第11章 塑性极值原理和上限法

sp
p i v' i ds

v
ij dv sv t v' i ds N k ij
式中，
pi
为真实载荷。
用上限法计算塑性加工过程的极限载荷的关键在于拟设 塑性变形区内的虚拟运动学许可速度场，这种速度场应满足 以下三个条件： （1）速度边界条件； （2）体积不变条件； (3) 保持变形区内物质的连续性。 而与此速度场对应的应力场则不一定要求满足力平衡条件 和力的边界条件。
(1)
由最大散逸功原理可知 ' * *' * d dV d ij ij ij ijdV
V V
dui dui ，故得 将上式代入(1)式，并考虑到在 S u上，
*

Su
*' * * Ti dui dSu ij d ij dV * K [u* ]dSD Ti dui*dST V SD ST
SD
外力所作 的虚功率
虚应变功 率消耗
剪切功率 的消耗
裂纹形成 的功率
（当变形体处于塑性屈服状态， =K剪切屈服强度）
四、最大散逸功原理
对于刚塑性体而言，若应变增量场一定，在所 有满足屈服准则的应力场中，与该应变增量场符合 应力应变关系的应力场所做的塑性功增量为最大， 其表达式为
(
V
' ij
§9.1 功平衡法
功平衡法是利用塑性变形过程中的功平衡原理来计算变形 力的一种近似方法，又称变形功法。 功平衡原理是指：塑性变形过程外力沿其位移方向上所作 的外部功（WP）等于物体塑性变形所消耗的应变功（Wd）和接 触摩擦功（Wf）之和，即： WP = Wd + Wf 对于变形过程的某一瞬时，上式可写成功增量形式： dWP = dWd + dWf
§9.4 Johnson上限模式及应用
基本思路：塑性变形区由若干个刚性三角形构成，塑性变 形时完全依靠三角形场间的相对滑动产生，变形过程中每一个 刚性块是一个均匀速度场，块内不发生塑性变形，于是块内的 ij 0 应变速度 上限功率表达式

sp
pi v 'i ds

sv t v 'i
最大塑性功消耗原理：在一切许可的塑性应变增量（应 变速度）或许可的应力状态中，以符合增量理论关系的应力 状态或塑性应变增量（应变速度）所耗塑性应变功耗（或功 率消耗）最大。
上限定理是根据运动学许可速度场来分析变形载荷的， ' 设所拟运动学许可速度场为 v i ，由几何关系确定的应变速度 场 ij ，再由该应变速度场按几何方程与增量理论确定的应 * 力场为 ij 。而变形体中实际的应力场为 ij，于是根据虚 功原理和塑性功耗原理可以导出在一般情况下塑性加工中常 用的上限定理的功率表达形式为：
二、虚功原理与基本能量方程式
变形体的虚功原理可表述如下：如对载荷系（力系）作 用下处于平衡状态的变形体给予一符合约束条件的微小虚位 移时，则外力在虚位移上所作的虚功，必等于变形体内应力 在虚应变上所作的虚功（虚应变能、功增量）。
现设一处于平衡受力状态的塑性变形体，其体积为V， 总表面积S分为ST和Su两部分，ST上的表面力Ti已知，


