第十章 第三节 二项式定理
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27 k 6
，所以当k＝3和k＝9时展开 所以当k＝3和k＝9时展开
答案： 2 答案：
4．(1)(2010·全国卷Ⅰ)(1＋2 x ) (1－ ． 全国卷Ⅰ ＋ 全国卷 － 系数是 A．－ ．－4 ．－ C．2 ． B．－ ．－2 ．－ D．4 ．
2
3
3
x )5的展开式中 的 的展开式中x的 ( )
在本题条件下，求展开式中各项系数绝对值之和． 在本题条件下，求展开式中各项系数绝对值之和． 解：由题意知|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2 由题意知 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＝－1得 －…－a9，令x＝1，y＝－ 得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| ＝ ， ＝－ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝a0－a1＋a2－…－a9＝59.
[题组自测 题组自测] 题组自测 1．已知 ＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x ．已知(1＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋a2x2＋…＋anxn，且a0＋a1＋a2＋…＋an＝126，那 ， 1 n 的展开式中的常数项为________． 么(3 x－ ) 的展开式中的常数项为 － ． x
3 2
4 由题意知， 解：由题意知，第五项系数为 Cn·(－2)4， －
1 － (2)C0 ＋C2 ＋…＝Cn＋C3 ＋…＝ 2n－1 . n n n
n m Cn－m (3)对称性：Cn ＝ 对称性： 对称性
.
n 2 n
(4)二项式系数最值问题． 二项式系数最值问题． 二项式系数最值问题 为偶数时， ①当n为偶数时，中间一项 C 为偶数时 为奇数时， ②当n为奇数时，中间两项 C 为奇数时 相等且最大． 相等且最大．
解析： 的展开式的通项为T 解析：(1)(1＋2 x)3的展开式的通项为 r＋1＝Cr (2 x)r＝2rCr ＋ 3 3 x ，(1－ x ) －
r′ r′
r′ ′ 3 r 2
3
5
3 r′ 的展开式的通项为T 的展开式的通项为 r′＋1＝C 5 (－ －
3
x )r′＝(－ －
′
1) C 5 x ，因此 ＋2 x ) (1－ x )5的展开式的通项为 － 因此(1＋ 的展开式的通项为(－ － 1) ·2
[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 1．二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成 ．二项式定理给出的是一个恒等式，对于 ， 的一切值都成 因此，可将a， 设定为一些特殊的值 设定为一些特殊的值． 立．因此，可将 ，b设定为一些特殊的值．在使用赋值法 等于多少时， 时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取 ， 等于多少时 应视具体情况而定， “1、－ 或0”，有时也取其他值． 、－1或 ” 有时也取其他值． 、－ 2．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开 ．一般地， ＝ ＋ 的展开 式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为 式中各项系数之和为 ，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4 f(1)＋f(－1) ( ) ( ) ＋… ＝ ，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ 偶数项系数之和为 2 f(1)－f(－1) ( ) ( ) . 2
x3的系数是C3·23＝160，选D. 的系数是 6 ，
答案： 答案：D
2．设n＝ ∫ ． ＝
π
2 0
1 n 4cosxdx，则二项式(x－ x ) 的展开式的常数项 ，则二项式 －
是________． ．
π
解析： ＝ 解析：n＝4sinx | ＝6.
