第11章 塑性极值原理和上限法
金属塑性成型原理
的加工方法，也称塑性加工或压力加工； 塑性成形的特点：①组织、性能好②材料利用率高③尺寸精度高④
生产效率高 试分析多晶体塑性变形的特点。 1）各晶粒变形的不同时性。 2）各晶粒变形的相互协调性 3）晶粒与晶粒之间和晶粒内部与晶界附近区域之间的变形的不均匀 性。 4）滑移的传递，必须激发相邻晶粒的位错源。 5）多晶体的变形抗力比单晶体大，变形更不均匀。 6）塑性变形时，导致一些物理，化学性能的变化。 7）时间性 试分析晶粒大小对金属塑性和变形抗力的影响。 ①晶粒越细，变形抗力越大。晶粒的大小决定位错塞积群应力场到晶内 位错源的距离，而这个距离又影响位错的数目n。晶粒越大，这个距离 就越大，位错开动的时间就越长，n也就越大。n越大，应力场就越强， 滑移就越容易从一个晶粒转移到另一个晶粒。 ②晶粒越细小，金属的塑性就越好。 a．一定体积，晶粒越细，晶粒数目越多，塑性变形时位向有利的晶粒 也越多，变形能较均匀的分散到各个晶粒上； b．从每个晶粒的应力分布来看，细晶粒是晶界的影响区域相对加大， 使得晶粒心部的应变与晶界处的应变差异减小。这种不均匀性减小了， 内应力的分布较均匀，因而金属断裂前能承受的塑性变形量就更大。 什么叫加工硬化？产生加工硬化的原因是什么？加工硬化对塑性加工 生产有何利弊？ 加工硬化----随着金属变形程度的增加，其强度、硬度增加，而塑性、 韧性降低的现象。加工硬化的成因与位错的交互作用有关。随着塑性变 形的进行，位错密度不断增加，位错反应和相互交割加剧，结果产生固 定割阶、位错缠结等障碍，以致形成胞状亚结构，使位错难以越过这些
主应力：在某一斜微分面上的全应力S和正应力ζ重合，而切应力 η=0，这种切应力为 零的微分面称为主平面，主平面上的正应力叫做 主应力； 主切应力：切应力达到极值的平面称为主切应力平面，其面上作用的切 应力称为主切应力 最大切应力：三个主切应力中绝对值最大的一个，也就是一点所有方位 切面上切应力最大的，叫做最大切应力ηmax 主应力简图：只用主应力的个数及符号来描述一点应力状态的简图称为 主应力图： 八面体应力：在主轴坐标系空间八个象限中的等倾微分面构成一个正八 面体，正八面体的每个平面称为八面体平面，八面体平面上的应力称为 八面体应力； 等效应力：取八面体切应力绝对值的3倍所得之参量称为等效应力 平面应力状态：变形体内与某方向垂直的平面上无应力存在，并所有应 力分量与该方向轴无关，则这种应力状态即为平面应力状。实例：薄壁 扭转、薄壁容器承受内压、板料成型的一些工序等，由于厚度方向应力 相对很小而可以忽略，一般作平面应力状态来处理 平面应变状态：如果物体内所有质点在同一坐标平面内发生变形，而在 该平面的法线方向没有变形，这种变形称为平面变形，对应的应力状态 为平面应变状态。实例：轧制板、带材，平面变形挤压和拉拔等。 轴对称应力状态：当旋转体承受的外力为对称于旋转轴的分布力而且没 有轴向力时，则物体内的质点就处于轴对称应力状态。实例：圆柱体平 砧均匀镦粗、锥孔模均匀挤压和拉拔(有径向正应力等于周向正应力)。 位移：变形体内任一点变形前后的直线距离称为位移； 位移分量：位移是一个矢量，在坐标系中，一点的位移矢量在三个坐标 轴上的投影称为改点的位移分量，一般用 u、v、w或角标符号ui 来表 示； 相对线应变：单位长度上的线变形，只考虑最终变形；
塑形力学(总)
内力：材料内部所受的力，它的产生来自外界作用和物体内维持自身完整性的力。
主应力：作用面上无切应力时所对应的正应力。
主应力图：表示某点六面体各面上各主应力有无及其方向的图。
变形力学图：变形体内一点的主应力图与主应变图结合构成变形力学图。
全量应变：反映单元体在某一变形过程中终了时的变形大小。
增量应变：变形过程中某一极短阶段的无限小应变。
Bausch-inger效应：正向变形强化导致后继反向变形软化的现象。
简单加载：单元体的应力张量各分量之间的比值保持不变，按同一参量单调增长。
变形抗力：材料在一定温度、速度和变形程度条件下，保持原有状态而抵抗塑性变形的能力。
变形力：为使坯料产生塑性变形，在工具运动方向上所需要施加的力。
滑移线：塑性变形区内，最大切应力等于材料屈服切应力的轨迹线。
滑移线的物理意义：金属塑性变形时，发生晶体滑移的可能地带.功平衡法：利用塑性变形过程中的功平衡原理来计算变形力的一种近似方法，又称变形功法。
均匀应力场：由两组正交的平行直线构成有心扇形场：由一族汇集于一点的辐射线，和与之正交的另一族为同心圆弧所构成的。