Tu
S i

i
dS ij ij dV
V

对于刚塑性体，由于应力球张量不做功，故上式又可写成
Tu
S i

i
dS ij ij dV
' V

三、速度间断
实际上，在刚塑性变形体内可能存在位移（增 量）或速度不连续的情况，这点必须考虑。 现设变形体被速度间断面SD分成①和②两个区 域；在微段dSD上的速度间断情况如下图所示。
上限法中虚拟的运动学许可速度场模式有三种： （1）Johnson模式，通常称为简化滑移线场的刚性三角形上限 模式，主要适用于平面应变问题。 （2）Avitzur模式，通常称为连续速度场的上限模式，它既可 适用平面应变问题、轴对称问题，也可用于某些三维问题，用 途比较广泛。 （3）上限单元技术（UBET）,目前比较实用的是圆柱坐标系的 圆环单元技术。它可用于解轴对称问题，以及某些非对称轴的 三维问题。
)d ij dV 0
*' ij
' 式中， 、d ij 是符合应力应变关系的应力偏量（场）和应变 ij
*' ij 增量（场）； 是满足同一屈服准则的任意应力偏量（场）。
如果与
*' ij
* d 符合应力应变关系的应变增量场为 ij
* *' d ij 这时， 的矢量必然也垂直于 ij 的矢量端点处的
根据塑性变形体积不变条件可知，
垂直于dSD上的速度分量必须相等， 即 u u ，而切向速度分量可以不等， 造成①、②区的相对滑动。其速度间 断值为
1 t 2 t
1 n 2 n
[Vt ] u u
速度间断面就是沿SD的一个速度急剧而连续变化 的薄层区，如下图所示。
变形体由于存在速度间断，要消耗一定的剪切功 率，其值为
Nq
sp
qi v i ds
总的塑性变形功耗
N d T v e dV
例一：直角坐标平面应变问题 ——考虑侧鼓时板坯的平锤压缩
例二：极坐标平面应变问题
——宽板的平辊轧制
例三：圆柱坐标轴对称问题
——圆盘的镦粗
例四：球坐标轴对称问题
——圆棒的拉拔或挤压
一.概述 极值原理包括上限定理和下限定理。
根据虚功原理和最大 散逸功原理得出的。
上限定理：按运动学许可速度场（主要满足速度边界 条件和体积不变条件）来确定变形载荷的近似解，这 一变形载荷总是大于（理想情况下才等于）真实载荷 ，即高估近似值，故称上限解。
下限定理：按静力学许可应力场（主要满足力的边界 条件和静力平衡条件）来确定变形载荷的近似解，它 总是小于（理想情况下才等于）真实载荷，即低估近 似解，故称下限解 。
dWP为外力所作功的增量 外力P沿其作用方向产生的位移增量为duP，则
dWp P du p
dWd为塑性变形功增量 单元体积的塑性变形功增量为
dWd σijdεijdV (σ1dε1 σ2dε 2 σ3dε3 )dV
dWf为接触摩擦所消耗功的增量 若接触面S上摩擦切应力及其方向的位移增量为duf，则
Su的位移增量dui(或位移速度 u i 场为 ij ),根据虚功原理有:


)已知，变形体
的应力场为 ij ,应变增量场为 d ij (或应变速率
T du dS
S i i V
ij
d ij dV
若以u i 代替 dui ，以 ij 代替d ij ，功增量变为功率，则虚功率方程为
dWf

F
τ f du f dS
于是由功平衡方程，得到了总的变形力P为
P [ T V d e dV f du f dF] / duP
F
由于塑性变形总是不均匀的，计算 d是比较困难的， ij 通常可按均匀变形假设确定，故变形功法又称为均匀变 形功法。
§9.2 极值原理及上限法
§9.3 速度间断面及其速度特性
速度间断面
速端图及速度间断量的计算
速端图是以代表刚性区内一不动点O为所有速度矢量的 起始点（也称为基点或极点），所作变形区内各质点速度矢 量端点的轨迹图形，它是研究平面应变问题时，确定刚性界 面和接触摩擦界面上相对滑动速度（即速度间断量）的一个 重要工具。
矩形断面板条平面应变压缩问题
基本能量方程
N = Nd + Nt + Nf + Nq
Nd

v
ij dv ij
塑性变形功率消耗 速度间断面上剪切功率消耗 接触面上摩擦功率消耗 附加外力消耗的（取“+”号）或 向系统输入的附加功率（取“-”号）
N t st t v t ds
N f sv f v i ds
极值原理包括上限定理和下限定理，都是根据虚功原理 和最大塑性功耗原理得出的，但各自分析问题的出发点不同。 上限定理是按运动学许可速度场（主要满足速度边界条 件和体积不变条件）来确定变形载荷的近似解，这一变形载 荷它总是大于（理想情况下才等于）真实载荷，即高估的近 似值，故称上限解； 下限定理仅按静力学许可应力场（主要满足力的边界条 件和静力平衡条件）来确定变形载荷的近似解，它总是小于 （理想情况下才等于）真实载荷，即低估的近似解，故称下 限解。
2 ( u u t t )dS D [Vt]dS D 1 SD SD