2 0
2 1 ＝4，二项式的常数项为 3＝C 4 · 2 ，二项式的常数项为T
答案： 答案：(1)C
(2)－5 －
(3)6
[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 1．注意通项公式表示的是第k＋1项而不是第 项． ．注意通项公式表示的是第 ＋ 项而不是第 项而不是第k项 2．求几个二项式积的展开式中某项的系数时常用搭 ． 配法． 配法． 3．常数项是指通项中字母的指数为0的项，有理项 ．常数项是指通项中字母的指数为 的项 的项， 是指通项中字母的指数为整数的项. 是指通项中字母的指数为整数的项
3 (－1)3C6＋(－1)4C4＝－20＋15＝－ － － ＋ ＝－5. ＝－ 6＝－
(3)注意到二项式 ＋ 3y)20 的展开式的通项是 注意到二项式(x＋ 注意到二项式
r 20－r 4 Tr＋1＝C20·x ·(
4
3y)r＝Cr ·3 ·x20－r·yr. 20
r 4
相应的项的系数是有理数． 当 r＝0,4,8,12,16,20 时，相应的项的系数是有理数． ＝ 因此(x＋ 3y)20 的展开式中，系数是有理数的项 的展开式中， 因此 ＋ 共有 6 项． 4
解析： 可得a 解析：令x＝1可得 0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n ＝ 可得 ＋ 2(1－2n) ( － ＋ ＋ 2 3 n ＝126，而2＋2 ＋2 ＋…＋2 ＝ ， ＋ ＝2n 1－2，所以 n 1 ，所以2 1－2 － 1 6 －2＝126，可得 ＝6，则(3 x－ ) 的二项展开式的通项为 ＝ ，可得n＝ ， － x Tr＋1＝Cr (3 6 x)
[题组自测 题组自测] 题组自测 1．(x＋2)6的展开式中 3的系数为 ． ＋ 的展开式中x A．20 ． C．80 ． B．40 ． D．160 ．
－
(
)
－ 解析：注意到 ＋ 的展开式的通项是T 解析：注意到(x＋2)6的展开式的通项是 r＋1＝C r ·x6 r·2r 6 － 因此(x＋ ＝C r ·2r·x6 r，令6－r＝3得r＝3.因此 ＋2)6的展开式中 － ＝ 得 ＝ 因此 6 －
6－ r
1 r ·(－ ) ＝C r 36－r(－1)rx3－r，令3－r＝0，则r － － － ＝ ， 6 x
＝3，∴所求的常数项为 3×33×(－1)3＝－ ， 所求的常数项为C6 － ＝－540.
答案： 答案：－540
2．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0 ．已知 － ＋ 的值等于________． ＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于 的值等于 ． 解析：分别令 ＝ 、 ＝－ ＝－1得 解析：分别令x＝1、x＝－ 得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5 ＝0.a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝32，由此解得 0＋a2＋ ，由此解得a a4＝16，a1＋a3＋a5＝－ ，(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5) ＝－16， ， ＝－256. ＝－ 答案： 答案：－256
1 6 (2)(2010·辽宁高考 ＋x＋x )(x－ x ) 的展开式中的常 辽宁高考)(1＋ ＋ 辽宁高考 － 数项为________． ． 数项为 (3)(2010·湖北高考 在(x＋ 3y)20的展开式中，系数为 湖北高考)在 ＋ 的展开式中， 湖北高考 有理数的项共有________项． 项 有理数的项共有 4
r′ r
3
·C r ·C5 3
r′
·x
r r′ + 2 3
′ r r′ ，当 ＋ ＝1时．有r＝0且r′＝3或r＝ 时 ＝ 且′ 或＝ 2 3
2且r′＝0两种情况，则展开式中 的系数为 －10)＋12＝2. 且 ′ 两种情况， 的系数为(－ ＋ ＝ 两种情况 则展开式中x的系数为
16 (2)(x－x) 的展开式的通项 － 1r － r 6－ r Tr＋1＝C6x (－ ) ＝(－1)rCr x6 2r. － － 6 x 7 ＝－1， ＝ 舍去 舍去)， 令6－2r＝0，得r＝3，令6－2r＝－ ，得r＝ (舍去 ， － ＝ ， ＝ ， － ＝－ 2 ＝－2， ＝ 令6－2r＝－ ，得r＝4. － ＝－ 所以所求的常数项为： 所以所求的常数项为：
9 (1)二项式系数之和为 0＋C1＋C2＋…＋C9＝29. 二项式系数之和为C9 二项式系数之和为 9 9
(2)各项系数之和为 0＋a1＋a2＋…＋a9， 各项系数之和为a 各项系数之和为 令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－ ＝ ， ＝ ， － ＝－1. (3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－ ， 由 知 ＝－1， ＝－1， 令x＝1，y＝－ ，得a0－a1＋a2－…－a9＝59， ＝ ， ＝－ 59 － 1 将两式相加， 将两式相加，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝ ，此即为所 2 有奇数项系数之和． 有奇数项系数之和．
