
然后，可以将这个式子展开得到(a - b)^2 - c^2 =(a^2 + b^2 - 2ab) - c^2 = a^2 + b^2 - 2ab - c^2、因此，只需要将给定的三个数代入式子中进行计算，即可得到最终的结果。
变式2：多个数之差的平方之和给定n个数a1、a2、..、an，求(a1 - a2)^2 + (a2 - a3)^2 + ... + (an-1 - an)^2的值。
解法：首先，根据平方差公式，可以将每个差的平方展开，并将它们相加。
然后，可以发现每个差的平方之和可以表示为每个数平方之和减去两倍的交叉相乘之和。
因此，只需要将给定的n个数代入式子中进行计算，即可得到最终的结果。
在完全平方公式中，一个多项式的平方可以通过分解进行简化。
这个公式也可以通过一些变化来扩展其应用范围。
变式1：两个三项式的平方和给定两个三项式a^2 + 2ab + b^2和c^2 + 2cd + d^2，求它们的和的完全平方。
解法：首先，根据完全平方公式，可以将每个三项式平方进行分解，然后将它们相加。
然后，可以将这个和的平方进行分解得到一个完全平方。
因此，只需要将给定的两个三项式代入式子中进行计算，即可得到最终的结果。
变式2：多个多项式的平方之和给定n个多项式a_1^2 + 2a_1b_1 + b_1^2，a_2^2 + 2a_2b_2 +b_2^2，...，a_n^2 + 2a_nb_n + b_n^2，求它们的和的完全平方。
解法：首先，根据完全平方公式，可以将每个多项式平方进行分解，并将它们相加。
七年级数学8.3平方差公式与完全平方公式讲解与例题
8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x＋2y)2＝x2＋2·x·2y＋(2y)2＝x2＋4xy＋4y2；(2)(2a－5)2＝(2a)2－2·2a·5＋52＝4a2－20a＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，S Ⅰ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a －b )2，也可以表示为S Ⅰ＝S 大－S Ⅱ－S Ⅳ＋S Ⅲ，又S 大，S Ⅱ，S Ⅲ，S Ⅳ分别等于a 2，ab ，b 2，ab ，所以SⅠ＝a 2－ab －ab ＋b 2＝a 2－2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a ，b 的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a ＋b )2－4ab ，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b )2，根据面积相等有(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )2.答案：(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b 的正方形得到的，所以它的面积等于a 2－b 2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12(b＋a )(a －b )，所以梯形的面积和是(a ＋b )(a －b )，根据阴影部分的面积不变，得(a ＋b )(a－b )＝a 2－b 2.因此验证的一个乘法公式是(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.答案：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204. 4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15.解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65.5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝a2－b2.②符号变化：(－a＋b)(－a－b)＝(－a)2－b2＝a2－b2.③系数变化：(0.5a＋3b)(0.5a－3b)＝(0.5a)2－(3b)2.④指数变化：(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用 在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm ，它的面积就增加39 cm 2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm ，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x ＋3)2＝x 2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm ，则(x ＋3)2＝x 2＋39，即x 2＋6x ＋9＝x 2＋39，解得x ＝5(cm)． 故这个正方形的边长是5 cm. 7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式： ①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ； ②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋ba －b的值即可．答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a ＋b ＝2，所以(a ＋b )2＝22，即a 2＋2ab ＋b 2＝4.把ab ＝1代入，得a 2＋2×1＋b 2＝4，于是可得a 2＋b 2＝4－2＝2.。
湘教版数学七年级下册_《平方差公式》提高训练
《平方差公式》提高训练一、选择题1．如图，从边长为（a+2）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的小正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的周长为（）A．（4a+4）cm B．（4a+6）cm C．（4a+8）cm D．（8a+4）cm 2．若（2﹣x）（2+x）（4+x2）=16﹣x n，则n的值等于（）A．6B．4C．3D．23．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1的值是（）A．1024B．28+1C．216+1D．2164．若（x+1）（x﹣1）（x2+1）（x4+1）=x n﹣1，则n等于（）A．16B．8C．6D．45．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．a（a+b）=a2+abC．（a+b）2=a2+2ab+b2D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2二、填空题6．计算：（3a﹣b）（﹣3a﹣b）=．7．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式．8．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，3=22﹣12，5=32﹣22，7=42﹣32，8=32﹣12…，因此3，5，7，8…都是“智慧数”在正整数中，从1开始，第2018个智慧数是．9．已知2a+b=2，2a﹣b=﹣4，则4a2﹣b2=．10．已知m+n=2019，m﹣n=，则m2﹣n2的值为．三、解答题11．计算：（a+1）（a﹣1）（a2﹣2）12．如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个小长方形．拿掉边长为n的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新长方形．（1）用含m和n的代数式表示拼成的新长方形的周长；（2）根据两个图形的面积关系，得到一个数学公式，请你写出这个数学公式．13．观察下列等式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1；……（1）猜想（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）=．运用上述规律，试求：（2）219+218+217+…+23+22+2+1．（3）52018+52017+52016+…+53+52+5+1．14．计算：（1）12502﹣1248×1252（用公式计算）（2）（﹣1）8×（0.2）5×（0.6）6×（﹣5）4 15．观察后填空①（x﹣1）（x+1）=x2﹣1②（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1③（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1（1）填空：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）=．（2）请利用上面的结论计算①（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1②若x3+x2+x+1=0，求x2016的值．《平方差公式》提高训练参考答案与试题解析一、选择题1．如图，从边长为（a+2）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的小正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的周长为（）A．（4a+4）cm B．（4a+6）cm C．（4a+8）cm D．（8a+4）cm 【分析】先根据图形求出长方形的长和宽，再求出周长即可．【解答】解：长方形的宽为（a+2）﹣（a﹣1）=3cm，长为（a+2）+（a﹣1）=（2a+1）cm，所以长方形的周长为2（2a+1+3）=（4a+8）cm．故选：C．【点评】本题考查了平方差公式的应用，能正确根据图形表示出采访中的长和宽是解此题的关键．2．若（2﹣x）（2+x）（4+x2）=16﹣x n，则n的值等于（）A．6B．4C．3D．2【分析】把等号左边利用平方差公式进行计算，再根据x的指数相等求解．【解答】解：（2﹣x）（2+x）（4+x2）=（4﹣x2）（4+x2）=16﹣x4，∵（2﹣x）（2+x）（4+x2）=16﹣x n，∴16﹣x4=16﹣x n，则n=4，故选：B．【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．即（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．3．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1的值是（）A．1024B．28+1C．216+1D．216【分析】原式前面配上（2﹣1）这个因数，再依次利用平方差公式计算可得．【解答】解：原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（24﹣1）（24+1）（28+1）+1=（28﹣1）（28+1）+1=216﹣1+1=216，故选：D．【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．即（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．4．若（x+1）（x﹣1）（x2+1）（x4+1）=x n﹣1，则n等于（）A．16B．8C．6D．4【分析】根据平方差公式计算（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，（x2﹣1）（x2+1）=x4﹣1，（x4﹣1）（x4+1）=x8﹣1，即可得到答案．【解答】解：（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，（x2﹣1）（x2+1）=x4﹣1，（x4﹣1）（x4+1）=x8﹣1=x n﹣1，即n=8，故选：B．【点评】本题考查平方差公式，正确掌握平方差公式是解题的关键．5．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．a（a+b）=a2+abC．（a+b）2=a2+2ab+b2D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2【分析】根据面积相等，列出关系式即可．【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故选：D．【点评】本题主要考查对平方差公式的知识点的理解和掌握，能根据根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形是解此题的关键．二、填空题6．计算：（3a﹣b）（﹣3a﹣b）=﹣9a2+b2．【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．依此即可求解．【解答】解：（3a﹣b）（﹣3a﹣b）=﹣9a2+b2．故答案为：﹣9a2+b2．【点评】考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．7．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【分析】利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是解决问题的关键．8．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，3=22﹣12，5=32﹣22，7=42﹣32，8=32﹣12…，因此3，5，7，8…都是“智慧数”在正整数中，从1开始，第2018个智慧数是2693．【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数=m2﹣n2=（m+n）（m﹣n），因为m，n是正整数，因而m+n和m﹣n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差．【解答】解：1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=（k+1）2﹣k2（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．对于被4整除的偶数4k，有4k=（k+1）2﹣（k﹣1）2（k=2，3，…）．即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．对于被4除余2的数4k+2（k=0，1，2，3，…），设4k+2=x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），其中x，y为正整数，当x，y奇偶性相同时，（x+y）（x﹣y）被4整除，而4k+2不被4整除；当x，y奇偶性相异时，（x+y）（x﹣y）为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．所以不存在自然数x，y使得x2﹣y2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．因为2017=（1+3×672），4×（672+1）=2692，所以2693是第2018个“智慧数”，故答案为：2693．【点评】本题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．9．已知2a+b=2，2a﹣b=﹣4，则4a2﹣b2=﹣8．【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：当2a+b=2，2a﹣b=﹣4时，原式=（2a+b）（2a﹣b）=﹣8故答案为：﹣8【点评】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．10．已知m+n=2019，m﹣n=，则m2﹣n2的值为2018．【分析】直接利用平方差公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：∵m+n=2019，m﹣n=，∴m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=2019×=2018．故答案为：2018．【点评】此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题关键．三、解答题11．计算：（a+1）（a﹣1）（a2﹣2）【分析】直接利用平方差公式以及多项式乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式=（a2﹣1）（a2﹣2）=a4﹣a2﹣2a2+2=a4﹣3a2+2．【点评】此题主要考查了整式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．12．如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个小长方形．拿掉边长为n的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新长方形．（1）用含m和n的代数式表示拼成的新长方形的周长；（2）根据两个图形的面积关系，得到一个数学公式，请你写出这个数学公式．【分析】（1）根据题意和矩形的性质列出代数式解答即可．（2）根据阴影部分的面积相等，即可得到平方差公式．【解答】解：（1）新长方形的周长=2[（m+n）+（m﹣n）]=4m．（2）由题意：m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）．【点评】本题考查平方差公式、长方形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用面积法解决实际问题．