无心扇形场：由一族为不汇集于一点的直线和一族为不同心的圆弧线所构成的滑移线场上限定理：是按运动学许可速度场（主要满足速度边界条件和体积不变条件）来确定变形载荷的近似解，这一变形载荷总是大于（理想情况下才等于）真实载荷，即高估的近似值，故称上限解。
下限定理：按静力学许可应力场（主要满足力的边界条件和静力平衡条件）来确定变形载荷的近似解，它总是小于（理想条件下才等于）真实载荷，即低估的近似解，故称下限解。
速端图：是以台标刚性区内一不动点o为所有速度矢量的起始点，所作变形区内各质点速度矢量端点的轨迹图形，它是研究平面应变问题时，确定刚性界面和接触摩擦界面上相对滑动速度的一个重要工具。
塑性加工的外力有哪些类型：表面力：作用在工件表面的力，它有集中载荷和分布载荷之分，一般由加工设备和模具提供；体积力：是作用在工件每一质点上的力，如重力、磁力、惯性力等。
塑性力学原理+
1. 什么是塑性?塑性是一种在某种给定载荷下,材料产生永久变形的材料特性,对大多的工程材料来说,当其应力低于比例极限时,应力一应变关系是线性的。
另外,大多数材料在其应力低于屈服点时，表现为弹性行为，也就是说，当移走载荷时，其应变也完全消失。
由于屈服点和比例极限相差很小，因此在ANSYS程序中，假定它们相同。
在应力一应变的曲线中，低于屈服点的叫作弹性部分，超过屈服点的叫作塑性部分，也叫作应变强化部分。
塑性分析中考虑了塑性区域的材料特性。
路径相关性：即然塑性是不可恢复的，那么这种问题的就与加载历史有关，这类非线性问题叫作与路径相关的或非保守的非线性。
路径相关性是指对一种给定的边界条件，可能有多个正确的解—内部的应力，应变分布—存在，为了得到真正正确的结果，我们必须按照系统真正经历的加载过程加载。
率相关性：塑性应变的大小可能是加载速度快慢的函数，如果塑性应变的大小与时间有关，这种塑性叫作率无关性塑性，相反，与应变率有关的性叫作率相关的塑性。
大多的材料都有某种程度上的率相关性，但在大多数静力分析所经历的应变率范围，两者的应力——应变曲线差别不大，所以在一般的分析中，我们变为是与率无关的。
工程应力，应变与真实的应力、应变：塑性材料的数据一般以拉伸的应力—应变曲线形式给出。
材料数据可能是工程应力（ P/A）与工程应变（Δl/l0），也可能是真实应力（P/A）与真实应变（ Ln(l/l) ）。
大应变的塑性分析一般采用真实的应力，应变数据而小应变分析一般采用工程的应力、应变数据。
什么时候激活塑性：当材料中的应力超过屈服点时，塑性被激活（也就是说，有塑性应变发生）。
而屈服应力本身可能是下列某个参数的函数。
• 温度• 应变率• 以前的应变历史• 侧限压力• 其它参数2. 塑性原理方面的几个概念任何塑性理论都包括如下几个主要方面：屈服条件：它规定在不同组合的外加应力作用下，塑性形变从什么时候开始发生；硬化规律：它描述塑性形变过程中的材料加工硬化和屈服条件的变化规律；⌝流变规律：它把塑性形变增量或形变速率的塑性张量同应力分丝联系起来。
塑性变形的力学原理
塑性变形的力学原理element of mechanics of plasticity从认定塑性变形体为均质连续体出发，依据宏观的实验结果，研究变形体内的应力、应变以及它们和变形温度、速度等条件之间的关系（见金属塑性变形）。
应力-应变曲线在材料试验中，常用圆棒受拉,短柱受压,薄壁管受扭转,以测定负载和变形的关系；然后分别算出单位面积上的负载（称为应力,常用ζ表示）和单位长度的变形（称为应变,常用ε表示）。
材料的ζ和ε间的对应关系称为应力-应变曲线（ζ-ε曲线）。
最常用的试验是试样受拉时，由原始长度l0增加到l,常称比值为工程应变或应变,而称自然对数值ln (l/l)为对数应变或真应变。
若在外力P的作用下,受拉试样由原始截面积A减小到每一瞬间的值A，则称比值P/A为习惯应力，P/A为真应力。
常见的延性金属的应力-应变曲线，按有无明显的屈服点，分为两类（见金属力学性能的表征）。
对于小变形量,用工程应力-应变曲线即可；而对于大变形量,需用真应力-应变曲线。
在一次受拉试验中,我们可以得到材料的特征性的ζ-ε曲线，此外,还可以得到材料的屈服应力(ζs)、断裂应力(ζb)、截面收缩率(ψ%)、延伸率即伸长率(δ％)和弹性模量(E)等特性指标。
常用ζs作为材料塑性变形时的抗力,ψ％和δ％为其承受塑性变形的能力（塑性指标）。