所表示的定理叫做二项式定理． 所表示的定理叫做二项式定理．
k Cnan－kbk 为第 k＋1 项． ＋ 2．通项：Tk＋1＝ ．通项： ＋
二、二项式系数 1．定义： ．定义： Cr (r＝0,1，…，n)叫做二项式系数． 叫做二项式系数． 式子 n ＝ ， 叫做二项式系数
2．性质 ． (1)C0 ＋C1 ＋C2 ＋…＋Cn＝ 2n . n n n n
解析：令x＝－ ，得2n＝32，所以n＝5，故系数最小 解析： ＝－1， ，所以 ＝ ， ＝－ 的项是－ 5 ＝－10x3. 的项是－C3x3＝－
答案： 答案：－10x3
2 n 3．已知 x－ 2) (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三 ．已知( －x ∈ 的展开式中第五项的系数与第三 项的系数的比是 10∶1. ∶ (1)求展开式中各项系数的和； 求展开式中各项系数的和； 求展开式中各项系数的和 (2)求展开式中含 x 的项； 求展开式中含 的项； (3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项． 求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项． 求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项
x
答案： 答案：6
3．二项式 x－ x)9的展开式中有理项的项数为 ．二项式( － 的展开式中有理项的项数为________． ．
3
解析：根据题意，二项式的展开式的通项为 解析：根据题意，二项式的展开式的通项为Tk＋1＝Ck 9 ( x)9－k(－ x)k＝Ck(－1)kx (－ 9 (－ 项为有理项． 项为有理项． 3
的二项式系数最大； 的二项式系数最大； 和C
n+1 2 n
n −1 2 n
的二项式系数
源自文库 三、项的系数 项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等， 项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与 二项式系数一般不同. 二项式系数一般不同
[究 疑 点] 究 1．(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何不同？ ． ＋ ＋ 的展开式有何不同？ 提示：两者的展开式中的项完全相同， 提示：两者的展开式中的项完全相同，但对应的项不 同且两者的通项不同． 同且两者的通项不同． 2．二项式展开式中二项式系数最大时该项的系数就最 ． 大吗？ 大吗？ 提示：不一定最大，当二项式中 、 的系数均为 的系数均为1时 提示：不一定最大，当二项式中a、b的系数均为 时， 此时二项式系数等于项的系数，否则不一定 此时二项式系数等于项的系数，否则不一定.
3．二项式(2x－3y)9的展开式中，求： ．二项式 － 的展开式中， (1)二项式系数之和； 二项式系数之和； 二项式系数之和 (2)各项系数之和； 各项系数之和； 各项系数之和 (3)所有奇数项系数之和； 所有奇数项系数之和； 所有奇数项系数之和
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. － ＋
二项式定理 1．能用计数原理证明二项式定理． ．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简 ． 单问题． 单问题．
[理 要 点] 理 一、二项式定理 1．展开式 ．
0 (a＋b)n＝ Cnanb0＋C1 an－1b1＋…＋Ck an－kbk＋…＋Cna0bn ＋ n n n
[题组自测 题组自测] 题组自测 1．在(1＋x)7的展开式中，系数最大的项的系数是 ． ＋ 的展开式中， ________． ．
解析：系数最大的项为 ＋ 解析：系数最大的项为(1＋x)7的二项展开式的中间两
4 项，其系数为C3＝C7＝35. 其系数为 7
答案： 答案：35
2．已知(1－x)n的展开式中所有项的系数的绝对值之和为 ， ．已知 － 的展开式中所有项的系数的绝对值之和为32， 则(1－x)n的展开式中系数最小的项是 － 的展开式中系数最小的项是________． ．
，所以当k＝3和k＝9时展开 所以当k＝3和k＝9时展开
答案： 2 答案：
4．(1)(2010·全国卷Ⅰ)(1＋2 x ) (1－ ． 全国卷Ⅰ ＋ 全国卷 － 系数是 A．－ ．－4 ．－ C．2 ． B．－ ．－2 ．－ D．4 ．
2
3
3
x )5的展开式中 的 的展开式中x的 ( )
在本题条件下，求展开式中各项系数绝对值之和． 在本题条件下，求展开式中各项系数绝对值之和． 解：由题意知|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2 由题意知 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＝－1得 －…－a9，令x＝1，y＝－ 得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| ＝ ， ＝－ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝a0－a1＋a2－…－a9＝59.