13．观察下列等式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1；……（1）猜想（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）=x n+1﹣1．运用上述规律，试求：（2）219+218+217+…+23+22+2+1．（3）52018+52017+52016+…+53+52+5+1．【分析】（1）根据已知算式得出的规律求出即可；（2）先变形，再根据已知算式得出的规律求出即可；（3）先变形，再根据已知算式得出的规律求出即可．【解答】解：（1）（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）=x n+1﹣1，故答案为：x n+1﹣1；（2）219+218+217+…+23+22+2+1=（2﹣1）×（219+218+217+…+23+22+2+1）=220﹣1；（3）52018+52017+52016+…+53+52+5+1=（5﹣1）×（52018+52017+52016+…+53+52+5+1）×=（52019﹣1）．【点评】本题考查了平方差公式、数字的变化类、多项式乘以多项式等知识点，能灵活运用规律进行计算是解此题的关键．14．计算：（1）12502﹣1248×1252（用公式计算）（2）（﹣1）8×（0.2）5×（0.6）6×（﹣5）4【分析】（1）先利用平方差公式的计算1248×1252，再计算即可；（2）根据积的乘方的逆用，直接计算即可．【解答】解：（1）12502﹣1248×1252=12502﹣（1250﹣2）×（1250+2）=12502﹣（12502﹣22）=12502﹣12502+22=4；（2）（）8×（0.2）5×（0.6）6×（﹣5）4=（）8×（）5×（）6×54=（）2×=．【点评】本题主要考查平方差公式及积的乘方，解决此类计算题熟记公式是关键．15．观察后填空①（x﹣1）（x+1）=x2﹣1②（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1③（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1（1）填空：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）=x100﹣1．（2）请利用上面的结论计算①（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1②若x3+x2+x+1=0，求x2016的值．【分析】（1）根据题意给出的规律即可求出答案．（2）①根据（x﹣1）（x50+x49+……+x+1）=x51﹣1，令x=﹣2代入即可求出答案．②根据条件可求出x4=1，从而可求出答案．【解答】解：（1）由题意给出的规律可知：x100﹣1（2）①由给出的规律可知：（x﹣1）（x50+x49+……+x+1）=x51﹣1∴令x=﹣2，∴（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1=，②∵x3+x2+x+1=0，∴（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1=0，∴x4=1，∴x2016=（x4）504=1【点评】本题考查规律型问题，解题的关键是根据题意找出规律，本题属于中等题型．。
专题2.11 平方差公式(知识讲解)-2020-2021学年七年级数学下册基础知识专项讲练(湘教版)
专题2.11 平方差公式（知识讲解）【学习目标】1. 掌握平方差公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如【典型例题】类型一、运用平方差公式进行计算1、 （2020·南阳市第三中学八年级月考）先化简再求值：26(21)(32)(2)(2)x x x x x ---+-+，其中x=-2【答案】276x x +-，－16【分析】根据多项式乘法的计算法则和平方差公式化简原式后再把x 的值代入计算即可． 解：原式22226672476x x x x x x =-+-+-=+-∴当2x =-时，原式=()()22726414616-+⨯--=--=-．【点拨】本题考查整式的化简求值，根据多项式乘法的计算法则和平方差公式对原式进行化22()()a b a b a b +-=-b a ,()()a b b a +-+(35)(35)x y x y +-3232()()m n m n +-()()a b a b ---()()m n p m n p ++-+2244()()()()a b a b a b a b -+++简是解题关键．举一反三：【变式1】（2021·全国七年级）已知2540x x --=，求代数式(2)(2)(21)(2)x x x x +----的值．【答案】－10【分析】先算乘法，再合并同类项，最后整体代入求出即可．解： (2)(2)(21)(2)x x x x +----＝224(252)x x x ---+＝224252x x x --+-＝256x x -+-．∴ 2540x x --=，∴ 254x x -=．∴ 原式＝2(5)64610x x ---=--=-．【点拨】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，用了整体代入思想，难度适中．【变式2】（2020·山东枣庄市·七年级期末）通过学习，我们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷，相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算195205⨯．解：195205⨯()()20052005=-+①222005=-②39975=（1）例题求解过程中，第②步变形是利用 （填乘法公式的名称）； （2）用简便方法计算：911101⨯⨯．【答案】（1）平方差公式；（2）9999【分析】（1）利用平方差公式的特征进行判断；（2）把9×11×101化为（100-1）（100+1），然后利用平方差公式计算．解：（1）由题意可得：第②步变形是利用平方差公式，故答案为：平方差公式；（2）9×11×101=99×101=（100-1）（100+1）=10000-1=9999．【点拨】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．2（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）2483221212121 【答案】64213- 【分析】原式看成分子为1的分数，分子和分母同时乘以221，再利用平方差公式依次计算即可．解：原式2248322212121212121 448322212121212164213-= 【点拨】本题考查利用平方差公式计算．能将原式变形，凑成平方差公式是解题关键． 举一反三：【变式】（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）224488a b ab a b a b a b【答案】1616a b 【分析】利用平方差公式计算即可．解：原式＝22224488(-)()()()a b a b a b a b +++＝444488(-)()()a b a b a b ++＝8888(-)()a b a b +＝1616-a b ．【点拨】本题考查平方差公式，熟悉平方差公式的形式是关键．类型二、运用平方差公式解决面积问题3（2020·岳阳市第十中学七年级期中）从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2)． ()1上述操作能验证的等式是 ；(请选择正确的一个）A ．2222a ab b a b B ．()2b ab b a b +=+ C ．()()22a b a b a b -=+- D ．()2a ab a a b +=+()2应用你从()1选出的等式，完成下列各题：∴已知2241224x y x y -=+=，，求x 的值．∴计算：22222111111111123420152016⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【答案】（1）C ；（2）∴x=72；∴20174032【分析】 （1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式；（2）∴把x 2﹣4y 2利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把x+2y=4代入即可求出x －2y ，然后联立方程组即可求出x 的值；∴利用（1）的结论化成式子相乘的形式即可求解．解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a 2﹣b 2，第二个图形的面积是（a+b ）（a ﹣b ），则a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）．故选C ；（2）∴∴x 2﹣4y 2=（x+2y ）（x ﹣2y ），∴12=4（x ﹣2y ）得：x ﹣2y=3联立2423x y x y +=⎧⎨-=⎩①②∴＋∴，得2x=7 解得：x=72； ∴22222111111111123420152016⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=（1﹣12）（1+12）（1﹣13）（1+13）（1﹣14）（1+14）…（1﹣12015）（1+12015）（1﹣12016）（1+12016） 13243520142016201520172233442015201520162016=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯⨯⨯ =12×20172016 =20174032． 【点评】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．举一反三：【变式1】（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）（1）∴如图1，从动长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形，设图1中的阴影部分面积为s ，则s =______（用含a ，b 代数式表示）∴若把图1中的图形，沿着线段AB 剪开（如图2），把剪成的两张纸片拼成如图3的长方形，请写出上述过程你所发现的乘法公式．（2）下列纸片中有两张是边长为a的正方形，三张是长为a，宽为b的长方形纸片，一张是边长为b的正方形纸片，你能否将这些纸片拼成一个长方形，请你画出草图，并写出相应的等式．【答案】（1）∴a2-b2；∴a2-b2=(a+b)(a-b)；（2）能，图见解析，(b+2a)(a+b)=b2+3ab+2a2【分析】（1）∴利用正方形的面积公式，阴影部分的面积=大正方形的面积-空白部分小正方形的面积；∴利用长方形的面积公式得图3的面积，与∴中的阴影面积建立等式即可；（2）拼成长方形的长为b+2a，宽为a+b，计算长方形的面积即可得到结论．解：（1）∴阴影部分的面积s=a2-b2，故答案为：a2-b2；∴∴图3中s=(a+b)(a-b)，∴a2-b2=(a+b)(a-b)；（2）拼接的长方形如图所示，长为(b+2a)，宽为a+b，面积为b2+3ab+2a2，所以，得到的等式为(b+2a)(a+b)=b2+3ab+2a2．【点拨】此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示面积是解题的关键．【变式2】（2020·福建莆田市·七年级期中）在边长为a 的正方形的一角减去一个边长为b 的小正方形（a b >），如图∴（1）由图∴得阴影部分的面积为_______________；（2）沿图∴中的虚线剪开拼成图∴，则图∴中阴影部分的面积为_________________； （3）由（1）（2）的结果得出结论：______________=_________________；（4）利用（3）中得出的结论计算：2220202019-【答案】（1）22a b -；（2）()()a b a b +-；（3）22a b -，()()a b a b +-；（4）4039【分析】（1）根据正方形的面积公式即可得到结论；（2）根据梯形的面积公式即可得到结论；（3）由（1）（2）的结论即可得到结果；（4）根据平方差公式计算即可．解：（1）由图∴得阴影部分的面积为22a b -；故答案为：22a b -；（2）沿图∴中的虚线剪开拼成图∴，则图∴中阴影部分的面积为()()()()12a 2b ?a b a b a b 2+-=+-； 故答案为：()()a b a b +-；（3）由（1）（2）的结果得出结论：22a b -=()()a b a b +-；故答案为：22a b -，()()a b a b +-；（4）2220202019-()()20202019202020194039=+-=．【点拨】本题考查了平方差公式的几何背景，根据正方形的面积公式和梯形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键．【变式2】（2020·山西临汾市·八年级期中）实践与探索如图1，边长为a 的大正方形有一个边长为b 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）（1）上述操作能验证的等式是__________；（请选择正确的一个）A ．()()22a b a b a b -=+-B ．()2222a ab b a b -+=-C ．()2a ab a a b +=+ （2）请应用这个公式完成下列各题：∴已知22424a b -=，26a b +=，则2a b -=__________．∴计算：222222221009998974321-+-++-+-【答案】（1）A ；（2）∴4；∴5050【分析】（1）图1表示22a b -，图2的面积表示()()a b a b +-，根据两个图形阴影面积相等即可判断；（2）∴将原式变形为()()22a b a b +-，代入即可求解；∴将原式每两项应用平方差公式进行变型，然后即可求解．解：（1）图1表示22a b -，图2的面积表示()()a b a b +-，两个图形阴影面积相等，得到()()22a b a b a b -=+-故选A ；（2）∴()()2242224a b a b a b -=+-= ∴26a b +=∴()6224a b -=，解得24a b -=∴原式=（1002-992）+（982-972）+…+（42-32）+（22-12）=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（4+3）（4-3）+（2+1）（2-1） =100+99+98+97+…+4+3+2+1=101×50=5050【点拨】本题考查了平方差公式的几何证明，题目较为简单，需要利用正方形和长方形的面积进行变形求解．。
完全平方差公式的讲解
完全平方差公式的讲解完全平方差公式，这可是初中数学里的一个重要知识点呢！咱今天就来好好唠唠。
先给您瞅瞅完全平方差公式长啥样：(a - b)² = a² - 2ab + b²。
那这公式咋来的呢？咱们可以这样想。
假设我有一个边长为 a 的正方形，现在我要从这个正方形的一角裁去一个边长为 b 的小正方形，那剩下的图形面积不就是 (a - b)²嘛。
咱们再换个角度算，原来大正方形的面积是 a²，裁去的小正方形面积是 b²，那裁去的部分和剩下的部分挨着的那两条边的长度都是 b ，这两条边组成的长方形面积就是 2ab ，所以剩下的图形面积也可以表示成 a² - 2ab + b²。
您瞧，这不就得出完全平方差公式了嘛。
那这公式有啥用呢？我给您说个事儿。
有一次我去逛商场，看到一件衣服，标价是 200 元。
售货员说现在打八折，然后再减 30 元。
那这衣服实际价格是多少呢？咱就可以用完全平方差公式来算。
假设原价是 a ，折扣是 b ，那实际价格就是 (a - b)²。
这里 a = 200 ，b = 40 （200 的 20% ），所以实际价格就是 200² - 2×200×40 + 40² = 40000 - 16000 + 1600 = 25600 元，算出来实际价格是160 元。
再比如，计算 (3 - 2x)²。
咱就把 3 当成 a ，2x 当成 b ，那就是 3² -2×3×2x + (2x)² = 9 - 12x + 4x²。
在解题的时候，可得注意别弄混了完全平方差公式和完全平方和公式。
好多同学一不小心就记错啦，这可不行。
做练习题的时候，要认真分析题目，看看是不是要用完全平方差公式。
比如，已知一个长方形的长是 x + 3 ，宽是 x - 3 ，求面积。
七年级数学下册 专题第3讲 乘法公式 平方差公式重点、考点知识总结及练习
=216．
2．（2018 春•东阿县期末）从边长为 a 的正方形中剪掉一个边长为 b 的正方形（如 图 1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图 2）． （1）上述操作能验证的等式是 B ；（请选择正确的一个） A、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2 B、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） C、a2+ab=a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知 x2﹣4y2=12，x+2y=4，求 x﹣2y 的值．
3
（2）原式=（1000﹣3）2 =10002﹣2×3×1000+32 =1000000﹣6000+9 =994009； （3）原式=（300+4）2 =3002+2×4×300+42 =90000+2400+16 =92416； （4）原式=20182﹣（2018﹣1）（2018+1） =20182﹣（20182﹣1） =20182﹣20182+1 =1．
积的丌变性.
