材料力学中的内力的符号规定
材料力学内力和截面法
〔3〕平衡。
可看出：杆件任一横截面上的内力，其作用线 均与杆件的轴线重合，因而称之为轴力用符号 FN表示。
3.轴力符号的规定
引起伸长变形的 轴力为正--拉力 〔背离截面〕；
引起压缩变形的 轴力为负--压力 〔指向截面〕。
4.轴力图
假设用平行于杆轴线的坐标表示横截 面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横 截面上轴力的数值，所绘出的图线可以说 明轴力与截面位置的关系，称为轴力图。
材料力学内力和截面法
课程导入：
工程实例
1.内力
内力--由于物体受外力作用而引起的内部各 质点间互相作用的力的改变量。
根据可变形固体的连续性假设可知，物 体内部相邻局部之间的作用力是一个连续分 布的内力系，我们所说的内力是该内力系的 合成〔力或力偶〕
2.截面法
求内力的一般方法------截面法 步骤： 〔1〕截开；
注意： 用截面法求内力的过程中，在截面取别离
前，作用于物体上的外力〔荷载〕不能任意移 动或用静力等效的相当力系替代。
5.例题
试作图示杆的轴力图。
布的内力系，我们所说的内力是该内力系的 横截面3-3：此时取截面3-3右边为别离体方便， 横截面1-1：注意假设轴力为拉力 体内部相邻局部之间的作用力是一个连续分 体内部相邻局部之间的作用力是一个连续分 前，作用于物体上的外力〔荷载〕不能任意移 体内部相邻局部之间的作用力是一个连续分 内力--由于物体受外力作用而引起的内部各 解：求支反力 FR=10kN 内力--由于物体受外力作用而引起的内部各 布的内力系，我们所说的内力是该内力系的 可看出：杆件任一横截面上的内力，其作用线 体内部相邻局部之间的作用力是一个连续分
解：求支反力 F =10kN 内力--由于物体受外力作用而引起的内部各
工程力学参数符号的确定
工程力学参数符号的确定作者：刘小妹李培超潘颖来源：《教育教学论坛》2016年第30期摘要：工程力学静力学中的力，运动学中的速度和加速度等都是矢量，在求解时运用较多的是矢量在轴上投影的代数量；材料力学中拉压、扭转、弯曲的轴力、扭矩和弯矩等内力也都是代数量。
投影的代数量与内力的代数量正负号的规定有所不同，在学习的过程中容易混淆。
本文介绍了两种类型代数量正负号的确定方法，为工程力学的学习打下良好的基础。
关键词：工程力学；矢量；代数量；正负号中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）30-0210-02工程力学是我校近机类如机械、汽车、轨道和航空等工科专业开设的一门重要的专业基础课。
分为工程力学一也就是理论力学[1]内容以及工程力学二材料力学[2]内容，分在两个学期教学。
在理论力学中一些重要的参数诸如力、速度以及加速度等都是矢量，求解时均列代数方程，是关于这些矢量在轴上投影的代数量。
在材料力学中，其中重要的参数有三种内力：轴力、扭矩和弯矩以及两种应力：正应力和剪应力等也都是代数量。
但是，矢量投影的代数量正负号以及内力、应力的代数量正负号的规定是完全不同的，掌握它们的方法，是正确求解题目的前提。
据此，本文对工程力学中参数的正负号问题进行探讨，对理论力学和材料力学的相关问题进行比较，为学生的学习建立夯实的基础。
一、理论力学中的参数在理论力学教学中，静力学中的力、空间力矩以及空间力偶，运动学中的速度以及加速度均为矢量，为了方便求解，都是求矢量在轴上的投影，即代数量。
如图1所示，力在x轴上的投影X=Fcosα，显然当夹角小于九十度，投影为正；反之为负。
力矩以及力偶在平面问题中，为代数量，规定了逆时针为正；相反顺时针为负。
其他矢量的投影的正负可以依次类推。
由此可知：矢量在轴上投影的正负取决与矢量的方向以及建立的坐标轴的方向的夹角。
这样我们在静力学中列力在坐标轴上的投影方程、运动学中速度和加速度合成的投影的表达式就会迎刃而解。
工程力学 复习要点简答题答案
2010-2011学年第2学期工程力学复习要点简 答 题 参 考 答 案1、说明下列式子的意义和区别。
①21F F =；②21F F =；③力1F 等效于力2F。
【答】： ①21F F =，表示两个量（代数量或者标量）数值大小相等，符号相同；②21F F =，表示两个矢量大小相等、方向相同； ③力1F 等效于力2F ，力有三个要素，所以两个力等效，是指两个力的三要素相同。
2、作用与反作用定律和二力平衡公理都提到等值、反向、共线，试问二者有什么不同？【答】：二者的主要区别是：二力平衡公理中等值、反向、共线的两个力，作用在同一刚体上，是一个作用对象，两个力构成了一个平衡力系，效果是使刚体保持平衡，对于变形体不一定成立。
作用与反作用定律中等值、反向、共线的两个力，作用在两个有相互作用的物体上，是两个作用对象，此两力不是平衡力系，对刚体、变形体、静止或者作变速运动的物体都适用。
3、力在坐标轴上的投影与力沿相应坐标轴方向的分力有什么区别和联系？【答】：力在坐标轴上的投影是代数量，可为正、负或零，没有作用点或作用线；力沿相应坐标轴的方向的分力是矢量、存在大小、方向和作用点。
当坐标轴或力的作用线平移时，力的投影大小和正负不变，但沿对应坐标轴的分力作用点发生改变。
当x 轴与y 轴互相垂直时，力沿坐标轴方向的分力大小等于力在对应坐标轴上投影的绝对值；当x 轴与y 轴互相不垂直时，力沿坐标轴方向的分力大小不等于力在对应坐标轴上投影的绝对值。
4、什么叫二力构件？分析二力构件受力时与构件的形状有无关系？凡两端用铰链连接的杆都是二力杆吗？【答】：二力构件是指只受两个力作用而保持平衡的构件．．．．．．．．．．．．．．．，二力构件既可以是杆状，也可以是任意形状的物体。
分析二力构件受力时，与构件的几何形状没有关系（即并不考虑物体的几何形状），只考虑物体：（1）是否只受两个力的作用（一般情况下都是忽略重力的作用）；（2）是否保持平衡状态。
工程力学试题库-材料力学
材料力学基本知识复习要点1.材料力学的任务材料力学的主要任务就是在满足刚度、强度和稳定性的基础上，以最经济的代价，为构件确定合理的截面形状和尺寸，选择合适的材料，为合理设计构件提供必要的理论基础和计算方法。
2.变形固体及其基本假设连续性假设：认为组成物体的物质密实地充满物体所在的空间，毫无空隙。
均匀性假设：认为物体内各处的力学性能完全相同。
各向同性假设：认为组成物体的材料沿各方向的力学性质完全相同。
小变形假设：认为构件在荷载作用下的变形与构件原始尺寸相比非常小。
3.外力与内力的概念外力：施加在结构上的外部荷载及支座反力。
内力：在外力作用下，构件内部各质点间相互作用力的改变量，即附加相互作用力。
内力成对出现，等值、反向，分别作用在构件的两部分上。
4.应力、正应力与切应力应力：截面上任一点内力的集度。
正应力：垂直于截面的应力分量。
切应力：和截面相切的应力分量。
5.截面法分二留一，内力代替。
可概括为四个字：截、弃、代、平。
即：欲求某点处内力，假想用截面把构件截开为两部分，保留其中一部分，舍弃另一部分，用内力代替弃去部分对保留部分的作用力，并进行受力平衡分析，求出内力。
6.变形与线应变切应变变形：变形固体形状的改变。
线应变：单位长度的伸缩量。
练习题一.单选题1、工程构件要正常安全的工作，必须满足一定的条件。
下列除（）项，其他各项是必须满足的条件。
A、强度条件B、刚度条件C、稳定性条件D、硬度条件2、物体受力作用而发生变形，当外力去掉后又能恢复原来形状和尺寸的性质称为（）A．弹性B．塑性C．刚性D．稳定性3、结构的超静定次数等于（）。
A．未知力的数目B．未知力数目与独立平衡方程数目的差数C．支座反力的数目D．支座反力数目与独立平衡方程数目的差数4、各向同性假设认为，材料内部各点的（）是相同的。
A.力学性质B.外力C.变形D.位移5、根据小变形条件，可以认为（）A.构件不变形B.结构不变形C.构件仅发生弹性变形D.构件变形远小于其原始尺寸6、构件的强度、刚度和稳定性（）A.只与材料的力学性质有关B.只与构件的形状尺寸有关C.与二者都有关D.与二者都无关7、在下列各工程材料中，（）不可应用各向同性假设。
材料力学知识点总结
三、应力 1.定义 (Definition)：由外力引起的内力的集度 2. 应力 ①平均应力
pm
=
ΔF ΔA
②全应力（总应力）
p lim ΔF dF ΔA0 ΔA dA
③全应力分解为 垂直于截面的应力称为“正应力”
lim ΔFN dFN ΔA0 ΔA dA
位于截面内的应力称为“切应力”
·§3-3 薄壁圆筒的扭转
1 10 r0
姚小宝
薄壁圆筒：壁厚
（r0—圆筒的平均半径）
3.推论 （1）横截面上无正应力，只有切应力；
（2）切应力方向垂直半径或 与圆周相切.