但对塑性加工而言，由于变形量大、变形条件复杂，所以上述指标值不能直接应用，而只能表示某个可以单独测定的条件（如温度、变形速率等）对变形抗力和塑性指标的影响。
因此我们常用ζ0来表示材料在简单应力状态条件下的变形抗力，用ζ表示在某个复杂条件下的变形抗力;在高变形速率的实验中，由于ζs 和ζb难于分别测定,所以有时也用ζb的变化来代表变形抗力的变化。
塑性加工总是在复杂的应力状态条件下实现的。
早在1911年卡门(T.von Karman)就用实验证明在高流体静压力下，通常认为是“脆性的”花岗岩可以有相当大的塑性变形。
第11章 考虑材料塑性的极限分析
图示AB为刚性杆，1和2杆材料的应力－应变曲线如图b， 横截面面积为A＝100mm2，在力F作用下它们的伸长量分 别为△L1＝1.8mm和△L2＝0.9mm，试问：（1）此时结构 所受载荷F为多少？（2）该结构的极限载荷是多少？
2
a
A
FN 2
a
FN 1
1
1m B
240 MPa
O
(b )
1.2 103
s
s
r
d
(c )
(d )
s
r
dA
Tu s dA 2
A
d 2 s 0
2 d
d 3
12
s
s dA
dA 2d
d
(d )
d s Tu 4 12 3 Ts d 3 s 16
3
当考虑材料塑性时,同一圆杆所对应的扭矩的极限值增大33％。
1
s
p:
塑性应变
弹性应变 : 0.5％----1％
p e
e:
p e
O
e
2. 塑性极限分析的假设
(1)荷载为按比例同时由零增至最终值单调增加的静荷载. (2)结构或构件在达到极限状态前,保持为几何不变体系, 结构保持继续承受荷载的能力. (3)材料的应力---应变关系理想化为刚性---理想塑性模 型或弹性---理想塑性模型.
(a)
F
2.计算荷载F的大小
1 s 240MPa
FN1 A s 100 240 24kN
2 E 2
M
A
0，
240 FN 2 2 A E 2 A 18kN 3 0.9 10 3 100 1.2 10
塑性极限分析
按几何方程求得运动场的应变率 ij ， 然后根据屈服条件和流动
法则，求出应力，这个应力称之为运动可能场的应力。
上限定理
• 对于任意运动可能场
~ ~ m Fi vi d Ti vi dS d s vt d ij ij S ~ ~ m Fi vi d Ti vi dS ij d vt d ij S
Q
0 ij dQ Ti vi dS Fi vi dQ 0 vt d ij S Q
S+ Q+ n 速度间断面
t
QS-
上、下限定理
作如下假定： （1）所有外荷载按某个单一参数m>0成比例地单调增大
~ Fi mFi
~ Ti mTi
• 不可压缩条件要求
r z
v(r ) A r
dv v 0 dr r
外力功率=
S
Ti vi ds 2tapv r a 2tp A
max
A r2
Q
dQ ij ij
/ 4 b / cos dr s A s max dQ t 2 rdrd 8t s A d Q 0 0 r r
l A
p
B
II I
D
C
分成两个几何全等的均匀应力区，中间由一应力间断线AC隔开， 区域I: AD是自由边界，对应K点
AC面的法线方向是从AD面的法线方向顺时针旋转450+，
对应M点的坐标 区域II: AB面上的应力对应于Mohr圆II的N点 = (1+sin2)
塑性成形过程中的有限元法
塑性成形过程中的有限元法金属塑性成形技术是现代化制造业中金属加工的重要方法之一。
它是金属材料在模具和锻压设备作用下发生变形，获得所需要求的形状、尺寸和性能的制件的加工过程。
金属成形件在汽车、飞机仪表、机械设备等产品的零部件中占有相当大的比例。
由于其具有生产效率高，生产费用低的特点，适合于大批量生产，是现代高速发展的制造业的重要成形工艺。
据统计，在发达国家中，金属塑性成形件的产值在国民经济中的比重居行业之首，在我国也占有相当大的比例。
随着现代制造业的高速发展，对塑性成形工艺分析和模具设计方面提出了更高的要求。
若工艺分析不完善、模具设计不合理或材料选择不当，则会造成产品达不到质量要求，造成大量的次品和废品，增加了模具的设计制造时间和费用。
为了防止缺陷的产生，以提高产品质量，降低产品成本，国内外许多大公司企业及大专院校和研究机构对塑性成形件的性能、成形过程中的应力应变分布及变化规律进行了大量的理论分析、实验研究与数值计算，力图发现各种制件、产品成形工艺所遵循的共同规律以及力学失效所反映的共同特征。