【随堂练习】 1．（2018 春•江都区期末）如图 1 所示，边长为 a 的正方形中有一个边长为 b 的 小正方形，如图 2 所示是由图 1 中阴影部分拼成的一个长方形． （1）设图 1 中阴影部分面积为 S1，图 2 中阴影部分面积为 S2．请直接用含 a，b 的代数式表示 S1，S2； （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式； （3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．
4
①3； ②7； ③11； ④11，6． （1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n； （2）原式可变为（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）=8n．
3.4.1 平方差公式 浙教版数学七年级下册素养提升练习(含解析)
第3章 整式的乘除3.4 乘法公式第1课时 平方差公式基础过关全练知识点1 平方差公式1.(2020浙江杭州中考)(1+y)(1-y)=( )A.1+y2B.-1-y2C.1-y2D.-1+y22.(2023浙江杭州下城期中)下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是( )m―n m+12n B.(-m-n)(m+n)C.(m-2)(m+2)D.(m-n)(n-m)3.利用平方差公式计算(3a-2)(-3a-2)的结果是( )A.4-9a2B.9a2-4C.9a2-2D.9a2+44.下列各式中,计算结果正确的是( )A.(x-3)(3+x)=x2-3B.(3x+2)(3x-2)=3x2-4C.(5ab-c)(c+5ab)=25a2b2-c2D.(-6y+x)(6y+x)=x2-36y5.计算:(1)(5+6x)(6x-5)= ;(2) -13m+n-13m―n= .6.(2023浙江温州龙湾期中)若x2-y2=44,x-y=11,则x+y= .7.(2023浙江宁波中考)计算:(a+3)(a-3)+a(1-a).知识点2 平方差公式的应用8.为了美化城市,经统一规划,将一正方形草坪的一组对边增加4 m,另一组对边缩短4 m,则改造后的长方形草坪的面积比原来的面积( )A.增加8 m2B.增加16 m2C.减少16 m2D.保持不变9.解方程:(2a+1)(2a-1)-4a(a-1)=7.10. 用简便方法计算:(1)3 003×2 997; (2)1102-109×111.11.如图,大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,大正方形与小正方形的面积之差是60,求阴影部分的面积.能力提升全练12.若a2-b2=4,则(a+b)2(a-b)2的值是( )A.24B.16C.8D.413.(2023江苏南京期中,5,★★☆)若(a+b)(p+q)能运用平方差公式计算,则p,q满足的条件可能是 ( )①p=a,q=b;②p=a,q=-b;③p=-a,q=b;④p=-a,q=-b.A.①③B.①④C.②③D.②④14.(2020浙江衢州中考,12,★☆☆)定义:a※b=a(b+1),例如2※3=2×(3+1)=2×4=8,则(x-1)※x的结果为 .15.若3(a+2023)2=81,则(a+2 022)(a+2 024)= .16.若(2a+2b-1)(2a+2b+1)=63,求a+b的值.17.探究:如图①,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,将阴影部分沿虚线剪开,拼成如图②所示的长方形.比较两图阴影部分的面积,可以得到乘法公式: (用字母a、b表示).图①图②应用:请应用这个公式完成下列各题:(1)已知2m-n=3,2m+n=4,则4m2-n2的值为 ;(2)计算:(x-3)(x+3)(x2+9).18.(2022北京通州期中,25,★★☆)在整式(x-2)■(x+2)+▲中,“■”表示运算符号“-”“×”中的某一个,“▲”表示一个整式.(1)计算:(x-2)-(x+2)+(-5+y);(2)若(x-2)(x+2)+▲=3x2+6,求出整式“▲”;(3)若(x-2)■(x+2)+▲的计算结果是二次单项式,请直接写出一组满足条件的“■”和“▲”.素养探究全练19.【运算能力】先阅读,后计算.为了计算4×(5+1)×(52+1)的值,小黄把4改写成(5-1),然后可以连续运用平方差公式.计算过程如下:4×(5+1)×(52+1)=(5-1)×(5+1)×(52+1)=(52-1)×(52+1)=(52)2-1=624.请你借鉴小黄的方法计算:1×1+1+1+1+1+1+1+2答案全解全析基础过关全练1.C 根据平方差公式可得(1+y)(1-y)=1-y2.故选C.2.C (m-2)(m+2)=m 2-22,符合平方差公式,故本选项符合题意,故选C.3.A 原式=(-2+3a)(-2-3a)=(-2)2-(3a)2=4-9a 2,故选A.4.C (x-3)(3+x)=x 2-32=x 2-9,所以A 选项错误;(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x 2-4,所以B 选项错误;(5ab-c)(c+5ab)=(5ab)2-c 2=25a 2b 2-c 2,所以C 选项正确;(-6y+x)(6y+x)=x 2-(6y)2=x 2-36y 2,所以D 选项错误.故选C.5.答案 (1)36x 2-25 (2)19m 2-n 2解析 (1)原式=(6x+5)(6x-5)=(6x)2-52=36x 2-25.(2)原式 =-13m 2-n 2=19m 2-n 2.6.答案 4解析 ∵(x+y)(x-y)=x 2-y 2,x 2-y 2=44,x-y=11,∴11(x+y)=44,∴x+y=4.7.解析 (a+3)(a-3)+a(1-a)=a 2-9+a-a 2=a-9.8.C 设正方形草坪的边长为x m,则面积为x 2 m 2.将该正方形草坪的一组对边增加4 m,另一组对边缩短4 m,则改造后的长方形草坪的长为(x+4)m,宽为(x-4)m,则改造后长方形草坪的面积为(x 2-16)m 2,故比原来的面积减少16 m 2.故选C.9.解析 去括号,得4a 2-1-4a 2+4a=7,移项、合并同类项,得4a=8,系数化为1,得a=2.10.解析 (1)原式=(3 000+3)×(3 000-3)=3 0002-32=9 000 000-9=8 999 991.(2)1102-109×111=1102-(110-1)×(110+1)=1102-(1102-1)=1.11.解析 阴影部分的面积为12AE·BC+12AE·DB=12AE(BC+DB)=12(a-b)(a+b)=12(a 2-b 2)=12×60=30,∴阴影部分的面积为30.能力提升全练12.B (a+b)2(a-b)2=[(a+b)(a-b)]2=(a2-b2)2,∵a2-b2=4,∴原式=42=16.故选B.13.C ∵(a+b)(p+q)能运用平方差公式计算,∴p=a,q=-b或p=-a,q=b或p=-b,q=a或p=b,q=-a,故选C.14.答案 x2-1解析 ∵a※b=a(b+1),∴(x-1)※x=(x-1)(x+1)=x2-12=x2-1.15.答案 3解析 ∵3(a+2023)2=81,∴3(a+2023)2=34,∴(a+2 023)2=4,∴(a+2 022)(a+2 024)=(a+2 023-1)(a+2 023+1)=(a+2 023)2-1=4-1=3.16.解析 ∵(2a+2b-1)(2a+2b+1)=63,∴[2(a+b)-1][2(a+b)+1]=63,∴4(a+b)2-1=63,∴4(a+b)2=64,∴(a+b)2=16,∴a+b=±4.17.解析 探究:(a+b)(a-b)=a2-b2.应用:(1)12.(2)(x-3)(x+3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=x4-81.18.解析 (1)原式=x-2-x-2-5+y=y-9.(2)根据题意得整式“▲”=3x2+6-(x-2)(x+2)=3x2+6-(x2-4)=3x2+6-x2+4=2x2+10.(3)答案不唯一.如:“■”表示的运算符号是“×”,“▲”表示的整式是4.详解:∵“■”表示的运算符号是“×”,∴原式=(x-2)(x+2)+▲=x2-4+▲,∵计算结果是二次单项式,∴“▲”表示的整式是4.素养探究全练19.解析 1×1+1+1+1+1+1+1+2=1―1+1+1+1+1+1+1+=1―1+1+1+1+1+1+=1―1+1+1+1+1+=1―1+1+1+1+=1―1+1+1+=1―1+1+.=1―1+=1-12128。
平方差公式与完全平方公式提高训练
平方差公式与完全平方公式提高训练一、平方差公式1.1差的平方等于平方的差(a+b)*(a-b)=a^2-b^2其中，a和b是任意实数。
1.2和的差的平方等于平方的差(a - b) ^2 = a^2 - 2ab + b^2其中，a和b是任意实数。
应用：利用平方差公式可以进行因式分解，求解方程以及证明数学等式等。
1.3例题解析例题1：如果(a+2)*(a-3)=0,求a的值。
解：根据平方差公式(a+2)*(a-3)=(a^2-3a+2a-6)=(a^2-a-6)=0因为(a^2-a-6)=0，所以(a-3)(a+2)=0解得a=3或者a=-2，所以a的值为3或者-21.4思考题思考题1：用平方差公式计算99^2-98^2的值。
解：利用平方差公式计算可得：99^2-98^2=(99-98)(99+98)=197所以99^2-98^2的值为197二、完全平方公式完全平方公式是指一个二次三项式可以通过加减一个常数，把它改写成一个平方的方式。
2.1完全平方公式的一般形式对于一般的二次三项式 f(x) = ax^2 + bx + c （其中a≠0），如果存在常数d，使得f(x) + d或f(x) - d是一个平方，那么f(x)就可以通过加减一个常数d改写成一个平方。
2.2完全平方公式的常见形式常见的完全平方公式有两个形式：二次完全平方公式和三次完全平方公式。
二次完全平方公式：(a + b) ^ 2 = a^2 + 2ab + b^2三次完全平方公式：(a + b) ^ 3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3应用：利用完全平方公式可以简化计算过程，展开括号进行因式分解，求解方程以及证明数学等式等。
2.3例题解析例题2：将4x^2+12x+9改写成一个平方。
解：4x^2+12x+9=(2x+3)^2所以将4x^2+12x+9改写成一个平方为(2x+3)^22.4思考题思考题2：将x^2+10x+25改写成一个平方。
平方差公式和完全平方公式强化训练 变式 精品
平方差公式的变化：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z2+2zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-2xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]=2x(-2y+2z)=-4xy+4xz填空：1、(2x-1)( )=4x2-12、(-4x+ )( -4x)=16x2-49y2第一种情况：直接运用公式练习：1.（a+3）(a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)4.(-x+2)(-x-2)5. (2x+12)(2x-12) 6. (a+2b)(a-2b)7. (2a+5b)(2a-5b) 8. (-2a-3b)(-2a+3b)第二种情况：运用公式使计算简便例2：计算19992-2000×19981、1998×2002 3、1.01×0.99 4、（100-13）×（99-23）1第三种情况：多次运用平方差公式例3：（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）1、（a+b）(a-b)(a2+b2)2、(a+2)(a-2)(a2+4)3、(x-12)(x2+14)(x+12)4、(a+1)(a-1)(2a+1)(4a+1)(8a+1)第四种情况：需要先变形再用平方差公式1、（-2x-y）(2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1) 5.(b+2a)(2a-b) 6.(a+b)(-b+a)第五种情况：每个多项式含三项例4：(3x+y-2)(3x-y+2)1.（a+2b+c）(a+2b-c) 2.(a+b-3)(a-b+3) 3.x-y+z)(x+y-z)4.(m-n+p)(m-n-p) 5、(a+4b-3c)(a-4b-3c)第六种情况：平方差逆用例2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-----1、22222110099989721-+-++-完全平方公式公式变形1、a2+b2=(a+b)2 =(a-b)22、（a-b）2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)2234、(a+b)2 +（a-b ）2= 4、(a+b)2 ——（a-b ）2=5、(a+b+c ）2= 一、计算下列各题：1、2)(y x +2、2)23(y x --3、2)313(c ab -- 5、2)2332(y x +二、利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972 （3）982 （4）2032三、计算：（1）22)3(x x -+ （2）22)(y x y +- （3）()()2()x y x y x y --+-五、计算：（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-y x y x（3）)3)(3(+---b a b a （4）()()2323x y z x y z +-++六、拓展延伸 巩固提高例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
平方差公式知识讲解
平方差公式知识讲解设a和b是任意实数，我们希望推导出a²-b²的表达式。
首先，我们可以展开(a+b)²，根据二项式定理可以得到：(a + b)² = a² + 2ab + b²接下来，我们将上式两侧都减去2ab，得到：(a + b)² - 2ab = a² + 2ab + b² - 2ab化简右侧的2ab - 2ab得到：(a + b)² - 2ab = a² + b²然后，我们发现左侧的(a + b)² - 2ab就是(a - b)²，所以上式可以进一步化简为：(a-b)²=a²-b²这就是平方差公式的表达式，即任意实数a和b的平方之差可以表示为(a+b)(a-b)。
接下来，我们可以通过一个例子来说明平方差公式的应用。
例：求证2²-1²=(2+1)(2-1)首先，将左侧展开计算：2²-1²=4-1=3然后，计算右侧的乘积：(2+1)(2-1)=3*1=3我们发现，左右两侧的结果相等，验证了平方差公式的正确性。
例1：化简代数式x² - y² + 4xy - 4yx利用平方差公式，我们可以将x²-y²表示为(x+y)(x-y)。