圆周各点处切应力的方向于圆周相切,且数值相等,近似的认为沿壁厚方向各点处
切应力的数值无变化.
4.推导
此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式. 薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布,与半径垂直,指向与扭矩的转向一致.
固定铰支座
固定端
5.静定梁的基本形式：
·§4-2 梁的剪力和弯矩
一、内力计算
简支梁 外伸梁
悬臂梁
求内力——截面法
姚小宝
二、内力的符号规定 1.剪力符号
2.弯矩符号
当 dx 微段的弯曲下凸（即该段的下 半部受拉 ）时,横截面 m-m 上的弯矩为 正；
当 dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面 m-m 上的弯矩为负.
2.平面假设
变形前为平面的横截面 ,变形后仍保持为平面.
3.几何关系 倾角 是横截面圆周上任一点 A 处的切应变, d 是 b-b 截面相对于 a-
a 截面象刚性平面一样绕杆的轴线转动的一个角度.
tan
材料力学重点公式复习
1、应力 全应力正应力切应力线应变 的大小; 外力偶矩当功率P 当功率拉压杆件横截面上只有正应力σ,且为平均分布,其计算公式为 N FAσ= 3-1式中N F 为该横截面的轴力,A 为横截面面积;正负号规定 拉应力为正,压应力为负; 公式3-1的适用条件：1杆端外力的合力作用线与杆轴线重合,即只适于轴向拉压杆件； 2适用于离杆件受力区域稍远处的横截面；3杆件上有孔洞或凹槽时,该处将产生局部应力集中现象,横截面上应力分布很不均匀； 4截面连续变化的直杆,杆件两侧棱边的夹角020α≤时 拉压杆件任意斜截面a 图上的应力为平均分布,其计算公式为全应力 cos p ασα= 3-2正应力 2cos ασσα=3-3切应力1sin 22ατα=3-4 式中σ为横截面上的应力;正负号规定：α 由横截面外法线转至斜截面的外法线,逆时针转向为正,反之为负;ασ 拉应力为正,压应力为负;ατ 对脱离体内一点产生顺时针力矩的ατ为正,反之为负;两点结论：1当00α=时,即横截面上,ασ达到最大值,即()max ασσ=;当α=090时,即纵截面上,ασ=090=0;2当045α=时,即与杆轴成045的斜截面上,ατ达到最大值,即max ()2αατ=1．2 拉压杆的应变和胡克定律 1变形及应变杆件受到轴向拉力时,轴向伸长,横向缩短；受到轴向压力时,轴向缩短,横向伸长;如图3-2;图3-2 轴向变形 1l l l ∆=- 轴向线应变 llε∆= 横向变形 1b b b ∆=- 横向线应变 bbε∆'=正负号规定 伸长为正,缩短为负; 2胡克定律当应力不超过材料的比例极限时,应力与应变成正比;即 E σε= 3-5 或用轴力及杆件的变形量表示为 N F ll EA∆=3-6 式中EA 称为杆件的抗拉压刚度,是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量;公式3-6的适用条件：a 材料在线弹性范围内工作,即p σσ〈；b 在计算l ∆时,l 长度内其N 、E 、A 均应为常量;如杆件上各段不同,则应分段计算,求其代数和得总变形;即1ni ii i iN l l E A =∆=∑3-7 3泊松比 当应力不超过材料的比例极限时,横向应变与轴向应变之比的绝对值;即 ενε'=3-8强度计算许用应力 材料正常工作容许采用的最高应力,由极限应力除以安全系数求得; 塑性材料 σ=s s n σ ； 脆性材料 σ=b bn σ其中,s b n n 称为安全系数,且大于1;强度条件：构件工作时的最大工作应力不得超过材料的许用应力; 对轴向拉伸压缩杆件[]NAσσ=≤ 3-9 按式1-4可进行强度校核、截面设计、确定许克载荷等三类强度计算; 2.1 切应力互等定理受力构件内任意一点两个相互垂直面上,切应力总是成对产生,它们的大小相等,方向同时垂直指向或者背离两截面交线,且与截面上存在正应力与否无关;2.2纯剪切单元体各侧面上只有切应力而无正应力的受力状态,称为纯剪切应力状态; 2.3切应变切应力作用下,单元体两相互垂直边的直角改变量称为切应变或切应变,用τ表示; 2.4 剪切胡克定律在材料的比例极限范围内,切应力与切应变成正比,即 G τγ= 3-10式中G 为材料的切变模量,为材料的又一弹性常数另两个弹性常数为弹性模量E 及泊松比ν,其数值由实验决定;对各向同性材料,E 、 ν、G 有下列关系 2(1)EG ν=+ 3-112.5.2切应力计算公式横截面上某一点切应力大小为 p pT I ρτ=3-12 式中p I 为该截面对圆心的极惯性矩,ρ为欲求的点至圆心的距离;圆截面周边上的切应力为 max tTW τ=3-13 式中p t I W R=称为扭转截面系数,R 为圆截面半径;2.5.3 切应力公式讨论（1） 切应力公式3-12和式3-13适用于材料在线弹性范围内、小变形时的等圆截面直杆；对小锥度圆截面直杆以及阶梯形圆轴亦可近似应用,其误差在工程允许范围内; （2） 极惯性矩p I 和扭转截面系数t W 是截面几何特征量,计算公式见表3-3;在面积不变情况下,材料离散程度高,其值愈大；反映出轴抵抗扭转破坏和变形的能力愈强;因此,设计空心轴比实心轴更为合理;2.5.4强度条件圆轴扭转时,全轴中最大切应力不得超过材料允许极限值,否则将发生破坏;因此,强度条件为[]max maxt T W ττ⎛⎫=≤⎪⎝⎭ 3-14 对等圆截面直杆 []maxmax tT W ττ=≤ 3-15式中[]τ为材料的许用切应力; 3.1.1中性层的曲率与弯矩的关系1zMEI ρ=3-16 式中,ρ是变形后梁轴线的曲率半径；E 是材料的弹性模量；E I 是横截面对中性轴Z 轴的惯性矩; 3.1.2横截面上各点弯曲正应力计算公式 ZMy I σ=3-17 式中,M 是横截面上的弯矩；Z I 的意义同上；y 是欲求正应力的点到中性轴的距离最大正应力出现在距中性轴最远点处 max max max max z zM My I W σ=•= 3-18 式中,max z z I W y =称为抗弯截面系数;对于h b ⨯的矩形截面,216z W bh =；对于直径为D 的圆形截面,332z W D π=；对于内外径之比为d a D =的环形截面,34(1)32z W D a π=-; 若中性轴是横截面的对称轴,则最大拉应力与最大压应力数值相等,若不是对称轴,则最大拉应力与最大压应力数值不相等;3.2梁的正应力强度条件梁的最大工作应力不得超过材料的容许应力,其表达式为 []maxmax zM W σσ=≤ 3-19 对于由拉、压强度不等的材料制成的上下不对称截面梁如T 字形截面、上下不等边的工字形截面等,其强度条件应表达为[]maxmax 1l t z M y I σσ=≤ 3-20a []maxmax 2y c zM y I σσ=≤ 3-20b 式中,[][],t c σσ分别是材料的容许拉应力和容许压应力；12,y y 分别是最大拉应力点和最大压应力点距中性轴的距离;3.3梁的切应力 z z QS I bτ*= 3-21式中,Q 是横截面上的剪力；z S *是距中性轴为y 的横线与外边界所围面积对中性轴的静矩；z I 是整个横截面对中性轴的惯性矩；b 是距中性轴为y 处的横截面宽度; 3.3.1矩形截面梁切应力方向与剪力平行,大小沿截面宽度不变,沿高度呈抛物线分布;切应力计算公式 22364Q h y bh τ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3-22最大切应力发生在中性轴各点处,max 32QAτ=; 3.3.2工字形截面梁切应力主要发生在腹板部分,其合力占总剪力的95~97%,因此截面上的剪力主要由腹板部分来承担;切应力沿腹板高度的分布亦为二次曲线;计算公式为 ()2222824z Q B b h H h y I b τ⎡⎤⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦3-23近似计算腹板上的最大切应力：dhFs 1max=τd 为腹板宽度 h 1为上下两翼缘内侧距3.3.3圆形截面梁横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点,其竖直分量沿截面宽度相等,沿高度呈抛物线变化;最大切应力发生在中性轴上,其大小为 2max42483364z z d d Q QS Q d I b Adππτπ*⋅⋅===⨯ 3-25 圆环形截面上的切应力分布与圆截面类似;3.4切应力强度条件梁的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力,即 []max max maxz z Q S I bττ*=≤ 3-26式中,max Q 是梁上的最大切应力值；max z S *是中性轴一侧面积对中性轴的静矩；z I 是横截面对中性轴的惯性矩；b 是maxτ处截面的宽度;对于等宽度截面,max τ发生在中性轴上,对于宽度变化的截面,max τ不一定发生在中性轴上; 4.2剪切的实用计算名义切应力：假设切应力沿剪切面是均匀分布的 ,则名义切应力为 AQ=τ 3-27 剪切强度条件：剪切面上的工作切应力不得超过材料的 许用切应力[]τ,即 []ττ≤=AQ3-285.2挤压的实用计算名义挤压应力 假设挤压应力在名义挤压面上是均匀分布的,则 []bsbs bs bsP A σσ=≤ 3-29 式中,bs A 表示有效挤压面积,即挤压面面积在垂直于挤压力作用线平面上的投影;当挤压面为平面时为接触面面积,当挤压面为曲面时为设计承压接触面面积在挤压力垂直面上的 投影面积;挤压强度条件挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力 []bs bsbs A Pσσ≤=3-30 1, 变形计算圆轴扭转时,任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角;相距为l 的两个横截面的相对扭转角为dx GI TlP⎰=0ϕ rad 4.4 若等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数,则上式化为PGI Tl=ϕ rad 4.5 图4.2式中P GI 称为圆轴的抗扭刚度;显然,ϕ的正负号与扭矩正负号相同;公式4.4的适用条件：（1） 材料在线弹性范围内的等截面圆轴,即P ττ≤；（2） 在长度l 内,T 、G 、P I 均为常量;当以上参数沿轴线分段变化时,则应分段计算扭转角,然后求代数和得总扭转角;即 ∑==ni P i ii iI G l T 1ϕ rad 4.6 当T 、P I 沿轴线连续变化时,用式4.4计算ϕ; 2, 刚度条件扭转的刚度条件 圆轴最大的单位长度扭转角max 'ϕ不得超过许可的单位长度扭转角[]'ϕ,即[]''maxmax ϕϕ≤=PGI T rad/m 4.7 式 []'180'max max ϕπϕ≤⨯=︒P GI T m /︒ 4.82,挠曲线的近似微分方程及其积分在分析纯弯曲梁的正应力时,得到弯矩与曲率的关系EIM=ρ1对于跨度远大于截面高度的梁,略去剪力对弯曲变形的影响,由上式可得()()EIx M x =ρ1 利用平面曲线的曲率公式,并忽略高阶微量,得挠曲线的近似微分方程,即 ()EIx M =''ω 4.9 将上式积分一次得转角方程为 ()C dx EIx M +==⎰'ωθ 4.10再积分得挠曲线方程 ()D Cx dx dx EI x M ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰ω 4.11 式中,C,D 为积分常数,它们可由梁的边界条件确定;当梁分为若干段积分时,积分常数的确定除需利用边界条件外,还需要利用连续条件; 3,梁的刚度条件限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值,就得到梁的刚度条件,即 []ωω≤max ,[]θθ≤max 4.12 3,轴向拉伸或压缩杆件的应变能在线弹性范围内,由功能原理得 l F W V ∆==21ε 当杆件的横截面面积A 、轴力F N 为常量时,由胡克定律EAlF l N =∆,可得 EA l F V N 22=ε 4.14杆单位体积内的应变能称为应变能密度,用εV 表示;线弹性范围内,得 σεε21=V 4.15 4,圆截面直杆扭转应变能 在线弹性范围内,由功能原 ϕe r M W V 21== 将T M e =与P GI Tl =ϕ代入上式得 Pr GI lT V 22= 4.16图4.5根据微体内的应变能在数值上等于微体上的内力功,得应变能的密度r V ： r V r τ21= 4.175,梁的弯曲应变能在线弹性范围内,纯弯曲时,由功能原理得 将M M e =与EIMl=θ代入上式得 EI l M V 22=ε 4.18图4.6横力弯曲时,梁横截面上的弯矩沿轴线变化,此时,对于微段梁应用式4.18,积分得全梁的弯曲应变能εV ,即()⎰=lEI dxx M V 22ε 4.192．截面几何性质的定义式列表于下：静 矩 惯性矩惯性半径惯性积 极惯性矩3．惯性矩的平行移轴公式静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩,如图Ⅰ-1所示; 定义式： ⎰=Ay zdA S ,⎰=Az ydA S Ⅰ-1量纲为长度的三次方;由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标C z 和C y ;则由此可得薄板重心的坐标 C z 为 AS A zdA z yAC==⎰同理有 A S y zC =所以形心坐标 A S z y C =,ASy z C = Ⅰ-2或 C y z A S ⋅=,C z y A S ⋅=由式Ⅰ-2得知,若某坐标轴通过形心轴,则图形对该轴的静矩等于零,即0=C y ,0=z S ；0=C z ,则 0=y S ；反之,若图形对某一轴的静矩等于零,则该轴必然通过图形的形心;静矩与所选坐标轴有关,其值可能为正,负或零;如一个平面图形是由几个简单平面图形组成,称为组合平面图形;设第 I 块分图形的面积为 i A ,形心坐标为Ci Ci z y , ,则其静矩和形心坐标分别为 Ci i n i z y A S 1=∑=,Ci i ni y z A S 1=∑= Ⅰ-3∑∑====ni ini Cii z C AyA AS y 11,∑∑====ni ini cii y C AzA AS z 11 Ⅰ-4§Ⅰ-2 惯性矩和惯性半径惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩,如图Ⅰ-4所示;⎰=Ay dA z I 2,⎰=Az dA y I 2 Ⅰ-5量纲为长度的四次方,恒为正;相应定义AI i y y =,AI i zz =Ⅰ-6 为图形对 y 轴和对 z 轴的惯性半径;组合图形的惯性矩;设 zi yi I I , 为分图形的惯性矩,则总图形对同一轴惯性矩为yi ni y I I 1=∑=,zi ni z I I 1=∑= Ⅰ-7若以ρ表示微面积dA 到坐标原点O 的距离,则定义图形对坐标原点O 的极惯性矩⎰=Ap dA I 2ρ Ⅰ-8因为 222z y +=ρ所以极惯性矩与轴惯性矩有关系 ()z y Ap I I dA z yI +=+=⎰22Ⅰ-9式Ⅰ-9表明,图形对任意两个互相垂直轴的轴惯性矩之和,等于它对该两轴交点的极惯性矩;下式 ⎰=Ayz yzdA I Ⅰ-10定义为图形对一对正交轴 y 、z 