由于塑性成形工艺影响因素甚多，有些因素如摩擦与润滑、变形过程中材料的本构关系等机理尚未被人们完全认识和掌握，因而到目前为止还未能对各种材料各种形状的制件成形过程作出准确的定量判定。
正因为大变形机理非常复杂，使得塑性成形研究领域一直成为一个充满挑战和机遇的领域。
一般来说，产品研究与开发的目标之一就是确定生产高质量产品的优化准则，而不同的产品要求不同的优化准则，建立适当的优化准则需要对产品制造过程的全面了解。
如果不掌握诸如摩擦条件、材料性能、工件几何形状、成形力等工艺参数对成形过程的影响，就不可能正确地设计模具和选择加工设备，更无法预测和防止缺陷的生成。
在传统工艺分析和模具设计中，主要还是依靠工程类比和设计经验，经过反复试模修模，调整工艺参数以期望消除成形过程中的产品缺陷如失稳起皱、充填不满、局部破裂等。
仅仅依靠类比和传统的经验工艺分析和模具设计方法已无法满足高速发展的现代金属加工工业的要求。
塑性分析之结构极限分析原理与方法
四、极限分析方法
（一）静力法
步骤： 1.选择多余力，以静定结构为基本结构； 2.求基本结构在荷载、多余力共同作用下的 弯矩； 3.令足够多的截面弯矩=塑性弯矩，使结构形 成破坏机构； 4.由平衡方程求极限荷载； 5.复核M≤Mu
• 结构要同时满足平衡条件、几何条件、 物理方程、边界条件，对于复杂问题， 由于数学上的困难，很难得到完全解。
三、塑性分析
• 假设材料为刚塑性，按塑性变形规律研究结构 达到塑性极限状态时的行为。
• 基于塑性分析的设计，只要控制工作荷载与极 限荷载的比例，即可保证结构、构件安全可靠 使用，所确定安全系数较弹性设计更能反映结 构的实际安全程度，也更能充分利用材料的塑 性性能。
一、四角点承板 二、线承矩形板 三、点线支承板
3.3 其它形状板的塑性分析
一、三角形板 二、等边多边形板 三、圆平板
3.4 对相关问题的讨论
一、角部效应 二、集中荷载作用 三、组合荷载作用 四、平衡法
第四章
钢筋混凝土壳塑性极限分析
2.机构法
步骤： 1.确定塑性铰位置，使结构成为机动体系； 2.运用虚功原理，计算结构极限荷载； 3.所有可能的破坏机构中，极限荷载最小者 为所求； 4.复核M≤Mu
思考题：
1.塑性分析较弹性分析、弹塑性分析有何优点 及不足之处？ 2.什么是结构的内力重分布？为什么只有超静 定结构会产生内力重分布现象？ 3.举例说明在塑性极限分析与设计中保证塑性 铰转动能力的必要性。 4.确定结构塑性极限荷载需要满足哪些条件？ 5.结构极限分析的上、下限定理及其应用（机 构法和静力法）。
结构的塑性分析和极限荷课件
M(1) FpM1(1)
7 69.61 0.4542 153.3 69.61 7
8 69.61 0.3287 211.8 50.38
结构的塑性分析和极限荷课件
过其极限值。
MuMMu
3、单向机构条件 当荷载达到极限值时，结构上必须有足够多的塑性 铰，而使结构变成机构。
三、三个定义
1、可破坏荷载 ( F
p
): 满足机构条件和平衡条件的荷载。
2、可接受荷载 ( F
p
): 满足内力局限条件和平衡条件的荷载。
3是、可极破限坏荷荷载载(，F u又)是: 同可时接满受足荷机载构。条件、平衡条件和屈服条件的荷载。它既
矩形 圆
工字型
1.5 16/3p=1.7 1.10～1.17
塑性铰与普通铰的不同之处：
圆环 1.27～1.40
(1) 普通铰不能承受弯矩作用，而塑性铰两侧必有大小等于极限弯矩Mu的弯矩 作用。
(2) 普通铰是双向铰，可以绕着铰的两个方向自由转动，而塑性铰是单向铰， 只能沿着弯矩增大的方向自由转动，若方向转动则恢复刚性链接的特性。
结构的塑性分析和极限荷课件
卸载性质
b
s
h
拉
压M
2 h
y0 y0
2
压
拉
M
s
卸载
结构的塑性分析和极限荷课件
§12-3 梁的极限荷
载
§12-3-1 静定梁的极限荷载 (ultimate load)
Fp
l 2
M
s
1 4
F ps l
1 6
bh 2 s
Mu
1 4
F pu l
1 4
b
h
2
第十一章塑性本构关系详解
Lijlk lij
4
满足互逆关系：Mijkl Lklpq
L M ijkl klpq
1 2
ip jq iq jp
5
Lijkl不仅与应变有关，且与内变量有关； Mijkl不仅与应力有关，且 与内变量有关。即弹性性质与塑性性质上耦合的。为简化，仅考虑无
耦合的情况。
ij
1 0
组称为内变量ξβ（β=1,2,…,n）的参量来刻划这一变形历史。应力可表示
为：
ij ij kl ,