将上式中的x²-y²替换得到：(x + y)(x - y) + 4xy - 4yx继续化简得到：(x + y)(x - y) + 4(xy - yx)注意到xy - yx = 0，所以最终化简结果为：(x+y)(x-y)例2：求解方程x²-6x+9=0通过观察，我们可以发现x²-6x+9实际上是一个平方形式，可以写成(x-3)²。
所以，方程可以进一步变形为：(x-3)²=0通过平方根定理，我们知道方程的解是x-3=0，即x=3这些例题展示了平方差公式的使用。
平方差公式(提高)知识讲解
平方差公式（提高）【学习目标】1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.【高清课堂400108 因式分解之公式法 知识要点】 要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】类型一、公式法——平方差公式【高清课堂400108 因式分解之公式法 例1】1、分解因式：（1）2()4x y +-； （2）2216()25()a b a b --+； （3）22(2)(21)x x +--．【思路点拨】（1）把x y +看做整体，变形为22()2x y +-后分解．（2）216()a b -可写成2[4()]a b -，225()a b +可写成2[5()]a b +，4()a b -和5()a b +分别相当于公式里的a 和b ．（3）把(2)x +、(21)x -看作一个整体进行分解． 【答案与解析】解：（1）222()4()2(2)(2)x y x y x y x y +-=+-=+++-． （2）222216()25()[4()][5()]a b a b a b a b --+=--+[4()5()][4()5()]a b a b a b a b =-++--+ (9)(9)a b a b =+-- (9)(9)a b a b =-++．（3）22(2)(21)[(2)(21)][(2)(21)]x x x x x x +--=++-+--(31)(3)x x =+-．【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项式. 举一反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）()()22259a b a b +--； （2）()22234x y x --（3）33x y xy -+； （4）32436x xy -；【答案】解：（1）原式()()()()5353a b a b a b a b =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()8228444a b a b a b a b =++=++（2）原式＝()()232232x y x x y x -+-- ＝()343y x y --（3）原式()()()22xy x y xy x y x y =--=-+- （4）原式()()()2249433x x y x x y x y =-=+-2、分解因式： （1）2128x -+； （2）33a b ab -； （3）516x x -； （4）2(1)(1)a b a -+- 【答案与解析】 解：（1）221112(16)(4)(4)888x x x x -+=--=-+-． （2）3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-．（3）5422216(16)(4)(4)(4)(2)(2)x x x x x x x x x x x -=-=+-=++-．（4）222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a a b a a b a b b -+-=---=--=-+-． 【总结升华】（1）如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再运用平方差公式分解．（2）因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能分解为止． 举一反三： 【变式】分解因式 （1）()()2222aa b a a b --+ （2）481a - （3）()()42a b b a ---【答案】解：（1）原式＝()()222a a b a b ⎡⎤--+⎣⎦()()()223224a a b a b a b a b a a b a b=-++---=⋅⋅-=-（2）原式()()()()()22299933a a a a a =+-=++-（3）原式()()()()()()()42222111a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤=---=---=--+--⎣⎦类型二、平方差公式的应用3、2222211111111......1123420112012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案与解析】 解：2222211111111......1123420112012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13242010201220112013 (22332011201120122012120132201220134024)=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=【总结升华】本题考查了因式分解的应用，先利用平方差公式，再两两约分即可求解，解题的关键是应用平方差公式简便计算．4、 根据以下10个乘积，回答问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25； 16×24；17×23；18×22；19×21；20×20； （1）试将以上各乘积分别写成一个22-口（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）请将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来.【思路点拨】（1）根据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可．（2）减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可． 【答案与解析】解：（1）11×2922209=-；12×2822208=-； 13×2722207=-； 14×2622206=-； 15×2522205=-； 16×2422204=-； 17×2322203=-； 18×2222202=-； 19×2122201=-； 20×2022200=-； 例如11×29()()22=-=+-口口口，令11,29-=+=口口，解得9=口=20,∴11×2922209=-（2）这10个乘积按照从小到大的顺序排列依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21 ＜20×20.【总结升华】本题考查了公式法分解因式，属于结论开放性题目，通过一系列的式子，找出一般规律，考查了同学们的探究发现的能力． 【巩固练习】 一.选择题1．(2)(2)x y x y --+是下列哪一个多项式的分解结果（ ）A ．224x y - B ．224x y + C ．224x y -- D ．224x y -+ 2. 把()()223232m n m n +--分解因式,结果是( ).A.0B.162n C.362m D.24mn3. 下列因式分解正确的是( ).A.()()2292323a b a b a b -+=+-B.()()5422228199a ab a a b ab -=+-C.()()2112121222a a a -=+- D.()()22436223x y x y x y x y ---=-+- 4. 下列各式，其中因式分解正确的是（ ） ①22933422x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；②()()2933x x x -=-+ ③()()()()2212121m n m n m n +--+=+- ④()()()()2294252a b a c a b c a b c +-+=+-++ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5. 若4821-能被60或70之间的两个整数所整除，这两个数应当是（ ） A ．61，63 B ．61，65 C ．63，65 D ．63，676. 乘积22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭应等于（ ） A ．512 B ．12 C ．1120 D ．23二.填空题 7. 11_________m m aa +--=；()2211x x x --+= .8. 若)2|4|50m -+=，将22mx ny -分解因式为__________.9. 分解因式：2121()()=m m p q q p +--+-_________.10. 若()()()216422n x x x x -=++-，则n 是_________.11.分解因式：()()2244x x x +++-=_____________. 12. 已知2275x =，2544y =，()()22x y x y +--的值为___________. 三.解答题13. 用简便方法计算下列各式：（1） 21999－1998×2000 （2）2253566465⨯-⨯ （3） 222222221009998979695......21-+-+-++-14. 已知：222,2,,m n n m m n =+=+≠求332m mn n -+.15.设22131a =-，22253a =-，……，()()222121n a n n =+--（n 为大于0的自然数）（1）探究n a 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”.试找出1a ，2a ，……，n a 这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n 满足什么条件时，n a 为完全平方数.【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】D ；【解析】()()()22224422x y x y x y x y -+=--=-+-. 2. 【答案】D ；【解析】()()()()22323232323232m n m n m n m n m n m n +--=++-+-+ 6424m n mn =⋅=. 3. 【答案】C ；【解析】()()22933a b b a b a -+=+-；()()()()()542222228199933a ab a a b ab a a b a b a b -=+-=++-；()()()()()224362232223x y x y x y x y x y x y x y ---=+--+=+--. 4. 【答案】C ；【解析】①②③正确. ()()()()229433223322a b a c a b a c a b a c +-+=++++-- ()()53232a b c a b c =+++-. 5. 【答案】C ；【解析】()()()()()482424241212212121212121-=+-=++-()()()()()()24126624122121212121216563=+++-=++⨯⨯6. 【答案】C ； 【解析】22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111111 (11112233991010314253108119) (2233449910101111121020)⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=二.填空题7. 【答案】()()111m a a a -+-；()()211x x -+【解析】()()()()()()()22222211111111x x x x x x x x x x --+=---=--=-+.8. 【答案】()()2525x y x y +-；【解析】4,25,m n ==()()222525mx ny x y x y -=+-. 9. 【答案】21()(1)(1)m p q p q p q ---+--；【解析】原式＝()22121()1()(1)(1)m m p q p q p q p q p q --⎡⎤---=--+--⎣⎦. 10.【答案】4； 【解析】()()()()()22244224416x x x x x x++-=+-=-.11.【答案】()()221x x ++；【解析】()()()()()()22442422x x x x x x x +++-=++++- ()()()()242222x x x x x =+++-=++=()()221x x ++. 12. 【答案】23； 【解析】()()()()224x y x y x y x y x y x y xy +--=++-+-+=将2275x =，2544y =代入得：222524475443xy =⨯⨯=. 三.解答题 13.【解析】解：（1）21999－1998×2000 ＝()()222199919991199911999199911--+=-+=（2）()2222535664656535465⨯-⨯=-()()65354655354656100070420000=+-=⨯⨯= （3）222222221009998979695......21-+-+-++-()()()()()()100991009998979897......2121100999897 (21)5050=+-++-+++-=++++++=14.【解析】解：∵222,2,m n n m =+=+∴22m n n m -=-即 ()()()m n m n m n +-=-- 1m n +=-332222m mn n m m mn n n -+=⋅-+⋅()()()2222m n mn n m m n =+-++=+∵1m n +=-， ∴原式＝－2. 15.【解析】解：（1）()()222121(2121)(2121)8n a n n n n n n n =+--=++-+-+= 又n 为非零的自然数， ∴n a 是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数. （2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．n 为一个完全平方数的2倍时，n a 为完全平方数.。
初一数学平方差公式专题提高训练资料讲解