轴的惯性积;量纲是长度的四次方; yz I 可能为正,为负或为零;若 y ,z 轴中有一根为对称轴则其惯性积为零;§Ⅰ-3平行移轴公式由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的惯性矩或惯性积并不相同,如果其中一对轴是图形的形心轴()c cz ,y时,如图Ⅰ-7所示,可得到如下平行移轴公式⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=abA II A b I I Aa I I C C C C z y yzz z y y 22 Ⅰ-13 简单证明之： 其中⎰AC dA z 为图形对形心轴 C y 的静矩,其值应等于零,则得同理可证I-13中的其它两式;结论：同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩,对形心轴的最小;在使用惯性积移轴公式时应注意 a ,b 的正负号;把斜截面上的总应力p 分解成与斜截面垂直的正应力n σ和相切的切应力n τ图222123n l m n σσσσ=++ 2222222123n n l m n τσσσσ=++-在以n σ为横坐标、n τ截面上的正应力n σ和切应力n τ区域图13.2中阴影中的一点;由图13.2显见。
材料力学-模拟题
《材料力学》模拟题一单选题1.直径为d的圆截面拉伸试件,其标距是().A.试件两端面之间的距离B.试件中段等截面部分的长度C.在试件中段的等截面部分中选取的”工作段”的长度,其值为5d或10dD.在试件中段的等截面部分中选取的”工作段”的长度,其值应大于10d[答案]:C2.轴向拉伸的应力公式在什么条件下不适用().A.杆件不是等截面直杆B.杆件各横截面的内力不仅有轴力,还有弯矩C.杆件各横截面上的轴力不相同D.作用于杆件的每一个外力,其作用线不全与杆件轴线相重合[答案]:D3.两杆的长度和横截面面积均不同,其中一根为钢杆,另一根为铝杆,受相同的拉力作用.下列结论正确的是().A.铝杆的应力和钢杆相同,而变形大于钢杆B.铝杆的应力和钢杆相同,而变形小于钢杆C.铝杆的应力和变形都大于钢杆D.铝杆的应力和变形都小于钢杆[答案]:A4.一圆截面直杆,两端承受拉力作用.若将其直径增加一倍,则杆的抗拉刚度将是原来的几倍().A.8B.6C.4D.2[答案]:B5.空心圆杆受轴向拉伸时,下列结论中哪个是正确的().A.外径和壁厚都增大B.外径和壁厚都减小C.外径减小,壁厚增大D.外径增大,壁厚减小[答案]:C6.对低碳钢试件进行拉伸试验,测得其弹性模量E＝200GPa,屈服极限σs＝240MPa;当试件横截面上的应力σ＝300MPa时,测得轴向线应变ε＝0.0035,随即卸载至σ＝0.此时,试件的轴向塑性应变为().A.00015B.0002D.35[答案]:C7.以下不承受剪切的零件().A.螺栓B.铆钉C.榫接的木结构D.拉压杆[答案]:D8.以下说法正确的是().A.对连接件应该作挤压的强度校核B.受挤压面积不是按接触情况定的C.键连接中接触面积不一定是平面D.连接件只发生剪切破坏[答案]:C9.以下可以作为纯剪切来研究的是().A.梁B.圆柱C.薄壁圆筒D.厚壁圆筒[答案]:C10.不属于扭转研究范围的是().A.汽车方向盘操纵杆B.船舶推进轴C.车床的光杆D.发动机活塞[答案]:D11.关于圆轴扭转的平面假设正确的是().A.横截面变形后仍为平面且形状和大小不变B.相临两截面间的距离不变C.变形后半径还是为直线D.ABC[答案]:D12.研究纯剪切要从以下来考虑().A.静力平衡B.变形几何关系C.物理关系D.ABC13.以下不属于截面法的步骤的是().A.取要计算的部分及其设想截面B.用截面的内力来代替两部分的作用力C.建立静力平衡方程式并求解内力D.考虑外力并建立力平衡方程式[答案]:B14.柱体受偏心压缩时,下列结论正确的是().A.若压力作用点全部位于截面核心内部,则中性轴穿越柱体横截面B.若压力作用点位于截面核心的边缘上,则中性轴必与横截面边缘相切C.若压力作用点位于截面核心的外部,则中性轴必与横截面的外部D.若压力作用点位于截面核心越远,则中性轴的位置离横截面越远[答案]:D15.脆性材料的破坏断口与轴线成的角度为().A.30度B.45度C.60度D.90度[答案]:B16.剪应力公式τ＝Q/的应用条件是()A.平面假设B.剪应力在剪切面上均匀分布假设C.剪切面积很小D.无正应力的面上[答案]:B17.按作用方式的不同将梁上载荷分为().A.集中载荷B.集中力偶C.分布载荷D.ABC[答案]:D18.梁的支座一般可简化为().A.固定端B.固定铰支座C.可动铰支座D.ABC[答案]:D19.纵横弯曲是().和().共同作用的A.横向力和压力B.轴向力和压力C.横向力和轴向力D.没有此提法[答案]:D20.将一个实心钢球在外部迅速加热升温,这时在求心处的单元体出于怎么样的状态?().A.单向拉伸B.单向压缩C.各向等拉D.各向等压[答案]:C21.铸铁试件在扭转时,若发生破坏,其破坏截面是().A.沿横截面B.沿与杆轴线成45度的斜截面C.沿纵截面D.沿与杆轴线成60度的斜截面[答案]:B22.两根直径相同长度及材料不同的圆轴,在相同扭矩作用下,其最大剪应力和单位扭转角之间的关系是().A.最大剪应力相同,单位扭转角不同B.大剪应力相同,单位扭转角相同C.最大剪应力不同,单位扭转角不同D.最大剪应力不同,单位扭转角相同[答案]:B23.矩形截面杆件在自由扭转时,其最大剪应力发生在().A.矩形短边中点B.矩形长边中点C.矩形角点D.形心处[答案]:B24.矩形截面梁当横截面的高度增加一倍,宽度减小一半时,从正应力强度考虑,该梁的承载能力的变化为().A.不变B.增大一倍C.减小一半D.增大三倍[答案]:B25.对于图示各点应力状态,属于单项应力状态的是().A.a点B.b点C.c点D.d点[答案]:A26.根据均匀性假设,可认为构件的().在各处相同.A.应力B.应变C.材料的弹性系数D.位移[答案]:C27.现有钢,铸铁两种杆材,其直径相同.从承载能力与经济效益两个方面考虑,图示结构中两种合理选择方案是().A.1杆为钢,2杆为铸铁B.1杆为铸铁,2杆为钢C.2杆均为钢D.2杆均为铸铁[答案]:A28.材料经过冷作硬化后,其().A.弹性模量提高,塑性降低B.弹性模量降低,塑性提高C.比例极限提高,塑性提高D.比例极限提高,塑性降低[答案]:D29.不属于材料力学的基本假设的有().A.连续性B.均匀性C.各向同性D.各向异性[答案]:D30.材料力学研究的研究对象是().A.大变形B.厚板C.杆系,简单板,壳D.复杂杆系[答案]:C31.从哪方面来衡量承载能力().A.构件具有足够的强度B.构件具有足够的刚度C.构件具有足够的稳定性D.ABC[答案]:D32.柱体受偏心压缩时,下列结论中错误的是().A.若集中力P作用点位于截面核心内部,则柱体内不产生拉应力.B.若集中力P位于截面核心的边缘上,则柱体内部不产生拉应力C.若集中力P的作用点位于截面核心的外部,则柱体内可能产生拉应力D.若集中力P的作用点位于截面核心外部,则柱体内必产生拉应力[答案]:C33.以下说法不正确的是().A.外力按其作用方式可分为体积力和表面力B.按是否随时间变化将载荷分为静载荷和动载荷C.动载荷可分为交变载荷和冲击载荷D.在动静载荷中材料的机械性能一样[答案]:D34.材料,尺寸和加工工艺均相同的两个圆截面直杆I和II,I杆承受对称弯曲交变应力,II杆承受对称拉压交变应力.设I,II杆横截面上最大正应力相等,则().A.杆I的疲劳极限低于杆IIB.杆I的疲劳极限高于杆IIC.杆I,杆II的疲劳极限相等D.不能确定哪一个的疲劳极限高[答案]:B35.不同材料的甲,乙两杆,几何尺寸相同,则在受到相同的轴向拉力时,两杆的应力和变形的关系为().A.应力和变形都相同B.应力不同,变形相同C.