1
当ξβ固定时，应力与应变之间具有单一的对应关系，即弹性关系，
这时，应变也可通过应力来表示：
ij ij kl ,
2
仅在直角坐标系中讨论， 应力和应变的增量或变化率 可写为：
ij
Lijkl kl
Drucker将单轴中材料稳定性概念推广到复杂应力状态，提出了塑性 力学中十分重要的假定，称为Drucker公设。
考虑硬化材料中的一个微单元体，受某一初始应力作用处于平衡状态， 通过“外部机构”在这个微单元体上施加附加应力，然后缓慢地移去。
Drucker提出两个假设： （1）在加载过程中附加应力做正功； （2）在加载和卸载的一个应力循环中，如产生塑性变形，则附加应力
二、硬化材料的加卸载准则
加载面
当应力状态处于当前加载面上，再施加应力增量会 出现3种可能性并由此产生3种不同的变形情况。
加载
f
d ij ij
ij
d ij 卸载
ij
中性变载
f
d ij ij
ij
d ij 加载
d ij卸载
ij
1、加载：应力增量指向加载面外，应力状态到达新的加载面上； 2、中性变载：应力增量与加载面相切，不产生新的塑性变形； 3、卸载：应力增量指向加载面内，变形从塑性状态回到弹性状态。
塑性加工理论上限法
R o
r
因此，可得速度场
图 8-40 平行平板间圆柱体镦粗问题
u r
u0 2h0
r,
u 0 ,
u z
u0 h0
z
（a）塑性变形功率 Wd 等效应力、等效应变速率为
s 2
3
r
2
z 2
z
r 2
u0
h0
塑性变形功：
Wd
dV
V
R2 su0
（b）变形体与工具间的摩擦功率 W f
设定一个 运动许可 的速度场
几何 方程
应变速率场 等效应变速率
确定各 上限功率
求总功率 的极小值
但是，应该注意到，由此所得到的最 小上限解并不是精确解，因为所设定 的运动许可速度场往往不能包含真实 的速度场。
8.6.4 上限法的应用 上限法的关键在于速度场的设计，为了 设计出尽可能接近于真实情况的运动许 可的速度场，使所得到的上限解逼近于 真实解，需要根据相关的基础理论，结 合实际经验对材料流动规律进行直观的 分析和逻辑判断。
塑性加工理论 上限法
8.6 上限法
（1）主应力法 可求解均匀变形时的工作载荷或压力
分布、确定可能的最大变形量、最小可轧 板厚、中性面位置等。 限制条件： ◆均匀变形 ◆不能得到变形体内部的应力分布 ◆不考虑多余变形的影响
均匀变形
多余变形
剪切滑移
（2）滑移线法
可用于不均匀变形过程、考虑了多余变
形的影响、可用于求解变形时的工作载荷 或压力分布、而且还能得到变形体内部的 应力分布。
限制条件：只能处理平面应变问题和轴
对称问题，严格地讲，只能解决平面应变 问题。
y
u 0
A Pb O B G
材料力学考虑材料塑性的极限分析
则极限弯矩为
由
bh2 Mu s s 4
bh2 ss Mu 42 1.5 M s bh ss 6
可见，考虑了材料塑性，
矩形截面梁对应的弯矩极限值可以增大 50％。
几种常用截面的 Mu/Ms 比值见下表。
表 1 几种常用截面的 Mu/Ms 比值
截面形状
M u / Ms
1.15-1.17
1.27
πd 3 Ts Wp s s 16
s
(a)
若继续增大扭矩，则随着切应变增大，此直径上 各点处的切应力将从周围向中心逐渐增大到 s 。
s
(b)
当截面上各点处的切应力均达到 s , 整个截面进 入完全塑性状态。这时不需要再增大外力偶矩，圆杆 将继续扭转变形，即扭杆达到极限状态。对应的极限 扭矩为：
q (a) A
l
解：先按弹性分
B
4l 9
8 ql 2 81
l 3
C b (b) ql 2 18
h
析的方法作出梁
的弯矩图 （图c） 得出最大弯矩为
8ql2 M max 81
(c)
当梁达到极限状态时，其最大弯矩等于极限弯矩， 梁上的荷载达到极限值。 即
8qu l 2 bh2 Mu s sWs s s 81 4
塑性变形的特征:
(1)变形的不可恢复性是塑性的基本特征。
(2)应力超过弹性范围后,应力应变呈非线性关系, 叠加原理
s
s1
不再适用。
(3)塑性变形与加载历程有关,应 力与应变之间不再是单值关系。 (4)通常所指的塑性变形,忽 略了时间因素的影响(常温、 低应变率）。
ss
O
e p ee
e
s 's
孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-考虑材料塑性的极限分析(圣才出品)