初一数学平方差公式专题提高训练1. ( 2015春?莱芜校级期中)怎样简便就怎样计算： (1) 1232 - 124 X122(2) (2a+b ) (4a 2+b 2) (2a - b )2. ( 2015秋？宁津县校级月考)探索题： (x - 1) (x+1) =x 2 - 1 (X - 1) (x 2+x+1 ) =x 3 - 1 (X - 1 ) ( X 3+x 2+1 ) =X 4 - 1 (x - 1) (x +x +x +x+1) =x - 1(1) 根据以上规律，求(x - 1) ( x 6+x 5+x 4+x 3+x 2+1) (2) 判断22013+22012+ --+22+2+1的值的个位数是几？ 3. ( 2014春?东海县校级期末)乘法公式的探究及应用(1) ____________________________________________ 如图1,可以求出阴影部分的面积是 _____________________________________________________ (写成两数平方差的形式)； (2) __________________________________________________________________ 如图2,若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是 _______________________________ (写成多 项式乘法的形式)；(3) ______________________________________________________ 比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式 ___________________________________________ ;(4)运用你所得到的公式，计算： (a+b - 2c ) (a - b+2c ).ElI4. (2014春？江山市校级期中)如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图 的长方形.(1)根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式 ____________ ，这个公式的名称叫 _____________ .)(1丄)(2)根据你在(1)中得到的公式计算下列算式： (1-1 22)(1-5. ( 2014春？宝安区校级月考)观察下列式子.2 2① 3 - 1 = (3+1) (3 - 1) =8;②5s- 32= (5+3) (5 - 3) =16 ;2 2③7 - 5 = (7+5) (7 - 5) =24;④9s- 72= ( 9+7) (9 - 7) =32 .(1 )求212- 192= ___________ .(2)猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是，并给予证明.6. ( 2014春？汕尾校级月考)看图解答(1 )通过观察比较左、右两图的阴影部分面积， (2)运用你所得到的公式，计算下题： ① 10.3>9.7② (2m+n - p ) (2m - n+p )7. ( 2014春？黄冈月考)对于算式 2 (3+1) (1) 不用计算器，计算它的结果； (2) 求出它的末位数字.& ( 2013秋？无为县期末)计算下列各题：(1) 填空：(x - 1) (x+1 ) = _____________ (X 3+x 2+X+1 ) = ___________ . … 可以得到乘法公式为 (32+1 ) (34+1 ) (38+1 ) ( 316+1 ) (332+1 ) +1 •2.(x - 1) (x +x+1 )= • ( X - 1)(2) 根据前面各式的规律，填空： (x - 1) (x n +x n (3)根据这一规律，计算 1+2+22+23+ ••+298+299. 9. ( 2013秋?安岳县期末)乘法公式的探究及应用： 1+x n -2+ ••+x 2+x+1 )= (写成平方差的形式)囲1 (2) 若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2所示的长方形，此长方形的面积是(写成多项式相乘的形式).(3) 比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式： 2 (1+=) (1 (4 )应用所得的公式计算:1 + )+121410. ( 2012 春？阜阳期末)计算：(2x - y ) (4x 2+y 2) (2x+y )11. (2011春？泰州期中)通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算 带来的方便、快捷.相信通过下面材料的学习、 探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦.例：用简便方法计算 195 >205. 解：195X205=(200 - 5) (200+5) =2002 - 52 =39975(1 )例题求解过程中，第 ②步变形是利用 ____________ (填乘法公式的名称). (2) 用简便方法计算：9 X11XI01XI0001 .12. (2010 秋？涵江区期末)计算：1002 - 992+982 - 972+・・+22 - 12. 13. (2010春？南岸区期末)运用整式乘法公式计算： (1) 1001X 999+1 ;(2 ) 20102 - 2011X 2009.214.(2010春？濮阳校级月考)应用乘法公式进行计算： 2006X 2008- 2007 .15.(2010春?成都校级期末)(寺1-2)(寺叶2) +3+不)(-葢- 3)2 216. (2009春？青羊区校级期中)已知， (a - b ) (a+b ) =a - b ,求 (1) (2- 1) (2+1) = ____________ ； (2) (2+1) (22+1) = ____________ ; (3)求(2+1) (22+1 ) (24+1) (28+1) (232+1 )的值;(23430(4) 求(2+1) (2 +1) (2 +1) (2 +1)…(2 +1) +7 的个位数字. 17. (2009春？甘州区校级期中)(x - 2y ) (2y+x )24. 利用平方差公式计算: (1) (3x - 5) (3x+5); (2) (- 2a- b ) (b - 2a );26. 计算:(1) (- ab- 2) (ab+2) (2) (x+2 ) (x - 2) (x 2+4)2 2(3) (- 7m+8n ) (- 8n — 7m );a 218. (2000?内蒙古)计算:12346 2 - 12346X123472 219. 已知 a+b=8，且 a - b =48，求 a - 3b 的值. 20. 计算：(3x - 5y 2) (- 3x - 5y 2).21. 若 x 2- y 2=5, (x+y ) 2=4，求 x - y 的值. 22. (a - b ) (a+b ) ( a +b )23. 如图，在边长为 a 的正方形的一角是一个边长为 2 2a -b = (a+b ) (a - b ). b 的正方形，请用这个图形验证公式:27. 小明在计算3 (4+1) (4 +1 )时，把3 写成4 - 1 后，得3 (4+1) ( 4+1) = (4 - 1) (4+1) (42+1 ) = (42- 1) (42+1) =44- 1，仿照上式方法计算：(2+1 ) (22+1 ) (24+1 ) (28+1 )… (2256+1 ) - 2512的值.28. 用平方差公式速算：3A>293 329. 简便计算：20132- 2012 >014 - 9992.30. (2006 秋？简阳市期末)观察下列式子：32- 12=8, 52- 32=16, 72 - 52=24, 9 - 72=32 ,… 根据以上式子的特点，试用含有n的等式表示上述规律，并用一句简洁的话概括此规律.初一数学平方差公式专题提高训练参考答案与试题解析一.解答题(共30小题)1. ( 2015春?莱芜校级期中)怎样简便就怎样计算：2(1)1232- 124 X122(2)(2a+b) (4a2+b2) (2a- b)【分析】(1)首先把124分成123+1，把122分成123 - 1,然后根据平方差公式计算即可.(2)根据乘法交换律和平方差公式，求出算式(2a+b) ( 4a2+b2) (2a- b)的值是多少即可.2. ( 2015秋？宁津县校级月考)探索题：(x - 1) (x+1) =x2- 1(X - 1) (x2+x+1 ) =x3- 1(X - 1 ) ( X3+x2+1 ) =X4- 1(X - 1) (x4+x3+x2+x+1) =X5- 1(1)根据以上规律，求(X- 1) ( x6+x5+x4+x3+x2+1)(2)判断22013+22012+ --+22+2+1的值的个位数是几？【分析】(1)根据题干所给出的例子可知(X - 1) (x6+x5+x4+x3+x2+1) =x7- 1 ；(2 )给等式乘以(2 - 1)从而可知22013+22012+ - +22+2+1=2 2014- 1 ,然后找出2n的尾数规律从而得到答案.3. ( 2014春?东海县校级期末)乘法公式的探究及应用(1)如图1,可以求出阴影部分的面积是a2- b2(写成两数平方差的形式)；(2 )如图2,若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是(a- b ) (a+b) (写成多项式乘法的形式)；(3)比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式(a+b ) (a- b ) =a2- b2;(4)运用你所得到的公式，计算：(a+b- 2c ) (a- b+2c ).【分析】(1)中的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a2- b2;(2 )中的长方形，宽为a- b，长为a+b，面积=长＞宽=(a+b ) (a- b);(3 )中的答案可以由(1)、(2)得到，(a+b ) (a- b ) =a2- b2.(4 )先变式，再根据平方差公式计算.4(2014春？江山市校级期中)如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图的长方形.(1 )根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式a2- b2=(a+b)(a- b)这个公式的名称叫平方差公式 .(2)根据你在(1)中得到的公式计算下列算式：(1-丄)(1-丄)(1-2) (1-丄)-_ M(1 -丄)(1 -^^).9921002【分析】(1 )利用面积公式：大正方形的面积-小正方形的面积=阴影面积；利用矩形公式即可求解；利用面积相等列出等式即可；是平方差公式.(2)利用平方差公式简便计算.5. ( 2014春?宝安区校级月考)观察下列式子.2 2① 3 - 1 = (3+1) (3 - 1) =8;②52- 32= (5+3) (5 - 3) =16 ;2 2③7 - 5 = (7+5) (7 - 5) =24;④92- 72= ( 9+7) (9 - 7) =32 .(1 )求212- 192= 80 .(2)猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是这两个数和的2倍，并给予证明.【分析】(1)将212- 192写成(21 + 19) (21 - 19)利用平方差公式计算即可；(2)根据题目提供的规律进行证明后即可得到结论.6. ( 2014春？汕尾校级月考)看图解答(1 )通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为(a+b) (a- b) =a2 -b2.(2)运用你所得到的公式，计算下题：①10.3>9.7②(2m+n - p) (2m - n+p)【分析】(1)左图的阴影部分面积=边长为a的正方形的面积-边长为b的正方形的面积，右两图的阴影部分面积=长为(a+b),宽为(a- b)的矩形的面积，根据两图中阴影部分面积相等列式即可；(2)① 先将103 >97变形为(100+3) (100- 3),再利用平方差公式计算；② 先将② (2m+n - p ) (2m - n+p )化为[2m+ (n - p ) ][2m -(n - p )]再利用平方差公式 计算即可.24816327. ( 2014 春？黄冈月考)对于算式 2 (3+1) ( 3 +1) ( 3 +1) (3 +1) ( 3 +1) ( 3 +1 ) +1 . (1) 不用计算器，计算它的结果； (2) 求出它的末位数字.【分析】(1)将2转化为(3 - 1),与(3+1)配成平方差公式，其结果为(32 - 1),与(32+1) 又配成平方差公式，依此类推，可得结果.(2)根据31=3, 32=9, 33=27, 3, 4=81 , 35=243发现四次一循环，利用这一规律即可确定 答案.(2) 根据前面各式的规律，填空：(x - 1) (x n +x ° 1+x ° 2+ ••+x 2+x+1 ) = x °+1 - 1(3) 根据这一规律，计算 1+2+22+23+ ••+298+299.【分析】(1)原式各项利用平方差公式及多项式乘以多项式法则计算即可得到结果; (2) 归纳总结得到一般性规律即可得到结果； (3) 根据规律计算即可.9. ( 2013秋?安岳县期末)乘法公式的探究及应用： (1)如图1所示，阴影部分的面积是 a 2- b 2 (写成平方差的形式)(2)若将图1中的阴影部分剪下来， 拼成如图2所示的长方形，此长方形的面积是 (a+b )(a - b )(写成多项式相乘的形式).(3)比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：(a+b ) (a - b ) =a 2- b 2(4 )应用所得的公式计算： 2 (1+丄)(1丄)(1^-) (1^r ).冈 国 因 回 2塑【分析】(1)根据面积的和差，可得答案； (2)根据矩形的面积公式，可得答案； (3 )根据图形割补法，面积不变，可得答案； (4) 根据平方差公式计算即可.10. (2012 春？阜阳期末)计算：(2x - y ) (4x 2+y 2) (2x+y ) 【分析】先交换位置，再根据平方差公式进行计算即可.11. （2011春？泰州期中）通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算 带来的方便、快捷.相信通过下面材料的学习、 探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦.例：用简便方法计算 195 >205. 解：195X205=（200 - 5） （200+5）① 2 2=200 - 5 ②=39975& ( 2013秋?无为县期末)计算下列各题: (1)填空：(x - 1) (x+1) = x 2- 1 .2(X - 1) (x +x+1 )= x 3- 1 . ( x - 1) (x 3+x 2+x+1 )（1 ）例题求解过程中，第②步变形是利用平方差公式（填乘法公式的名称）.（2）用简便方法计算：9 >1X101 X10001.【分析】（1 ）因为这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以利用平方差公式；（2）首先将原式变形为：（10- 1）（10+1）（100+1 ）（10000+1）,再利用平方差公式依次计算即可求得答案.2 2 2 2 2 212. （2010秋？