应力相同,变形不同D.应力和变形都不同[答案]:C36.用同一材料制成的实心圆轴和空心圆轴,若长度和横截面面积均相同,则抗扭刚度较大的是哪个?().A.实心圆轴B.空心圆轴C.两者一样D.无法判断[答案]:B37.关于铸铁力学性能有以下两个结论:①抗剪能力比抗拉能力差;②压缩强度比拉伸强度高.其中,().A.①正确,②不正确B.①不正确,②正确C.①,②都正确D.①,②都不正确[答案]:B38.以下说法错误的是().A.扭转问题是个超静定问题B.扭转角沿轴长的变化率称为单位扭转角C.有些轴不仅考虑强度条件,还考虑刚度条件D.精密机械的轴的许用扭转角为1度每米[答案]:A39.关于矩形截面和圆截面杆扭转的区别以下正确的是().A.变形后圆截面杆的横截面还是平面B.平面假设可以用于矩形截面杆扭转分析C.矩形截面杆变形后横截面还是平面D.平面假设对任何截面杆都适用[答案]:A40.一实心圆轴受扭,当其直径减少到原来的一半时,则圆轴的单位扭转角为原来的几倍().A.2B.4C.8D.16[答案]:D42.在无载荷的梁端下列说法错误的是().A.Q大于0时M图斜率为正B.Q大于0时M图斜率为负C.CQ等于0时M图斜率为0D.Q小于0时M图斜率为负[答案]:B43.在中性轴上正应力为().A.正B.负C.不确定D.0[答案]:C44.矩形截面最大剪应力是平均剪应力的().倍A.1B.15C.2D.133[答案]:B45.以下不能提高梁弯曲刚度的措施是().A.增大梁的抗弯刚度B.缩小跨度或增加支承C.改善结构形式并合理安排载荷作用点D.加上与工作方向相同的变形即预拱[答案]:D46.提高梁的弯曲强度的措施有().A.采用合理截面B.合理安排梁的受力情况C.采用变截面梁或等强度梁D.ABC[答案]:D47.下面说法正确的是().A.挠度向上为正B.挠度向下为负C.转角以逆时针为正D.ABC[答案]:D48.下列说法错误的是().A.梁在若干载荷的作用下的总变形为各个载荷作用下变形的总和B.虚梁法的出发点是把变形问题转换为求内力的形式C.梁的校核就是限制起最大挠度和最大转角不超过某一规定数值D.梁的任意一个截面形心的水平位移就是该截面的挠度[答案]:D49.在梁的正应力公式σ＝My/Iz中,Iz为梁截面对于().的惯性矩A.形心轴B.对称轴C.中性轴D.形心主对称轴[答案]:C50.纯剪应力状态()时,对角线应变为().A大于零B小于零D不一定[答案]:A51.在低碳钢拉伸试验中,其变形破坏过程依此为().A.屈服阶段,弹性阶段,颈缩阶段,断裂B.弹性阶段,屈服阶段,颈缩阶段,断裂C.颈缩阶段,弹性阶段,屈服阶段,断裂D.弹性阶段,颈缩阶段,屈服阶段,断裂[答案]:B52.材料力学中内力的符号规则是根据构件的().来规定的. A变形B运动C受载情况D平衡[答案]:A53.材料力学求内力的基本方法是().A.叠加法B.能量法C.截面法D.解析法[答案]:C54.材料力学中两个最基本力学要素是().A.应力和力偶B.内力和外力C.力和力矩D.应力和应变[答案]:D55.结构的承载能力有以下那个因素衡量().A.构件具有足够的刚度B.构件具有足够的强度C.构件具有足够的稳定性D.ABC[答案]:D56.以下说法不正确的是().A.A外力按其作用方式可分为体积力和表面力B.按是否随时间变化将载荷分为静载荷和动载荷C.动载荷可分为交变载荷和冲击载荷D.在动静载荷中材料的机械性能一样57.与塑性材料相比,脆性材料拉伸力学性能的最大特点是().A.强度低,对应力集中不敏感;B.相同拉力作用下变形小;C.断裂前几乎没有塑性变形;D.应力-应变关系严格遵循胡克定律.[答案]:C58.对于拉伸曲线上没有屈服平台的合金塑性材料,工程上规定以残余应变量().s时对应的应力作为名义屈服极限.A.20B.2C.0.002D.3[答案]:A59.外形尺寸相同的两根杆件,一为钢杆,一为塑料杆,在相同的轴向拉力作用下().A.两杆的应力,应变均相同B.两杆应力相同,应变不同C.两杆的应力,应变均不相同D.两杆应力不同,应变相同[答案]:B60.塑性材料经过硬化处理后,它的().得到提高.A.强度极限B.比例极限C.延伸率D.截面收缩率[答案]:B61.脆性材料铸铁的压缩破坏断口与轴线成的角度最有可能是().A.30度B.45度C.60度D.90度[答案]:B62.空心圆杆受轴向拉伸时,下列结论中哪个是正确的().A.外径和壁厚都增大B.外径和壁厚都减小C.外径减小,壁厚增大D.外径增大,壁厚减小[答案]:B63.以下说法错误的是().A.构件材料的极限应力由计算可得B.塑性材料以屈服极限为极限应力C.脆性材料以强度极限作为极限应力D.材料的破坏形式主要有两种[答案]:A64.以下说法错误的是().A.在实际中构件往往受几种变形的叠加作用B.线应变是无量纲的量C.角应变的单位不是用弧度来表示的D.应力的单位是Pa[答案]:C65.以下不承受剪切的零件是().A.螺栓B.铆钉C.榫接的木结构D.拉压杆[答案]:D66.不属于扭转研究范围的是().A.汽车方向盘操纵杆B.船舶推进轴C.发动机活塞D.车床的光杆[答案]:C67.关于矩形截面和圆截面杆扭转的区别以下正确的是().A.变形后圆截面杆的横截面还是平面B.平面假设可以用于矩形截面杆扭转分析C.矩形截面杆变形后横截面还是平面D.平面假设对任何截面杆都适用[答案]:A68.直径为D的实心圆轴,两端受扭矩力偶矩T作用,轴内的最大剪应力为τ.若轴的直径改为2D,则轴内的最大剪应力为().A.1/2τB.1/4τC.1/8τD.1/16τ[答案]:C69.圆轴扭转时,轴表面各点处于().A.单向应力状态B.二向应力状态C.三向应力状态D.各向等应力状态[答案]:B70.实心圆轴受扭,若将轴的直径减小一半时,则圆轴的扭转角是原来的().A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍[答案]:D71.梁的某一段内作用有均匀分布力时,则该段内的内力图为().A.Q水平线,M斜直线B.Q斜直线,M曲线C.Q曲线,M曲线D.Q斜直线,M带拐点的曲线[答案]:B72.以下对提高梁的工作性能不利措施是().A.增大梁的跨度B.缩小跨度或增加支承C.改善结构形式并合理安排载荷作用点D.加上与工作方向相同的变形即预拱[答案]:A73.根据梁的正应力强度条件,梁的合理截面形状应满足的条件是().A.W/A越小越好B.W/A越大越好C.W/A=1D.W/A=2[答案]:B74.对受静水压力P的实心球,下列说法错误的是().A.球内不存在剪应力B.球内各点的应力状态均为三向等压C.对于圆球中心,三个主应力之和为零D.对于球心的所有各点的应力状态,应力圆均为点圆[答案]:C75.单向应力状态下,微元体().A.只有形状改变B.只有体积改变C.体积和形状都改变D.A体积和形状都不变[答案]:C76.冬天将一瓶装满水的玻璃杯自然冻结,随着水的结冰其体积会增大,在这个过程中根据玻璃杯和冰的受力情况,最有可能出现下列哪种情况().A.冰被挤碎,瓶子完好B.瓶子被撑破,冰完好C.不一定谁先破裂D.瓶子和冰同时破裂[答案]:B二判断题1.研究对象为等截面直圆杆,最大剪力不超过材料的剪切比例极限是应用公式的基本条件. [答案]:T2.强度是指杆件在外荷载作用下抵抗断裂或者过量塑性变形的能力.[答案]:T3.环境温度的改变必定会在结构中引起应变和应力.[答案]:F4.对于没有明显屈服平台的材料工程上规定作为名义屈服极限,此时的应变量为0.2.[答案]:F5.梁的刚度大小完全由材料性能决定.[答案]:F6.在集中力作用处梁的剪力图要发生突变,弯矩图斜率发生改变.[答案]:T7.在集中力矩作用处梁的弯矩图发生突变,弯矩图斜率发生改变.[答案]:F8.求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理三个方面.[答案]:T9.主应力就是剪应力为零的面上的正应力.[答案]:T10.将热水倒入厚壁玻璃杯中,玻璃杯会碎掉,根据热胀冷缩引起的内外壁受力状况判断断裂是从内壁开始发生的.[答案]:F11.第一强度理论只用于脆性材料的强度计算.[答案]:F12.随着压杆柔度的减小,其临界荷载会越来越高.[答案]:T13.压杆的长度缩短一倍其临界荷载可能会提高至四倍.[答案]:F14.作用荷载的大小决定压杆的临界荷载.[答案]:F15.构件在动载作用下,只要动荷系数确定,则任意一点处的动变形,就可表示为该点处相应的静变形与相应的动荷系数的乘积.[答案]:F16.外形尺寸完全相同的木质和铁质园轴在受到相同的扭力作用时,其最大剪应力铁质的比木质的大一些.[答案]:F17.外形尺寸完全相同的木质和铁质园轴在受到相同的扭力作用时,其相对扭转角不同.[答案]:T18.两根材料,外形尺寸完全相同的梁,在外力作用下具有相同的弯矩方程M则二梁的变形,位移也完全一致.[答案]:F。