如果变形体内存在若干个速度间断面，则所消耗 的功率等于各个面所消耗功率的总和。于是，对 于变形体存在速度间断时的虚功（率）方程应为:
T dS
S i i V
ij ij
dV t i dSD Nk
现设有一动可容位移增量场dui* ,且变形体内存在速 * [u * ],如下图所示 度间断面 S D ,其上的位移增量间断值为 ： 将虚功方程用于动可容位移增量场dui*和真实应力场 ij , 参照变形体存在速度间断时的虚功（率）方程 可得

ST
' * * Ti dui*dST Ti dui*dS ij d ij dV * [u* ]dSD Su V SD
第10章 塑性极值原理和上限法
第9章 功平衡法和上限法及其应用
§9.1 §9.2 §9.3 §9.4 §9.5 功平衡法 极值原理及上限法 速度间断面及其速度特性 Johnson上限模式及应用 Aviztur上限模式及应用
采用近似解法求解金属塑性加工变形力学问题，据原理有 两类：一类是根据力平衡条件求近似解，如工程法；另一类是 根据能量原理求近似解，如功平衡法和上限法等。 功平衡法是利用塑性变形过程的功平衡原理来求解变形力 的近似解；极值原理是根据虚功原理和最大塑性功耗原理，确 定物体总位能接近于最低状态下，即物体处于稳定平衡状态下 变形力的近似解。
例一：平冲头压入半无限体
各块间的剪切功率 p•(W/2)·vo = k(OB·Δ vOB+ AB·Δ vAB+ BC·Δ vBC+ AC·Δ vAC+ CD·Δ vCD)
例二 板条平面应变挤压
§9.5 Aviztur上限模式及应用
基本思路： 用一个连续速度场vi = fi(x, y, z)来描述整 个变形区内金属质点的流动 考虑塑性区与刚性区界面上速度的间断性及摩 擦功率的影响
ds
求解的基本步骤


根据变形的具体情况，或参照该问题的滑移线场，确定变 形区的几何位置与形状，再根据金属流动的大体趋势，将 变形区划分为若干个刚性三角形块； 根据变形区划分刚性三角形块情况，以及速度边界条件， 绘制速端图； 根据所作几何图形，计算各刚性三角形边长及速端图计算 各刚性块之间的速度间断量，然后计算其剪切功率消耗； 求问题的最佳上限解，一般划分的刚性三角形块时，几何 形状上包含若干个待定几何参数，所以须对待定参数求其 极值，确定待定参数的具体数值以及最佳的上限解。
上限解、下限解与精确解的比较
上限法优点


适用于平面应变问题，轴对称和三维问题，如非 轴对称型材的挤压、拉拔、轧制与锻压等。 上限法由设计速度场入手，速度场直观、易想象 ，可借助于试验，如网格试验，得到金属的流线 ，再由设计的流函数去求机动许可速度场。 上限法便于与计算机结合，自动将工件分为矩形 ，三角形截面单元，每一单元均对应一定的相邻 关系和一定的力学特征。将标准模式块的组合关 系输入后，计算机可优化处理。通过虚单元法， 模拟工件与工具间的接触面上单位压力分布及进 行模具的设计。
屈服轨迹，故同样存在如下的关系式


V
*' ' * ( ij ij )d ij dV 0
将上述两式对时间求导，则得
V ' *' ( ij ij ) ij dV 0

V
Baidu Nhomakorabea
(
*' ij
) ij dV 0
' ij
*
五、上限法原理
用上限法计算极限载荷时，只假设塑变区的位 * * u 移状态为动可容速度场 u （或位移场 i i ），它满足 下列三个条件： 1）满足速度（或位移）的边界条件，即在位移面 * * 上 Su ， u i＝ u i 或 u i ＝u i ，u i 或 u i 为给定的真实速度或 真实位移。 2）变形体在变形时保持连续形，不发生重叠和开裂 3）满足体积不变条件