涵江区期末）计算：100 - 99 +98 - 97 +・・+2 - 1 .【分析】把所求的式子的第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依次结合了50组，把结合后的偶次项提取-1 ,然后分别运用平方差公式变形，提取101后得到25个2相加，从而计算出结果.13. （2010春？南岸区期末）运用整式乘法公式计算：（1）1001X999+1 ;（2 ）20102- 2011X2009.【分析】（1）把所求式子中1001变形为（1000+1 ）和999变形为（1000 - 1）,得到两数之和与两数之差的积满足平方差公式的特点，从而利用平方差公式计算即可求出值；（2）把所求式子中的2001变形为（2000+1）, 2009变形为（2000- 1）,得到两数之和与两数之差的积满足平方差公式的特点，从而利用平方差公式计算即可求出值.214. （2010春？濮阳校级月考）应用乘法公式进行计算：2006X2008- 2007 .【分析】根据式子得特点转化成（2007 - 1）（2007+1 ）- 20072，用平方差公式展开即可求出答案.15. （2010春?成都校级期末）（寺1-2）诘計2）+ （-3+盂）（-葢-3）【分析】利用平方差公式即可求得（"x - 2）（一 x+2 ）与（-3+x）（- x - 3）的值，再求和12 2即可.2 216. (2009春？青羊区校级期中)已知，(a- b) (a+b) =a2- b2，求(1)(2- 1) (2+1) =J ；(2) (2+1) (22+1 )=」5 ;(3)求(2+1) (22+1 ) (24+1) (28+1) (232+1 )的值；(4)求(2+1) (22+1 ) (23+1) (24+1) (230+1) +7 的个位数字.【分析】(1)根据平方差公式求出即可；(2)添加上2- 1=1，根据平方差公式求出即可；(3)添加上(2- 1),重复根据平方差公式依次求出，即可得出答案；(4)求出(2+1) (22+1 )、(2+1 ) ( 22+1) ( 23+1 )、(2+1) (22+1 ) (23+1) (2°+1 )、…、(2+1) (22+1 ) (23+1 ) (24+1 ) •••(2 +1)的结果，根据结果得出规律(结果的个位数字是5),即可求出答案.17. (2009春？甘州区校级期中)(x - 2y) (2y+x)【分析】根据平方差公式(a+b) ( a- b) =a2- b2进行计算即可.18. (2000?内蒙古)计算：—12346 s- 12346X12347【分析】分析直接计算繁，仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12345,12346,12347 , 然后利用平方差公式进行计算.2 219. 已知a+b=8，且a - b =48，求a- 3b 的值.【分析】根据平方差公式把a2- b2=48化为(a+b) (a- b) =48，根据题意求出a、b的值，代入计算即可.20. 计算：(3x - 5y2) (- 3x - 5y2).【分析】本题是平方差公式的应用，- 5y2是相同的项，互为相反项是3x与5y2，对照平方差公式计算.2 2 221 .若x - y =5, (x+y) =4，求x - y 的值.【分析】把(x+y )=4两边开平方得到x+y= ±,然后根据平方差公式把x2- y2=5变形为(x+y ) (x - y) =5,再代入计算整理即可求解.2 222. (a- b) (a+b) ( a +b )【分析】直接利用平方差公式计算即可.23. 如图，在边长为a的正方形的一角是一个边长为b的正方形，请用这个图形验证公式:2 2a -b = (a+b) (a- b).【分析】禾U用正方形的面积减去小正方形的面积，即为所剩部分的面积.24. 利用平方差公式计算：(1)(3x - 5) (3x+5);(2)(- 2a- b) (b - 2a);(3)(- 7m+8n) (- 8n-7m);(4)(x- 2) (x+2 ) (x2+4).【分析】(1)直接利用平方差公式进行计算即可；(2 )直接利用平方差公式进行计算即可；(3 )直接利用平方差公式进行计算即可；(4 )两次运用平方差公式进行计算即可；25 .计算：(a -丄)(a^—■) ( a -丄a+丄)(a )3 3 3 9 9【分析】首先利用立方和与立方差公式进行计算，最后再利用平方差公式计算.26. 计算:(1)(- ab- 2) (ab+2)(2)(x+2 ) (x - 2) (X34+4)【分析】(1)先提取符号，然后利用完全平方公式计算即可；(2)利用平方差公式先计算(X+2) (X-2),然后再次利用平方差公式计算即可.2 227. 小明在计算3 (4+1) (4 +1 )时，把3 写成4 - 1 后，得3 (4+1) ( 4 +1) = (4 - 1) (4+1) (42+1 ) = (42- 1) (42+1) =45 6 7- 1，仿照上式方法计算：(2+1 ) (22+1 ) (24+1 ) (28+1 )… (2256+1 ) - 2512的值.【分析】所求算式前面乘(2 - 1)，然后依据平方差公式计算即可.28.用平方差公式速算:3 2 2 2 2 2 2 230. (2006 秋？简阳市期末)观察下列式子：3 - 1 =8, 5 - 3 =16, 7 - 5 =24, 9 - 7 =32 ,根据以上式子的特点，试用含有n的等式表示上述规律，并用一句简洁的话概括此规律.【分析】从式子的左边分析，2个连续奇数的平方，大奇数的平方减去小奇数的平方；从等式右边知道变化数n是自然数，8是不变数.a+b ) (a- b ) =a2- b2计算即可. 【分析】把原式化为平方差的形式，然后根据平方差公式(29. 简便计算：20132- 2012 >2014 - 9992.【分析】首先将原式变形为20132-( 2013 - 1) (2013+1 ) -( 1000- 1) 2后，展开合并即可得出结论.。
专题1.5-6平方差公式和完全平方公式(讲练)七年级下册同步讲练(解析版)(北师大版)
专题1.5-6平方差公式和完全平方公式典例体系（本专题共76题33页）一、知识点（1）平方差公式：()()22a b a b a b +-=-即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差； （2）完全平方公式：222222()2()2a b a ab b a b a ab b+=++-=-+即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍； （3）添括号：①如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号； ②如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号；二、考点点拨与训练考点1：平方差公式的适用条件典例：（2020·山西左权·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（ ） A ．(a+b)(a -2b) B ．(x+2y)(x -2y)C ．（-a+2b)(a -2b)D ．（-2m -n ）（2m+n ）【答案】B【解析】A ：()()2a b a b +-无法化为()()a b a b +-形式的式子，故其不能用平方差公式计算； B ：()()22x y x y +-符合平方差公式的形式，故其可以用平方差公式计算；C ：()()22a b a b -+-无法化为()()a b a b +-形式的式子，故其不能用平方差公式计算；D ：()()22m n m n --+无法化为()()a b a b +-形式的式子，故其不能用平方差公式计算； 故选：B. 方法或规律点拨本题主要考查了平方差公式，熟练掌握相关公式是解题关键. 巩固练习1．（2019·河北南宫·期末）下列各式不能运用平方差公式计算的是（ ） A ．(2)(2)a b a b -+ B ．(5)(5)a a -+-- C ．(21)(12)x x --+ D ．(2)(2)x y x y ---【答案】C 【解析】解：C 、两项都是相同的项，不能运用平方差公式；A 、B 、D 中均存在相同和相反的项，故选：C ．2．（2020·河南舞钢·期中）下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（ ） A ．()()m n m n --- B ．()()11mn mn -++ C ．()()m n m n -+- D ．23)(3)(2m m -+【答案】C【解析】∵()()m n m n ---=()()m n m n --+=()2222m nmn -=-+-，∴A 不符合题意，∵()()11mn mn -++=()221mn -=221m n ，∴B 不符合题意，∵()()m n m n -+-=()()()2m n m n m n ---=--∴C 符合题意，∵23)(3)(2m m -+=222(2)349m m -=-， ∴D 不符合题意． 故选C ．3．（2020·江苏梁溪·期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A ．(2)(2)x a x a +- B ．(12)(12)a a --+ C ．(5)(5)b c c b +- D ．(2)(2)x y x y +-+ 【答案】B【解析】解：A 、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；B 、（1-2a ）（-1+2a ）=-（1-2a ）2，不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；C 、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；D 、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； 故选：B ．4．（2020·安徽临泉·期末）能用平方差公式计算的是（ ） A ．()()x y x y -+- B ．()()x y x y -++ C ．()2(1)x x +- D ．()23(32)x x +-【答案】B【解析】解：A ．不能用平方差公式计算，该项不符合题意； B ．可以用平方差公式计算，该项符合题意； C ．不能用平方差公式计算，该项不符合题意； D ．不能用平方差公式计算，该项不符合题意； 故选：B ．5．（2020·达州市通川区第八中学期中）下列各式不能用平方差公式计算的是（ ） A ．()(+)x y x y -- B ．()(+)x y x y --- C ．()()ab c ab c +- D ．(0.3)(0.3)x y y x ---【答案】A【解析】A. 含x 、y 的项都符号相反，不能用平方差公式计算； B. 含x 的项符号相同，含y 的项符号相反，能用平方差公式计算； C. 含y 的项符号相同，含x 的项符号相反，能用平方差公式计算； D. 含y 的项符号相同，含x 的项符号相反，能用平方差公式计算． 故选:A.6．（2020·沈阳市第一二七中学期中）下列各多项式相乘：①（-2ab+5x ）(5x+2ab);②(ax －y)(-ax -y);③(-ab -c)(ab -c);④(m+n)(-m -n).其中可以用平方差公式的有 （ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】解：①（-2ab+5x ）(5x+2ab)= （5x -2ab ）(5x+2ab)，符合平方差公式，故①正确; ②(ax －y)(-ax -y) =- (ax －y)( ax+y)，符合平方差公式，故②正确; ③(-ab -c)(ab -c)=- (a+-c)(ab -c) ，符合平方差公式，故③正确; ④(m+n)(-m -n)=- (m+n)(m+n)，不符合平方差公式，故④错误. 正确的有①②③. 故选B.7．（2020·西藏日喀则·期末）下列乘法运算中不能用平方差公式计算的是（ ） A ．（x+1）（x ﹣1） B ．（x+1）（﹣x+1） C ．（﹣x+1）（﹣x ﹣1） D ．（x+1）（﹣x ﹣1）【答案】D【解析】解：选项A ：(x+1)(x -1)=x 2-1，故选项A 可用平方差公式计算，不符合题意， 选项B ：(x+1)(-x+1)=1-x 2，故选项B 可用平方差公式计算，不符合题意， 选项C ：(-x+1)(-x -1)=x 2-1，故选项C 可用平方差公式计算，不符合题意， 选项D ：(x+1)(-x -1)=-(x+1)2，故选项D 不可用平方差公式计算，符合题意， 故选：D ．考点2：应用平方差公式进行计算典例：（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）1122xy xy______．【答案】2214x y【解析】2222111111222224xy xyxyxyxyx y 方法或规律点拨本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 巩固练习1．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）若245a a +=，则代数式2(2)(1)(1)a a a a +-+-的值为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．6【答案】D【解析】解：2(2)(1)(1)a a a a +-+-22241a a a =+-+241,a a =++ 245a a +=， ∴ 上式51 6.=+=故选D ．2．（2020·湖南涟源·初一期末）计算()()2323a b a b -+的正确结果是（ ） A ．2249a b + B ．2249a b -C ．224129a ab b ++D ．224129a ab b -+【答案】B【解析】()()2323a b a b -+2249a b =-．故选：B ．3．（2020·绍兴市文澜中学期中）若2210m n -=，且4m n -=，则m n +=_____ 【答案】2.5【解析】∵2210m n -=， 4m n -=， ∴m n +=(22m n -)÷(m n -)= 2.54．（2020·河南洛宁·月考）计算：(4(4+⨯=__________． 【答案】9【解析】根据平方差公式可得(4(4⨯=2241679-=-=，故答案为9. 5．（2020·山东中区·初一期末）若5a b +=，3a b -=，则22a b -=_____． 【答案】15【解析】解：∵5a b +=，3a b -=， ∴22a b - ()()a b a b =+-53=⨯15=故答案为156．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）44qq pp________．【答案】2216q p -【解析】解：22224444416q q q q q q pppppp故答案为：2216q p -．7．（2020·吉林延边·初二期末）计算：+=____________． 【答案】4【解析】解：+ 22=-4=，故答案为：4．