材料力学
bh3 bh2 12 h 6 2
h
y
z
实心圆
空心圆
z y
z C y d
D
Iz
D 4
64
Iz
D 4 d 4
64 64
4
Wz
D 3
32
d Wz (1 ) D 32
D 3
41
箱形截面
y
Iz Wz ymax
BH bh 12 12 H 2
3 3
x y
y
y
min
xy
x
2 一点处有三个主应力，按代数 值大小排列分别记为 1，2， 3
2 0、（2 0 ） 0、（ 0 ）
x
max
1 2 3
极值剪应力
x y 2 2 max max min ( ) xy 2 2 min
P P P d Pbs t
挤压面
有效挤压面积 dt
双剪——有两个剪切面
Q=P/2
Q
P/2 P P P P/2 二个剪切面 P
Q
三、实用计算及强度条件
实用计算
1、假定剪切面上的应力分布规律；
2、确定破坏应力的试验，所用试件的形状及受力 情况与实际构件相似或相同。
强度条件 剪切强度条件 剪断条件
m=Q/Am [m]
1 2
max
1 3
2
3
2 1
12
2 2 3 23 2 1 3 13 2
五、 复杂应力状态下应力应变关系
1 x x y E
1 y y x E
y
材料力学基本概念及计算公式
材料力学基本概念及计算公式杆件的拉伸与压缩部分1、拉伸与压缩的受力特点：作用于杆件两端的力大小相等，方向相反，作用线与杆件的轴线重合。
2、拉伸与压缩的变形特点：杆件沿轴线方向伸长或缩短。
3、拉伸与压缩变形的内力：称为轴力，用符号N F 表示。
杆件在外力作用下，其内部的一部分对另一部分的作用。
4、求内力的方法：截面法。
截开→代替→平衡（截→代→平）5、横截面上的应力正应力：与横截面垂直，用符号σ表示，计算公式为AF N =σ，正应力的单位为2/m N N F 为该横截面上的内力，单位为N ，A 为横截面的截面积,单位为2m 。
Pa m N 1/12=，MPa m N 1/10126=⨯,GPa m N 1/10129=⨯ 正应力σ符号规定与轴力相同，拉应力为正，压应力为负。
切应力：在横截面内，与正应力垂直，用符号τ表示，单位为2/m N 。
6、拉压变形与胡克定律绝对变形：表示杆沿轴向伸长（或缩短）的量，用L ∆表示。
相对变形：表示单位原长杆件变形的程度，用ε表示，也称线应变。
LL ∆=ε 胡克定律：表明杆件拉伸与压缩时，变形和应力之间的关系。
胡克定律的内容：当杆件内的轴力N F 不超过某一限度时，杆的绝对变形量L ∆与轴力N F及杆长L 成正比，与杆的截面积A 成反比。
AE LF L N ⨯⨯=∆ E ；表示材料的弹性模量，表示材料抵抗拉压变形能力的一个系数。
EA ：表示杆件的抗拉压刚度，表示材料抵抗拉压变形能力的大小。
7、许用应力和安全系数许用应力：危险应力0σ除以大于1的系数n 表示，用符号][σ表示，计算公式为n 0][σσ=脆性材料：b bn σσ=][，塑性材料：s s n σσ=][s σ表示塑性材料的屈服点应力值，b σ表示脆性材料的强度极限应力值。
安全系数：大于1的系数，用n 表示。
s n 表示塑性材料的安全系数值，b n 表示脆性材料的安全系数值。
8、拉伸与压缩的强度计算 强度计算公式：][σσ≤=AF N 可以解决三类问题：（1）强度校核：][σσ≤=A F N （2）选择截面尺寸：][σN F A ≥ （3）确定许用载荷：A F N ⨯≤][σ材料力学基本概念及计算公式剪切与挤压部分1、 剪切的受力特点：作用在构件两侧面上的外力的合力大小相等，方向相反，作用线平行且相距很近。
工程力学(二)
大连理工大学网络教育学院2020年秋《工程力学（二）》期末考试复习题☆注意事项：本复习题满分共：200分。
一、单选题1、杆件的线应变是（）杆的变形，反应杆件的变形程度。
A．单位长度B．单位宽度C．任意长度D．以上都不对答案：A知识点解析：本题考查线应变的基本概念。
2、固定端支座可提供的约束反力个数是（）。
A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C3、截面面积相等，材料不同的两等截面直杆，承受相同的轴向拉力，则两杆的（）。
A．轴力相同，横截面上的正应力不同B．轴力相同，横截面上的正应力也相同C．轴力不同，横截面上的正应力相同D．轴力不同，横截面上的正应力也不同答案：B知识点解析：两杆受力相同则其轴力相同，正应力为轴力除以受力面积，与材料无关，因此其横截面上的正应力也相同。
4、若对称截面直梁发生纯弯曲，其弯曲刚度沿杆轴为常量，则变形后梁轴（）。
A．为圆弧线，且长度不变B．为圆弧线，长度改变C．不为圆弧线，但长度不变D．不为圆弧线，且长度改变答案：A知识点解析：本题考查对称截面直梁发生纯弯曲时，梁轴为圆弧线且长度不变。
5、各向同性假设认为，材料沿各个方向具有相同的（）。
A．外力 B．位移C．变形D．力学性质答案：D知识点解析：本题考查各项同性假设的基本概念。
6、等直圆轴AB在外力偶矩作用下处于平衡状态，根据右手螺旋法则，用右手四指沿扭矩的转向握住轴，若拇指的指向离开截面，则扭矩为（）。
A．正B．负C．零D．以上均有可能答案：A知识点解析：本题考查判断扭矩方向的右手螺旋法则。
7、下列选项中，关于虚功的说法不正确的是（）。
A．虚功是力在与它无关的位移上作的功B．虚功大小为力与位移的乘积C．其力-位移曲线为过原点的斜线D．其力-位移曲线为平行于位移轴的水平直线答案：C知识点解析：本题考查虚功的基本概念。
8、单个荷载的最不利位置是该荷载作用在（）。
A．支座处B．弯矩最大处C．剪力最大处D．影响线竖标最大处答案：D9、提高压杆稳定性的关键在于提高压杆的（）。
工程力学第4次作业解答杆件的内力计算与内力图
6 ．剪力 F 、弯矩 M 与载荷集度 q 三者之间的微分关系是 dM ( x)= F ( x ) 、dx《工程力学》第 4 次作业解答（杆件的内力计算与内力图）2008-2009 学年第二学期一、填空题1．作用于直杆上的外力（合力）作用线与杆件的轴线重合时，杆只产生沿轴线方向的 伸长或缩短变形，这种变形形式称为轴向拉伸或压缩。
2．轴力的大小等于截面截面一侧所有轴向外力的代数和；轴力得正值时，轴力的方向 与截面外法线方向相同，杆件受拉伸。
3．杆件受到一对大小相等、转向相反、作用面与轴线垂直的外力偶作用时，杆件任意 两相邻横截面产生绕杆轴相对转动，这种变形称为扭转。
4．若传动轴所传递的功率为 P 千瓦，转速为 n 转/分，则外力偶矩的计算公式为M = 9549 ⨯ Pn。
5．截面上的扭矩等于该截面一侧（左或右）轴上所有外力偶矩的代数和；扭矩的正负， 按右手螺旋法则确定。
S S dF ( x )S dx= ±q ( x ) 。
7．梁上没有均布荷载作用的部分，剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。