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图 11-2-5
列写平衡方程
Fy = 0, Fx = 0,
Hale Waihona Puke FN1 + − FN3
FN2 + FN3 cos + FN4 sin + FN4 sin = 0
cos
−
F
=
0
MB = 0,
−
FN1
2a
−
图 11-2-1（a）
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图 11-2-1（b） 解：（1）求组合筒的屈服载荷 由图 11-2-1（b）可知 εs1＜εs2，两筒的变形量相同，随着载荷 F 的增加，内筒首先 达到屈服状态，而铝合金仍处于线弹性状态，此时二者承受的载荷分别为 F1＝A1σs1，F2＝ E2A2εs2。 又此时，内筒和外筒的变形量相同，即有：εs1＝εs2＝σs1/E1。因此，外筒承受的载 荷：F2＝σs1E2A2/E1。 综上可得，组合筒的屈服载荷：Fs＝F1＋F2＝A1σs1＋E2A2εs1。 （2）求组合筒的极限载荷 内筒达到屈服极限时，随着载荷 F 的继续增加，Fs＜F＜Fu，内筒的应力保持为 σs1 不 变，外筒铝合金部分的应力继续增大，此时组合筒处于弹塑性状态。当外筒的应力也达到 屈服极限 σs2 时，该组合筒进入完全塑性状态，即为极限状态。 故组合筒的极限载荷：Fu＝σs1A1＋σs2A2。
一、塑性变形及塑性极限分析的假设（见表 11-1-1） 表 11-1-1 塑性变形及塑性极限分析的假设
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二、拉、压杆系的极限荷载（见表 11-1-2）
弹塑性力学讲义第十一章塑性力学基础知识（精品PDF）
截面形状
1.5
1.7
1.15-1.17
（2）梁弹塑性弯曲时的变形
在线弹性阶段，梁弯矩和曲率的关系为线性关系
M=EI
( M Me ), 或
M EI
,
将应力与弯矩关系式 My 代入上式，可得 I
Ey
。
在弹塑性阶段，由于梁弯曲时截面仍然保持平面，可得
s Ey0
，
或
y0
s E
代入梁弹塑性弯曲时 M 的表达式
将发生塑性变形。确定材料发生塑性变形的条件为
f () = - s = 0 初始屈服条件（函数） 当软钢应力达到 A 点后，软钢有明显屈服（塑性流动）阶段。
经过屈服阶段后，荷载可再次增加（称为强化阶段，BC 段），但
强化阶段 增幅较少。对于此种材料（有明显屈服流动，强化阶段
应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足屈服条件时，卸载将有
2 3
J
* 2
类似于e 的定义，在三维应力状态定义等效应变e：
1
e
2 3
J
* 2
2 3
1 2
eij
eij
2
2 3
eij
eij
2 3
1 2 2 2
3 2 3 1 2
1 2
1
2 3
x
y
2
y
z
2
z
x
23 2
2 xy
2 yz
2 zx
2
e 以发生塑性变形定义的量（由 1、2、3 定义）,在变形 过程中的每一瞬时，发生应变增量（d1、d2、d3），则可定义瞬
对于三维应力状态，定义每一点应力状态都存在力学效应相同
的等效应力e
弹塑性力学-塑性极限分析
15
证明： s l
极限状态下： s ij , ij , ui ,l Pi ,l
静力允许的内力场：
s
0
ij
,
s
Pi
,
s
❖ 虚功率原理：
Fiui*dS
s
0
ij
i*j dV
ST
V
l s Piui dS
s ij
s
0
ij
ij dV
ST
V
❖ 由Druker 公设：极限曲面是外凸的。
s ij
s
0
ij
ij
0
q
ij
s ij
s0 ij
s ij
s
0
ij
Piui dS 0
ST
s l
Pi 在真实位移速度上的功率为正
16
三．塑性极限分析定理
2. 上限定理：
➢ 机动允许的位移（速度）场：满足破坏机构条件（几何 方程和位移、速度边界条件），外力做功为正的位移 （速度）场。 [ 放松极限条件，选择破坏机构，并使载荷在其位移场上 做功为正]
1 2
s
ij
ui x j
s
ji
u j x x
体力为零时：
Fiui*dS
s
ij
* ij
dV
ST
V
13
❖ 虚功率原理：在外力作用下处于平衡的变形体，若给物 体一微小的虚变形（位移）。则外力的虚功率必等于应 力的虚功率。
fiui*dV