8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）224488a b ab a b a b a b【答案】1616a b【解析】解：原式＝22224488(-)()()()a b a b a b a b +++ ＝444488(-)()()a b a b a b ++ ＝8888(-)()a b a b + ＝1616-a b ．考点3：乘法公式与图形面积典例：（2020·北京通州·初一期中）将边长为a 的正方形的左上角剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）．（1）设图1中阴影部分的面积为S ₁，图2中阴影部分的面积为S ₂，请用含a ．b 的式子表示：S ₁＝ ，S ₂＝ ；（不必化简）（2）以上结果可以验证的乘法公式是 ．（3）利用（2）中得到的公式，计算；20202﹣2019×2021．【答案】（1）a 2﹣b 2，（a ＋b ）（a ﹣b ）；（2）（a ＋b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2；（3）1．【解析】解：（1）根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得：S ₁＝a 2﹣b 2，S ₂＝（a ＋b ）（a ﹣b ） 故答案为：a 2﹣b 2，（a ＋b ）（a ﹣b ）；（2）以上结果可以验证的乘法公式是a 2﹣b 2＝（a ＋b ）（a ﹣b ）． 故答案为：（a ＋b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2．（3）20202﹣2019×2021＝20202﹣（2020﹣1）×（2020＋1） ＝20202﹣（20202﹣1） ＝20202﹣20202＋1 ＝1．方法或规律点拨本题考查了平方差公式的几何背景及其在简算中的应用，数形结合并明确平方差公式的形式是解题的关键． 巩固练习1．（2020·沈阳市第一二七中学期中）如图，它由两块相同的直角梯形拼成，由此可以验证的算式为（ ）A ．22()()a b a b a b -=+-B ．222()2a b a ab b +=++C ．222()2a b a ab b -=-+D ．22(1)(1)a b -=+【答案】A【解析】如图，拼成的等腰梯形如下：上图阴影的面积s ＝a 2−b 2，下图等腰梯形的面积s ＝2（a ＋b ）（a−b ）÷2＝（a ＋b ）（a−b ）， 两面积相等所以等式成立a 2−b 2＝（a ＋b ）（a−b ）．这是平方差公式． 故选：A ．2．（2020·福建省惠安科山中学月考）如下图所示，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形（a b >），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a 、b 的恒等式为（ ）A ．222()2a b a ab b -=-+B ．222()2a b a ab b +=++C ．22()()a b a b a b -=+-D ．2()a ab a a b +=+【答案】C【解析】解：正方形中，S 阴影=a 2-b 2； 梯形中，S 阴影=12（2a+2b ）（a -b ）=（a+b ）（a -b ）； 故所得恒等式为：a 2-b 2=（a+b ）（a -b ）． 故选：C ．3．（2020·广东禅城·期末）在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形（a >b 〉）把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A ．2()a ab a a b -=-B ．()2222a b a ab b +=++ C ．()2222a b a ab b -=-+ D ．()22()a b a b a b -=+-【答案】D【解析】解：左图的阴影部分的面积为（a ＋b ）（a−b ），右图的阴影部分的面积为a 2−b 2， 因此有为a 2−b 2＝（a ＋b ）（a−b ）， 故选：D ．4．（2018·河南汝阳·初二期末）图（1）是一个长为2a ，宽为2b （a ＞b ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是A. abB.()2a b + C. ()2a b - D. 22a b -【答案】C【解析】由题意可得，正方形的边长为a b +，故正方形的面积为()2a b +。
平方差公式知识点讲解,典型例题,过关练习
平方差公式【知识要点梳理】1. 平方差公式:两个数的________与这两个数的______的积等于这两个数的_______. 这个公式叫做乘法的平方差公式：______________________2.公式的结构特征①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为_________； ②右边是乘式中两项的平方差.【典型例题探究】例1. 热身训练（1）（21x+31y ）（31y －21x ）＝ （2）（２x －３y ）（ ）＝９y 2－４x 2（3）（－a ＋51）（－a －51）＝ （－a －５）（ ）＝25－a 2（4）(x-1)(2x +1)( )=4x -1（5）(a+b+c)(a-b-c)=[a+( )][a-( )]（6）(a-b-c-d)(a+b-c+d)= [( )-( )] [( )+( )]（7）1000110199⨯⨯（8）2010200820092⨯-例2．计算：（1）2481632(21)(21)(21)(21)(21)(21)1+++++++（2）2481511111(1)(1)(1)(1)22222+++++（3）)1)(1)(1)(1(842++++a a a a例3．已知02,622=-+=-y x y x ，求5--y x 的值．例4．解方程：()()2313154322365=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-++x x x x x例5．已知1296-可以被在60至70之间的两个整数整除，则这两个整数是多少？例6. 已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数分别是多少？【基础达标演练】1．1.010.99⨯= 2．2221000252248-= 3．(2)(2)x y x y +++-=4．22(2)(2)(4)x y x y x y -++=5．在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()x y x y --+B ．3333()()a b a b -+C ．2222()()c d d c -+D ．()()m n m n ---6．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）A ．()()a b a b -+-B ．(2)(2)x x ++C ．1133x y y x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．(2)(1)x x -+ 7．在下列各式中，运算结果是2236y x -的是（ ）A. ()()x y x y --+-66B. ()()x y x y -+-66C. ()()y x y x 94-+D. ()()x y x y ---668．在①()22293a a=；②()()22515115m m m -=++-；③()()()532111--=--a a a ； ④626442++=⨯⨯n m n m 中，运算正确的是（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④9. 计算题2229995(2)(2)x x x -+--【能力提升训练】1．若222,10x y x y -=-=则x+y= 2.2(1)(1)(1)x x x +-+=3．(1)(2)(3)(3)x x x x +---+= 4．=⨯101995. 计算)201011()200911()311()211(2222-⨯-⨯⨯-⨯-6. ()()()()()131313131316842+⨯+⨯+⨯+⨯+7. 22222222100999897969521-+-+-++-8. 解方程(21)(21)3(2)(2)(1)(2)12x x x x x x -+-+-=+-+【走近中考前沿】1．（安徽）老师在黑板上写出三个算式：283522⨯=-;487922⨯=-;27831522⨯=-. 王华接着又写了两个具有同样规律的算式：12851122⨯=-;22871522⨯=-.（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；（2）用文字写出反映上述算式的规律；（3）证明这个规律的正确性.2.（浙江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”.（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的（取正数）平方差是神秘数吗？为什么？3．(内江) 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A ．2222)(b ab a b a ++=+B ．2222)(b ab a b a +-=-C ．))((22b a b a b a -+=-D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+a aa 图甲 图乙 图乙【数学竞赛花园】* 1．一个正整数，若分别加上100与167，则可得到两个完全平方数，求这个正整数.* 2.若n m y x +=+，且2222n m y x +=+，求证：2010201020102010n m y x +=+.* 3.已知45b a =,23d c =,19=-a c ,求b d -.。
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初一数学平方差公式专题提高训练1．（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）2．（2015秋•宁津县校级月考）探索题：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+1）=x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1（1）根据以上规律，求（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+1）（2）判断22013+22012+…+22+2+1的值的个位数是几？3．（2014春•东海县校级期末）乘法公式的探究及应用（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是（写成多项式乘法的形式）；（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式；（4）运用你所得到的公式，计算：（a+b﹣2c）（a﹣b+2c）．4．（2014春•江山市校级期中）如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图的长方形．（1）根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式，这个公式的名称叫．（2）根据你在（1）中得到的公式计算下列算式：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．5．（2014春•宝安区校级月考）观察下列式子．①32﹣12=（3+1）（3﹣1）=8；②52﹣32=（5+3）（5﹣3）=16；③72﹣52=（7+5）（7﹣5）=24；④92﹣72=（9+7）（9﹣7）=32．（1）求212﹣192=．（2）猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是，并给予证明．6．（2014春•汕尾校级月考）看图解答（1）通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为．（2）运用你所得到的公式，计算下题：①10.3×9.7②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）7．（2014春•黄冈月考）对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）不用计算器，计算它的结果；（2）求出它的末位数字．8．（2013秋•无为县期末）计算下列各题：（1）填空：（x﹣1）（x+1）=．（x﹣1）（x2+x+1）=．（x﹣1）（x3+x2+x+1）=．…（2）根据前面各式的规律，填空：（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）=．（3）根据这一规律，计算1+2+22+23+…+298+299．9．（2013秋•安岳县期末）乘法公式的探究及应用：（1）如图1所示，阴影部分的面积是（写成平方差的形式）（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2所示的长方形，此长方形的面积是（写成多项式相乘的形式）．（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：．（4）应用所得的公式计算：2（1+）（1+）（1+）（1+）+．10．（2012春•阜阳期末）计算：（2x﹣y）（4x2+y2）（2x+y）11．（2011春•泰州期中）通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算195×205．解：195×205=（200﹣5）（200+5）①=2002﹣52②=39975（1）例题求解过程中，第②步变形是利用（填乘法公式的名称）．（2）用简便方法计算：9×11×101×10001．12．（2010秋•涵江区期末）计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．13．（2010春•南岸区期末）运用整式乘法公式计算：（1）1001×999+1；（2）20102﹣2011×2009．14．（2010春•濮阳校级月考）应用乘法公式进行计算：2006×2008﹣20072．15．（2010春•成都校级期末）16．（2009春•青羊区校级期中）已知，（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，求（1）（2﹣1）（2+1）=；（2）（2+1）（22+1）=；（3）求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的值；（4）求（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）…（230+1）+7的个位数字．17．（2009春•甘州区校级期中）（x﹣2y）（2y+x）18．（2000•内蒙古）计算：19．