[题组自测 题组自测] 题组自测 1．已知 ＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x ．已知(1＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋a2x2＋…＋anxn，且a0＋a1＋a2＋…＋an＝126，那 ， 1 n 的展开式中的常数项为________． 么(3 x－ ) 的展开式中的常数项为 － ． x
3 2
4 由题意知， 解：由题意知，第五项系数为 Cn·(－2)4， －
1 － (2)C0 ＋C2 ＋…＝Cn＋C3 ＋…＝ 2n－1 . n n n
n m Cn－m (3)对称性：Cn ＝ 对称性： 对称性
.
n 2 n
(4)二项式系数最值问题． 二项式系数最值问题． 二项式系数最值问题 为偶数时， ①当n为偶数时，中间一项 C 为偶数时 为奇数时， ②当n为奇数时，中间两项 C 为奇数时 相等且最大． 相等且最大．
解析： 的展开式的通项为T 解析：(1)(1＋2 x)3的展开式的通项为 r＋1＝Cr (2 x)r＝2rCr ＋ 3 3 x ，(1－ x ) －
r′ r′
r′ ′ 3 r 2
3
5
3 r′ 的展开式的通项为T 的展开式的通项为 r′＋1＝C 5 (－ －
3
x )r′＝(－ －
′
1) C 5 x ，因此 ＋2 x ) (1－ x )5的展开式的通项为 － 因此(1＋ 的展开式的通项为(－ － 1) ·2
[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 1．二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成 ．二项式定理给出的是一个恒等式，对于 ， 的一切值都成 因此，可将a， 设定为一些特殊的值 设定为一些特殊的值． 立．因此，可将 ，b设定为一些特殊的值．在使用赋值法 等于多少时， 时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取 ， 等于多少时 应视具体情况而定， “1、－ 或0”，有时也取其他值． 、－1或 ” 有时也取其他值． 、－ 2．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开 ．一般地， ＝ ＋ 的展开 式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为 式中各项系数之和为 ，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4 f(1)＋f(－1) ( ) ( ) ＋… ＝ ，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ 偶数项系数之和为 2 f(1)－f(－1) ( ) ( ) . 2
x3的系数是C3·23＝160，选D. 的系数是 6 ，
答案： 答案：D
2．设n＝ ∫ ． ＝
π
2 0
1 n 4cosxdx，则二项式(x－ x ) 的展开式的常数项 ，则二项式 －
是________． ．
π
解析： ＝ 解析：n＝4sinx | ＝6.