Fiui*dS
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上限解、下限解与精确解的比较
上限法优点
适用于平面应变问题，轴对称和三维问题，如非 轴对称型材的挤压、拉拔、轧制与锻压等。 上限法由设计速度场入手，速度场直观、易想象 ，可借助于试验，如网格试验，得到金属的流线 ，再由设计的流函数去求机动许可速度场。 上限法便于与计算机结合，自动将工件分为矩形 ，三角形截面单元，每一单元均对应一定的相邻 关系和一定的力学特征。将标准模式块的组合关 系输入后，计算机可优化处理。通过虚单元法， 模拟工件与工具间的接触面上单位压力分布及进 行模具的设计。
第10章 塑性极值原理和上限法
第9章 功平衡法和上限法及其应用
§9.1 §9.2 §9.3 §9.4 §9.5 功平衡法 极值原理及上限法 速度间断面及其速度特性 Johnson上限模式及应用 Aviztur上限模式及应用
采用近似解法求解金属塑性加工变形力学问题，据原理有 两类：一类是根据力平衡条件求近似解，如工程法；另一类是 根据能量原理求近似解，如功平衡法和上限法等。 功平衡法是利用塑性变形过程的功平衡原理来求解变形力 的近似解；极值原理是根据虚功原理和最大塑性功耗原理，确 定物体总位能接近于最低状态下，即物体处于稳定平衡状态下 变形力的近似解。
SD
外力所作 的虚功率
虚应变功 率消耗
剪切功率 的消耗
裂纹形成 的功率
（当变形体处于塑性屈服状态， =K剪切屈服强度）
四、最大散逸功原理
对于刚塑性体而言，若应变增量场一定，在所 有满足屈服准则的应力场中，与该应变增量场符合 应力应变关系的应力场所做的塑性功增量为最大， 其表达式为
(
V
' ij
基本能量方程
N = Nd + Nt + Nf + Nq
Nd
v
ij dv ij
塑性变形功率消耗 速度间断面上剪切功率消耗 接触面上摩擦功率消耗 附加外力消耗的（取“+”号）或 向系统输入的附加功率（取“-”号）
N t st t v t ds
N f sv f v i ds
根据塑性变形体积不变条件可知，
垂直于dSD上的速度分量必须相等， 即 u u ，而切向速度分量可以不等， 造成①、②区的相对滑动。其速度间 断值为
1 t 2 t
1 n 2 n
[Vt ] u u
速度间断面就是沿SD的一个速度急剧而连续变化 的薄层区，如下图所示。
变形体由于存在速度间断，要消耗一定的剪切功 率，其值为
二、虚功原理与基本能量方程式
变形体的虚功原理可表述如下：如对载荷系（力系）作 用下处于平衡状态的变形体给予一符合约束条件的微小虚位 移时，则外力在虚位移上所作的虚功，必等于变形体内应力 在虚应变上所作的虚功（虚应变能、功增量）。
现设一处于平衡受力状态的塑性变形体，其体积为V， 总表面积S分为ST和Su两部分，ST上的表面力Ti已知，
§9.3 速度间断面及其速度特性
速度间断面
速端图及速度间断量的计算
速端图是以代表刚性区内一不动点O为所有速度矢量的 起始点（也称为基点或极点），所作变形区内各质点速度矢 量端点的轨迹图形，它是研究平面应变问题时，确定刚性界 面和接触摩擦界面上相对滑动速度（即速度间断量）的一个 重要工具。
矩形断面板条平面应变压缩问题
Su的位移增量dui(或位移速度 u i 场为 ij ),根据虚功原理有:
)已知，变形体
的应力场为 ij ,应变增量场为 d ij (或应变速率
T du dS
S i i V
ij
d ij dV
若以u i 代替 dui ，以 ij 代替d ij ，功增量变为功率，则虚功率方程为
极值原理包括上限定理和下限定理，都是根据虚功原理 和最大塑性功耗原理得出的，但各自分析问题的出发点不同。 上限定理是按运动学许可速度场（主要满足速度边界条 件和体积不变条件）来确定变形载荷的近似解，这一变形载 荷它总是大于（理想情况下才等于）真实载荷，即高估的近 似值，故称上限解； 下限定理仅按静力学许可应力场（主要满足力的边界条 件和静力平衡条件）来确定变形载荷的近似解，它总是小于 （理想情况下才等于）真实载荷，即低估的近似解，故称下 限解。
§9.1 功平衡法
功平衡法是利用塑性变形过程中的功平衡原理来计算变形 力的一种近似方法，又称变形功法。 功平衡原理是指：塑性变形过程外力沿其位移方向上所作 的外部功（WP）等于物体塑性变形所消耗的应变功（Wd）和接 触摩擦功（Wf）之和，即： WP = Wd + Wf 对于变形过程的某一瞬时，上式可写成功增量形式： dWP = dWd + dWf