已知a+b=8，且a2﹣b2=48，求a﹣3b的值．20．计算：（3x﹣5y2）（﹣3x﹣5y2）．21．若x2﹣y2=5，（x+y）2=4，求x﹣y的值．22．（a﹣b）（a+b）（a2+b2）23．如图，在边长为a的正方形的一角是一个边长为b的正方形，请用这个图形验证公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．24．利用平方差公式计算：（1）（3x﹣5）（3x+5）；（2）（﹣2a﹣b）（b﹣2a）；（3）（﹣7m+8n）（﹣8n﹣7m）；（4）（x﹣2）（x+2）（x2+4）．25．计算：（a﹣）（a+）（a2﹣a+）（a2+a+）26．计算：（1）（﹣ab﹣2）（ab+2）（2）（x+2）（x﹣2）（x2+4）27．小明在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，得3（4+1）（42+1）=（4﹣1）（4+1）（42+1）=（42﹣1）（42+1）=44﹣1，仿照上式方法计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（2256+1）﹣2512的值．28．用平方差公式速算：30×29．29．简便计算：20132﹣2012×2014﹣9992．30．（2006秋•简阳市期末）观察下列式子：32﹣12=8，52﹣32=16，72﹣52=24，92﹣72=32，…根据以上式子的特点，试用含有n的等式表示上述规律，并用一句简洁的话概括此规律．初一数学平方差公式专题提高训练参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）【分析】（1）首先把124分成123+1，把122分成123﹣1，然后根据平方差公式计算即可．（2）根据乘法交换律和平方差公式，求出算式（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）的值是多少即可．2．（2015秋•宁津县校级月考）探索题：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+1）=x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1（1）根据以上规律，求（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+1）（2）判断22013+22012+…+22+2+1的值的个位数是几？【分析】（1）根据题干所给出的例子可知（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+1）=x7﹣1；（2）给等式乘以（2﹣1）从而可知22013+22012+…+22+2+1=22014﹣1，然后找出2n的尾数规律从而得到答案．3．（2014春•东海县校级期末）乘法公式的探究及应用（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是a2﹣b2（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是（a﹣b）（a+b）（写成多项式乘法的形式）；（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（4）运用你所得到的公式，计算：（a+b﹣2c）（a﹣b+2c）．【分析】（1）中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）中的长方形，宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；（3）中的答案可以由（1）、（2）得到，（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．（4）先变式，再根据平方差公式计算．4．（2014春•江山市校级期中）如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图的长方形．（1）根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），这个公式的名称叫平方差公式．（2）根据你在（1）中得到的公式计算下列算式：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【分析】（1）利用面积公式：大正方形的面积﹣小正方形的面积=阴影面积；利用矩形公式即可求解；利用面积相等列出等式即可；是平方差公式．（2）利用平方差公式简便计算．5．（2014春•宝安区校级月考）观察下列式子．①32﹣12=（3+1）（3﹣1）=8；②52﹣32=（5+3）（5﹣3）=16；③72﹣52=（7+5）（7﹣5）=24；④92﹣72=（9+7）（9﹣7）=32．（1）求212﹣192=80．（2）猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是这两个数和的2倍，并给予证明．【分析】（1）将212﹣192写成（21+19）（21﹣19）利用平方差公式计算即可；（2）根据题目提供的规律进行证明后即可得到结论．6．（2014春•汕尾校级月考）看图解答（1）通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．（2）运用你所得到的公式，计算下题：①10.3×9.7②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）【分析】（1）左图的阴影部分面积=边长为a的正方形的面积﹣边长为b的正方形的面积，右两图的阴影部分面积=长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形的面积，根据两图中阴影部分面积相等列式即可；（2）①先将103×97变形为（100+3）（100﹣3），再利用平方差公式计算；②先将②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）化为[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]再利用平方差公式计算即可．7．（2014春•黄冈月考）对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）不用计算器，计算它的结果；（2）求出它的末位数字．【分析】（1）将2转化为（3﹣1），与（3+1）配成平方差公式，其结果为（32﹣1），与（32+1）又配成平方差公式，依此类推，可得结果．（2）根据31=3，32=9，33=27，3，4=81，35=243发现四次一循环，利用这一规律即可确定答案．8．（2013秋•无为县期末）计算下列各题：（1）填空：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1．（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1．（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1．…（2）根据前面各式的规律，填空：（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）=x n+1﹣1．（3）根据这一规律，计算1+2+22+23+…+298+299．【分析】（1）原式各项利用平方差公式及多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；（2）归纳总结得到一般性规律即可得到结果；（3）根据规律计算即可．9．（2013秋•安岳县期末）乘法公式的探究及应用：（1）如图1所示，阴影部分的面积是a2﹣b2（写成平方差的形式）（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2所示的长方形，此长方形的面积是（a+b）（a﹣b）（写成多项式相乘的形式）．（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．（4）应用所得的公式计算：2（1+）（1+）（1+）（1+）+．【分析】（1）根据面积的和差，可得答案；（2）根据矩形的面积公式，可得答案；（3）根据图形割补法，面积不变，可得答案；（4）根据平方差公式计算即可．10．（2012春•阜阳期末）计算：（2x﹣y）（4x2+y2）（2x+y）【分析】先交换位置，再根据平方差公式进行计算即可．11．（2011春•泰州期中）通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算195×205．解：195×205=（200﹣5）（200+5）①=2002﹣52②=39975（1）例题求解过程中，第②步变形是利用平方差公式（填乘法公式的名称）．（2）用简便方法计算：9×11×101×10001．【分析】（1）因为这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以利用平方差公式；（2）首先将原式变形为：（10﹣1）（10+1）（100+1）（10000+1），再利用平方差公式依次计算即可求得答案．12．（2010秋•涵江区期末）计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．【分析】把所求的式子的第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依次结合了50组，把结合后的偶次项提取﹣1，然后分别运用平方差公式变形，提取101后得到25个2相加，从而计算出结果．13．（2010春•南岸区期末）运用整式乘法公式计算：（1）1001×999+1；（2）20102﹣2011×2009．【分析】（1）把所求式子中1001变形为（1000+1）和999变形为（1000﹣1），得到两数之和与两数之差的积满足平方差公式的特点，从而利用平方差公式计算即可求出值；（2）把所求式子中的2001变形为（2000+1），2009变形为（2000﹣1），得到两数之和与两数之差的积满足平方差公式的特点，从而利用平方差公式计算即可求出值．14．（2010春•濮阳校级月考）应用乘法公式进行计算：2006×2008﹣20072．【分析】根据式子得特点转化成（2007﹣1）（2007+1）﹣20072，用平方差公式展开即可求出答案．15．（2010春•成都校级期末）【分析】利用平方差公式即可求得（x﹣2）（x+2）与（﹣3+x）（﹣x﹣3）的值，再求和即可．16．（2009春•青羊区校级期中）已知，（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，求（1）（2﹣1）（2+1）=3；（2）（2+1）（22+1）=15；（3）求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的值；（4）求（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）…（230+1）+7的个位数字．【分析】（1）根据平方差公式求出即可；（2）添加上2﹣1=1，根据平方差公式求出即可；（3）添加上（2﹣1），重复根据平方差公式依次求出，即可得出答案；（4）求出（2+1）（22+1）、（2+1）（22+1）（23+1）、（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）、…、（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）…（230+1）的结果，根据结果得出规律（结果的个位数字是5），即可求出答案．17．（2009春•甘州区校级期中）（x﹣2y）（2y+x）【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2进行计算即可．18．（2000•内蒙古）计算：【分析】分析直接计算繁，仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12345，12346，12347，然后利用平方差公式进行计算．19．已知a+b=8，且a2﹣b2=48，求a﹣3b的值．【分析】根据平方差公式把a2﹣b2=48化为（a+b）（a﹣b）=48，根据题意求出a、b的值，代入计算即可．20．计算：（3x﹣5y2）（﹣3x﹣5y2）．【分析】本题是平方差公式的应用，﹣5y2是相同的项，互为相反项是3x与5y2，对照平方差公式计算．21．若x2﹣y2=5，（x+y）2=4，求x﹣y的值．【分析】把（x+y）2=4两边开平方得到x+y=±2，然后根据平方差公式把x2﹣y2=5变形为（x+y）（x﹣y）=5，再代入计算整理即可求解．22．（a﹣b）（a+b）（a2+b2）【分析】直接利用平方差公式计算即可．23．如图，在边长为a的正方形的一角是一个边长为b的正方形，请用这个图形验证公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【分析】利用正方形的面积减去小正方形的面积，即为所剩部分的面积．24．利用平方差公式计算：（1）（3x﹣5）（3x+5）；（2）（﹣2a﹣b）（b﹣2a）；（3）（﹣7m+8n）（﹣8n﹣7m）；（4）（x﹣2）（x+2）（x2+4）．【分析】（1）直接利用平方差公式进行计算即可；（2）直接利用平方差公式进行计算即可；（3）直接利用平方差公式进行计算即可；（4）两次运用平方差公式进行计算即可；25．计算：（a﹣）（a+）（a2﹣a+）（a2+a+）【分析】首先利用立方和与立方差公式进行计算，最后再利用平方差公式计算．26．计算：（1）（﹣ab﹣2）（ab+2）（2）（x+2）（x﹣2）（x2+4）【分析】（1）先提取符号，然后利用完全平方公式计算即可；（2）利用平方差公式先计算（x+2）（x﹣2），然后再次利用平方差公式计算即可．27．小明在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，得3（4+1）（42+1）=（4﹣1）（4+1）（42+1）=（42﹣1）（42+1）=44﹣1，仿照上式方法计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（2256+1）﹣2512的值．【分析】所求算式前面乘（2﹣1），然后依据平方差公式计算即可．28．用平方差公式速算：30×29．【分析】把原式化为平方差的形式，然后根据平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2计算即可．29．简便计算：20132﹣2012×2014﹣9992．【分析】首先将原式变形为20132﹣（2013﹣1）（2013+1）﹣（1000﹣1）2后，展开合并即可得出结论．30．（2006秋•简阳市期末）观察下列式子：32﹣12=8，52﹣32=16，72﹣52=24，92﹣72=32，…根据以上式子的特点，试用含有n的等式表示上述规律，并用一句简洁的话概括此规律．【分析】从式子的左边分析，2个连续奇数的平方，大奇数的平方减去小奇数的平方；从等式右边知道变化数n是自然数，8是不变数．。