2 0
2 1 ＝4，二项式的常数项为 3＝C 4 · 2 ，二项式的常数项为T
答案： 答案：(1)C
(2)－5 －
(3)6
[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 1．注意通项公式表示的是第k＋1项而不是第 项． ．注意通项公式表示的是第 ＋ 项而不是第 项而不是第k项 2．求几个二项式积的展开式中某项的系数时常用搭 ． 配法． 配法． 3．常数项是指通项中字母的指数为0的项，有理项 ．常数项是指通项中字母的指数为 的项 的项， 是指通项中字母的指数为整数的项. 是指通项中字母的指数为整数的项
3 (－1)3C6＋(－1)4C4＝－20＋15＝－ － － ＋ ＝－5. ＝－ 6＝－
(3)注意到二项式 ＋ 3y)20 的展开式的通项是 注意到二项式(x＋ 注意到二项式
r 20－r 4 Tr＋1＝C20·x ·(
4
3y)r＝Cr ·3 ·x20－r·yr. 20
r 4
相应的项的系数是有理数． 当 r＝0,4,8,12,16,20 时，相应的项的系数是有理数． ＝ 因此(x＋ 3y)20 的展开式中，系数是有理数的项 的展开式中， 因此 ＋ 共有 6 项． 4
解析： 可得a 解析：令x＝1可得 0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n ＝ 可得 ＋ 2(1－2n) ( － ＋ ＋ 2 3 n ＝126，而2＋2 ＋2 ＋…＋2 ＝ ， ＋ ＝2n 1－2，所以 n 1 ，所以2 1－2 － 1 6 －2＝126，可得 ＝6，则(3 x－ ) 的二项展开式的通项为 ＝ ，可得n＝ ， － x Tr＋1＝Cr (3 6 x)
[题组自测 题组自测] 题组自测 1．(x＋2)6的展开式中 3的系数为 ． ＋ 的展开式中x A．20 ． C．80 ． B．40 ． D．160 ．
－
(
)
－ 解析：注意到 ＋ 的展开式的通项是T 解析：注意到(x＋2)6的展开式的通项是 r＋1＝C r ·x6 r·2r 6 － 因此(x＋ ＝C r ·2r·x6 r，令6－r＝3得r＝3.因此 ＋2)6的展开式中 － ＝ 得 ＝ 因此 6 －
6－ r
1 r ·(－ ) ＝C r 36－r(－1)rx3－r，令3－r＝0，则r － － － ＝ ， 6 x
＝3，∴所求的常数项为 3×33×(－1)3＝－ ， 所求的常数项为C6 － ＝－540.
答案： 答案：－540
2．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0 ．已知 － ＋ 的值等于________． ＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于 的值等于 ． 解析：分别令 ＝ 、 ＝－ ＝－1得 解析：分别令x＝1、x＝－ 得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5 ＝0.a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝32，由此解得 0＋a2＋ ，由此解得a a4＝16，a1＋a3＋a5＝－ ，(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5) ＝－16， ， ＝－256. ＝－ 答案： 答案：－256
1 6 (2)(2010·辽宁高考 ＋x＋x )(x－ x ) 的展开式中的常 辽宁高考)(1＋ ＋ 辽宁高考 － 数项为________． ． 数项为 (3)(2010·湖北高考 在(x＋ 3y)20的展开式中，系数为 湖北高考)在 ＋ 的展开式中， 湖北高考 有理数的项共有________项． 项 有理数的项共有 4
r′ r
3
·C r ·C5 3
r′
·x
r r′ + 2 3
′ r r′ ，当 ＋ ＝1时．有r＝0且r′＝3或r＝ 时 ＝ 且′ 或＝ 2 3
2且r′＝0两种情况，则展开式中 的系数为 －10)＋12＝2. 且 ′ 两种情况， 的系数为(－ ＋ ＝ 两种情况 则展开式中x的系数为
16 (2)(x－x) 的展开式的通项 － 1r － r 6－ r Tr＋1＝C6x (－ ) ＝(－1)rCr x6 2r. － － 6 x 7 ＝－1， ＝ 舍去 舍去)， 令6－2r＝0，得r＝3，令6－2r＝－ ，得r＝ (舍去 ， － ＝ ， ＝ ， － ＝－ 2 ＝－2， ＝ 令6－2r＝－ ，得r＝4. － ＝－ 所以所求的常数项为： 所以所求的常数项为：
9 (1)二项式系数之和为 0＋C1＋C2＋…＋C9＝29. 二项式系数之和为C9 二项式系数之和为 9 9