dWf
F
τ f du f dS
于是由功平衡方程，得到了总的变形力P为
P [ T V d e dV f du f dF] / duP
F
由于塑性变形总是不均匀的，计算 d是比较困难的， ij 通常可按均匀变形假设确定，故变形功法又称为均匀变 形功法。
§9.2 极值原理及上限法
sp
p i v' i ds
v
ij dv sv t v' i ds N k ij
式中，
pi
为真实载荷。
用上限法计算塑性加工过程的极限载荷的关键在于拟设 塑性变形区内的虚拟运动学许可速度场，这种速度场应满足 以下三个条件： （1）速度边界条件； （2）体积不变条件； (3) 保持变形区内物质的连续性。 而与此速度场对应的应力场则不一定要求满足力平衡条件 和力的边界条件。
Tu
S i
i
dS ij ij dV
V
对于刚塑性体，由于应力球张量不做功，故上式又可写成
Tu
S i
i
dS ij ij dV
' V
三、速度间断
实际上，在刚塑性变形体内可能存在位移（增 量）或速度不连续的情况，这点必须考虑。 现设变形体被速度间断面SD分成①和②两个区 域；在微段dSD上的速度间断情况如下图所示。
2 ( u u t t )dS D [Vt]dS D 1 SD SD
如果变形体内存在若干个速度间断面，则所消耗 的功率等于各个面所消耗功率的总和。于是，对 于变形体存在速度间断时的虚功（率）方程应为:
T dS
S i i V
ij ij
dV t i dSD Nk
根据虚功原理和最大 散逸功原理得出的。
上限定理：按运动学许可速度场（主要满足速度边界 条件和体积不变条件）来确定变形载荷的近似解，这 一变形载荷总是大于（理想情况下才等于）真实载荷 ，即高估近似值，故称上限解。
下限定理：按静力学许可应力场（主要满足力的边界 条件和静力平衡条件）来确定变形载荷的近似解，它 总是小于（理想情况下才等于）真实载荷，即低估近 似解，故称下限解 。
ds
求解的基本步骤
根据变形的具体情况，或参照该问题的滑移线场，确定变 形区的几何位置与形状，再根据金属流动的大体趋势，将 变形区划分为若干个刚性三角形块； 根据变形区划分刚性三角形块情况，以及速度边界条件， 绘制速端图； 根据所作几何图形，计算各刚性三角形边长及速端图计算 各刚性块之间的速度间断量，然后计算其剪切功率消耗； 求问题的最佳上限解，一般划分的刚性三角形块时，几何 形状上包含若干个待定几何参数，所以须对待定参数求其 极值，确定待定参数的具体数值以及最佳的上限解。
例一：平冲头压入半无限体
各块间的剪切功率 p•(W/2)·vo = k(OB·Δ vOB+ AB·Δ vAB+ BC·Δ vBC+ AC·Δ vAC+ CD·Δ vCD)
例二 板条平面应变挤压
§9.5 Aviztur上限模式及应用
基本思路： 用一个连续速度场vi = fi(x, y, z)来描述整 个变形区内金属质点的流动 考虑塑性区与刚性区界面上速度的间断性及摩 擦功率的影响
Nq
sp
qi v i ds
总的塑性变形功耗
N d T v e dV
例一：直角坐标平面应变问题 ——考虑侧鼓时板坯的平锤压缩
例二：极坐标平面应变问题
——宽板的平辊轧制
例三：圆柱坐标轴对称问题
——圆盘的镦粗
例四：球坐标轴对称问题
——圆棒的拉拔或挤压
一.概述 极值原理包括上限定理和下限定理。
dWP为外力所作功的增量 外力P沿其作用方向产生的位移增量为duP，则
dWp P du p
dWd为塑性变形功增量 单元体积的塑性变形功增量为
dWd σijdεijdV (σ1dε1 σ2dε 2 σ3dε3 )dV
dWf为接触摩擦所消耗功的增量 若接触面S上摩擦切应力及其方向的位移增量为duf，则
屈服轨迹，故同样存在如下的关系式
V
*'
将上述两式对时间求导，则得
V ' *' ( ij ij ) ij dV 0
V
(
*' ij
) ij dV 0
' ij
*
五、上限法原理
用上限法计算极限载荷时，只假设塑变区的位 * * u 移状态为动可容速度场 u （或位移场 i i ），它满足 下列三个条件： 1）满足速度（或位移）的边界条件，即在位移面 * * 上 Su ， u i＝ u i 或 u i ＝u i ，u i 或 u i 为给定的真实速度或 真实位移。 2）变形体在变形时保持连续形，不发生重叠和开裂 3）满足体积不变条件
§9.4 Johnson上限模式及应用