8．梁上有均布荷载作用的部分，剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线。
9．在集中力作用处，剪力图上有突变，弯矩图上在此处出现转折。
10．梁上集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图上有突变。
二、问答题1．什么是弹性变形？什么是塑性变形？解答：在外力作用下，构件发生变形，当卸除外力后，构件能够恢复原来的大小和形状，则这种变形称为弹性变形。
如果外力卸除后不能恢复原来的形状和大小，则这种变形称为塑性变形。
2．如图所示，有一直杆，其两端在力 F 作用下处于平衡，如果对该杆应用静力学中“力的可传性原理”，可得另外两种受力情况，如图（b ）、（c ）所示。
试问：（1）对于图示的三种受力情况，直杆的变形是否相同？ （2）力的可传性原理是否适用于变形体？问答题 2 图问答题 3 图。
解答：（1）图示的三种情况，杆件的变形不相同。
材料力学构件内力分析
图2-1a中所示以截面形心为简化中心的主矢和主矩。
图2-1a分布内力向截面形心简化的主矢与主矩与几种基本变形对应的是主矢和主矩在确定的坐标方向上的分量。
图2-1b中所示的和分别为主矢和主矩在x、y、z轴三个方向上的分量。
其中：或称为轴力，它与杆产生的轴向变形（伸长或缩短）相对应。
、称为剪力，二者均与杆件产生的剪切变形相对应。
称为扭矩,它与杆件产生的绕杆轴转动的扭转变形相对应。
、称为弯矩,二者与杆件产生的弯曲变形相对应。
图2-1b 内力与内力分量3. 内力分量的正负好规定为了保证杆件同一处左、右两侧截面上具有相同的正负号，不仅要考虑内力分量的方向，而且要看它作用在哪一侧截面上。
于是，上述内力分量的正负号规则约定如下：轴力或————无论作用在哪一侧截面上，使杆件受拉者为正；受压者为负。
剪力或————使杆件截开部分产生顺时针方向转动者为正；逆时针方向转动者为负。
弯矩或————作用在左侧面上使截开部分逆时针方向转动；或者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正；反之为负。
扭矩————扭矩矢量方向与截面外法线方向一致者为正；反之为负。
图2-2为轴力、剪力、弯矩和扭矩图示符号规定的方向。
图2-2轴力、剪力、弯矩和扭矩图示符号规定§2-2外力与内力之间的相依关系1. 弹性体的平衡原理弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则从其上截取的任意部分也必须保持平衡。
前者称为整体平衡或总体平衡；后者称为局部平衡。
这种整体平衡与局部平衡的关系，不仅适用于弹性杆件而且适用于所有的弹性体，因而称为弹性体平衡原理。
2. 截面法确定构件任意截面上内力值的基本方法是截面法。
图2-3（a）所示为任意受平衡力系作用的构件.为了显示并计算某一截面上的内力,可在该截面处用一假想截面将构件一分为二并弃去其中一部分.将弃去部分对保留部分的作用以力的形式表示,此即该截面上的内力。
根据变形固体均匀、连续的基本假设，截面上的内力是连续分布的。
轴向拉伸和压缩时横截面上的内力.
轴向拉伸和压缩时横截面上的内力教学目标一、知识目标1．外力、内力及相互的关系。
2．轴向拉伸和压缩时横截面上的内力。
3．轴向拉伸和压缩时横截面上的内力的计算方法-----截面法。
4．绘制各截面的轴力图。
二、能力目标在理论力学的基础上，学会在材料力学中分析构件的内力，为分析材料的力学性能打好基础。
培养学生灵活分析和解决问题的能力。
三、德育目标培养学生辩证唯物主义观点，安全操作和生产的重要性及明确具体问题具体分析的思维能力。
教学重点1、外力与内力的关系;2、轴向拉伸和压缩时横截面上的内力;3、截面法;4、绘制各截面的轴力图。
教学难点1.轴向拉伸和压缩时横截面上的内力;2.截面法。
教学方法讲练法、归纳法、课件演示。
教学用具计算机、投影仪、弹簧拉力器、构件等。
教学课时2学时。
教学步骤一、复习旧课，导入新课1．以提问的方式，让学生回答力的定义，力的效应，力的相互作用，物体受力分析的方法，拉伸和压缩时构件的受力特点和变形特点。
2．学生回答问题后，老师进行评价和纠正。
3．新课引入：通过理论力学中已学习的外效应（外力）引出材料力学中将要学习的内效应（内力）；通过理论力学中已学习的物体受力分析的方法（隔离法）引出材料力学中将要学习的内力的求法截面法；通过生活和工程中的具体例子，如弹簧拉力器，连接螺栓、起重机支褪等所运用的力学原理引出本节课。
二、新课教学（一）用投影片出示本节课的学习目标：1．外力与内力的关系。
2．轴向拉伸和压缩时横截面上的内力。
3．轴向拉伸和压缩时横截面上的内力的计算方法-----截面法。
4．绘制各截面的轴力图。
（二）学习目标完成过程：（1）用投影片出示；（2）老师分析讲解。
轴向拉伸和压缩时横截面上的内力举例连接螺栓弹簧拉力器起重机支褪一、外力、内力1.外力：是指由其他物体施加的力或由物体本身的质量引起的力。
外力的正负号取决于所建立的坐标系，与坐标轴同向为正，反向为负。
2.内力：是指在外力作用下物体内各个部分之间的作用力----可理解为材料颗粒之间因相对位置改变而产生的相互作用力。
静定结构的内力分析
40
第 三 章80 静定结构的内力计算
D
FNDE FNED
E
30
30
FNDC
FNEB
FQ
40 kN
FN 30 kN
80 kN
练习：
第三章
静定结构的内力计算
解： (1) 求支座反力。
F=qa
C
D
由 X 0
E
FxA q 2a 0
q
a B
得 FAx 2qa
a
由 M A 0
FxA
A
FyB
2qa a F a FyB 2a 0
首先进行定性分析。
由内力图的外观校核。杆上无分布荷载FS图为水 平直线；M图为斜直线。杆上有分布荷载FS图为斜直 线；M图为二次抛物线。 FS图为零的截面M为极值。 杆上集中荷载作用的截面, FS图上有突变；M图上有折 弯。根据这些特征来检查，本题的M图、FS图均无误。
第 三 章 静定结构的内力计算
6
FA=58 kN 26
10
18 FB=12 kN
q ME
FQE
MF
FS 图 ( kN )
FQF
第 三 章 静定结构的内力计算
二、 多跨静定梁 (multi-span statically determinate beam)
附属部分--依赖基本
基本部分--不依赖其它
部分的存在才维持几
部分而能独立地维持其
据
3.外力与杆轴关系(平行,垂直,重合) 4.特殊部分(悬臂部分,简支部分)
5.区段叠加法作弯矩图
第 三 章 静定结构的内力计算
结点平衡条件的应用：
一、铰结点： （集中力偶只能作用于杆端处）
M
《材料力学》第四章 扭转
第四章 扭转§4—1 工程实例、概念一、工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
4、钻井中的钻杆工作时受扭。
二、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
轴：主要发生扭转变形的杆。
§4—2 外力偶矩、扭矩一、外力：m （外力偶矩）1、已知：功率 P 千瓦(KW ），转速 n 转／分(r ／min ； rpm)。
外力偶矩：m)(N 9549⋅=nPm 2、已知：功率 P 马力(Ps)，转速 n 转／分(r ／min ；rpm)。
外力偶矩：m)(N 7024⋅=nPm 二、内力：T （扭矩） 1、内力的大小：（截面法）mT m T mx==-=∑002、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。
（右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。
）3、注意的问题：（1）、截开面上设正值的扭矩方向；（2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。