(2)各项系数之和为 0＋a1＋a2＋…＋a9， 各项系数之和为a 各项系数之和为 令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－ ＝ ， ＝ ， － ＝－1. (3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－ ， 由 知 ＝－1， ＝－1， 令x＝1，y＝－ ，得a0－a1＋a2－…－a9＝59， ＝ ， ＝－ 59 － 1 将两式相加， 将两式相加，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝ ，此即为所 2 有奇数项系数之和． 有奇数项系数之和．
所表示的定理叫做二项式定理． 所表示的定理叫做二项式定理．
k Cnan－kbk 为第 k＋1 项． ＋ 2．通项：Tk＋1＝ ．通项： ＋
二、二项式系数 1．定义： ．定义： Cr (r＝0,1，…，n)叫做二项式系数． 叫做二项式系数． 式子 n ＝ ， 叫做二项式系数
2．性质 ． (1)C0 ＋C1 ＋C2 ＋…＋Cn＝ 2n . n n n n
解析：令x＝－ ，得2n＝32，所以n＝5，故系数最小 解析： ＝－1， ，所以 ＝ ， ＝－ 的项是－ 5 ＝－10x3. 的项是－C3x3＝－
答案： 答案：－10x3
2 n 3．已知 x－ 2) (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三 ．已知( －x ∈ 的展开式中第五项的系数与第三 项的系数的比是 10∶1. ∶ (1)求展开式中各项系数的和； 求展开式中各项系数的和； 求展开式中各项系数的和 (2)求展开式中含 x 的项； 求展开式中含 的项； (3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项． 求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项． 求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项
x
答案： 答案：6
3．二项式 x－ x)9的展开式中有理项的项数为 ．二项式( － 的展开式中有理项的项数为________． ．
3
解析：根据题意，二项式的展开式的通项为 解析：根据题意，二项式的展开式的通项为Tk＋1＝Ck 9 ( x)9－k(－ x)k＝Ck(－1)kx (－ 9 (－ 项为有理项． 项为有理项． 3
的二项式系数最大； 的二项式系数最大； 和C
n+1 2 n
n −1 2 n
的二项式系数
源自文库 三、项的系数 项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等， 项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与 二项式系数一般不同. 二项式系数一般不同
[究 疑 点] 究 1．(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何不同？ ． ＋ ＋ 的展开式有何不同？ 提示：两者的展开式中的项完全相同， 提示：两者的展开式中的项完全相同，但对应的项不 同且两者的通项不同． 同且两者的通项不同． 2．二项式展开式中二项式系数最大时该项的系数就最 ． 大吗？ 大吗？ 提示：不一定最大，当二项式中 、 的系数均为 的系数均为1时 提示：不一定最大，当二项式中a、b的系数均为 时， 此时二项式系数等于项的系数，否则不一定 此时二项式系数等于项的系数，否则不一定.
3．二项式(2x－3y)9的展开式中，求： ．二项式 － 的展开式中， (1)二项式系数之和； 二项式系数之和； 二项式系数之和 (2)各项系数之和； 各项系数之和； 各项系数之和 (3)所有奇数项系数之和； 所有奇数项系数之和； 所有奇数项系数之和
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. － ＋
二项式定理 1．能用计数原理证明二项式定理． ．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简 ． 单问题． 单问题．
[理 要 点] 理 一、二项式定理 1．展开式 ．
0 (a＋b)n＝ Cnanb0＋C1 an－1b1＋…＋Ck an－kbk＋…＋Cna0bn ＋ n n n
[题组自测 题组自测] 题组自测 1．在(1＋x)7的展开式中，系数最大的项的系数是 ． ＋ 的展开式中， ________． ．
解析：系数最大的项为 ＋ 解析：系数最大的项为(1＋x)7的二项展开式的中间两
4 项，其系数为C3＝C7＝35. 其系数为 7
答案： 答案：35
2．已知(1－x)n的展开式中所有项的系数的绝对值之和为 ， ．已知 － 的展开式中所有项的系数的绝对值之和为32， 则(1－x)n的展开式中系数最小的项是 － 的展开式中系数最小的项是________． ．