4、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。
作法：同轴力图：§4—3 薄壁圆筒的扭转 一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚0101r t ≤,0r ：为平均半径） 实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。
1、实验：2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量。
4、定性分析横截面上的应力(1) 00=∴=σε ；（2）00≠∴≠τγ因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。
⑶ 因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布,而且方向垂直于其半径方向。
材料力学主要符号表
ω
角速度矢量 绝对角速度 绝对角速度矢量 相对角速度 相对角速度矢量 牵连角速度 牵连角速度矢量 角度
rO rC
R s
ωa ωa ωr
ωr
ωe ωe
θ
t
T v
va
以下正体
vr ve
vC
J
Байду номын сангаас
焦[耳] 偏微分 求和 积分 瓦[特] 有限增量 微分 自然对数底,数 2.71828 公斤，千克 米 牛[顿] 秒 数 3.14159 变分
a
t a
a an
Fr Ft g
ar
a a ae a et a AB aC aC
A b, c
t r n r
h
H i
I I j
a en
Jz J xy
JC
k k l
L LO
C d
E e
LC
Lz m
M
E Ek Ep
f
fs
F FI
Mz
M M O (F )
FR F 'R Fs
FN FIe FIC Fi
MI n
O p
主要符号表
a
an at
aa
加速度 法向加速度 切向加速度 绝对加速度 切向绝对加速度 法向绝对加速度 相对加速度 切向相对加速度 法向相对加速度 牵连加速度 法向牵连加速度 切向牵连加速度 A 相对 B 的加速度 科氏加速度 C 点加速度，质心加速度 面积，自由振动振幅 距离，宽度 质心，重心 距离，直径 弹性模量 恢复因数，偏心距 能 动能 势能 频率，动摩擦因数 静摩擦因数 力 惯性力 合力 主矢 静滑动摩擦力 法向约束力 牵连惯性力 科氏惯性力 第 i 个力
材料力学公式完全版
材料力学公式完全版材料力学是研究材料内部力学性能的一门学科。
它是工程学中的一个重要分支，广泛应用于机械、土木、航空航天等领域。
在材料力学中，有一些重要的公式和方程式，下面是材料力学公式的完全版，共包含了应力、应变、变形、强度和刚度等方面的内容。
1.应力方面应力（σ）：表示单位面积上的内力。
常用的单位是Pa（帕斯卡）。
σ=F/A其中，F为受力，A为受力面积。
2.应变方面线性弹性应变（ε）：表示材料由于受力而发生的形变。
ε=ΔL/L其中，ΔL为长度变化，L为初始长度。
3.变形方面胀缩变形（ΔL）：表示材料由于受热导致的体积变化。
ΔL=α×L×ΔT其中，α为热膨胀系数，ΔT为温度变化。
4.应力-应变关系钢材的Hooke定律：描述材料的线性弹性行为。
σ=E×ε其中，E为弹性模量。
5.弯曲方面梁的弯曲应变（ε）：表示材料在弯曲时发生的形变。
ε=M/(E×I)其中，M为弯矩，E为弹性模量，I为截面转动惯量。
6.胀缩方面热膨胀（ΔL）：表示材料在受热时的线膨胀。
ΔL=α×L×ΔT其中，α为热膨胀系数，L为初始长度，ΔT为温度变化。
7.强度方面拉伸强度（σt）：表示材料在拉伸过程中能承受的最大应力。
σt=F/A其中，F为拉伸力，A为受力面积。
8.刚度方面弹性模量（E）：表示材料在受力后发生弹性变形的能力。
E=σ/ε其中，σ为应力，ε为应变。
9.复合材料方面拉伸强度（σt）：表示复合材料在拉伸过程中能承受的最大应力。
σt=F/A其中，F为拉伸力，A为受力面积。
10.断裂方面断裂强度（σf）：表示材料在断裂前能承受的最大应力。
σf=F/A其中，F为断裂力，A为受力面积。
11.龙骨方面龙骨截面面积（A）：表示材料的截面面积。
A=b×h其中，b为龙骨宽度，h为龙骨高度。
12.塑性方面屈服强度（σy）：表示材料开始产生塑性变形的最大应力。
σy=F/A其中，F为受力，A为受力面积。
材料力学 第2章
第二章杆件的内力分析第一节杆件拉伸或压缩的内力一、轴向拉伸或压缩的概念轴向拉伸或压缩：由一对大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的外力作用下引起的，沿杆件长度发生的伸长或缩短。
二、工程实例三、轴力轴力图1、轴力与杆轴线重合的内力合力。
轴力符号：拉伸为正，压缩为负。
∑=0X0122=-+F F N kNF F N 242212-=-=-= ∑=0X34=-N FkNF N143==任一截面上的轴力等于该截面一侧轴向载荷的代数和，轴向载荷矢量离开该截面者取正，指向该截面者取负。
2、轴力图正对杆的下方，以杆的左端为坐标原点，取平行于杆轴线的直线为x 轴，并称为基线，垂直于x 轴的N 轴为纵坐标。
正值绘在基线的上方，负值绘在基线的下方，最后在图上标上各截面轴力的大小。
注意：轴力图与基线形成一闭合曲线。
轴力图必须与杆件对齐。
在轴向集中力作用的截面上，轴力图将发生突变，其突变的绝对值等于轴向集中力的大小，而突变方向：集中力箭头向左时向上突变，集中力箭头向右时向下突变（图是从左向右画）。
例2-10第二节剪切的内力一、剪切的概念剪切：由一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力引起的横截面沿外力作用方向发生的相对错动。
剪切面或受剪面 m-m二、工程实例三、剪力第三节杆件扭转的内力一、扭转的概念扭转：由一对大小相等、方向相反、作用面都垂直于杆轴的力偶引起的杆的任意两个横截面绕杆轴线的相对转动。
ϕ：扭转角；γ：剪切角二、工程实例三、扭矩某一截面上的扭矩等于其一侧各外力偶矩的代数和。
外力偶矩矢量指向该截面的取负，离开该截面的取正。
四、 扭矩图在外力偶作用的截面上，扭矩图将发生突变，其突变的的绝对值等于该外力偶矩的大小，而突变方向：外力偶矩矢量方向向左的向上突变，向右则向下突变。
外力偶矩的计算公式：)(9550m N nP Mk ⋅=注意：kP 单位为kw ；n 单位为min r ；M 单位为m N ⋅第四节 梁弯曲时的内力一、 弯曲 变形的基本概念弯曲变形：由一对大小相等、方向相反，位于杆的纵向平面内的力偶引起的，杆件的轴线由直线变为曲线。
2杆件内力分析
做图示杆件的内力图
FA=10kN
FA=10kN
2m FN
FA=10kN
20kN
5kN/m
x
2m
2m
20kN FN
FN 10kN (0 x 2m) FN 10kN (2m x 4m)
FA=10kN
20kN
5kN/m FN
FN 20 10 5(x 4) 0
FN 30 5x(kN) (4m x 6m)
FN
max
FN
2
P
内力图
PR
--
R
P
M图
M PRsin （ ）
M
max
M
2
PR
弯矩符号规定：使曲率增加为正；反之为负。
P
FS Pcos
R
-
P
P
FS图
FS max FS 0 FS P
qa 极值条件:FS=0 M图
3qa 4
qa2 4
9qa2 32
3qa2 4
qa2
用叠加法作内力图
做梁的弯矩图
q
A
a
P qa
B
a
a
A
B
C
qa2
8
1 qa2
2
q
qa 2
MP
a 2
qa2
A
B
C
1 qa2
2
Mq
P qa
C
多跨静定梁、刚架及曲杆的内力图
多跨静定梁 —— 带“中间铰”的连续静定梁。